rmcs_nr.43, vers.10

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

1/64

1

Societatea de tiine Matematice din RomniaFiliala Cara-Severin

REVISTA DE

MATEMATIC

A ELEVILOR I PROFESORILOR

DIN JUDEUL

CARA-SEVERINNr. 43, An XIV 2013Acest numral revistei are avizul Comisiei pentru

publicaii a SSMR

Editura NeutrinoReia, 2013

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

2/64

2

2013, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilor i profesorilor din judeulCara-SeverinI.S.S.N. 1584-9481

Redactor efLucian Dragomir

Secretar general de

redacieOvidiu Bdescu

Redactori principaliAntoanela Buzescu Adriana Dragomir Mariana MitricIulia Cecon Heidi Feil Mihai Monea

Comitetul de

RedacieMembri:

Irina Avrmescu Delia Dragomir Pavel RncuCostel Bolbotin Mariana Drghici Nicolae StniloiuVasile Chi Mihael Lazarov Marius andruIoan Dncil Petrior Neagoe Lcrimiora Ziman

Membri onorifici:Tudor Deaconu Adrian Lascu Dan Drago PopaMarius Golopena Lavinia Moatr Vasilica GdeaMircea Iucu Ion Dumitru Pistril

2013, Editura NeutrinoToate drepturile rezervate

Mobil: 0741017700

www.neutrino.roE-mail:[email protected]
mailto:[email protected]:[email protected]

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

3/64

3

CUPRINS

Citate celebre . ................................................................... pag. 4

Chestiuni metodice, note matematice (i nu numai)

Matematica...altfel (partea a XIII-a)Numrul 12(Ioan Dncil)........................................... Matematica universalis (Dan tefan Marinescu), partea a

II-a .................................................................................................. Olimpiada Judeean de Matematic..................................... Concursul Naional A. Haimovici. Faza judeean..............Concursul Interjudeean Traian Lalescu, Arad, 22-24

martie 2013....................................................................................Un drum al succesului, un alt vis devenit realitate.............

pag. 5

pag. 6pag. 12pag. 15

pag. 16pag. 17

Probleme rezolvate din RMCS nr. 39....................................... pag. 19

Probleme propuse ............... pag. 42

Rubrica rezolvitorilor ............................................................... pag. 58

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

4/64

4

Citate celebre

Cnd i doreti cu adevrat ceva, tot universul conspir pentrundeplinirea visului tu.

Paulo Coelho

Nimeni nu pierde pe nimeni, pentru c nimeni nu posed pe nimeni.Asta e adevrata experien a libertii: s ai lucrul cel mai important dinlume, fr a-l poseda.

Paulo Coelho

Gsete curajul de a fi tu nsui, chiar dac nu tii cine eti.

Paulo Coelho

Adevraiiprieteni sunt aceia care se afl alturi de noi atunci cnd nise ntmpl lucruri bune i se bucur de victoriile noastre. Falii prieteniapar n momentele grele, cu mutra plouat de solidaritate cu noi, dar defapt suferina noastr i consoleaza pentru viaa lor mizerabil.

Paulo Coelho

F ceea ce i poruncete inima i Dumnezeu va fi mulumit.Paulo Coelho

Elibereaz-te de toate ideile astea blestemate, de mnia de a gsi oexplicaie pentru orice i de a face numai lucruri cu care sunt de acordceilali.

Paulo Coelho

Cnd ne vedem tot timpul cu aceleai persoane ele ajung s fac pn

la urma parte din viaa noastr. i cum ele fac parte din viaa noastr,ncep s vrea s ne-o schimbe. Dac nu eti asa cum vor, se enerveaz.Fiindc toat lumea are o noiune exact despre cum trebuie s ne trimviaa.

Paulo Coelho

Niciodata nu putem judeca viaa celorlali, pentru c fiecare i cunoatepropria durere i renunare.

Paulo Coelho
http://www.citatecelebre.net/citate-via%C8%9Ba/paulo-coelho-52/http://www.citatecelebre.net/citate-via%C8%9Ba/paulo-coelho-52/http://www.citatecelebre.net/citate-via%C8%9Ba/paulo-coelho-52/http://www.citatecelebre.net/citate-via%C8%9Ba/paulo-coelho-52/http://www.citatecelebre.net/citate-via%C8%9Ba/paulo-coelho-52/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-31/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-31/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-31/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-31/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-31/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-31/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-text/paulo-coelho-23/http://www.citatecelebre.net/citate-text/paulo-coelho-23/http://www.citatecelebre.net/citate-text/paulo-coelho-23/http://www.citatecelebre.net/citate-text/paulo-coelho-23/http://www.citatecelebre.net/citate-text/paulo-coelho-23/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-30/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-31/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-31/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-31/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-recente/paulo-coelho-40/http://www.citatecelebre.net/citate-via%C8%9Ba/paulo-coelho-52/http://www.citatecelebre.net/citate-via%C8%9Ba/paulo-coelho-52/http://www.citatecelebre.net/citate-via%C8%9Ba/paulo-coelho-52/

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

5/64

5

Matematica...altfel (partea a XIII-a)Ioan Dncil, Bucureti

Numrul 12

Ce te face s te gndeti la numrul 12?- Cei 12 apostoli, lunile anului,

Numai att?

Dodecim tabulae, tbliele debronz care conineau primele legi romane scrise, Cavalerii mesei rotunde,duzina, zeii din Olimp, semnele zodiacale, cel mai mare numr prezent pecadranul orologiilor, cele 12 stele de pe drapelul U.E., care vor ssugereze perfeciune i plenitudine...

- Bineneles c nu! Numrul 12 este prin excelen un numrmistic, nBiblieeste pomenit de 184 de ori! 12 fii a lui Iacob, 12 triburi ,12 pori ale Ierusalimului....nc din cele mai vechi timpuri diviziunilespaio-temporare au fost 12. Numeroase mituri integreaz numrul 12:mitul lui Osiris, muncile lui Hercule, Pmntul ar avea formaunui

- Iar 12 este numrul de vertebre dorsale ale omului, care susin12 coaste, la o mnavem 12 falange ale degetelor, ce se opun degetuluimare, tensiunea arterial optimeste 12...

dodecaedru...

- La automobile bateriile sunt "de 12 Voli" , apele teritorialemarine au o lime de 12 mile, 12 pmnteni au clcat pe Lun, jocul deah conine 6 2 12 = piese diferite, un arhipelag grecesc senumete

- i-amai aminte de filmele "Armata celor 12 maimue" i "12oameni furioi ", dar i mai interesante mi se par legturile numrului 12cu matematica. Numrul 12 este un numr dreptunghiular

Dodecanez,...

( 1)n n +(de forma

), este ipentagonal(3 1) / 2n n

(de forma )(1 23 4 5)= + + , este suma a treinumere consecutive i a dounumere prime consecutive

(12 5 7)= + , iar n irul lui Fibonacci al 12-lea numr este 212 12F = .Alte proprieti interesante: 12 (5 1) (5 2)= , este

"complementar" cu 5 i 12 1! 2! 3!= Funia care realizeazistoricul triunghi egiptean are 3 4 5 1+ + =

intervale ntre noduri succesive, cubul are 12 muchii, aa cum am vzut(laNumrul 5) exist doar 12 pentaminosuri diferite i, n fine, suma adounumere prime gemene, mai puin 3 i 5, este ntodeauna divizibil cu

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

6/64

6

12; mpreun cu rsturnatul su, numrul 12 are proprietile:

3 4 5 1+ + = i 21 6 7 8= + + , 212 144= i 221 441= . Ca o ncununare a tuturor acestor proprieti numrul 12 a fostdecretat

- Cum aa?

sublim!

- Att numrul divizorilor si 6, ct i suma lor28 1 2 3 4 6 12= + + + + + sunt numereperfecte; urmtorul numr cu astfel

de proprieti are nu mai puin de 76 cifre!

Matematica universalis

(probleme rezolvate i comentate din reviste strine)Partea a II-aProf. Dr. Dan tefan Marinescu, Hunedoara

Cu toate c noua rubricnu a strnit interesul, noi vom continuaserialul nostru cu nc un episod. Ca i Lpuneanu nu-mi rmne dects v spun c dac voi nu m vrei, eu v vreau. Fiind perioadaolimpiadelor i concursurilor colare, n articolul de fa v voi prezentacteva probleme date la concursurile din alte ri.

Probleme pentru clasele VII-VIII

Fie

: Problema a fost dat la a 28-aOlimpiad Matematic din Italia.

ABCun triunghi cu unghiul drept A i punctele , ,D E F

pe laturile , ,BC CA AB, respectiv, astfel ca AFDEeste ptrat. Notm

cu x latura acestui ptrat. Artai c1 1 1

x AB AC= + .

Soluie. Problema este evident banal. Sper ns s o facem

interesant prin comentariile pe care le vom face. Revenind la soluie, dinasemnare avem

x CD

AB CB= i

x BD

AC BC= de unde prin adunare

suntem condui la 1x x

AC CA+ = , adic

1 1 1

x AB AC= + iproblema este

rezolvat.Comentarii. n cele ce urmeaz vom face cteva precizri legate de

aceast problem.

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

7/64

7

n mod evident problema poate fi generalizat astfel: Dac ABCeste

un triunghi cu ( ) 90m A = , iar punctele [ ]E AB , [ ]D BC ,[ ],M F AC sunt astfel ca EDFM este dreptunghi, atunci

1a

EN ED

h AC+ = , unde ah este lungimea nlimii din A a triunghiuluiABC.

n mod cert soluia este ca i cea de mai sus.Legat de aceast configuraie n literatura romneasc de specialitate

se afl urmtoarea problem:Determinai dreptunghiurile nscrise ntr-un triunghi dat avnd dou

dintre vrfuri pe o latur i care au aria maxim.

