documents3

EELLEEMMEENNTTEE FFIINNIITTEE

BBIIDDIIMMEENNSSIIOONNAALLEE PPLLAANNEE

5.1 Introducere

n acest capitol vor fi prezentate urmtoarele elemente finite bidimensionale plane:

1. elementul triunghiular stare plan de tensiune - TRIANGSPT

2. elementul triunghiular stare plan de deformaie - TRIANGSPD

3. elementul triunghiular axial simetric - TRIANGAXIAL

4. elementul patrulater izoparametric stare plan de tensiune QUADSPT

5. elementul patrulater izoparametric stare plan de deformaie QUADSPD

6. elementul patrulater izoparametric axial simetric QUADAXIAL

Metoda elementelor finite - analiza static liniar Elemente finite bidimensionale

110

Aceste elemente finite sunt destinate analizei statice liniare sau neliniare a structurilor plane sau spaiale. n cazul structurilor spaiale sunt prezentate dou cazuri particulare, i anume starea plan de deformaie i structurile axial simetrice. n aceste cazuri, proprietile permit reducerea problemei tridimensionale la una bidimensional. i n acest capitol, fiecare element finit este prezentat independent de la nivelul programului principal pn la subrutinele specifice.

Pentru claritatea prezentrii s-a preferat repetarea unor secvene de program comune acestor tipuri de elemente finite.

5.2 Elementul triunghiular stare plan de tensiune TRIANGSPT

5.2.1 Introducere

n unele probleme de analiz structural se pune problema determinrii tensiunilor ntr-o plac subire sau pe suprafaa liber a unui element structural. Exemple din aceast categorie sunt

vasele cu perei subiri aflate sub aciunea presiunii interioare sau exterioare, structurile subiri ncrcate n plan, etc., care au specific faptul c o tensiune principal este cu mult mai mic dect celelalte dou. Dac presupunem c aceast tensiune este chiar zero, starea tridimensional de tensiune poate fi redus la una bidimensional. Deoarece cele dou tensiuni rmase sunt coplanare, starea se numete stare plan de tensiune. Dac presupunem c tensiunea neglijabil este cea orientat dup direcia axei z, matricea tensiunilor n spaiu:

zyzxz

yzyxy

xzxyx

, capt prin eliminarea tuturor componentelor care conin indicele z, forma mai simpl:

yxy

xyx

. (5.1)

Elementul triunghiular stare plan de tensiune este destinat analizei strii plane de tensiune i deformaie. Este cel mai simplu element finit destinat acestui tip de analiz, a crui matrice de rigiditate se poate calcula uor, i care permite o implementare simpl n programele de analiz cu elemente finite. Elementul este utilizat pentru modelarea structurilor plane ncrcate n planul n care este definit geometria elementului. Elementul are trei noduri, cu cte dou grade de libertate de translaie pe fiecare nod, convenional notate UX, UY. Elementul

este definit din punct de vedere geometric prin coordonatele nodale care sunt concentrate n vectorii:

{ } { }kjiT xxxx = , { } { }kjiT yyyy = . (5.2)

Ca urmare a conveniilor de notaie fcute, caracteristicile elementului finit TRIANGSPT sunt:

xj xkxi

yi

yk

yj

y

x

i

k

j

xxx

xy

xy

yx

yx

y

y

O

y


111

Caracteristica Variabila program Valoare variabil

numrul de noduri ale elementului finit nnod 3

numrul gradelor de libertate nodal pentru fiecare nod ndof 2

dimensiunea matricei de rigiditate a elementului finit kdim 6

5.2.2. Descrierea elementului finit TRIANGSPT

Structura preia numai ncrcri coninute n plan, iar n structur se dezvolt numai tensiuni asociate strii plane de tensiune. Se presupune c cele dou dimensiuni n plan ale structurii sunt cu mult mai mari dect a treia (grosimea elementului). n cazul general, elementul finit poate avea grosimi diferite n cele trei noduri. n implementarea de fa se presupune c elementul are grosimea constant:

tttt kji === .

Pentru fiecare nod al elementului se consider cte dou grade de libertate ( )v,u , deplasare de tip translaie, pe direciile x , respectiv y ale sistemului de coordonate global. La nivelul elementului se asociaz vectorul deplasrilor nodale care are ase componente:

{ } { }kkjjiiT vuvuvud = . (5.3)

uj

ui

u(x,y)

uk

y

x

vj

vi

vk

i

i k

k

P

j

j

P

v(x,y)

Vectorul tensiunilor are trei componente:

{ } { }xyyxT = , (5.4) iar vectorul deformaiilor specifice este:

{ } { }xyyxT = . (5.5) ntre tensiuni i deformaii exist relaia de proporionalitate definit prin matricea constitutiv:

{ } [ ] { }= D . Matricea de rigiditate a elementului triunghiular stare plan de tensiune se calculeaz cu relaia:

tk

tj

ti

Nod i

Nod j

Nod k

Suprafaa median


112

[ ] [ ] [ ] [ ] =V

TdVBDBK , (5.6)

care prin nlocuire devine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] AtBDBdAtBDBK TA

T == . (5.7)

n relaia (5.7) s-au definit urmtorii parametrii:

1. Matricea constitutiv, care n cazul unui corp izotrop aflat n stare plan de tensiune este:

[ ]

=

2

100

01

01

1

ED

2; (5.8)

2. Matricea de legtur [ ]B ntre deplasri i deformaii:

[ ]

=

jiijikkikjjk

ijkijk

jiikkj

yyxxyyxxyyxx

xx0xx0xx0

0yy0yy0yy

A2

1B ; (5.9)

3. Aria elementului finit A , care se calculeaz cu relaia:

kk

jj

ii

yx1

yx1

yx1

2

1A = . (5.10)

Observaii:

Dup cum se poate observa din relaia (5.7), expresia matricei de rigiditate este formulat n raport cu sistemul de coordonate global. Mrimile care influeneaz valorile matricei de rigiditate se pot grupa n:

1. mrimi de modelare geometric, care sunt aria i coordonatele nodurilor elementului finit. Aria elementului finit se calculeaz deasemenea n funcie de coordonatele nodurilor elementului finit;

2. mrimi caracteristice seciunii elementului, care sunt reprezentate de grosimea elementului t.;

3. mrimi caracteristice materialului, reprezentate de modulul de elasticitate longitudinal Ex i coeficientul lui Poisson xy. n cazul n care se iau n considerare i ncrcri termice este necesar s se defineasc i coeficientul de dilatare termic liniar x. Dac structura este solicitat i cu ncrcri de tip corp (acceleraii liniare, greutate proprie) trebuie definit i densitatea sau greutatea specific a materialului.

