robotica de precizie i

8/13/2019 Robotica de Precizie I

1/41

ROBOTICA DE PRECIZIE- CURS MASTER MECANIC DE PRECIZIE-

I. INTRODUCERE

1. Generalitati. Clasificarea roboilor industrialiRobotica este un domeniu al tiinei i tehnicii, cu o dezvoltare rapid, legat de

realizarea i folosirea roboilor. Robotica a aprut ca ramur tiinific de sine stttoare pebaza mecanicii, electronicii i informaticii, actualmente a mecatronicii. n acelai timp,dezvoltarea roboticii a ridicat probleme tiinifice noi ntr-un ir de tiine conexe, conducndla progresul acestora.

Robotul, ca obiect de baz n aceast tiin, poate fi definit ca un automat universalpentru reproducerea unor funcii de micare i intelectuale ale omului. Exist o serie decategorii de roboi ce dezvolt unul sau altul din domeniile i subdomeniile funciilor de maisus.Roboii care sunt concepui pentru ndeplinirea funciilor de manipulare i de comand ncadrul proceselor productive se numesc roboi industriali.

Scopul practic al introducerii roboilor este acela al ncrcrii lor cu acele tipuri deaciuni care pentru om sunt dificile, prezint sarcini gravitaionale mari, sunt monotone,

periculoase pentru sntate i via. Adic, n primul rnd, la operaiile de producie auxiliare:ncrcarea i descrcarea mainilor unelte i a automatelor i la operaii de prelucrare propriu-zis cu roboi industriali: sudare, vopsire, debitare, montaj etc. Utilizarea cuprinde idomeniul condiiilor de lucru aa zis extremale: sub ap, n cosmos, n medii radioactive sau

otrvitoare.JIRA (Japan Industrial Robot Association) clasifica roboii industriali dup

urmtoarele criterii:I.) Dup informaii de intrare i modul de nvare:

1 manipulator manual, care este acionat direct de om2 robot secvenial, care are anumii pai ce ascult de o procedur predeterminat,care poate fi: fix sau variabil dup cum aceasta nu poate sau poate fi uor schimbat.3 robot repetitor (robot play back) care este nvat la nceput procedura delucru de ctre om, acesta o memoreaz iar apoi o repet de cte ori este nevoie.4 robot cu control numeric (N. C. robot) care execut operaiile cerute nconformitate cu informaiile numerice pe care le primete despre poziii, succesiuni deoperaii i condiii.5 robot inteligent este cel care i decide comportamentul pe baza informaiilor

primite prin senzorii si i prin posibilitile sale de recunoatere.Observaii:

a) Manipulatoarele simple (grupele 1 i 2) au n general 2-3 grade de libertate,micrile lor fiind controlate prin diferite dispozitive.

b) Roboii programabili (grupele 3 i 4)au numrul gradelor de libertate mai maredect 3 fiind lipsii de capaciti senzoriale i lucrnd n bucl deschis.

c) Roboii inteligeni sunt dotai cu capaciti senzoriale i lucreaz n bucl nchis.


2/41

II.) Dup comand i gradul de dezvoltare al inteligenei artificiale: roboii industriali seclasific n generaii sau nivele:

1 R.I. din generaia 1, acioneaz pe baza unui program flexibil dar prestabilit deprogramator i care nu se poate schimba m timpul execuiei operaiilor2 R.I. din generaia a 2-a se caracterizeaz prin faptul c programul flexibil

prestabilit de programator poate fi modificat n msur restrns n urma unor reaciispecifice ale mediului.

3 R.I. din generaia a 3-a posed capacitatea de a-i adapta singuri cu ajutorul unordispozitive logice, ntr-o msur restrns propriul program la condiiile concrete alemediului ambiant n vederea optimizrii operaiilor pe care le execut.

III.) Dup numrul gradelor de libertate ale micrii robotului: acestea pot fi cu 2 pn la6 grade de libertate la care se adaug micrile suplimentare ale dispozitivului de prehensiune(gripperul), orientarea la prinderea, desprinderea obiectului manipulat, etc

Noiunea de robot este definit n mod diferit n diverse standarde sau formulri aleunor instituii de specialitate:

Normele franceze(Normalisation franaise, NF) :o norma E61 - 005definete manipulatorul:Structura mecanic constituit dintr-o serie

de elemente articulate sau alunectoare unul fa de cellalt, utilizat pentru a prinde,deplasa, poziiona i orienta obiecte (piese, scule, etc), urmrind n general mai multegrade de libertate. El poate fi comandat de un operator, de un automat programabilelectric sau prin orice sistem logic (dispozitiv cu came, logic cablat, logic

programat, etc.) independent sau asociat.o norma francez NF61-100 d urmtoarea definiie:Robotul este un mecanism de

manipulare automat, aservit n poziie, reprogramabil, polivalent, capabil spoziioneze i s orienteze materiale, unelte sau dispozitive specializate, n timpul unormicri variabile i programate, destinate executrii unor sarcini variate.Standardul germanDIN 2801definete:

o Roboii industriali sunt automate mobile cu aplicaii universale, cu mai multe axe, alecror micri sunt liber programate pe traiectorii sau unghiuri ntr-o anumit

succesiune a micrilor i n anumite cazuri, comandate prin senzori. Ei sunt echipaicu dispozitive de prehensiune, scule sau alte mijloace de fabricaie i pot ndepliniiactiviti de manipulare i de fabricaie. Robotul industrial poate fi montat fix, ntr-unanumit loc sau poate fi deplasat ca un ansamblu.Standarde japoneze:

o Robotul este un sistem mecanic, dotat cu funciile motoare flexibile analoage cu celeale organismelor vii sau imitaii ale acestora, cu funcii inteligente, sisteme careacioneaz corespunztor voinei omului.Standarde ruseti:

o Robotul industrial este o main automat staionar sau deplasabil, constnd dindispozitivul de execuie, avnd mai multe grade de libertate i din dispozitivulreprogramabil de comand dup program pentru ndeplinirea n procesul de producie

a funciilor motoare i de comand.Institutul de Robotic din America(RIA):

o "Robotul este un manipulator reprogramabil multifuncional, destinat s deplasezemateriale, piese, scule sau aparate, prin micri programate variabil, n scopulndeplinirii unor sarcini diferite. Robotul este un echipament cu funcionare automat,adaptabil condiiilor unui mediu complex - n care el evolueaz - prin reprogramare,reuind s prelungeasc, s amplifice i s nlocuiasc una sau mai multe din funciileumane n aciunile acestuia asupra mediului nconjurtor."

Asociaiei Britanice de Robotic(British Robot Association):


3/41

o robotul este un dispozitiv reprogramabil, realizat pentru manipularea pieselor,sculelor i altor mijloace de producie, prin micri variabile programate, pentru andeplinii sarcini specifice de fabricaie.

Necesitatea mririi productivitii i a calitii a condus la o dezvoltare rapid nultimele decenii a roboticii i a produciei de roboi industriali. Cu ajutorul roboilorindustriali se pot rezolva problemele mecanizrii complexe i a automatizrii produciei demas n construcia de maini, electrotehnic, electronic, mecatronic, etc.

Fa de mijloacele clasice de automatizare, introducerea roboilor industriali conducela universalitate, posibilitatea adaptrii (reglrii) lor rapide la noile cerine, cu productivitatemaxim i cheltuieli minime. Caracteristicile de mai sus sunt de prim importan n domeniul

produciei de serie mic i mijlocie, adic unde s-au dezvoltat sistemele de fabricaie flexibil.n fig.1.1,a este reprezentat un robot industrial. Aciunea unui robot industrial se aplic

asupra obiectului de lucru (OL). Acesta poate fi o pies, un semifabricat sau o scul (cap desudare, de vopsire, etc).