Soluie: Admitem c triunghiul este ascuitunghic, n caz contrar,raionamentele se simplific. Fie ABCtriunghiul, MNPQ dreptunghiul

cu [ ] [ ] [ ], , ,M AB N P BC Q CA . Atunci din asemnare avem

1a

MQ MN

BC h+ = , unde ah este lungimea nlimii din A . Cu inegalitatea

mediilor avem c 2 1a a

MQ MN MQ MN

BC h BC h

+ =

, adic

[ ] [ ]1

2aria MNPQ aria ABC . Vom arta c egalitatea poate fi atins i

atunci [ ]1

2aria ABC va reprezenta aria maxim. Pentru aceasta este

suficient s tim c n inegalitatea mediilor, egalitatea are loc dac i

numai dac numerele sunt egale, adica

MQ MN

h BC

= , i cum suma lor este

1, deducem c1

2MQ BC= , adic MQ este linie mijlocie n triunghiul

ABC. Cu aceastaproblema este rezolvat.Tot legat de aceast configuraie avem urmtoarea problem, tot

din folclorul matematic .

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

8/64

8

Fie ABCun triunghi cu ( ) ( ), 90m B m C < iMNPQ undreptunghi cu [ ] [ ] [ ], , ,M AB N P BC Q CA . S se arate ccentrul acestui dreptunghi se afl pe segmentul determinat de mijlocul

nlimii din A i mijlocul laturii [ ]BC .

Soluie. Fie D piciorul perpendicularei din A pe [ ]BC , E

mijlocul lui [ ]AD , F mijlocul lui [ ]BC , S mijlocul lui [ ]MQ , T

mijlocul lui [ ]NP . Atunci din motive de paralelism [ ]S AF i cum||ST AD acelai raionament dovedete c FE trece prin mijlocul

segmentului [ ]ST , adic prin centrul dreptunghiului. n concluzie centrulptratului se afl pe segmentul determinat de mijlocul nlimii din A pe

mijlocul laturii [ ]BC . De remarcat c i orice punct din interiorul acestuisegment este centrul unui dreptunghi cu proprietile din enun.

Nu cum mult timp n urm, o astfel de problem purta numelede problem de loc geometric. Din pcate n ultima vreme acest gen de

probleme a disprut, locul lor fiind luat de pseudoprobleme de geometrie.Sugerm cititorului s ncerce trecerea acestui gen de probleme nspaiu. Chiar nu-i nevoie de nicio rachet.

Problem pentru clasele IX-X

Dreptunghiul

: Problema a fost dat n 1997 la unconcurs studenesc din Statele Unite ale Americii.

HOMF are latura 11HO= i 5OM= .Triunghiul ABC are H ca ortocentru, pe O ca centru al cercului

circumscris, M mijlocul laturii [ ]BC i Fpiciorul nlimii din A .

Care este lungimea lui [ ]BC ?Soluie. Dei pare calculatorie, problema presupune cunoaterea

unor proprieti geometrice remarcabile. Ne referim aici la aa numitadreapt a lui Euler, anume: n orice triunghi ABCcentrul de greutate G

se afl pe segmentul [ ]OH i 2OG GH = . Acest rezultat poate fi gsitn orice carte serioas de geometrie plan. Revenind la problem gsimdin asemnarea triunghiurilor AHO i MOG c 2 10AH OM= =

i atunci cu teorema lui Pitagora n AHO deducem c

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

9/64

9

2 2 2 2 221OC OA AH AO= = + = i cum 2 2 221 25BC MC= = sededuce c 28BC= .

Comentarii. Problema este imediat i nu are o rezolvare grea,ns aceasta se bazeaz pe un rezultat care ncepe s fie cunoscut de ct

mai puini elevi. n continuare vom prezenta trei demonstraii ale acesteiteoreme a lui Euler, din nefericire nici una dintre ele nu-mi aparin.

Demonstraia I (sintetic) Admitem ABC un triunghiascuitunghic, raionamentul pstrndu-se i n celelalte cazuri. Fie M

mijlocul lui [ ]BC , atunci triunghiurile AGH i MOG sunt asemenea

deoarece HAG OMG i 2HA GA

OM GM = = . Faptul c 2

GA

GM= este

binecunoscuta proprietate a centrului de greutate. Cum 2 cosHA R A= ,iar cosOM R A= (puin trigonometrie nu stric nimnui) deducem c

i 2HA

OM= . Asemnarea celor dou triunghiuri conduce la , ,O G H

coliniare i 2GH OG= .Demonstraia II (vectorial)Cu aceleai notaii ca n demonstraia

anterioar, se tie c pentru orice M din planul ABC au loc relaiile

3OG OA OB OC = + +

, OH OA OB OC = + +

(Relaia lui Sylvester),de unde 3OH OG=

ceea ce conduce imediat la concluzie. De remarcat

c cele dou relaii de mai sus provin din dou relaii mai generale i

anume 3MG MA MB MC= + +

i MH MA M OB MC= + +

valabilepentru orice M din planul ABC .Demonstraia III (cu numere complexe) Dac pentru un punct M dinplanul complex notm cu m afixul su i considerm originea planului

complex n O , atunci avem egalitile 3g a b c= + + i h a b c= + + ,de unde concluzia este imediat.Sugerm cititorilor s consulte internetul pentru a obine

informaii mai multe despre acest rezultat.

Problem pentru clasele XI-XII:

Fie

Problema a fost dat n anul2012 la un concurs studenesc din Statele Unite ale Americii.

( )n na irul definit astfel 0 1a = i 1na

n na a e

+ = + pentru

orice n . Are irul ( ) 1lnn na n limit ?

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

10/64

10

Soluie: S ncepem cu observaia c irul ( )n na este strict cresctor.

Dac ( )n na este mrginit atunci el este convergent i prin trecere la

limit n recuren se obine o contradicie. Aadar limn

n

a

=

( )1lim 0n nn

a a+

= .

Vom demonstra c acest ir este comparabil cu irul ( )1

lnn

n

. n

acest sens vom arta c lim 1ln

n

n

a

n= i ( )lim ln 0n

na n

= .

Pentru prima limitaplicm lema Cesaro-Stolz i atunci avem de calculat

1

lim lim lim1ln( 1) ln 1ln ln 1n

an

n n

nn n n

a

a a e n

nn ne

n n

+

= = =++ +

lim nann

e .

Aplicnd iari lema prezentat mai sus, limita revine la

( )1 111

1

1 1lim lim lim 1

11

n

n n n nn n n

a

n n

a a a aa a an n nn n

a an n e

e e e a ae e+ ++

+

+

+ = = =

i n

concluzie lim 1lnn

n

a

n = . A doua limit, de fapt cerina problemei noastre

revine la o limit de mai sus. ( ) ( )lim ln lim ln lnnann n

a n e n

= =

lim ln ln1 0na

n

e

n= = = .

O alt cale de a proba existena limitei este s studiem monotonia

irului ( )1

lnn n

a n

. Pentru nceput artm c ln( 1),na n n> + .

Aa cum este de ateptat vom apela la inducie.. Pentru 0n= afirmaiaeste adevrat. Admitem c ln( 1),na n n> + , n arbitrar i artm

c 1 ln( 2)na n+ > + . Cum ( ): 0, , ( ) xf f x x e

= + este strict

cresctoare deducem imediat c 1 ( ) (ln( 1))n na f a f n+ = > + =

1ln( 1) ln( 2)

1n n

n= + + > +

+ (din binecunoscuta dubl inegalitate

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

11/64

11

1 1ln( 2) ln( 1)

1 1k k

k k< + + + .

Urmeaz c 11

ln( 1) ln1

na

n na a e n n

n

+ = < < +

+ pentru orice

*n (vezi inegalitatea de mai sus) adic irul ( )

1lnn na n este

descresctor i n consecin are limit.Comentarii. O problem de acest tip a fost tratat de briliantul

matematician romn D. Ttaru (exist briliante i n matematic, nunumai n fotbal) ntr-un articol din 1990 publicat n G.M.A nr. 1/1990

pag. 38-47. La un concurs din 2010 Radu Gologan, patronul spiritual alconcursurilor i olimpiadelor de la noi, a propus o problem de acest gen.

Ne ntrebm dac exist un ir ( ) , 0,n nnb b n astfel nc

lim 1ln

nn

n

ab

n

s existe si s fie nenul. Cu alte cuvinte s aflm

ordinul I de recuren al irului1

n

n n

a

b

. Rspunsul este afirmativ cu

nb n=

,

*

n

. ntr-adevr, lim 1lnn

n

an

n

=

( )lim lnln nnn

a nn =

lim lnln

na

n

n e

n n

=

ln

limlnn

na n

n

e

n

=

lim lim

ln ln

n na a

n n

e n n e n

n n n

= .

Pentru ultima parte apelm la remarcabila Stolz-Cesaro i avem

( )1

1 11 1

lim lim 1 lim 11

ln

n n

n n n n n

n

a aa a a a a

an n n

e en e e ne e

n e

n

+

+ +

= = = +

2

1 1

1 212

1 11 1

1lim lim

2

a an n

n nn

a nn

nn

e ea a

a

an nea

a

e ene ene

ee e

= = =

.

Ar merita fcut o investigaie asupra recurenelor de tipul : dac

( ) ( ): 0, 1,f este o funcie cu anumite proprieti,s se studieze

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

12/64

12

convergena irului ( )n na definit astfel ( )0 0,a a= ,

1 ( ),n n na a f a n+ = . Dac acceptai provocarea, adresa mea de [email protected]

Olimpiada Judeean de Matematic

Matematica pare asemeni unui cub Rubik, colorat, ns greu dedescifrat.

tii c de fapt, aa cum susine Wikipedia, aranjarea pieseloracestui cub se poate face n exact 43.252.003.274.489.856.000posibiliti i c dac s-ar pune cap la cap cuburi Rubik de 57 mmfiecare ntr-o permutare diferit, epuiznd toate posibiliile, irul aravea 261ani luminlungime? i c n pofida numrului mare de poziii

posibile, toate cuburile se pot rezolva n cel mult douzeci i cinci demutri?

Dar s revenim la premianii notri pentru care, suntem convini,

acest cub s-ar prea c nu mai are niciun secret.Felicitri lor, felicitri prinilor, felicitri dasclilor care i-aupregtit.