5.2.3 Program MATLAB pentru calculul strii plane de tensiune modelate cu elemente TRIANGSPT

5.2.3.a Programul principal

Programul principal de calcul pentru o structur aflat n stare plan de tensiune este prezentat n listingul urmtor. Specific programului de calcul a structurilor aflate n stare plan de tensiune, modelate cu elemente triunghiulare sunt urmtoarele componente:

1. apelul subrutinei TriangSPT, n care se calculeaz matricea de rigiditate a elementului finit triunghiular stare plan de tensiune;


113

2. apelul subrutinei CompTens_TriangSPT, pentru calculul deformaiilor specifice, tensiunilor normale yx , i a tensiunilor tangeniale xy .

Pentru elementul finit triunghiular stare plan de tensiune se adopt n programul MATLAB identificatorul 9)1,ielem(elem = .

% ************************************************ % program principal analiza cu elemente finite % ************************************************ % % notatii generale: % - nrnd = numar noduri structura % - nrel = numar elemente structura % - nnod = numar noduri element finit % - ndof = numar grade de libertate nodala % - elem = matricea de definire a unui element finit ielem % structura unei linii a matricei de definirea a % elementului finit este: % - elem(ielem,1) = tipul elementului finit % - elem(ielem,2...nnod+1) = nodurile elementului finit % - elem(ielem,nnod+2) = identificatorul proprietatii sectionale % - elem(ielem,nnod+3) = identificatorul proprietatii de material % - kdim = numar grade de libertate pe element % - id = matricea gradelor de libertate nodala a structurii % - loadmat = matricea incarcarilor nodale % - kelem = matricea de rigiditate a unui element % - ksys = matricea de rigiditate a structurii % - v = vectorul incarcarilor structurii % - dep = vectorul deplasarilor nodale % - depmat = matricea deplasarilor nodale % % initializeaza problema clear all % citeste datele structurii inittriangspt % prelucreaza matricea gradelor de libertate nodala id prelid % prelucreaza matricea incarcarii loadmat % i genereaza vectorul incarcarilor nodale v prelload % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % n funcie de tipul elementului finit switch elemID % genereaza matricea de rigiditate a elementului finit case 9 % pentru elementul triunghiular stare plana de tensiune triangspt end % i asambleaza n matricea de rigiditate a structurii asamb end % calculeaza vectorul deplasarilor nodale dep=ksys\v


114

% prelucreaza vectorul deplasarilor nodale % i genereaza matricea deplasarilor nodale preldep % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % n funcie de tipul elementului finit switch elemID % calculeaza deformatiile specifice, tensiunile case 9 % pentru elementul triunghiular stare plana de tensiune comptens_triangspt end end

5.2.3.b Calculul matricei de rigiditate

n prima parte a subrutinei de calcul a matricei de rigiditate a elementului curent ielem, sunt identificate nodurile elementului finit, n variabilele nod1, nod2, nod3. Caracteristicile secionale sunt reprezentate de grosimea elementului, care se presupune constant pe toat suprafaa. Identificatorul proprietii secionale propid face referin ctre grosimea curent, memorat n variabila tcrt, extras din vectorul grosimilor nodale tvect.

Din punct de vedere al caracteristicilor de material, modulul de elasticitate longitudinal i coeficientul lui Poisson sunt memorate n variabilele ex i nuxy extrase cu ajutorul identificatorului de material matid din vectorii exvect, respectiv nuxyvect.

Geometria elementului finit este descris de coordonatele nodale memorate n variabilele x1, x2, x3 i y1, y2, y3. Aria este memorat n variabila arie i este calculat cu ajutorul funciei determinant det.

Matricea de rigiditate a elementului finit este calculat n variabila kelem, cu relaia (5.7). Pentru calculul matricei se calculeaz mai nti matricea de transformare [ ]B n variabila matb i matricea constitutiv [ ]D n variabila matd.

% ************************************************ % procedura TriangSPT % calcul matrice de rigiditate pentru elementului % triunghiular stare plana de tensiune % ************************************************ % % extrage nodurile elementului finit nod1=elem(ielem,2); nod2=elem(ielem,3); nod3=elem(ielem,4); % extrage identificatorul de grosime al elementului finit propid=elem(ielem,5); % extrage proprietatea sectionala (grosimea) elementului TRIANGSPT tcrt=tvect(propid); % extrage identificatorul de material al elementului finit matid=elem(ielem,6); % extrage caracteristicile de material ale elementului finit % vectorul modulelelor de elasticitate longitudinala a structurii ex=exvect(matid); % vectorul coeficientilor Poisson nuxy=nuxyvect(matid); % identifica coordonatele nodurilor structurii


115

% pentru primul nod x1=x(nod1); y1=y(nod1); % pentru al doilea nod al elementului finit x2=x(nod2); y2=y(nod2); % i pentru al treilea nod ajutator al elementului finit x3=x(nod3); y3=y(nod3); % Calculeaza aria elementului finit arie=abs(0.5*det([x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1])); % % Calculeaza matricea de legatura B matb=0.5/arie*[y2-y3 0 y3-y1 0 y1-y2 0 0 x3-x2 0 x1-x3 0 x2-x1 x3-x2 y2-y3 x1-x3 y3-y1 x2-x1 y1-y2]; % % Calculeaza matricea constitutiva D matd=ex/(1-nuxy*nuxy)*[1 nuxy 0 nuxy 1 0 0 0 (1-nuxy)/2]; % % Calculeaz matricea de rigiditate kelem=arie*tcrt*matb'*matd*matb;

5.2.3.c Calculul deformaiilor specifice i tensiunilor

Deformaiile specifice se calculeaz cu relaia de legtur dintre deformaii i tensiuni { } [ ] { }dB = , care prin nlocuire n funcie de variabilele definite n program devine:

{ } [ ] { }dmatbdefnod = . (5.11) Pentru a implementa relaia (5.11) este apelat mai nti subrutina de calcul a matricei de rigiditate triangspt, n care este calculat i matricea matb. n continuare se extrag n vectorul d deplasrile nodale asociate elementului curent, ielem.