Elementul final cu care se termin robotul industrial i care permite s-i ndeplineascfuncia sa, n cadrul procesului industrial se numete dispozitiv periferic sau terminal.Terminalul poate fi materializat prin dispozitiv de prehensiune (DP),n cazul operatiilor demanipulare si montaj, cnd obiectul de lucru presupune apucarea, transportul si desprinderealui sau diferite dispozitive active n procesul tehnologic (capete de sudare, capete de vopsire,de sablare, capete de palpare la roboii industriali de control etc.). Acest robot are aseelemente mobile: 1, 2, ... , 6, care-i vor conferi 6 grade de libertate (1, 2, ... , 6), fiind

posibil deplasarea i orientarea obiectului de lucru n spaiu. Aa cum se va meniona suntroboi industriali cu mai puine grade de libertate i cu mobilitatea asigurat i prin translaii.

n fig.1.1,b sunt redate principalele blocuri funcionale ale robotului, fluxurileenergetice (de putere) i fluxurile informaionale.

Ca terminologie, n afar de cea de robot industrial, definit mai sus, coexist i cea demanipulator. Manipulatorul realizeaz deplasarea i aplicarea obiectului de lucru cu micriasemntoare omului. Poate fi comandat de un operator, un automat programabil sau unsistem logic (sistem cu came, logic electric cablat, etc). Distincia dintre robot industrial imanipulator este mai mult una de nivel de automatizare dect de principiu constructiv-

funcional.

a) b)Fig. 1.1


4/41

Fig. 1.2

n aceast categorie se includ, evident, manipulatoarele ce reproduc micrileoperatorului la scara 1:1 sau la o alt scar. n aceeai categorie se includ i manipulatoarelecare sunt comandate direct de operator, dar care transform micarea acestuia la o anumitscar. Manipulatoarele se pot realiza fr i cu aport de energie exterior. Un exemplu tipic demanipulator care reproduce micrile operatorului la scara 1:1 i este fr aport de energieexterioar este acela care servete camerele radioactive din centrele de cercetri nucleare(fig.1.2). Aceste manipulatoare sunt denumite stpn-sclav. Partea stpn notat 4 segsete n afara incintei radioactive. Operatorul acioneaz apucnd mnerul 2. Micrileefectuate de operator sunt copiate de ctre structura sclav notat 5 ce se afl n incintaradioactiv, separat prin peretele 1. Prin sticla special 3 se poate vedea n incint. Structurasclav se termin cu un efector 7 (min mecanic, scul, etc.). Comanda de strngere aminii mecanice este dat de o prghie de pe mnerul 2. Dimensiunile elementelor structurii

mecanice i mobilitatea cuplelor permit realizarea unui anumit volum (spaiu) de lucru 6, ncare poate fi manipulat obiectul de lucru. Analiza manipulatoarelor prezint importandeoarece structura lor este aceeai cu cea a anumitor roboi industriali.

1.2. Structura mecanic a robotilor industrialiStructura mecanic a roboilor industriali este format din elemente (ce pot fi

considerate rigide) i cuple cinematice ce realizeaz legarea elementelor ntre ele i a primuluielement la batiu,(0). Dintre clasele de cuple cinematice se utilizeaz, n primul rnd, cupleC5 cu un singur grad de mobilitate, adic numai cuple de rotaie (R) i de translaie (T). Cuplele superioare C4 i C3 ridic att probleme tehnologice privind preluarea jocurilor, cti dificulti de acionare.

Se considera n continuare structuri la care elementele sunt legate prin cuple

inferioare. Structurile pot fi de tip lan cinematic deschis sau lan cinematic nchis. ncazul lanului cinematic deschis (fig.1.3,a) elementele i cuplele formeaz o structurarborescent (n sensul teoriei grafurilor) atunci cnd cuplele conecteaz numai dou elementedin succesiunea lor ordinal. Astfel, n cazul particular al lanului cinematic deschisneramificat din fig.1.3,a, cuplele conectaz dou elemente n ordinea cresctoare: 12, 23,34,..., (i-1)i. Elementele de nceput i de sfrit 1 i i au numai cte o cupl conectat. ntr-unlan cinematic nchis fiecare element are cel puin dou legturi la cuple aa cum se vede ncazul particular din fig.1.3,b, cuplele au indicii: 12, 23,..., (i-1)i, i1.


5/41


6/41

este de a modifica poziia spaial a obiectului de lucru, iar sistemul de orientare de a conferiorientarea. n realitate aceste roluri se ntreptrund din dou motive:

- punctul de referin al ncheieturii PI (cu care se termin mecanismul generator detraiectorie) i punctul caracteristic (PC) nu coincid i deci rotaiile I, IIi III numodific doar orientarea, ci i poziia punctului caracteristic;

- orientarea este dat i de aciunea primei cuple (ce aparine mecanismuluigenerator de traiectorie-MGT) ce realizeaz rotaia Z n jurul axei verticale.

Influena sistemului de orientare asupra poziiei crete atunci cnd axele de rotaiepentru I II i III nu sunt toate concurente (dou axe pot n majoritatea cazurilor fcuteconcurente). Structura mecanismului generator de traiectorie (MGT) poate fi modificatschimbnd natura i ordinea celor trei cuple. Astfel, se obin 8 variante: TTT, TTR, TRT,RTT, RRT, RTR, TRR i RRR. O posibil realizare spaial este dat n fig.1.5. Acestevariante sunt obinute analitic, fr s se considere modificrile structurii spaiale cnd seschimb poziia

Fig.1.5

In practic sunt utilizate un numr limitat de combinaii structurale pentru mecanismulgenerator de traiectorie (MGT). O prim reducere provine de la situaia c, uzual, primul gradde mobilitate este o rotaie n jurul axei verticale Z. Aceasta deoarece organizarea multorcelule de fabricaie este circular i de asemenea s-a urmrit o unificare (limitare) a

variantelor de robot industrial. De multe ori o mrire a spaiului servit se face prinintroducerea hibrid a unui prim grad de libertate sub forma unei translaii pe sol saususpendate, structura de baz a roboilor industriali rmnnd cu rotaia vertical ca primcupl. n fig.1.6 sunt date cteva structuri uzuale de roboi industriali. Pentru simplificareareprezentrii sistemului de orientare (SO) este convenional desenat ca o cupl sferic cumobilitatea oarecare SO, ceea ce corespunde unui sistem de orientare cu trei grade demobilitate (rotaii) cu axe concurente. Sunt prezentatate trei structuri ce au cuple de translaie:

- TTT de tip portal utilizat pentru montaj i msurare;- RTT sau aa zisul robot cilindric dup tipul coordonatelor n care lucreaz;- RRT, de tip turel;


7/41

Fig. 1.6


8/41


9/41

Intereseaz ndeosebi elementele punctului caracteristic M legat de OL solidar cu

elementul n (5 n exemplu).

n cadrul spaiului de lucru se consider i vitezele i acceleraiile diferitelor puncte.

Pentru corpuri intereseaz orientarea acestora, iar din punct de vedere cinematic viteza lor

unghiular (sau alt parametrun corelat).