Pentru a-i felicita i voi atunci cnd avei ocazia, vi-i prezentmn rndurile care urmeaz:

ClsNume iprenume

coalaProf.

ndrumtorPre-

miul

VCIOBANU

ELENAcoala Gimnazial

Nr. 2 ReiaandruMarius I

V PDUREANDANIEL

Colegiul Naional"Traian Lalescu" Reia

BejanOtilia II

V MEILDENIS

Liceul BneanOelu-Rou

DragomirAdriana III

V ANGHELONIDENISA


DragomirAdriana M

V

IANCHI

BOGDAN

Liceul Pedagogic

"C. D. Loga" Caransebe

Mandrei

Ana M
mailto:[email protected]://ro.wikipedia.org/wiki/An_lumin%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/An_lumin%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/An_lumin%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/An_lumin%C4%83mailto:[email protected]

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

13/64

13

VI BLNOIUANA MARIA


BejanOtilia I

VI POTOCEANTEODORA

coala GimnazialNr. 2 Reia

andruMarius II

VI SMEUANDRA Colegiul Naional"Traian Lalescu" Reia BejanOtilia III

VI BIAUDAN

Liceul "MathiasHammer" Anina

PruteanuSilvia M

VI BUTOIALINA

coala Gimnazial nr.3Oelu-Rou

SuciuDaniela M

VIIMORARIUDORIAN


FeilHeidi I

VII LUNGOCEAM. AMALIA Liceul Pedagogic"C. D. Loga" Caransebe MoatrLavinia II

VII MILENCOVICIR. MERIMA


DrghiciMariana III

VII GHERASIM B.DANIEL


BelciIon M

VII NIU M.NASTASIA

Liceul TehnologicDecebal Caransebe

CoriciCarina M

VIIIIONESCU T.ROBERTO

Liceul Teoretic "TraianDoda" Caransebe

DragomirAdrian I

VIIIFIRANDADENYSA


FeilHeidi

II

VIIIHRENYAK

ALEXIALiceul Bnean

Oelu-RouFeil

Heidi III

VIIIARDELEAN A.

ANDRALiceul Pedagogic

"C. D. Loga" CaransebeMoatrLavinia M

VIII JANTU PETREMARIN Liceul BneanOelu-Rou FeilHeidi M

IX CIOBANU C.ANCA


BdescuOvidiu I

IX VASILOVICIR. CAMIL


BdescuOvidiu II

IX RUS G.DANIEL


BdescuOvidiu III

IX LUNGOCIA I.MARIA Liceul Teoretic "TraianDoda" Caransebe DragomirDelia M

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

14/64

14

IX SZATMARI A.LARISA


DragomirDelia M

X STEFANESCUANDREI


DragomirLucian I

X DINULIC C.AUGUSTIN Liceul Pedagogic"C. D. Loga" Caransebe BuzescuAntoanela II

X DINULIC C.SEPTIMIU

Liceul Pedagogic"C. D. Loga" Caransebe

BuzescuAntoanela III

X CIULU G.MIRUNA


BdescuOvidiu M

X PETCULESCUI. FLORIN


DragomirDelia M

XI ADAM ALINA Liceul BneanOelu-Rou DragomirLucian I

XI BAILA DIANA Liceul BneanOelu-Rou

DragomirLucian III

XI LAZR I.SILVIU


GhimboaPavel III

XI UNEA P.MARIUS

Liceul Teoretic "TraianVuia" Reia

BuzilMircea M

XIBAN I.IOANA

Liceul Teoretic "TraianDoda" Caransebe Moatr L. M

XII CACIULESCUM. SILVIULiceul Teoretic "Traian

Doda" CaransebeDragomir

Adrian I

XII POPA A.ANDREEA


DragomirAdrian II

XII PASCALAU T.CRISTIAN


DragomirAdrian III

XIICURESCU

ELENACRISTINA

Liceul Teoretic "EftimieMurgu" Bozovici PascariuGeorge M

XII BUMBE JOYP. ADONIA

Liceul Teoretic"Diaconovici-Tietz"

Reia

VlduceanuCristina M

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

15/64

15

Concursul Naional A. Haimovici

Faza judeean

ClsNume iprenume

coalaProf.

ndrumtorPre-

miul

IX NEAGOE D.LOREDANA

Liceul Teoretic "TraianDoda" Caransebes

MoatarLavinia I

IX DODOIU A.

OANA

Liceul Teoretic "Traian

Doda" Caransebes

Moatar

LaviniaII

IX MURGU C.TEODORA

Liceul Teoretic "GeneralDragalina" - Oravia

LazarovMihael III

IX CORCAN J.DRAGO


BdescuOvidiu M

X RAUTU I.MARIA


DragomirDelia I

X SRB D.

ROBERT

Colegiul Naional

"Traian Lalescu" Reia

Clin

Ciprian

II

XPETRU

SILVIU IOVAILIE

Liceul Tehnologic"Clisura Dunrii"

DracCornelia III

X GOAN M.LAURA

Liceul "MathiasHammer" Anina

NeagoePetrior M

XINEGRU L.

VLADColegiul Naional

"Traian Lalescu" ReiaClin

Ciprian I

XI BIRO M.DARIUS Liceul Teoretic "TraianDoda" Caransebes DragomirAdrian II

XI PERDEICIONELA

Liceul Tehnologic"Clisura Dunrii"

DracCornelia III

XI NEGRU L.VLAD


ClinCiprian M

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

16/64

16

Concursul Interjudeean Traian Lalescu,Arad, 22-24 martie 2013

Fascinaia unui concurs de matematic, emoiile, bucuriasuccesului sau lacrimile eecului, nu le pot nelege dect cei care autrecut prin aa ceva.

Poi fi cel mai bun la matematic n judeul tu, poi fi Locul I laOlimpiada judeean ns aici, la acest concurs, s descoperi c

problemele sunt IMPOSIBILE.Nu poi deveni ns PUTERNIC dect luptndu-te cu cei

puternici, nu poi progresa dect dorind ca azi s fii mai bun dect ai fostieri.

Felicitm pe toi participanii, toi cei prezeni aici suntctigtori, ns cei care au reuit s se claseze pe locuri premiante meritcu att mai mult respectul nostru.

Cu dorina unor rezultate cel puin la fel de bune anul viitor, cusperana c problemele de matematic pe care aceti minunai copii lerezolv le vor forma o gndire logic, capabil s abstractizeze i s facfa unor situaii noi, v prezentm pe CEI MAI BUNI DINTRE CEIBUNI:

Cls Nume iprenume

coala Prof.ndrumtor

Pre-miul

V PDUREAN C.DANIEL


BejanOtilia M

V CIOBANU C.ELENA

coala Gimnazial Nr. 2Reia

andruMarius M

VI POTOCEAN R.TEODORA


andruMarius I

VII MILENCOVICIR. MERIMA


DrghiciMariana M

IX CIOBANU C.ANCA


BdescuOvidiu I

IX SZATMARI A.LARISA


DragomirDelia II

IX STEFANESCUANDREI

Liceul BaneanOelu Rou

DragomirLucian III

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

17/64

17

Un drum al succesului,

un alt vis devenit realitateElena Ciobanu,

Teodora Potocean,

Ana-Maria Blnoiu

Cu toii am auzit, fie i numai n treact afirmaia: Copiii dinziua de azi nu sunt ca altdat, pe vremea noastr se nva mai mult, inu pot dect s i contrazic.

ntr-adevr, pe vremea noastr se nva, ns DOAR se nva,dezvoltarea multora dintre noi fiind i o recunosc acum cu regret unilateral. Nu sunt de vin dasclii de atunci, tot respectul pentru acei

oameni, ci sistemul de nvmnt ne transforma n adevrate biblioteciambulante.Acum societatea cere altceva, cere indivizi capabili s creeze, s

improvizeze, s fac fa situaiilor noi, nu s aplice reete de rezolvare.Olimpicii zilei de azi au cu siguran o inteligen care, raportat lavrst, depete inteligena multora dintre noi. Ei sunt viitorul, ei vor filiderii acestei societi, i merit din plin tot respectul nostru.

n acest articol, vom cita gndurile celor trei participani laOlimpiada Naional de Matematic de la Sighioara, Elena Ciobanu,clasa a V-a, Teodora Potocean i Blnoiu Ana-Maria, din clasa a VI-a.

Merit felicitrile noastre i profesorul nsoitor al lotului, domnulMarius andru ale crui eleve, Elena Ciobanu i Teodora Potocean aucucerit Medalia de Bronz la ediia din acest an.

Dars dm cuvntul elevilor, ei sunt laureaii notri din acestan:

Pot s v spun, bucuroas, c aceast tabr a fost o experien

inedit pentru mine. Care tabr?Cea de la Sighioara, desigur! Nu a fost doar etapa final de la

Olimpiada Naional de Matematic.Am vizitat Cetatea medieval, am cunoscut copiidin alte judee

concureni adevrai ... Elevii de la Colegiul Naional Mircea Eliade auavut bunvoina de a pregti un program artistic pentru noi ... am

participat la sptmna S tii mai multe, s fii mai bun!. Am adus ipremii ...

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

18/64

18

M-a bucuratfaptul c am venit cu medalie acas, chiar dac soramea, Anca Ciobanu, a avut pentru a doua oar ghinionul de a fi prima

fr medalie.n concluzie, att la matematic, ct i la alte discipline, pentru

judeul nostru a fost un drum al succesului. Ciobanu Elena

Un alt an, o nouediie a Olimpiadei Naionale de Matematic,de data aceasta la Sighioara. i cum putea fi aceast experien,ateptat i mult dorit de un an ntreg dac nu cea mai frumoas?

Am avut parte de 4 zile de vis ntr-un loc de nedescris, cu copii

plini de via cu aceeai pasiune ca i mine, profesori implicai si o

atmosfer extrem de plcut. Mulumirea mea a venit cnd, cu multconcentrare, am reuit sa biruiesc problemele, dificile dar n acelai timp

frumoase, ce ne-au fost propuse. Cel mai ateptat moment a fostfestivitatea de premiere care, cu medalia de bronz obinut, mi-ancununat succesul mult dorit.

Astfel, nu regret c am ales s particip la etapa naional aolimpiadei de matematic i nu a celei de fizic sau limba, comunicarea

i literatur roman i a face oricnd aceeai alegere pentru c

matematica nu este pentru mine doar o plcere, cieste o pasiune, un modde via, calea spre reuit, spre performan.Matematica este arta de a mblnzi infinitul.