Deformaiile specifice asociate elementului ielem se memoreaz n coloana ielem a matricei tensnod i se calculeaz cu relaia (5.11). Tensiunile sunt calculate cu relaia

{ } [ ] { }= D , care se rescrie cu ajutorul variabilelor din program:

{ } [ ] { }defnodmatdtensnod = . (5.12) % ************************************************ % procedura CompTensTriangSPT % calcul tensiuni, deformatii specifice pentru % elementul triunghiular stare plana de tensiune % ************************************************ % % % notatii n corpul procedurii: % - defnod = vectorul deformatiilor specifice % - tensnod = vectorul tensiunilor nodale % % recalculeaza matricea de rigiditate a elementului finit bara spatiala dublu incastrata % pentru elementul curent ielem


116

triangspt % % genereaza vectorul deplasarilor nodale % pentru elementul finit curent d(1,1)=depmat(nod1,1); d(2,1)=depmat(nod1,2); d(3,1)=depmat(nod2,1); d(4,1)=depmat(nod2,2); d(5,1)=depmat(nod3,1); d(6,1)=depmat(nod3,2); % % calculeaza vectorul fortelor nodale defnod(:,ielem)=matb*d; % % calculeaza vectorul eforturilor nodale tensnod(:,ielem)=matd*defnod(:,ielem);

5.2.4. Testarea elementului finit TRIANGSPT

Exemplul 5.1

Se cere s se calculeze deplasrile i tensiunile care se dezvolt ntr-o plac plan rectangular cu latura de 200 mm, ncrcat cu un sistem de dou fore de sensuri contrare, ca n figura alturat. Se consider placa ncastrat pe fa opus celei ncrcate. Grosimea plcii se presupune constant t=1.2 mm, iar materialul izotrop cu modulul de elasticitate longitudinal Ex=2E5 i coeficientul lui lui Poisson xy=0.3.

x

1

1

6

2

5

3

100

100

100

100

8

4

77

4

2

8

5

3

9

6

y

Fx=-100 N

Fx=100 N

Placa a fost discretizat n opt elemente finite ca n figura alturat. Problema a fost definit n subrutina urmtoare:

% ************************************************ % procedura InitTriangSPT % initializare problema de test pentru elementul % triunghiular stare plana de tensiune % ************************************************ % % definire caracteristici element finit % numar noduri pe element finit nnod=3; % numar grade de libertate nodala


117

ndof=2; % calculeaza dimensiunea matricei de rigiditate kdim=nnod*ndof; % definire numar noduri structura nrnd=9; % definire numar elemente structura nrel=8; % definire coordonate nodale % coordonatele x ale nodurilor structurii x=[0 100 200 0 100 200 0 100 200]; % coordonatele y ale nodurilor structurii y=[100 100 100 200 200 200 0 0 0]; % matricea gradelor de libertate nodala id=[0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0]; % matricea de definire a elementelor din structura elem=[9 1 2 4 1 1 9 4 2 5 1 1 9 2 3 5 1 1 9 5 3 6 1 1 9 7 8 2 1 1 9 7 2 1 1 1 9 8 9 3 1 1 9 8 3 2 1 1]; % matricea incarcarilor nodale loadmat=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -100 0 0 0 0 0 100 0]; % vectorul carateristilor de material % modul de elasticitate lonitudinala Ex exvect=[2E5]; nuxyvect=[0.3]; % vectorul grosimilor sectionale tvect=[1.2];

Prin rularea programului MATLAB, deplasrile nodale sunt:

Nod Ux Uy 1 2.8601e-020 8.9025e-005

2 3.8612e-020 3.4338e-004

3 1.1797e-019 1.3134e-003

4 0 0

5 -6.9998e-004 4.4563e-004

6 -1.4606e-003 1.6362e-003


118

7 0 0

8 6.9998e-004 4.4563e-004

9 1.4606e-003 1.6362e-003

iar tensiunile constante pe toat suprafaa elementului finite sunt:

Element 1 2 3 4

Sxx -5.8698e-002 -1.4710e+000 6.7415e-002 -1.4589e+000

Syy -1.9566e-001 -2.3681e-001 2.2472e-001 2.0775e-001

Sxy 1.9566e-001 -1.9566e-001 2.0775e-001 -2.0775e-001

Element 5 6 7 8

Sxx 1.4710e+000 5.8698e-002 1.4589e+000 -6.7415e-002

Syy 2.3681e-001 1.9566e-001 -2.0775e-001 -2.2472e-001

Sxy -1.9566e-001 1.9566e-001 -2.0775e-001 2.0775e-001

x

1

1

6

2

5

3

8

4

7

7

4

2

8

5

x

x

x

x

x

x

x

x

y y

y

y

yy

y

y

3

9

6

y

Analiza efectuat cu programul scris in MATLAB este comparat cu rezultatele determinate prin rularea programului NISA II. n continuare este prezentat listingul cu rezultatele din fiierul de rezultate NISA.

Se observ c rezultatele obinute prin rularea programului MATLAB coincid cu cele obinute prin rularea programului NISA.

Meto

da e

lem

ente

lor

finite -

analiz

a s

tatic

lin

iar

E

lem

ente

fin

ite b

idim

ensi

onale

119

E L E M E N T S T R E S S C A L C U L A T I O N

ELEMENT 1 -----------------GLOBAL STRESSES------------------

NODE POINT SXX SYY SXY

1 -5.869752E-02 -1.956584E-01 1.956584E-01

2 -5.869752E-02 -1.956584E-01 1.956584E-01

4 -5.869752E-02 -1.956584E-01 1.956584E-01



4 -1.471008E+00 -2.368100E-01 -1.956584E-01

2 -1.471008E+00 -2.368100E-01 -1.956584E-01

5 -1.471008E+00 -2.368100E-01 -1.956584E-01



2 6.741510E-02 2.247170E-01 2.077514E-01

3 6.741510E-02 2.247170E-01 2.077514E-01

5 6.741510E-02 2.247170E-01 2.077514E-01



5 -1.458915E+00 2.077514E-01 -2.077514E-01

3 -1.458915E+00 2.077514E-01 -2.077514E-01

6 -1.458915E+00 2.077514E-01 -2.077514E-01



7 1.471008E+00 2.368100E-01 -1.956584E-01

8 1.471008E+00 2.368100E-01 -1.956584E-01

2 1.471008E+00 2.368100E-01 -1.956584E-01



7 5.869752E-02 1.956584E-01 1.956584E-01

2 5.869752E-02 1.956584E-01 1.956584E-01

1 5.869752E-02 1.956584E-01 1.956584E-01

Meto

da e

lem

ente

lor

finite -

analiz

a s

tatic

lin

iar

E

lem

ente

fin

ite b

idim

ensi

onale

120



8 1.458915E+00 -2.077514E-01 -2.077514E-01

9 1.458915E+00 -2.077514E-01 -2.077514E-01

3 1.458915E+00 -2.077514E-01 -2.077514E-01



8 -6.741510E-02 -2.247170E-01 2.077514E-01

3 -6.741510E-02 -2.247170E-01 2.077514E-01

2 -6.741510E-02 -2.247170E-01 2.077514E-01

****** DISPLACEMENT SOLUTION ******

LOAD CASE ID NO. 1

NODE UX UY UZ ROTX ROTY ROTZ

1 -5.47475E-20 8.90246E-05 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

2 -7.39091E-20 3.43380E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

3 -1.30560E-19 1.31344E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

4 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

5 -6.99983E-04 4.45627E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

6 -1.46060E-03 1.63615E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

7 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

8 6.99983E-04 4.45627E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

9 1.46060E-03 1.63615E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00


121

5.3 Elementul triunghiular stare plan de deformaie TRIANGSPD

5.3.1 Introducere

n unele probleme practice de analiz a unor structuri cum ar fi un baraj solicitat de presiunea apei, un tunel aflat sub aciunea presiunii exterioare, o conduct cu perei groi aflat sub presiune interioar, se dezvolt deformaii semnificative numai n plan. Ca urmare, deformaiile dup o direcie sunt mult mai mici dect deformaiile dup alte dou direcii ortogonale. Dac aceast deformaie este foarte mic, poate fi neglijat iar corpul este supus unei stri plane de deformaie.

