sĂ Știi mai multe, sĂ fii mai bun la matematicĂ · algebra clasa a xi-a p1: determinantul unei...

COLEGIUL NAȚIONAL “MIHAI VITEAZUL”

SF. GHEORGHE, COVASNA

SĂ ȘTII MAI MULTE,

SĂ FII MAI BUN

LA MATEMATICĂ

LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI a XI-a A,

PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.

PROF. COORDONATOR GH. COTFAS

APRILIE 2013

Algebra clasa a XI-a

P1: Determinantul unei matrici este egal cu determinantul matricei transpuse adică det det tA A

P2: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-un determinant sunt nule, atunci determinantul este nul. P3: Dacă într-un determinant schimbăm două linii (sau coloane) între ele, atunci obţinem o un determinant egal cu opusul determinantului iniţial. P4: Dacă un determinant are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul este nul. P5: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-un determinant sunt inmulţite cu un număr k , atunci obţinem un determinant care este egal cu k înmulţit cu determinantul iniţial. P6: Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei determinant sunt proporţionale, atunci determinantul este nul. P7: Dacă o linie (sau coloană) dintr-un determinant este o combinație liniară a celorlalte linii (sau coloane), atunci determinantul este nul. P8: Dacă la o linie (sau coloană) adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi număr nenul, atunci determinantul are aceeaşi valoare. P9:

11 1 11 1 11 1

1 1 1 1

1 1

...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .......

...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...

...... ......

n n n

i i i n i n i i n i i n

n n n n n n

a a a a a a

a b a b a a b b

a a a a

1

... ...... ......

......n n nb b

IMPORTANT: trebuie să ştim formulele pentru determinanți : triunghiular(subdiagonal, supradiagonal), Vandermonde, circular … Def1: Fie ij nA a M . Se numeşte minor asociat elementului ija ,

determinantul de ordin n-1 obținut prin eliminarea liniei i şi a coloanei j din matricea A. Se notează prin ij sau ij

Def2: Se numeşte complement algebric asociat elementului ija , numărul

1i j

ij ij

. (semn ori minor)

Proprietăți determinați: i) det A= 1 2

1 1 2 21 1 ... 1i i i n

i i i i in ina a a

1 1 2 2 ...i i i i in ina a a dezvoltarea determinantului după linia i

ii) det A= 1 2

1 1 2 21 1 ... 1j j n j

j j j j nj nja a a

1 1 2 2 ...j j j j nj nja a a dezvoltarea determinantului după coloana j

ii) det A B det A det B şi 1 2 1 2det ... det det ... detn nA A A A A A

iii) det( ) det

nnA A iv) şi det detdet det 1

nn AkA k A A dacă determinantul este de ordin n

2

2

2 2 2

1 *

2 *

2: ( ) det( ) , ( )

: det( ) 0 ( ) ,

det( ) ,: ( ) 0 ,

det( ) ,

3: (

n

n

nn

n

A tr A A A I O A M

A A tr A A n

A I n partr A A n

A A n impar

tr A

Teorema Cayley-Hamilton

Consecinţa1

dacăConsecinţa2

dacă

Consecinţa

*2) 0 det( ) 0 ,n

n nA A x A y I n si

Proprietăți urmă: i) Tr A B Tr A Tr B

ii) Tr ,kA kTr A k

iii) Tr A B Tr B A

iv) Tr tA Tr A

v) Tr A B Tr A Tr B

Obs: Teorema Cayley-Hamilton pentru matricele de ordin 3 2

3 3 33 d , ( )A t A s A I O A M unde 11 22 33, , dett tr A s d A

Def3: A nM se numește inversabilă (nesingulară) dacă există B nM cu proprietatea: nA B B A I şi notăm B cu A -1 ( A -1 inversa matricei pătratice A ).

1 *1

detA A

A unde *A este reciproca(adjuncta) matricei A şi se obţine din t A

înlocuind fiecare element cu complementul său algebric. IMPORTANT:

i) O matrice pătratică A este inversabilă detA 0 ; ii) 1 1 1( )A B B A iii) 1 * det 1A A A iv) * * det nA A A A A I dacă A inversabilă

v) 1 1

1 1

,A X B X A B X A B X B A

A X B C X A C B

- -

- -

⋅ = = ⋅ ⋅ = = ⋅

⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ dacă , ,A B C inversabile

Def4: Se numeşte minor de ordin k al matricei m nA M , determinantul

matricei pătratice de ordin k extrase din A , format cu elementele situate la intersecția a k linii și k coloane . Def5: Rangul matricei A , notat rang A , este cel mai mare ordin al minorilor

nenuli obținuți din matricea A . T: (Cramer). Dacă numărul necunoscutelor este egal cu numărul ecuaţiilor (sistem pătratic) şi determinantul matricei sistemului este nenul, atunci sistemul este compatibil determinat şi soluţia este:

1 21 2, , ... , ,n

n

xx xx x x

unde este determinantul sistemului iar ix se obţine din înlocuind coloana coeficienţilor lui ix cu coloana termenilor liberi, …

T: (Kronecker-Capelli). Un sistem liniar este compatibil dacă şi numai dacă rangul matricii sistemului este egal cu rangul matricii extinse.

11 12 1 11 1 1

1 2 1

...... ......

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

...... ......

n n

m m mn m mn m

a a a a a b

A

a a a a a b

A

Matricea sistemului Matricea extinsă sistemului T: (Rouche). Un sistem liniar este compatibil dacă şi numai dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli.

- Prin minor caracteristic înţelegem minorul principal bordat cu coloana termenilor liberi (minorul principal este minorul care ne dă rangul matricei)

ALGORITM DE REZOLVARE S.E.L. - 1.Calculăm rangul matricii şi stabilim minorul principal - 2.Calculăm minorii caracteristici c dacă există (vezi obs.) - 3.Dacă un minor caracteristic 0c atunci S.E.L incompatibil - 4.Dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli atunci S.E.L compatibil şi

continuăm cu pasul 5 - 5. Formăm sistemul făcut cu ecuaţiile principale şi necunoscutele principale

obţinut din minorul principal - 6.Aflăm soluţia sistemului în funcţie de necunoscutele secundare notate cu

, , ... şi sistemul este compatibil simplu nedeterminat sau compatibil dublu nedeterminat sau ....

OBS: - Dacă nu există minori caracteristici atunci rang A rang A adică

sistemul este compatibil şi urmăm algoritmul cu pasul 5 - Sistemele liniare omogene sunt mereu compatile şi admit soluţia banală

(0,0,...0) - Sistemele liniare omogene admit şi alte soluţii diferite de cea trivială dacă

0 ( Dacă 0 atunci admite soluţia unică (0,0,...0) )

- Un sistem pătratic este compatibil nedeterminat dacă 0 şi toţi determinanţi caracteristici sunt nuli

- Un sistem pătratic este incompatibil dacă 0 şi un determinant caracteristic este nenul

Se consideră matricea a bA

c d

=

, cu ,a b∈ şi 0b ≠ . V1

a) Să se arate că dacă matricea 2 ( )X M∈ verifică relaţia AX XA= , atunci

există ,u v∈ , astfel încât u vX

v u

=

.

b) Să se arate că *n∀ ∈ , n nn

n n

x yA

y x

=

, unde

( ) ( ) ( ) ( ),2 2

n n n n

n na b a b a b a bx y+ + − + − −

= = .

c) Să se rezolve în mulţimea 2 ( )M ecuaţia 3 2 11 2

X =

.

Soluţie propusă și redactată de Catinca Băjan, clasa a XI-a A,

C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

Fie 2 ( )m n

X Mp q

= ∈

o matrice astfel încât AX XA= .

a b m n am bp an bqA X

b a p q bm ap bn aq

m n a b ma nb mb naX A

p q b a pa qb pb qa

+ + ⋅ = ⋅ = + +

+ + ⋅ = ⋅ = + +

Din egalitatea AX XA= rezultă sistemul am bp ma+ = nban

+bq mb na+ = +

bm ap+ pa= qbbn aq

++ pb qa= +

b ⇒

p n b=bq m b=bm q b=bn p b=

0notăm

notăm

=b p n v

q m u

≠

= ⇒ = =

, deci u vX

v u

=

cu ,u v∈ .

b) Demonstrăm prin inducţie matematică după n ∗∈ .

Notăm ( ) ( ) ( ) ( )( ) : , , , 12 2

n n n nn nn

n nn n

x y a b a b a b a bP n A x y ny x

+ + − + − −= = = ≥

Verificare:

( )1

1 1

1 11

( ) ( )2(1) :

( ) ( )2

unde

a b a bx ax y a bP A A

y x b a a b a by b

+ + − = = = = + − − = =

.

Presupunem ( )P n adevărată şi demonstrăm că ( ) ( )1P n P n→ + Demonstraţie:

1 11

1 1

( 1) : n nn

n n

x yP n A

y x+ ++

+ +

+ =

unde

1 1

1

1 1

1

( ) ( )2

( ) ( )2

n n

n

n n

n

a b a bx

a b a by

+ +

+

+ +

+

+ + −=

+ − − =

relaţie care trebuie

demonstrată.

1

( ) ( ) ( ) ( )2 2

( ) ( ) ( ) ( )2 2

n nn n

n n

n n n n

n n n n

x y a bA A A

y x b a

a b a b a b a ba bb aa b a b a b a b

+ = ⋅ = ⋅ =

+ + − + − − = ⋅ = + − − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

n n n n n n n n

n n n n n n n n

a b a b a b a b a b a b a b a ba b b a

a b a b a b a b a b a b a b a bb a a b

+ + − + − − + + − + − −⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

= = + + − + − − + + − + − −

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

1 1 1 1

1 11 1 1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )2 2

( ) ( ) ( ) ( )2 2

n n n n

n nn n n n

n n

a b a b a b a bx yy xa b a b a b a b

+ + + +

+ +

+ + + ++ +

+ + − + − − = = + − − + + −

În concluzie ( )P n este adevărată *n∀ ∈ . c)

Notăm 2 11 2

A =

. Fie X o soluţie a ecuaţiei date.

Din)

4 4 3 3a u v

X X X X X X X A A X Xv u

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

3 3 3 3

)3

3 3 3 3

( ) ( ) ( ) ( )2 12 21 2( ) ( ) ( ) ( )

2 2

bu v u v u v u v

Xu v u v u v u v

+ + − + − − ⇒ = = + − − + + −

3 3 3

3 3 3 3

3 3 33 3 3

( ) ( ) 3 12 ( ) ( ) 4 ( ) 3 32 2( ) ( ) 2 ( ) 1 1( ) ( ) 3 11

2 2

u v u v uu v u v u v u vu v u v u v u vu v u v

v

+ + − += = + + − = + = + = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+ − − = − = − =+ − − − = =

deci

3 3

3 3

3 1 3 12 2

3 1 3 12 2

X

+ − = − +

este soluţia ecuaţiei date.

Se consideră matricea 2 ( )A M∈ , 2 21 1

A =

. V2

a) Să se arate că există a∈ astfel încât 2A aA= . b) Să se calculeze ( )2013tA A− . c) Să se rezolve ecuaţia ( )5

2,X A X M= ∈ .

Soluţie propusă și redactată de Andrea Cîrstea, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

Metoda 1. Calcul efectiv 2 2 2 2 2 6 6 2 2

3 3 31 1 1 1 3 3 1 1

A A a = ⋅ = = = ⇒ =

Metoda 2. Folosim relaţia Cayley-Hamilton: ( ) ( )22 2detA tr A A A I O− ⋅ + ⋅ =

( )

( )2 2

2

2 1 33 3 32 2

det 01 1

C Htr A

A A O A A aA

−= + =

⇒ − = ⇒ = ⇒ == =

b) 2 2 2 1 0 11 1 2 1 1 0

tA A M − = − = = −

2 4 42 2 2

0 1 0 1 1 0,

1 0 1 0 0 1kM I M I M I k

− = ⋅ = = − ⇒ = ⇒ = ∈ − − −

Deci ( )2013 2013 20122

0 11 0

tA A M M M I M − = = ⋅ = ⋅ = −

c) Fie ( )

( )

5 5 2 5 4

0

det det det 0C H

t

X A X A X X tr X X X t X−

=

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ .

Înlocuim în ecuaţia iniţială şi avem: 4

4

1 , 0t X A X A tt

⋅ = ⇒ = ⋅ ≠ care este formula soluţiei.

Acum trebuie să aflăm pe t .

Din ( )

( )

5 54 4 4

3

1 1 1 3 3t

X A tr X tr A t tr A t tt t t

= =

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

şi obţinem soluţia ( )4 55

2 2 2 21 11 1 1 1813

X = ⋅ = ⋅

.

Se consideră matricea 3

0 1 11 0 1 ( )1 1 0

A M = ∈

. V3

a) Să se verifice egalitatea 232A A I− = .

b) Să se calculeze 1A− . c) Să se arate că ( )2013 2012 2012

32A A A I+ = + .

Soluţie propusă și redactată de Mădălin Dermișek, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

23

0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 0 01 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 0 2 0 21 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 1 0 0 0 2

A A I − = ⋅ − = − = = ⋅

.

b)

Din punctul a) rezultă că

( ) ( ) ( )13 3 3 3 3

1 1 11 1 12 1 1 12 2 2

1 1 1A A I I A A I I A A I−

− − = ⇒ − = ⇒ = − = − −

.

Putem folosi și metoda de calcul a inversei cu formula

( ) ( )1 *1 , det 0det

A A AA

− = ⋅ ≠

c) Demonstrăm prin inducţie matematică propoziţia : ( ) 1 *

3: 2 ( ),n n nP n A A A I n+ + = + ∈ Verificare: 2 2

3 3(1) : 2( ) 2P A A A I A A I+ = + ⇔ = + este adevărată conform punctului a) Presupunem ( )P n adevărată şi demonstrăm că ( ) ( )1P n P n→ + . Demonstraţie: 2 1 1

3( 1) : 2 ( )n n nP n A A A I+ + ++ + = + relaţie care trebuie demonstrată

3

2 1 1 23

2 13 3

2

( ) 2 ( ) 2 ( )

2 ( 2 ) 2 (2 2 ) 2 ( )

n n n n n n

n n n

I

A A A A A A A I A A

A A A A I A I

+ + +

+

+ = + = ⋅ + = + =

= − + = + = +

În concluzie ( )P n este adevărată *n∀ ∈ şi pentru 2012n = obţinem ( )2013 2012 2012

32A A A I+ = + .

Se consideră matricea 1 2 2

2 2 1A

. V4

a) Să se calculeze rangul matricei A. b) Să se demonstreze că det 0tA A .

c) Să se determine o matrice nenulă 3,2B M astfel încât 2AB O .

Soluţie propusă și redactată de Titi Gocz, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

Matricea are minorul 1 2

6 02 2

deci 2rang A .

b)

1 2 1 2 5 2 41 2 2

2 2 2 2 2 8 22 2 1

2 1 2 1 4 2 5

5 2 4 5 2 4 5 1 4 5 1 1det( ) 2 8 2 2 1 4 1 4 1 2 1 4 1 2 2 0

4 2 5 4 2 5 4 1 5 4 1 1

3 1

coloaneC +C identice

t t

t

A A A

A A

c)

Fie matricea nenulă 1 2

3 4 3,2

5 6

,b b

B b b B M

b b

1 2

2 3 4 2

5 6

1 3 5 2 4 6

1 3 5 2 4 6

1 3 5

1 3 5 1 3 5

2 4 6 2 4

2 4 6

1 2 22 2 1

2 2 2 2 0 02 2 2 2 0 0

2 2 02 2 0 4 0

2 2 0 42 2 0

ec.1+ec.2

ec.3+ec.4

b b

AB O b b O

b b

b b b b b b

b b b b b b

b b b

b b b b b b

b b b b b

b b b

6 0b

putem lua 1 5 3

2 6 4

2, 12, 1

b b b

b b b

deci matricea 3,2

2 21 1

2 2B M

are proprietatea cerută.

Se consideră punctele ( ) ( ) ( )0,6 , 1,4 , 1,8A B C − şi matricea 1 1 1 10 1 16 4 8

M ab

= −

, unde

,a b∈ . V5 a) Să se arate că , ,A B C sunt coliniare. b) Să se determine rangul matricei M în cazul 3 , 0a b= = . c) Să se arate că dacă unul dintre minorii de ordin trei ai lui M , care conţin

ultima coloană, este nul, atunci ( ) 2rang M = .

Soluţie propusă și redactată de Remus Herciu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

, ,A B C coliniare 0⇔ ∆ =

( )3 2

0 6 1 0 3 1 0 3 13 1

1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 06 2

1 8 1 1 4 1 0 6 2

L L+

∆ = = = = ⋅ ⋅ − =− −

deci punctele A,B,C sunt coliniare. b)

1 1 1 13 , 0 0 1 1 3

6 4 8 0a b M

= = ⇒ = −

Fie minorul 1 11 0

0 1= ≠ , deci 2rangA ≥ .

Minorii de ordinul trei care se obţin prin bordarea celui anterior sunt:

1 1 10 1 1 8 6 6 4 06 4 8

− = − − + = şi 1 1 10 1 3 18 6 12 06 4 0

= − − = deci 2rangA = .

c)

Fie punctul ( ),D a b . Deoarece unul dintre minorii de ordin trei care conţin ultima coloană este

nul, rezultă că punctul ( ),D a b este coliniar cu două dintre punctele )

, ,a

A B C⇒ toate punctele , ,A B C și D sunt coliniare , deci toți minorii de ordin trei sunt nuli

( ) 2rang M⇒ = .

Se consideră 1 2 3, , ,a x x x∈ ∈ rădăcinile ecuaţiei 3 22 2 0x x x a− + − = şi determinantul

1 2 3

3 1 2

2 3 1

x x xx x xx x x

∆ = . V6

a) Pentru 1a = , să se determine 1 2 3, ,x x x . b) Să se arate că, pentru orice a∈ , ecuaţia are o singură rădăcină reală. c) Să se arate că valoarea determinantului ∆ nu depinde de a .

Soluţie propusă și redactată de Vlad Papancea, clasa a XI-a A,

C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe a) Metoda 1. Pentru 1a = avem ecuaţia

3 2 3 2 2 22 2 1 0 1 2 2 0 ( 1)( 1) 2 ( 1) 0 ( 1)( 1) 0x x x x x x x x x x x x x x− + − = ⇔ − − + = ⇔ − + + − − = ⇔ − − + =

232

1 2

. 1 0 11 31,1 3 2. 1 0 ,

2

i

i x xiSiii x x x

∆=

− = ⇒ = ± ⇒ = ±

− + = ⇒ =

Metoda 2. 3 22 2 1f X X X= − + − ( )1 0 1f = ⇒ rădăcină ( )1x⇒ − f . Din schema lui Horner avem

2

21,2

1 2 2 1

1 1 1 1 01

1 33 3 1 32

q x x

ii x i

− −

−

⇒ = − +

±∆ = − = ⇒ = = − ±

1 31,2iS

± ⇒ =

b) Scriem relaţiile lui Viete:

21 1 2 3

3

12 1 2 1 3 2 3

3

03 1 2

3

2

2

aV x x xa

aV x x x x x xa

aV x x x aa

= + + = − =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = − =

= ⋅ ⋅ = − =

Presupunem că polinomul 3 22 2 1f X X X= − + − are mai mult de o rădăcină reală

[ ]f X∈

⇒

are toate rădăcinile reale.

Știm că 2 2 2 21 2 3 1 22x x x V V+ + = −

1 2 3, ,2 2 21 2 3 1 2 30 0

x x x

x x x x x x∈

⇒ + + = ⇒ = = =

, fals (nu verifică a relaţia 1V ).

În concluzie, ecuaţia are o singură rădăcină reală. c)

Metoda 1.

3

1 2 33 3 3 3 3 3

3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 1

3 3V a

x x xx x x x x x x x x x x x ax x x = =

∆ = = + + − = + + − relația ( )*

Dacă 1 2 3, ,x x x sunt rădăcinile ecuaţiei date deci avem:

1

3 21 1 13 22 2 23 23 3 3

3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3

0 2

2 2 0

2 2 0

2 2 0

2( ) 2( ) 3 0V

x x x ax x x ax x x a

x x x x x x x x x a= = =

− + − =

− + − =

− + − =

+ + − + + + + + − =

3 3 3 3 3 31 2 3 1 2 34 3 0 3 4x x x a x x x a+ + + − = ⇒ + + = −

( )*

⇒ 3 4 3 4a a∆ = − − = − nu depinde de a . Metoda 2.

( )

( ) ( ) ( )1 2

1 2 3 1 2 3 2 3 2 3

3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2

2 3 1 1 2 3 3 1 3 1

2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

02 2

111

2 2 4

determinantcircular

=

V v

x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x== = = =

+ +∆ = + + = + + =

+ +

= + + + + − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − = −

Se consideră matricele 1 2 3 40 1 2 30 0 1 2

A =

, ( )0 0 0 1B = şi sistemul

2 3 4 32 3 2

2 1

x y z ty z t

z t

+ + + = + + = + =

V7

a) Să se calculeze rangul matricei A . b) Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului. c) Să se demonstreze că ecuaţia XA B= nu are soluţii ( )1,3X M∈ .

Soluţie propusă și redactată de Ramona Pătrînjel, clasa a XI-a A,


a)

Matricea A are minorul 1 2 30 1 2 1 00 0 1

determinanttriunghiular

= ≠ deci ( ) 3rang A = .

b) Notăm t α= şi sistemul devine:

( ){ }0

2 3 3 42 2 3 0, ,1 2 ,

1 21 2

xx y z

yy z S

zz

t

αα

α α α α αα

αα

=+ + = − = + = − ⇒ ⇒ = − ∈ = − = − =

deci sistemul este compatibil simplu nedeterminat.

c) Presupunem prin reducere la absurd că ecuaţia dată are soluţia

( )1 2 3 1,3 ( )X x x x M∈=

( ) ( )

( ) ( )

1 2 3

1 1 2 1 2 3 1 2 3

1 2 3 40 1 2 3 0 0 0 10 0 1 2

2 3 2 4 3 2

0

0

0 1

x x x

x x x x x x x

XA B

x x

= ⇒ =

⇒ + + + + + =

1 1

1 2 2

1 2 3 3

1 2 3

02 0 03 2 0 04 3 2

0

01 1

x xx x xx x x x

x falsx x

= + = = ⇒ ⇒ + + = = + + = =

=

Deci ecuaţia XA B= nu are soluţii ( )1,3X M∈ .

Se consideră matricea ( )3

1 1 11 1 11 1 1

A M− −

= − − ∈ − −

. V8

a) Să se calculeze ( )det A .

b) Să se arate că 2 2

23

2 1 2 23 3

n nnA A I− += + , pentru orice *n∈ .

c) Să se determine 1A− .

Soluţie propusă și redactată de Irina Petcu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

( )1 1 1 0 0

0 2det 1 1 1 1 0 2 1 1 4

2 01 1

1

1 1 2 0

2 1

3 1

C +CC +C

=A− −

−= − − − − = ⋅ + = −

−− − − −

.

Sau calcul efectiv: ( )det 1 1 1 1 1 1 4A = − − − − − = − b)

2 22 *

32 1 2 2( ) : ,

3 3

n nnP n A A I n− += + ∈

Verificare:

( ) 231 : 2P A A I= +

2

1 1 1 1 1 1 3 1 11 1 1 1 1 1 1 3 11 1 1 1 1 1 1 1 3

A A A− − − − − −

= ⋅ = − − ⋅ − − = − − − − − − − −

3

1 1 1 2 0 0 3 1 12 1 1 1 0 2 0 1 3 1

1 1 1 0 0 2 1 1 3A I

− − − − + = − − + = − − − − − −

deci ( )1P adevărată.

