people.cs.vt.edurstefane/papers/phd_thesis.pdf · cuprins introducere...

Universitatea ,,Al. I. Cuza”, Iaşi

Facultatea de Matematică

Lucrare de Doctorat

ALGORITMI NUMERICIPENTRU APROXIMAREASOLUŢIILOR ECUAŢIILOR

CU DERIVATE PARŢIALE DETIP ELIPTIC ŞI APLICAŢII

drd. Răzvan Ştefănescu

Coordonator ştiinţific

prof. dr. Viorel Arnăutu

Cuprins

Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme

de control optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Metode cu diferenţe finite pentru ecuaţii eliptice . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de tip eliptic de ordinul doigenerală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Aproximarea numerică a ecuaţiei Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Metode iterative pentru sisteme algebrice liniare . . . . . . . . . . 71.1.4 Aplicarea metodelor iterative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.5 Descrierea algoritmilor şi rezultatele numerice obţinute . . . . 13

1.2 Metode spectrale pentru ecuaţii eliptice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.1 Polinoame Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2 Aproximarea Galerkin a ecuaţiei Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.3 Operatori de proiecţie şi estimarea erorii . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.4 O metodă de colocaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.5 Implementarea algoritmilor si̧ rezultate numerice . . . . . . . . . . 34

1.3 O problemă de control optimal distribuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.1 Condiţiile de optimalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.2 Aproximarea Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.3 Rezultate de estimare a erorilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.3.4 Un algoritm numeric şi rezultatele numerice obţinute . . . . . . 43

2 Probleme cu frontieră liberă şi aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1 Problema Stefan cu o fază ı̂n cazul unidimensional . . . . . . . . . 48

2.1.1 Problema Stefan inversă şi problema de control optimalcorespunzătoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.2 Condiţiile necesare de optimalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.1.3 Implementarea algoritmului şi rezultatele numerice obţinute 542.1.3 Rezultate numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2 Problema Stefan cu două faze ı̂n cazul unidimensional . . . . . . 612.2.1 Problema de control optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.2 Aproximarea problemei de control optimal . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.3 Condiţiile necesare de optimalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.3 Algoritm numeric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.4 Rezultate numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3 O problemă cu frontieră liberă pentru un sistem de tip pradă-prădător . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.3.1 Descrierea modelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1

2.3.2 Aproximarea numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.3 Rezultate numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3 Sisteme de tip Reacţie-Difuzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.1 Serii Fourier şi transformata Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.1.1 Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1.2 Transformata Fourier şi transformata Fourier inversă . . . . . . 853.1.3 Transformata Fourier discretă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.4 Transformata Fourier rapidă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 Integratori exponenţiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.3 Definirea modelelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3.1 Modelul Gierer Meinhardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.2 Modelul Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.3 Modelul CIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.3.4 Modelul de transformare a glucozei ı̂n acid lactic cu dega-

jare de energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4 Aproximarea numerică şi rezultatele numerice obţinute . . . . . 103

4 Modele de dinamica populaţiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.1 Descrierea modelulului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 Comportarea asimptotică a soluţiei sistemului dinamic . . . . . . 1154.3 Problema de recoltare optimală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.4 Un algoritm numeric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.5 Simulări numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

A Noţiuni de analiză funcţională şi convexă . . . . . . . . . . . . . . . . 126A.1 Noţiuni de diferenţiabilitate pe spaţii normate . . . . . . . . . . . . . . 126A.2 Noţiuni de analiză convexă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129A.3 Subdiferenţiala unei funcţionale convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

2

Introducere

Introducere

Procesele şi fenomenele naturale, staţionare sau cele care se desfăşoară evolutivı̂n timp, se modelează matematic prin probleme la limită cu valori iniţiale pentruecuaţii cu derivate parţiale. Pentru ca un model matematic să fie valabil şi astfelutilizabil din punct de vedere practic, trebuie să reflecte cât mai fidel realitateape care o simulează. Mai ı̂ntâi, trebuie studiată existenţa şi unicitatea soluţiei ı̂nsens clasic sau generalizat şi proprietăţile acestei soluţii. Modelul nu are ı̂nsă nicio utilitate practică dacă nu este parcursă cea de a doua etapă, aceea a studieriiunor metode de calcul a soluţiei, mai precis de aproximare a ei, pentru că ı̂ngeneral rezolvarea exactă nu este posibilă. La fel de importantă este şi cea de atreia etapă prin care metodele de aproximare sunt implementate pe calculator.Rezultatele numerice obţinute permit testarea validităţii modelului, care abiadupă acestă ultimă fază poate fi utilizat cu succes ı̂n practică.

Aşa cum spune şi titlul, ı̂n lucrarea de faţă ne-am ı̂ndreptat atenţia asuprarezolvării numerice a ecuaţiilor cu derivate parţiale de tip eliptic şi nu numai.Astfel, modelele matematice studiate pe parcursul ı̂ntregii teze sunt tratate ı̂nmaniera prezentată ı̂n primul paragraf, atenţia fiind focalizată pe metodele deaproximare şi simulările numerice.

Lucrarea este structurată ı̂n patru capitole: I. Aproximarea ecuaţiilor elipticeşi aplicaţii la probleme de control optimal; II. Probleme cu frontieră liberă şiaplicaţii; III. Sisteme de tip Reacţie - Difuzie; IV. Modele de dinamica populaţiei,Introducere, Bibliografie, Anexă.

Primul dintre ele conţine studii numerice cu privire la ecuaţia Poisson 2D şi oproblemă de control optimal cu ecuaţia de stare de tip eliptic. În cazul problemeiPoisson, am folosit pentru discretizare metoda diferenţelor finite, iar soluţia sis-temului algebric liniar obţinut a fost determinată cu ajutorul metodelor iterativeJacobi, Gauss-Seidel, suprarelaxării (SOR). S-a efectuat o analiză comparativăasupra timpilor de lucru, acurateţii soluţiilor aproximante şi gradului de dificul-tate ı̂ntâmpinat la realizarea implementării algoritmilor. În plus, am confirmatcu rezultate numerice ratele de convergenţă estimate teoretic.

În cazul problemei de control optimal, sistemul de stare corespunde ecuaţieiPoisson. Aceasta a fost rezolvată numeric din nou, atât ı̂n cazul 1D şi 2D, metodade aproximare folosită fiind o metodă spectrală. S-a discutat legătura careexistă ı̂ntre metoda spectrală şi o metodă de colocaţie, liantul fiind asiguratde formula de integrare numerică Gauss-Lobatto. Tot aici, s-a construit unalgoritm de tip Newton-Raphson pentru calcularea rădăcinilor polinoamelorLegendre. Problema de control optimal a fost rezolvată cu metoda AzimuthMark şi cu un algoritm de tip gradient. Soluţiile numerice obţinute cu programeC++, ı̂n cazul 1D şi 2D, sunt descrise ı̂n secţiunea 1.2.5.

În capitolul doi se studiază probleme cu frontieră liberă. Două astfel de pro-bleme au fost supuse cercetării. Prima dintre ele este cunoscută sub numele deproblema Stefan inversă. Modelul matematic este o problemă de control optimalşi fenomenul vizat corespunde unui proces de solidificare (topire). S-a considerat

3

Introducere

cazul problemei cu o fază, tratat cu o metodă cu domeniu necilindric şi cazulproblemei cu două faze, tratat cu domeniu cilindric. Algoritmii propuşi sunt detip Rosen şi se găsesc ı̂n secţiunile 2.1.2 şi 2.2.3.

În cazul celei de a doua probleme, modelul matematic corespunzător constăı̂ntr-un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale parabolice semiliniare şi caracte-rizează un fenomen ecologic de migraţie a unor populaţii de tip pradă - prădător.Luând ı̂n calcul dinamica sistemului, am construit un algoritm cu care am deter-minat soluţia numerică. Sistemul de ecuaţii algebrice neliniare, obţinut ı̂n urmadiscretizării, a fost rezolvat cu metoda Newton-Raphson.

Capitolul trei este dedicat sistemelor de tip reacţie difuzie cu aplicaţii ı̂nchimie şi biochimie. Rezolvarea numerică a unor astfel de probleme implică o serieı̂ntreagă de dificultăţi, mai ales ı̂n situaţia ı̂n care coeficientul difuziei este foartemic. Problemele propuse aici au fost alese ı̂n aşa fel ı̂ncât, după semidiscretizareaspaţială, să fie aduse la o formă ı̂n care partea neliniară să fie separată de partealiniară, pentru ca apoi, să folosim scheme numerice din categoria integratorilorexponenţiali special construite pentru astfel de cazuri.

Ultimul capitol tratează o problemă de recoltare optimală, asociată unuisistem cu dependenţă de vârstă, cu termen logistic şi cu rate vitale (natalitate,mortalitate) periodice. S-au folosit condiţii necesare de optimalitate de ordinul1 şi s-a obţinut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal. Înfinal au fost descrise simulările numerice efectuate.

Programele de calculator corespunzătoare metodelor numerice din lucrare aufost scrise ı̂n limbajele C/C++ şi Matlab.

Programul de cercetare a fost parţial finanţat de CNCSIS-UEFISCSU, con-tract nr. 569/ 1.10.2007, cod TD-201.

Programul de cercetare a fost parţial finanţat de CNCSIS-UEFISCSU, con-tract nr. 342/2009, tip IDEI.

4

Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii la probleme de control optimal

1 Aproximarea ecuaţiilor eliptice şi aplicaţii laprobleme de control optimal

1.1 Metode cu diferenţe finite pentru ecuaţii eliptice

1.1.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de tip eliptic de ordinul doi ge-nerală Fie următoarea problemă

a∂2u

∂x2 (x, y) + b∂u∂x (x, y) + c

∂2u∂y2 (x, y) + d

∂u∂y (x, y) + eu(x, y) = f(x, y),

(x, y) ∈ Ω ,u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω ,

unde Ω = (x1, x1 + C)× (y1, y1 + C), f ∈ C2(Ω̄), a, b, c, d, e, x1, y1 sunt numerereale, iar C este un număr real pozitiv.

Pentru a rezolva această problemă vom folosi o metodă cu diferenţe finite.Fie N un număr natural şi h = CN−1 . Construim o reţea de noduri echidistante,de pas h, pe intervalele [x1, x1 + C], respectiv [y1, y1 + C]

xi = x1 + (i− 1)h, i = 1, .., N, yj = y1 + (j − 1)h, j = 1, .., N.Metoda cu diferenţe finite constă ı̂n aproximarea soluţiei exacte ı̂n punctele

grilei. Astfel spus, vom căuta un vector dublu indexat (ui,j)i=2,..,N−1; j=2,...,N−1,care să reprezinte aproximarea soluţiei ı̂n nodul M(xi, yj), calitatea aproximăriifiind cu atât mai bună cu cât pasul h este mai mic.

Din condiţiile la frontieră obţinem{

u(x1, yj) = 0, u(x1 + C, yj) = 0u(xi, y1) = 0, u(xi, y1 + C) = 0, pentru i = 1, ..N, j = 1, .., N.

Presupunem că u ∈ C4(Ω̄). Utilizând dezvoltarea ı̂n serii Taylor, ajungem laurmătoarele formule

∂2u

∂x2(xi, yj) =

u(xi+1, yj) + u(xi−1, yj)− 2u(xi, yj)h2

+ O(h2) ,

∂2u

∂y2(xi, yj) =

u(xi, yj+1) + u(xi, yj−1)− 2u(xi, yj)h2

+ O(h2) ,

∂u

∂x(xi, yj) =

u(xi+1, yj)− u(xi−1, yj)2h

+ O(h2),

∂u

∂y(xi, yj) =

u(xi, yj+1)− u(xi, yj−1)2h

+ O(h2).

Înlocuind aceste expresii ı̂n problemă obţinem

(2a + hb)u(xi+1, yj) + (2a− hb)u(xi−1, yj) + (2c + hd)u(xi, yj+1)++(2c− hd)u(xi, yj−1) + (2eh2 − 4a− 4c)u(xi, yj) + O(h2) = 2h2f(xi, yj),pentru i = 2, ..N − 1, j = 2, ..N − 1.

5


Pentru h suficient de mic, putem neglija cantităţile O(h2) şi astfel găsimproblema discretă corespunzătoare

(2a + hb)ui+1,j + (2a− hb)ui−1,j + (2c + hd)ui,j+1(+2c− hd)ui,j−1) + (2eh2 − 4a− 4c)ui,j = 2h2fi,j ,i = 2, ..N − 1, j = 2, ..N − 1,u1,j = uN,j = ui,1 = ui,N = 0, i = 1, .., N, j = 1, .., N.