Dac considerm c deformaiile sunt neglijabile dup direcia axei z, matricea deformaiilor specifice n spaiu:

zyzxz

yzyxy

xzxyx

,

capt prin eliminarea tuturor componentelor care conin indicele z, forma mai simpl:

yxy

xyx . (5.13)

Structura aflat n stare plan de deformaie preia numai ncrcri coninute n plan, iar n structur se dezvolt numai tensiuni asociate strii plane de deformaie. Se presupune c cele dou dimensiuni n plan ale structurii sunt cu mult mai mici dect a treia (lungimea structurii).

x

x

z

z

xxy

yx

y

y

O

y

z

5.3.2. Descrierea elementului finit TRIANGSPD

Vectorul deformaiilor specifice decurge din matricea (5.13) i este:

{ } { }xyyxT = , (5.14) iar vectorul tensiunilor are componentele:

xx

xy

xy

yx

yx

x

y

y

O

y


122

{ } { }xyyxT = . (5.15) Specific structurii aflate n stare plan de deformaie este apariia tensiunilor normale la plan z , care se calculeaz n funcie de celelalte componente ale vectorului (5.15) cu relaia:

( )yxz += . (5.16) Pentru fiecare nod al elementului se consider cte dou grade de libertate { }Tvu , deplasare de tip translaie pe direciile x , respectiv y ale sistemului de coordonate global. La nivelul elementului se asociaz vectorul deplasrilor nodale care are ase componente:

{ }kkjjiiT vuvuvud = . (5.17)

uj

ui

u(x,y)

uk

y

x

vj

vi

vk

i

i k

k

P

j

j

P

v(x,y)

Matricea de rigiditate a elementului triunghiular stare plan de deformaie se calculeaz ca i n cazul elementului stare plan de tensiune, cu relaia:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ABDBdABDBK TA

T == . (5.18)

n relaia (5.18) s-au definit urmtorii parametrii:

1. Matricea constitutiv care n cazul unui corp izotrop aflat n stare plan de deformaie este:

[ ]( ) ( )

+

=

2

2100

01

01

211

ED ; (5.19)

2. Matricea de legtur [ ]B ntre deplasri i deformaii:

[ ]

=

jiijikkikjjk

ijkijk

jiikkj

yyxxyyxxyyxx

xx0xx0xx0

0yy0yy0yy

A2

1B ; (5.20)

3. Aria elementului finit A , care se calculeaz cu relaia:

kk

jj

ii

yx1

yx1

yx1

2

1A = . (5.21)


123

Observaii:

Dup cum se poate observa din relaia (5.18), expresia matricei de rigiditate este formulat n raport cu sistemul de coordonate global. Mrimile care influeneaz valorile matricei de rigiditate se pot grupa n:

1. mrimi de modelare geometric, care sunt aria i coordonatele nodurilor elementului finit. Aria elementului finit se calculeaz n funcie de coordonatele nodurilor elementului finit;

2. mrimi caracteristice materialului, reprezentate prin modulul de elasticitate longitudinal Ex i coeficientul lui Poisson xy. n cazul n care se iau n considerare i ncrcri termice este necesar s se defineasc i coeficientul de dilatare termic liniar x. Dac structura este solicitat i cu ncrcri de tip corp (acceleraii liniare, greutate proprie) trebuie definit i densitatea sau greutatea specific a materialului.

5.3.3 Program MATLAB pentru calculul strii plane de tensiune modelate cu elemente TRIANGSPD


Programul principal de calcul pentru o structur aflat n stare plan de deformai este prezentat n listingul urmtor. Specific programului de calcul a structurilor aflate n stare plan de deformaie, modelate cu elemente triunghiulare sunt urmtoarele componente:

1. apelul subrutinei Triang, n care se calculeaz matricea de rigiditate a elementului finit triunghiular stare plan de tensiune sau stare plan de deformaie;

2. apelul subrutinei CompTens_Triang pentru calculul deformaiilor specifice x , tensiunilor normale yx , a tensiunilor tangeniale xy , i a tensiunilor normale z pentru elementul

stare plan de deformaie.

Pentru elementul finit triunghiular stare plan de deformaie se adopt n programul MATLAB identificatorul 10)1,ielem(elem = . Se observ c n acest program este apelat o nou subrutin Triang care calculeaz att matricea de rigiditate a elementului stare plan de tensiune, ct i stare plan de deformaie. Descrierea subrutinei face obiectul paragrafului urmtor.

% ************************************************ % program principal analiza cu elemente finite % ************************************************ % % notatii generale: % - nrnd = numar noduri structura % - nrel = numar elemente structura % - nnod = numar noduri element finit % - ndof = numar grade de libertate nodala % - elem = matricea de definire a unui element finit ielem % structura unei linii a matricei de definirea a % elementului finit este: % - elem(ielem,1) = tipul elementului finit % - elem(ielem,2...nnod+1) = nodurile elementului finit % - elem(ielem,nnod+2) = identificatorul proprietatii sectionale % - elem(ielem,nnod+3) = identificatorul proprietatii de material % - kdim = numar grade de libertate pe element % - id = matricea gradelor de libertate nodala a structurii % - loadmat = matricea incarcarilor nodale % - kelem = matricea de rigiditate a unui element % - ksys = matricea de rigiditate a structurii % - v = vectorul incarcarilor structurii


124

% - dep = vectorul deplasarilor nodale % - depmat = matricea deplasarilor nodale % % initializeaza problema clear all % citeste datele structurii inittriangspd % prelucreaza matricea gradelor de libertate nodala id prelid % prelucreaza matricea incarcarii loadmat % si genereaza vectorul incarcarilor nodale v prelload % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % in functie de tipul elementului finit switch elemID % genereaza matricea de rigiditate a elementului finit case {9,10} % pentru elementul triunghiular stare plana de tensiune % sau stare plana de deformatie triang end % si asambleaza in matricea de rigiditate a structurii asamb end % calculeaza vectorul deplasarilor nodale dep=ksys\v; % % prelucreaza vectorul deplasarilor nodale % si genereaza matricea deplasarilor nodale preldep % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % in functie de tipul elementului finit switch elemID % calculeaza deformatiile specifice, tensiunile case {9, 10} % pentru elementul triunghiular stare plana de tensiune % si % pentru elementul triunghiular stare plana de deformatie comptens_triang end end


n prima parte a subrutinei de calcul a matricei de rigiditate a elementului curent ielem, sunt identificate nodurile elementului finit n variabilele nod1, nod2, nod3. Din punct de vedere al caracteristicilor de material, modulul de elasticitate longitudinal i coeficientul lui Poisson sunt memorate n variabilele ex i nuxy extrase cu ajutorul identificatorului de material matid din vectorii exvect i nuxyvect.