Spaiul robot caracterizeaz poziia i cinematica relative dintre elemente, fiind

utilizat pentru comanda i acionarea robotului. Poziia relativ a dou elemente succesive ale

structurii se d prin coordonatele robot care pentru cuplele de rotaie sunt unghiurile

relative dintre elemente, iar pentru cuplele de translaie sunt deplasrile relative dintre

elemente. n cazul structurii din fig. 1 de tipul RRTRR, care are 4 cuple de rotaie sunt

introduse coordonatele robot: q1, q2, q4i q5. Pentru cupla de translaie (dintre elementele 2 i

3) coordonata robot este q3ce reprezint poziia relativ n sensul axei X2a elementului 3 fa

de elementul 2.

3. Modelele de calcul ale structurii

Att n etapa concepiei ct i n cea a realizrii operaiilor pentru comand, structurile

mecanice necesit efectuarea unor calcule pe baza anumitor modele matematice, ca:

a) Modelulgeometric direct i modelul cinematic direct:

Modelul geometricdirectexprim poziia i orientarea corpului manipulat n spaiul

de lucru, n funcie de parametrii geometrici ai cuplelor (unghiurile relative din cuplele de

rotaie i poziiile relative din cuplele de translaie).

Modelul cinematic directpermite, ca dup determinarea modelului geometric directi cunoscnd cinematica coordonatelor robot (vitezele i acceleraiille din cuplele structurii),

s se calculeze vitezele i acceleraiile liniare ale elementelor structurii.

b) Modelul geometric invers i modelul cinematic invers

Modelul geometic invers. In acest caz sunt cunoscute poziia i orientarea obiectului

manipulat i se cere determinarea parametrilor geometrici ai cuplelor.

Modelul cinematic invers. Dup rezolvarea modelului geometric invers i fiind

cunoscute cinematica liniar i unghiular a elementului manipulat pot fi determinai

parametrii cinematici ai micrilor din cuple (vitezele i acceleraiile relative ale celor doupri ale cuplei).

c) Modelul dinamic

Modelul dinamic direct. Fiind rezolvat modelul geometric i cinematic direct i

avnd, n plus, datele ineriale ale elementelor (mase i momente de inerie) se calculeaz

forele motoare generalizate din cuple (fore motoare pentru cuplele de translaie i, respectiv,


10/41

momente motoare pentru cuplele de rotaie).

Modelul dinamic invers. Reprezint problema general a dinamicii structurii. Fiind

cunoscute forele generalizate din cuple se cere determinarea micrii structurii.

Sub aspect formal, caracterizarea de direct sau invers referitor la modelul dinamic

uneori apare inversat. Aici a fost preferat clasificarea de mai sus, din considerente de

simetrie cu celelalte modele.

4.Schimbarea sistemelor de axe

Pentru obinerea modelului geometric este necesar schimbarea sistemului de axe n

care se face proiecia diferiilor vectori care intervin. Sistemul de axe {i}n care se definesc

elementele geometrice i vectoriale ale corpului i este legat de acesta. Ulterior, va trebui

efectuat transformarea n sistemul de referin absolut {0}. Aceast transformare nu se face

direct, ci prin transformri succesive ntre elemente alturate. Mai jos va fi, ca un caz general,

descris transformarea dintre dou sisteme oarecare de axe {B}i {A}.Transformarea de rotaie(orientare) a dou sisteme de axe de coordonate, cu aceeai

origine: OXAYAZAsi OXBYBZB(fig.2). Un punct P se poate pozitiona n {A}: rAsi n{B}: rB.

Legtura ntre cele dou exprimri, se poate scrie matriceal astfel:

BA

B

A rSr = (1)

In relaia de mai sus a fost introdus matricea de transformare de la {B}la {A}cnd originile

coincid (matricea de rotaie):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )a3a2a1ABABAB

ABABAB

ABABABAB

Z,ZcosZ,YcosZ,Xcos

Y,ZcosY,YcosY,Xcos

X,ZcosX,YcosX,Xcos

bbbS MM=

= (2)

S-au notat cu a3aa

1 ,, bbb 2 versorii axelor OBXB,

OBYB , OBZBproiectai n sistemul de axe {A}.Componentele acestor versori sunt cosinusurile

lor directoare.

Matricele S se bucur de proprietatea:

Fig. 2 T-1 SS = (3)


11/41

Transformarea coordonatelor din {B}n {A}, scris matriceal, dezvoltat este:

++

++

++

=

=

B33

B32

B31

B23

B22

B21

B13

B12

B11

B

B

B

333231

232221

131211

A

A

A

zsysxs

zsysxs

zsysxs

z

y

x

sss

sss

sss

z

y

x

(4)

S-au notat cu ijs termenii matricei de orientare.

Transformarea general de la {B} la {A}, cnd originile celor dou sisteme de axe nu

coincid (fig. 3). Dependena dintre (r)Asi (r)B, n exprimare matriceal:

AAB

AB

B OrSr +=

In aceast ecuaie

( )

( )

( )

=A

OB

AOB

AOB

A

Z

Y

X

BO

reprezint coordonatele originii OBexprimate n {A}.

Fig. 3

Pentru scrierea transformrii generale n mod omogen (n form de produs) se poate

introduce matricea 4 x 4, T la care ultima coloan conine coordonatele originii B,

exprimat n {A}:


12/41

=

1000

Zsss

Ysss

Xsss

AOB333231

AOB232221

AOB131211

ABT (5)

Cu ajutorul acestei matrice se poate obine transformarea n form omogen:

BA rTr =AB (6)

Pentru structurile n lan cinematic deschis intereseaz transformarea de la {i}la {0},

adic de la sistemul de axe al elementului i la sistemul de referin. Aceasta se obine prin

produsul matricelor de transformare succesiv.

Dac intereseaz numai orientarea(rotaia) matricea de rotaie este:

SSSS 1i i12

01

0i ...

=

Pentru simplificarea scrierii se noteaz: SS 0ii = i SSR1=j jj . Matricea de rotaie de la {i}la

{0}devine:

i21i ... SRSRSRS = (7)Transformarea prin rotaie se scrie considernd i (1):

i

i rSr0 = (8)

Pentru transformarea general {i}la {0}:

TTTT 1i i12

01

0i ...

=

Cu notaiile: TT 0ii = i TA1jjj

= , relaia de mai sus devine:

i21i ... AAAT = (9)


13/41

Considernd i (6), transformarea general de la{i}la {0}este:

ii

0 rTr = (10)

Dac a fost calculat matricea Tiorientarea se poate deduce direct, fr a se mai calcula imatricea Si, deoarece matricea 3x3 coninut n Tieste tocmai Si(v.rel. (6))

Pentru cazurile particulare ale rotaiei n jurul axelor de coordonate se pot scrie

urmtoarele matrice:

- rotaia n jurul axei OX (fig. 4,a):

=

qcosqsin0

qsinqcos0

001

XS ; (11)

- rotaia n jurul axei OY (fig. 4,b):

=

qcos0qsin

010

qsin0qcos

YS ; (12)

- rotaia n jurul axei OZ (fig. 4,c):

=

100

0qcosqsin

0qsinqcos

ZS (13)

Fig. 4


14/41

5. Orientarea obiectului de lucru

Orientareareprezint poziia unghiular a obiectului de lucru (obiectul manipulat).

5.1. Orientarea cnd este cunoscut spaiul robot

Orientarea OL este dat de orientarea (rotaia) ultimului sistem de axe {n}, al

structurii, deoarece OL este solidar cu acesta. Rezult c orientarea este dat de matricea (7)cnd i = n. Deci orientarea S a obiectului de lucru este:

nSS= .