Am folosit mai sus următoarele notaţii{

ui,j ' u(xi, yj), fi,j = f(xi, yj), pentru i, j = 1, ..., N.Observaţie 1.1. În fapt, problema discretă este un sistem algebric liniar, carepoate fi rezolvat folosind atât metode directe, cum ar fi metoda factorizării matri-cei, metoda matricei inverse, metoda de eliminare a lui Gauss etc., cât şi metodeiterative, din care amintim metoda Jacobi, metoda Gauss-Seidel şi metoda supra-relaxării (SOR), acestea din urmă fiind descrise mai amănunţit ı̂n subcapitoleleurmătoare.

Observaţie 1.2. Metoda cu diferenţe finite poate fi aplicată şi pentru o problemămai generală, ı̂n care a, b, c, d şi e sunt funcţii de x şi y.

1.1.2 Aproximarea numerică a ecuaţiei Poisson În cele ce urmează, vomintroduce ecuaţia Poisson pentru cazul bidimensional

(P ){

∆u(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ Ω,u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω ,

unde Ω = (x1, x1+C)×(y1, y1+C), iar f este proporţională cu sursa de căldură,f ∈ C2(Ω̄). În aceste condiţii, există o unică soluţie u ∈ C4(Ω̄).

Problema este rezolvată cu metoda diferenţelor finite, iar soluţia sistemuluialgebric liniar obţinut este determinată cu ajutorul metodelor Jacobi, Gauss-Seidel, suprarelaxării şi Gauss. Pe baza rezultatelor numerice, calculate cu pro-grame realizate ı̂n Matlab, vom ı̂ncerca să efectuăm o analiză comparativă asupratimpilor de lucru, acurateţii soluţiilor aproximante, gradului de dificultate ı̂ntâm-pinat ı̂n realizarea implementării algoritmilor. În plus, vom verifica dacă ratelede convergenţă estimate teoretic, ı̂n cazul metodelor iterative, concordă cu rezul-tatele practice.

Fiind un caz particular al problemei generale prezentate anterior, pentrua = c = 1, b = d = e = 0, vom continua prin a introduce, fără informaţiisuplimentare, problema discretă asociată (Ph), menţionând că am folosit, pentrudiscretizarea domeniului, o reţea de noduri echidistantă similară.

(Ph)

ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 − 4ui,j = h2fi,j ,i = 2, N − 1, j = 2, N − 1,u1,j = uN,j = ui,1 = ui,N = 0, i = 1, .., N, j = 1, .., N.

Pentru mai multe detalii despre metodele cu diferenţe finite, vezi [68].

6


1.1.3 Metode iterative pentru sisteme algebrice liniare Metodele ite-rative permit, ı̂n principiu, găsirea soluţiei unui sistem de ecuaţii liniare, pornindde la aproximarea iniţială a soluţiei. Dacă sistemul este bine condiţionat numeric(matricea lui satisface anumite condiţii), procesul iterativ converge către soluţiaexactă a sistemului. Cu cât aproximaţia iniţială este mai apropiată de soluţiaexactă, cu atât convergenţa metodelor iterative este mai rapidă. Fie A o matricepătratică de ordinul n nesingulară şi următorul sistem de ecuaţii liniare

Ax = b.

Introducem forma generală a metodelor iterative x(i+1) = Φ(xi), i = 0, 1, ...Folosind o matrice pătratică nesingulară oarecare, rescriem sistemul de ecuaţii

Bx + (A−B)x = b.

O metodă iterativă este dată prin

x(i+1) = (I −B−1A)x(i) + B−1b, (1.1)

unde I reprezintă matricea unitate. În continuare, descompunem matricea Aastfel :

A = L + D + U,

unde D conţine partea diagonală a lui A cu 0 ı̂n rest, L partea subdiagonală cu0 ı̂n rest, iar U cea superioară cu 0 ı̂n rest.

Cu notaţiile H = I −B−1A şi b̃ = B−1b, ı̂nlocuim ı̂n (1.1), de unde obţinem

x(i+1) = Hx(i) + b̃. (1.2)

În cazul metodei Jacobi, B = D, de unde deducem că matricea de iteraţieare forma HJ = −D−1(L + U), iar pasul de iteraţie (i + 1) este

x(i+1)j =

(bj −

∑

k 6=jajkx

(i)k

)/ajj , j = 1, 2, ..., n.

În cazul metodei Gauss-Seidel, B = D + L, astfel că, matricea iterativă esteHGS = − (D + L)−1U , iar pasul de iteraţie (i + 1) corespunzător este

x(i+1)j =

(bj −

j−1∑

k=1

ajkx(i+1)k −

n∑

k=j+1

ajkx(i)k

)/ajj , j = 1, 2, ..., n.

Pentru a găsi formula ı̂n cazul metodei suprarelaxării, vom rescrie ecuaţia demai sus astfel

x(i+1)j = x

(i)j +

(bj−

j−1∑

k=1

ajkx(i+1)k −ajjx(i)j −

n∑

k=j+1

ajkx(i)k

)/ajj , j = 1, 2, ..., n

7


ı̂n care introducem parametru de relaxare

x(i+1)j = x

(i)j +

ω

ajj

(bj−

j−1∑

k=1

ajkx(i+1)k −ajjx(k)j −

n∑

k=j+1

ajkx(i)k

), j = 1, 2, ..., n .

De aici obţinem formula corespunzătoare metodei suprarelaxării

x(i+1)j = (1−ω)x(i)j +

ω

ajj

(bj−

j−1∑

k=1

ajkx(i+1)k −

n∑

k=j+1

ajkx(i)k

), j = 1, 2, ..., n.

Mai departe, ı̂nmulţind expresia de mai sus cu aij , rescriem expresia sub formămatriceală

(D + ωL)x(i+1) =[(1− ω)D − ωU

]x(i) + ωb .

Comparând cu (1.2), avem că

H = H(ω) = (D + ωL)−1[(1− ω)D − ωU ]=

(1ω D + L

)−1(1−ω

ω D − U)

= I −(

1ω D + L

)−1A,

de unde obţinem că B = 1ω D + L, ı̂n cazul metodei suprarelaxării.

Observaţie 1.3. Dacă care ω = 1, metoda SOR coincide cu metoda Gauss-Seidel.

Mai departe, prezentăm o serie de rezultate legate de convergenţa metodeloriterative.

Definiţie 1.4. O metodă iterativă este convergentă, dacă oricare ar fi o aproxi-mare iniţială a soluţiei x(0), şirul {x(i)}i=0,1,.. converge la soluţia exactă x∗ =A−1b.

În continuare, vom ı̂nţelege prin ρ(C) raza spectrală a matricei C.

Teoremă 1.5. (a) Metoda iterativă (1.2) coverge, dacă şi numai dacă ρ(H) < 1.(b) Dacă există o normă matriceală astfel ı̂ncât ||H|| < 1, atunci metoda (1.2)este convergentă.

Teoremă 1.6. (a) Criteriul tare al sumei pe linii: Metodele Jacobi şi Gauss-Seidel sunt convergente, dacă matricea A satisface

| aii |>∑

k 6=i| aik | , i = 1, 2, ..., n .

(b) Criteriul tare al sumei pe coloane: Metoda Jacobi este convergentă, dacăpentru elementele matricii A, este adevărată inegalitatea

| akk |>∑

i 6=k| aik | , i = 1, 2, ..., n .

Mai mult, are loc ‖ HGS ‖≤‖ HJ ‖< 1.

8


Această ultima relaţie afirmă că, dacă metoda Jacobi converge, atunci acelaşilucru se ı̂ntâmplă şi cu metoda Gauss-Seidel.

Teoremă 1.7. (Ostrowski-Reich) Dacă matricea de iteraţie este hermitiană (si-metrică) şi pozitiv definită şi dacă 0 < ω < 2, atunci metoda suprarelaxării esteconvergentă.

Pentru mai multe informaţii despre metodele iterative, vezi [60] şi [25].

1.1.4 Aplicarea metodelor iterative În continuare, vom aplica metodeleiterative descrise anterior, pentru rezolvarea numerică a problemei (P ). Astfel,vom căuta să rescriem sistemul algebric Ph sub formă matriceală. Pentru asta,vom construi doi vectori, unul conţinând valorile ui,j , iar celălat valorile h2fi,j ,pentru i = 2, ..., N − 1 şi j = 2, ..., N − 1

ū = [u2,2, u2,3, ..., u2,N−1, u3,2, ..., u3,N−1, ..., uN−1,2, ..., uN−1,N−1],

b = h2[f2,2, f2,3, ..., f2,N−1, f3,2, ..., f3,N−1, ..., fN−1,2, ..., fN−1,N−1].

Mai mult, definind l = (i − 2)(N − 2) + j − 1, pentru i = 2, ..., N − 1 şi j =2, ..., N−1, obţinem următorul sistem cu (N−2)2 ecuaţii şi (N−2)2 necunoscute

{ul+N−2 + ul−N+2 + ul+1 + ul−1 − 4ul = h2fl,i = 2, N − 1, j = 2, N − 1.

Acum putem scrie sistemul ı̂n formă matriceală: Aū = b, unde A este omatrice pătratică de ordinul (N − 2)2 × (N − 2)2.

A este partiţionată ı̂n blocuri Ai,j de ordinul N − 2, consecinţă a modului ı̂ncare am organizat valorile ui,j şi fi,j . Matricea A este rară, conţinând cel mult5 elemente nenule pe o linie. În plus, matricea A nu satisface criteriul tare alsumei pe linii (vezi teorema 1.6), existând linii ı̂n care | aii |=

∑k 6=i | aik |. Din

fericire, algoritmii funcţionează din punct de vedere practic.Matricea de iteraţie ı̂n cazul metodei Jacobi are structura următoare:

HJ = −D−1(L + U) = 14(L + U) ,

iar iteraţia k este dată prin{

u(k)l =

14

(u

(k−1)l+N−2 + u

(k−1)l−N+2 + u

(k−1)l+1 + u

(k−1)l−1 − h2fl

),

i = 2, N − 1, j = 2, N − 1. (1.3)

9


A =

−4 1 11

. . . . . . . . .

. . . . . . 1. . .

1 −4 11 −4 1 . . .

. . . 1. . . . . . . . .

. . . . . . . . . 1. . .

1 1 −4 . . .. . . . . . 1

. . . . . . . . .. . . . . . . . .

. . . . . . 11 −4 1

. . . 1. . . . . .

. . . . . . . . . 11 1 −4

=

A1,1 A1,2 0

A2,1. . . . . .. . . . . . AN−3,N−2

0 AN−2,N−3 AN−2,N−2

Autovalorile matricei HJ pot fi determinate explicit. Astfel, raza spectrală alui HJ este

ρ(HJ) = cosπ

N,

(vezi [57], Capitolul 17). Numărul de iteraţii k necesar pentru a obţine o acurateţede 10−p

||u∗ − u(k)|| ≤ 10−p||u∗ − u(0)||, (1.4)unde prin u∗ şi u(0) am notat soluţia exactă respectiv soluţia aproximativă lamomentul iniţial, este estimat la :

k ≈ p ln10−ln ρ(HJ) .

10


Demonstraţie Dacă u∗ este soluţia exactă, atunci avem{

u(k) = 14 (L + U)u(k−1) − 14b,

u∗ = 14 (L + U)u∗ − 14b.

Scazâind cele două expresii obţinem

u(k) − u∗ = 14(L + U)(u(k−1) − u∗).

Cum expresia de mai sus are loc pentru orice k natural mai mare sau egal cuunu, au loc

u(k−1) − u∗ = HJ(u(k−2) − u∗)...u(1) − u∗ = HJ (u(0) − u∗),

de unde obţinem

u(k)−u∗ = HkJ (u(0)−u∗) ⇒ ||u(k)−u∗|| = ||HkJ (u(0)−u∗)|| ≤ ||HJ ||k||u(0)−u∗||,unde || · || reprezintă o normă arbitrară adecvată. Fie λi o autovaloare a luiHJ . Din HJu = λiu ⇒ ||HJu|| = |λi| · ||u|| ⇒ |λi| = ||HJu||||u|| . Cum ρ(HJ) =max{|λi|, λi −mulţimea autovalorilor lui HJ}, vom aveam că

||HJu||||u|| ≤ ρ(HJ).