Presupunem că ( )P n este adevărată şi demonstrăm că ( ) ( )1P n P n→ + . Demonstraţie:

2 2 2 2

2 23

2 1 2 2( 1) :3 3

n nnP n A A I

+ ++ − +

+ = ⋅ + ⋅

( )2 2 2 2 1 2 2 1

2 2 2 2 23 3 3

2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 423 3 3 3 3 3

n n n n n nn nA A A A I A I A A I

+ ++ − + − − + += ⋅ = + ⋅ + = ⋅ + + ⋅ + ⋅ =

( )2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

3 3 32 1 2 2 2 4 2 1 2 2 2 2 2 42

3 3 3 3 3 3

n n n n n n n n n

A I A I A I+ + + + + − + + − + − + +

= + + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ =

2 2 2 2

32 1 2 2

3 3

n n

A I+ + − +

= ⋅ + ⋅

.

c) Din egalitatea

232A A I= + ( ) ( )2

3 3 3 3 312 22

A A I A A I I A A I I ⇒ − = ⇒ − = ⇒ ⋅ − = .

( )13

0 1 11 1 1 0 12 2

1 1 0A A I−

− − ⇒ = − = − − − −

.

Putem folosi și metoda de calcul a inversei cu formula ( ) ( )1 *1 , det 0

detA A A

A− = ⋅ ≠

Fie ( ) ( ) ( ), , , , ,A A B B C CA x y B x y C x y trei puncte din plan şi matricea

( )3

111

A A

B B

C C

x yM x y M

x y

= ∈

. V9

a) Să se arate că, dacă A, B, C se află pe dreapta de ecuaţie 2y x= , atunci ( )det 0M = .

b) Să se arate că, dacă triunghiul ABC este dreptunghic şi are catetele de lungime 1, atunci ( )det 1M = ± .

c) Să se arate că, dacă matricea M este inversabilă, atunci suma elementelor matricei 1M − este 1.

Soluţie propusă și redactată de Diana Pop, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

Punctele

( )2 1 2 1

, , : 2 2 det 1 2 1 02 1 2 1

ColoaneproportíonaleA A A A A A

B B B B B B

C C C C C C

y x x y x xA B C d y x y x M x y x x

y x x y x x

=∈ = ⇒ = ⇒ = = = =

b) 1 det 1 12 det det 1 det 11 1 1 2 22 2

A MM M M

A

= ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ±

⋅= =

c)

Fie 1 1 1

12 2 2

3 3 3

a b cM a b c

a b c

−

=

1 1 11

3 2 2 2

3 3 3

1 1 0 01 0 1 01 0 0 1

A A

B B

C C

a b c x yM M I a b c x y

a b c x y

−

⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 0 00 1 00 0 1

A B C A B C

A B C A B C

A B C A B C

a x b x c x a y b y c y a b ca x b x c x a y b y c y a b ca x b x c x a y b y c y a b c

+ + + + + + ⇒ + + + + + + = + + + + + +

1 1 1

2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3

3 3 3

00 11

a b ca b c a b c a b c a b ca b c

+ + =⇒ + + = ⇒ + + + + + + + + = + + =

.

Pentru , , ,a b c d ∈ , se consideră matricea

a b c db a d c

Ac d a bd c b a

− − = − − − −

şi matricea

transpusă tA . V11 a) Pentru 1a c= = şi 0b d= = , să se calculeze ( )det A . b) Să se arate că 4

tA A Iα⋅ = ⋅ , unde 2 2 2 2a b c dα = + + + . c) Să se demonstreze că dacă 4A O≠ , atunci A este inversabilă.

Soluţie propusă și redactată de Viviana Popa, clasa a XI-a A,


a)

( )

1 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 1

det 1 1 2 2 41 0 1 0 0 0 2 0

0 1 0 1 0 0 0 2

3 14 2

L +L determinantL +L triunghiular

=A = = ⋅ ⋅ ⋅ =−

−

b)

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

0 0 00 0 00 0 00 0 0

t

a b c d a b c db a d c b a d c

A Ac d a b c d a bd c b a d c b a

a b c da b c d

a b c da b c d

− − − − − − ⋅ = ⋅ = − − − − − −

+ + +

+ + + = = + + + + + +

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 24 4

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

a b c d a b c d I Iα

α=

= + + + ⋅ = + + + ⋅ =

c)

Dacă 4A O≠ ⇒ cel puţin unul dintre numerele , , ,a b c d este nenul 2 2 2 2 0a b c d⇒ + + + > deci 2 2 2 2 0a b c d+ + + ≠ Deoarece 4

tA A Iα⋅ = ⋅ și ( ) ( )det det tA A= vom avea ( ) ( )4det dettA A Iα⋅ = ( ) ( ) 4det det tA A α⋅ = ( )4det I ( ) ( )2 4 2det detA Aα α= ⇒ = dar ( )2 2 2 2 0 det 0a b c d A Aα = + + + ≠ ⇒ ≠ ⇒ inversabilă

Se consideră polinoamele [ ] 2, , 1f g X f X X∈ = + + , cu rădăcinile complexe 1 2,x x şi

2 , cu 0g aX bX c a= + + ≠ .

Fie matricele ( )3, ,c b a

A V M A a c bb a c

∈ =

şi 1 22 21 2

1 1 111

V x xx x

=

. V12

a) Să se arate că ( ) ( )2 1det 3V x x= − .

b) Să se arate că ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 1 2 22 21 1 2 2

111

g g x g xA V g x g x x g x

g x g x x g x

⋅ =

.

c) Să se arate că ( )det 0A = dacă şi numai dacă 0a b c+ + = sau a b c= = .

Soluţie propusă și redactată de Cornelia Secelean, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) 2 1 0x x+ + = ⇒ 1 2 1bS x x

a= + = − = − şi 1 2 1cP x x

a= = = .

( ) ( )( )( ) ( )

( )Vandermonde

1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 12 21 2

3

1 1 1det 1 1 1 1 3

1 p S

V x x x x x x x x x x x x x xx x = =−

=

= = − − − = − − − + = −

.

b) 2 3 31,2 1 2

1 31 0 12ix x x x x− ±

+ + = ⇒ = ⇒ = = (rădăcini cubice ale unităţii) și

observăm că: ( )1g a b c= + +

( ) ( )

2 3 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

x g x x ax bx c a x bx cx a bx cx=

= + + = + + = + +

( ) ( )

1

2 2 2 4 3 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1x

x g x x ax bx c a x b x cx ax b cx= =

= + + = + + = + + și analog

( ) ( )2 3 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2x g x x ax bx c ax bx cx a bx cx= + + = + + = + +

( ) ( )2 2 2 4 3 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2x g x x ax bx c ax bx cx ax b cx= + + = + + = + +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 21 1 2 2 1 2

2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 11 11 1

c b a c b a c bx ax c bx ax g g x g xA V a c b x x a c b a cx bx a cx bx g x g x x g x

b a c x x b a c b ax cx b ax cx g x g x x g x

+ + + + + + ⋅ = ⋅ = + + + + + + =

+ + + + + +

c) ( ) ( )determinant

circular1

det 11

c b a a b c b a b aA a c b a b c c b a b c c b

b a c a b c a c a c

+ += = + + = + + =

+ +

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 12

a b c a b c ab ac bc a b c a b a c b c = + + + + − − − = + + − + − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2det 0 0A a b c a b a c b c = ⇔ + + − + − + − = ⇔

0a b c+ + = sau ( ) ( ) ( )2 2 2 0a b a c b c− + − + − = ⇔ 0a b c+ + = sau a b c= =

Se consideră sistemul de ecuaţii 1

3

3

x y z

x y z

mx y z m

unde m . Pentru fiecare m ,

notăm cu mS mulţimea soluţiilor reale ale sistemului. V13 a) Să se determine m pentru care sistemul are soluţie unică. b) Să se arate că pentru orice m sistemul este compatibil. c) Să se determine 2 2 2

1min , ,x y z x y z S .

Soluţie propusă și redactată de Stefan Stănoescu, clasa a XI-a A,

C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe a)

Sistemul are acelaşi număr de ecuaţii şi necunoscute deci el are soluţie unică dacă determinantul asociat sistemului este nenul (Cramer).

3 1

1 1 1 1 1 11 1

det 1 1 1 1 1 1 1 1 2 11 1

1 1 1 0 0

3 2L L

A m m

m m

2 1 0 1 \ 1m m m .

b)

\ 1m sistemul compatibil determinat

Dacă 1m obţinem sistemul

1 1 1 1

3 1 1 1

3 1 1 1

x y z

x y z A

x y z

şi det 0A

1 1

2 21 1p rang A

deoarece det 0A

Dar 1 1 1

1 1 3 0

1 1 3c

ROUCHE

sistemul este compatibil

sistemul este compatibil pentu m c)

Dacă , nec. principale 1 22 ,1,

nec. secundară 3 1

x y x y xS

z x y y

.

Considerăm : ,f

22 2 2 2 2 2 242 1 2 4 5 min 3

4 8f x y z f

a

Se consideră matricea 2 2 23 3 3

a b cA a b c

a b c

=

, unde *, ,a b c∈ . V14

a) Să se calculeze rangul matricei A. b) Să se arate că există d ∈ astfel încât 2A dA= . c) Să se arate că există matricele ( ) ( )3,1 1,3şiK M L M∈ ∈ astfel încât

A K L= ⋅

Soluţie propusă și redactată de Robert Veress, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) Fie minorul ( )1 0 1M a a rang A= = ≠ ⇒ ≥ . Calculăm toţi bordaţii

( )1 2 3 40, 0, 0, 0 12 2 2 2 3 3 3 3a b a c a b a c

B B B B rang Aa b a c a b a c

= = = = = = = = ⇒ =

b) Calculăm 2A

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 3 2 3 2 32 2 2 2 2 2 2 4 6 2 4 6 2 4 63 3 3 3 3 3 3 6 9 3 6 9 3 6 9

+ + + + + + = ⋅ = ⋅ = + + + + + +

+ + + + + +

a b c a b c a ab ac ab b bc ac bc cA A A a b c a b c a ab ac ab b bc ac bc c

a b c a b c a ab ac ab b bc ac bc c

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 3 2 3 2 3

2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 23 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3

a a b c b a b c c a b c a b ca a b c b a b c c a b c a b c a b ca a b c b a b c c a b c a b c

+ + + + + + = + + + + + + = + +

+ + + + + +

d⇒∃ ∈ astfel încât 2A dA= unde 2 3d a b c= + + c)

Fie 123

K =

şi ( )L a b c=

( ) ( )3,1

12 2 2 23 3 3 3

a b cK L a b c a b c K M

a b c

⋅ = ⋅ = ⇒ ∃ ∈

şi ( )1,3L M∈ astfel încât A K L= ⋅

Fie , ,a b c∈ şi matricea a b c

A c a bb c a

=

. V15

a) Să se calculeze det(A). b) Să se arate că dacă 0a b c+ + ≠ şi A nu este inversabilă în ( )3M , atunci

a b c= = .

c) Să se arate că sistemul de ecuaţii liniare

121212

ax by cz x

cx ay bz y

bx cy az z

+ + = + + = + + =

admite numai

soluţia 0x y z= = = .

Soluţie propusă și redactată de Cosmin Vezeteu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ciclic

2 2 22 2 2

1det = 1

112

a b c a b c b c b cA c a b a b c a b a b c a b

b c a a b c c a c a

a b c a b c ab ac bc a b c a b a c b c

+ += + + = + + =

+ +

= + + + + − − − = + + − + − + −

b) A nu este inversabilă ( )det 0A⇒ = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )02 2 21 0

2

a b ca b c a b a c b c

+ + ≠ + + − + − + − = ⇒

( ) ( ) ( )2 2 2 0a b a c b c a b c⇒ − + − + − = ⇒ = = c)

( )( )

( )( )

2 2 2 2 1 2 2 02 2 2 2 2 1 2 02 2 2 2 2 2 1 0

ax by cz x a x by czcx ay bz y cx a y bzbx cy az z bx cy a z

+ + = − + + = + + = ⇒ + − + = ∗ + + = + + − =

Sistemul are acelaşi număr de ecuţii şi necunoscute, deci el are soluţie unică dacă determinantul asociat este nenul (Cramer).

( ) ( ), ,3 3 3

..

2 1 2 22 2 1 2 2 1 8 8 12 2 12 2 2 1

a b c

nr imparnr par

a b cc a b a c b bc ab c a

∈−

∆ = − = − + + − − =−

număr impar

deci nenul ⇒ sistemul admite numai soluţia 0x y z= = = , deoarece sistemul ( )∗ este omogen.

Se consideră mulţimea , , 00 1a b

G X a b a

= = ∈ >

. V16

a) Să se arate că dacă , , atunciA B G AB G∈ ∈ . b) Să se găsească două matrici ,C D G∈ pentru care CD DC≠ . c) Să se arate că dacă A G∈ , atunci 2

2I A A G− + ∈ .

Soluţie propusă și redactată de Andrei Vlad, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) 1 1

1 1 1, , , 00 1a b

A G A a b a ∈ ⇒ = ∈ >

2 22 2 2, , , 0

0 1a b

B G B a b a ∈ ⇒ = ∈ >

1 1 2 2 1 2 1 2 1

0 1 0 1 0 1 0 1a b a b a a a b b a b

AB G+

= ⋅ = = ∈

unde 1 2

1 2 1

0, ,

a a aa b

b a b b= >

∈= +

b) 1 10 1

C G = ∈

2 10 1

D G = ∈

1 1 2 1 2 20 1 0 1 0 1

2 1 1 1 2 30 1 0 1 0 1

C DCD DC

D C

⋅ = =

⇒ ≠

⋅ = =

c) 2

2 10 1 0 1 0 1 0 1a b a b a b a ab

A G A A +

∈ ⇒ = ⇒ = =

2

22

1 0 10 1 0 1 0 1

a b a abI A A

+ − + = − +

2

22

1 10 1

a a b abI A A G

− + − + +⇒ − + = ∈

Unde evident 21 0a a− + > deoarece 2

2 1 31 02 4

a a a − + = − + >

și 21

1a a

b ab− + ∈− + + ∈

Se consideră matricele 1 30 1

A = −

şi 3 8

1 3B

− − =

. V17

a) Să se calculeze 2 2A B− . b) Să se calculeze ( )2 3 4

2det I A A A A+ + + + .

c) Să se arate că ecuaţia 22X I= are o infinitate de soluţii în ( )2M .

Soluţie propusă și redactată de Marius Borîndel, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

Metoda 1. Calculăm efectiv 2A și 2B

22

2 22

22

1 3 1 3 1 00 1 0 1 0 1

3 8 3 8 1 01 3 1 3 0 1

A A A IA B O

B B B I

= ⋅ = = = − − ⇒ − =

− − − − = ⋅ = = =

Metoda 2. Cayley-Hamilton : ( ) ( )22 2detX tr X X X I O− ⋅ + ⋅ =

( )

( )

( )

( )

2 22 2 2

2 22

2 22 2 2

1 1 0

1 3det 1

0 1

3 3 0

3 8det 1

1 3

C H

C H

tr AA I O A I

AA B O

tr BB I O B I

B

−

−

= − =

⇒ − = ⇒ == = −

−⇒ − =

= − + =

⇒ − = ⇒ =− −= = −

b)

2 2

3 22 3 42

2 24 2 22 2 2

3 0 2 6 5 63 2

0 3 0 2 0 1I A I

A A A I A AI A A A A I A

A A A I I I= ⋅ = ⋅ =

⇒ + + + + = + = + = −= ⋅ = ⋅ =

( )2 3 42

5 6det 5

0 1I A A A A⇒ + + + + = =

c)

Pentru că 22A I= , vom construi matricele

( )10 1

kX k

= − de forma matricei A, unde k∈

( )( ) ( ) ( )22

1 1 1 00 1 0 1 0 1

k kX k X k X k I

= ⋅ = = = − − ,

deci avem o infinitate de soluţii în ( )2M deoarece k∈


0 0 01 0 01 1 0

A M = ∈

. V18

a) Să se calculeze 3A . b) Să se afle rangul matricei 3

tI A A+ + c) Să se determine inversa matricei 3I A+ .

Soluţie propusă și redactată de Adrian Buftea, clasa a XI-a A,


Metoda 1. Calcul efectiv

2

0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 1 0 0 0 0 01 1 0 1 1 0 1 0 0

A A A = ⋅ = =

3 23

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 1 1 0 0 0 0

A A A O = ⋅ = = =

Metoda 2. Cayley-Hamilton ( )3 2

3 3 3,A tA sA dI O A M− + − = ∀ ∈ ( )

311 22 33 3

0

0 0 0 0 0 00

1 0 1 0 1 0det 0

t tr A

s A O

d A

= =

= ∆ + ∆ + ∆ = + + = ⇒ =

= =

b)

3

1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1

tI A A + + = + + =

.

Deoarece toate elementele sunt egale şi nenule ( )3 1trang I A A⇒ + + = . c)

( )( )3

3 23 3 3

OI I A I A I A A= + = + − +

( )( ) ( ) 12 23 3 3I A I A A I I A I A A−⇒ + − + = ⇒ + = − +

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 00 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1

= − + = − −

Putem folosi și metoda de calcul a inversei cu formula

( ) ( )1 *3

1 , det 0 ,det

M M M M I AM

− = ⋅ ≠ = +

Se consideră sistemul

1000

x y z tx y z tx y z tx y z t

+ + + = − + + = + − + = + + − =

şi A matricea sistemului. V19

a) Să se calculeze ( )det A . b) Să se rezolve sistemul. c) Să se determine 1A− .

Soluţie propusă și redactată de Vlad Constantinescu, clasa a XI-a A,


a) ( )

2 1

3 1

4 1determinanttriunghiular

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 2 0 0

det 81 1 1 1 0 0 2 01 1 1 1 0 0 0 2

L LL LL L

A

−−−− −

= = = −− −

− −

b) ( )1 1 12 10 1 0 2

x y z t x y z ty y

x y z t x y z t+ + + = + + + =

⇒ ⇒ = ⇒ = − + + = ⋅ − − + − − =

( )1 1 12 10 1 0 2

x y z t x y z tz z

x y z t x y z t+ + + = + + + =

⇒ ⇒ = ⇒ = + − + = ⋅ − − − + − =

( )1 1 12 10 1 0 2

x y z t x y z tt t

x y z t x y z t+ + + = + + + =

⇒ ⇒ = ⇒ = + + + = ⋅ − − − − + =

1 1 1 1 1 1 1 11 , , ,2 2 2 2 2 2 2 2

x x S ⇒ + + + = ⇒ = − ⇒ = −

.

c) det 0A A≠ ⇒ inversabilă 1A−⇒ ∃ astfel încât 1 14A A A A I− −⋅ = ⋅ =

Dacă 1

1 1 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 1 0 01 1 1 1 0 0 1 01 1 1 1 0 0 0 1

x y z t x y z ta b c d a b c d

Ae f g h e f g hj k l m j k l m

−

− = ⇒ ⋅ = −

−

10 1 1 1 1, , ,0 2 2 2 20

x y z tx y z t

x y z tx y z tx y z t

+ + + = − + + =⇒ ⇒ = − = = = + − + = + + − =

și

01 1 1, , 0, 00 2 20

a b c da b c d

a b c da b c da b c d

+ + + = − + + = ⇒ = = − = = + − + = + + − =

Analog obţinem 1 1, 0, , 02 2

e f g h= = = − = şi 1 1, 0, 0,2 2

j k l m= = = = −

1

1 1 1 12 2 2 2

1 1 0 02 21 10 02 21 10 02 2

A−

− −

⇒ = − −

Metoda 2. 1 1 , det 8 0det

A A AA

− ∗= ⋅ = − ≠ …

Se consideră triunghiul ABC , cu laturile , ,AB c AC b BC a= = = şi sistemul ay bx ccx az bbz cy a

+ = + = + =

.

V20 a) Să se rezolve sistemul în cazul 3 , 4 , 5a b c= = = . b) Să se demonstreze că, pentru orice triunghi, sistemul are soluţie unică. c) Ştiind că soluţia sistemului este ( )0 0 0, ,x y z , să se demonstreze că ( )0 0 0, , 1,1x y z ∈ − .

Soluţie propusă și redactată de Alexandra Delne, clasa a XI-a A,

C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe b) Rezolv în cazul general şi apoi voi particulariza pentru punctual a)

0

0 2 00

b ac a abc

c b∆ = = − ≠ deoarece a,b,c laturile unui ∆ .

Deoarece sistemul este pătratic( 3 ecuaţii, 3 necunoscute) şi determinantul asociat

nenul Cramer⇒ sistemul are soluţie unică și , ,yx zx y z

∆∆ ∆= = =∆ ∆ ∆

( ) ( )2 2 2 2 2 23 2 2 2 2 2

00

2 2x

c a a a c b b c ab a a ac ab a a c b xabc bc

a c b

− − + −∆ = = − − = − − ⇒ = =

−

( ) ( )2 2 2 2 2 23 2 2 2 2 2

0

2 20

y

b c b b c a a c bc b a b bc ba b b c a yabc ac

a b

− − + −∆ = = − − = − − ⇒ = =

−

( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 20

2 20

z

b a c c c a b a b cc b c a c b c c c a b zabc ab

c a

− − + −∆ = = − − = − − ⇒ = =

−

a) 2 2 2 2 2 2 2 2 24 5 3 4 3 5 4 3 3 4 53, 4, 5 , , 02 4 5 5 2 3 5 5 2 3 4

a b c x y z+ − + − + −= = = ⇒ = = = = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ deci 4 3, ,0

5 5S =

c) ( )2 2 2

0 0cos 1,12

b c ax A xbc

+ −= = ⇒ ∈ −

( )2 2 2

0 0cos 1,12

a c by B yac

+ −= = ⇒ ∈ −

( )2 2 2

0 0cos 1,12

a b cz C zac

+ −= = ⇒ ∈ −

Nu am ales intervale închise [ ]1,1− , deoarece unghiurile ABC∆ aparţin ( )0 00 ,180 .

Pentru *, ,a b c∈ se consideră sistemul , , ,ax by cz bcx ay bz a x y zbx cy az c

+ + = + + = ∈ + + =

. V21

a) Să se arate că determinantul sistemului este ( )( )2 2 2a b c a b c ab ac bc∆ = + + + + − − − .

b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat. c) Ştiind că 2 2 2 0a b c ab ac bc+ + − − − = , să se arate că sistemul are o infinitate de

soluţii ( ), ,x y z , astfel încât 2 2 1x y z+ = − .

Soluţie propusă și redactată de Cristian Ghepes, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) ( )ciclic

1= 1

1

a b c a b c b c b cc a b a b c a b a b c a bb c a a b c c a c a

+ +∆ = + + = + + =

+ +

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 12

a b c a b c ab ac bc a b c a b a c b c = + + + + − − − = + + − + − + −

b) Sistemul are acelaşi număr de ecuaţii şi necunoscute, deci el este compatibil

determinat dacă 0∆ ≠ şi are soluția unică , ,yx zx y z∆∆ ∆

= = =∆ ∆ ∆

( Cramer)

0, , 0x y z

b b c a b c a b ba a b c a b c a ac c a b c a b c c

∆ = = ∆ = = ∆ ∆ = =

( ){ }0, 1, 0 0,1,0x y z S⇒ = = = ⇒ =

c) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 10 0 02

a b c ab ac bc a b c a b a c b c + + − − − = ⇒ ∆ = ⇒ + + − + − + − = ⇒

( ) ( ) ( )2 2 2 0 0a b a c b c a b c⇒ − + − + − = ⇒ = = ≠

a a aa b c 0 A a a a rangA 1

a a a

= = ≠ ⇒ = ⇒ =

p a 0∆ = ≠ aleg x necunoscută principală , y , z= α = β necunoscute secundare.