Matricea S(3x3) se obine din matricea general a structurii T extrgnd primele trei

linii i trei coloane, deoarece:

= 10

OS 0nT

Matricea Scuprinde 9 parametri (cosinusurile directoare):

=

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

SSS

SSS

SSS

S ,

ntre care exist 6 relaii de dependen (ce exprim mrimea unitar a versorului i

perpendicularitatea versorilor). Deci, evident, orientarea necesita cunoatera numai a: 9-6 =

3 parametri. Introducerea cestor trei parametri se poate face n diferite moduri: variante ce

utilizeaz unghiuri Euler, unghiuri Kardan.

Mai jos este utilizat metoda unghiurilor Kardanca fiind mai simpl n prezentare.

Posibilitatea exprimrii matricei prin numai trei parametri (unghiuri Kardan) : xk1, xk2, xk3,

care pot fi considerai ca fiind componentele unui vector xk:

( )T321 xkxkxk=xk

Pentru aceasta obinerea orientrii se face, convenional, considernd trei rotaii

succesive, pornind de la sistemul fix sau de la o orientare prealabil cunoscut. Unghiurile

acestor rotaii constituie parametrii cutai. Obinerea orientrii pornind de la sistemul fix se


15/41

face astfel

- o rotaie cu unghiul 1xk n jurul axei OX0;

- o rotaie cu unghiul 2xk n jurul noii axe OYA;

- o rotaie cu unghiul 3xk n jurul noii axe OZB.

n fig. 5 sunt reprezentate aceste transformri. Prima transformare este rotaia S X(xk1) de la

{0}la {A}(fig. 5,a):

=

11

111X

xkcosxksin0

xksinxkcos0

001

)xk(S

Fig. 5

Urmeaz rotaia Sy (xk2) de la {A}la {B}(fig.5,b):

=

22

22

2Y

xkcos0xksin

010

xksin0xkcos

)xk(S

Ultima rotaie este SZ(xk3) de la {B}la {n}(fig. 5,c):

( )

=

100

0xkcosxksin

0xksinxkcos

xk 33

33

3ZS


16/41

Matricea orientrii kardan se obine prin produsul matricilor de mai sus:

S(xk1, xk2, xk3) = SX(xk1) SY(xk2) SZ(xk3)

Dup efectuarea calculelor se obine (se noteaz prescurtat cos c; sin s):

+

+

=

213213132131

213213132131

23232

S

cxkcxksxksxkcxkcxksxkcxksxkcxksxksxk

cxksxksxksxksxkcxkcxkcxksxksxksxkcxk

sxksxkcxkcxkcxk

(14)

Trecerea de la exprimarea prin cosinusuri directoare la unghiurile kardan se face prin

identificarea termenilor matricelor:

( )132 sarcsinxk = ;

=

33

231 s

sarctgxk ;

=

11

123 s

sarctgxk

* Practic, utilizarea relaiilor (15) se face n cadrul unui subprogram care va determina

valorile corecte ale funciilor trigonometrice inverse, verificrile fcndu-se cu ajutorul

termenilor neutilizai ai matricei (s21, s22, s31i s23). Detalii sunt date n fiierul Mathcad: Ex

Str4.mcd, unde se poate rula i un exemplu de calcul.

Avnd orientarea dat sub forma vectorului xkse poate defini poziia generalizat prin

vectorul x cu 6 componente, primele trei fiind coordonatele carteziene

( ) ( )TT321 zyxrrr === xtr , iar ultimele sunt componentele lui xk:

( )T321321 xkxkxkrrr=

=

xk

xt

x L (15)

5.2. Obinerea orientrii din spaiul de lucruOrientarea OL obinut din spaiul de lucru este legat de aplicaia robotului.

n practica aplicaiilor RI se ntlnesc dou cazuri privind orientarea:

a) cnd este necesar orientarea unei singure axe a OL;


17/41

b) cnd se cere orientarea total a OL.

Fig. 6

a) Orientarea unei singure axe (orientarea parial). Este cazul manipulrii OL

cilindrice (paletizare, ncrcare pe maini-unelte, unele operaii de montaj etc). Este, de

asemenea cazul poziionrii electrodului la sudur, a capetelor simple de vopsire. n acestesituaii este necesar orientarea numai a unei singure axe a OL care poate fi aleas paralel cu

axa OnXn ca n exemplul din fig. 6, a. Pentru axa OnXn, vor fi cunoscute cosinusurile

directoare:

S11= cos(OnXn , OX0) ; S21= cos(OnXn, OY0) ; S31= cos(OnXn, OZ0),

care sunt corelate prin relaia S112+ S21

2+ S311= 1.

Deci, pentru orientarea parial, sunt necesari numai doi parametri: de exemplu dou din

unghiurile ce apar n relaiile de mai sus . O astfel de orientare poate fi realizat de RI cu 5

grade de libertate. Evident i de ctre RI cu 6 grade de libertate, n care caz mobilitateadisponibil fiind preluat de alte criterii sau convenional.

b) Orientarea total presupune orientarea a dou axe ale corpului, care pot fi i

perpendiculare (fig.6, b). Acest tip de orientare este necesar pentru montajul arborilor cu pene,

cu caneluri, pentru montajul pieselor prismatice, etc. Dac cele dou axe ce dau orientarea

total sunt OnXn i OnYn , atunci sunt cunoscute i cosinusurile directoare ale acesteia din

urm, adic:

S12= cos(OnYn , OX0) ; S22 = cos(OnYn, OY0) ; S32= cos(OnYn , OZ0)

Aceste cosinusuri directoare sunt de asemenea, dependente: S122+ S222+ S322= 1.Cele dou axe ce sunt legate de OL au un unghi bine definit ntre ele, n cazul

particular de fa, sunt perpendiculare. Analitic aceasta se poate exprima prin valoarea

produsului scalar: S11S12 + S21S22+ S31S32= 0.

Pentru orientarea total sunt, deci, necesari a fi cunoscui, n total 3 parametri,

deoarece ntre cele 6 cosinusuri directoare exist cele 3 dependene de mai sus. Practic se pot


18/41

da, de exemplu, trei unghiuri: unghiurile axei OnYncu doua din axele sistemului fix {0}i un

unghi al axei OnZn cu una din axele sistemului fix. Evident, cele trei condiii pot fi date i

direct prin valoarea cosinusurilor directoare: S11, S12 i S32.

O modalitate mai general de redare a orientrii poate fi i aceea a rotaiei

Rodriguez. Sistemul {n} se poate obine din {0} prin rotirea acestuia din urm n jurul axei

cu unghiul (fig. 7).

Fig. 7

Orientarea OL solidar cu sistemul de axe OXYZ se obine pornind de la sistemul de

referin O0X0Y0Z0prin rotirea n jurul axei (ce are versorul er

) cu unghiul .

Notnd cu 00 ,jirr

i 0kr

versorii ce definesc sistemul de referin se pot calcula versorii ji rr, i

kr

ce definesc sistemul rotit (orientat):

eieiesineiecos 000vrrrrrrrr

++=i

( ) ( )ejejesinejecos

000

vrrrrrrrr++=j (16)

ekekesinekecos 000vrrrrrrrr

++=k

* n fisierul Ex Str4.mcd se gsete, de asemenea un exemplu de calcul referitor la

folosirea metodei Rodriguez pentru obinerea orientrii.


19/41

6. Modelul geometric direct

Modelul geometric direct realizeaz transformarea de la spaiul robot la spaiul de

lucru, adic se calculeaz vectorul generalizat al poziiei x (v. rel. (15) funcie de vectorul

coordonatelor robot q= (q1q2 qn)T.