125

Geometria elementului finit este descris de coordonatele nodale memorate n variabilele x1, x2, x3 i y1, y2, y3. Aria este memorat n variabila arie i este calculat cu ajutorul funciei determinant det.

Matricea de rigiditate a elementului finit este calculat n variabila kelem, cu relaia (5.18). Pentru calculul matricei se calculeaz mai nti matricea de transformare [ ]B n variabila matb i matricea constitutiv [ ]D n variabila matd. n corpul procedurii este identificat tipul elementului finit cu ajutorul variabilei elemID. n funcie de valoarea acestui identificator este calculat matricea constitutiv [ ]D . n cazul elementului stare plan de deformaie, se iniializeaz grosimea elementului cu o valoare unitar.

% ************************************************ % procedura Triang % calcul matrice de rigiditate pentru elementului % triunghiular stare plana de deformatie % ************************************************ % % extrage nodurile elementului finit nod1=elem(ielem,2); nod2=elem(ielem,3); nod3=elem(ielem,4); % % extrage identificatorul de material al elementului finit matid=elem(ielem,6); % extrage caracteristicile de material ale elementului finit % vectorul modulelelor de elasticitate longitudinala a structurii ex=exvect(matid); % vectorul coeficientilor Poisson nuxy=nuxyvect(matid); % % identifica coordonatele nodurilor structurii % pentru primul nod x1=x(nod1); y1=y(nod1); % pentru al doilea nod al elementului finit x2=x(nod2); y2=y(nod2); % si pentru al treilea nod ajutator al elementului finit x3=x(nod3); y3=y(nod3); % % Calculeaza aria elementului finit Arie arie=abs(0.5*det([x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1])); % % Calculeaza matricea de legatura B matb=0.5/arie*[y2-y3 0 y3-y1 0 y1-y2 0 0 x3-x2 0 x1-x3 0 x2-x1 x3-x2 y2-y3 x1-x3 y3-y1 x2-x1 y1-y2]; % % identifica tipul elementului finit elemID=elem(ielem,1) % in functie de tipul elementului finit switch elemID case 9


126

% pentru elementul triunghiular stare plana de tensiune % Calculeaza matricea constitutiva D matd=ex/(1-nuxy*nuxy)*[1 nuxy 0 nuxy 1 0 0 0 (1-nuxy)/2]; % % extrage identificatorul de sectiune al elementului finit propid=elem(ielem,5); % extrage proprietatea sectional a elementului TRIANGSPT tcrt=tvect(propid); case 10 % pentru elementul triunghiular stare plana de deformatie % Calculeaza matricea constitutiva D matd=ex/(1+nuxy)/(1-2*nuxy)*[(1-nuxy) nuxy 0 nuxy (1-nuxy) 0 0 0 (1-2*nuxy)/2]; % considera grosimea elementului unitara tcrt=1; end % % Calcul matrice de rigiditate kelem=arie*tcrt*matb'*matd*matb;


Calculul deformaiilor specifice i tensiunilor se face ntr-o subrutin comun elementelor finite stare plan de tensiune i stare plan de deformaie.

n prima parte a subrutine sunt extrase deplasrile nodale n vectorul d. Matricea constitutiv matD i matricea de legtur matB sunt calculate prin apelul subrutinei Triang. Identificarea tipului de element finit se face automat n subrutina Triang, n funcie de variabila elemID.

Deformaiile specifice sunt calculate cu relaia (5.11), iar tensiunile cu ajutorul relaiei (5.12).

% ************************************************ % procedura CompTensTriang % calcul tensiuni, deformatii specifice pentru % elementul triunghiular stare plana de tensiune % si pentru % elementul triunghiular stare plana de deformatie % ************************************************ % % % notatii in corpul procedurii: % - defnod = vectorul deformatiilor specifice % - tensnod = vectorul tensiunilor nodale % % recalculeaza matricea de rigiditate a elementului finit % pentru elementul curent ielem triang % % genereaza vectorul deplasarilor nodale % pentru elementul finit curent d(1,1)=depmat(nod1,1); d(2,1)=depmat(nod1,2); d(3,1)=depmat(nod2,1); d(4,1)=depmat(nod2,2); d(5,1)=depmat(nod3,1); d(6,1)=depmat(nod3,2);


127

% % calculeaza vectorul fortelor nodale defnod(:,ielem)=matb*d; % % calculeaza vectorul eforturilor nodale tensnod(:,ielem)=matd*defnod(:,ielem);

5.3.4. Testarea elementului finit TRIANGSPD

Exemplul 5.2

Se cere s se calculeze deplasrile i tensiunile care se dezvolt ntr-o seciune ca n figura alturat. Se consider partea inferioar a seciunii ncastrat. Materialul este izotrop cu modulul de elasticitate longitudinal Ex=2E5 Mpa i coeficientul lui lui Poisson xy=0.3. Structura este ncrcat cu un sistem de fore concentrate, ca n figura alturat.

Se poate considera c o seciune curent din structura se afl n stare plan de deformaie.


128

Domeniul a fost discretizat n 24 de elemente finite ca n figura alturat. Problema a fost definit n subrutina urmtoare:

% ************************************************ % procedura InitTriangSPD % initializare problema de test pentru elementul % triunghiular stare plana de deformatie % ************************************************ % % definire caracteristici element finit % numar noduri pe element finit nnod=3; % numar grade de libertate nodala ndof=2; % calculeaza dimensiunea matricei de rigiditate kdim=nnod*ndof; % definire numar noduri structura nrnd=20; % definire numar elemente structura nrel=24; % definire coordonate nodale % coordonatele x ale nodurilor structurii x=[0 33.333 66.666 100 0 29.661 58.333 87.500 0 25 50 75 0 25 50 75 0 25 50 75]; % coordonatele y ale nodurilor structurii y=[0 0 0 0 25 25 25 25 50 50 50 50 75 75 75 75 100 100 100 100]; % matricea gradelor de libertate nodala id=[1 1 1 1

F=1 kN

F=2 kN

F=2 kN

F=2 kN


129

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; % matricea de definire a elementelor din structura elem=[10 1 2 6 1 1 10 1 6 5 1 1 10 2 3 7 1 1 10 2 7 6 1 1 10 3 4 8 1 1 10 3 8 7 1 1 10 5 6 10 1 1 10 5 10 9 1 1 10 6 7 11 1 1 10 6 11 10 1 1 10 7 8 12 1 1 10 7 12 11 1 1 10 9 10 14 1 1 10 9 14 13 1 1 10 10 11 15 1 1 10 10 15 14 1 1 10 11 12 16 1 1 10 11 16 15 1 1 10 13 14 18 1 1 10 13 18 17 1 1 10 14 15 19 1 1 10 14 19 18 1 1 10 15 16 20 1 1 10 15 20 19 1 1]; % matricea incarcarilor nodale loadmat=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2000 0 0 0 0 0 0 0 -2000 0