Teodora Potocean

Faza naional a olimpiadei de matematic Sighioara 2013 afost pentru mine un lucru pe ct de neateptat pe att de plcut!

Neateptat pentru c eu niciodat nu am privit matematica ca fiindpunctul meu forte, totui am muncit mult, am fost ndrumat i sprijinitde oameni cu suflete mari i am dat tot ce-i mai bun pentru a ajungeacolo! Am ctigat experien i am cunoscut persoane minunate, alturide care am creat amintiri de neuitat.

Ana-Maria Blnoiu

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

19/64

19

Probleme rezolvate din RMCS nr. 39

Clasa a V-aV. 241 Se consider mulimea { }1;8;15;22;29;...;134M= . Artai corice submulime cu 12 elemente a mulimii M conine dou elemente acror sum este egal cu 142.

OJ Bihor

Soluie:Elementele mulimii sunt de forma 7 6n .

Din 7 6 134 20n n = = (numrul elementelor mulimii M).Scriem mulimea M ca reuniunea a 11 submulimi disjuncte

dou cte dou, dup cum urmeaz:

{ } { } { } { } { } { }1 8,134 15,127 22,120 ... 64,78 71M= .Observm c submulimile cu dou elemente au suma elementelor 142(aa le-am i construit de fapt!). Dac submulimea aleas (cea cu 12elemente) conine una dintre submulimile cu dou elemente de mai sus,

problema este rezolvat. Dac submulimea aleas ar conine cte unsingur element din fiecare dintre cele 11 submulimi, al doilea element artrebui ales tot din una dintre submulimile de cte dou elemente iobinem concluzia i n acest caz.

V. 242 Artai c suma tuturor ptratelor perfecte de 3 cifre nu esteptrat perfect.

Adrian Neme, TimioaraSoluie:

Suma din enun este 2 2 2 211 12 13 .... 31S= + + + + . Ptratele numerelorpare sunt evident multipli de 4; rmne de studiat

2 2 2 2

' 11 13 15 .... 31S = + + + + (suma a 11 numere impare, ptrate perfecte).Cum ptratul unui numr impar este de forma 4 1k+ , deducem c 'S este de forma 4 3p + , deci Seste de forma 4 3q + , adic nu poate fi

ptrat perfect.

V. 243La mprirea a dou numere naturale a i b , ctul este jumtatedin mpritor, iar restul este un sfert din ct. tiind c suma dintrempritor, ct i rest este 104, aflai numerele a i b .

OJ Cara- Severin

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

20/64

20

Soluie:Dac a b> , avem c b este mpritorul, deci a c b r = + .Conform ipotezei, avem 4 , 2 8c r b c r = = = . Din104 13 8, 32, 64 2056b c r r r c b a= + + = = = = =

V. 244 O mulime finit de numere naturale X se numete interesantdac se poate mpri n dou submulimi Y i \X Y astfel nct sumaelementelor din Y s fie egal cu suma elementelor din \X Y . Seconsider mulimea { }1,2,3,...,2010A = . Artai c :

a) Mulimea { }2,3,4,5,6B= este interesantb)Mulimea A nu este interesantc)Mulimea { }\ 1A este interesant

Aurel Brsan, BraovSoluie:a) { }2,3,5Y= i { }\ 4,6B Y= satisfac condiiile din enun 2 3 5 4 6+ + = +

b)Dac X este interesant, atunci suma elementelor sale este un numr

par (!). Cum suma elementelor mulimii A este2010 2011

1005 20112

= ,

adic un numr impar, deducem c A nu este interesant.

c)Punctul a)sugereaz poziionarea mulimii

{ }\ 1A n dou mulimi

interesante, astfel { } { }\ 1 7,8,..., 2010A B= .

Fie acum { } { } { }2,3,5 , 4,6 , 7,2010,8,2009,...,507,1510C D E= = = i

{ }508,1509,509,1508,...,1008,1009F= . Mulimile C E i D F o

partiioneaz pe { }\ 1A i au acelai numr de elemente.

V. 245Un cltor a parcurs un drum n trei zile. n prima zi, a parcurs o

doime din drum, a doua zi a parcurs o ptrime din rest, iar a treia zi aparcurs restul de 9 km. Aflai lungimea ntregului drum i ci kilometri aparcurs n fiecare zi.

OL Cluj

Soluie: Fie x - numrul de km parcuri (lungimea ntregului drum)

rezult1

9 242 4 2

x xx x km+ + = = . n prima zi a parcurs 12 km, n a

doua zi 3 km.

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

21/64

21

V. 246 Determinai numerele naturale care ridicate la o putere par sunt de

forma 2 1ab .Clin Burduel, Trgovite

Soluie: Fie N numrul cutat. Conform enunului

( )

22000 2991kN .

Avem 2 2 2 244 1936;45 2045;54 2916;55 3025= = = = . Deoarece ultima

cifr a lui 2kN este 1, rezult c ultima cifr a lui kN este 1 sau 9.Singurele numere naturale care verific ( )* sunt 49 i 51.

V. 247 Un grup de prieteni vor s lanseze un joc pe internet dupurmtoarea regul. Primul prieten, adic John trimite n prima zi un

e-mail lui Lucian. Lucian trimite acest e-mail a d o u azi la ali d oiprieteni, fiecare la rndul lor l trimit a treia zi altor doi prieteni i astfeljocul continu.

a)

Aflai n cte zile au fost trimise 2047 e-mail-uri.b)

Ci copii au participat n 11 zile?OL Giurgiu

a) 2 1 1 1 111 2 2 ... 2 2047;2 1 2047;2 2048;2 2 ;n n n n+ + ++ + + + = = = = aadar avem 10n= , deci n 11 zile au fost trimise mesajele;

b) ( )2 101 1 2 2 ... 2 2048+ + + + + = .

V. 248 Pitagora a fost ntrebat de cineva ci discipoli are. Jumtatedintre discipoli nva numai matematic, un sfert din ei numai tiinelenaturii, o eptime retoric, iar 3 filozofie a rspuns. Ci discipoli a avutPitagora?

OJ Harghita

Soluie: 3 28.2 4 7

x x xx x+ + + = =

V. 249Trei prini au luptat cu balaurul cu multe capete. Primul prin, atiat cu mna dreapt jumtate din capetele balaurului i cu mna stngnc dou. Al doilea prin cu mna dreapt a tiat jumtate din capetelermase ale balaurului i cu mna stng nc dou. Al treilea a tiat cumna dreapt jumtate din capetele rmase i cu mna stng ultimeledou capete ale balaurului. Cte capete a avut balaurul?

OJ Harghita

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

22/64

22

Soluie:Metoda mersului invers. Al treilea prin taie cu mna dreapt deci2 capete, 2 2 4+ = capete au rmas dup al doilea prin.4 2 6, 6 2 12+ = = capete au rmas dup primul prin.12 2 14, 14 2 28+ = = capete a avut balaurul.

V. 250 La etapa judeean a Olimpiadei de Matematic, elevii suntrepartizai la parterul, etajul unu i etajul doi ale colii organizatoare. Subetajul doi sunt repartizai 173 elevi. Deasupra parterului sunt repartizai127 de elevi. tiind c numrul elevilor repartizai la etajul unu este egalcu numrul elevilor repartizai n total la celelalte nivele, determinainumrul de elevi repartizai la fiecare nivel al colii.

OJ Hunedoara

Soluie: Fie, ,a b c

numrul de elei repartizai la parter, etajul unu irespectiv etajul doi. Avem 127, 173,b c a b a c b+ = + = + = . Se obine3 300b= de unde 100, 73, 27b a c= = = .

Clasa a VI-a

VI. 241ntr-un bazin sunt 72 de peti. Dintre aceti peti unii sunt mici,iar alii sunt mari. Fiecare pete mare mnnc exact doi peti mici,

astfel nct c n bazin rmn doar peti mari. Dup ce n bazin rmndoarpeti mari, se introduc n bazin civa peti uriai. tiind c fiecarepete uria mnnc exact 3 peti mari i c n bazin rmn doar petiiuriai, s se afle cti peti uriai au fost introdui n bazin.

OJ Bihor

Soluie: Fiecare pete mnnc exact doi peti mici i numai rmn petimici rezult c numrul petilor mari este egal cu jumtate din numrul

petilor mici 72

24

3

avem = peti mari; apoi avem24

8

3

= (peti uriai).

VI. 242Se consider mulimea { }1,2,3,...,10M= .a) S se arate c mulimea M nu se poate mpri n dou submulimi A i \M A astfel nct produsul elementelor din A s fie egal cu produsulelementelor din \M A .

b) S se determine un element x din mulimea M astfel nct mulimea

{ }\M x s se poat mpri n modul descris la punctul a)Aurel Brsan, Braov

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

23/64

23

Soluie:Notm cu ( )P X produsul elementelor mulimii X .

a)Presupunem contrariul; cum ( ) ( )\P A P M A= , deducem: ( ) ( )P M P A=

( ) ( )( )2

\P M A P A= , deci produsul elementelor lui M este ptrat

perfect. Avem ns ( ) 8 410! 2 3 5 7P M = = , care nu este ptrat perfect,deci Mnu poate fi mprit ncondiiile din ipotez.

b) Evident 7x= . Un exemplu de partiie a mulimii { }\ 7M este:

{ }1,2,3,4,5,6 i { }8,9,10 .

VI. 243Fie ABC dreptunghic n B i [AMbisectoarea unghiului

BAC , ( )M BC .a)Dac ,MP AC P AC , artai c [ ] [ ]TB TP pentru orice T AC .

b)Dac { }MP AB Q = , artai c AM QC .Adrian Neme, Timioara

Soluie: a) ,ABM APM AM este mediatoarea lui ( )BP de undeconcluzia. b)Concluzia se obine observnd c Meste ortocentrultriunghiului ACQ

VI. 244Triunghiul OAB are [ ] [ ]OA OB , iar n exteriorul triunghiului se

consider OAE OBD , unde (E BO i (D AO . S se arate c:

a) [ ] [ ]AE BD ; b) AED BDE .Vasile erdean, Gherla

Soluie:

a)

( ) [ ] [ ]. .U L U AOE BOD AE BD

( ). .L U L AED BDE .