Din 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1+ = − ⇒ + = − ⇒ = − − ⇒ = ± − −x y z x x xα β β α β α cu 21 0− − ≥β α .

Aleg soluția sistemului de forma ( ){ }2S 1 , ,= β− −α α β deci sistemul are o infinitate

de soluţii ( ), ,x y z , astfel încât 2 2 1x y z+ = − .

Fie sistemul 3 3 3

x y z 0ax by cz 0

a x b y c z 1

+ + =+ + =+ + =

, cu , ,a b c∈ distincte două câte două şi A matricea

sistemului . V22 a) Să se arate că ( ) ( )( )( )( )det A a b c c b c a b a= + + − − − . b) Să se rezolve sistemul în cazul 0a b c+ + ≠ . c) Să se demonstreze că dacă 0a b c+ + = , atunci sistemul este incompatibil .

Soluţie propusă și redactată de Ramona Ignat, clasa a XI-a A,


( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2

2 2

3 2 2 2 2

1 1 1 1 0 0 1 0 0det 1 1

1 0 01 0

2 13 1

3 2

C -CC -C

determinantC -C triunghiular

=

= =

= − − = − − =− − + + + +

− − − − − + − =+ + − + −

A a b c a b a c a b a c a aa b c a b a c a a b ab a c ac a

b a c a a b a c a c b ac aba b ab a c b ac ab

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )= − − − + + − = − − − + + b a c a c b c b a c b b a c a c b a b c

b) Dacă 0a b c+ + ≠ și , ,a b c distincte două câte două ( )det 0Cramer

A⇒ ≠ ⇒ Sistemul

este compatibil determinat şi , ,yx zx y z∆∆ ∆

= = =∆ ∆ ∆

3 3 3 3 3 3

0 1 1 1 0 1 1 1 00 , 0 , 01 1 1

∆ = = − ∆ = = − ∆ = = −x y zb c c b a c a c a b b ab c a c a b

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )1 1 1, ,⇒ = = − =

− − + + − − + + − − + +x y z

b a c a a b c b a c b a b c c a c b a b c

c) ( ) ( )0 det 0 ( 3 )+ + = ⇒ = <a b c A rang A

3 3 3

1 1 1 =

A a b ca b c

. Deoarece ≠a b aleg 1 10∆ = = − ≠ ⇒P b a

a b

( )3 3

1 1 01 1

0 1 1 0

1

⇒∆ = = ⋅ + = − ≠C a b b aa b

a b

Rouche⇒ sistemul este incompatibil


A =

şi mulţimea ( )5

,a b

C A X a bb a

= = ∈

. V23

a) Să se arate că ( ),XA AX X C A= ∀ ∈ . b) Să se arate că dacă ( )Y C A∈ şi 2

2Y O= , atunci 2Y O= . c) Să se arate că dacă ( ) 2,Z C A Z O∈ ≠ şi Z are toate elementele raţionale ,

atunci det 0Z ≠ .

Soluţie propusă și redactată de Andreea Mucha, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

( )

5 0 5 5 51 0 5

,0 5 5 5 51 0 5

a b b aXA

b a a bXA AX X C A

a b b aAX

b a a b

= ⋅ = ⇒ = ∀ ∈

= ⋅ =

b)

( )

2 2 22

2 2 2

5 5 0 05 60 02 5

a b a bY O a b abO

b a b aY C A ab a b = + ⇒ ⋅ = ⇒ = ∈ +

2 2

2

0 0 05 00 0 00

aa bY Y O

bab= + =

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = ==

c)

Presupunem det 0Z = unde ( ) 2

5, ,

a bZ C A Z O Z

b a

∈ ≠ =

cu ,a b∈

2 2 2 250 5 0 5 5

a ba b a b a b

b a⇒ = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ±

Dacă 0 5abb

≠ ⇒ = ± fals deoarece 2, 0 0a b b a Z O∈ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ,

dar 2 det 0Z O Z≠ ⇒ ≠ .

Se consideră o matrice ( )3A M∈ . Se notează cu tA transpusa matricei A. V24

a) Să se demonstreze că ( ) ( ) ( )33, , det detz X M zX z X∀ ∈ ∀ ∈ = .

b) Să se demonstreze că ( )det 0tA A− = . c) Ştiind că tA A≠ , să se demonstreze că ( ) 2trang A A− = .

Soluţie propusă și redactată de Emanuel Nazare, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

1 2 3 1 2 3

4 5 6 4 5 6

7 8 9 7 8 9

x x x zx zx zxz X z x x x zx zx zx

x x x zx zx zx

⋅ = =

( ) ( )1 2 3 1 2 3

34 5 6 4 5 6

7 8 9 7 8 9

det detzx zx zx x x x

z X zx zx zx z z z x x x z xzx zx zx x x x

⋅ = = ⋅ ⋅ =

b) Fie ( )tt t t tB A A B A A A A B= − ⇒ = − = − = −

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( )det det det det dettB B B B B= ⇒ = − ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 31 det det det 2det 0 det 0

btB B B B A A= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ − =

c)

Deoarece ( ) ( )det 0 3t tA A rang A A− = ⇒ − < Presupunem că ( ) 1trang A A− =

0

00

t

a b c a d g b d c gA A d e f b e h d b f h

g h i c f i g c h f

− − − = − = − − − −

Deoarece rangul este 1 atunci toţi minorii de ordin 2 trebuie să fie nuli 0 , , tb d c g f h b d c g f h A A⇒ − = − = − = ⇒ = = = ⇒ =

dar ( ) 2t tA A rang A A≠ ⇒ − =


A−

=

şi cos sin

sin cos

t tB

t t

−=

, cu t∈ . V26

a) Să se arate că dacă matricea ( )2X M∈ verifică relaţia AX XA= ,

atunci există ,a b∈ , astfel încât a bX

b a−

=

.

b) Să se demonstreze că * cos sin,

sin cosn nt nt

n Bnt nt

− ∀ ∈ =

.

c) Să se rezolve în mulţimea ( )2M ecuaţia 2X A= .

Soluţie propusă și redactată de Rares Paroiu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) Fie a cX

b d

=

cu , , ,a b c d ∈

0 11 0

0 11 0

a c b d b cAXb d a c d a a b

Xa d b aa c c a

XAc bb d d b

− − − − == = − = − − ⇒ ⇒ = =− − = = = −− b) ( )

cos sin:

sin cosn nt nt

P n Bnt nt

− =

, n ∗∈

Verificare: ( ) ( )cos sin

1 :sin cos

t tP B A

t t−

=

Presupunem ( )P n adevărată şi demonstrăm că ( ) ( )1P n P n→ +

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 cos 1 sin 11 :

sin 1 cos 1n n t n t

P n Bn t n t

+ + − + + = + +

1 cos sin cos sinsin cos sin cos

n n nt nt t tB B B

t nt t t+ − − = ⋅ = =

( ) ( )( ) ( )

cos 1 sin 1cos cos sin sin cos sin sin sinsin 1 cos 1sin cos cos sin cos cos sin sin

n t n tnt t nt t nt nt nt tn t n tnt t nt t nt t nt t+ − + − − −

= = + ++ −

( )P n⇒ adevărată n ∗∀ ∈

c) Metoda 1. Din

2 23 3a

A A

a bX X X X X X AX XA X

b a= =

− = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

( ) ( )22 2 2 2 2 2det det 1 1X A X A a b a b= ⇒ = ⇒ + = ⇒ + =

t⇒∃ ∈ astfel încât cosa t= şi cos sinsin

sin cost t

b t Xt t

− = ⇒ =

2 cos 2 sin 2 cos 2 02 0

sin 2 cos 2 sin 2 1 4

b t t tX ctg t t k k

t t tπ π

− = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ ∈ + ∈ =

2cos cos 2 cos

1 14 4 2 221 122sin sin 2 sin

4 4 2

a t nk n X

b t n

π ππ

π ππ

= = + = = − = ⇒ ⇒ = = = + = =

2cos cos 2 cos1 14 4 2 22 11 122sin sin 2 sin

4 4 2

a t nk n X

b t n

π ππ π π

π ππ π π

= = + + = + = − − = + ⇒ ⇒ = − = = + + = + = −

Metoda 2. ( ) ( )2 2 0 1det det ;

1 0X A X A A

− = ⇒ = =

( )2 0 1det 1 det 1

1 0X X

−⇒ = = ⇒ = ±

Aplicăm relația lui Cayley – Hamilton: ( ) ( )

2 22 2 2det det

t

X tr X X X I O tr X X X X I=

− ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = + ⋅ deci avem două cazuri:

Caz i. det 1X =

( ) ( )

22

2

0 1 1 0 1 11 0 0 1 1 1

1 1 1 112 21 1 1 12

At X X I t X t X

tr t X tr t t X M

=

− − ⋅ = + ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒

− −

⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ± ∈

Caz ii. det 1X = −

( ) ( )

22

2

0 1 1 0 1 11 0 0 1 1 1

1 1 1 112 21 1 1 12

At X X I t X t X

tr t X tr t t i X Mi

=

− − − ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ −

− − − − ⇒ ⋅ = ⇒ = − ⇒ = ± ⇒ = ± ∉ − −

În mulţimea ( )2M se consideră matricele 0 01 0

A =

şi 2

0 11 0

I =

. V27

a) Să se determine rangul matricei 2A I+ . b) Să se demonstreze că dacă ( )2X M∈ verifică relaţia AX XA= , atunci

există ,x y∈ , astfel încât 0xX

y x

=

.

c) Să se demonstreze că ecuaţia 2Y A= nu are nici o soluţie în mulţimea ( )2M .

Soluţie propusă și redactată de Vlad Roman, clasa a XI-a A,


a) 2

0 0 1 0 1 01 0 0 1 1 1

M A I = + = + =

( ) ( )1 0

det 1 0 21 1

M rang M= = ≠ ⇒ =

b) 0 0 0 01 0 0 0 0 0

0 00 0 01 0 0

x zAX

y t x z z x t xX

x z t z y xx z zXA

y t t

= ⋅ = = ⇒ = ⇒ ⇒ = = = ⋅ =

c) Metoda 1.

Din )

3 3 2 2 0b xY Y Y Y Y Y A Y Y A Y

y x

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

2 0 0 0 01 0

x xY A

y x y x

= ⇒ =

2

2

0 001 02

xxy x

⇒ =

2 000 12 1

falsxx

xy ==

⇒ ⇒ ⇒ == ecuaţia 2Y A= nu are nici o soluţie.

Metoda 2. Presupunem că ( )2Y M∃ ∈ astfel încât 2Y A=

( )

( ) ( )2 2

0

det det det 0A

Y A Y Y tr Y Y tr Y Y A==

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ =

( )( ) ( )

( )( ) ( )22

0

0 0tr tr Y Y tr A tr Y tr Y M O=

⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = fals,

deci ecuaţia 2Y A= nu are soluţii. Metoda 3. Presupunem că 2Y A= are soluţii ⇒ Y inversabilă dar din

( )2 0 0det 0

1 0Y Y Y

= ⇒ = ⇒

nu e inversabilă 2Y A⇒ = nu are soluţii.


A =

. V28

a) Să se rezolve ecuaţia ( )2det 0A xI− = . b) Să se arate că dacă matricea ( )2X M∈ verifică relaţia AX XA= ,

atunci există ,a b∈ , astfel încât 00a

Xb

=

.

c) Să se determine numărul de soluţii ale ecuaţiei ( )32,X A X M= ∈ .

Soluţie propusă și redactată de Bianca Rusu, clasa a XI-a A,


a)

2

1 0 0 1 00 8 0 0 8

x xA x I

x x−

− ⋅ = − = −

( ) ( )( ) { }2

1 0det 0 0 1 8 0 1,8

0 8x

A x I x x xx

−− ⋅ = ⇒ = ⇒ − − = ⇒ ∈

−

b) 1 0 80 8 8 8 0

8 8 8 01 00 8 8 8

a c a cXA

d b d b a c a c cd b d b da c a c

AXd b d b

= = = ⇒ = ⇒ = = =

Deci există ,a b∈ , astfel încât 00a

Xb

=

.

c)

Din )

4 4 3 3 00

b aX X X X X X AX XA X

b

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

22

2

2 33 2

2 3

0 0 00 0 0

00 000 0

a a aX X X

b b b

aa aX X X

bb b

= ⋅ = =

= ⋅ = =

33

3

1 000 80

aX A

b

= ⇒ = ⇒

( )( )

( )( ) { }2

2

2

333 2

12

1 1 0 1 31,1 28 2 2 4 0

2, 1 3

i

i

a a a iaab b b b

b i

∆=

∆=

− + + = − ± ∈ = ⇒ ⇒ ⇒ = − + + = ∈ − ±

Deoarece a poate fi ales în 3 moduri și b tot în 3 moduri ⇒ ecuaţia are 3 3 9⋅ = soluţii.

Se consideră sistemul 0

1 ,2 1

x y zmx y z m mx my z

+ + = + + = − ∈ + + = −

şi matricea 1 1 1

1 11 2

A mm

=

. V29

a) Să se determine m∈ pentru care det 0A = . b) Să se arate că pentru orice m∈ sistemul este compatibil. c) Să se determine m∈ ştiind că sistemul are o soluţie ( )0 0 0, ,x y z cu 0 2z = .

Soluţie propusă și redactată de Emanuel Todor, clasa a XI-a A,


a) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 1

1 1 1 1 1 11 1

det 1 1 1 0 0 1 1 1 2 1 22

1 2 1 2

L L

A m m m m m m mm

m m

−

= = − = − − = − − − = − −

( ) ( )( ) { }det 0 1 2 0 1,2A m m m= ⇒ − − = ⇒ ∈ .

b) { }\ 1, 2 0m∈ ⇒ ∆ ≠ ⇒Cramer

sistem compatibil determinant

Dacă 1 0m = ⇒ ∆ = şi aleg 1 11 0

1 2P∆ = = ≠ . Calculez C∆ .

1 1 01 1 0 01 2 1

C

′

∆ = = ⇒−

Rouchesistem compatibil.

Dacă 2 0m = ⇒ ∆ = şi aleg 1 11 0

2 1p∆ = = − ≠ . Calculez C∆ .

1 1 02 1 1 01 2 1

C

′

∆ = = ⇒−

Rouchesistem compatibil.

⇒ Sistemul este compatibil m∀ ∈ .

c) Metoda 1. Ȋnlocuim 2

2 35

x yz mx y m

x my

+ = −= ⇒ + = − + = −

Adun ecuaţia 3 cu ecuaţia 2

( ) ( ) ( )( )2

1 1 8 1 8 2x m y m m m x y m m=−

⇒ + + + = − ⇒ + + = − ⇒ =

Metoda 2. Dacă { }\ 1, 2 0m∈ ⇒ ∆ ≠ ⇒Cramer

sistemul are soluţia unică ( )1,0, 1− deci 0z nu poate să fie 2.

Dacă 0

1 02 1

x y zm x y z

x y z

+ + == ⇒ + + = + + = −

. Scad din ecuaţia 3, ecuaţia 2 1 2z⇒ = − ≠ .

Dacă 0

2 2 12 2 1

x y zm x y z

x y z

+ + == ⇒ + + = + + = −

. 1 1 ,2 1

necunoscute principalenecunoscută secundarăp

x yz α

∆ = ⇒ ⇒ =

( ){ }11, 1 ,

2 1 1x y x

Sx y y

αα α

α α+ = − =

⇒ ⇒ = − − + = − = − − deci 0z poate fi egal şi cu 2,

adică 0 2z = dacă 2m = .

Se consideră numerele reale a,b,c, funcţia ( ) 3: , 2 3f f x x x→ = + + şi

determinanţii 3 3 3

1 1 1A a b c

a b c= şi

( ) ( ) ( )

1 1 1B a b c

f a f b f c= V30

a) Să se arate că ( )( )( )( )A a b b c c a a b c= − − − + + b) Să se arate că A B= c) Să se arate că, pentru orice puncte distincte, cu coordonate naturale,

situate pe graficul funcției f , aria triunghiului cu vârfurile în aceste puncte este un număr natural divizibil cu 3.

Soluţie propusă și redactată de Andrei Tudose, clasa a XI-a A,


a) ( )( ) ( )( )

2 13 1

2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 0 0C CC C b a c a

A a b c a a b c ab c b ba a c a c ca a

a b c a b a c a

−− − −

= = − − = =− + + − + +

− −

( )( ) ( )( ) 2 22 2 2 2

1 1b a c a b a c a c ca a

b ba a c ca a= − − = − − + +

+ + + +2 2b ba a− − −( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )b a c a c b c b a c b b a c a c b a b c= − − − + + − = − − − + + =

( )( )( )( )a b b c c a a b c= − − − + +

b) 3 3 3 3 3 3

0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3A

B a b c a b c a b c a b c A Ba a b b c c a b c a b c

= =

= = + + ⇒ =+ + + + + +

c) Fie ( )( ) ( )( ) ( )( ), , , , ,A a f a B b f b C c f c trei puncte distincte cu

coordonatele naturale. ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )( )) )

1 1 1 11 1 112 2 2

1

1 12 2 2

ABC

b a

a f aA b f b a b c

c f c f a f b f c

a b b c c a a b cB A

= ∆ = = =

− − − + += = =

.

Dacă , ,a b c naturale ⇒ două dintre ele au aceeaşi paritate ⇒ a b− sau b c− sau c a− par ⇒ ABCA ∈ Dacă , ,a b c naturale ⇒ toate dau resturi diferite la împărţirea cu 3 sau două dau acelaşi rest la împărţirea cu 3.

Caz i. Dacă toate dau resturi diferite 3 3ABCa b c M A⇒ + + = ⇒ Caz ii. Două dau acelaşi rest a b⇒ − sau b c− sau 3 3ABCc a M A− = ⇒ .

Pentru x∈ se consideră matricea ( ) ( )2

21 1

1 1x x

A x Mx

+ −= ∈

− V31

a) Să se verifice că ( )( ) ( )22A x xA x=

b) Să se determine toate numerele complexe x pentru care ( )( ) ( )( )4 2

2A x A x O+ = c) Să se arate că ecuaţia ( ) ( )2

20 ,X A X M= ∈ nu are soluţii.

Soluţie: Soluţie propusă și redactată de Catinca Băjan, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

Din relaţia Cayley-Hamilton știm că ( ) ( )22 2detA tr A A A I O− ⋅ + =

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

2 2

22 2

dettrA x x

A x x A x O I O A x xA xA x= ⇒ − ⋅ + ⋅ = ⇒ =

b)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ))4 2 2 22

2 2 22 2 4 2a

A x A x O xA x xA x O x A x xA x O+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒

( ) ( ) ( )

( ) ( )2

3 2 22 28 2 2 4 1 2 4 1 0 0, ,

2 2O

i ix A x xA x O x A x x O x x x≠

⇒ + = ⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ + = ⇒ ∈ −

c) Metoda 1. Presupunem că ( )2X M∃ ∈ astfel încât ( )2 0X A=

( )

( ) ( )2 2 2

0

1 1det det det 0

1 1 M

M

X X M X X tr X X M tr X X==

=

− ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ −

( ) ( )( ) ( )( ) ( )22

0

0 0tr M tr tr X X tr X tr X M O=

⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

fals,

deci ecuaţia ( )2 0X A= nu are soluţii. Metoda 2. Presupunem că ( )2 0X A= are soluţii ⇒ X inversabilă dar din

( )2 1 1det 0

1 1X X X

− = ⇒ = ⇒ −

nu e inversabilă ( )2 0X A⇒ = nu are soluţii.

Se consideră în 3 sistemul

11 ,

ax y zx ay z ax y az a

+ + = + + = ∈ + + =

. V32

a) Să se arate că determinantul matricei sistemului are valoarea ( )( )22 1a a+ − . b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat. c) Să se rezolve sistemul în cazul 2a = − .

Soluţie propusă și redactată de Alexandra Ciocan, clasa a XI-a A,


a)

( ) ( )( ) ( )( )22

1 1 2 1 1 1 1 11 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 11 1 2 1 1 1

ciclica a

a a a a a a a a a aa a a a

+∆ = = + = + = + − + = + −

+

b)

Dacă sistemul este compatibil determinat 0CRAMER⇒ ∆ ≠ şi xx ∆

=∆

, yy∆

=∆

, zz ∆=∆

.

( ){ }

1 1 11 1 0 0

1

1 11 1 1 0 0 0,0,11

1 11 1 11 1

x

y

z

a xa a

ay S

a a

aa z

a

∆ = = ⇒ =

∆ = = ⇒ = ⇒ =

∆ = = ∆⇒ =

c)

2 0a = − ⇒ ∆ = . Aleg 2 13 0

1 2p

−∆ = = ≠

−. Calculez C∆

2 1 11 2 1 01 1 2

Rouche

C

−∆ = − = ⇒

−sistem compatibil

Avem:

3 3 31

2 1, 2 12 1 2 2 4 2 2

necunoscute principalenecunoscută secundară

yy

x yx y x yx yz x y

αα

α ααα α

− = −= −

− + = − − + = − ⇒ ⇒ − = − ⋅= − = −

( ){ }1 1, 1,x Sα α α α⇒ = − ⇒ = − − sistem compatibil simplu nedeterminat.

Se consideră matricele 3

1 0 0 0 1 00 1 0 , 0 0 10 0 1 1 0 0

I B = =

şi

23 , , ,A aI bB cB a b c= + + ∈ . V33

a) Să se calculeze 3B . b) Să se calculeze 1B− . c) Să se demonstreze că ( ) ( ), , , det 0a b c a b c A∀ ∈ + + ≥ .

Soluţie propusă și redactată de Andrea Cirstea, clasa a XI-a A,


a)

2

0 1 0 0 1 0 0 0 10 0 1 0 0 1 1 0 01 0 0 1 0 0 0 1 0

B B B = ⋅ = ⋅ =

3 23

0 0 1 0 1 0 1 0 01 0 0 0 0 1 0 1 00 1 0 1 0 0 0 0 1

B B B I = ⋅ = ⋅ = =

b) Metoda 1.

3 2 1 23 3

0 0 11 0 00 1 0

B I B B I B B−

= ⇒ ⋅ = ⇒ = =

Metoda 2. calcul efectiv folosind formula ( ) ( )1 *1 , det 0

detB B B

B− = ⋅ ≠

c)

23

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

a b c a b cA aI bB cB a b c c a b

a b c b c a

= + + = + + =

( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2

1det 1

1

12

a b c a b c b c b cA c a b a b c a b a b c a b

b c a a b c c a c a

a b c a b c ab ac bc

a b c a b a c b c

+ += + + = + + =

+ +

= + + + + − − − =

= + + − + − + −

circular=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21det 0 , , ,2

a b c A a b c a b a c b c a b c ⇒ + + ⋅ = + + − + − + − ≥ ∀ ∈

Se consideră matricele ( ) ( ) ( )1,3 3,1

41 2 3 , 5

6K M L M

= ∈ = ∈

şi A LK= . V34

a) Să se calculeze suma elementelor matricei A . b) Să se arate că 2 32A A= . c) Să se arate că rangul matricei nA este 1, oricare ar fi *n∈ .