Trecând la supremum ı̂n stânga, obţinem ||HJ || ≤ ρ(HJ) şi mai departe ||HJ ||k ≤ρ(HJ)k. Pentru a ı̂ndeplini condiţia de relaxare (1.4) trebuie să aibă loc :

ρ(HJ)k ≤ 10−p ⇒ k ln ρ(HJ) ≤ ln 10−p.Înmulţind cu −1 ultima relaţie găsim

k ≥ p ln 10− ln(ρ(HJ )) .

Pentru valori ridicate ale lui N , raza spectrală este

ρ(HJ) ' 1− π2

2N2. (1.5)

Acurateţea de 10−p se obţine după un număr de iteraţii

k ' 2pN2ln10π2

' 12pN2 .

Numărul de iteraţii proporţional cu N2, evidenţiază ineficacitatea practică ametodei Jacobi.

11


Matricea de iteraţie, ı̂n cazul metodei Gauss-Seidel, are forma

HGS = −(L + D)−1U ,iar formula pentru iteraţia k este

{u

(k)l =

14

(u

(k−1)l+N−2 + u

(k)l−N+2 + u

(k−1)l+1 + u

(k)l−1 − h2fl

),

i = 2, N − 1, j = 2, N − 1. (1.6)

Raza spectrală a matricii HGS este egală cu

ρ(HGS) = cos2π

N,

(vezi [57], Capitolul 17). Pentru valori mari ale lui N avem că

ρ(HGS) ' 1− π2

N2.

Numărul de iteraţii k necesar pentru a obţine o acurateţe de 10−p este

k ' pN2ln10π2

' 14pN2 ,

ceea ce dovedeşte că metoda Gauss-Seidel este mai rapidă decât metoda Jacobi.Metoda suprarelaxării se obţine pornind de la metoda Gauss-Seidel, la care

se mai adaugă, după cum am văzut ı̂n secţiunea precedentă, un parametru derelaxare ω. Este cunoscut faptul că metoda converge pentru ω ∈ (0, 2) (veziteorema 1.7 - Ostrowski-Reich), iar pentru valori ale lui ω ı̂ntre (0, 2) (cazulsuprarelaxării), convergenţa poate fi mai rapidă decât ı̂n cazul metodei Gauss-Seidel. Matricea de iteraţie ı̂n cazul metodei SOR are structura

HSOR = I − ( 1ω

D + L)−1A,

iar iteraţia k este dată prin{

u(k)l = (1− ω)u(k−1)l + 14ω

(u

(k−1)l+N−2 + u

(k)l−N+2 + u

(k−1)l+1 + u

(k)l−1 − h2fl

),

i = 2, N − 1, j = 2, N − 1.(1.7)

În [57] găsim o valoare optimală pentru ω :

ω =2

1 +√

1− ρ(HJ)2.

Pentru această valoare optimală, raza spectrală este

ρ(HSOR) =

(ρ(HJ)

1 +√

1− ρ(HJ)2)2

.

12


Pentru valori mari ale lui N , obţinem că

ω ' 2/(1 + πN

) şi ρ(HSOR) ' 1− 2πN

.

Numărul de iteraţii k necesar pentru a obţine o acurateţe de 10−p este

k ' pNln102π

' 13pN.

Comparând rezultatele, observăm că metoda SOR are nevoie de un număr deiteraţii de ordinul O(N), faţă de ordinul O(N2) iteraţii necesar ı̂n cazul metodelorJacobi şi Gauss-Seidel.

1.1.5 Descrierea algoritmilor şi rezultatele numerice obţinute În con-tinuare, vom prezenta algoritmii numerici corespunzători metodelor iterative des-crise anterior, precum şi rezultatele numerice obţinute de programe implementateı̂n Matlab.

În cazul metodei Jacobi (vezi (1.3)), algoritmul calculează valoarea lui u laiteraţia (k), ı̂ntr-un nod al reţelei M(xi, yj), folosind valori ale lui u la pasul(k − 1) ı̂n cele 4 puncte vecine lui M(xi, yj). Asfel, avem nevoie doar de doivectori pentru a stoca informaţia la fiecare iteraţie. De asemenea, trebuie săfolosim un criteriu de oprire, deoarece procedeul de iterare este infinit.

||u(k) − u(k−1)||2 < 10−p. (1.8)

Spre deosebire de metoda Jacobi, algoritmul metodei Gauss-Seidel permite proce-sarea soluţiei aproximative u la pasul (k), ı̂ntrebuinţând pe lângă valori ale luiu obţinute la pasul (k − 1) şi valori ale lui u deja calculate la iteraţia (k). Dinnou, se observă nevoia rezervării a doi vectori, unul pentru soluţia de la iteraţiacurentă şi altul pentru soluţia de la iteraţia precedentă, precum şi utilizării unuicriteriu de oprire.

În cazul metodei SOR, notând cu

ξl = u(k−1)l+N−2 + u

(k)l−N+2 + u

(k−1)l+1 + u

(k)l−1 − 4u(k−1)l − h2fl,

rescriem (1.7) astfel {u

(k)l = u

(k−1)l +

ω4 ξl,

i = 2, N − 1, j = 2, N − 1.

Soluţia aproximativă va fi calculată folosind o tehnică de numerotare diferită,bazată pe paritatea sumei indicilor, tehnică care se mai numeşte odd/even sauwhite/black. Astfel, la fiecare iteraţie, soluţia ı̂n nodurile impare este evaluatădoar utilizându-se valorile din nodurile pare şi reciproc.

13


Norma rezidului ξl poate fi folosită ca şi criteriu de oprire. Cu tehnica Ceb̂ışevde accelerare, ω optim se actualizează la fiecare jumătate de iteraţie astfel :

ω(0) = 1 ,ω

12 = 1/(1− ρ2Jacobi2 ),

ω(k+12 ) = 1/(1− ρ2Jacobiω(k)4 ), k = 12 , 1, ..,

limk→∞ ω(k) = ωoptimal.

În plus, norma rezidului scade după fiecare iteraţie.În continuare, vă prezentăm rutinele pentru metodele Jacobi, Gauss-Seidel

şi SOR ı̂mpreună cu tehnica Ceb̂ışev de accelerare şi tehnica de numerotareodd/even pentru problema (P ).

Partea principală a programului este :

clear all;global x1 x2 y1 y2 h2;global x y;global N iter;global u unew uold;N = input(′N : ′);x1 = input(′x1 : ′);y1 = input(′y1 : ′);q = input(′length : ′);tol = input(′precision : ′);maxit = input(′maxiter : ′);disp(′1 = Jacobi, 2 = Gauss− Seidel, 3 = SOR′);disp(′What do you want to choose : ′);M = input(′ ′);x2 = x0 + q;y2 = y0 + q;h = q/(N − 1);h2 = h∧2;forj = 1 : N

temp = (j − 1) ∗ h;x(j) = x1 + temp ;y(j) = y1 + temp ;

enda = 1.0;b = 1.0;c = 1.0;d = 1.0;e = −4.0;rjac = 1.0− 0.5 ∗ (pi/N)∧2;ro = rjac∧2;u = zeros(N,N) ;

14


uold = zeros(N,N) ;unew = uold ;ifM == 3

kod = relax(a, b, c, d, e, ro, maxit, tol);ifkod ∼= 0

error(′Sorfailed′);end

endifM == 1

Jacobi(a, b, c, d, e, ro,maxit, tol);disp(′Solution obtained′);

endifM == 2

Gauss− Seidel(a, b, c, d, e, ro, maxit, tol);disp(′Solution obtained′);

endmesh(u)uiter

Funcţia corespunzătoare metodei Jacobi este:

function Jacobi(a, b, c, d, e, ro,maxit, tol)global x yglobal N iterglobal u unew uoldflag = 0;iter = 0;while ∼ flag

iter = iter + 1;for i = 2 : N − 1

for j = 2 : N − 1unew(i, j) = −(a∗uold(i−1, j)+b∗uold(i+1, j)+c∗uold(i, j−1)+

+ d ∗ uold(i, j + 1))/e + Fbvp(x(i), x(j))/e;end

endif all (abs(unew − uold) maxit)

disp(′Jacobifailure′);break

enduold = unew;

15


end

Funcţia corespunzătoare metodei Gauss-Seidel este prezentată ı̂n rândurilede mai jos:

global x yglobal N iterglobal u unew uoldflag = 0;iter = 0;while ∼ flag

for i = 1 : Nunew(i, 1) = 0;unew(i,N) = 0;

endfor j = 1 : N

unew(1, j) = 0;unew(N, j) = 0;

enditer = iter + 1;for i = 2 : N − 1

for j = 2 : N − 1unew(i, j) = −(unew(i− 1, j) + uold(i + 1, j) + unew(i, j − 1)+ uold(i, j + 1))/e + Fbvp(x(i), y(j))/e;

endendif all(abs(unew − uold) maxit)

error(′Gauss Seidel failure′);enduold = unew;

end

În rândurile următoare introducem funcţia corespunzătoare metodei SOR :

function koderr = relax(a, b, c, d, e, ro, maxit, tol)global x yglobal Nglobal u unew uold iterkoderr = 1;anormf = 0.0;for j = 2 : N − 1

for l = 2 : N − 1anormf = anormf + abs(Fbvp(x(j), y(l)));

16


end

end

omg = 1.0;for i = 1 : maxit

anorm = 0.0;for j = 2 : N − 1

for l = 2 : N − 1ifmod(j + l, 2) == mod(i, 2)resid = a∗u(j+1, l)+b∗u(j−1, l)+c∗u(j, l+1)+d∗u(j, l−1)+e∗u(j, l)− Fbvp(x(j), y(l));anorm = anorm + abs(resid);resid = (e∧ − 1) ∗ resid;u(j, l) = u(j, l)− omg ∗ resid/e;

end

end

end

if i == 1omg = 1.0/(1.0− ro/2.0);

else

omg = 1.0/(1.0− ro ∗ omg/4.0);end

iter = i;if (i > 1)&(anorm < (tol ∗ anormf))

koderr = 0;disp(′Residual norm used for stopping criterion′);break

end

if (mod(i, 2) == 0)unew = u;if all(abs(unew − uold)


Rezultatele numerice au fost obţinute pentru

x1 = 1, y1 = 1, C = 4, maxit = 2000, N = 40

f(x, y) = −2(y − y1)(y − y1 − 4)− 2(x− x1)(x− x1 − 4).În aceste condiţii, soluţia exactă este :

uexact(x, y) = −(x− x1)(x− x1 − 4)(y − y1)(y − y1 − 4).În continuare, ne propunem să comparăm acurateţea soluţiilor obţinute cu

cele trei metode, ı̂n raport cu soluţia exactă. Menţionând că am folosit aceeaşicondiţie de oprire (1.8) pentru p = 3, avem

Jacobi Gauss-Seidel SOR||u− uexact||2 5,9991 2,9843 0,03485

Nr. iter. 1236 726 92Nr. iter. aşteptat O( 12pN

2) O( 14pN2) O( 13pN)

Numărul de iteraţii obţinut confirmă estimările teoretice. Astfel, putem afirmacă metoda SOR este mult mai rapidă, iar acurateţea soluţiei este mai bună decâtı̂n cazul celorlate două metode.

010

2030

40

0

10

20

30

40−20

−15

−10

−5

0

Fig. 1. Soluţia numerică ı̂n cazul metodei SOR cu tehnica Ceb̂ışev de accelerareΩ = [0, 4]× [0, 4], N = 40, p = 14

Am rezolvat problema (P ) folosind şi metoda de eliminare a lui Gauss. Fiindo metoda directă, ne-am aştepta ca eroarea faţă de soluţia exactă să fie mai mică

18


decât ı̂n cazul metodelor iterative. Astfel am obţinut

||uGauss − uexact||2 = 7, 6575 · 10−13.

În cazul metodei SOR, cerând ca precizia să fie din ce ı̂n ce mai mare, găsimurmătoarele valori

precizia-10−p Nr. iter ||uSOR − uexact||10−5 172 9, 222 · 10−410−11 348 8, 992 · 10−1010−13 402 8, 474 · 10−1210−14 440 1, 3824 · 10−13

Observăm că pentru p = 14, eroarea este mai mică decât cea obţinută cumetoda de eliminare a lui Gauss. Deşi soluţia a fost determinată ı̂n 410 iteraţii,metoda SOR nu este cu mult mai lentă decât metoda directă, timpii de lucrufiind sensibili egali.