Primele 3 componente ale lui x sunt coordonatele carteziene ale punctului

caracteristic:

( ) ( )TT321 zyxrrr === xtr ,

care se obin pe baza rel. (10) aplicat punctului caracteristic ce se afl pe elementul n al

structurii (i = n). Se noteaz 0rr= i nTT= , obinndu-se:

nrTr = (17)

Matricea T(v. rel.(9) ) const n produsul a n matrice Aide transformare ntre dou elemente

succesive:

n21 ... AAAT = (18)

Pentru a defini matricele descrise mai nainte este necesar adoptarea sistemelor localede axe. n ceea ce privete originea aceastora poate fi luat n centrul cuplelei dintre elementul

considerat i cel aflat nainte n lanul cinematic. n acest caz este posibil calculul matriceal cu

ajutorul matricelor T, ca mai sus. n calculul dinamic al structurii se recomand adoptare

originii n centrul de mas al corpurilor. Asupra acestui aspect se va reveni, mai departe.

n privina dispunerii propriu-zise a axelor, este cunoscut recomandarea Denavitt

Hartenberg care este avantajos n cazul automatizrii introducerii configuraiei structurii

(metodici simbolice). Unele ambiguiti ce apar la cofiguraii ce au cuple de translaie, fac s

nu fie general folosit. n general se pot face urmtoarele recomandri la adoptarea sistemelorde axe:

- axele cuplelor sunt alese ca axe OZ;

- la elementele sub form de bar, axa barei se ia ca ax OX.

Matricele TA 1i ii= vor depinde de coordonatele robot care sunt unghiurile de poziie

relativ dintre elemente n cazul cuplelor de rotaie i poziia liniar relativ a elementelor n


20/41

cazul cuplelor de translaie. Fiecare dintre matricele Aidepinde numai de coordonata sa robot

qi.

Ultimele 3 componente ale lui x reprezint orientarea OL dat, de exemplu, prin

vectorul coordonatelor Kardan:

( )

T

321rxkxkxk== xkx

Vectorul xkse obine din matricea S care reprezint primele trei linii i primele trei coloane

sale matricei T(v. paragraful 4).

Modelul geometric direct permite calculul nu numai ntr-un singur punct, ci i

stabilirea spaiului de lucru al structurii. Spaiul de lucru este dat de multitudinea de

puncte pe care le poate ocupa obiectul de lucru cnd se modific coordonatele robot n

limitele constructiv-funcionale ale cuplelor. Practic se dau aceste limite prin vectorii:

( )Tn21 maxq...,maxq,maxq=qmax ;

( )Tn21 minq...,minq,minq=qmin

ntre care variaz vectorul coordonatelor robot.

Prin programul de calcul pe lng determinrile numerice legate de poziie i de

orientare se poate realiza i partea grafic care conine cel puin dou vederi ale spaiului de

lucru i seciunea cu un plan vertical al acestuia.

Mai jos este dat un exemplu de calcul al modelului geometric direct pentru o

structur simpl RRR (fig. 8). Evident, aceast structur incomplet poate ilustra numai

obinerea poziiei carteziene a unui punct i nu i orientarea unui OL. Exemplul este adoptat

pentru simplitatea sa.

Sunt 3 elemente mobile: 1, 2 i 3 i un element fix: 0. Cuplele sunt toate de rotaie.

Numrul de cuple este egal cu cel al elementelor mobile.

Se adopt sistemele de axe legate de fiecare corp {0}, {1}, {2} i {3}. Originile

sistemelor se dispun n centrul cuplelor.


21/41

Fig. 8

Cele 3 matrice de transformare corespund rotaiei n jurul axelor de coodonate (v.

paragraful 4).

Pentru prima cupl dintre elementele 0 i 1:

===1000

H100

00cqsq

00sqcq

1

11

11

Z

0

11 RotTA

n scrierea elementelor matricelor a fost scris concentrat: 11sin sqq i 11cos cqq ,

etc. Primele trei elemente ale ultimei coloane corespund vectorului originii O1 a {1}

proiectat n {0}:

=

1

01

H

0

0

OrgO

Pentru a doua cupl dintre elementele 1 i 2:

===

1000

Hcq0sq

0010

0sq0cq

222

22

Y122 RotTA

c

a


22/41

Primele trei elemente ale ultimei coloane corespund vectorului originii O2a {2} proiectat n

{1}:

=

2

12 0

0

H

OrgO

Pentru a treia cupl dintre elementele 2 i 3:

===

1000

0cq0sq

0010

Lsq0cq

33

133

Y233 RotTA

primele trei elemente ale ultimei coloane corespund vectorului originii O3a {3} proiectat n

{2}:

=

0

01

23

L

OrgO

Matricea T se obine cf. (18):

321 AAAT =

Se efectueaz iniial produsul:

+

=

1000

HHcq0sq

0sqsqcqcqsq

0sqcqsqcqcq

2122

21121

21121

21 AA

Se face, apoi, produsul: ( ) 321 AAAT = , obinnd:

+++

++

=

1000

HHsqLcqcqsqsq0cqcqcqsq

cqsqLcqsqsqsqcqsqcqsqsqsqcqcqsqcqcqLcqsqcqsqcqcqsqsqsqcqcqcqcq

212132323232

2113213211321321

2113213211321321

T

Se noteaz: 323 qqq a += , i 21 HHH += i dup unele grupri, se poate scrie

matricea T astfel:


23/41

+

=

1000

HsqLcq0sq

cqsqLsqsqcqcqsq

cqcqLsqcqsqcqcq

21a3a3

211a311a31

211a311a31

T

Punctul M aparinnd elementului 3 se poate exprima n sistemul local de axe {3}

astfel:

=

1

c

0

a

3Mr

Vectorul 3Mr a fost exprimat completat cu a 4-a component pentru a putea efectua calculele

corespunztor cu matricea T (4x4).

Coordonatele punctului M exprimate n sistemul fix {0} se obin cf. (17):

3M

0MM rTrr ==

Dup efectuarea calculului se obine:

++

++

++

=

1

HsqLcqcsqa

cqsqLsqsqccqsqa

cqcqLsqcqccqcqa

21a3a3

211a31a31

211a31a31

Mr

Deci coordonatele carteziene ale punctului M exprimate n {0} sunt:

211a31a31 cqcqLsqcqccqcqax ++=

211a31a31 cqsqLsqsqccqsqay ++= (19)

HsqLcqcsqaz 21a3a3 ++=

Relaiile (19) reprezint soluia modelului geometric direct al structurii RRR date, cu

punctual M ce aparine elementului 3.

* n fiierul ExStr5.mcd, n prima parte, este efectuat rezolvarea de mai sus prin


24/41

calcul simbolic. Se face, apoi, calculul numeric al modelului geometric direct pentru un punct

i, n final, este obinut spaiul de lucru al acestei structuri pentru un domeniu de variaie al

coordonatelor robot.

6.1. Cinematica analitic a structurii. Modelul direct i invers al

vitezelor

Componentele vectorului x al poziiei generalizate (15) sunt funcii de coordonatele

robot, global, de vectorul coordonatelor robot q, adic:

( )qx f= (20)

Mai departe se consider cazul structurilor cu orientarea complet determinat ce au n =

6, vectorul q avnd 6 componente

Relaia (20) se poate scrie n exprimare dezvoltat:

( )

( )

( )62166

62122

62111

q,...,q,qfx

........

q,...,q,qfx

q,...,q,qfx

=

=

=

(21)

Derivnd (20) n raport cu timpul se obine:

qJx && = (22)

Relaia (22) reprezint modelul direct al vitezelor.

n aceast relaie x& este vectorul generalizat al vitezelor i q& este vectorul vitezelor

robot:

( ) ( )

T

321zyx

T

621

kxkxkxvvvx...xx &&&&&&& ==x , (23)

( )T621 q...qq &&&&=q

Matricea J se numete jacobianul sistemului de funcii i cuprinde derivatele pariale

funcie de coordonatele robot:


25/41


26/41

Rezolvarea problemei inverse a vitezelorse deduce din (22) :

( ) xqJq 1 && = (28)

Inversarea Jacobianului ( ) 1qJ se face prin una din metodele cunoscute n calculul

matriceal.Cinematica pe traiectorieva permite determinarea vectorului generalizat al vitezelor

x& n punctele n care a fost dicretizat traiectoria. Se determin separat partea

( )Tzyx vvv== txv & ce reprezint viteza liniar a punctului caracteristic pe traiectorie i

vitezele kardan: ( )Tkxkxkx 321kx &&&& = . Detalii privind cinematica pe traiectorie sunt date n

paragraful III.6. 2.