VI. 245 Fie ABC n care ( ) 60om C = . Pe prelungirea laturii ACdincolo de C se ia punctul D iar pe prelungirea laturii BCdincolo deC se ia punctul E, astfel nct BD DE . Dac AD CE , demonstraic ABC este echilateral.

Ctlin Burduel, Trgovite

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

24/64

24

Soluie: Considerm punctul Fntre C i Eastfel nct

( ); . .FE BC BDC DFE L U L DF DC = = , deci CDF este isoscel

cu un unghi de 060 , deci CDF este echilateral.,AD CE= deci AC CD CF FE+ = + , deci AC FE+ , deci AC BC+ ,

adic ABC ste isoscel cu un unghi de 060 , deci este echilateral

VI. 246Se consider ABC cu msura unghiului BAC de 080 i ncare 3AB AC= . Demonstrai c msura unghiului ACB este mai mare

de 75o .OL Giurgiu

Soluie: Fie( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0

, : ; isoscel

50 130

50 1

D E AB AD DE EB ACD

m C m D m CDB

m DBC m DCB

= =

= = =

+ =

i cum ,BD AD AC DC BD DC= + > > n

( ) ( ) ( )

( )

(1)0

0 0 0

25

25 50 75

BDC m DCB m DBC m DCB

m ACB

> >

> + =

VI. 247Vom spune c trei numere nenule se numesc prietenoase dacoricare dintre ele divid suma celorlalte dou (de exemplu, numerele 2,4,6sunt prietenoase).

a)

Determinai toate tripletele de numere prietenoase consecutive.b)

Determinai toate tripletele de numere prietenoase.Concurs Hunedoara

Soluie: a) Fie , 1, 2n n n+ + numere naturale consecutive. Atunci n divide 2 3n + , de unde n divide pe 3. Atunci { }3 1,3n D = . Se observc doar 1n= verific, adic numerele cutate sunt 1,2,3

b) Se observ c tripletele de numere egale verific condiia dat. Dacunul dintre ele este strict mai mare dect celelalte dou obinem tripletele

, ,2k k k i ,2 ,3k k k . Dac dou numere sunt egale, iar al treilea mai mic,problema nu are soluii.

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

25/64

25

VI. 248Pe o tabl sunt scrise numerele de la 1 la 1000. Rzvan i Ioanaterg pe rnd , ncepnd cu Rzvan, cte un numr. Pierde copilul careeste obligat s tearg primul un multiplu al lui 2 sau un multiplu al lui5. Care elev ctig, Rzvan sau Ioana?

Concurs IaiSoluie: Sunt 500 de multipli de 2, 200 de multipli de 5 i 100 multipli de10, deci sunt 600 de multipli de 2 sau 5 i rmn 400 de numere care nusunt multipli nici de 2 nici de 5. Dac Rzvan terge primul numr carenu e multiplu de 2 sau 5, urmeaz Ioana care va terge din nou un numrcare nu e multiplu de 2 sau 5, etc. Cum sunt 400 de numere nedivizibilecu 2 sau cu 5, primul copil care este obligat s tearg un numr divizibilcu 2 sau 5 va fi Rzvan.

VI. 249Se consider triunghiul ABCn care lungimile laturilor [ ]AB i

[ ]AC sunt direct proporionale cu 2 i 4, iar msura unghiului A este

egal cu 060 . Artai c triunghiul ABCeste dreptunghic.Alexandru Blaga, Satu Mare

Soluie: Fie L mijlocul lui [ ]AC . Atunci ALB este echilateral i BLC

este isoscel, 2BL CL k= = . Atunci ( ) 030m CBL = , deci

( ) 090m CBA = .

VI. 250Artai c, oricum am alege dou elemente ale mulimii

{ }1,3,5,...,2011A = , suma sau diferena acestora este multiplu de 4.Lucian Petrescu, Brila

Soluie: Fie numerele 2 1, 2 1 , , ,a p b q A p q a b= + = + > . Atunci

( ) ( )2 1 , 2a b p q a b p q+ = + + = i deoarece ,p q p q+ au aceeai

paritate 4a b dac p q+ este par i 4a b+ dac p q+ este impar.

Clasa a VII-a

VII. 241n trapezul ( ),ABCD AB CD AB CD> ducem

( ),DM AB M AB . Fie Nmijlocul diagonalei BD . Demonstrai c

MN AC dac i numai dac trapezul este isoscel Aurel Brsan, Braov

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

26/64

26

Soluie: Fie P mijlocul diagonalei ( )AC . Se tie c PN AB i

2

AB DCPN

= (se arat uor). Avem astfel: MN AC MNPA

paralelogram 2

AB DCPN AM AM

= = . Dac proiecia lui C peAB este Q , egalitatea anterioar este echivalent cu

2

AM BQAM AM BQ AD BC

+= = = .

VII. 242n triunghiulABC avem

( ) ( ), , 75 , 4oAD BC D BC m C AD cm = = i 16BC cm= . S sedemonstreze c triunghiul ABCeste dreptunghic.

Vasile erdean, GherlaSoluie: Fie ( )E BC astfel nct

( ) ( )0 030 75m AEC m EAC AEC = = isoscel EA EC = AED dreptunghic

8 ;2 2 2

2

AE BC BCAD AE cm EA EC EC

BCBE AE BE CE

= = = = =

= = =

n AEB avem

( ) ( ) ( )

( )

0

0 0 0

150 ,

180 150 : 2 15

m AEB AE BE m BAE m ABE = = = =

= =

( ) ( ) ( )

0 0 015 75 90m ABC m BAE m EAC = + = + =

triunghiulABC este dreptunghic n A .

VII. 243 Fie ABCD un trapez dreptunghic, ,AB CD AD AB , n care

AD AB CD= + i [ ]M AD astfel nct AM AB= . Artai c:a)

BMC este dreptunghic;b)

Dac Neste mijlocul segmentului ( ) { },BC MC DN P =

i { }AN MB Q =

atunci MNPQ este dreptunghi.OL Clrai

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

27/64

27

Soluie: a) Din ipotez, rezult c [ ] [ ]MD DC ; deci triunghiurile BAM

i CDM sunt dreptunghice i isoscele, aadar ( ) 090m BMC =

b) n CMB , dreptunghic n M , [ ]MN - median,de unde

,2

BCMN CN BM= = = aadar CMN este isoscel cu [NP - bisectoare.

Apoi DMN DCN , de unde NP - nlime NP MC . AnalogBMN - isoscel, implic NQ MB , deci PMQN are trei unghiuri

drepte, deci este dreptunghi.

VII. 244Artai c dac numerele ,a b ndeplinesc simultancondiiile: 4a b+ < i 2 2 4 0ab a b + > , atunci 2a< i 2b <

OJ Harghita

Soluie: Din 4a b+ < avem ( ) ( )2 2 0a b + < ,(1) iar din

2 2 4 0ab a b + > avem ( )( ) ( )2 2 0, 2a b > . Din (1) i (2) avem 2numere raionale a cror sum este negativ i produsul pozitiv.nseamn c cele 2 numere sunt negative, deci 2 0a < i 2 0b < deunde 2a< i 2b < .

VII. 245Fie numerele 3 24

nx += i 5 ,

6

n ay n+=

a) Dac 1a= , s se arate c x i y nu pot fi, simultan, numere naturale.b) Dac 2a= , s se determine n , astfel nct x i y s fie,simultan, numere naturale.

Concurs Unirea

Soluie: a) { }12 , 0,...,11n k r r = +

{ } { }3 2 5 19 2,6,10 , 10 1,74 6

r rx k r y k r+ += + = +

{ } { }, 2,6,10 1,7 ,x y r x y = nu pot fi simultan numerenaturale

b) { } { }3 2 5 2

9 2,6,10 , 10 2,84 6

r kx k r y k r

+ += + = +

{ } { } { }, 2,6,10 2,8 2 12 2,x y r n k k = = +

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

28/64

28

VII. 246 Un trapez ABCD are baza mare [ ]AB i [ ] [ ] { }AC BD O = .Linia mijlocie a trapezului intersecteaz pe ACn Ei pe BD n F.

a)Demonstrai cABCD este trapez isoscel dac i numai dac

[ ] [ ]OE OF .b)Vrfurile trapezului i punctul O reprezint 5 orae, iar laturile

i diagonalele sale sunt osele de legtur. Dou maini pleac din D ,respectiv C pe ruta cea mai scurt spre A , respectiv spre B i alte doumaini pleac din A respectiv B spre D , respectiv C , trecnd prin O

pe ruta cea mai scurt. Cele 4 maini au aceeai vitez, constant, pentreg parcursul. Demonstrai c primele 2 maini ajung simultan n D ,respectiv C . Pot ajunge toate patru, n acelai timp la destinaie?

Concurs IaiSoluie:a) ( ) ( )OE OF m OEF m OFE = =

( ) ( ) ( )m OAB m OBA m ODC = = =

( ) ,m OCD OD OC OA OB AC BD= = = = trapezul este isoscelb)Problema revine la a arta c AD BC AO OD BO OC= + = + . DacAD BC= , adic trapezul este isoscel, atunci AO BO= i CO DO= iAO OD BO OC+ = + . Reciproc

,OE OA EA OA CE OA CO OE = = = de unde 2OA OC OE

= .

Analog2

OB ODOF

= . Din AO OD OB OC+ = + rezult OE OF = ceea

ce, dup cum am vzut implic AD BC= . Nu pot ajunge toate patrusimultan la destinaie deoarece drumul prin O e mai lung dect cel direct:CO OB BC + >

VII. 247

n triunghiul ABC, n care ( ) 45om C = i ( ) 30om B = fieEsimetricul punctului B fa de C . S se determine ( )m AEB .

Concurs Gheorghe Vrnceanu

Soluie: Fie ( ),AD BC D BC i Fmijlocul lui ( )AB . n

1

2ABD AD AB AF BF FD = = = = , iar n ADC AD DC = .