Soluţie propusă și redactată de Mădălin Dermişek, clasa a XI-a A,


a)

( )4 4 8 125 1 2 3 5 10 15 906 6 12 18

A L K S = ⋅ = ⋅ = ⇒ =

b)

2

4 8 12 4 8 12 128 256 3845 10 15 5 10 15 160 320 480 326 12 18 6 12 18 192 384 576

A A A A = ⋅ = = =

c) ( ) 1: 32 ,n nP n A A n− ∗= ∈

Verificare ( ) 01 : 32P A A= ⋅ adevărat.

Presupunem ( )P n adevărată şi demonstrăm că ( ) ( )1P n P n→ + .

( ) 11 : 32n nP n A A++ = 1 1 1 2 132 32 32 32 32n n n n n nA A A A A A A A+ − − −= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ( )P n⇒ adevărată , n ∗∀ ∈ .

Deci 1

4 8 1232 5 10 15

6 12 18

n nA −

=

4 4 0∆ = = ≠ . Arăt că toţi bordaţii de ordin 2 sunt nuli.

1

4 90

5 10B = = , 2

4 120

5 15B = = , 3

4 86 12

B = , 4

4 120

6 18B = =

( ) 1nrang A⇒ = .

Se consideră matricele 1 2 1 22 2 0 , 11 4 3 5

A B−

= = −

. V35

a) Să se arate că ecuaţia AX B= are o infinitate de soluţii ( )3,1X M∈ . b) Să se verifice că 3 10A A= . c) Să se determine rangul matricei *A , adjuncta matricei A .

Soluţie propusă și redactată de Sergiu Herciu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

1 2 1 2 2 22 2 0 1 2 2 11 4 3 5 4 3 5

x x y zA X B y x y

z x y z

− + − = ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ + = − + − =

( )det 6 8 2 12 0A = − − + + = şi aleg 1 22 0

2 2p∆ = = − ≠ . Calculez C∆ .

1 2 22 2 1 10 16 2 4 4 20 01 4 5

C

′

∆ = = + + − − − = ⇒Rouche

Sistem compatibil nederminat⇒

⇒ ecuaţia are o infinitate de soluţii ( )3,1X M∈ . b) Metoda 1.

2

1 2 1 1 2 1 4 2 22 2 0 2 2 0 6 8 21 4 3 1 4 3 6 2 8

A A A− −

= ⋅ = = − − − −

3 2

4 2 2 1 2 1 20 20 106 8 2 2 2 0 20 20 0 106 2 8 1 4 3 10 40 30

A A A A− −

= ⋅ = − ⋅ = = ⋅ − − −


3 3 3,A tA sA dI O A M− + − = ∀ ∈ ( )

3 311 22 33 3

0

2 0 1 1 1 26 2 2 10 10 10

4 3 1 3 2 2det 0

t tr A

s A A O A A

d A

= =

−= ∆ + ∆ + ∆ = + + = − − − = − ⇒ − = ⇒ =

− −

= =

c) Fie 1 2 12 2 41 0 3

tA = − −

. Calculăm complementul algebric al fiecărui element.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

2 4 2 4 2 26; 2; 2

0 3 1 3 1 06 2 2

2 1 1 1 1 26; 2; 2 6 2 2

0 3 1 3 1 06 2 2

2 1 1 1 1 26; 2; 2

2 4 2 4 2 2

a a a

a a a A

a a a

∗

= = − = − = = =− − − −

− = − = = = − = − = − ⇒ = − − − − − − − −

= = = − = − = = −

Aleg 6 0p∆ = − ≠ . Calculăm toţi bordaţii de ordin 2. 6 2 6 2 6 2 6 2

0; 0; 0; 06 2 6 2 6 2 6 2− − − −

= = = =− − − −

.

Deoarece toţi minorii bordaţi sunt nuli ( ) 1rang A∗⇒ = .

Se consideră matricele ,a b

Ac d

=

=

0000

2O în 2 ( )M cu proprietatea că 2

2A O= . V36 a) Să se arate că 0a d+ = b) Să se arate că matricea 2I A+ este inversabilă. c) Să se arate că ecuaţia 2AX O= are o infinitate de soluţii în mulţimea

2 ( )M .

Soluţie propusă și redactată de Vlad Papancea, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

Folosim relația ( ) ( )22 2detA tr A A A I O− ⋅ + ⋅ = ( Cayley- Hamilton)

( )

( )

2

2 22 2det 0

C H

O t

A O A A tr A A O−

=

= ⇒ = ⇒ − ⋅ = unde 2t a d t A O= + ⇒ ⋅ =

Caz i. 0 0t a d= ⇒ + = Caz ii. 2 0A O a d= ⇒ + =

b) ( )( )2 2

2 2 2 2 2 2I I O I A I A I A= − = − = − +

( )( )2 2 2 2I A I A I I A+ − = ⇒ + inversabilă şi ( ) 12 2I A I A−+ = −

c)

2 22 2A O A k O= ⇒ ⋅ = k∀ ∈

2A Ak O⇒ ⋅ = şi luăm X k A= ⋅ deci X k A= ⋅ are o infinitate de valori pentru k∈ ⇒ ecuaţia 2A X O⋅ = are o infinitate de soluţii.

Se consideră matricea1 21 2 , ,

1 1

a a aA b b b a b

a

+ + = + + ∈

. V37

a) Să se arate că ( ) ( )( )det 1A a b a= − − . b) Să se calculeze ( )det tA A− . c) Să se arate că 2 , ,rangA a b≥ ∀ ∈ .



a)

( )

( )( ) ( )( )3 3

1 2 1 2 1 0det 1 2 1 2 1 0

1 1 1 0 1 1 0 1

11 1 1

1

a a a a aA b b b b b

a a a

aa a a b

b

−− −

+

+ += + + = = =

− −

= − − = − −

2 13 1 3 2

C CC C C 2C

b)

Metoda 1. 1 2 1 0 1 11 2 1 1 1 1 0 1

1 1 2 2 1 2 1 0

t

a a a a b a b aA A b b b a b b a b M

a a b a a b

+ + + − + − = + + − + + = − − + = + + − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3det det det det det 1 dettt t tM A A A A A A M M= − = − = − = − = −

( ) ( ) ( ) ( )det det 2det det 0M M M M⇒ = − ⇒ ⇒ =

( )det 0tA A⇒ − = .

Metoda 2. Calcul efectiv pentru ( )0 1 1

det 1 0 11 2 1 0

a b aM b a b

a b

+ − += − − +

− − − −

c)

( )1

1 0 21 1b b

rang A+

∆ = = − ≠ ⇒ ≥ , ,a b∀ ∈

Se consideră matricea 0 0 01 0 01 1 0

A =

şi mulţimea de matrice

0 00 , ,

aM b a a b c

c b a

= ∈

. V38

a) Să se calculeze 3A . b) Să se arate că dacă ( )3X M∈ şi AX XA= , atunci X M∈ . c) Să se arate că ecuaţia 2X A= nu are soluţii în ( )3M .

Soluţie propusă și redactată de Irina Petcu, clasa a XI-a A,


a) Metoda 1. Calcul efectiv

2

0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 1 0 0 0 0 01 1 0 1 1 0 1 0 0

A A A = ⋅ = ⋅ =

3 23

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 1 1 0 0 0 0

A A A O = ⋅ = ⋅ = =


3 3 3,A tA sA dI O A M− + − = ∀ ∈

( )3

11 22 33 3

0

0 0 0 0 0 00

1 0 1 0 1 0

det 0determinanttriunghiular

t tr A

s A O

d A

= =

= ∆ + ∆ + ∆ = + + = ⇒ =

= =

b) Fie a m u

X b n vc p t

=

00 0 0 0 0 01 0 0 0 01 1 0 0 0

00 0 0 0 0 01 0 01 1 0

0

m ua m u m u u u u

X A b n v n v v n v a mc p t p t t v m v

n na m up t a bA X b n v a m nt m nc p t a b m n u v

u v

+ =+ = = ⋅ = ⋅ = + + = = + = = ⇒ ⇒ = =

+ = +⋅ = ⋅ = = ++ + + = +

at ap b

=

=

0 00

aX b a M

c b a

⇒ = ∈

c) Metoda 1.

3 3 2 2

0 00

aX X X X X X AX XA X b a

c b a

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

Presupunem că ( )3X M∃ ∈ astfel încât ( )2 2det detX A X A= ⇒ = ⇒

( )2 3det 0 det 0 0 0determinanttriunghiular

X X a a⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = .

2

2

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0X X X b b

c b c b b

= ⋅ = ⋅ =

Dar din 2

2

0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0X A

b

= ⇒ =

fals, deci ecuaţia nu are soluţii în

( )3M . Metoda 2. Presupunem că 2X A= are soluţii ⇒ X inversabilă dar din

( )2 det 0X A X X= ⇒ = ⇒ nu e inversabilă 2X A⇒ = nu are soluţii.

Se consideră sistemul *

00 , , ,

0

x y zax by cz a b c

bcx acy abz

+ + = + + = ∈ + + =

şi A matricea sistemului. V39

a) Să se calculeze ( )det A . b) Să se rezolve sistemul, în cazul în care a,b,c sunt distincte două câte două. c) Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului, , în cazul în care a b c= ≠ .

Soluţie propusă și redactată de Diana Pop, clasa a XI-a A,


a) Metoda 1.

( ) ( ) ( )1

1 1 1 1 0 0det

b a c aA a b c a b a c a

c b a b c abc ac ab bc ac bc ab bc

−− − −

= = − − =− − − −

− −

2 13

C CC C

( )( ) ( )( )( )1 1

b a c a b a c a c bc b

= − − = − − −− −

Metoda 2.

( ) ( )( )( )2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1det

1 1 1 1 1 1

a b cA a b c abc a b c a b c a b c c b c a b a

abc abc abc a b ca b c a b c

= = = = = − − −

b)

, ,a b c distinct două câte două ( )det 0A⇒ ≠ ⇒Cramer

sistemul este compatibil determinat, dar sistemul este şi omogen 0x y z⇒ = = = .

c)

( )det 0a b c A= ≠ ⇒ = și 2

1 1 1A a a c

ac ac a

=

Aleg 1 10p c a

a c∆ = = − ≠ . Calculez

2

1 1 00 00

C a cac a

′

∆ = = ⇒Rouche

sistem compatibil.

Fie ( ), necunoscute principale

necunoscută secundară a b

y z k ay zx k ay cz ak

=

+ = − ⋅ − ⇒ = + = −

ay az akay cz ak− − =

⇒ + = −

( )0

0 0z c a z y k≠

− = ⇒ = ⇒ = −

( ){ }, ,0S k k⇒ = − sistem compatibil simplu nedeterminat.

Se consideră matricele 3

1 0 0 0 1 0 10 1 0 , 0 0 1 , 20 0 1 1 0 0 3

I A X = = =

şi

( ) 3 31 3 2 , , ,Y B I A C I aA a= = + = + ∈ . V40 a) Să se calculeze S A XY= − . b) Să se determine a∈ astfel încât 3BC I= . c) Să se arate că 1 *14 ,n nA A n+ = ∀ ∈ .

Soluţie propusă și redactată de Viviana Popa, clasa a XI-a A,


a)

( ) 3

1 1 3 23 1 3 2 3 9 62 2 6 4

A

XY A S A XY A A O

=

= = = ⇒ = − = − =

b) ( )( )3 3 3 3 3BC I I A I aA I I= ⇒ + + = ⇒ 2

3aA A aA I+ + + = 23aA A aA O⇒ + + =

dar 2

1 3 2 1 3 2 14 42 28 1 3 23 9 6 3 9 6 42 126 84 14 3 9 6 142 6 4 2 6 4 28 84 56 2 6 4

A A A A = ⋅ = = = =

( )3 3 314 15 15 1a A A a A O a A A O A a O⇒ ⋅ + + ⋅ = ⇒ ⋅ + = ⇒ + = 115 1 0

15a a⇒ + = ⇒ = −

c) ( ) 1: 14 ,n nP n A A n+ ∗= ∈

Verificare: ( ) ( )21 : 14P A A A=


( ) 2 11 : 14n nP n A A+ ++ =

( )2 1 114 14n n n nA A A A A A P n+ + += ⋅ = ⋅ = ⇒ adevărată n ∗∀ ∈ .

Pentru , ,p q r∈ , se consideră sistemul

2 3

2 3

2 3

x py p z px qy q z qx ry r z r

+ + = + + = + + =

. V41

a) Să se arate că determinantul sistemului ( )( )( )p q q r r p∆ = − − − . b) Dacă p,q,r sunt distincte să se rezolve sistemul. c) Să se arate că, dacă sistemul are soluţia ( )1,1,1− , atunci cel puţin două dintre

numerele , ,p q r sunt egale.

Soluţie propusă și redactată de Cornelia Secelean, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) ( )( )( )

2

2

2

111

Vandermondep pq q r p r q q pr r

∆ = = − − −

b) , ,p q r distincte 0⇒∆ ≠ ⇒Cramer

sistemul este compatibil şi xx ∆=∆

, yy∆

=∆

, zz ∆=∆

. 3 2 2

3 2 2

3 2 2

111

x

p p p p pq q q pqr q q pqr x pqrr r r r r

∆ = = = ⋅∆⇒ =

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

2 1

3 1

3 2 3 22 2

3 2 3 3 2 2

2 23 2 3 3 2 2

1 11 01 0

L L

y L L

p p p p q p q qp p q p q pq q q p q p

r p r rp p r p r pr r r p r p

−

−

− + + − +∆ = = − − = =

− + + − +− −

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1

q qp p q pq qp p q p q qp p q pq p r p

r q p q r r qr rp p r p r q rp qp r q

q qp p q pq p r p r q pq qr rp y pq qr rp

p q r

− + + ++ + + + + += − − = =

− + + −+ + + − + − −

+ + += − − − = ∆ − − − ⇒ = − − −

+ +

2 1L L

( )( ) ( )( )( )1

3 32 2

3 3 3 2 22 2

3 3 3

1 11

1 01

1 0z

p p p pq pq p

q q q p q p q p r p q p r p r q rp pqr rp p

r r r p r p

−

−

+ +∆ = = − − = − − = − − − + −

+ +− −

2

3 1

L L

L L

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )= − − − + + − = − − − + + = ∆ + + ⇒ = + + q p r p r q r q p r q q p r p r q r q p r q p z r q p

c) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 3 3 2 2

2 3 3 2 2

2 3 3 2 2

1 1 1 0 1 1 01 1 1 0 1 1 01 1 1 0 1 1 0

x p p p p p p p p py q q q q q q q q qz r r r r r r r r r

= − − + + = − − + = − − − = = ⇒ − + + = ⇒ − − + = ⇒ − − − = ⇒ = − + + = − − + = − − − =

( )( )( )( )( )( )

{ }{ }{ }

2

2

2

1 1 0 11 1 0 1

11 1 0

p p pq q q

rr r

− − = ∈ ± ⇒ − − = ⇒ ∈ ± ⇒ ∈ ±− − =

cel puţin două dintre numerele , ,p q r sunt

egale.

Se consideră matricele 2,A B M cu AB BA A şi matricele 0

0 1,

0 0A

0

1 00 2

B

. V42

a) Să se determine rangul matricei 0A . b) Să se arate că 0 0 0 0 0A B B A A . c) Să se demonstreze că n n nA B BA nA , pentru orice , 2n n .



a)

0

1 1 010 1

00 0

rang A

b)

0 0

0 1 1 0 0 20 0 0 2 0 0

A B

0 0

1 0 0 1 0 10 2 0 0 0 0

A B

0 0 0 0 0

0 2 0 1 0 10 0 0 0 0 0

A B B A A

c) Avem: AB BA A AB BA A Demonstrăm prin inducție

: , , 2n n nP n A B BA nA n n

Verificare 2 2 22 : 2P A B BA A

AB BA A A la stânga 2 2A B ABA A

2 2 2 2 2 2 2 2 22A B BA A A A A B BA A A A B BA A

Presupunem P n adevărată şi demonstrăm că 1P n P n

1 1 11 : 1n n nP n A B BA n A

n n nA B BA nA A la stânga 1 1n n nA B ABA nA

1 1 1 1 1 1n n n n n n nA B BA A A n A A B BA A nA

1 1 1 1n n n nA B BA nA A 1 1 1 1n n nA B BA A n P n adevărată , 2n n .

Se consideră mulţimea , , ,a b

M a b c dc d

= ∈

şi matricea 1 2

1 3A M = ∈

. V43

a) Câte matrice din mulţimea M au suma elementelor egală cu 1. b) Să se arate că 1A M− ∉ . c) Să se determine toate matricele inversabile B M∈ care au proprietatea

1B M− ∈ .


a)

1, , ,

a b c da b c d+ + + =

⇒∈

numai un număr este 1 iar celelalte sunt 0. Deci avem 4

matrici şi anume 1 0 0 1 0 0 0 0, , ,

0 0 0 0 1 0 0 1

.

b)

( )det 1A A= ⇒ inversabilă ( )

1 1det

A AA

− ∗⇒ = ⋅

11 1 3 2 3 22 3 1 1 1 1

tA A A M∗ −− − = ⇒ = ⇒ = ∉ − −

deoarece elementele nu sunt

toate naturale. c)

B inversabilă 1 1det

B BB

− ∗⇒ = ⋅ şi 12B B I−⋅ = unde B şi 1B M− ∈ .

( ) ( ) ( ) ( )1 1 12det det det det 1 det det 1B B I B B B B− − −⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = ± deoarece det B şi

1det B− ∈ .

t a c d bB B

b d c a∗ −

= ⇒ = −

Caz i. 1det 1B B B− ∗= ⇒ = dar 1

12

1 00 1 1

0 1B M b c ad a d B I

∆=− ∈ ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = =

Caz ii. 1det 1d b

B B Bc a

− ∗ − = − ⇒ = − = −

dar 1

1 0 10 1 1 1

1 0B M a d bc bc b c B

∆=−− ∈ ⇒ = = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = = ⇒ =

Se consideră matricele

1 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 1

A

=

şi

0 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 0

B

=

. V44

a) Să se calculeze AB BA+ b) Să se arate că ( )rang A B rangA rangB+ = + . c) Să se demonstreze că ( ) *,n n nA B A B n+ = + ∀ ∈

Soluţie propusă și redactată de Cosmin Vezeteu, clasa a XI-a A,


a) 4

44

A B OAB BA O

B A O⋅ =

⇒ + =⋅ =

b) Dacă efectuăm transformări elementarele vom obține:

4 1 4 1

1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

C C L L

A− −

= ⇒

( ) 1rang A =

3 2 3 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 00 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

C C L L

B− −

= ⇒

( ) 1rang B =

1 0 0 10 1 1 00 1 1 01 0 0 1

A B

+ =

1 01 0

0 1= ≠ . Calculăm bordaţii de ordin 3.

1 0 00 1 1 00 1 1

= , 1 0 10 1 0 00 1 0

= , 1 0 00 1 1 01 0 0

= , ( )1 0 10 1 0 0 21 0 1

rang A B= ⇒ + = ⇒

( )rang A B rangA rangB⇒ + = + . c) ( )

4 4 4

0 1 1 2 2 2 1 1....n n n n n n n nn n n n n

O O O

A B C A C A B C A B C A B C B− − − −

= = =

+ = + + + + ⋅ +

deoarece 4A B B A O⋅ = ⋅ =

deci ( )n n nA B A B+ = +

Se consideră matricele 2 0 1 0,

3 2 1 1A B = =

şi mulţimea

( ) ( ){ }2C A X M XA AX= ∈ = . V45 a) Să se arate că ( )B C A∈ . b) Să se arate că dacă ( )X C A∈ , atunci există ,x y∈ , astfel încât

0xX

y x

=

.

c) Să se rezolve ecuaţia 2X X A+ = .

Soluţie propusă și redactată de Andrei Vlad, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

( )

1 0 2 0 2 01 1 3 2 5 2

2 0 1 0 2 03 2 1 1 5 2

BABA AB B C A

AB

= ⋅ = ⇒ = ⇒ ∈

= ⋅ =

b)

Fie x zX

y t

=

2 0 2 2 2 2 33 2 3 2 3 2 3 2 2 3 0 0

3 2 22 0 2 3 22 23 2 2 3 2

x z x z x x zAXy t x y z t x y y t z x

Xz t t t x y xx z x z z

XAz zy t y t t

= += ⋅ = + + + = + = ⇒ ⇒ ⇒ = + = =+ = ⋅ = =+

.

c)

( ) ( )2 3 3 2 2 2 0b

A A

xX X X X X X X X X X XA AX X

y x= =

+ = + ⇒ + = + ⇒ = ⇒ =

2 2

2 22 2

0 0 0 02 2

x x x x xX X X X X

y x y x xy x xy y x x +

= ⋅ = ⋅ = ⇒ + = + +

( )

{ }222

1, 22 0232 1 32 3

2 1

xx xx xX A

y xxy y yx

∈ − + − = + = = ⇒ ⇒ ⇒ + =+ = = +

1 1 1 0 2 0,

2 1 1 1 1 2x y

Xx y

= ⇒ = − ⇒ ∈ = − ⇒ = − − −

Se consideră matricele ,a b

Ac d

0000

2O şi

1001

2I în 2 ( )M . V46

a) Să se demonstreze că 22, detx A x I x a d x ad bc

b) Dacă 22A O , să se demonstreze că 0a d

c) Ştiind că 22A O , să se calculeze 2det 2A I .


a)

2 2deta x b

A xI A xI a x d x bcc d x

22det A xI x a d x ad bc

b) Din relaţia Cayley-Hamilton avem 2

2 2detA tr A A A I O

Dar 22 2det 0 0

CH

A O A tr A A O tr A sau 2 0A O a d

c)

)

2 22 2

0det 0det

00

aad bcAA O A xI x

a da d

.

Dacă luăm 222 det 2 2 4x A I .

Se consideră matricele 1 2,

3 4A =

1 10 1

B =

şi funcţia

( )2 2: ( ) ( ),f M M f X AX XA→ = − . V47 a) Să se determine rangul matricei A. b) Să se calculeze ( )f B c) Să se arate că ecuaţia ( )f X B= nu are soluţii.



a)

( )1 2

det 2 0 23 4

A rang A= = − ≠ ⇒ =

b) ( )f B AB BA= −

( )

1 2 1 1 1 33 4 0 1 3 7 1 3 4 6 3 3 1 1

33 7 3 4 0 3 0 11 1 1 2 4 6

0 1 3 4 3 4

ABf B

BA

= ⋅ = − − ⇒ = − = = − − = ⋅ =

c) Presupune că ( )f X B= are soluţii

( ) ( ) ( ) ( ) 2AX XA B tr AX XA tr B Tr AX Tr XA⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = dar ( ) ( ) 2Tr AX Tr XA O= ⇒ = fals ⇒ ecuaţia nu are soluţii.

Se consideră sistemul 2 1

2 1 , , ,7

x y zx y z a b

x y az b

+ + = − + = ∈ − + =

. V48

a) Să se determine a∈ , pentru care determinantul sistemului este egal cu zero.

b) Să se determine valorile parametrilor ,a b∈ pentru care sistemul este incompatibil.

c) Să se arate că există o infinitate de valori ale numerelor a şi b pentru care sistemul admite o soluţie ( ), ,x y z cu x,y,z în progresie aritmetică.