130

0 0 0 0 0 0 -2000 0 0 0 0 0 0 0 -1000 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; % vectorul carateristilor de material % modul de elasticitate lonitudinala Ex exvect=[2E5]; nuxyvect=[0.3];

Prin rularea programului MATLAB, deplasrile nodale calculate cu programul scris in Matlab sunt:

Nod Ux Uy

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 -3.042517644802330e-002 -2.003149955465151e-002

6 -2.526825534017322e-002 -4.075639853009105e-003

7 -2.718360870764800e-002 4.671736283616871e-003

8 -3.528877885226461e-002 1.473108403983271e-002

9 -6.126130317343589e-002 -3.177922265238821e-002

10 -5.881673728671567e-002 -1.109664229858254e-002

11 -6.068392869870890e-002 4.899120628483079e-003

12 -6.807107646626623e-002 2.435363885459231e-002

13 -9.236006153558446e-002 -3.598366787460539e-002

14 -9.224819492261167e-002 -1.246951835694960e-002

15 -9.555874213382652e-002 8.067871082496663e-003

16 -1.028619049190208e-001 3.238559957534495e-002

17 -1.195069030880157e-001 -3.652009968561536e-002

18 -1.200433348990257e-001 -1.205541718823394e-002

19 -1.236433110097571e-001 1.072410766750194e-002

20 -1.310923504052282e-001 3.624733760776251e-002

Analiza efectuat cu programul scris in MATLAB este comparat cu rezultatele determinate prin rularea programului NISA II. n continuare este prezentat listingul cu rezultatele din fiierul de rezultate NISA.

Se observ c rezultatele obinute prin rularea programului MATLAB coincid cu cele obinute prin rularea programului NISA.

Meto

da e

lem

ente

lor

finite -

analiz

a s

tatic

lin

iar

E

lem

ente

fin

ite b

idim

ensi

onale

131


NODE UX UY UZ ROTX ROTY ROTZ

1 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

2 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

3 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

4 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

5 -3.04316E-02 -2.01838E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

6 -2.52925E-02 -4.23534E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

7 -2.72261E-02 4.69658E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

8 -3.53270E-02 1.47417E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

9 -6.13320E-02 -3.18570E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

10 -5.88945E-02 -1.10568E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

11 -6.07315E-02 4.88635E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

12 -6.81128E-02 2.43722E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

13 -9.24541E-02 -3.60330E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

14 -9.23441E-02 -1.24593E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

15 -9.56389E-02 8.06181E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

16 -1.02942E-01 3.24033E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

17 -1.19627E-01 -3.65653E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

18 -1.20159E-01 -1.20544E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

19 -1.23745E-01 1.07187E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

20 -1.31195E-01 3.62647E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00


5 - 132

5.4 Elementul triunghiular axial simetric TRIANGAXIAL

5.4.1. Introducere

Elementul axial simetric bidimensional este un exemplu de particularizare a teoriei elasticitii n spaiu n sensul reducerii la un domeniu bidimensional. Se consider o seciune triunghiular axial simetric ca n figura de mai jos. Seciunii se asociaz un element finit cu nodurile 1, 2, 3.

u1

u2

u3

y=z

Axa de revoluie

Direcia radialx=r

w1

w2

w3

2

3

3

2P

1

1

w(x,y)

u(x,y)

Convenional se noteaz axa x a reperului local ca fiind direcia radial, iar axa y a reperului local ca fiind axa de revoluie (direcia axial). n cazul problemelor axial simetrice se consider c deplasrile dup direcia radial i axial sunt diferite de zero, iar deplasrile dup direcia tangenial sunt identic nule.

5.4.2. Descriere element finit TRIANGAXIAL

Spre deosebire de starea plan de tensiune i deformaie, n cazul elementului finit bidimensional axial simetric vectorul deformaiilor specifice are patru componente:

{ } { }ryyrT = . (5.22) Vectorul tensiunilor are componentele:

{ } { }ryyrT = . (5.23)

x=rDirecia radial

Direcia tangenial

Axa

de

re

volu

ie

r

r

ry

ry

y

y

O

y

z


5 - 133

Deplasrile se exprim prin vectorul funciilor deplasare ( ) ( ){ }y,rvy,ru , n funcie de vectorul deplasrilor nodale:

{ } { }332211T

vuvuvud = . (5.24)

Funciile deplasare sunt exprimate n funcie de deplasrile nodale cu ajutorul funciilor de interpolare ( ) 3,2,1k,y,rL k = cu relaia matriceal:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

{ }dy,rLy,rLy,rL000

000y,rLy,rLy,rL

y,rv

y,ru

321

321

=

, (5.25)

n care funciile de interpolare ( ) 3,2,1k,y,rLk = se exprim ca i n cazul elementelor stare plan de tensiune i stare plan de deformaie cu relaiile:

( ) ( ) 3,2,1k,ycrbaA2

1y,rL kkkk =++

= . (5.26)

Coeficienii 3,2,1k,c,b,a kkk = sunt calculai ca i n cazurile deja prezentate, cu relaiile:

=

=

=

=

=

=

=

=

=

213

132

321

213

132

321

12213

31132

23321

rrc

rrc

rrc

,

yyb

yyb

yyb

,

yryra

yryra

yryra

. (5.27)

Aria elementului finit A , care se calculeaz tot cu o relaie de forma:

33

22

11

yr1

yr1

yr1

2

1A = . (5.28)

Relaiile dintre deformaii i deplasri sunt:

r

v

y

u,

y

v,

r

u,

r

uryyr

+

=

==

= . (5.29)

Prin efectuarea calculelor se obine relaia de legtur dintre deformaii i deplasri cu ajutorul matricei [ ]B :

[ ]

=

332211

321

321

321

bcbcbc

c0c0c0

0r

LA20

r

LA20

r

LA2

0b0b0b

A2

1B , (5.30)

n care cotele curente ( )z,r se calculeaz pentru fiecare element finit cu relaiile aproximative:

( )

( )

++=

++=

,yyy3

1y

,rrr3

1r

321

321

, (5.31)

inclusiv funciile de interpolare:

( ) ( ) 3,2,1k,ycrbaA2

1y,rL kkkk =++

= . (5.32)

Matricea constitutiv [ ]D se calculeaz cu relaia:


5 - 134

[ ]( ) ( )

+

=

2

21000

01

01

01

211

ED . (5.33)

Matricea de rigiditate se va calcula cu relaia:

[ ] [ ] [ ] [ ] =V

TdVBDBK , (5.34)

n care elementul de volum dV se calculeaz ca fiind:

dydrr2dV = . (5.35)

Prin nlocuire, dac se ine cont c AdydrA

= , se obine:

[ ] [ ] [ ] [ ] ABDBr2K T = . (5.36)

Observaii:

Dup cum se poate observa din relaia (5.36), expresia matricei de rigiditate este formulat n raport cu un sistem de coordonate n care axa x coincide cu direcia radial, iar axa y este axa de revoluie. Mrimile care influeneaz valorile matricei de rigiditate sunt:

1. mrimi de modelare geometric, care sunt coordonatele nodurilor elementului finit. Aria elementului finit se calculeaz n funcie de coordonatele nodurilor elementului finit;

2. mrimi caracteristice materialului, reprezentate prin modulul de elasticitate longitudinal Ex i coeficientul lui Poisson xy. n cazul n care se iau n considerare i ncrcri termice este necesar s se defineasc i coeficientul de dilatare termic liniar x. Dac structura este solicitat i cu ncrcri de tip corp (acceleraii liniare, greutate proprie) trebuie definit i densitatea sau greutatea specific a materialului.

5.4.3 Program MATLAB pentru calculul strii plane de tensiune modelate cu elemente TRIANGAXIAL


Programul principal de calcul pentru o structur axial simetric este prezentat n continuare. Specific programului de calcul a structurilor axial simetrice sunt urmtoarele componente:

1. apelul subrutinei TriangAxial n care se calculeaz matricea de rigiditate a elementului finit triunghiular axial simetric;

2. apelul subrutinei CompTens_TriangAxial pentru calculul deformaiilor specifice i tensiunilor.

Pentru elementul finit triunghiular stare plan de tensiune se adopt n programul MATLAB identificatorul 11)1,ielem(elem = .

% ************************************************ % program principal analiza cu elemente finite % ************************************************ % % notatii generale: % - nrnd = numar noduri structura % - nrel = numar elemente structura % - nnod = numar noduri element finit


5 - 135

% - ndof = numar grade de libertate nodala % - elem = matricea de definire a unui element finit ielem % structura unei linii a matricei de definirea a % elementului finit este: % - elem(ielem,1) = tipul elementului finit % - elem(ielem,2...nnod+1) = nodurile elementului finit % - elem(ielem,nnod+2) = identificatorul proprietatii sectionale % - elem(ielem,nnod+3) = identificatorul proprietatii de material % - kdim = numar grade de libertate pe element % - id = matricea gradelor de libertate nodala a structurii % - loadmat = matricea incarcarilor nodale % - kelem = matricea de rigiditate a unui element % - ksys = matricea de rigiditate a structurii % - v = vectorul incarcarilor structurii % - dep = vectorul deplasarilor nodale % - depmat = matricea deplasarilor nodale % % initializeaza problema clear all % citeste datele structurii inittriangaxial % prelucreaza matricea gradelor de libertate nodala id prelid % prelucreaza matricea incarcarii loadmat % si genereaza vectorul incarcarilor nodale v prelload % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % in functie de tipul elementului finit switch elemID % genereaza matricea de rigiditate a elementului finit case 11 % pentru elementul triunghiular axial simetric triangaxial end % si asambleaza in matricea de rigiditate a structurii asamb end % calculeaza vectorul deplasarilor nodale dep=ksys\v; % prelucreaza vectorul deplasarilor nodale % si genereaza matricea deplasarilor nodale preldep % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % in functie de tipul elementului finit switch elemID case 11 % pentru elementul triunghiular axial simetric comptens_triangaxial end end


5 - 136


Matricea de rigiditate este calculat folosind relaiile prezentate. n prima parte a subrutinei sunt identificate i memorate nodurile elementului finit n variabilele nod1, nod2, nod3. Caracteristicile de material sunt modulul de elasticitate longitudinal xE i coeficientul lui Poisson xy care sunt extrase n funcie de identificatorul de material matid, din vectorii exvect

i nuxyvect i memorate n variabilele ex i nuxy. Coordonatele nodurilor sunt memorate n variabilele r1, z1, r2, z2, r3, z3. Centrul de greutate al elementului finit are coordonatele rc, zc

calculate cu relaiile 3

z

zc,3

r

rc

3

1

k

3

1

k == .

Aria triunghiului este calculat n variabila arie, cu ajutorul funciei determinant

33

22

11

zr1

zr1

zr1

2

1arie = .

Pentru creterea vitezei de calcul este calculat i variabila temporar arie22arie = . Funciile de interpolare sunt calculate n variabilele n1, n2, n3. Pentru definirea matricei de legtur matb dintre deformaii i deplasri sunt calculate i variabilele temporare a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3. Matricea constitutiv este calculat n variabila matd. Matricea de rigiditate este calculat cu relaia de definiie n variabila kelem.

% ************************************************ % procedura TriangAxial % calcul matrice de rigiditate pentru elementului % triunghiular axial simetric % ************************************************ % % % extrage nodurile elementului finit nod1=elem(ielem,2); nod2=elem(ielem,3); nod3=elem(ielem,4); % extrage identificatorul de material pentru elementul finit matid=elem(ielem,6); % extrage caracteristicile de material ale elementului finit % vectorul modulelor de elasticitate longitudinala ex=exvect(matid); % vectorul coeficientilor Poisson nuxy=nuxyvect(matid); % identifica coordonatele nodurilor structurii % pentru primul nod r1=x(nod1); z1=y(nod1); % pentru al doilea nod al elementului finit r2=x(nod2); z2=y(nod2); % si pentru al treilea nod ajutator al elementului finit r3=x(nod3); z3=y(nod3); % % calculeaza coordonatele centrului de greutate al elementului finit rc=(r1+r2+r3)/3; zc=(z1+z2+z3)/3;


5 - 137

% % Calculeaza aria elementului finit arie=0.5*abs(det([1 r1 z1 1 r2 z2 1 r3 z3])); % si variabila temporara de lucru arie2=2*arie; % % calculeaza variabilele de lucru a1=r2*z3-r3*z2; a2=r3*z1-r1*z3; a3=r1*z2-r2*z1; b1=z2-z3; b2=z3-z1; b3=z1-z2; c1=r3-r2; c2=r1-r3; c3=r2-r1; % % calculeaza functiile de interpolare % amplificate cu dublul ariei elementului n1=(a1+b1*rc+c1*zc)/arie2; n2=(a2+b2*rc+c2*zc)/arie2; n3=(a3+b3*rc+c3*zc)/arie2; % % Calculeaza matricea de legatura B matb=1/arie2*[b1 0 b2 0 b3 0 arie2*n1/rc 0 arie2*n2/rc 0 arie2*n3/rc 0 0 c1 0 c2 0 c3 c1 b1 c2 b2 c3 b3]; % % pentru elementul triunghiular axial simetric % calculeaza matricea constitutiva D matd=ex/(1+nuxy)/(1-2*nuxy)*[1-nuxy nuxy nuxy 0 nuxy 1-nuxy nuxy 0 nuxy nuxy 1-nuxy 0 0 0 0 (1-2*nuxy)/2]; % Calcul matrice de rigiditate kelem=2*pi*rc*matb'*matd*matb*arie;


Deformaiile specifice sunt calculate cu relaia { } [ ] { }dB = , n care vectorul deplasrilor nodale este generat pentru fiecare element n parte ielem, prin extragere din matricea deplasrilor depmat. Matricea de legtur dintre deplasri i deformaii matb este calculat prin apelul subrutinei de calcula a matricei de rigiditate triangaxial.