Graficul soluţiei numerice este prezentat ı̂n figura 1.Simplitatea codificării metodelor iterative sub formă de programe, reprezintă

un argument ı̂n plus pentru folosirea metodei SOR cu tehnica Ceb̂ışev de accele-rare ca alternativă la metodele directe.

Rezultate numerice ı̂n cazul unei probleme similare cu (P ), pot fi găsite ı̂n[12]. În acest caz ı̂nsă, domeniul este o elipsă iar discretizarea a fost realizată cumetoda elementului finit.

1.2 Metode spectrale pentru ecuaţii eliptice

Metodele spectrale reprezintă o altă modalitate de aproximare a ecuaţiilor cuderivate parţiale, prin utilizarea de polinoame de grad ı̂nalt. În acest subcapitol,ne propunem să rezolvăm numeric problema Poisson folosind o astfel de metodă.Mai ı̂ntâi, vom aminti o serie de proprietăţi ale polinoamelor Legendre şi vomintroduce forma variaţională a ecuaţiei Poisson, precum şi problema finit dimen-sională corespunzătoare, dezvoltată pe baza aproximării de tip Ritz-Galerkin.În continuare, vom prezenta o serie de rezultate cu privire la estimarea erorilor,de remarcat fiind lipsa dependenţei dintre ordinul erorii şi soluţia aproximativă.Mai departe, vom analiza legătura dintre o metodă spectrală şi o metodă decolocaţie. Finalul acestei părţi este dedicat dificultăţilor numerice ı̂ntâmpinateşi soluţiilor numerice obţinute.

1.2.1 Polinoame Legendre Fie Ω = (−1, 1). Familia polinoamelor Legendre(Ln)n≥0 se defineşte prin

(Li, Lj) = 0, pentru i 6= jLn este de grad n,Ln(1) = 1, Ln(−1) = (−1)n, ∀n ∈ N,

19


unde (·, ·) este produsul interior din L2(Ω).Reamintim mai jos câteva rezultate bine cunoscute pentru polinoamele

Legendre.

Propoziţie 1.8. Pentru orice n ≥ 0, polinomul (Ln)n≥0 satisface ecuaţia diferen-ţială

d

dx[(1− x2)L′n] + n(n + 1)Ln = 0. (1.9)

Căutăm o soluţie a ecuaţiei sub următoarea formă

Ln(x) =∞∑

k=0

akxk+r.

Introducând Ln(x) ı̂n ecuaţia (1.9), se obţine după identificarea coeficienţilor

a0r(r − 1) = 0,a1r(r + 1) = 0,

ak =−ak−2[n(n + 1)− (k + r − 2)(k + r − 3)− 2(k + r − 2)]

(k + r)(k + r − 1) , ∀k ≥ 2

Pentru r = 0 avem

a0 = a0,

a2 = −n(n + 1)2! a0,

a4 =n(n− 2)(n + 1)(n + 3

4!a0,

...........................................................

şia1 = a1,

a3 = − (n− 1)(n + 2)3! a1,

a5 =(n− 1)(n− 3)(n + 2)(n + 4)

5!a1,

...........................................................

Astfel, soluţia ecuaţiei (1.9) este

Ln(x) = a0

[1− n(n + 1)

2!x2 +

n(n− 2)(n + 1)(n + 3)4!

x4 − ...]+

+a1

[x− (n− 1)(n + 2)

3!x3 +

(n− 1)(n− 3)(n + 2)(n + 4)5!

x5 − ...],

20


cu a0, a1 ∈ R. Mulţimea de convergenţa pentru ambele serii este (−1, 1).Alegând

a0 = (−1)n2 n!2n[(n2 )!]2,

a1 = (−1)n−1

2(n + 1)!

2n(n−12 )!(n+1

2 )!,

obţinem formula polinoamelor Legendre :

L0(x) = 1, L1(x) = x, L2(x) = 12 (3x2 − 1),

L3(x) = 12 (5x3 − 3x), L4(x) = 18 (35x4 − 30x2 + 3),

L5(x) = 18 (63x5 − 70x3 + 15x) şi aşa mai departe.

Pe scurt,

Ln(x) =N∑

k=0

(−1)k(2n− 2k)!2nk!(n− k)!(n− 2k)!x

n−2k, (1.10)

unde N = n2 , pentru n ∈ N par şi N = n−12 , pentru n ∈ N impar.Se observă cu uşurinţă că

Ln(1) = 1, Ln(−1) = (−1)n, ∀n ∈ N.

Introducem operatorul diferenţial

Aϕ = − ddx

[(1− x2)ϕ′ ].

Înlocuind ı̂n (1.9) obţinem

ALn = n(n + 1)Ln (1.11)

şi deci Ln este o funcţie proprie pentru operatorul A. Prin urmare, metoda deapro-ximare pe care urmează să o prezentăm poartă numele de metodă spectrală.

Observaţie 1.9. A este un operator Sturm-Liouville autoadjunct şi pozitiv ı̂nL2(Ω), cu domeniul

D(A) = {ϕ ∈ H1(Ω) (1− x2)ϕ′′ ∈ L2(Ω).

Detalii ı̂n privinţa operatorului A şi a domeniului său D(A) se pot găsi ı̂n[33], cap. VIII.

Propoziţie 1.10. Şirul de polinoame Ln satisface formula lui Rodrigues

Ln(x) =(−1)n2n · n! ·

dn

dxn[(1− x2)n] (1.12)

şi formează un sistem ortogonal ı̂n L2(−1, 1).

21


Demonstraţie Plecând de la formula binomială, obţinem

(1− x2)n = (−1)nn∑

k=0

(−1)k n!(n− k)!k!x

2n−2k.

Derivând de n ori ı̂n raport cu x găsim

dn

dxn[(1− x2)n] = (−1)n

N∑

k=0

(−1)kn!(2n− 2k)!k!(n− k)!(n− 2k)!x

n−2k,

cu N = n2 , pentru n ∈ N par şi N = n−12 , pentru n ∈ N impar. Comparând cu(1.10) se obţine formula (1.12).

Pentru a arăta că familia Ln formează un sistem ortogonal, introducemurmătoarele notaţii : Im = xm, f(x) = (x2 − 1)n, iar f (k) derivata de ordin ka funcţiei f . În cazul m ≤ n, integrând prin părţi obţinem:

2n!(Im, Ln) =∫ 1−1

xmf (n)(x)dx = −m∫ 1−1

xm−1f (n−1)(x)dx = ...

= (−1)mm!∫ 1−1

f (n−m)(x)dx.

Cum pentru orice k ≤ n, f (k) = qk(x)(x2 − 1), unde qk(x) este un polinom degrad (2n− k − 2), obţinem pentru m < n

2nn!(Im, Ln) = (−1)mm![f (n−m−1)(x)]1−1 = 0,

adică (Im, Ln). Dar Lm este un polinom de grad m ı̂n x, de unde rezultă(Lm, Ln) = 0, ∀m 6= n.

Dacă m = n, atunci

(Ln, Ln) =(2n)!

2n(n!)2(In, Ln) =

(2n)!2n(n!)2

(−1)n∫ 1−1

f(x)dx =

=(2n)!

2n(n!)2(−1)n (−1)

n2n+1n!(2n + 1)(2n− 1) · · · 3 =

22n + 1

.

Deci Ln formează un sistem ortogonal pe (−1, 1).Mai departe, vom aminti mai multe rezultate, dintre care primele două ne

vor permite să determinăm numeric valorile polinoamelor Legendre.

Propoziţie 1.11. Polinomul Ln satisface pentru n ≥ 1 ecuaţia integrală∫ x−1

Ln(t)dt =1

2n + 1(Ln+1(x)− Ln−1(x)).

22


Propoziţie 1.12. Familia Ln satisface relaţia de recurenţă{

L0(x) = 1, L1(x) = x,(n + 1)Ln+1(x) = (2n + 1)xLn(x)− nLn−1(x), n ≥ 1 (1.13)

Propoziţie 1.13. Familia derivatelor polinoamelor Legendre (Ln)′ este o familiede polinoame ortogonale cu funcţia pondere p(x) = 1− x2.Demonstraţie Înmulţim ecuaţia (1.9) cu Lm şi integrând pe (−1, 1), obţinem

∫ 1−1

d

dx[(1− x2)L′n]Lmdx + n(n + 1)

∫ 1−1

LnLm = 0

Folosind integrarea prin părţi ajungem la∫ 1−1

(1− x2)L′nL′mdx = n(n + 1)∫ 1−1

LnLm = 0. (1.14)

Propoziţie 1.14. (a) Pentru orice ı̂ntreg l ≥ 0, operatorul diferenţial A definitmai sus este continuu de la H l+2(Ω) la H l(Ω).(b) Pentru orice ı̂ntregi k, l ≥ 0 operatorul diferenţial Ak este continuu de laH l+2k(Ω) la H l(Ω)

Demonstraţie (a) Folosind inducţia şi definiţia operatorului diferenţial avem

ds

dxs(Aϕ) = −(1− x2)d

s+2ϕ

dxs+2+ 2(s + 1)x

ds+1ϕ

dxs+1+ s(s + 1)

dsϕ

dxs+2,

şi deci există c ≥ 0 astfel ı̂ncât||(Aϕ)(s)||L2(Ω) ≤ c[||ϕs+2||L2(Ω) + ||ϕs+1||L2(Ω) + ||ϕs||L2(Ω)]

pentru 0 ≤ s ≤ l. De aici obţinem continuitatea lui A.(b) Se iterează de k ori rezultatul de la punctul (a).

Aplicând punctul (b) din propoziţia precedentă, pentru l = 0 găsim

Observaţie 1.15. Pentru orice ı̂ntreg k ≥ 0 şi orice ϕ ∈ H2k(Ω) există c ≥ 0aşa ı̂ncât

||Akϕ||L2(Ω) ≤ c||ϕ||H2k(Ω).

În cazul ı̂n care luăm l = 1 ı̂n propoziţia 1.14 obţinem

Observaţie 1.16. Pentru orice ı̂ntreg k ≥ 0 şi orice ϕ ∈ H2k+1(Ω) există c ≥ 0astfel ı̂ncât

||Akϕ||H1(Ω) ≤ c||ϕ||H2k+1(Ω).

23


1.2.2 Aproximarea Galerkin a ecuaţiei Poisson Să considerăm următoareaproblemă eliptică

(P ){−∆u = f pe Ω,

u = 0 pe Γ,

unde Γ este frontiera netedă a mulţimii deschise, mărginite şi convexeΩ ⊂ Rd, d = 1, 2, 3 şi f ∈ L2(Ω). În aceste condiţii, problema (P ) are soluţieunică.

Fie V = H10 (Ω) şi introducem forma biliniară a : V × V → R definită prin

a(u, v) =∫

Ω

∇u∇vdx.

Aceasta este simetrică şi pozitivă ı̂n sensul

a(u, v) = a(v, u), ∀ u, v ∈ V, şi a(v, v) ≥ 0, ∀v ∈ V.

Înmulţind ecuaţia din (P ) cu v ∈ V , obţinem folosind formula lui Green

(P ′){

Să se determine u ∈ V astfel ı̂ncâta(u, v) = (f, v), pentru orice v ∈ V.

Reamitim că (·, ·) este produsul interior din L2(Ω).În continuare vom folosi următoarele norme echivalente pentru V = H10 :

||v||H1 =[∫ 1

0

(v2 + (∇v))2dx]1/2

, |v|H1 =[∫ 1

0

(∇v)2dx]1/2

= [a(v, v)]1/2.

Teoremă 1.17. Problema (P’) are soluţie unică u ∈ H10 (Ω) şi aceasta satisfaceestimarea :

||u||H1(Ω) ≤ ||f ||L2(Ω).

Demonstraţie Folosind inegalitatea lui Poincaré-Friederics găsim

||u||2H1(Ω) =∫

Ω

u2dx +∫

Ω

(∇u)2dx ≤ c0∫

Ω

(∇u)2dx+ (1.15)∫

Ω

(∇u)2dx = (1 + c0)∫

Ω

(∇u)2dx, ∀u ∈ H1(Ω).

De aici obţinem că

a(u, u) ≥ 11 + c0

||u||2H1(Ω), oricare ar fi u ∈ H1(Ω).