Soluţie propusă și redactată de Vlad Constantinescu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

1 2 12 1 1 14 2 7 4 1 5 207 1

a a aa

∆ = − = − + − + − + = − +−

0 5 20 0 4a a∆ = ⇒ − + = ⇒ = . b)

Un sistem pătratic de ecuații liniare este incompatibil dacă 0∆ = şi un determinant caracteristic este nenul

Dacă 0∆ = 4a⇒ = deci matricea sistemului este 1 2 12 1 17 1 4

A = − −

Fie 1 25 0

2 1p∆ = = − ≠−

1 2 12 1 1 2 14 7 1 4 5 207 1

c b b bb

∆ = − = − − + + + − = − +−

.

Dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul este compatibil (Rouché) 0 5 20 0 4c b b⇒∆ ≠ ⇒ − + ≠ ⇒ ≠ . ⇒ Sistemul este incompatibil pentru 4a = şi 4b ≠ .

c)

, ,x y z în

12 1 2 24

ec.1x z y y y y+ = ⇒ − = ⇒ = şi dacă înlocuim

1 32 45 124 4

ec.1 & ec.2 x z x

x z z

+ = = ⇒ ⇒ + = = −

3 17 20 4 4 204 4 4

ec.3 a b a b a b⇒ ⋅ − − = ⇒ − = ⇒ + = ⇒

există o infinitate de valori ale numerelor a şi b astfel încât , ,x y z în progresie aritmetică

Se consideră a∈ , sistemul 1

1

x ayy az ax z

+ = + = + =

şi A matricea sa. V49

a) Să se arate că det 0A ≠ . b) Să se arate că soluţia sistemului este formată din trei numere în progresie

geometrică. c) Să se determine inversa matricei A.



a)

( ) 2

1 0det 0 1 1

1 0 1

aA a a= = + , ( )21 0 det 0a a A∈ ⇒ + > ⇒ ≠

b)

det 0A ≠ ⇒Cramer

sistemul compatibil determinat

( )1y az a y az a

x z a ax az a+ = + = ⇒ + = ⋅ − − − = −

0y ax y ax− = ⇒ =

( )1 1

1 1 1x ay x ay

x z x z+ = + = ⇒ + = ⋅ − − − = −

20ay z z ay a x− = ⇒ = =

, ,x y z⇒ în

deoarece 2y xz= .

c)

( )det 0A A≠ ⇒ inversabilă ( )

1 1det

A AA

− ∗⇒ = ⋅

1 0 11 0

0 1

tA aa

=

. Elementele matricei adjuncte sunt

211 12 13

1 0 0 01, ,

1 0 1 1a a

a a a a aa a

= = = − = − = =

21 22 23

0 1 0 1 0, 1,

1 1 1 1 0a

a a a a aa

= − = = = = − = −

31 32 33

0 1 1 11, , 1

1 0 1 0 0 1a a

a a a a= = − = − = = =

2

12

11 1

11 1

a aA a a

aa

−

−

⇒ = − + −

Se consideră matricele ( )1 2 32,3

1 2 3

a a aA M

b b b

= ∈

, transpusa ( )3,2 ,t tA M B AA∈ = , şi

punctele ( ),k k kP a b , unde { }1,2,3k∈ . V50 a) Să se calculeze B ştiind că ( ) ( ) ( )1 2 31, 2 , 2, 4 , 3, 6P P P − − . b) Să se arate că ( )det 0B ≥ , oricare ar fi punctele 1 2 3, ,P P P . c) Să se arate că ( )det 0B = dacă şi numai dacă punctele 1 2 3, ,P P P sunt coliniare pe o

dreaptă care trece prin originea axelor.

Soluţie propusă și redactată de Cristian Ghepeş, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

1 1 2 2 31 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3

3 3

a ba a a a a a a b a b a b

B a bb b b a b a b a b b b b

a b

+ + + + = = + + + +

1 2 3

1 2 3

1, 2, 3 1 4 9 2 8 18 14 282, 4, 6 2 8 18 4 16 36 28 56

a a aB

b b b= = = − + + + +

⇒ = = = = = − + + + +

b) Metoda 1. ( )( ) ( )22 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3det B a a a b b b a b a b a b= + + + + − + +

( )21 1det B a b= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3a b a b a b a b a b a b a b a b+ + + + + + + + ( )21 1a b−

( )22 2a b− ( )2

3 3a b− 1 1 2 2 1 1 3 3 2 2 3 32 2 2a b a b a b a b a b a b− − −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 1 2 3det det 0, , ,B a b a b a b a b a b a b B P P P= − + − + − ⇒ ≥ ∀

Metoda 2. Știm din inegalitatea C.B.S că ( )( ) ( )22 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3a a a b b b a b a b a b+ + + + ≥ + +

deci ( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 0 det 0a a a b b b a b a b a b B+ + + + − + + ≥ ⇒ ≥

c)

( )1 2 2 1 1 1

1 3 3 1 1 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2 2 2

2 3 3 2 3 3

0 1det 0 0 0 1 0

0 1

a b a b a bB a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b

− == ⇔ − = ⇔ + + − − − = ⇔ = ⇔ − =

1 2 3, ,P P P⇔

coliniare Ecuația dreptei d pe care se află punctele 1 2 3, ,P P P este:

( )( ) ( )( )

1 1

2 1 2 1

1 2 1 1 2 1

2 1 1 2

: x a y bda a b b

y b a a x a b b

ya ya b a

− −= ⇒

− −

− − = − − ⇒

− − 1 1a b+ 2 1 1 2xb xb a b= − − 1a b+

( ) ( )1

2 1 2 1y a a x b b

⇒

− = −

Evident 1 2 3, ,P P P sunt pe o dreaptă d care trece prin originea axelor deoarece ( )0,0 d∈

Fie şirul ( ) 1n n

F≥

, dat de 1 1n n nF F F+ −= + , 0 1*, 0, 1n F F∀ ∈ = = şi matricea 1 11 0

A =

V51

a) Să se verifice relaţia 22A A I= + .

b) Să se arate că dacă ( )2 2,X M X O∈ ≠ şi AX XA= , atunci X este inversabilă.

c) Să se arate că 1

1

, 1n nn

n n

F FA n

F F+

−

= ∀ ≥

.

Soluţie propusă și redactată de Tibor Gocz, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) Metoda 1. Calcul efectiv 2

22

2

1 1 1 1 2 11 0 1 0 1 1

1 1 1 0 2 11 0 0 1 1 1

A A AA A I

A I

= ⋅ = =

⇒ = +

+ = + =

Metoda 2. Din relaţia Cayley-Hamilton avem ( ) ( )22 2detA tr A A A I O− ⋅ + ⋅ =

( )

( )2 2

2 2 2

1

1 1det 1

1 0

tr AA A I O A A I

A

=

⇒ − − = ⇒ = += = −

b) Fie ( )2 2,x y

X M X Oz t

= ∈ ≠

1 11 0

1 11 0

AX XA

x y x z y t x z x yAXz t x y y t x y z

x z t t x yx y x y xXA

y zz t z t z

=

+ + + = += = + = = ⇒ ⇒ = + = −+ = = =+

( )25

2 21,2 1,2

det

52

yy

x y x yX X

y x y y x y

y yx xy y x x∈∆=

⇒ = ⇒ = = − −

±= − − ⇒ = ⇒ ∉

Evident y nu poate să fie zero, deoarece dacă 20 0y x X O= ⇒ = ⇒ = dar 2X O≠ , deci 2 2 0 , ,x xy y x y− − ≠ ∀ ∈ ( )det 0, ,X x y X⇒ ≠ ∀ ∈ ⇒ este inversabilă

c) ( ) 1

1

: ,n nn

n n

F FP n A n

F F+ ∗

−

= ∈

Verificare ( ) ( )2 1 1 0

1 0

1 1 11 :

1 0 1 0F F F F

P A AF F

+ = = =


( ) 21

1

1 : n nn

n n

F FP n A

F F++

−

+ =

2

1

2 1 1 2 11

1 1 1

1 11 0

n

n

F

n n n n n n nn n

n n n n n n n

F

F F F F F F FA A A

F F F F F F F

+

+

=

+ + + + ++

− − +

+

= ⋅ = ⋅ = = ⇒ +


Pentru orice matrice de ( )2A M∈ , se notează ( ) ( ){ }2C A X M AX XA= ∈ = .

Se consideră matricele 1 2 3 4

0 1 0 0 1 0 0 0, , ,

0 0 1 0 0 0 0 1E E E E

= = = =

V53

a) Să se arate că dacă ( ),X Y C A∈ , atunci ( )X Y C A+ ∈ . b) Să se arate că dacă ( )1 2,E E C A∈ atunci există α ∈ astfel încât 2A Iα= . c) Să se arate că dacă ( )C A conţine trei dintre matricele 1 2 3 4, , ,E E E E ,

atunci o conţine şi pe a patra.

Soluţie propusă și redactată de Ramona Ignat, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) ( ),AX XA

X Y C AAY YA

=∈ ⇒ =

( )( ) ( ) ( ) ( )A X Y AX AY

A X Y X Y A X Y C AX Y A XA YA AX AY

+ = + ⇒ + = + ⇒ + ∈+ = + = +

b) a bA

c d

=

( )1 1 1

0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0

a b a b a c d cE C A AE E A

c d c d c a d=

∈ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

( )2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0

a b a b b bE C A AE E A

c d c d d a b a d=

∈ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

2

0 1 00 0 1a

A a aIa

α

⇒ = = = ⇒ ∃ ∈

astfel încât 2A Iα= unde aα =

c) Fără a restrânge generalitatea putem alege ( ))

1 2 3 2, ,b

E E E C A A Iα∈ ⇒ =

( )4 2 4 44

4 4 2 4

AE I E EE C A

E A E I Eα α

α α= ⋅ =

⇒ ∈= ⋅ =


A−

=

şi 0 11 1

B = −

. V54

a) Să se verifice că AB BA≠ . b) Să se arate că 4 6

22A B I+ = . c) Să se arate că , pentru orice ( )*

2, nn AB I∈ ≠ .

Soluţie propusă și redactată de Andreea Mucha, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

0 1 0 1 1 11 0 1 1 0 1

0 1 0 1 1 01 1 1 0 1 1

A BA B B A

B A

− − ⋅ = ⋅ = − ⇒ ⋅ ≠ ⋅

− ⋅ = = −

b) 22

0 1 0 1 1 01 0 1 0 0 1

A A A I− − −

= ⋅ = = = − −

( )4 2 22 2 2A A A I I I= ⋅ = − ⋅ − =

2 0 1 0 1 1 11 1 1 1 1 0

B B B−

= ⋅ = = − − −

3 22

1 1 0 1 1 01 0 1 1 0 1

B B B I− −

= ⋅ = = = − − − −

( )6 3 32 2 2B B B I I I= ⋅ = − ⋅ − =

4 62 2 22A B I I I⇒ + = + =

c) 1 10 1

C AB−

= =

2 1 1 1 1 1 20 1 0 1 0 1

C C C− − −

= ⋅ = =

( )1

: ,0 1

n nP n C n ∗−

= ∈

Verificare ( ) ( )1 1

1 :0 1

P C A−

=

Presupunem că ( )P n adevărată şi demonstrăm că ( ) ( )1P n P n→ +

( ) ( )1 1 11 :

0 1n n

P n C + − + + =

( )1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 0 1

n n n n nC C C+ − − − − − +

= ⋅ = ⋅ = =


( ) 2nAB I⇒ ≠ , n ∗∀ ∈ deoarece 0n ≠ .

Matricea ( )2

a bA M

b a−

= ∈

şi şirurile ( ) ( ),n nn nx y

∈ ∈

verifică

1

1

,n n

n n

x xA n

y y+

+

= ∀ ∈

. V55

a) Să se arate că ( )( )2 2 2 2 2 21 1 ,n n n nx y a b x y n+ ++ = + + ∀ ∈ .

b) Să se arate că, dacă 2 2 1,a b+ ≤ atunci şirurile ( ) ( ),n nn nx y

∈ ∈

sunt mărginite.

c) Să se arate că, dacă 1a = şi 3b = , atunci 6 64 , 0n nx x n+ = ∀ ≥ .


a) 1 1 1

1 1 1

n n n n n n n

n n n n n n n

x x x x x ax bya bA

y y y y y bx ayb a+ + +

+ + +

−− = ⋅ ⇒ = ⇒ = +

1n n nx ax by+⇒ = − şi 1n n ny bx ay+ = +

( ) ( )2 22 2 2 21 1 2n n n n n n n n nx y ax by bx ay a x abx y+ ++ = − + + = − 2 2 2 2 2n n n nb y b x abx y+ + + 2 2

na y+ =

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n nx a b y a b a b x y= + + + = + +

b) Fie 2 2n n nd x y= +

( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1

2 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 21 0 1 1 0 0...

n n n n n n n n

n n

n n n

d x y a b x y a b d a b a b x y

a b d a b d x y a b x y

+ + + − −

+ +

− + +

⇒ = + = + + = + ⋅ = + + + =

= + ⋅ = = + ⇒ + = + +

dar ( )2 2 1 2 2 2 21 0 0 0 01 1n

na b d x y x y+++ ≤ ⇒ ≤ ⋅ + = +

=M

22 2 1

1 1 21

00

nn n n

n

x Mx y M x

y M+

+ ++

≤ ≤⇒ + ≤ ⇒ ⇒

≤ ≤ şi ny mărginite

c) 6 5 4 32 3 6

6 5 4 3

...n n n n n

n n n n n

x x x x xA A A A

y y y y y+ + + +

+ + + +

= = = = =

Acum calculăm 6A

2 1 3 1 3 2 2 3

3 1 3 1 2 3 2A A A

− − − −= ⋅ = ⋅ = −

3 22

2 2 3 1 3 8 08

0 82 3 2 3 1A A A I

− − − − = ⋅ = ⋅ = = − −−

( )6 3 32 2 28 8 64A A A I I I= ⋅ = − ⋅ − = 6 6

2 66 6

6464 64 , 0

64n n n n

n nn n n n

x x x xI x x n

y y y y+ +

++ +

⇒ = ⇒ = ⇒ = ∀ ≥


1 31 2

A M−

= ∈ − şi funcţia

( ) ( ) ( )2 2: ,f M M f X AX→ = . V56 a) Să se arate că ( ) 2f A I= . b) Să se arate că ( )( ) ( ) ( )2,f X f X X f X X M+ = + ∀ ∈ . c) Să se arate că funcţia f este bijectivă.

Soluţie propusă și redactată de Rareş Păroiu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) ( ) 12

2 3 2 3 1 01 2 1 2 0 1

f A A A I A A−− − = ⋅ = = = ⇒ = − −

b) ( )( ) ( )( ) ( )

( )2f X f X A X f X A X AX AX A X f X X+ = ⋅ + = + = + = +2=I

c) O funcţie :f A B→ este bijectivă ⇔ pentru orice y B∈ , ecuaţia ( )f x y= admite o soluţie unică x A∈ .

Fie ecuaţia ( )f X Y= ⇒

1AX Y A−= ⋅ la stânga ( A inversabilă 1A A− = , vezi punctul a) )

Avem: 1 1A A X A Y− −⋅ ⋅ =

( )2X AY M⇒ = ∈ adică ecuaţia are soluţie unică.

Fie matricele ( )2

3 42 3

A M = ∈

şi ( )2,1n

n

xM

y

∈

, cu 1

1

,n n

n n

x xA n

y y+

+

= ∀ ∈

şi

0 01, 0x y= = . V57 a) Să se determine 1 2 1, ,x x y şi 2y

b) Să se arate că ( )2 3 2 2 ,n

n nx y n+ = + ∀ ∈ . c) Să se arate că 2 16 0, 0.n n nx x x n+ +− + = ∀ ≥



a) 01 1 1 1

01 1 1 1

33 4 1 322 3 0 2

xx x x xA

yy y y y=

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

2 1 2 2 2

2 1 2 2 2

173 4 3 17122 3 2 12

x x x x xA

y y y y y=

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

b) ( ) ( ): 2 3 2 2 ,n

n nP n x y n+ = + ∈

Verificare ( ) ( ) ( )0

0 00 : 2 3 2 2 1 1P x y A+ = + ⇒ =


( ) ( ) 1

1 11 : 2 3 2 2n

n nP n x y+

+ ++ + = +

Deoarece ( )( )

1 1 1

1 1 2

3 43 42 32 3

n n n n n

n n n n n

x x x x yy y y x y

+ +

+ +

= + ∗ = ⇒ = + ∗ şi vom avea

( ) ( )1 1 2 3 4 2 3 2n n n n n nx y x y x y+ ++ = + + +

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 2 4 3 2 3 2 2 2 2 2 3n n n n n nx y x y x y+ ++ = + + + = + + +

( )( )( )

( ) ( )1

1 1

3 2 2

2 3 2 2 2 3 2 2n

n

n n n nx y x y P n+

+ +

= +

⇒ + = + + = + ⇒

adevărată n∀ ∈ .

c) Din prima formulă de recurenţă ( )1∗ 1 2 11

3 34 4

n n n nn n

x x x xy y+ + ++

− −⇒ = ⇒ = .

Acum înlocuim în a doua formulă de recurenţă ( )2∗ şi avem

2 1 13 32 34 4

n n n nn

x x x xx+ + +− −= + ⋅ ⇒

2 1 13 8 3 9n n n n nx x x x x+ + +− = + − ⇒ 2 16 0, 0n n nx x x n+ +− + = ∀ ≥

Fie , , , 0a b c d > , matricea a bA

c d

=

şi funcţia ( ) ( ) ( ): 0, 0, , ax bf f xcx d

+∞ → ∞ =

+.

Se notează n n

nn n

a bA

c d

=

, unde *n∈ . V58

a) Să se arate că, dacă ( )det 0A = atunci f este funcţie constantă. b) Să se arate că, dacă ( )det 0A ≠ atunci f este funcţie injectivă.

c) Să se arate că ( ) *... ,n n

n nde n ori f

a x bf f f f x nc x d

+ = ∀ ∈ +

.

Soluţie propusă și redactată de Bianca Rusu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) det 0 0

( )

bcA ad bc ad bc da

ax b ax bf x ax bbc acx bccxa a

= ⇒ − = ⇒ = ⇒ =

+ += = = +

++ ( )

ac ax b⋅

+ac

=

Deci f este o functie constantă.

b) det 0 0A ad bc≠ ⇒ − ≠

Fie 1 2, 0x x > astfel încât 1 21 2

1 2

( ) ( ) ax b ax bf x f xcx d cx d

+ += ⇒ =

+ +

1 2 2 1 1 2( )( ) ( )( )ax b cx d ax b cx d acx x⇒ + + = + + ⇒ 1 2adx bcx bd+ + + 1 2acx x= 1 2bcx adx bd+ + + ⇒

( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2

0 0

adx bcx adx bcx x ad bc x ad bc x x f≠ ≠

⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ = ⇒

injectivă.

c) Arătăm prin inducție

( ) ( )( ) *: ... ,n n

n n

a x bP n f f f x nc x d

+= ∈

+

Verificare ( ) ( ) 1 1 1

1 1 1

1 : a x b ax bP f xc x d cx d

+ += =

+ + .

Presupunem ( )P n adevărată și demonstrăm că ( ) ( )1P n P n→ + .

( ) ( )( ) 1 1

1 11

1 : ... n n

n nn

a x bP n f f f xc x d

+ +

+ ++

++ =

+

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1

... ...n n

n n

n nn n n n

ax ba ba f x b cx df f f x f f f f x ax bc f x d c dcx d+

+⋅ ++ += = =

++ ⋅ ++

1 1

1 1

( )( )

n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

a ax a b b cx b d x a a b c a b b d a x bc ax c b d cx d b x c a d c c b d d c x d

+ +

+ +

+ + + + + + += = =

+ + + + + + +

( )P n⇒ adevărată , *n∀ ∈ . Am folosit faptul că

1

1 1 11

1 1 1

1

n n n

n n n n n n n n n n nn n

n n n n n n n n n n n

n n n

a a a b ca b a b a a b c a b b d b a b b da b

A A Ac d c d c a d c c b d d c c a d cc d

d c b d d

+

+ + ++

+ + +

+

= ++ + = + = ⋅ ⇒ = = ⇒ + + = + = +


3 2 0 ,4 0

mx y zx y z m

x y z

+ + = + + = ∈− − + =

. V59

a) Să se determine m∈ , pentru care matricea sistemului are determinantul nenul.

b) Să se determine m∈ astfel încât sistemul să admită cel puţin două soluţii.

c) Să se determine m∈ , pentru care dreptele 1 2 3: 1 0, : 3 2 0, : 4 0d mx y d x y d x y+ + = + + = − − + = sunt concurente.

Soluţie propusă și redactată de Emanuel Todor, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

1 11 3 2 12 1 2 3 2 4 14 41 1 4

mm m m∆ = = − − + + − = −

− −

2 20 14 4 0 \7 7

m m m ∆ ≠ ⇒ − ≠ ⇒ ≠ ⇒ ∈

b)

Sistemul este omogen deci admite şi alte soluţii dacă 0∆ = (Dacă 0∆ ≠

atunci admite soluţia unică ( )0,0,0 ) deci din 207

m∆ = ⇒ = .

c) Metoda 1.

Aflăm punctul comun dintre 2d şi 3d .

3 2 02 6 0 3 7

4 0x y

y y xx y+ + =

⇒ + = ⇒ = − ⇒ =− − + = deci ( )2 3 7, 3d d P∩ = −

1 2 3, ,d d d concurente ( ) 327, 3 7 3 1 0 7 27

P d m m m⇒ − ∈ ⇒ ⋅ − + = ⇒ = ⇒ = .

Metoda 2. Dacă dreptele 1 2 3, ,d d d sunt concurente atunci sistemul din enunț trebuie să admită soluția ( ), ,1x y care este evident diferită de soluția trivială ( )0,0,0 . Dar știm că un sistem pătratic omogen admite și

altă soluție în afară de soluția nulă dacă 207

b)m∆ = ⇒ =


A = − −

şi funcţia ( ) ( ) ( )2 2: ,f M M f X AX→ =

. V60 a) Să se calculeze ( )f A . b) Să se arate că ( )( ) ( )2 2,f f X O X M= ∀ ∈ . c) Să se arate că ( ) ( ) ( )2 2, ,f X f Y I X Y M+ ≠ ∀ ∈ .

Soluţie propusă și redactată de Andrei Tudose, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) ( ) 2

2 1 2 1 0 04 2 4 2 0 0

f A A A O = ⋅ = = = − − −

reținem deci că 22A O=

b) ( )( ) ( )( ) ( ) 22 2f f X f f X Af X A AX A X O X O= = = ⋅ = = =

c) Presupunem că ( ) ( ) 2f X f Y I+ =

2AX AY I⇒ + =

( ) 2A X Y I f⇒ + =

( )( ) ( )2f A X Y f I+ =

( ) 2A A X Y AI⇒ ⋅ + =

( )2

22

OA X Y AI=

⇒ + =

2O A⇒ = (fals)

( ) ( ) 2f X f Y I⇒ + ≠

Se consideră mulţimea ( )a,b a,b 3

1 a bG M M 0 1 0 ,a,b M

0 0 1

= = ∈ ⊂

. V61

a) Să se arate că a,b c,d a c,b dM M M , a,b,c,d+ +⋅ = ∀ ∈ . b) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă. c) Să se calculeze în funcţie de a şi b, rangul matricei t

a ,b a,bM M− unde ta ,bM este

transpusa lui a,bM

Soluţie propusă și redactată de Catinca Băjan, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) , , ,

1 1 10 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1

a b c d a c b d

a b c d a c b dM M M + +

+ + ⋅ = ⋅ = =

b) Metoda 1. , , 0,0a b a bM M M− −⋅ = conform punctului a).