Deoarece ADF echilateral ( ) 0

60m ADF = i ( ) 0

150m FDE = , iar

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

29/64

29

din DCF isoscel de baz ( ) ( ) 015CF m DCF = . Avem c FCestelinie mijlocie n ABE rezult FC AE . n final,

( ) ( )m AEB m BCF = (corespondente ) 015= .

VII. 248Fie ptratul ABCD i Emijlocul laturii [ ]AB . Dreapta DE

intersecteaz perpendiculara n A pe [ ]AC n punctul F. S se arate cpunctele , ,C B F sunt coliniare.

Ionel Patriche.

Soluie: Fie { }'DC BC F = . Dac vom arta c ( ) 0' 90m F AC = ,

atunci 'F F= . Segmentul [ ]EB este linie mijlocie n triunghiul 'F DC,rezult 'F B BC AB= + , rezult c triunghiul 'F AC este dreptunghic

1( '

2AB F C= , deci )F BC i rezult c punctele , ,C B F sunt coliniare.

VII. 249Orice numr natural este mecher sau fraier . tim c dac a estemecher, atunci 10a + estemecher; dac b estefraier, rezult c

15b + este totfraier.

a) S se demonstreze c oricare ar fi numrul x natural, x i 5x + suntsaumechere, saufraiere.b) S se gseasc n minim pentru care putem afirma c oricum ar fi alesenumerele, printre primele n numere naturale, sigur sunt cel puin 401

mechere.Concurs Louis Funar

Soluie: a)Dac x e mecher i 5x + e fraier rezult

( )20 2 10 5 15 1x x x+ = + = + + e i mecher i fraier contradicie.

Dac x e fraier i 5x + e mecher analog se obine contradicie. Deci x i5x + sunt de acelai tip

b)Dac 0 e de un tip rezult c 5,10,5,sunt de acelai tipDac 1 e de un tip rezult c 6,11,16,..sunt de acelai tipDac 2 e de un tip rezult c 7,12,17,..sunt de acelai tipDac 3 e de un tip rezult c 8,13,18,..sunt de acelai tipDac 4 e de un tip rezult c 9,14,19,..sunt de acelai tipDin cele ce mai sus se observ c cele 5 tipuri generat mai sus sunt

disjuncte i acoper . Deci n minim va fi 2000.

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

30/64

30

VII. 250 Dac n triunghiul ABCavem 2 2b cb h c h+ = + , atuncitriunghiul este isoscel.

Concurs Gheorghe Popescu

Soluie: Notnd aria triunghiului ABCcu S, relaia din enun se scrie

echivalent 2 22 2S Sb cb c

+ = + sau, dup calcule ( )( ) 0b c bc S = . Dar

bc h de unde 2bbc bh S S = > aadar 0bc S . Rezult 0b c = deci triunghiul este isoscel.

Clasa a VIII-a

VIII. 241a) S se demonstreze c :

3 , *,1 2 1

x n n x nn x n

+ + + + +

.

b) S se determine x pentru care verific egalitatea:1 2 2009 5 6 2013

... ...2 3 2010 2 3 2 4 2 2011

x x x

x x x

+ + ++ + + = + + +

+ + +

OL Botoani

Soluie: a) Se arat imediat c3

1 , *

1 2 1

x n nx

n x n

+ +

+ + + .

b) Folosind observaia anterioar, avem: 1 2 2009

... 2009,2 3 2010

x x x+ + ++ + + >

1x > i5 2013

... 2009, 12 3 2 2011

xx x

+ + < >+ +

. Pentru 0x= folosim un

raionament asemntor i astfel: 1x= este soluie unic.

VIII. 242 a)Demonstrai c ( ) ( )22 22 x y x y+ + , pentru orice numerereale x i y .

b) Dac , ,a b c sunt dimensiunile unui paralelipiped dreptunghici 1 2 3, ,d d d sunt lungimile feelor paralelipipedului, demonstrai c

( ) 1 2 32a b c d d d + + + + . n ce condiii are loc egalitatea?OL Cara Severin

Soluie: Deducem din ( )2 22x y x y+ + c

1 2 32, 2, 2a b d b c d c a d + + + .

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

31/64

31

Adunnd, obinem concluzia.Egalitatea are loc pentru a b c= = adic n cazul unui cub.

VIII. 243S se arate, n mulimea numerelor naturale, c dac un numr

se poate scrie ca suma a dou ptrate perfecte, atunci i dublul su iptratul su se poate scrie ca suma a dou ptrate perfecte.Vasile erdean, Gherla

Soluie: ( ) ( )2 22 2 2 2

2 2 2a x y a x y x y x y= + = + = + +

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2a x y x y xy= + = +

VIII. 244Gsii numerele ntregi x i y tiind c 22 3 1 0x xy y+ + + = Gh. Molea, Curtea de Arge

Soluie: Relaia din enun este echivalent cu ( ) 23 2 1y x x+ = . Cum3x= nu se poate i atunci ecuaia are soluia numai n cazul n care

22 1

3

x

x

+ adic 3 19x + de unde { }3 19, 1,1,19x + i se obine

soluia problemei.

VIII. 245Fie , , ,A B C D patru puncte necoplanare i , , ,E F G H

mijloacele segmentelor ( ) ( ) ( ), ,AB BC CD respectiv ( )AD .

Artai c : a)2 2

2

AC BDEG

+< ;

b) ( ) ( )EG HF AC BD .Sorin Peligrad, Piteti

Soluie: a)EFGH este paralelogram, atunci din identitatea

paralelogramului avem ( ) 2 2

2 2 2 222

AC BDEG FH EF FG

++ = + = de

unde2 2

2

2

AC BDEG

+<

b) EG HF EFGH= dreptunghi ( ) 090m FEH AC BD = .

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

32/64

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

33/64

33

Soluie: a) Aplicnd teorema medianei n cele dou triunghiuri , cucondiia din ipotez, rezult BD CE= i cum BCDEeste paralelogram

BCDE dreptunghib)Din ( ) ( ),BE BC BE AB BCE ABC . Cu inegalitatea mediilor

avem [ ]2 2 2

2 4 4BAC

AB AC AB AC BCA

+= = . Aria va fi maxim pentru

AB AC= , deci A se afl pe perpendicularape planul ( )BEC dus prin

Q mijlocul lui [ ]BC i2

BCAQ=

VIII. 249 a) Calculai

( )1 1 1...

1 2 2 1 2 3 3 2 1 1S

n n n n= + + +

+ + + + +.

b) Artai c ( ) ( )1 2 2 3 ... 1 1 , *n n n n n + + + + < + LaureniuPanaitopol

Soluie: Observm c ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1n n n n n n n n n n + + + + + = + .

Calculm suma S, raionaliznd fiecare fracie i aplicnd relaia

anterioar: ( )( )

1 11 2 2 1 2 3 3 2 1 1...

2 4 12 18 1 1

n n n n n nS

n n n

+ + += + + + = + +

.

Aplicnd inegalitatea mediilor2

a bab

+< pentru , 0,a b a b>

( )

( ) ( )( )

1 2 2 3 11 2 2 3 ... 1 ...

2 2 2

1 2

1 2 3 ... 12 2 2 2

n nn n

n n n nn n

n n n

+ + + + + + + < + + + =

+ +

= + + + + + = + = < +

VIII. 250Fie [ ]AB i [ ]CD segmente necoplanare astfel nct

4CA CB AD DB

CB CA DB DA+ + + = .

Demonstrai c, n aceste condiii, AB CD .OL Timi

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

34/64

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

35/64

35

2 3 0 3 3 08 sin 10 6 sin10b b b+ = icum 0b rezult

( )3 0 0 0 2 0

0

8sin 10 1 6sin10 2sin10 3 4sin 10 1 0

12sin30 1 0 2 0

2

+ = =

= =

IX. 213 Dac 1 2, ,..., na a a sunt numere naturale nenule astfel nct

1 1 2 1 2 3 1 2 31 ... ... 2n

na a a a a a a a a a a= + + + + + ,atunci s se arate c cel puin dou din numerele date sunt egale.

Gheorghe urcanuSoluie:Presupunem c 1 2 ... na a a< < < . Atunci

1 1 2 1 21 ... ... 1 1 2 1 2 3 ... 1 2 ...na a a a a a n+ + + + + + + + = 2 2! 3! ... ! 2 (!)nn+ + + + > fals deci cel puin dou numeresunt egale.

IX. 214 Rezolvai n ecuaia ( )( )( )2

1 3 5 3 4 4x x x+ + + = .

Daniela Covaci, Brila

Soluie:Ecuaia se scrie ( )( )2 23 8 5 9 24 16 4x x x x+ + + + = . Notnd

( )23 8 5 3 1 4x x y y y+ + = + = cu soluiile 1 2 41,3

y y= + = . Revenind

obinem 1 21

2,3

x x= = .

Clasa a X-a

X. 211Determinai numerele reale xpentru care 32 1 5 2x x+ = .OL Cara Severin

Soluie: Notm 32 1, 5a x b x= + = i se obine sistemul2 32 11

2

a b

a b

+ =

=cu 1b= , deci 1x= . Deoarece funcia

( ) 31

: , , 2 1 52

f f x x x

= +

este strict cresctoare, 1x=

este soluie unic.

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

36/64

36

X. 212Dac este o rdcin a ecuaiei 2 1 0x x+ + = , se cere:

a) Calculai 2 20121 ...S = + + + + b) Artai c:

( )( ) ( ) ( )2 2

1 0, ;i z z z z

+ + =

( ) ( )22 2 221 3 1 , .ii z z z z z + + = +

* * *

Soluie: a) ( ) ( ) ( )2 3 2 2010 21 1 ..... 1 0S = + + + + + + + + + =

Am folosit binecunoscutele: 21 0 + + = i 3 1 =

b) (ii) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 22 2

2 21 1 1z z z z z z z z z + + = + + + =

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )22 21 1 3 1z z z z z z z + + = +

X. 213Determinai numerele naturale x ,y i numrulprim p , tiind c3 2yx x p+ = + .

Prof. Florin Stnescu, Geti

Soluie: Fie , ,x y p soluie. Rezult c p este par i cum este prim

2p = . Avem ( )( )2 21 2 2 1 2 , 2 2y m nx x x x x x + + = = + + = .Prin eliminarea lui x se obine { }0,1,2m .Deducem: pentru 0, 2, 3m x y= = = i pentru 2, 5, 7m x y= = = .