Din definiţia normei |u|H1 rezultă că forma a este V−eliptică, indiferent denorma pe care o adoptăm pe spaţiul V = H10 (Ω).

24


În condiţiile ı̂n care forma biliniară a este V−eliptică, teorema lui Lions-Stampacchia (vezi [13], cap. II) asigură existenţa şi unicitatea soluţiei problemei(P ′).

Mai departe, luăm v = u ı̂n (P ′) şi obţinem∫

Ω

(∇u)2dx =∫

Ω

fudx ≤ ||f ||L2(Ω) · ||u||L2(Ω) ≤ ||f ||L2(Ω) · ||u||H1(Ω).

Folosind inegalitatea de mai sus ı̂n (1.15) ajungem la

||u||H1(Ω) ≤ (1 + c0)||f ||L2(Ω)||u||H1(Ω),

de unde se obţine concluzia.

Introducem acum problema finit dimensională. Fie Xn ⊂ H10 (Ω) un spaţiu finitdimensional cu dimXn = n.

(P ′n){

Să se determine un ∈ Xn astfel ı̂ncâta(un, vn) = (f, vn), pentru orice vn ∈ XN .

În continuare, fixăm o bază ı̂n Xn = spam{ϕ1, ϕ2, ..., ϕn}. Atunci,

un =n∑

i=1

ûiϕi, vn =n∑

i=1

v̂jϕj .

Astfel ecuaţia din (P ′n) devine

a

( n∑

i=1

ûiϕi,

n∑

j=1

v̂jϕj

)=

(f,

n∑

j=1

v̂jϕj

),

n∑

i=1

n∑

j=1

ûiv̂ja(ϕi, ϕj) =n∑

j=1

v̂j(f, ϕj).

Notămai,j = a(ϕi, ϕj), i, j = 1, 2, ..., n

bj = (f, ϕj), j = 1, 2, ..., n

şi obţinemn∑

j=1

[(

n∑

i=1

ai,j ûi − bj)v̂j]

= 0.

Cum expresia de mai sus are loc pentru orice vn ∈ Xn, ı̂nseamnă că are locşi pentru orice v̂j ∈ R. Deci obţinem un sistem de n ecuaţii algebrice cu nnecunoscute

n∑

i=1

ai,j ûi = bj , j = 1, 2, ..., n.

25


Matricea sistemului A = [ai,j ] este simetrică şi pozitiv definită, ultima proprie-tate rezultând din V−elipticitatea lui a. Astfel, matricea sistemului fiind nesin-gulară, teorema lui Cramer asigură existenţa şi unicitatea soluţiei sistemuluiliniar.

Mai jos, prezentăm un rezultat cunoscut sub numele de lema lui Céa.

Lema 1.18. Fie u soluţia problemei (P ) şi un soluţia problemei (P ′n). Există oconstantă c > 0 care nu depinde de u şi de Xn astfel ı̂ncât

|u− un|H1(Ω) ≤ c|u− vn|H1(Ω), pentru orice vn ∈ Xn.

Demonstraţie Dacă luăm v = vn ı̂n (P ) obţinem a(u, vn) = (f, vn), pentru oricevn ∈ Xn. Scădem (P ′n) din ecuaţia de mai sus şi găsim

a(u− un, vn) = 0, pentru orice vn ∈ Xn.Din definiţia formei biliniare a avem

|u− un|2H1(Ω) = a(u− un, u− un) = a(u− un, vn − un) + a(u− un, u− vn) == a(u− un, u− vn) ≤ c|u− un|H1(Ω) · |u− vn|H1(Ω),

de unde rezultă inegalitatea căutată.

Observaţie 1.19. Lema lui Céa este adevărată şi ı̂n cazul ı̂n care ı̂n loc de| · |H1(Ω), folosim || · ||H1(Ω).

1.2.3 Operatori de proiecţie şi estimarea erorii Considerăm Ω = (−1, 1)şi notăm cu PN (Ω) spaţiul polinoamelor de grad mai mic sau egal cu N , iar cuP 0N spaţiul

P 0N (Ω) = {p ∈ PN (Ω); p(1) = p(−1) = 0}.Spaţiul polinoamelor peste Ω este un subspaţiu dens al spaţiului C(Ω̄) şi

deci al lui L2(Ω). Ca urmare orice ϕ ∈ L2(Ω) poate fi dezvoltat după familia depolinoame Legendre:

ϕ =∞∑

n=0

ϕ̂nLn,

unde

ϕ̂n =(ϕ,Ln)L2(Ω)||Ln||2L2(Ω)

=

∫ 1−1 ϕLndx

||Ln||2L2(Ω).

Definim operatorul de proiecţie ortogonală πN : L2(Ω) → PN (Ω) ı̂n următoareamanieră

πNϕ =N∑

n=0

ϕ̂nLn.

In cele ce urmează, vom da un rezultat de estimarea erorii pe L2(Ω)

26


Teoremă 1.20. Pentru orice ı̂ntreg m ≥ 0, există o constantă c > 0 care depindenumai de m astfel ı̂ncât

||ϕ− πNϕ||L2(Ω) ≤ cN−m||ϕ||Hm(Ω),

pentru orice ϕ ∈ Hm(Ω).

Demonstraţie Din dezvoltarea ı̂n serii Fourier a lui ϕ şi din definiţia opera-torului de proiecţie avem :

ϕ− πNϕ =∞∑

n=N+1

ϕ̂nLn. (1.16)

Formula coeficienţilor din dezvoltarea Fourier a lui ϕ şi şi (1.11) conduc la

ϕ̂n =1

||Ln||2L2(Ω)· 1n(n + 1)

∫ 1−1

ϕ(x)(ALn)(x)dx =

=1

||Ln||2L2(Ω)· 1n(n + 1)

∫ 1−1

(Aϕ)(x)Ln(x)dx.

Aplicăm de p ori formula (1.11) şi obţinem

ϕ̂n =1

||Ln||2L2(Ω)· 1[n(n + 1)]p

∫ 1−1

(Apϕ)(x)Ln(x)dx.

Introducem expresia de mai sus ı̂n formula (1.16) şi folosind proprietatea deortogonalitate a polinoamelor Legendre pe L2(Ω) găsim

||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) =∞∑

n=N+1

ϕ̂2n||Ln||2L2(Ω) =

=∞∑

n=N+1

[n(n + 1)]−2p ·[∫ 1−1(A

pϕ)(x)Ln(x)dx||Ln||2L2(Ω)

]2· ||Ln||2L2(Ω).

Cum n(n + 1) ≥ N2 avem că 1/[n(n + 1)] ≤ 1/N2 şi deci

||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) ≤ N−4p ·∞∑

n=0

[(Apϕ, Ln)||Ln||2L2(Ω)

]2· ||Ln||2L2(Ω) =

= N−2m||Apϕ||2L2(Ω).Din observaţia 1.15 avem ||Apϕ||L2(Ω) ≤ c||ϕ||H2p(Ω), care ı̂mpreună cu ine-

galitatea precedentă dau

||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) ≤ cN−2m||ϕ||Hm(Ω),

27


de unde rezultă estimarea căutată.Trecem acum la cazul când m = 2p + 1. Iterăm formula (1.11) de p + 1 ori şi

obţinem

ϕ̂n =1

||Ln||2L2(Ω)· 1[n(n + 1)]p+1

∫ 1−1

(Ap+1ϕ)(x)Ln(x)dx. (1.17)

Ţinem cont de

Ap+1ϕ = A(Apϕ) = −[(1− x2)(Apϕ)′]′

şi integrând prin părţi avem

∫ 1−1

(Ap+1ϕ)(x)Ln(x)dx =∫ 1−1

(Apϕ)′L′n(x)(1− x2)dx.

Folosind (1.17) ajungem la

||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) =∞∑

n=N+1

ϕ̂2n||Ln||2L2(Ω) = (1.18)

=∞∑

n=N+1

[n(n + 1)]−2(p+1)

||Ln||2L2(Ω)·[∫ 1−1

(Apϕ)′(x)L′n(x)(1− x2)dx]2

.

Conform propoziţiei 1.13, orice ψ ∈ L2(Ω) se poate dezvolta sub forma

ψ =∞∑

n=0

ψ̂nLn,

unde

ϕ̂n =

∫ 1−1 ψ(x)L

′n(x)(1− x2)dx∫ 1

−1[L′n(x)]2(1− x2)dx

.

Din (1.14) obţinem pentru m = n

∫ 1−1

[L′n(x)]2(1− x2)dx = n(n + 1)

∫ 1−1

L2n(x)dx = n(n + 1)||Ln||2L2(Ω).

Atunci ∫ 1−1

[ψ(x)]2(1− x2)dx =∞∑

n=0

ψ̂2n

∫ 1−1

[L′n(x)]2(1− x2)dx =

=∞∑

n=0

1n(n + 1)

· 1||Ln||2L2(Ω)·[∫ 1−1

ψ(x)L′n(x)(1− x2)dx]2

.

28


Luăm ψ = (Apϕ)′ şi obţinem

∫ 1−1

[(Apϕ)′(x)]2(1− x2)dx =

=∞∑

n=0

1n(n + 1)

· 1||Ln||2L2(Ω)·[∫ 1−1

(Apϕ)′(x)L′n(x)(1− x2)dx]2

.

Folosind şi (1.18) facem următorul calcul

||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) ≤

≤∞∑

n=0

1[n(n + 1)](2p+2) · ||Ln||2L2(Ω)

·[∫ 1−1

(Apϕ)′(x)L′n(x)(1− x2)dx]2≤

≤ N−2(2p+1)∫ 1−1

[(Apϕ)′(x)]2(1− x2)dx ≤

≤ N−2m||(Apϕ)′||2L2(Ω) ≤ N−2m||Apϕ||2H1(Ω).Din observaţia 1.16 avem

||Apϕ||H1(Ω) ≤ c||ϕ||H2p+1(Ω),

care se combină cu inegalitatea anterioară şi se obţine imediat estimarea căutată.

Pentru operatorul de proiecţie ortogonală π1,0N : H10 (Ω) → P 0N (Ω), care se

defineşte prin∫ 1−1

(ϕ− π1,0N ϕ)′(x)ψ′N (x)dx = 0, pentru orice ψN ∈ P 0N (Ω),

avem următorul rezultat de estimare a erorii.

Teoremă 1.21. Pentru orice ı̂ntreg m ≥ 1, există o constantă c > 0 care depindenumai de m astfel ı̂ncât pentru orice ϕ ∈ Hm(Ω) ∩ H10 (Ω) au loc următoareleinegalităţi

|ϕ− π1,0N ϕ|H1(Ω) ≤ cN1−m||ϕ||Hm(Ω),||ϕ− π1,0N ϕ||L2(Ω) ≤ cN−m||ϕ||Hm(Ω).

29


1.2.4 O metodă de colocaţie

Cazul 1-Dimensional. Dacă subspaţiul finit dimensional Xn ⊂ H10 (Ω), dinaproximarea Galerkin a problemei (P ), este ales Xn = P 0N (Ω), atunci problemafinit dimensională (P ′n) devine

(P ′N ){

Să se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ı̂ncâta(uN , vN ) = (f, vN ), pentru orice vN ∈ P 0N (Ω),

cu Ω = (−1, 1). Problema finit dimensională (P ′N ) conduce la un sistem algebricliniar (vezi paragraful 1.2.2)

AÛ = F,

unde P 0N (Ω) = span{ϕ1, ϕ2, ..., ϕN}, A = [ai,j ], Û = (û1, û2, ..., ûN )T , iar ûi esteun coeficient din dezvoltarea lui uN ∈ P 0N (Ω), F = (f1, f2, ..., fN )T şi

ai,j = a(ϕi, ϕj), i, j = 1, 2, ..., N

bj = (f, ϕj), j = 1, 2, ..., N.

Este binecunoscut că punctele de extrem şi punctele ı̂n care se anulează poli-noamele Legendre şi Ceb̂ışev, se pot utiliza ı̂n cadrul unor formule de quadraturanumerică de ı̂naltă precizie. Mai mult, ı̂n situaţia ı̂n care se folosesc spaţii de poli-noame cu grad ı̂nalt, acest tip de metode oferă soluţii exacte.Amintim aici două astfel de metode, Gauss şi Gauss-Lobatto, care sunt descriseı̂n detaliu ı̂n [32].