1, , 3 , ,a b a b a b a bM M I M M−

− − − −⇒ ⋅ = ⇒ = deci orice matrice din G este inversabilă

Metoda 2. ( )a,b

1 a bdet M 0 1 0 1 0

0 0 1


= = ≠ ⇒ orice matrice din G este inversabilă

c) , ,

1 1 0 0 00 1 0 1 0 0 00 0 1 0 0 1 0 0

ta b a b

a b a bM M a a T

b

− = − = − = −

( ) ( )0

det 0 0 0 30 0

a bT a rang T

b= − = ⇒ <−

Caz i. ( )200 0 2

0a

a a rang Ta

≠ ⇒ = ≠ ⇒ =−

Caz ii. ( )200 0 2

0b

b b rang Tb

≠ ⇒ = ≠ ⇒ =−

Caz iii. ( )30 0a b T O rang T= = ⇒ = ⇒ =

Fie matricea

=

dcba

A 2 ( )M∈ cu proprietatea 2 2A A= . V62

a. Să se arate că matricea 3 13 1

B = − −

verifică relaţia 2 2B B=

b. Să se arate că dacă 2a d+ = , atunci ( )det 0A = c. Să se arate că dacă 2a d+ ≠ , atunci 2A O= sau 22A I= .



a) Metoda 1. Calcul efectiv

2 3 1 3 1 6 2 3 12 2

3 1 3 1 6 2 3 1B B B B

= ⋅ = ⋅ = = = − − − − − − − −

Metoda 2. Cayley – Hamilton: ( ) ( )22 2detX tr X X X I O− ⋅ + ⋅ =

( )

( )2 2

2

22 23 1

det 03 1

tr BB B O B B

B

=⇒ − = ⇒ =

= =− −

b) Din relaţia ( ) ( )22 2detC H A tr A A A I O− ⇒ − ⋅ + ⋅ =

2 22

2A A

Aa d

=⇒

+ =2A− ( ) ( )

( )2

2 2 2 2det det det 0O

A I O A I O A≠

+ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

c) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2det 2 detA tr A A A I O A a d A A I− ⋅ + ⋅ = ⇒ − + = − ⋅

( ) ( ) 2

2

0

2 detA a d A I≠

≠

− + = − ⋅

( )( ) 2 2

det2

t

AA I A t I

a d∈

−= ⋅ ⇒ = ⋅

− +

Înlocuim 2A t I= ⋅ în 2 2A A= și obținem: ( )2 2

2 22 2t I tI t t⋅ = ⋅ ⇒ = ( )2 0 0t t t⇒ − = ⇒ = sau 2t =

Deci 2A O= sau 22A I=

Se consideră mulţimile ( ){ }t

2P S M S S= ∈ = şi ( ){ }2tQ A M A A= ∈ = − .

V63

a) Să se arate că 1 3P

3 1

∈

şi 0 22 0

Q ∈ −

.

b) Să se arate că dacă ,A B Q∈ atunci AB P∈ . c) Să se arate că ( )det 0X ≥ , oricare ar fi X Q∈ .

Soluţie propusă și redactată de Andrea Cîrstea, clasa a XI-a A,


a)

1 33 1

1 33 1

t

t

SS S S P

S

= ⇒ = ⇒ ∈

=

0 22 0

0 2 0 22 0 2 0

t

t

AA A A Q

A A

= − ⇒ = − ⇒ ∈

− = = − = − −

c)

Fie 0tx z x y x zX Q X X x t

y t z t y t− −

= ∈ ⇒ = − ⇒ = ⇒ = = − − şi y z= −

adică 0,

0z

z y X zz

= − ⇒ = ∈ −

este forma generală a matricilor din Q

( ) 20det 0 ,

0z

X z X Qz

= = ≥ ∀ ∈−

b)

Fie 0,

0

c) aA B Q A

a

∈ ⇒ = − şi 0

0b

Bb

= −

( )

0 0 00 0 0

00

t

a b abA B

a b abA B P

abA B A B

ab

− ⋅ = = − − − ⇒ ⋅ ∈

− ⋅ = = ⋅ −

Fie mulţimea x 3yM x, y

y x

= ∈

şi matricea 2 31 2

A =

.V64

a) Să se arate că dacă ( )2Y M∈ şi AY YA= atunci Y M∈ . b) Să se arate că dacă X M∈ şi ( )det 0X = atunci 2X O= . c) Să se arate că *,nA M n∈ ∀ ∈ .

Soluţie propusă și redactată de Mădălin Dermişek, clasa a XI-a A,


a) Fie ( )2

a bY M

c d

= ∈

2 3 2 3 2 3 2 3 21 2 2 2 2 3 3 2

2 22 3 2 3 22 3 21 2 2 3 2

AY YA

a b a c b d a c a bAYc d a c b d b d a b

d aa c c da b a b a b

YAb d c dc d c d c d

=

+ + + = += = + + + = + ⇒ ⇒ = + = ++ + = = + = ++ +

şi

3b c=

3a cY Y M

c a

⇒ = ⇒ ∈

b) ( ) 2 2 2 23det 0 0 3 0 3

x yX x y x y

y x= ⇒ = ⇒ − = ⇒ =

Caz i. 2

0 00 0

0 0y x X O = ⇒ = ⇒ = =

Caz ii. ( )2

20 3 3x xy Fy y

≠ ⇒ = ⇒ = ± deoarece ,x y∈ .

c) ( ) : ,nP n A M n ∗∈ ∈

Verificare ( )2 3

1 :1 2

P A M M ∈ ⇒ ∈

deoarece 2x = şi 1y = .


( ) 11 : nP n A M++ ∈

( )1 3 2 3 2 3 3 6 32 3 3 21 2 2 2 3 2 2 3

n n x y x y x y a bx y x yA A A M

y x x y x y b ax y x y+ + + + + = ⋅ = ⋅ = = = ∈ + + + +

unde 2 32

a x yb x y= + ∈

= + ∈

Se consideră sistemul , a, bax y z 4x 2y 3z 63x y 2z b

∈

+ + =+ + =− − =

.V65

a) Să se determine ,a b pentru care sistemul are soluţia ( )1,1,1 b) Să se determine ,a b astfel încât sistemul să fie incompatibil. c) Să se arate că , pentru orice a∈ există b∈ astfel încât sistemul să

admită soluţii numere întregi.

Soluţie propusă și redactată de Sergiu Herciu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) 1 1 4 21, 1, 1

3 1 2 0a a

x y zb b

+ + = = = = = ⇒ ⇒ − − = =

b) Sistemul este incompatibil dacă 0∆ = şi un minor caracteristic 0c∆ ≠

1 11 2 3 4 1 9 6 3 2 4 43 1 2

aa a a a∆ = = − − + − + + = − + ⇒ =

− − şi ( ) 3rang A < .

Aleg minorul 1 11 0

2 3P∆ = = ≠ şi-l bordez cu coloana termenilor liberi

1 1 42 3 6 3 16 6 12 12 2 2 23 1 2

c b b b b∆ = = − − + + − = + ⇒ ≠ −− −

deci sistemul este

incompatibil dacă 4a = şi 2b ≠ − .

c) Caz i. Dacă 4, 0Cramer

a a≠ ∈ ⇒ ∆ ≠ ⇒ sistem compatibil determinat şi

, ,yx zx y zy z∆∆ ∆

= = =∆

4 1 126 2 3 16 6 3 2 12 12 24

1 2x

bb b b xa

b

+∆ = = − − + − + + = + ⇒ =

− +− −

4 13 12 261 6 3 12 36 18 3 8 3 12 26

43 2

y

ab ab aa b ab b ab a y

ab

− − +∆ = = − + + − − + = − − + ⇒ =

− +−

1 46 2 101 2 6 2 4 18 24 6 6 2 10

43 1

z

aa ab bab a b a ab b z

ab

+ − −∆ = = − + − + − = + − − ⇒ =

− +−

Dacă luăm 2 0, 6, 2b x y z= − ⇒ = = = − deci pentru orice { }\ 4 , 2a b b∈ ∃ ∈ = − astfel încât sistemul să admită anumite soluţii întregi.

Caz ii. Dacă 4a = luăm 2 ,b y z= − ⇒ necunoscute principale, x α= necunoscută secundară

( ) ( ){ }2 2 8 8 7 24 4 2,6 11 ,7 2

2 3 6 6 112 3 6y z zy z

Sy z yy z

α ααα α α

α αα− − = − + = − + = − ⋅ −

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = − − + = − = −+ = −

care sunt întregi pentru orice α ∈ .

Fie dreptele 1 2 3d : x 2y 3, d : 3x 4y 1, d : 4x 3y m , m+ = − = − + = ∈ . V66

a) Să se determine m astfel încât dreptele să fie concurente. b) Să se demonstreze că există o infinitate de valori ale lui m pentru care

vârfurile triunghiului determinat de cele trei drepte au toate coordonatele întregi.

c) Să se calculeze valorile lui m pentru care triunghiul determinat de cele trei drepte are aria 1.

Soluţie propusă și redactată de Vlad Papancea, clasa a XI-a A,


a) ( )1 2

2 3 11,1

3 4 1 1x y x

d d Px y y+ = =

⇒ ⇒ ∩ = − = − =

1 2 3, ,d d d concurente ( ) 31,1 4 3 7P d m m⇒ ∈ ⇒ + = ⇒ =

b) ( ) 4 8 122 3 4 12 2 94 3 5 53 4 1x yx y m my xx y mx y

− − = − + = ⋅ − − −⇒ ⇒ = ⇒ = + =− = −

1 32 9 12,

5 5m md d − − ⇒ ∩ =

( )1∗

3 4 1 3 9 12 3 4 3 3 44 3 4 16 12 4 25 25x y x y m mx yx y m c y m

− = − ⋅ − = − − + ⇒ ⇒ = ⇒ = + = ⋅ + =

2 34 3 3 4,

25 25m md d R − + ⇒ ∩ =

( )2∗

Punctele , ,P Q R au coordonatele întregi ( ) 12 5 2,

5m m k k−

⇒ ∈ ⇒ = + ∈1*

care

verifică ( )2 5 2 95

kx

+ −= ∈ .

Din ( ) ( )2

4 5 2 3 20 5 4 1 5 1,25 25 5

k k k k n n+ − + +

∗ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ = + ∈

( )5 5 1 2 25 7m n n⇒ = + = + care verifică că 3 425

my += ∈ .

⇒∃ o infinitate de 25 7m n= + pentru care coordonatele vârfurilor sunt numere întregi.

c) 12PQRA = ∆

1 1 1 0 0 1 2 14 72 9 12 2 14 7 5 51 1

4 28 3 215 5 5 54 3 3 4 4 28 3 21 25 251 1

25 25 25 25

m mm m m m

m mm m m m

−−

− −− − − −

∆ = = = =− −

− + − −

1 32 3

C CC C

( ) ( )( ) ( )

( )22 7 72 14 7 2 171 14 7 3 74 28 3 21 4 3125 125 125

m mm m mm mm m− − −− − −−

= = =− −− −

( ) ( ) ( )2 2 210 7 2 7 7125 25 25PQR

m m mA

⋅ − − −= = ⇒ = dar

( ) { } { }21 7 25 7 5,5 2,12A m m m= ⇒ − = ⇒ − ∈ − ⇒ ∈

Fie sistemul x y z 1

x my z 1x my mz 2

+ + =+ + =

+ + = −, cu m∈ şi matricea

1 1 11 11

=

A mm m

.V67

a) Să se calculeze ( )det A . b) Să se arate că ( )rang A 2≠ , oricare ar fi m∈ . c) Să se determine valorile întregi ale lui m 1≠ , pentru care sistemul are

soluţie cu componente întregi.

Soluţie propusă și redactată de Ramona Pătrînjel, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

( ) ( )2 1

3 1

21 1 1 1 0 0

det 1 1 1 1 0 11 1 1 1

determinanttriunghiularC C

C CA m m m

m m m m

−

−= = − = −

− −

b)

Dacă ( ) ( )1 det 0 3m A rang A≠ ⇒ ≠ ⇒ =

Dacă ( )1 1 1

1 1 1 1 11 1 1

m A rang A = ⇒ = ⇒ =

deci ( ) 2 ,rang A m⇒ ≠ ∀ ∈

c)

( )1 det 0Cramer

m A≠ ⇒ ≠ ⇒ sistemul este compatibil determinat şi , ,yx zx y z∆∆ ∆

= = =∆ ∆ ∆

( )( )1

1 1 1 1 0 021 1 1 1 0 1 21

2 2 2 2x

mm m m m xm

m m m m

−− +

∆ = = − − + ⇒ =−

− − + +

2 13

C C determinantC C triunghiular

=

1 1 11 1 1 0 01 2

y ym

∆ = = ⇒ =−

( ) ( )2 1

1 1 1 1 1 11 1 31 1 0 1 0 1 3 11 2 1

1 2 1 2

L L

z m m m m zm

m m

− −∆ = = − = − = − − ⇒ =

− −− −

{ } { }3, , 1 3, 1,1,3 2,0,2,41

x y z m mm−

∈ ⇒ ∈ ⇒ − ∈ − − ⇒ ∈ −−

care dau valori întregi şi

pentru formula 21

mxm+

=−

Se consideră matricele ( )3A M∈ şi tB A A= + , unde tA este transpusa matricei A . V68

a) Să se arate că tB B= . b) Să se demonstreze că, dacă 32B I= , atunci ( )det 1A ≥ . c) Să se demonstreze că, dacă ,x y∈ şi matricea txA yA+ este inversabilă,

atunci 0x y+ ≠ .

Soluţie propusă și redactată de Irina Petcu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) ( ) ( )

t tt t t t t

A

B A A A A A A B=

= + = + = + = .

b) Fie 2

22

a b c a b c a x u a b x c uA x y z B x y z b y v b x y z v

u v t u v t c z t c u z v t

+ + = ⇒ = + = + + + +

dar 2

12 2 0 0

2 2 0 2 02 0 0 2

a y ta b x c u

x bB I b x y z v

u cc u z v t

v z

= = =+ + = −= ⇒ + + = ⇒ = −+ + = −

( )1

det 1 11

b cA b z bcz

c z⇒ = − = −

− −bcz+ ( )2 2 2 2 2 2

0

1 det 1c z b b c z A≥

+ + + = + + + ⇒ ≥

c) Presupunem că 0x y y x+ = ⇒ = −

( )t t txA yA xA xA x A A+ = − = − dar txA yA+ inversabilă

( ) ( )3det 0 det 0t tx A A x A A ⇒ ⋅ − ≠ ⇒ ⋅ − ≠ ⇒

( )det 0tA A− ≠ fals deoarece ( )det 0 0tA A x y− = ⇒ + ≠ .

Justificare: Dacă folosim formulele: ( ) ( )det detnkM k M= și ( ) ( )det detn tkM k M= obținem:

( ) ( )det dettt tA A A A− = −

( ) ( )det dett tA A A A⇒ − = −

( ) ( ) ( )3det 1 dett tA A A A⇒ − = − −

( ) ( )det dett tA A A A⇒ − = − −

( )2det 0tA A⇒ − = ( )det 0tA A⇒ − =

Fie matricea ( )3

1 1 00 0 10 1 0

A M = ∈

. V69

a) Să se verifice relaţia 3 23A A A I− = − .

b) Să se arate că 2 23 , , 3n nA A A I n n−− = − ∀ ∈ ≥ .

c) Să se arate că pentru orice *n∈ , suma elementelor matricei nA este n+3

Soluţie propusă și redactată de Diana Pop, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) Metoda 1. Calcul efectiv 2

1 1 0 1 1 0 1 1 10 0 1 0 0 1 0 1 00 1 0 0 1 0 0 0 1

A A A = ⋅ = ⋅ =

3 2 3

1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 10 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

A A A A A = ⋅ = ⋅ = ⇒ − =

2 3 23 3

0 1 10 0 00 0 0

A I A A A I − = ⇒ − = −


3 3 3,A tA sA dI O A M− + − = ∀ ∈ ( )

3 2 3 211 22 33 3 3 3

1

0 1 1 0 1 11

1 0 0 0 0 0det 1

t tr A

s A A A I O A A A I

d A

= =

= ∆ + ∆ + ∆ = + + = − ⇒ − − + = ⇒ − = −

= = −

b) ( ) 2 23: , 3,n nP n A A A I n n−− = − ≥ ∈

Verificarea: ( ) ( )3 233 :P A A A I A− = −


( ) 1 1 231 : n nP n A A A I+ −+ − = − .

Ştim că 2 23

n nA A A I A−− = − ⋅

( ) ( ))

1 1 3 23

an nA A A A A I P n+ −∗ − = − = − ⇒ adevărată.

c) Notăm cu ( )nS A suma elementelor matricei nA și demonstrăm prin

inducție ( ) ( ): 3,nP n S A n n ∗= + ∈

Verificare: ( ) ( ) ( )1 : 1 3 4P S A A= + =


( ) ( )11 : 4nP n S A n++ = +

Din ( ) 1 1 23

n nA A A I+ −∗ ⇒ = + − 1 1

0 1 10 0 00 0 0

n nA A+ −

⇒ = +

( ) ( )

1 1

2

2 2 2 4n n

n

S A S A n n+ −

= +

⇒ = + = + + = + ( )P n⇒ adevărată n ∗∀ ∈ .

Pentru orice două matrice ( )2,A B M∈ se defineşte matricea [ ],A B AB BA= − . V70

a) Pentru ( )2A M∈ să se calculeze 2,A A .

b) Să se arate că, pentru orice ( ) *2 2, ,A M A A O ∈ = unde *A este adjuncta

matricei A. c) Să se arate că, pentru orice ( )2, ,A B C M∈ avem

[ ] [ ] [ ] 2, , , , , ,A B C B C A C A B O + + = .

Soluţie propusă și redactată de Viviana Popa, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

2 2 2 3 33,A A A A A A A A O = ⋅ − ⋅ = − =

b)

Știm că: 1 *1det

A A AA

− = ⋅ ⋅ la dreapta * *3 3

1 detdet

I A A A A A IA

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅

Analog: 1 *1det

A A AA

− = ⋅ ⋅ la stânga * *3 3

1 detdet

I A A A A A IA

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅

De unde obținem * *A A A A⋅ = ⋅

Deci vom obține * * *3,A A A A A A O = ⋅ − ⋅ =

c)

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ), , , ,A B C A B C B C A A BC CB BC CB A ABC ACB BCA CBA = ⋅ − ⋅ = ⋅ − − − ⋅ = − − +

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ), , , ,B C A B C A C A B B CA AC CA AC B BCA BAC CAB ACB = ⋅ − ⋅ = ⋅ − − − ⋅ = − − +

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ), , , ,C A B C A B A B C C AB BA AB BA C CAB CBA ABC BAC = ⋅ − ⋅ = ⋅ − − − ⋅ = − − +

Dacă adunăm relațiile obținute obținem

[ ] [ ] [ ] 2, , , , , ,A B C B C A C A B O + + =

Se consideră determinantul de ordin 2n ≥ ,

2 1 0 ... 0 01 2 1 ... 0 00 1 2 ... 0 0. . . . . .0 0 0 ... 2 10 0 0 ... 1 2

nD = . V71

a) Să se calculeze 3

2 1 01 2 10 1 2

D =

b) Să se verifice că 1 22 , 4n n nD D D n− −= − ∀ ≥ . c) Să se arate că 1, 2nD n n= + ∀ ≥ .

Soluţie propusă și redactată de Cornelia Secelean, clasa a XI-a A,


a) 3

2 1 01 2 1 8 2 2 40 1 2

D = = − − =

b) Dezvoltăm determinantul după prima linie și obținem:

1

2 1 0 ... 0 0 1 1 0 ... 0 01 2 1 ... 0 0 0 2 1 ... 0 00 1 2 ... 0 0 0 1 2 ... 0 0

2. . . . . . . . . . . .0 0 0 ... 2 1 0 0 0 ... 2 10 0 0 ... 1 2 0 0 0 ... 1 2

determinant de ordin n-1n

n

D

D

−

= ⋅ −

Dezvoltăm al doilea determinant după prima coloană și obținem:

2

1 1 2

2 1 ... 0 01 2 ... 0 0

2 2. . . . .0 0 ... 2 10 0 ... 1 2

n

n n n n n

D

D D D D D

−

− − −= − ⇒ = −

c) ( ) : 1, , 2nP n D n n n= + ∈ ≥

Verificare: ( ) ( )22 : 3P D A= deoarece 2

2 13

1 2D = =


( ) 11 : 2nP n D n++ = +

( ) ( )1 12 2 1 2n n nD D D n n n P n+ −= − = + − = + ⇒ adevărată 2,n n∀ ≥ ∈ .


1 1 11 1 11 1 1

A M

. V72

a) Să se rezolve ecuaţia 23det 0,I xA x .

b) Să se determine o matrice 3B M cu proprietatea 2B A .

c) Să se arate că 23 , , det det detC M x C xA C xA C .



a) 2 23

1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 3 31 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 1 31 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 1

x x x

A A A A I xA x x x

x x x

32

3

3 1 3 3 9 1 3 3det 3 3 1 3 9 1 3 1 3

3 3 3 1 9 1 3 3 1

x x x x x x

I xA x x x x x x

x x x x x x

1 2C +C +C

1 3 3 1 3 3

9 1 1 3 1 3 9 1 0 1 0 9 11 3 3 1 0 0 1

x x x x

x x x x x

x x

2 1

3 1

L L determinantL L triunghiular

=

Ecuația devine 19 1 09

x x

b) 2 2133

A A A A .

Putem lua 2 21 13 3

B A B A

c) Fie 1 2 3

4 5 6 3

7 8 9

c c c

C c c c M

c c c

1 2 3 1 2 3 2 3

4 5 6 4 5 6 5 6

7 8 9 7 8 9 8 9

1 2 3 1 3 2 3 3

4 5 6 4 6 5 6 6

7 8 9 7 9 8 9 9

0

detc x c x c x c c x c x x c x c x

C xA c x c x c x c c x c x x c x c x

c x c x c x c c x c x x c x c x

c c c x c x c x x c c x x x c x



1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 2

4 5 6 4 5 4 6 4 5 6 5

7 8 9 7 8 7 9 7 8 9 8

0 0C

c c c c c x c x c c x x x c c x c x



1 2 1 3 2 3

4 5 4 6 5 6

7 8 7 9 8 9

1 1 11 1 11 1 1

t

c c c c c c

C x c c c c c c C xt

c c c c c c

Analog ( )det detC xA C xt− = − . Vom avea ( ) ( ) ( )( )det det det detC xA C xA C xt C xt+ ⋅ − = + −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2

2

det det

det det det

C xt C

C xA C xA C

= − ≤

⇒ + ⋅ − ≤

Fie matricea ( )2

a bM M

c d

= ∈

. Se asociază fiecărui punct ( ),A x y punctul

( )', 'MA x y , unde ''

x a b xy c d y

=

. V73

a) Ştiind că 1, 2, 3, 4a b c d= = = = şi că ( )1,1A − să se determine coordonatele punctului MA .

b) Ştiind că 1, 2, 2, 4a b c d= = = = , să se arate că toate punctele MA se află pe dreapta 2y x= .

c) Fie A,B,C trei puncte din plan. Dacă se notează cu S şi MS ariile triunghiurilor ABC, respective M M MA B C , atunci detMS S M= ⋅ .


a) l

l

a b x ax byxc d y cx dyy

+ = = +

. Dacă

123 14 11

1

l

l

abc xd yxy

= = = =

⇒ = = = −

=

b) ( )12 2

2 , : 22 2 44

ll l l l

Ml

ab x x y

y x x y d y xc y x yd

= = = + ⇒ ⇒ = ⇒ ∆ ∈ = = = + =

c) Fie ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y şi ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ,l l l l l lM M MA x y B x y C x y

Notăm 1 1

2 2

3 3

111

l l

l l l

l l

x yx yx y

∆ = şi 1 1

2 2

3 3

111

x yx yx y

∆ = . Avem lk k klk k k

x ax byy cx dy= += +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 11 1 11 1 1

l

ax by cx dy ax cx dy by cx dyax by cx dy ax cx dy by cx dyax by cx dy ax cx dy by cx d

+ + + +⇒ ∆ = + + = + + + =

+ + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0 0

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1

ax cx ax dy by cx by dy x yax cx ax dy by cx by dy ad x yax cx by cx by cx by dy x y

= =

= + + + = +

( )1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

1 1 11 1 1 det1 1 1

y x x y x ybc y x ad x y bc x y ad bc ad bc M

y x x y x y=∆ =∆

+ = − = ⋅∆ − ⋅∆ = ∆ − = ∆ ⋅

1 1 1det det det2 2 2

lM

S

S M M S M

=

⇒ = ∆ = ∆ ⋅ = ∆ ⋅ = ⋅ .