Problema invers a acceleraiilornu se poate rezolva comod analitic, deoarece dac

se deriveaz relaia (22) apare ( )qJ&& , greu de obinut, chiar numeric. Se poate face un calculaproximativ prin derivare numeric n raport cu timpul a vitezelor robot, plecnd de la

definiia:

dt

qdq ii

&&& = ; (i = 16).

Aceasta se va putea face, ns, numai dup analiza cinematicii pe traiectorie cnd se

vor putea corela valorile vitezelor robot cu timpul de parcurs.

6.2. Cinematica pe traiectorie

Privind aplicaia pe care o realizeaz structura unui robot industrial pot interveni trei

cazuri: planificarea n spaiul de lucru, planificarea n spaiul acionrii i planificarea prin

nvare (interpolare).

a) Planificarea n spaiul de lucru.Sunt cunoscute poziia i orientarea n punctul iniial Ii n punctul finalF, adic se

cunosc vectorii: ix i fx . Parametrii cinematici n aceste puncte sunt de asemenea cunoscui,

pentru punctul I: ii ; xx &&& i pentru punctul F: ff; xx &&& . Dac punctele I i F sunt porniri i

respectiv opriri ale structurii, atunci parametrii cinematici sunt nuli n aceste puncte. Dac

traiectoria IF face parte din discretizarea unei traiectorii mai largi, atunci parametrii

cinematici i geometrici sunt corelai cu cei ai segmentelor de traiectorie alturate.

Din punct de vedere al tipului de traiectorie propriu-zis descris de vectorul


27/41

coordonatelor carteziene xt , putem avea de-a face cu traiectorii dreapt sau arce de cerc. n

ceea ce privete orientarea, n aplicaiile de manipulare simpl nu sunt impuneri pentru

punctele intermediare, orientarea i cinematica sa putnd avea aceleai legi ca i cele adoptate

pentru ttt ;; xxx &&& . Excepie sunt cazurile sudurii, a montajului i chiar a vopsirii unde legea de

variaie a orientrii este direct impus.Planificarea (interpolarea) propriu-zis const n adoptarea modului de variaie al

vitezei liniare, pentru realizarea segmentului (arcului) IF. Putem adopta legea de variaie

liniar a vitezei sau de tip spline de exemplu spline de ordinul 3 la care acceleraiile variaz

liniar i vitezele parabolic. Se poate, de asemenea realiza o combinaie dintre posibilitile de

mai sus. n toate cazurile se cere realizarea unui timp minim de parcurs fr a se depi

parametrii cinematici limit: vmax i amax. Evident pentru fiecare punct din discretizarea

segmentului IF se rezolv modelul invers trecnd n spaiul de lucru, acela al acionrii, al

coordonatelor, vitezelor i acceleraiilor-robot: qqq &&& ;; . Se verific dac nu sunt depiiparametrii cinematici din spaiul acionrii.

Avantajul planificrii n spaiul de lucru este obinerea traiectoriei i a orientrii

controlate, evitarea obstacolelor, evitarea ieirii din spaiul de lucru.

b) Planificarea n spaiul acionrii

n cadrul aplicaiei, ca i la varianta anterioar sunt cunoscute elementele punctelor I i

F. Se aplic modelul invers trecndu-se n spaiul acionrii pentru punctele I i F. De aceast

dat se influeneaz direct limitele cinematice din acest spaiu, adic: maxq& i maxq&& la ce nu

trebuie depite pe parcurs. Dup ce se realizeaz o planificare dup aceleai principii ca n

cellalt caz, a lui qqq &&& ;; se poate trece, folosind modelul direct la spaiul de lucru pentru

punctele intermediare ale traiectoriei. Traiectoria ce o va realiza structura n acest spaiu nu

intereseaz direct, nici geometric i nici cinematic, ci doar n sensul evitrii obstacolelor, etc.

c ) Planificarea prin nvare

Aici nu se face o planificare propriuzus ci o interpolare n spaiul acionrii (a

coordonatelor robot) ntre punctele de eantionare (dicretizare) memorate n procesul de

nvare pe care este forat s-l descrie robotul.

n cazurile a) i b) trebuie adoptat o lege de interpolare, fie n spaiul de lucru, fie n

cel al acionrii. Mai jos, sunt fcute unele precizri n acest sens.

6.2.1. Interpolare cu variaie liniar a vitezei

Este cel mai simplu mod de aplicare al vitezei pe parcurs. Se exemplific pentru

controlul n spaiul de lucru i se presupune c la capetele intervalului parcurs sIF =


28/41

vitezele sunt nule. Exist o perioad de accelerare act care, pentru a realiza un timp minim de

parcurs per, este egal cu acceleraia maxim admis maxa . Viteza crete pn la valoarea

maxim admis maxv . n cazul general (fig. 9, a), urmeaz o perioad de regim cu durata

regt n care viteza rmne constant i acceleraia este nul. n perioada de frnare de durat ft ,

viteza scade la zero, acceleraia fiind constant i negativ fa . n general acf tt > , pentru a

putea realiza controlul mai precis al poziiei de oprire.

Fig. 9

Acceleraia de frnare se poate introduce prin factorul fk :

acff t/tk =

Variaia acceleraiei se face n trepte aprnd 4 salturi de acceleraie. Acesta este un

dezavantaj deoarece, n aceste puncte au loc variaii ale forelor de inerie

(ocuri) nedorite. Avantajul este programabilitatea simpl.

Exist situaii cnd, din cauza parcursului s mai mic nu se atinge viteza maxim, ci

doar maxmax vv


29/41

calculeaz cu relaiile:

( );tkt;

2

tk1

v

st;

a

vt acff

acf

maxreg

max

maxac =

+

==

Pentru cazul cnd limss


30/41

6.10.3. Cinematic cu modificarea treptat a acceleraiei

Se propune o cinematic la care, comparativ cu varianta din paragraful 6.10.1,

modificrile de acceleraie nu sunt brute, ci se fac n intervale de timp t , pentru zona de

micare accelerat i tkt ff = , pentru zona de frnare

(fig. 11). Se consider, deasemenea: kf/aa maxf= ; Spaiul

minim pentru a realiza cinematica complet cu 0t reg :

( )( )2/tva/2/vk1s maxmax2maxflim ++=

Pentru cazul limss se calculeaz:

( ) ;v/sst;ta/vt maxlimregmaxmaxac =+=

fregacacff tttper;tkt ++==

Fig. 11

Sunt 7 intervale de timp:

1) tt0 ; 2) tttt ac


31/41

Int

a(t)

v(t)

s(t)