Tensiunile sunt calculate cu relaia { } [ ] { }= D , n care , matricea constitutiv este calculat prin apelul subrutinei de calcul a matricei de rigiditate triangaxial.

% ************************************************ % procedura CompTensTriangAxial % calcul tensiuni, deformatii specifice pentru % elementul triunghiular axial simetric % ************************************************ % % % notatii in corpul procedurii:


5 - 138

% - defnod = vectorul deformatiilor specifice % - tensnod = vectorul tensiunilor nodale % % recalculeaza matricea de rigiditate a elementului finit % pentru elementul curent ielem triangaxial % % genereaza vectorul deplasarilor nodale % pentru elementul finit curent d(1,1)=depmat(nod1,1); d(2,1)=depmat(nod1,2); d(3,1)=depmat(nod2,1); d(4,1)=depmat(nod2,2); d(5,1)=depmat(nod3,1); d(6,1)=depmat(nod3,2); % % calculeaza vectorul deformatiilor specifice nodale defnod(:,ielem)=matb*d; % % calculeaza vectorul tensiunilor nodale tensnod(:,ielem)=matd*defnod(:,ielem);

5.4.4. Testarea elementului finit TRIANGAXIAL

Exemplul 5.3

S se calculeze deplasrile care se dezvolt n seciunile unui structuri axial simetrice:

r

1

5

2

6

1

7

20 20

20

20

20

4

8

3

7

4

2

8

5

3

9

6

y

Fx=10.000 N

Fx=10.000 N

Fx=20.000 N

Uy=0

Uy=0

Uy=0

Uy=0

Uy=0

Uy=0

Piesa este executat din oel, are deplasrile pe direcia axial blocate, i este ncrcat ca n figura alturat. Piesa este redus la seciune curent, discretizat cu elemente triunghiulare. Structura are 8 elemente i 9 noduri.

Datele problemei sunt prezentate n listingul alturat:

% ************************************************


5 - 139

% procedura InitTriangAxial % initializare problema de test pentru elementul % triunghiular axial simetric % ************************************************ % % definire caracteristici element finit % numar noduri pe element finit nnod=3; % numar grade de libertate nodala ndof=2; % calculeaza dimensiunea matricei de rigiditate kdim=nnod*ndof; % definire numar noduri structura nrnd=9; % definire numar elemente structura nrel=8; % definire coordonate nodale % coordonatele x ale nodurilor structurii x=[20 40 60 20 40 60 20 40 60]; % coordonatele y ale nodurilor structurii y=[0 0 0 20 20 20 40 40 40]; % matricea gradelor de libertate nodala id=[0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1]; % matricea de definire a elementelor din structura elem=[11 1 2 5 1 1 11 1 5 4 1 1 11 2 3 6 1 1 11 2 6 5 1 1 11 4 5 7 1 1 11 7 5 8 1 1 11 5 6 8 1 1 11 8 6 9 1 1]; % matricea incarcarilor nodale loadmat=[10000 0 0 0 0 0 20000 0 0 0 0 0 10000 0 0 0 0 0]; % vectorul carateristilor de material % modul de elasticitate lonitudinala Ex exvect=[2E5]; nuxyvect=[0.3];

Prin rularea programului MATLAB, deplasrile nodale sunt:


5 - 140

Nod Ux Uy 1 1.132551727590420e-003 0

2 6.973822346326157e-004 0

3 5.656733592032566e-004 0

4 1.264522156795245e-003 -1.009729735340404e-019

5 6.574624547378973e-004 -3.228541598662496e-020

6 5.092198369512509e-004 3.684540752635625e-020

7 1.132551727590419e-003 0

8 6.973822346326152e-004 0

9 5.656733592032561e-004 0

Analiza efectuat cu programul scris in Matlab este comparat cu rezultatele determinate prin rularea programului NISA II. n continuare este prezentat listingul cu rezultatele din fiierul de rezultate NISA.

Se observ c rezultatele obinute prin rularea programului MATLAB sunt foarte apropiate de cele obinute prin rularea programului NISA.


LOAD CASE ID NO. 1

NODE UX UY

1 1.04140E-03 0.00000E+00

2 6.48992E-04 0.00000E+00

3 5.29499E-04 0.00000E+00

4 1.18931E-03 6.14606E-19

5 6.30500E-04 1.03662E-19

6 4.89939E-04 -3.03079E-19

7 1.04140E-03 0.00000E+00

8 6.48992E-04 0.00000E+00

9 5.29499E-04 0.00000E+00


5 - 141

5 ................................................................................................................................................. 109

Elemente finite bidimensionale plane .......................................................................................... 109

5.1 Introducere ........................................................................................................................ 109

5.2 Elementul triunghiular stare plan de tensiune TRIANGSPT ............................................. 110

5.2.1 Introducere ..................................................................................................................... 110

5.2.2. Descrierea elementului finit TRIANGSPT ..................................................................... 111

5.2.3 Program MATLAB pentru calculul strii plane de tensiune modelate cu elemente

TRIANGSPT .......................................................................................................................... 112

5.2.3.a Programul principal ..................................................................................................... 112

5.2.3.b Calculul matricei de rigiditate ...................................................................................... 114

5.2.3.c Calculul deformaiilor specifice i tensiunilor .............................................................. 115

5.2.4. Testarea elementului finit TRIANGSPT ........................................................................ 116

5.3 Elementul triunghiular stare plan de deformaie TRIANGSPD ......................................... 121

5.3.1 Introducere ..................................................................................................................... 121

5.3.2. Descrierea elementului finit TRIANGSPD .................................................................... 121


TRIANGSPD .......................................................................................................................... 123




5.3.4. Testarea elementului finit TRIANGSPD ........................................................................ 127

5.4 Elementul triunghiular axial simetric TRIANGAXIAL ...................................................... 132

5.4.1. Introducere .................................................................................................................... 132

5.4.2. Descriere element finit TRIANGAXIAL ....................................................................... 132


TRIANGAXIAL ..................................................................................................................... 134




5.4.4. Testarea elementului finit TRIANGAXIAL ................................................................... 138

documents3

Documents