Se consideră matricea 0 1 11 0 2

1 2 0A

− = − −

. V74

a) Să se calculeze detA. b) Să se verifice relaţia ( )2

3 36A A I O+ = .

c) Să se arate că ( )23det 0 ,I xA x+ ≥ ∀ ∈ .

Soluţie propusă și redactată de Cosmin Vezeteu, clasa a XI-a A,


a)

( )0 1 1

det 1 0 2 2 2 01 2 0

A−

= − = − =−

b) Metoda 1. Calcul efectiv

2

0 1 1 0 1 1 2 2 21 0 2 1 0 2 2 5 1

1 2 0 1 2 0 2 1 5A

− − − = − − = − − − −

( )23 3

0 1 1 4 2 2 0 0 06 1 0 2 2 1 1 0 0 0

1 2 0 2 1 1 0 0 0A A I O

− + = − ⋅ = = −


3 3 3,A tA sA dI O A M− + − = ∀ ∈ ( )

( )3 211 22 33 3 3 3

0

0 2 0 1 0 14 1 1 6 6 6

2 0 1 0 1 0det 0

t tr A

s A A O A A I O

d A

= =

−= ∆ + ∆ + ∆ = + + = + + = ⇒ + = ⇒ + =

− −

= =

c) 23

1 0 0 2 2 2 1 2 2 20 1 0 2 5 2 1 50 0 1 2 5 2 1 5

x x x x x xI xA x x x x x x

x x x x x x

− − + = + − = − − −

( )23

1 2 2 2 1 2 2 2det 2 1 5 2 1 5

2 1 5 0 6 1 1 6

x x x x x xI xA x x x x x x

x x x x x

−− −

+ = − = − =− − −

3 2L L

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 2 1 2 4 2

1 2 46 1 2 1 5 6 1 2 1 4 6 1 1

2 1 40 1 1 0 0 1

x x x x x xx x

x x x x x x x x xx x

− −−

= − − − − = − ⋅ −−

− −

2 3C +C

=

( ) ( )( ) ( )1 2 21 1

1 6 1 6 1 6 1 62 1 4

L L

x x x xx x

+

= − = − − = −−

( )23det 0,I xA x⇒ + ≥ ∀ ∈

Se consideră matricele 2 1 1 1 1 11 2 1 , 1 1 11 1 2 1 1 1

− − = − − = − −

A B şi 2

13 3xxM A B

x= + , cu *x∈ .

V75 a) Să se calculeze produsul A B⋅ . b) Să se arate că *

x y xyM M M , x, y= ∀ ∈ . c) Să se arate că, pentru orice x real nenul, ( )det 0xM ≠ .

Soluţie propusă și redactată de Andrei Vlad, clasa a XI-a A,


3

2 1 1 1 1 1 0 0 01 2 1 1 1 1 0 0 01 1 2 1 1 1 0 0 0

A B O− −

⋅ = − − ⋅ = = − −

b) Avem următoarele rezultate:

3

1 1 1 2 1 11 1 1 1 2 11 1 1 1 1 2

BA O− −

= − − = − −

2

2 1 1 2 1 1 6 3 31 2 1 1 2 1 3 6 3 31 1 2 1 1 2 3 3 6

A A A A− − − − − −

= ⋅ = − − − − = − − = − − − − − −

2

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 31 1 1 1 1 1

B B B B = ⋅ = =

3 3

2 22 2 2 2 2 2

1 1 13 3 3 3 9 9 9 9x y

O O

x y xy x yM M A B A B A AB BA Bx y y x x y= =

⋅ = + + = + + +

( )

2 222 2 2 2

1 1 13 39 9 9 9 3 3 xyxy xy xyA B A B A B M

x y x y xy= + = + = + =

c)

Observăm că ( )1 3 31 1 1 1 33 3 3 3

M A B A B I I= + = + = =

Avem 1 1xx

M M M⋅ = și din relaţia de la punctul b) obținem

1 3x xx

M M I M⋅ = ⇒ inversabilă şi 11xx

M M− =

Dacă xM inversabilă ( )det 0xM⇒ ≠ .

Se consideră matricea

2

2

2

11

1

a ab ac

A ba b bc

ca cb c

, cu a, b, c şi *A adjuncta sa.

V76 a) Să se calculeze determinantul matricei A . b) Să se verifice că 2*det A det A .

c) Să se arate că matricea 3A I are rangul cel mult 1.


a) 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

1det 1 1 1 1

1

a ab ac

A ba b bc a b c a b c a b c

ca cb c

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1a c b b c a a b c a b c b c

2 2 22a b c 2 2 2 2 2a c a b c 2 2 2 2 2b c a b c 2 2 2 2 2a b a b c

2 2 2 21 b c b c 2 2 2a a b 2 2a c 2 2 2a b c 2 2a c 2 2b c 2 2a b 2 2 2a b c

2 2 2 1a b c

b) 2 2 2det 1 0A a b c matricea A este inversabilă

1 1det

A AA

și

dacă inmulțim cu A la dreapta 3 31 det

detI A A A A A I

A

3det det detA A A I

3 2det det det : det det detA A A A A A

c) 2

23

2

a ab ac

A I ba b bc

ca cb c

Dacă 23

2

0 0 00 0

0a A I b bc

cb c

Deoarece 2

32 0b bc

rang A Icb c

este cel mult 1.

Dacă 0a aleg minorul 2 2 0a a .

Calculăm bordaţii 2 2 2 2

2 20, 0, 0, 0a ab a ac a ab a ac

ba b ba bc ca cb ca c

toţi minorii de ordin 2 sunt nuli, deci rangul matricei 3A I este cel mult 1.


1 ,3 3 1

− − = + + = − ∈ + + = −

x y mzmx y mz m unde mmx y z

. V77

a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. b) Să se arate că, pentru orice m∈ , matricea sistemului are rangul cel puţin

egal cu 2. c) Să se determine m∈ pentru care sistemul este incompatibil.



a) 2 2 2 2

1 11 3 3 3 3 3 33 3

mm m m m m m m mm

− −∆ = = − − + − + = − +

b) 2 20 3 3 0 1 1m m m∆ ≠ ⇒ − + ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ±

Deci dacă { } ( )\ 1 0 3m rang A∈ ± ⇒ ∆ ≠ ⇒ =

Dacă 1m = calculăm minorul ( )1 1

2 0 21 1

rang A−

= ≠ ⇒ =

Dacă 1m = − calculez minorul ( )1 1

6 0 23 3

rang A−

= ≠ ⇒ =

⇒ matricea sistemului are rangul cel puţin egal cu 2.

c) Sistemul este incompatibil dacă 0∆ = şi 0c∆ ≠

Caz i. 1 11 2 0

1 1pm−

= ⇒ ∆ = = ≠ . Bordez cu coloana 101

−

1 1 11 1 0 01 3 1

c

′−

∆ = = ⇒−

Rouche sistem compatibil

Caz ii. 1 11 6 0

3 3pm−

= − ⇒ ∆ = = ≠ . Bordez cu coloana 121

−

( )1 1 1 0 0 3

1 11 1 2 1 1 2 3 1 18 0

3 33 3 1 3 3 1

c

′−

−∆ = − − = ⋅ + = ≠ ⇒

− −

1 2C +C Rouche= sistem incompatibil,

deci sistemul este incompatibil dacă 1m = − .

Se consideră sistemul 2 3 4 5 1

9 3 , , ,5 6 10

− + − = − + + + = ∈ − + + =

x y z tx y mz t unde m n p

x y z nt p. V78

a) Să se determine p astfel încât sistemul să admită o soluţie ( )0 0 0 0x , y , z , t cu

0 0z t 0= = . b) Să se arate că, pentru orice m,n∈ , rangul matricei sistemului este mai

mare sau egal cu 2. c) Să se determine m,n,p∈ pentru care sistemul este compatibil, iar matricea

sistemului are rangul 2.

Soluţie propusă și redactată de Vlad Constantinescu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) 0 0

06 9 32 3 1 3 10 6 219 3 39 33

din ec.3xx yx yz t p p

x y yx y

=− = − − = − ⋅ = = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − ⋅ = ⇒ = − + = =+ =

b) Matricea sistemului este 2 3 4 51 9 15 6 10

A mn

− − = −

Aleg minorul ( )2 3

21 0 2, ,1 9

rang A m n−

= ≠ ⇒ ≥ ∀ ∈

c) ( ) 2rang A = ⇒minorii de ordin 3 sunt nuli.

2 3 41 9 05 6 10

m−

⇒ =−

şi 2 3 51 9 1 05 6 n

− −= ⇒

−

180 15 24 180 12 30 0m m− − + + + = şi 18 15 30 225 12 3 0n n− + + + + =

3 6 0m⇒ − + = şi 21 252 0 2n m+ = ⇒ = şi 12n = − .

Sistemul este compatibil dacă ( )0c ′∆ = Rouche

2 3 11 9 3 18 45 6 45 36 3 21 42 21 42 0 21 42 25 6

c p p p p p pp

− −∆ = = − + + + + = + ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −

−

Deci sistemul este compatibil şi matricea sistemului are rangul 2 dacă 2122

mnp

= = − = −

.

Se consideră sistemul ( )( )

2 12 1 3 1 ,

3 2 1

x my zx m y z unde m

x my m z m

+ + = + − + = ∈ + + − = −

. V79

a) Să se determine m∈ pentru care sistemul are soluţie unică. b) Să se determine m∈ pentru care sistemul este compatibil nedeterminat. c) Pentru m 1= să se determine soluţiile reale ( )0 0 0x , y , z ale sistemului pentru

care 2 2 20 0 02x y 3z 14− + = .



a) Dacă sistemul dat are soluţie unică 0Cramer⇒ ∆ ≠

( )( )2 1

3 1

1 2 1 21 2 1 3 0 1 1 5 11 3 0 0 5

determinanttriunghiularL L

L L

m mm m m mm m m

−

−∆ = − = − = − − ⇒

− −

( )( )5 1 0 5m m m⇒ − − ≠ ⇒ ≠ sau { }1 \ 1,5m m≠ ⇒ ∈ .

b) Sistemul este compatibil nederminant dacă 0∆ = şi 0c∆ = . Avem { }0 1,5m∆ = ⇒ ∈ .

Caz i. 1 1 2 1 2 1

1 21 1 1 3 1 0 1 3 1 0

1 31 1 2 1 2 1

p cm A = ⇒ = ⇒ ∆ = = ≠ ⇒ ∆ = = ⇒ − −

sistem

compatibil .

Caz ii. 1 5 2 5 2 1

5 25 1 9 3 3 0 9 3 1 24 0

9 31 5 2 5 2 9

= ⇒ = ⇒ ∆ = = − ≠ ⇒ ∆ = = − ≠ ⇒

p cm A

sistemul este incompatibil.

c) 1 2 , 2 11 0 1

1 3 3 1

b) necunoscute principalenecunoscută secundarăp

y z y zm z y

x y zα

αα α

+ = − = ⇒∆ = ⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = − = + = −

Din 2 2 20 0 02x y 3z 14− + = obținem

( )222 1 14α α− − =

2 22 1 2 14α α α− + − =

( )( ) { }2 2 15 0 3 5 0 3, 5α α α α α+ − = ⇒ − − = ⇒ ∈ −

0 0 03, 2, 0x y z⇒ = = = sau 0 0 05, 6, 0x y z= − = = .

Fie m∈ şi punctele ( ) ( ) ( ),1 , 1 ,2 , 2 1,2 1A m B m C m m− + + . Se consideră matricea

1 11 2 12 1 2 1 1

mM m

m m

= − + +

. V81

a) Să se calculeze ( )det M . b) Să se arate că punctele A,B,C nu sunt coliniare, oricare ar fi m∈ .

c) Să se arate că aria triunghiului ABC este mai mare sau egală cu 1532

.

Soluţie propusă și redactată de Cristian Ghepeş, clasa a XI-a A,


a)

( )2 1

3 1

2 2

1 1 1 11 2 1

det 1 2 1 1 2 1 0 2 4 1 4 11 2

2 1 2 1 1 1 2 0

L L

L L

m mm

M m m m m m m mm m

m m m m

−

−

−= − = − = = − − − = − + −

++ + +

b)

, ,A B C nu sunt coliniare dacă 0, m∆ ≠ ∀ ∈

2

1 11 2 1 4 1 0,2 1 2 1 1

mm m m m

m m∆ = − = − + − ≠ ∀ ∈

+ + deoarece 15∆ = −

c)

Metoda 1.

22 2

1516

1 1 1 1 1 15 1 15 154 1 4 1 22 2 2 2 4 16 2 16 32ABC ABCA m m m m m A

≥

= ∆ = − + − = − + = − + ≥ ⋅ ⇒ ≥

Metoda 2.

Fie ( ) ( )2 215 154 1 min 4 14 16 16

f m m m f m ma∆

= − + ⇒ = − = ⇒ − + ≥ ⇒

2

1516

1 1 1 15 154 12 2 2 16 32ABC ABCA m m A

≥

⇒ = ∆ = − + ≥ ⋅ ⇒ ≥

Se consideră sistemul de ecuaţii liniare cu coeficienţi reali ( )( )( )

000

x ay b c zx by c a zx cy a b z

+ + + = + + + = + + + =

V82 a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. b) Să se arate că, pentru orice , ,a b c∈ , sistemul admite soluţii nenule. c) Să se rezolve sistemul, ştiind că a b≠ şi că ( )1,1,1 este soluţie a sistemului.

Soluţie propusă și redactată de Tibor Gocz, clasa a XI-a A,


a)

( )2 1

3 1

1 11 0 1 1 01 0

L L

L L

a b c a b cb a a b

b c a b a a bc a a c

c a b c a a c

−

−

+ +− −

∆ = + = − − = ⋅ + =− −

+ − −

b)

Sistemul este pătratic omogen deci admite şi soluţii nenule dacă 0∆ = (Dacă 0∆ ≠ atunci admite soluţia unică ( )0,0,0 ) adică din punctual a) sistemul

admite soluţii nenule pentru orice , ,a b c∈

c)

Dacă ( )1

0 21P

aa b b a rang A

b≠ ⇒ ∆ = = − ≠ ⇒ = pentru că 0∆ = şi alegem ,x y

necunoscute principale, iar z α= secundară.

( )( ) ( )

( )1

x ay b cx ay b c x by c a y x a b c

x by c ay a b a b

α αα α

α α α αα α

α

+ = − −+ = − − − − = +⇒ ⇒ = ⇒ = − + + + = − − ⋅ − − = −

( )( ){ }, ,S a b cα α α⇒ = − + + dar ( )1,1,1 soluţie 1ec.1

a b c⇒ + + = − ( ){ }, ,S α α α⇒ =

Fie sistemul de ecuaţii liniare ( ) ( )( ) ( )

2

2

1

1 1 2 ,

2 2 2 1 3

x y z

x m m y m z m

x m m y m z

− + = + − − + + = ∈

+ − − + + =

V83

a) Să se demonstreze că sistemul are soluţie unică dacă şi numai dacă { }\ 0.1m∈ .

b) Să se arate că pentru { }0,1m∈ sistemul este incompatibil. c) Să se arate că dacă ( ) 3

0 0 0, ,x y z ∈ este soluţie a sistemului, atunci

0 0 02009 1x y z− + ⋅ = .

Soluţie propusă și redactată de Ramona Ignat, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) Sistemul are soluţie unică dacă ( )Cramer∆ ≠

( )( ) ( )

2 13 1

22 2 2 2

22 2

1 1 1 1 0 01 1

1 1 1 1 11 22

2 2 2 1 2 2

C CC C m m m

m m m m m m m m m m mm m m

m m m m m m

+−

−−

∆ = − − + = − = = − ⋅ ⋅ = −−

− − + −

( ) { }2 1 0 \ 0,1m m m− ≠ ⇒ ∈ .

b) Sistemul este incompatibil dacă 0∆ = şi 0c∆ ≠

Caz i. 1 10 1 1 0

1 2p cm = ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = = ≠

Caz ii. 1 1 1

1 11 1 2 2 1 0

1 22 4 3

p cm−

−= ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = − = ≠

−−

c) Dacă ( )0 0 0, ,x y z este soluţie { }\ 0,1m⇒ ∈ ⇒ sistemul are soluţie unică.

Din ecuația 2 și 3 avem:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

22

2

2

1 1 21 1 2 1

2 2 2 1 32 2 2 1 3

1 1 *

x m m y m zx m m y m z

x m m y m zx m m y m z

x y m z

− − − − − + = − + − − + + = ⋅ − ⇒ + − − + + = + − − + + = − + + =

Din ecuația 1 și relația (*) avem: ( )( )

( )1

1 1 1 11 1

0 0 0dar

x y zx y z x y m zx y m z

mz m z

− + − = − − + = ⋅ − − + + =⇒ − + + =

= ≠ ⇒ =

0 0 01 2009 1x y x y z⇒ − = ⇒ − + = .

Se consideră sistemul de ecuaţii liniare 2 3 3

22 4

x y zx y z m

nx y z

+ − = − + = + − =

unde ,m n∈ . V84

a) Să se determine m şi n pentru care sistemul admite soluţia 0 0 02, 2, 1x y z= = = .

b) Să se determine n∈ pentru care sistemul are soluţie unică. c) Să se determine m şi n pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.

Soluţie propusă și redactată de Andreea Mucha, clasa a XI-a A,


a)

Dacă 0 0 0

2 2 2 1 32, 2, 1

2 2 2 4 2m m

x y zn n

⋅ − + = == = = ⇒ ⇒ + − = =

b)

Sistemul are soluţie unică dacă ( )0 Cramer∆ ≠

1 2 32 1 1 2 2 6 3 1 8 3

1 2n n n

n

−∆ = − = + − − − + = − +

−

{ }3 0 3 \ 3n n n− + ≠ ⇒ ≠ ⇒ ∈

c)

Sistemul este compatibil nedeterminat dacă 0∆ = şi 0c∆ = (teorema Rouché)

Dacă 0 3n∆ = ⇒ =

Aleg minorul principal ( )1 2

5 0 22 1p rangA∆ = = − ≠ =

−

1 2 32 1 4 6 6 9 16 5 5 5 5 0 13 1 4

c m m m m m m⇒∆ = − = − + + + − − = − ⇒ − = ⇒ =

Deci sistemul este compatibil nedeterminat dacă 3n = şi 1m = .

Fie A matricea coeficienţilor sistemului 2 0

3 0,2 0

x y zx y mz mx y z

+ + = − + = ∈− + + =

. V85

a) Să se calculeze ( )det A . b) Să se determine m∈ astfel încât sistemul să admită soluţii nenule.

c) Să se arate că, dacă 0m = , atunci expresia 2 2 20 0 02 2 20 0 0

z y xz y x+ +− −

este constantă,

pentru orice soluţie nenulă ( )0 0 0, ,x y z a sistemului.


a)

( )2 1 1

det 3 1 2 6 1 4 3 51 2 1

A m m m m= − = − + − − − − = −−

b)

Sistemul este omogen deci admite şi soluţii nenule dacă 0∆ = (Dacă 0∆ ≠ atunci admite soluţia unică ( )0,0,0 ) deci din 0 5 0 0m m∆ = ⇒ − = ⇒ =

c)

Dacă 0 0m = ⇒ ∆ = ⇒ sistemul omogen este compatibil nedeterminat

Aleg minorul principal 2 15

3 1p∆ = = −−

( )( )2rang A = ,x y⇒ necunoscute

principale şi z α= necunoscută secundară

( )0 0 0

2 35 , 0 , , , ,3 0 3 5 5

5

xx yx y z

x y y

αα α αα α

α

= − + = − − ⇒ ⇒ ≠ ⇒ = − − = = −

2 2 22 2 2

0 0 02 2 2

2 2 20 0 0

9 1 9 1125 25 25 259 1 9 1125 25 25 25

z y xE k Ez y x

α α α

α α α

+ + + ++ += = = = ∈ ⇒

− + − − − − constantă.

Se consideră sistemul ( )

( )( )

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

, ,

x ay a b z a b

x a y a b z a b a b

x a y a b z a b

+ + + = + + + + = + ∈

+ + + = +

. V86

a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. b) Să se determine ,a b∈ astfel încât sistemul să fie compatibil determinat. c) Să se arate că, pentru orice valori reale ale parametrilor a şi b sistemul are

soluţie.

Soluţie propusă și redactată de Rareş Păroiu, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

( )( )( )2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 2 2

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1

3 2C -C Vandermondea a b a ba a b a b ab a b ab b a b aa a b a b a b

+∆ = + = = = − − −

+

b)

Sistemul este compatibil determinat dacă 0∆ ≠ (Cramer)

( )( )( ) { } { }0, 0

1 1 0 \ 0,1 , \ 0,11, 1

a bab b a b a a b a b

a b

≠ ≠⇒ − − − ≠ ⇒ ≠ ⇒ ∈ ∈ ≠ ≠

şi a b≠ .

c) Avem

2 2 2

3 3 3

111

a a bA a a b

a a b

+ = + +

şi 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

111

a a b a bA a a b a b

a a b a b

+ + = + + ⇒ + +

( ) ( )K-C

rang A rang A⇒ = ⇒ sistemul este compatibil, adică are soluţie ,a b∀ ∈ .

Fie matricea ( )3A M∈ care are toate elementele egale cu 1. V87

a) Să se demonstreze că 2 3A A= . b) Să se calculeze ( )3

3det I A+ . c) Să se demonstreze că dacă ( )3B M∈ este o matrice cu proprietatea AB BA=

, atunci suma elementelor de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloană ale lui B este aceeaşi.



2

1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 11 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 31 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1

A A A A = ⋅ = ⋅ = = =

b)

3 2 23 3 3 3 9A A A A A A A A= ⋅ = ⋅ = = ⋅ =

33 3

10 9 99 9 10 9

9 9 10I A I A

+ = + =

( )33

10 9 9 28 9 9 1 9 9 1 0 0det 9 10 9 28 10 9 28 1 10 9 28 1 1 0 28

9 9 10 28 9 10 1 9 10 1 0 1

2 1

3 1

determinantC -9C triunghiular

C -9C= =I A+ = = =

c)

Fie 1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a aB b b b

c c c

=

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 11 1 11 1 1

a a a a b c a b c a b cAB b b b a b c a b c a b c

c c c a b c a b c a b c

+ + + + + + = = + + + + + + + + + + + +

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 1 11 1 11 1 1

a a a a a a a a a a a aB A b b b b b b b b b b b b

c c c c c c c c c c c c

+ + + + + + ⋅ = ⋅ = + + + + + + + + + + + +

Dar 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3AB BA a a a b b b c c c a b c a b c a b c= ⇒ + + = + + = + + = + + = + + = + +

adică suma elementelor de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloană ale lui B este aceeaşi.