1

t

t

amax

t

2

t

a

2

max

t

6

t

a

3

max

2

max

a

+

2t

t

a

1

max

+

+

6t

2t

t

2t

a

2

1

21

max

3

max

1

a

tt

1

+

+

t

23

t

t

t

2t

a

ac

1

21

max

+

+

+

+

2

ac

2

ac

ac

1

21

31

max

t

67

t

t23

2t

t

23

t

t

2t

t

6t

a

4

0

(

)t

t

a

ac

max

(

)

+

1

ac

ac

max

t

2t

t

t

a

5

t

k

t

a

2f

1

max

+

t

t

t

k2

t

a

ac

2f

21

max

(

)

+

+

+

reg

ac

1

ac

2f

31

max

t

2t

t

t

t

t

k6

t

a

6

fmax

ka

f1

ac

max

kt

t

23

t

a

+

+

+

2

f

reg

reg

ac

f

ac

f2

1

ac

1

max

t

k

67t

t

2t

t

2t

t

k

t

k2t

t

23

t

t

a

S

7

t

kt

1

ka

f1

fmax

t

k2

t

t

k1

2t

a

f21

1

f

max

+

+

+

+

+

2

2

6

2

2

2

6

2

2

2

1

231

21

max

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

k

t

t

t

kt

kt

a

reg

ac

ac

reg

ac

ac

f

f

f

+


32/41


33/41

HzA = i 1qcos/xB = ,

i se poate scrie sistemul sub forma:

BqcosLqsincqcosa 21a3a3 =++ (33)

AqsinLqcoscqsina 21a3a3

=+ (34)

Se elimin 2q astfel:

a3a321 qsincqcosaBqcosL =

aa qcqaAqL 3321 cossinsin +=

Se ridic la ptrat i se adun relaiile de mai sus, rezultnd:

( ) ( )

a3a3

a3a3

22222

1

qcosqsinca2

qcosBaAcqsinAaBccaBAL

++++=

Dac noteaz:

2

LcaBAR;BaAcQ;AaBcP

2

1

2222 +++=+== , (35)

forma ecuaiei de mai sus devine:

RqcosQqsinP a3a3 =+ (36)

Ecuaiile de tipul (36) se rezolv prin diferite metode dnd dou soluii: ( ) ( )2a31a3

qsiq .

Coordonata robot 2q se deduce din una din relaiile (33) sau (34) conducnd la cte dou soluii:

( ) ( )2212

qsiq . Se determin valorile lui 3q corespunztoare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222a323121a313

qqqsiqqq ==

Din punct de vedere geometic sunt posibile ambele soluii (fig. 12), alegerea fcndu-se conform

configuraiei dorite a structurii: I (q3 < 0) sau II (q3 > 0) . Dat fiind realizarea practic aspaiului de lucru la RI se adopt varianta I.


34/41

Fig. 12

* n fiierul Ex3 Str.mcd este exemplificat calculul de mai sus.

7.2. Modelul geometric invers n rezolvare numeric

Se apeleaz la metode numerice, dintre care cea mai utilizat este metoda Newton (a

gradientului):

( ) ( )p1pp1p qhqJqq = + (37)

n relaie sunt notate: pq - iteraia de rang p; 1p+q - iteraia urmtoare. )h(qp este vectorul

erorilor calculat n punctul pq :

( ) ( )

==

6p

6

2p

2

1p

1

ppp

xx

xx

xx

Lxqxqh (38)

Punctul x este cel pentru care se fac calculele, iar ( )pp qx este calculat la iteraia p.

Iteraia continu pn cnd p1p qq + scade sub o limit prestabilit. Se poate aprecia

oprirea iteraiei i la limitarea lui h .

O problem delicat n studiile teoretice este adoptarea punctului 0q de pornire a


35/41

iteraiei. Este necesar gsirea unui punct suficient de aproape de cel corect, altfel seria

,...,,...,, 1pp10 +qqqq nu este convergent. Se poate apela i la o metod aleatoare de cutare a

unui punct 0q .

n practic, la structurile aplicate (de exemplu la roboi) nu se pune problema de mai sus,

punctul de pornire este cunoscut, el fiind dat de starea concret n care este structura. Aici

calculele se fac pentru puncte apropiate (succesive) ale traiectoriei urmate, numrul de puncte de

discretizare a acesteia asigurnd convergena.

* n fiierul Ex4 Str.mcd este redat un exemplu de calcul pentru modelul geometric

invers aplicat pentru structura RRR din fig. 8. Calculul Jacobianului este fcut n dou variante:

I) Elementele sale sunt determinate prin derivare analitic (calcul simbolic); II) Elementele sunt

calculate prin derivare numeric. Modificarea punctului de pornire q0poate conduce la una sau

cealalt din soluiile posibile. Evident, un punct de pornire prea deprtat sau care nu poate fi

realizat de structur conduce la neconvergena iteraiei.8. Modelul dinamic

Modelul dinamic direct permite calculul forelelor robot: Q1, Q2,, Qnce acioneaz n

articulaii. Forele robotsunt momente motoare, n cazul cuplelor de rotaie i fore motoare, n

cazul cuplelor de translaie. n fig. 13 este reprezentat o structur RRTRR. Pentru cele patru

cuple de rotaie dintre elementele 1/0; 2/1; 4/3 i 5/4 forele robot sunt cuplurile motoare Q1; Q2;

Q4i Q5, respectiv. n cazul cuplei de translaie dintre elementele 3-2 fora robot reprezint fora

motoare Q3. n unele cazuri se cere i determinarea reaciunilor pasive din articulaii, necesare

calculelor de rezisten.

Fig. 13


36/41

Modelul dinamic invers permite stabilirea ecuaiilor difereniale ale micrii cnd se

cunosc forele robot. Modelul dinamic, att cel direct, ct i cel indirect se pot principial rezolva

prin folosirea ecuaiilor lui Lagrange. Modelul direct poate utiliza metoda cinetostaticii (Newton-

Euler), de tip recursiv. Sunt cunoscute metode recursive i la rezolvarea modelului invers, pentru

problema complet, ct i metode de liniarizare.

8.1. Metoda bazat pe formalismul Lagrange de spea a II-a pentru modelul

dinamic direct i invers

Metoda derivat din ecuaiile lui Lagrange permite direct deducerea forelor robot. Prin

aplicare analitic, dei laborioas, acest metod se poate aplica i pentru rezolvarea problemei

inverse a dinamicii.

Ecuaiile lui Lagrange de spea II sunt:

iiii q

Ep

q

Ec

q

Ec

dt

d

Q

+

= & ; n,...,2,1i= (39)

S-au notat cu Ec i Ep energia cinetic i, respectiv, energia potenial a sistemului:

==

==n

1ij

n

1ii EpEp;EcEc

Energia cinetic a unui element se poate calcula cu relaia de mai jos. Pentru

simplificarea scrierii nu a mai fost notat indicele i al corpului.

++++++= 2zz2

yy2

xx2

z2

y2

xc JJJmvmvmv2/1E

( ) zyyxzxxzyzzy vvmvvmvvm +++ 222

]xzzxzyyzyxxy J2J2J2 (40)

Au fost notate: m- masa corpului; Oxyz - sistemul local de axe legat de corp; Jx , Jy , Jz -

momentele de inerie fa de axele x , y , z; Jxy, Jyz, Jzx momente de inerie centrifugale. Dac

x, y, z sunt axe principale de inerie ale corpului, atunci momentele de inerie centrifugale sunt

nule; vx , vy , vz - componentele vitezei originii sistemului local de axe , fa de sistemul

absolut; x , y , z componentele vectorului vitezei unghiulare a corpului; ,, -

coordonatele centrului de mas n sistemul local de axe; Momentele de inerie centrifugale sunt

nule cnd axele adoptate coincid cu axele principale de inerie ale elementelor.