În continuare, ne propunem să rezolvăm problema (P ′N ), folosind formula deintegrare numerică Gauss-Lobatto. Fie

−1 = θ0 < θ1 < ... < θN = 1,

rădăcinile polinomului (1 − x2)L′N (x). Atunci pentru orice funcţie g ∈ C(Ω̄)avem ∫ 1

−1g(x) =

N∑

j=0

ρjg(θj) + RN+1, (1.19)

unde ρj sunt coeficienţii formului şi RN+1 este restul. Aceşti coeficienţi se de-termină ı̂n mod unic astfel ı̂ncât

∫ 1−1

q(x) =N∑

j=0

ρjq(θj), pentru orice q ∈ P2N−1(Ω) (1.20)

Pentru f ∈ C(Ω̄), integralele care definesc ai,j şi fi se aproximează cu ajutorulformulei Gauss-Lobatto. Astfel, rescriem problema (P ′N )

(P̃ ′N ),{

Să se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ı̂ncâtaN (uN , vN ) = (f, vN )N pentru orice vN ∈ P 0N (Ω).

30


undeaN (uN , vN ) =

∑Nj=0 ρju

′N (θj)v

′N (θj),

(f, vN )N =∑N

j=0 ρjf(θj)vN (θj).

Mai departe, avem

aN (uN , vN ) =∫ 1−1

u′N (x)v′N (x)dx

şi integrând prin părţi obţinem, folosind şi faptul că vN (−1) = uN (1) = 0,

aN (uN , vN ) =∫ 1−1

u′′N (x)v′N (x)dx = −

N∑

j=0

ρju′′N (θj)vN (θj).

Introducem o bază Lagrange pe spaţiul P 0N (Ω) = span{ψ1, ψ2, ..., ψN−1}, astfelı̂ncât

ψi(θj) = δi,j , pentru i, j = 1, 2, ..., N − 1,unde δi,j este simbolul lui Kronecker.

Proprietatea ψi(θ0) = ψi(θN ), pentru i = 1, 2, ..., N −1, permite să eliminămfuncţiile ψ0 şi ψN din bază. Fie

vN =N−1∑

i=1

v̂iψi.

Atunci, ı̂nlocuind pe vN ı̂n expresia lui aN (uN , vN ) determinată mai sus obţinem

aN (uN , vN ) = −N∑

j=0

ρju′′N (θj)

(N−1∑

i=1

v̂iψi(θj))

=

= −N−1∑

i=1

v̂i

( N∑

j=0

ρju′′N (θj)ψi(θj)

)= −

N−1∑

i=1

v̂iρiu′′N (θi).

Pe de altă parte,

(f, vN )N =N∑

j=0

ρjf(θj)(N−1∑

i=1

v̂iψi(θj))

=

=N−1∑

i=1

v̂i

( N∑

j=0

ρjf(θj)ψi(θj))

=N−1∑

i=1

v̂iρif(θi).

Înlocuind rezultatele obţinute ı̂n (P̃ ′N ) găsim

−N−1∑

i=1

v̂iρiu′′N (θi) =

N−1∑

i=1

v̂iρif(θi),

31


adicăN−1∑

i=1

v̂i(ρiu′′N (θi) + ρif(θi)) = 0.

Cum vN este oarecare ı̂n P 0N (Ω) atunci (v̂i) este oarecare ı̂n RN−1 şi deci, ecuaţiade mai sus conduce la

−ρiu′′N (θi) = ρif(θi), i = 1, 2, ..., N − 1.

Deoarece uN ∈ P 0N (Ω), am obţinut problema de colocaţie

(PC1){−u′′N (θi) = f(θi), i = 1, 2, ..., N − 1,

uN (−1) = uN (1) = 0.

Aici ecuaţia −u′′ = f este satisfăcută doar ı̂n punctele de colocare θi, pentrui = 1, 2, ..., N − 1, care sunt tocmai rădăcinile polinomului L′N (x).

Cazul 2-Dimensional. Fie (Ω) = (−1, 1)× (−1, 1) şi introducem problema (P ′N )adaptată la domeniul bidimensional.

(P ′N ){

Să se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ı̂ncâta(uN , vN ) = (f, vN ), pentru orice vN ∈ P 0N (Ω),

unde P 0N (Ω) = span{lj(x)lk(y); 0 ≤ j, k ≤ N, lp ∈ P 0N (−1, 1)}.După cum am văzut ı̂n prima parte a paragrafului, o astfel de problemă

conduce la un sistem algebric liniar compatibil determinat care, ı̂n cazul de faţă,are N2 ecuaţii şi N2 necunoscute.

În continuare, considerăm grila Gauss-Lobatto

ΩN = {(θj , θk); j, k = 0, ..., N},

cu (θi)i=0,...,N rădăcinile polinomului (1− x2)L′N (x).Considerăm f ∈ C(Ω̄). Aproximăm integralele care definesc elementele ma-

tricei sistemului şi elementele vectorului termen liber cu formulele Gauss-Lobatto(1.19), (1.20) şi obţinem

(P̃ ′N ),{

Să se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ı̂ncâtaN (uN , vN ) = (f, vN )N , pentru orice vN ∈ P 0N (Ω).

unde

aN (uN , vN ) =N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρk

[∂uN∂x

(θj , θk) · ∂vN∂x

(θj , θk)+

+∂uN∂y

(θj , θk) · ∂vN∂y

(θj , θk)],

32


(f, vN )N =N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρkf(θj , θk)vN (θj , θj).

Mai departe, folosind formula (1.19) ajungem la

aN (uN , vN ) =∫ 1−1

N∑

k=0

ρk∂uN∂x

(x, θk) · ∂vN∂x

(x, θk)dx+

+∫ 1−1

N∑

j=0

ρj∂uN∂y

(θj , y) · ∂vN∂y

(θj , y)dy.

Integrând prin părţi şi ţinând cont că vN (−1, ·) = vN (1, ·) = vN (·,−1) == vN (·, 1) = 0, obţinem

aN (uN , vN ) =N∑

k=0

ρk

[∂uN∂x

(x, θk) · vN (x, θk)∣∣∣∣1

−1−

−∫ 1−1

∂2uN∂x2

(x, θk) · vN (x, θk)dx]

+N∑

j=0

ρj

[∂uN∂y

(θj , y) · vN (θj , y)∣∣∣∣1

−1−

−∫ 1−1

∂2uN∂y2

(θj , y) · vN (θj , y)dy]

= −N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρk

[∂2uN∂x2

(θj , θk) · vN (θj , θk)+

+∂2uN∂y2

(θj , θk) · vN (θj , θk)]

= −N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρk(∆uN (θj , θk)vN (θj , θk).

Înlocuim ı̂n ecuaţia din (P̃ ′N ) şi găsim

−N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρk(∆uN (θj , θk)vN (θj , θk) =N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρkf(θj , θk)vN (θj , θj), (1.21)

∀vN ∈ P 0N (Ω).Introducem o bază Lagrange pe spaţiul P 0N (Ω) = span{lj(x)lk(x); j, k =

1, .., N − 1}, cu lj(θk) = δj,k, pentru j, k = 1, .., N − 1. Relaţia de mai sus estesatisfăcută pentru orice vN ∈ P 0N (Ω) dacă şi numai dacă este satisfăcută pentruorice funcţie din bază.

Luând vN = lp(x)lq(y) ı̂n (1.21) avem

−N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρk(∆uN (θj , θk)lp(θj)lq(θk) =N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρkf(θj , θk)lp(θj)lq(θk).

De unde−ρpρq(∆uN (θp, θq) = ρpρqf(θp, θq) şi mai departe

33


−(∆uN )(θp, θq) = f(θp, θq) p, q = 1, 2, ..., N − 1.S-a obţinut astfel o problemă de colocaţie corespunzătoare problemei (P ′N )

(PC2){ −(∆uN )(x, y) = f(x, y), pe ΩN ∩Ω,

u = 0, pe ΩN ∩ ∂Ω.

1.2.5 Implementarea algoritmilor si̧ rezultate numerice Aici vom des-crie paşii necesari obţinerii soluţiilor numerice corespunzătoare problemelor decolocaţie introduse mai sus. Mai ı̂ntâi trebuie să determinăm rădăcinile polino-mului (1− x2)L′N (x). Cum gradul lui L′N este N − 1, putem scrie

L′N (x) = k(x− x1)(x− x2)...(x− xN−1).

Având o aproximaţie iniţială x(0)1 a rădăcinii x1, metoda Newton-Raphson per-mite găsirea unei aproximaţii ı̂nbunătăţite x(1)1 , ca intersecţie a tangentei dusă lagraficul lui L′N (x) ı̂n punctul de coordonate (x

(0)1 , L

′N (x

(0)1 )), cu axa Ox. Procesul

se iterează şi obţinem următoarea formula de recurenţă:

x(k)1 = x

(k−1)1 −

L′N (x

(k−1)1 )

L′′N (x

(k−1)1 )

.

Odată determinat x1, construim un alt polinom f(x) de grad N − 2

f(x) = k(x− x2)...(x− xN−1).

Aplicând aceiaşi tehnica pentru f(x), găsim rădăcina x2. Astfel, după p iteraţii,obţinem următorul polinom

f(x) =L′N (x)∏p−1

i=1 (x− xi),

iar pentru a-i determina o rădăcină, care corespunde cu rădăcina xp a lui L′N (x),se foloseşte formula

x(k)p = x(k−1)p −

f(x(k−1)p )

f ′(x(k−1)p ).

Dar

f′(x) =

1∏p−1i=1 (x− xi)

[L′′N (x)− L

′N (x)

p−1∑

i=1

1(x− xi)

],

de unde ajungem la

x(k)p = x(k−1)p −

L′N (x

(k−1)p )

L′′N (x

(k−1)p )− L′N (x(k−1)p )

∑p−1i=1

1

(x(k−1)p −xi)

,

34


pentru p = 1, 2, ..., N − 1. Din relaţia de recurenţă (1.13) se obţin următoareleformule pentru Li(x) , L

′i(x) şi L

′′i (x)

{L0(x) = 1, L1(x) = x,Li(x) = 2i−1i xLi−1(x)− i−1i Li−2(x), ∀i = 2, 3, ..., N

{L′0(x) = 0, L

′1(x) = 1,

L′i(x) =

2i−1i Li−1(x) +

2i−1i xL

′i−1(x)− i−1i L

′i−2(x), ∀i = 2, 3, ..., N

{L′′0 (x) = 0, L

′′1 (x) = 0,

L′′i (x) = 2 · 2i−1i L

′i−1(x) +

2i−1i xL

′′i−1(x)− i−1i L

′′i−2(x), ∀i = 2, 3, ..., N

Descrierea algoritmului este completă, odată cu enunţarea aproximaţiiloriniţiale folosite

x01 = −1, x0i = xi−1 + 3 · 10−3, i = 2, 3, ..., N − 1 şicondiţiilor de oprire utilizate

{|x(k)p − x(k−1)p | < ε, |L′N (x(k)p )| < ε, p = 1, 2, ..., N − 1,

unde ε reprezintă o eroare prestabilită.Odată cu găsirea răcinilor polinomului L′N (x), avem toate ingredientele nece-

sare rezolvării problemelor (PC1) şi (PC2). Mai ı̂ntâi ne ocupăm de cazul uni-dimensional. Soluţia problemei (PC1) aparţine spaţiului

P 0N (−1, 1) = {p ∈ PN (Ω); p(−1) = p(1) = 0} = span{ψ1, ψ2, ..., ψN−1}.Alegem ψj(x) = (1 − x2)L′j(x), j = 1, 2, ..., N − 1, unde Lj sunt polinoameleLegendre. Fie atunci

uN =N−1∑

j=1

ûjψj .

Ecuaţiile −u′′N (θi) = f(θi), i = 1, 2, ..., N−1 conduc la următorul sistem algebricliniar

N−1∑

j=1

(−ψ′′j (θi))ûj = f(θi), i = 1, 2, ..., N − 1.

Din definiţia funcţiei ψj se obţin

ψ′j(x) = −2xL

′j(x) + (1− x2)L

′′j (x),

ψ′′j = −2L

′j(x)− 4xL

′′j (x) + (1− x2)L

′′′j (x).

Sistemul algebric liniar cu N − 1 ecuaţii şi N − 1 necunoscute a fost rezolvatcu metoda de eliminare a lui Gauss.

Exemplul numeric următor a fost realizat pentru

f(x) = 42x5 − 20x3 − 24x2 + 4.