Fie m∈ şi ( )3

2 1 11 1

3 4 1 0A m M

m

− = − − ∈ +

V88

a) Să se calculeze ( )det A . b) Să se determine m∈ astfel încât matricea A să fie inversabilă. c) Să se determine m∈ astfel încât 1 *A A− =

Soluţie propusă și redactată de Bianca Rusu, clasa a XI-a A,


a)

( ) ( ) 2

2 1 1det 1 1 1 3 4 3 4 2 3 1

3 4 1 0A m m m m m m

m

−= − − = − − + + + = + −

+

b)

Matricea A este inversabilă dacă

( )13

21,2

1 13 1 13det 0 3 1 0 \6 6

A m m m m∆= − ± − ± ≠ ⇒ + − = ⇒ = ⇒ ∈

c)

Dacă 1 2 2 2det 1 3 1 1 3 2 0 1,3

b a cA A A m m m m m

= +− ∗ = ⇒ = ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒ ∈ −

.

Se consideră sistemul de ecuaţii liniare 1 2

3 4

1 2 3 4

, ,1

x x ax x b a b

x x x x

− = − = ∈ + + + =

. V89

a) Să se arate că, pentru orice valori ale lui a şi b, sistemul este compatibil. b) Să se determine ,a b∈ astfel încât sistemul să admită o soluţie ( )1 2 3 4, , ,x x x x

cu proprietatea 1 2 3 4, , ,x x x x şi 1 2x x+ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

c) Să se demonstreze că, dacă sistemul are o soluţie cu toate componentele strict pozitive, atunci 1a b+ < .

Soluţie propusă și redactată de Emanuel Todor, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) 1 1 0 00 0 1 11 1 1 1

A−

= −

și 1 1 0 00 0 1 11 1 1 1 1

aA b

− = −

Aleg minorul principal: ( )2 3

1 1 01 1

0 0 1 1 1 21 1

1 1 1

+

−−

∆ = = ⋅ − = −P

Dar C∆ nu există ( ) ( ) 3K-C

rang A rang A⇒ = = ⇒ sistemul este compatibil.

b) Avem 1 2 3, ,x x x necunoscute principale şi 4x α= necunoscută secundară

( )1 1

1 21 2

21 23

1 2 3 1 3

4

1 22

1 21 22

1 2 1 2

ec.2+ec.3

a bxx x ax x a

a bxx x bx bx x x x a b x b

x

α

ααα

α α αα

+ − − = ∗− =− =

− − − =+ = − −= + ⇒ ⇒ + + = − = + − − = +

=

( )1 2 3 4 1 2; ; ; ;x x x x x x+ în

2 1

3 1

4 1

1

23

x x rx x rx x r

x

= += +

⇒= +

2 1x x+ =

( )2 2

1

3

4

435

4 6

x rx rx r

r x r

= ∗ = ⇒

= + =

dar 4

1 2

3 4

−

−

=

− = − =

r

r

xx x a

x x b

α

( )

( )

1 1

1 2

1 21 12 1 2

6 3 186 2

a b r x dina b a b

r x din

αα α α αα α

−= = − = ∗ ⇒ ⇒ = = − ⇒ ⇒ − = ⇒ = ⇒ = = − = = ∗

c) Adunăm primele două ecuaţii şi obţinem ( )0kx >

( )1 3 2 4

0

a b x x x x>

+ = + − + ⇒

1 3 1 2 3 4

1

1a b x x a b x x x x a b=

+ < + ⇒ + < + + + ⇒ + <

.

Fie M mulţimea matricelor de ordin 3 cu elemente reale având proprietatea că suma elementelor fiecărei linii este 0. V90

a) Să se arate că dacă ,A B M , atunci A B M . b) Să se arate că orice matrice din M este neinversabilă. c) Să se demonstreze că, dacă ,A M atunci 2A M .

Soluţie propusă și redactată de Andrei Tudose, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

000

a b c a b c

A x y z M x y z

u v t u v t

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

000

a b c a b c

B x y z M x y z

u v t u v t

' ' '

' ' '

' ' '

a a b b c c

A B x x y y z z

u u v v t t

dar

' ' '

' ' '

' ' '

00

0

a a b b c c

x x y y z z A B M

u u v v t t

b)

1 2 3

0det 0 0

0

C C Ca b c a b c a b c b c b c

A x y z M A x y z x y z y z y z

u v t u v t u v t v t v t

A nu este inversabilă, deci orice matrice din M este neinversabilă.

c)

0 1 00 1 00 1 0

a b c a b c

A x y z M x y z A

u v t u v t

Din avem 1 01 01 0

A A

la stânga 2

1 01 01 0

A A

. Fie 1 1 1

21 1 1

1 1 1

a b c

A x y z

u v t

1 1 1 1 1 1 1 1 12

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 01 0 0 01 0 0 0

a b c a b c a b c

x y z x y z x y z A M

u v t u v t u v t

Fie matricea 2

1 2( ) , ,

4A M A x

x

∈ = ∈

V91

a) Să se determine x∈ ştiind că 2 5A A= b) Pentru 2x = să se calculeze 2013A

c) Să se rezolve ecuaţia ( )32

1 2,

2 4X X M

= ∈

.

d) Să se determine x∈ pentru care ( ) 1trang A A+ =

Soluţie propusă și redactată de Catinca Băjan, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) Folosim relaţia lui Cayley-Hamilton: ( ) ( )2

2 2detA tr A A A I O− ⋅ + ⋅ =

( )( ) ( )2

2

55 4 2

det 4 2tr A

A A x IA x

=⇒ = − −

= − dar 2 5 4 2 0 2A A x x= ⇒ − = ⇒ = .

b) Metoda 1. Prin inducție a)

2 3 2 22 5 5x A A A A A A= ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅

( ) 1: 5 ,n nP n A A n− ∗= ∈

Verificare: ( )1 :P A A= (A)


( ) 11 : 5n nP n A A++ = ⋅

( )1 1 1 2 15 5 5 5 5n n n n n nA A A A A A A A P n+ − − −= ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⇒ adevărată n ∗∀ ∈

Pentru 2013 20122013 5n A A= ⇒ = ⋅ .

Metoda 2. Prin relaţia lui Cayley-Hamilton )

2 12 5 5C-Ha

n nx A A A A−= ⇒ = ⇒ = ⋅

Pentru 2013 20122013 5n A A= ⇒ = ⋅ .

c) Fie

( )

( ) ( )

33 3 2 3 2

0

1 2det det det 0 det 0

2 4

C H

tA

X X A X X X tr X X X t X−

=

=

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Înlocuim în ecuaţia iniţială şi avem:

22

1 , 0t X A X A tt

⋅ = ⇒ = ⋅ ≠ care este formula soluţiei.

Acum trebuie să aflăm pe t .

Din ( )

( )

3 32 2 2

5

1 1 1 5 5t

X A tr X tr A t tr A t tt t t

= =

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

şi obţinem soluţia ( )2 33

1 2 1 21 12 4 2 4255

X = ⋅ = ⋅

.

d) 1 2 1 2 24 2 4 2 8

t x xA A

x x+

+ = + = +

( ) ( )1 det 0t trang A A A A+ = ⇒ + =

( ) ( ) { } { }2 216 2 0 2 16 2 4,4 6,2x x x x⇒ − + = ⇒ + = ⇒ + ∈ − ⇒ ∈ − .

Fie matricea 1 11 1

A = − −

şi mulţimea ( ){ }2 2tG X M AXA O= ∈ = , unde tA este

transpusa matricei A. V92 a) Să se arate că dacă ,X Y G∈ , atunci X Y G+ ∈ . b) Să se arate că dacă X G∈ , atunci suma elementelor lui X este egală cu 0. c) Să se arate că dacă X G∈ şi det 0X = , atunci nX G∈ pentru orice *n∈ .



a)

Trebuie să arătăm că ( ) 2tA X Y A O+ =

2

2

,t

t

AXA OX Y G

AYA O =

∈ ⇒ =

( ) ( ) 2t t t tA X Y A AX AY A AXA AYA O A Y G+ = + = + = ⇒ + ∈ .

b)

Dacă 2 2

1 1 1 11 1 1 1

ta b a bX G AXA O O

c d c d−

= ∈ ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ − − −

( )( )2

1 1 0 01 1 0 0

a b c d a b c da c b dO

a b c d a b c da c b d+ + + − + + + + + −

= ⇒ = ⇒ − + + + + + +− − − − −

0a b c d⇒ + + + = deci suma elementelor lui X este egală cu 0.

c)

Trebuie să arătăm că 2n tAX A O=

( )

2 2 1det 0C H C H

n n

t

X X tr X X X tX X t X− −

−

=

= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

( )

2

1 1 12 2

n t n t n t n n

OAX A A t X A t AXA t O O X G− − −

=

= = ⋅ = ⋅ = ⇒ ∈ .


1 02 1

A M

. V93

a) Să se calculeze 3A .

b) Să se determine 1tA A

.

c) Să se rezolve ecuaţia 22,X A X M .

Soluţie propusă și redactată de Andrea Cîrstea, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) 2 1 0 1 0 1 02 1 2 1 4 1

A A A

3 2 1 0 1 0 1 04 1 2 1 6 1

A A A

b) Fie 1 0 1 2 1 22 1 0 1 2 5

tB A A B

det 1 0B B inversabilă

1 1det

B BB

111 2 5 2 5 22 5 2 1 2 1

t tB B B A A

.

c) Metoda 1.

3 3 2 2

A A

X X X X X X AX XA

. Dacă

1 0 1 02 1 2 1

2 0 02 2 2

a b a b a bX

c d c d c d

a b a b b b aX

a c b d c d d a d c a

22

2

0 0 1 0 1 002 1 2 12

a a aX A

c a c a ac a

2 111

12 2aa

a cacac

1

1 01 1

X

şi 2

1 01 1

X

.

Metoda 2. 2 2 1 0det det ;

2 1X A X A A

2 1 0det 1 det 1

2 1X X

Aplicăm relația lui Cayley – Hamilton:

2 22 2 2det det

t

X tr X X X I O tr X X X X I

Avem două cazuri: Caz i. det 1X =

( ) ( )

22

2

1 0 1 0 2 02 1 0 1 2 2

2 0 2 014 22 2 2 22

At X X I t X t X

tr t X tr t t X M

=

⋅ = + ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒

⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ± ∈

Caz ii. det 1X = −

22

1 0 1 0 0 02 1 0 1 2 0A

t X X I t X t X=

⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒

( ) 20 00 0

2 0tr t X tr t t

⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =

nu convine deoarece 2 00

2 2X ⋅ ≠

Fie *, ,a b c şi matricea 00 0

a a b a b

A b b c

c

. V94

a) Să se arate că A este matrice inversabilă.

b) Să se demonstreze că 00 0

n n n n n

n n n n

n

a a b a b

A b b c

c

, oricare ar fi *n .

c) Să se calculeze 1A .

Soluţie propusă și redactată de Mădălin Dermişek, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) det 0 00 0


=

a a b a b

A b b c abc

c

deoarece , ,a b c A inversabilă

b) : 0 ,0 0

n n n n n

n n n n

n

a a b a b

P n A b b c n

c

Verificare: 1 : 00 0

a a b a b

P A b b c A

c

Presupunem P n adevărată şi demonstrăm că 1P n P n

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1

1 : 00 0

n n n n n

n n n n

n

a a b a b

P n A b b c

c

1 0 00 0 0 0

n n n n n

n n n n n

n

a a b a b a a b a b

A A A b b c b b c

c c

1

1

1

1 1 1 1 1

1 1 1

1

0

0 0

00 0

n n n n n n n n n

n n n n

n

n n n n n

n n n

n

a a a b b a b a b a b b c a b c

b b b c b c c

c

a a b a b

b b c

c

P n adevărată n .

c) A inversabilă ( )

1 1det

A AA

− ∗⇒ = ⋅

0 00t

aA a b b

a b b c c

= − − −

( ) ( )11 12 13

0 0; ;

b a b a b ba bc a c a b a c a b

b c c a b c a b b c− −

= = = − = − − = = − −− − − −

( )21 22 23

0 0 0 00; ;

a aa a ac a a b c

b c c a b c a b b c= − = = = = − = − −

− − − −

31 32 33

0 0 0 00; 0;

0 0a a

a a a abb a b a b b

= = = − = = =− −

( ) ( )

( )1 1 00 0

bc c a b c a bA ac a b c

abcab

−

− − − − ⇒ = − −

Se consideră *n∈ şi matricea ( )n nA M∈ , care are elementele de pe diagonala principală egale cu 2 şi restul elementelor egale cu 1. V95

a) Să se calculeze ( )2det 2A . b) Să se determine x∈ pentru care ( )3 3det 0A xI+ = . c) Să se arate că 4A are inversă, aceasta având elementele de pe diagonala

principală egale cu 45

şi restul elementelor egale cu 15

− .

Soluţie propusă și redactată de Sergiu Herciu, clasa a XI-a A,


a) Metoda 1.

( )2 2 2

2 1 4 2 4 22 det 2 16 4 12

1 2 2 4 2 4A A A

= ⇒ = ⇒ = = − =

Metoda 2.

( ) ( )22 2

2 1det 2 2 det 4 12

1 2A A= = ⋅ =

b)

3 3

2 1 1 0 0 2 1 11 2 1 0 0 1 2 11 1 2 0 0 1 1 2

x xA xI x x

x x

+ + = + = + +

( )3 3

2 1 1 4 1 1det 1 2 1 4 2 1

1 1 2 4 1 2

x xA xI x x x

x x x

+ ++ = + = + + =

+ + +

1 2 3C +C +C

( ) ( ) ( )( )2 13 1

determinanttriunghiular 2

1 1 1 1 1 14 1 2 1 4 0 1 0 4 1

1 1 2 0 0 1

L LL L

x x x x x xx x

−−

= + + = + + = + ++ +

Din ( ) ( )( ) { }23 3det 0 4 1 0 4, 1A xI x x x+ = ⇒ + + = ⇒ ∈ − −

c)

4 4

4 1 1 15 5 5 5

2 1 1 1 1 0 0 01 4 1 11 2 1 1 0 1 0 05 5 5 51 1 2 1 1 1 4 1 0 0 1 0

5 5 5 51 1 1 2 0 0 0 11 1 1 45 5 5 5

A I

B

= =

=

− − − − − − ⋅ = − − − − − −

( ) 14A B−⇒ = adică 4A are inversă, aceasta având elementele de pe diagonala

principală egale cu 45

şi restul elementelor egale cu 15

− .

Pentru orice matrice

=

dcba

A 2 ( )M∈ se notează ( )Tr A a d= + V96

a) Să se demonstreze că ( ) ( )22 2detA Tr A A A I O− ⋅ + ⋅ = .

b) Să se demonstreze că, dacă ( ) 0Tr A = atunci 2 2A B BA= , pentru orice matrice ( )2B M∈

c) Să se arate că dacă ( ) ( )20,Tr A B M≠ ∈ şi 2 2A B BA= , atunci AB BA= .

Soluţie propusă și redactată de Vlad Papancea, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a)

Din relaţia lui Cayley-Hamilton ( ) ( )22 2detA tr A A A I O⇒ − ⋅ + ⋅ = (sau verificăm

efectiv prin calcul)

b)

( ) ( )220 dettr A A A I= ⇒ = − ⋅ . Înmulţim cu B la dreapta şi la stânga.

( )( )

22 2

2

detdet

A B A BA B BA

BA A B= − ⋅

⇒ ⇒ == − ⋅

c)

( ) ( )22 2detA tr A A A I O− ⋅ + ⋅ = . Înmulţim cu B la dreapta şi la stânga .

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22

2 22

det detdet det

A B tr A AB A B O A B tr A AB A BBA tr A BA A B O BA tr A BA A B

− + = = −⇒ ⇒

− + = = − ⋅ dar 2 2A B BA= ⇒

( ) ( )dettr A AB A B− ( ) ( )dettr A BA A B= − ⋅

( ) ( )tr A AB tr A BA= dar ( ) 0tr A ≠ ⇒

AB BA⇒ = .

Fie 2

a bA M

c d

. V97

a) Să se arate că det 0tA A .

b) Să se arate că, dacă t tA A A A , atunci 0a d b c .

c) Să se demonstreze că, dacă 2009t tA A A A , atunci 0,1b c .



a)

2det det det det det det 0t tA A A A A A A

b)

2 2

2 2t a b a c a b ac bd

A Ac d b d ax bd c d

2 2

2 2t a c a b a c ab cd

A Ab d c d ab cd b d

Dar

0

0 0

t tA A A A ac bd ab cd ab ac cd bd

a b c d b c a d b c

c)

0 0 1

0 1 0t

M

a b a c b cA A b c b c M

c d b d c b

Calculez puterile lui M

22

0 1 0 1 1 01 0 1 0 0 1

M M M I

2009 2009 2009 20094 2 2 4 20092 2

k t

M

M M M I M I A A b c M b c M b c M

Din relaţia 2009 2009t tA A A A b c M b c M

2009 2009 2008 1 0t

b c b c t t t t

0t sau 2008 1 0, 1,1 0, 1,1 0,1t t b c b c

Fie sistemul de ecuaţii liniare 1

2 ,0

mx y zx y z mx y z

+ − = + − = ∈− + + =

. V98

a) Să se determine m∈ astfel încât matricea sistemului să aibă rangul 2. b) Să se determine m∈ astfel încât sistemul să aibă soluţii ( ) 3

0 0 0, ,x y z ∈ care verifică relaţia 0 0 0 4x y z+ + = .

c) Să se determine m∈ astfel încât sistemul să aibă o soluţie unică ( ) 3

0 0 0, ,x y z ∈ Soluţie propusă și redactată de Irina Petcu, clasa a XI-a A,


a) 1 1

1 1 11 1 1

mA

− = − −

( )1 1

2 0 21 1p rang A∆ = = ≠ ⇒ ≥ ⇒−

matricea are rangul 2 dacă ( )det 0A =

( ) ( )1 1 1 0

1det 1 1 1 1 1 0 2 2 1

1 11 1 1 1 1 2

m mm

A m−

= − = = = −− −

3 2C +C

( )2 1 0 1m m− = ⇒ =

b) Caz 1. { } ( )\ 1 det 0Cramer

m A∈ ⇒ ≠ ⇒ sistemul este compatibil determinat

, ,yx zx y z∆∆ ∆

⇒ = = =∆ ∆ ∆

și observăm că dacă adunăm ecuația 2 cu 3 1y⇒ =

prin înlocuire obținem sistemul

10 11

1

xmx z mx z mz

m

− =− = −⇒ − + = − − = −

și din 0 0 0 4x y z+ + = obținem 1 1 11 4 31 1 1 2

m m mm m m− − − −

+ + = ⇒ = ⇒ =− − −

Caz 2. ( )1 1 11 1 2 2 0

1 11 det 0 2

1 10

1 10

Rouche

P cm A ∆= ⇒ = ⇒ ∆ = = ≠ ⇒−

= = − ≠ ⇒−

sistem

incompatibil deci nu putem avea soluţii ( ) 30 0 0, ,x y z ∈ care verifică relaţia

0 0 0 4x y z+ + = . c) Sistemul are soluţie unică dacă ( )det 0 1A m≠ ⇒ ≠

( )1 1 1 1 1 0

1 1 12 1 1 2 1 0 2 1 22 1 1

0 1 1 0 1 2

3 2C +Cx

x xm

−∆

∆ = − = = + = − ⇒ = = −∆ −

( )1 1

1 2 1 2 1 11 0 1

yy

mm y

−∆

∆ = − = − ⇒ = = ∈∆

−

1 1

1 1 2 21

1 1 0

zz

mmm z

m∆ −

∆ = = − ⇒ = =∆ −

−

{ } { }1 1,1 0,2x m m z∈ ⇒ − ∈ − ⇒ ∈ ⇒ ∈ , deci sistemul are soluţii întregi dacă { }0,2m∈

Fie matricele ( ) ( )2 2

1 1,

1 1a b

A M B Mc d

= ∈ = ∈

şi funcţia

( ) ( ): , det tf f x A A xB→ = ⋅ + V99 a) Să se calculeze tA A⋅ b) Să se arate că ( )0 0f ≥ c) Să se arate că există , ∈m n astfel încât ( ) = +f x mx n .

Soluţie propusă și redactată de Diana Pop, clasa a XI-a A,


a)

2 2

2 2t a b a c a b ac bd

A Ac d b d ac bd c d

+ + ⋅ = ⋅ = + +

b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

det

0 det det det det 0t t

A

f A A A A A=

= ⋅ = ⋅ = ≥

c)

Fie , , , ,t u vA A u v t z

t z

⋅ = ∈

( ) ( ) ( )( ) ( )( )det t u x v xf x A A xB u x z x t x v x

t x z x+ +

= ⋅ + = = + + − + + =+ +

2uz ux zx x= + + + 2tv tx vx x− − − − ( ) ( )m n

x u z t v uz tv mx n= + − − + − = +

,m n⇒∃ ∈ astfel încât ( )f x mx n= +

Fie matricea 3 26 4

A−

= − . V100

a) Să se demonstreze că ( )22 2I A I A+ = + .

b) Să se demonstreze că mulţimea { }*nA n∈ este finită. c) Să se rezolve ecuaţia ( )3

2,X A X M= ∈ .

Soluţie propusă și redactată de Viviana Popa, clasa a XI-a A, C.N. ”M. Viteazul” , Sf. Gheorghe

a) 2

1 0 3 2 4 20 1 6 4 6 3

I A− −

+ = + = − −

( ) ( )22 2

4 2 4 2 4 26 3 6 3 6 3

I A I A− − −

+ = = = + − − −

b) Metoda 1. 2 3 2 3 2 3 2 3 26 4 6 4 6 4 6 4

A A A A− − − −

= ⋅ = = = − = − − − − −

( )3 2 2

AA A A A A A A A

−

= ⋅ = − ⋅ = − = − − =

( ) ( ) 1: 1 ,nnP n A A n− ∗= − ∈

Verificare : ( ) ( )1 :P A A A=


( ) ( )11 : 1 nnP n A A++ = − ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 21 1 1 1n n n nn nA A A A A A A A P n− − −+ = ⋅ = − ⋅ ⋅ = − = − ⋅ − = − ⋅ ⇒ adevărată

{ } { }, ,nA n A A∗⇒ ∈ = − deci mulţime finită.

Metoda 2. Folosim relaţia Cayley-Hamilton: ( ) ( )22 2detA tr A A A I O− ⋅ + ⋅ =

( )

( )( ) ( ) ( ) 12 2

2

3 4 11 1 13 2

det 06 4

C H nn

tr AA A O A A A A

A

− −

= − = −

⇒ − − = ⇒ = − ⇒ = −−= =

−

{ } { },nA n A∗⇒ ∈ = ± deci mulţime finite

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 2 2 3 2det det det 0 det 0C H

t

X A X A X X X tr X X X tX X t X−

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

Înlocuim în ecuaţie şi avem: 22

1 , 0t X A X A tt

= ⇒ = ≠ ⇒

( ) ( ) ( )( )

322 2

1 1 11 1 11

tr X tr A t t t X A X At t

⇒ = ⇒ = ⋅ − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =−

sĂ Știi mai multe, sĂ fii mai bun la matematicĂ · algebra clasa a xi-a p1: determinantul unei...

Documents