* n Anexa 1 este dat un exemplu de calcul.

8.2. Metoda cinetostatic (Newton-Euler) pentru modelul dinamic direct

Metodele bazate pe relaiile cinetostaticii introduc n echilibrul fiecrui element torsorul


37/41

forelor de inerie. Metodele sunt relativ simple, n special n varianta calculului recursiv.

Acceleraiile, de care depinde torsorul forelor de inerie, se calculeaz recursiv pornind de la

primul element, iar forele i reaciunile, deasemenea, recursiv, pornind de la ultimul element

spre baz. Metoda cinetostatic este avantajoas i n ceea ce privete viteza de calcul.

Aceast metod transform calculul dinamic al corpului ntr-un calcul de echilibru static

prin introducerea torsorului de reducere a forelor de inerie. Pentru simplificarea calculelor se

recomand adoptarea unor sisteme de axe cu originea n centrul de mas al corpului.

8.2.1. Calculul recursiv al elementelor cinematice ale elementelor

Calculele cinematice vor permite, ca, din aproape n aproape, pornind de la elementul 0

pn la elementul 6, pe baza relaiilor de recuren prezentate mai jos, s fie determinate

acceleraiile centrului de mas Oial corpurilor structurii (fig. 14). Deducerea relaiilor nu este

prezentat aici.

Fig. 14

Pentru a separa cazul legrii corpurilor prin cuple de rotaie sau/i de translaie a fost

introdus pentru corpul oarecare i , la cupla sa dinspre elementul de rang inferior (i-1),

parametrul i definit astfel: )1(;0 ii == pentru cupla de rotaie i ( )0;1 i1 == pentru

cupla de translaie.Versorii axelor cuplelor sunt notai cu ei.

Sunt necesare, n primul rnd, relaiile iterative pentru calculul vitezelor unghiulare i

pentru calculul acceleraiilor unghiulare:

iii1ii eq += r

&rr

(41)


38/41

( ) ii1iiii1ii eqeq ++= rr

&r

&&rr

(42)

Pentru vitezelor i acceleraiile originilor Oiale sistemulor de axe se utilizeaz relaiile:

1i1iii1ii brarvv += rrrrrr

( ) ( )

( ) iiii1ii

1i1i1i1i1iiiii,ai1ii

eqeq2

brbrarraa

++

+++=

r

&&rr

&

rrrrrrrrrrrr

(43)

Relaiile (41)(43) permit calculul recurent al elementelor cinematicii corpurilor.

8.2.2. Calculul dinamic prin metoda Newton-Euler

n fig. 15 este reprezentat corpul i. Sistemul de axe este cel descris mai nainte. Torsorul

forelor de inerie redus n centrul de mas Oi are componentele: fora de inerie iinF

r

i

momentul de inerie iinMr

:

iii aminF rr

= (44)

( )iiiinM = rrrr

iii JJ (45)

Fig. 15

Matricea Jiare expresia:

=

z,izy,izx,i

yz,iy,iyx,i

xz,ixy,ix,i

i

JJJ

JJJ

JJJ

J (46)

n cupla Ai apare torsorul forelor provenite de la elementul i-1: i,aFr

i i,aMr

. n cupla

Ai+1 torsorul forelor provine de la elementul i+1. Acesta este reaciunea torsorului din cupla


39/41

Ai+1ce acioneaz asupra elementului i+1, adic: 1i,ai,b FF +=rr

i 1i,ai,b MM +=rr

.

Asupra corpului mai acioneaz greutatea sa iGr

. De asemenea, este posibil aciunea

unei fore exterioare ieFr

i a unui cuplu exterior ieMr

. Ecuaiile de echilibru ale acestui element

sunt:

0eFGinFFF iii1i,ai,a =+++ +rrrrr

( ) 0MeFreMinMFrFrM 1i,aie,iii1i,ai,bi,ai,ai,a =++ ++rrvrrrrrrr

Metodica de calcul se face pornind de la echilibrul elementului n, urmnd elementul n-1,

pn la elementul 1. Aceasta presupune calculul succesiv al torsorului i,aFr

, i,aMr

. Din relaiile de

mai sus se deduce:

iii1i,ai,a eFGinFFFrrrrr

= + (47)

iie,ii1i,ai,bi,ai,a1i,ai,a eMeFrinMFrFrMM rrrrrrrrrr

++= ++ (48)

Efectul vectorilor de mai sus asupra elementului depinde de tipul cuplei (fig. 16).

Cazul cuplei de rotaie

n acest caz fora robot Qieste de fapt un cuplu (Mti) i se calculeaz proiectnd pe i,aMr

pe axa cuplei, adic:

ii,aii eMMtQ rr

== (49)

Componenta forei i,aFr

pe axa cuplei reprezint sarcin axial a lgruirii respective:

ii,ai eFFax

rr

= (50)


40/41

Fig. 16

Cazul cuplei de translaie

Fora robot este sarcina axial ce trebuie realizat la acionarea cuplei:

ii,aii eFQFm rr

== (51)

Componenta Maxia iaM ,r

pe axa cuplei reprezint o solicitare a sistemului de mpiedicare

a rotirii ghidajului:

ii,ai eMMax rr

= (52)

Componente cu semnificaie comun ambelor tipuri de cuple

Componenta lui i,aMr

perpendicular pe axa cuplei reprezint ncrcare transversal a

lagrului, respectiv ghidajului. Calculul acestei componente se face cu relaia:

( ) ii,aii eMenM rrrr

= (53)

Dac intereseaz numai mrimea, aceasta se poate calcula astfel:

2i

2ii MaxMaMn = (54)


41/41

Componenta lui i,aFr

perpendicular pe axa cuplei reprezint sarcin radial pentru

lgruire (ghidaj):

( ) ii,aii eFenF rrrr

= (55)

Mrimea se poate calcula direct:

2i

2ii MaxMaFn = (56)

Ca exemplificare, n fiierul Structuri 8- Anexa 1.doc este redat calculul dinamic

pentru structura RRR din fig. 8. Se calculeze momentele motoare din cuple i reaciunile din

cuple. Pe lng elementele geometrice se cunosc, n plus, elementele ineriale mii momentele

de inerie ale elementelor fa de axele proprii, date prin matricele Ji.

Vectorul acceleraiei gravitaionale este ( )T81,900g = , dat fiind orientarea axei

OZ0.

Se calculeaz vectorii forelor din cuple Fa i vectorii momentelor Ma cu relaiile (47) i

(48). Deoarece calculul recursiv pornete de la elementul fictiv cu i = 4 i aceste matrice apar cu

4 coloane. Vectorul corespunztor unui element i (i = 13) este cuprins n coloana respectiv,

ce se poate extrage introducnd indice superior: Fa< i >

i Ma< i >

. Matricele sunt calculate cafuncii de vectorul coordonatelor robot q.

Forele robot Qisunt de natur momente de torsiune avnd de a face cu cuple de rotaie.

Sunt calculate cu relaiile (52) i sunt redate printr-un vector ale crui componente corespund

celor trei elemente. Mai sunt calculate: fora axial din cuple cu relaia (50); fora normal

(radial) cu relaia (55); momentul normal (transversal) dat de relaia (53). Fora normal i

momentul normal sunt vectori; din componentele lor li se poate determina direcia. Se pot

calcula i modulele aspect ce nu este cuprins n program.

* Aa cum s-a mai spus programul Matcad este ilustrativ, fiind lent. Pentru lucru n timp

real se vor folosi programe adecvate: C sau Pascal.

robotica de precizie i

Documents