35


−1 −0.5 0 0.5 1−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

u

10

uexact

u25

Fig. 2. Soluţia exactă: (1 − x2)(x5 − 2x2); Soluţia aproximativă pentru N = 25 şipentru N = 10.

În acest caz soluţia exactă a problemei (P ) este egală cu

uexact = (1− x2)(x5 − 2x2). (1.22)Pentru N = 10 şi pentru o valoare a erorii ε = 10−3, am obţinut următoarelerădăcini ale polinomului L′10(x)

θ1 = −0.934, θ2 = −0.784, θ3 = −0.565 θ4 = −0.295, θ5 = 0θ6 = 0.295, θ7 = 0.565, θ8 = 0.784 θ9 = 0.934

De asemenea, am găsit următoarele valori pentru coeficienţii ûj

û1 = −0.4, û2 = 0.0793, û3 = 0.26666, û4 = 0.00519, û6 = 0.011544.Ceilalţi ûj sunt egali cu 0. Astfel, soluţia este:

u10(x) = −0.4(1− x2)L′1(x) + 0.0793(1− x2)L′2(x)+

+0.26666(1− x2)L′3(x) + 0.00519(1− x2)L′5(x) + 0.011544(1− x2)L

′6(x).

Pentru a desena graficul soluţiei exacte (1.22), am folosit o reţea de 201 noduriechidistante pe intervalul (−1, 1). În figura 2, putem observa că soluţiile aproxi-mante coincid cu soluţia exactă ı̂n punctele de colocaţie, de unde concluzionăm

36


că un numar mai mare de astfel de puncte θi, conferă soluţiei aproximante oacurateţe mai bună. Ultima afirmaţie este valabilă pentru situaţia ı̂n care Neste mai mic sau egal cu gradul soluţiei exacte. În caz contrar, calitatea soluţieinu se ı̂mbunătăţeşte, dar cu cât numărul de puncte folosit pentru reprezentareasa grafică creşte, cu atât graficul ei este mai apropiat de graficul soluţiei exacte.

Trecem acum la problema (PC2). Soluţia ei aparţine spaţiului

P 0N (Ω) = span{li(x)lj(y); 0 ≤ i, j ≤ N, lp ∈ P 0N (−1, 1)},

cu Ω = (−1, 1)× (−1, 1). Alegem o bază formată din

ψi,j(x, y) = (1− x2)(1− y2)L′i(x)L′j(y),

unde Lj sunt polinoame Legendre. Fie atunci

uN =N−1∑

i=1

N−1∑

j=1

āi,jψi,j . (1.23)

Mai departe, renumerotăm indicii coeficienţilor āi,j , respectiv funcţiilor din bazăψi,j , construind următorii doi vectori

â = (ā1,1, ā1,2, ..., ā1,N−1, ā2,1, ..., ā2,N−11,, ..., āN−1,1, .., āN−1,N−1)

ψ̂ = (ψ̂1,1, ψ̂1,2, ..., ψ̂1,N−1, ψ̂2,1, ..., ψ̂2,N−11,, ..., ψ̂N−1,1, .., ψ̂N−1,N−1).

Astfel (1.23) devine

uN =M∑

l=1

âlψ̂l, unde M = (N − 1)(N − 1).

Înlocuim ı̂n ecuaţia problemei (PC2) şi obţinem

−M∑

l=1

âlψ̂l

(∂2ψ̂l∂x2

(θp, θk) +∂2ψ̂l∂y2

(θp, θk))

= f(θp, θk), 1 ≤ p, q ≤ N − 1.

Dacă reorganizăm modul de numerotare al perechilor (θp, θq)

θ̂ =[(θ̂1, θ̂1), (θ̂1, θ̂2), ..., (θ̂1 θ̂N−1), (θ̂2, θ̂1), ..

],

obţinem următorul sistem de (N−1)(N−1) ecuaţii şi (N−1)(N−1) necunoscute

−M∑

l=1

âlψ̂l

(∂2ψ̂l∂x2

(θ̂k) +∂2ψ̂l∂y2

(θ̂k))

= f(θ̂k), k = 1, 2, .., (N − 1)(N − 1), (1.24)

37


−1

−0.5

0

0.5

1

−1−0.5

00.5

1−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Fig. 3. Soluţia uN a problemei de colocaţie (PC2), pentru N=12

unde ∂2ψ̂l

∂x2 ,∂2ψ̂l∂y2 sunt calculate după formulele:

∂2ψ̂l∂x2

=[−2L′i(x)− 4xL′′i (x) + (1− x2)L′′′i (x)

](1− y2)L′j(y),

∂2ψ̂l∂y2

=[−2L′j(y)− 4yL′′j (x) + (1− y2)L′′′j (x)

](1− x2)L′i(x).

Metoda de eliminare a lui Gauss a fost aleasă pentru rezolvarea sistemului(1.24).

Pentru f(x, y) = 2x7 + 42x5y2 − 44x5 + 18x3 − 8x3y2 + 20x2y3 − 6x2y++6xy4 − 18xy2 + 2x + 2y5 − 22y3 + 6y, soluţia exactă a problemei (P ) este

uexact = (1− x2)(1− y2)(x5 + y3 + xy2).

În figura 3, găsim graficul soluţiei aproximative obţinută pentru N = 12şi ε = 10−3. Soluţia numerică este precisă ı̂n punctele de colocaţie, după cumobservăm din următorul rezultat

||uN − uexact|| = 0, 035726.

Soluţia continuă ce se obţine ı̂n urma rezolvării sistemelor algebrice liniarederivate din (PC), constituie un plus, deloc lipsit de importanţă, pentru metoda

38


de colocaţie ı̂n comparaţie cu metoda diferenţelor finite. De fapt, această ca-racteristică este comună metodelor spectrale ı̂n general, clasă din care face parteşi metoda prezentată aici.

1.3 O problemă de control optimal distribuit

În această secţiune vom descrie o problemă de control optimal, ı̂n care sistemulde stare este dat de ecuaţia Poisson. Mai departe, vom introduce o aproximarede tip Ritz-Galerkin a problemei, precum şi o serie de rezultate teoretice cuprivire la estimarea erorilor. Mai mult, vom vedea ı̂n ce fel acurateţea soluţieisistemului de stare se reflectă ı̂n comportamentul perechii optimale. Apoi vomprezenta un algoritm, cu ajutorul căruia vom obţine soluţii numerice descrise lafinal.

Fie Ω = (−1, 1) şi considerăm din nou problema

(P ){−∆y = u, pe Ω,

y = 0, pe Γ .

Introducem spaţiile V = H10 (Ω), U = H = L2(Ω), V ∗ = H−1(Ω) şi forma

variaţională a lui (P )

(SE){

Să se determine y ∈ V astfel ı̂ncâta(y, v) = (u, v)H , ∀v ∈ V,

unde prin (·, ·)X , ı̂nţelegem produsul interior din X. Definim funcţionala de cost

J(y, u) =12||y − yd||2H +

12||u||2U ,

unde yd ∈ V este o funcţie dată şi introducem problema de control optimal :(P ∗) Să se minimizeze J(y, u), pentru u ∈ U şi y ∈ V soluţiile ecuaţiei de

stare (SE).Este cunoscut că (P ∗) admite o unică pereche optimală. O problemă mai

generală este descrisă ı̂n [11].

1.3.1 Condiţiile de optimalitate Introducem starea adjunctă p ∈ V soluţiaecuaţiei adjuncte:

(AE) a(p, v) = (y − yd, v)H , pentru orice v ∈ V.De asemenea considerăm funţionala de cost

Φ(u) = J(y, u),

unde y este soluţia lui (SE) corespunzătoare lui u. Dacă [u + λw, y + λθ] este opereche admisibilă pentru sistemul de stare, iar [u, v] soluţia optimală a lui (P ∗)atunci, din condiţiile de optimalitate deducem că

Φ(u + λw) ≥ Φ(u), pentru orice w ∈ U.

39


De aici se obţine

(y − yd, θ)H + (u,w)U + λ2 [||w||2U + ||θ||2H ] ≥ 0.

Trecem la limită λ → 0 şi găsim

(∇Φ(u), w) = (y − yd, θ)H + (u,w)U ≥ 0.

Cum [u, v] şi [u + λw, y + λθ] satisfac ecuaţia de stare (SE) avem

a(y + λθ, v) = (u + λw, v)a(y, v) = (u, v), ∀v ∈ V.

Scăzând cele două expresii se ajunge la

a(θ, v) = (w, v)H , pentru orice v ∈ V. (1.25)

Dacă considerăm v = θ ı̂n ecuaţia adjunctă obţinem

a(p, θ) = (y − yd, θ)H (1.26)

şi luând v = p ı̂n (1.25), găsim ı̂n baza simetriei lui a, că a(p, θ) = (w, p)H , deunde egalând cu (1.26) se obţine

(y − yd, θ)H = (p, w)U .

Introducem acest rezultat ı̂n formula gradientului funţionalei de cost obţinutămai sus şi ajungem la

(∇Φ(u), w) = (u + p, w)U ≥ 0 pentru orice w ∈ U,

şi deci ∇Φ(u) = 0. Astfel, condiţiile de optimalitate pentru problema (P )∗ suntdate de (SE), (AE) şi u + p = 0.

1.3.2 Aproximarea Galerkin Considerăm spaţiile finit dimensionale Vn =PN ∩ V = P 0N , Un = PN ∩ U şi operatorii de proiecţie π1,0N : V → Vn, πUN : U →Un, definiţi la fel ca cei din paragraful 1.2.3. Aproximarea Galerkin a ecuaţiei(SE) este dată prin

(SEN ){

Să se găsească yN ∈ P 0N (Ω) astfel ı̂ncâta(yN , vN ) = (uN , vN ), ∀vN ∈ P 0N (Ω).

Existenţa şi unicitatea soluţiei yN a fost discutată ı̂n secţiunea 1.2.2 (vezi [20],teorema 3.2, p. 62). Funcţionala de cost corespunzătoare este

JN (yN , uN ) =12||yN − π1,0N yd||2L2(Ω) +

12||uN ||2L2(Ω).

40


Introducem problema de control discretă

(P ∗N ) Să se minimize JN (yN , uN ) pentru uN ∈ UN şi yN ∈ VN soluţia sis-temului de stare (SEN ).

Fie pn ∈ Vn starea adjunctă care satisface ecuaţia adjunctă(AEN ) a(pN , vN ) = (yN − π1,0N yd, vN ), pentru orice vN ∈ VN .

Într-o manieră similară, ca ı̂n cazul problemei (P ∗), se obţine

uN + pN = 0,

care ı̂mpreună cu ecuaţiile (SEN ) şi (AEN ) dau condiţiile de optimalitate pentru(P ∗N ).

1.3.3 Rezultate de estimare a erorilor În continuare, vom da câteva rezul-tate teoretice, cu privire la acurateţea soluţiilor problemelor (SEN ) şi (AEN ).Pentru demonstrarea unora dintre ele, vom face apel la teoremele deja introduseı̂n paragraful 1.2.3.

Teoremă 1.22. Fie y soluţia ecuaţiei SE şi yN soluţia ecuaţiei SEN . Dacăy ∈ Hm(Ω) atunci, pentru orice ı̂ntreg m ≥ 1 are loc următoarea inegalitate

||y − yN ||L2(Ω) ≤ cN−m||y||Hm(Ω),unde c > 0 este o constantă care depinde numai de m.

Demonstraţie Aplicăm Lema 1.18 pentru vn = π1,0N şi obţinem

|y − yN |H1(Ω) ≤ c1|y − π1,0N y|H1(Ω), c1 > 0Apoi, folosim prima inegalitate din teorema 1.21 pentru y şi găsim

|y − π1,0N y|H1(Ω) ≤ c2N1−m||y||Hm(Ω), c2 > 0.Mai mult, din inegalitatea Poincaré-Friederics avem

||y − yN ||L2(Ω) ≤ c3|y − yN |H1(Ω), c3 > 0,de unde se obţine estimarea ce trebuia demonstrată.