X.214Fie n astfel nct n

i { }2 2, , 1A a b n a b a nb= + = .Artai c funcia ( ) [ ]: ,f A f x x = e injectiv, dar nu e surjectiv.

OL Arad

Soluie: Fie x a b n A= + . Deci 2 2 1 1a b n a = i a b n> ,

atunci1

0 1a b na b n

< = +

i de aici ( )0 1 1a b n < . Astfel:

[ ] ( )2 1 1 2 1x a a b n a = + = . Funcia

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

37/64

37

( ): , 2 1f A f a b n a + = nu este surjectiv deoarece nu ia valoripare; este injectiv deoarece, dac ,x a b n y c d n= + = + i

( ) ( )f x f y= , atunci a c= , iar din 2 2 2 21, 1a b n c d n b d = = = ,

deci x y= .

Clasa a XI-a

XI. 211Dac , , ,x y z t i2 2 2 2

3 3 3 3

5 5 5 5

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

= , artai c este

divizibil prin 30.OL, Mehedini

Soluie: Deoarece pentru 2 3 5, 2, 3, 5a a a a a a a i

2 2 2 2

3 3 3 3

5 5 5 5

- - -

- - -

- - -

x y z t

x x y y z z t t

x x y y z z t t

x x y y z z t t

=

rezult c 2 3 5 .

XI. 212Dac ( ), nA B i3

2A B I B = , demonstrai c

AB BA= .Dan Nedeianu, Drobeta Tr. Severin

Soluie: ( )3 3 1

2 2 2A I B I A I B

+ = + = . nmulim la dreapta , apoi la

stnga cu A egalitatea din enun i avem 3 4,A BA A BA A B A AB= = .

Prin scderea acestor relaii se obine 3 4A BA A B AB BA = sau

( ) ( ) ( )3 12 2 22

;A I BA AB O B BA AB O

BA AB O AB BA

+ = =

= =.

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

38/64

38

XI. 213Se consider irul ( )0n n

x

definit prin 1 04

, 0, 1n nn

x x n xx

+ = + = .

Calculai:a) lim ;nn

x

b) lim nn

xn

.

OL Satu MareSoluie: a)Se arat, prin inducie matematic, c 0, 0nx n> . Atunci,

1

40n n

n

x xx

+ = > irul ( ) 0n nx este strict cresctor. Dac irul

( )0n n

x

ar fi mrginit superior, deci convergent, trecnd la limit, ar

rezulta: 14

lim limlim

n nn n n

n

x xx

+

= + , contradicie. Urmeaz lim nn

x

= +

b)Aplicnd Lema Stolz Cesaro avem:

( )2

2 21 2

16lim lim lim 8 8n n n

n n nn

xx x

n x+

= = + =

, deci lim 2 2nn

x

n= .

XI. 214Pentru *n se noteaz2

2

1 sinlim

cos

n

n

x

xa

x

= .

Calculai ( )1lim n nn

n a a+

.

OL Cara Severin

Soluie: Deoarece( )( )

( )( )

2 1

2

1 sin 1 sin sin ... sin1 sin

1 sin 1 sincos

nn x x x xx

x xx

+ + + +=

+

,

rezult c2

n

na = . Deci

1

2 1n

nx

n n=

+ +i

2lim

4n

nx

= .

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

39/64

39

Clasa a XII-a

XII. 211 Fie [ ] [ ]{ }: 0,1 0,1 continu i bijectivG f f= .a) Artai c toate elementele lui G sunt funcii strict monotone.

b) Artai c ( ),G este grup;

c) Fie g G cu proprietatea c este un element de ordin finit i ( )0 0g = .Artai c ordinul lui g n G este 1.

* * *Soluie: a) Deoarece f este continu i injectiv , este strict monoton.c)Fie 1n ord g= > , deci ( )( ) [ ]... , 0,1g g g x x x= . Cum g este

strict monoton i ( )0 0g =

, rezult c g este strict cresctoare. Dacexist [ ]0 0,1x cu ( )0 0g x x< , atunci

( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0,...,g g x g x x g g g x x< < este imposibil. Rezult, deci ( ) [ ], 0,1g x x x= i deci g=1ord .

XII. 212Definim pe mulimea ( )3,G= operaia

3 3 1 ,x y xy x y = +

( ), 3,x y

. Artai c ( ),G

formeaz ungrup izomorf cu grupul ( ),+ .

OL Bihor

Soluie: Funcia ( ) ( ): , ln 3f G f x x = este izomorfism de la

( ) ( ), ,G la + ; n rest, problem de clas.

XII. 213 Artai c, dac ( ),G este un grup a G un element fixat,

atunci ( ) 1: ,a af G G f x a x a = este un automorfism al grupului G .OL Cara- Severin

Soluie: Deoarece ( ) ( ) ( ) , ,a a af xy f x f y x y G= , iar af este bijectiv,concluzia se impune imediat. Sigur c la un concurs sau examen, trebuiescris un pic mai detaliat !.

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

40/64

40

XII. 214Artai c [ ] ( ) 1

: 0,2 ,2 cos

f f xx

=+

este primitivabil i

determinai mulimea primitivelor sale.Concurs Traian Lalescu

Soluie: Deoarece f este continu , este primitivabil. Pentru [ )0,x .

Pentru2

xtg t= i ( ) 1

2 2

3 3

xtg

f x dx arctg C= + . Pentru

( ] ( ) 22 2,2 ,

2 3 3

xtg

xx tg t f x dx arctg C = = + . Prin urmare,

primitiva funcieifare forma

[ ] ( )

[ )

( )

1

2

2 2 , 0,3 3

: 0,2 , , , =

2 2arctg +C , ,2

3 3

xtg

arctg C x

F F x C x

xtg

x

+

=

Din continuitatea lui F rezult 1 23 3

C C C

+ = = + i apoi

primitiva F.

Probleme alese

A 21. Dac , , 0a b c> , demonstrai inegalitatea1 1 1 1 1 1

2 2 2a b c a b b c c a+ + + ++ + + .Dorin Andrica

Soluie: Inegalitatea evident 2( ) 4a b ab+ conduce la1 1 4

.a b a b

+ +

Analog se ajunge la1 1 4

b c b c+

+i

1 1 4

c a c a+

+. Prin nsumare se

ajunge la inegalitatea propus.

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

41/64

41

A 22. Demonstrai c nu exist numere naturale , ,m n p astfel nct4

n m= i 3 2 44 6 4n n n p+ + + = .Dorin Andrica

Soluie: Deoarece

3 2 4

( 4 6 4) ( 1) 1n n n n n+ + + = +

, iar

4

( 1) 1n+

nupoate fi puterea a patra a unui numr natural, rezult afirmaia din enun.

A 23. Determinai mulimea

{ }2| , impar cu | .A n a a n a n= < Dorin Andrica

Soluie: Fie { }1 2 3, , ,...A x x x= cu 1 2 3 ...x x x< < < . Pentru 1a= elementele

mulimii care verific2 2

1 1 3k< sunt 1 82,..., 9x x= = .Pentru 3a= , din 2 23 1 3 5k< , ajungem la

9 10 11 12 1312, 15, 18, 21, 24.x x x x x= = = = = Pentru

14 155 30, 45a x x= = = . Pentru 7a= avem inegalitile imposibile2 27 1 3 5 7 9k< , deoarece 105 81;k> n general, pentru 7a , din

2 2( 2) 3 ( 4)N a N a> + > + (inducie). Aadar avem

{ }2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45A = .A 24. Demonstrai c, dac n , atunci inegalitatea

( )2 211

1 12

nn

nx x

+ este adevrat pentru orice [ ]1,1 .x

Dorin Andrica

Soluie: Notm sinx y= i avem 2 21

11 sin cos .

2

n n

ny y

+ Deoarece

sin 1, cos 1y y , avem2 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos ... sin cos 1n n n ny y y y y y + + + = .

Folosim acum inegalitatea 1 2 1 22 2

nn nx x x x+ +

i ajungem la

2 2 2 2sin cos sin cos 1

2 2 2

nn n

n

y y y y + + =

, de unde prima inegalitate

din enun se obine imediat.

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

42/64

42

Probleme propuse(Se primesc soluii pn n data de 7 septembrie 2013, nu mai trziu!.

Pe plic scriei clasa n care suntei, v rugm DIN NOU !)

Clasa a II-a

II. 161 Pe un platou sunt 7 fete i doar 7 gutui. Cum trebuie mpriteaceste gutui la aceste 7 fetie, astfel nct fiecare s ia cte o gutuie, iar pe

platou s mai rmn o gutuie?Neta Novac,Reia

II. 162Numrnd din doi n doi, Andrei a ajuns la numrul 652.

De la care dintre numere ar fi putut porni: 561, 584, 625 ?Neta Novac, Reia

II. 163 Compunei i rezolvai o problem plecnd de la egalitile150a b = i 200.b c =

* * *

II. 164 Un numr se adun cu el nsui, apoi cu jumtatea lui, cu sfertul

lui, iar n final i se mai adun numrul 36 i se obine 80. Care estenumrul iniial?* * *

II. 165 n timpul unei excursii, Andrei, Bianca, Cristina i Daniel aucheltuit mpreun 775 lei. Dac Bianca a cheltuit de dou ori mai multdect Andrei i jumtate din suma cheltuit de Cristina, iar Daniel acheltuit cu 50 de lei mai puin dect Cristina, aflai ci bani a cheltuitfiecare dintre cei patru prieteni.

* * *

II. 166 Pe o banc din Parcul Tricolorului din Reia s-au aezat patrucolegi de clas: Bianca, Cosmin, Gabi i Andrada. Dac Cosmin, primuldin stnga, se mut ntre Bianca i Andrada, atunci Andrada va fi primadin stnga.

Care este ordinea n care sunt aezai cei patru copii?Mariana Mitric, Reia

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

43/64

43

II. 167 Determinai numerele formate din trei ordine care au sumacifrelor egal cu 13, iar cifra sutelor este de dou ori mai mare dect cifraunitilor.