Fie [u∗, y∗] şi [u∗N , y∗N ] perechile optimale pentru (P

∗) şi (P ∗N ) şi introducemurmătoarele variabile de interpolare:

rN−soluţia ecuaţieia(rN , vN ) = (u∗, vN )H , ∀vN ∈ Vn, (1.27)

qN−soluţia ecuaţieia(qN , vN ) = (rN − π1,0N yd, vN )H , ∀vN ∈ Vn, (1.28)

41


sN−soluţia ecuaţiei

a(sN , vN ) = (y∗ − yd, vN )H , ∀vN ∈ Vn. (1.29)

Pentru demonstraţia următorului rezultat facem trimitere la [11], secţiunea6:

Lema 1.23. Următoarele relaţii sunt adevărate:

(pN − qN , u∗N − u∗)U ≥ 0, (1.30)

(zN − z, u∗N − u∗)U = 0 (1.31)unde

z = −(p + u) şi zN = −(pN + u∗N ).Teoremă 1.24. Fie [u∗, y∗] şi [u∗N , y

∗N ] perechile optimale pentru (P

∗) şi (P ∗N ).Atunci are loc

||u∗ − u∗N ||U ≤ ||p− qN ||U . (1.32)

Demonstraţie Din definiţia lui z şi a lui zN avem

p− qN = (pN − qN ) + (u∗N − u∗) + (zN − z)

de unde găsim

(p− qN , u∗N − u∗)U = (pN − qN , u∗N − u∗)U + ||u∗N − u∗||2U + (zN − z, u∗N − u∗)U .

Folosind (1.30) şi (1.31) se obţine

(p− qN , u∗N − u∗)U ≥ ||u∗N − u∗||2Uşi aplicând inegalitatea lui Schwarz găsim (1.32).

Mai departe, observăm ı̂n baza teoremei 1.22, că dacă y ∈ Hm(Ω), are loc :

||y − yN ||H ≤ c1N−m, m ∈ Z∗, c1 > 0. (1.33)Din a două inegalitate din teorema 1.21, secţiunea 1.2.3, deducem că pentru

yd ∈ Hm(Ω) ∩H10 (Ω) este adevărată expresia:

||yd − π1,0N yd||H ≤ c2N−m, m ∈ Z∗, c2 > 0. (1.34)

Cum seminorma | · |H1(Ω) este echivalentă cu norma pe H1(Ω) pentru ele-mente din V = H10 (Ω), ı̂n cazul ı̂n care y

∗ ∈ Hm(Ω)∩H10 (Ω), obţinem, folosindprima estimare din teorema 1.21, următorul rezultat:

||y∗ − π1,0N y∗||V ≤ c3N1−m, m ∈ Z∗, c3 > 0. (1.35)

Acum, suntem ı̂n măsură să introducem următoarele estimari:

42


Teoremă 1.25. Fie [u∗, y∗] perechea optimală a problemei (P ∗) şi u∗N controluloptimal pentru problema (P ∗N ). Dacă yd, y

∗ ∈ Hm(Ω)⋂ H10 (Ω), pentru m ∈ Z∗,atunci are loc:

||u∗ − u∗N ||L2(Ω) = O(N−m).

Teoremă 1.26. Fie y∗ starea optimală a problemei (P ∗) şi y∗N starea optimalăpentru problema (P ∗N ). Atunci, dacă yd, y

∗ ∈ Hm(Ω) ⋂ H10 (Ω) pentru m ∈ Z∗,are loc:

||y∗ − rN ||L2(Ω) = O(N−m),unde rN este soluţia ecuaţiei (1.27) şi

||y∗ − y∗N ||H1(Ω) = O(N1−m).

Teoremă 1.27. Fie [u∗, y∗] şi [u∗N , y∗N ] perechile optimale pentru (P

∗) şi (P ∗N ).În ipotezele teoremei 1.25 avem

|J(y∗, u∗)− JN (y∗N , u∗N )| = O(N1−m).

Demonstraţiile ultimilor trei rezultate pot fi consultate ı̂n [11], secţiunea 6.

1.3.4 Un algoritm numeric şi rezultatele numerice obţinute Pentrutestele numerice efectuate, am luat

yd = (1− x2)(x6 + x2 + 1).

Introducem din nou o bază pe spaţiul P 0N (Ω) astfel ı̂ncât

P 0N (−1, 1) = span{ψ1, ψ2, ..., ψN−1},

cu ψj = (1 − x2)L′j(x), ∀ j = 1, 2, ..., N − 1, unde Lj reprezintă polinomul Le-gendre de grad j. Astfel, după cum am văzut ı̂n secţiunea 1.2.5, folosind metodade colocaţie, ştim să determinăm soluţiile problemelor (SEN ) şi (AEN ).

În continuare, prezentăm pas cu pas, un algoritm cu ajutorul căruia amobţinut soluţiile numerice pentru problema (P ∗N )

Algoritm ALG(S0) Se alege u

(0)N ∈ Un şi se fixează k = 0.

(S1) Se calculează y(k)N din (SEN ).

(S2) Se calculează p(k)N din (AEN ).

(S3) Se calculează g(k) = ∇Φ(u(k)N ) = u(k)N + p(k)N , unde Φ este funţionala decost : Φ(uN ) = JN (yN , uN ).

(S4) Se calculează ρk ≥ 0, soluţia problemei de minimizare :

min{Φ(u(k)N − ρkg(k)), ρk ≥ 0} =

43


= min{Φ((1− ρk)u(k)N − ρkp(k)N ), ρk ≥ 0}Se alege u(k+1) = (1− ρk)u(k)N − ρkp(k)N .(S5) Condiţia de oprire :

Dacă |Φ(u(k))−Φ(u(k−1))| < ε, atunci algoritmul se opreşte, furnizând soluţiau = u(k), ı̂n caz contrar k = k + 1 şi se reia procedeul de la pasul (S1).

A fost dificil de găsit un control iniţial adecvat pentru startarea algoritmuluiALG. Am căutat să ı̂mbunătăţim performanţele funcţionalei de cost, alegânddiferite valori constante pozitive pentru u(0)N , care le-am notat cu R.

În tabelul următor, putem observa valori ale lui Φ respectiv Φ1, corespunzătoareunor valori R crescătoare şi pentru N = 21, unde Φ1 = 12 ||yN − π1,0N yd||L2(Ω)2 .

R Φ Φ1R = 1 Φ = 500.774 Φ1 = 499.774R = 2 Φ = 487.610 Φ1 = 483.610R = 32 Φ = 1146.26 Φ1 = 122.255R = 64 Φ = 4096.40 Φ1 = 0.39500R = 128 Φ = 16956.9 Φ1 = 572.942

Am ı̂ncercat să găsim valori mai bune pentru Φ. Astfel, am folosit metodaAzimuth Mark(numită şi metoda mirei) ı̂n raport cu R. Pentru o descriere de-taliată a acestei proceduri vezi [59]. Am folosit două strategii: una ı̂n care nune-a interesat marimea controlui şi cealată ı̂n care u a fost luat ı̂n calcul. Astfelam avut condiţii de oprire diferite pentru ALG:

(I) |Φ1(u(k+1)N )− Φ1(u(k)N )| < 0.001,

(II) |Φ(u(k+1)N )− Φ(u(k)N )| < 0.001.

Am obţinut următoarele rezultate :

I.-după 25 de iteraţii, cu metoda mirei am obţinut R = 62, 332, Φ1N (u(0)N ) =

0.0256, ||y(0)N − yd||max = 0.2657, ΦN (u(0)N ) = 3885.31.II.-după 20 de iteraţii, cu metoda mirei am obţinut R = 7.309, ΦN (u

(0)N ) =

509.098, ||y(0)N − yd||max = 27.2046, Φ1N (u(0)N ) = 455.669.În continuare, am modificat formula de căutare pentru u(k+1)N , datorită valo-

rilor mici ale lui p(k)N obţinute şi astfel algoritmul ALG s-a modificat. Pasul S3 afost eliminat, iar pasul (S4) a devenit:

(S4) Se calculează ρk ≥ 0, soluţia problemei de minimizare:

min{Φ(u(k)N − ρkp(k)N ), ρk ≥ 0}

Se alege u(k+1) = u(k)N − ρkp(k)N .

44


Rezultatele obţinute ı̂n baza algoritmului ALG sunt:

I. În acest caz am folosit două condiţii de oprire diferite

a. |Φ1(u(k+1)N )− Φ1(u(k)N )| < 0.001 -după 3 iteraţii:

uN (i) = 62.37, 62.47, 62.61, ..., 62.61, 62.47, 62.37.

Φ1N (uN ) = 0.0218, ||y(0)N − yd||max = 0.2592,ΦN (uN ) = 3891.85.

b. |Φ(u(k+1)N )− Φ(u(k)N )| < 0.001 -după 2 iteraţii:

uN (i) = 62.35, 62.40, 62.46, , ..., 62.46, 62.40, 62.35.

ΦN (uN ) = 3884.24, ||y(0)N − yd||max = 0.2689Φ1N (uN ) = 0.02395.

II.-după 2 iteraţii:

uN (i) = 7.34, 7.43, 7.56, ..., 7.56, 7.43, 7.34.

ΦN (uN ) = 453.764, ||y(0)N − yd||max = 26.626,Φ1N (uN ) = 385.931.

Observăm că numărul de iteraţii necesare convergenţei procedurii ALG esteextrem de mic, datorită metodei mirei folosite la pasul S0. De asemenea, reţinemcă structura controlului iniţial este modificată pe parcursul algoritmului ALG.

Pentru un algoritm similar, facem trimitere la [10]. Următorul obiectiv esterezolvarea cazului ı̂n care controlul este restricţionat, pentru cazurile 1D şi 2D.Pentru cazul bidimensional, problema de control corespunde unui fenomen fizic,prin care o bară fixată la ambele capete este deformată de o forţă transversalău(x)dx pe unitatea de suprafaţă dx, pentru a o aduce la forma dorită yd.

45

Probleme cu frontieră liberă şi aplicaţii

2 Probleme cu frontieră liberă şi aplicaţii

Problemele cu frontieră liberă constituie un subiect modern de cercetare mate-matică, caracterizat prin apariţia unor frontiere a căror poziţie este necunoscutăapriori. Această categorie de probleme a beneficiat de un interes redus până decurând, când, ı̂n anii şaizeci- şaptezeci, abordarea modernă a teoriei ecuţiilor cuderivate parţiale a condus la dezvoltarea unor noi metode de studiu. În ultimeledecenii, atenţia deosebită a cercetătorilor faţă de acest sector l-a confirmat caun domeniu interdisciplinar important ce cuprinde subiecte de modelare mate-matică, ecuaţii diferenţiale, ecuaţii cu derivate parţiale, analiză numerică, calculvariaţional, control optimal, etc.

În acest capitol am realizat un studiu pentru două astfel de probleme. Primadintre ele este cunoscută sub numele de problema Stefan inversă. Modelul mate-matic este o problemă de control optimal şi se vizează conducerea unui proces desolidificare (topire) ı̂n concordanţă cu anumiţi parametri prescrişi. Am consideratcazul problemei cu o fază, tratat cu o metodă cu domeniu necilindric şi cazulproblemei cu două faze tratat cu domeniu cilindric. În cazul celei de-a douaprobleme, modelul matematic corespunzător constă dintr-un sistem de ecuaţii cuderivate parţiale parabolice semiliniare şi caracterizează un fenomen ecologic demigraţie a unor populaţii de tip pradă-prădător. Existenţa şi unicitatea soluţiilorclasice, ı̂n cazul ambelor probleme, sunt cunoscute. Luând ı̂n calcul dinamicasistemelor, am construit algoritmi, ce au contribuit la rezolvarea numerică aproblemelor propuse ı̂n cazul 1D, iar rezultatele obţinute sunt prezentate ı̂ncontinuare.

Problema Stefan

Modelul standard pentru problema Stefan se referă la un proces de solidificare aunui lichid(apă), sau la un proces de topire a unui solid(gheaţă). Domeniul Ω ⊂R2 este alcătuit din două părţi: Ω1(t) este domeniul ce corespunde fazei solide iarΩ2(t) fazei lichide. Interfaţa dintre cele două faze este notată cu S(t). Frontieraı̂ntregului domeniu este ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2. În interiorul suprafeţei delimitate deΓ1 se află un dispozitiv, ce antrenează procesul de solidificare sau topire prinmodificarea temperaturii Γ1. Prin urmare, S(t) este ı̂ntr-o permanentă mişcareşi de aceea poartă numele de frontieră liberă (vezi figura 4). Fie Ts temperaturade solidificare (topire) şi T1(x, t) temperatura fazei solide pentru t ∈ (0, T ) şix ∈ Ω1(t). Temperatura T1 satisface următoarele ecuaţii:

people.cs.vt.edurstefane/papers/phd_thesis.pdf · cuprins introducere...

Documents