Mariana Mitric, Reia

II. 168 Patru frai i-au propus s confecioneze 100 de felicitri pentruziua de Pate. n fiecare zi, fiecare dintre copii reuete s confecionezecte 6 felicitri. Cte felicitri mai au de confecionat fraii dup patru zilede munc ?

* * *II. 169 Un grup de trei animale domestice se numete linitit dac cel

puin unul dintre animale este un purcel. Cte grupuri linitite are bunicul

lui Rzvan n ograd dac are n grij un ied, doi miei i trei purcei?Lucian Dragomir, OeluRou

II. 170 Bogdan, Ioana i Mihai au mpreun 30 de creioane. Dup ceIoana a mai cumprat 3 creioane, Andrei 4 creioane, Bogdan a cumprati el 8 creioane i astfel cei trei prieteni au acum acelai numr decreioane. Cte creioane a avut fiecare dintre cei trei la nceput ?

* * *

Clasa a III-a

III. 161 Afl numerele de trei cifre mnc care verific relaia:

2 6 907mn mc+ = Neta Novac, Reia

III. 16212 creioane cost ct 9 pixuri, iar 5 creioane cost cu6 lei maimult dect 3 pixuri. Afl ct cost un creion i ct cost un pix.

Neta Novac, Reia

III. 163 n clasa pregtitoare din coala noastr sunt 10 fetie i 12biei.De iepura, fiecare feti a primit cte un ursule, iar fiecare bieel,cte o mainu.Ct a costat o jucrie din fiecare fel, dac:

a) trei mainue cost ct cinci ursulei;

b) toate jucriile au costat 300 lei ?Mariana Mitric, Reia

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

44/64

44

III. 164 Pentru Bradul de Crciun, mama a cumprat 14 globulee roii iun numr de globulee galbene. Un globule galben cost 2lei, iar unulrou, dublu. Cte globulee galbene a cumprat mama dac a pltit la cas

o bancnot de o sut lei i a primit rest a zecea parte din ntreaga sum?Mariana Mitric, Reia

III. 165Diferena dintre dou numere este de 655, iar unul dintre numereeste de 6 ori mai mare dect cellalt. Aflai cele dou numere.

* * *

III. 166Pe o mas sunt fructe, de patru ori mai multe prune dect mere.Patru prieteni servesc fiecare cte o prun i un mr; pe mas au rmas

astfel de apte ori mai multe prune dect mere. Cte prune i cte mere aufost la nceput pe mas ?

* * *

III. 167 Dublm un numr i adunm la rezultat 15. Dublm numrulobinut i adunm la rezultat 30. Dac am obinut numrul 100, care a fostnumrul iniial ?

* * *

III. 168Suma a patru numere naturale consecutive este cu 45 mai maredect cel mai mare dintre numere. Aflai numerele !

* * *

III. 169 Rzvan a cules prune i acum le numr. Rzvan observ c,dac le grupeaz cte patru obine cu dou grmezi mai multe dect atuncicnd le grupeaz cte cinci. Putei afla cte prune are Rzvan ?

* * *III. 170 Pe un platou sunt mere. Armin a mncat din ele pn au rmas pe

platou jumtate din numrul lor. Mama a mai pus pe platou attea merecte erau la nceput i acum sunt pe platou 15 mere. Cte mere a mncatArmin ?

* * *

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

45/64

45

Clasa a IV-a

IV. 161 tiind c 28a b+ = iar 54b c+ = , ct este rezultatul calcului5 8 3a b c + + ?


IV. 162n trei coli se afl 2 885 elevi. Dac n prima coal ar mai veni5 elevi, atunci numrul elevilor ar fi jumtate din numrul elevilor din adoua coal i triplul elevilor din a treia coal. Ci elevi sunt n fiecarecoal?


IV. 163Ionel, Andrei, Sorin i Flavius au mpreun 130 lei. Dac Ionel arprimi de la fiecare ceilali trei copii cte 4 lei, atunci suma banilor avui arputea fi patru numere naturale consecutive. Afl ci lei avea fiecare elevla nceput.

Neta Novac, Reia

IV. 164 Aflai toate perechile de numere naturale ( , )a b pentru care

( 4) ( 5) 45a b+ + = .* * *

IV. 165Suma a trei numere naturale este 104. Dac l mprim pe primulla al doilea sau pe al doilea la al treilea, se obine ctul 3 i restul 2. Aflainumerele.

* * *

IV. 166 n doi saci sunt 46 de kg de cartofi. Se iau 5 kg din primul sac ise pun n al doilea i astfel n acesta sunt cu 6 kg mai mult dect n primulsac. Cte kilograme de cartofi au fost la nceput n fiecare sac ?

* * *

IV. 167 Un strungar realizeaz un numr de npiese n fiecare or, lucrndconstant cte 7 ore pe zi, 5 zile pe sptmn. Pentru fiecare piesstrungarul primete 8 lei. Determinai numrul n tiind c dup o lun

strungarul primete 1400 lei.* * *

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

46/64

46

IV. 168 Scdem dintr-un numr, pe rnd, numerele 15, 20, 21 i 28;adunnd cele patru rezultate obinute observm c avem un numr egal cucel iniial. Care este acest numr?

* * *

IV. 169 Tatl i fiul au mpreun 44 de ani. Cnd fiul avea 6 ani, tatlavea 30 ani. Peste ci ani vrsta fiului va fi o treime din vrsta tatlui?

Concurs Iai

IV. 170 n exerciiul urmtor 9 4 : 2 10 2 + folosii paranteze pentru aobine, pe rnd, rezultatele:

a)

106; b) 90; c) 1.Concurs RMCS

Clasa a V-a

V. 281 Un scule conine bile roii i albe, care cntresc 100 grame.Fiecare bil roie cntrete 5 grame, iar fiecare bil alb cntrete 7grame. Cte bile sunt n scule.

Olimpiada de Matematic, faza local, Bistria Nsud

V. 282 Suma a trei numere consecutive este 20033 . Aflai ultimele doucifre ale produsului celor trei numere.

Olimpiada de Matematic, faza local, Bucureti

V. 283 Cte numere naturale de patru cifre se pot scrie cu ajutorulcifrelor 2,5 i 0? Cte dintre acestea sunt divizibile cu 2, dar nu i cu 5?

Olimpiada de Matematic, faza local, Bucureti.

V. 284Aflai ultimele cinci cifre ale numrului :2013 2011 1004 10022 2 4 4A = + + .

* * *V. 285 Diferena a dou numere este 6. Aflai ctul i restul mpririisumei lor la numrul mai mic.

* * *

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

47/64

47

V. 286 Dac aranjm elementele mulimii { }3,6,10,13 n ordinea13,3,6,10 atunci suma oricror dou numere vecine este ptrat perfect:13 3 16,3 6 9,6 10 16+ = + = + = . Dac aranjm elementele mulimii

{ }1,2,3,...,15,16 astfel ca suma oricror dou numere vecine s fie ptratperfect, ce poziie ocup numrul 16? Gsii o astfel de aranjare.

Olimpiada de Matematic, faza local, Sibiu

V. 287 Fie mulimea { }, ,A a b c= , unde , ,a b c sunt numere raionalepozitive. Media aritmetic a elementelor mulimii A este numrul natural

5n . Dac eliminm cel mai mic element al mulimii A, atunci mediaaritmetic a elementelor rmase difer fa de n cu 2. Dac eliminm cel

mai mare element al mulimii A, atunci media aritmetic a elementelorrmase difer fa de n tot cu 2. Artai c numerele , ,a b c sunt naturale.Mircea Fianu, Bucureti

V. 288Un sportiv se antreneaz urcnd o scar n felul urmtor: urc 5trepte, coboar 4 i urc 6, dup care repet exerciiu. Cte trepte are scaradac pentru parcurgerea ei sportivului i sunt necesari 160 de pai? (pasnseamn urcarea sau coborrea unei trepte).

* * *

V. 289Fie p i q dou numere naturale prime consecutive (n sensul cntre ele nu mai exist alt numr prim) cu 2 p q< < . S se demonstreze

c ( ) : 2p q+ este numr natural, nu este prim i se poate scrie ca sum decel puin dou numere naturale prime nu neaprat distincte.

Dana Piciu, Craiova

V. 290 ntr-o camer sunt cinci dulapuri aezate unul lng altul nordinea , , , ,A B C D E. Cheia dulapului A deschide i dulapul E, dulapulC se poate deschide cu cheia dulapului B i fiecare cheie deschide cel

puin un dulap vecin. Care este numrul minim de chei necesar pentru adeschide toate dulapurile?

Olimpiada de Matematic, faza judeean, Harghita

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

48/64

48

Clasa a VI-a

VI. 281 Fie punctele distincte , , ,A B C D situate n aceast ordine pe

dreapta d , iar ,M N i P mijloacele segmentelor [ ] [ ],AB CD respectiv

[ ]MN . Lungimea lui [ ]BC este egal cu 60% din lungimea lui [ ]MN ,

lungimea lui [ ]AM este 30% din lungimea lui [ ]CD , iar 18MC cm= .

Aflai lungimea lui [ ]AP .Olimpiada de Matematic, etapa local, Arge

VI. 282Fie XOY un unghi ascuit i punctele A i Bpe (( ,OX A ntre

O i )B , iar Ci Dpe (OY ,( C ntre O i D ), astfel nct( ) ( )OA OC i ( ) ( )OB OD .

Fie { }AD BC P = i { }OP BD M = . Demonstrai c:

a) ( ) ( )AD BC ;

b) (OP este bisectoarea XOY ;

c) ( ) ( )MA MC .

Olimpiada de Matematic, etapa local, Braov

VI. 283Doi colegi locuiesc n acelai bloc, unul la etajul 5, apartamentul107, iar cellalt la etajul 4, apartamentul 158. Pe fiecare scar, att la

parter ct i la fiecare etaj, sunt cte 4 apartamente. Aflai cte etaje areblocul.

* * *VI. 284 Determinai numerele naturale m i n astfel nct :

5 7 7 2m n = .* * *

VI. 285S se afle toate numerele naturale a i b tiind c9 3

2

a b

a b

+

+ i

2 4

3

a b

a b

+

+ .

Olimpiada de Matematic, etapa local, Giurgiu

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

49/64

49

VI. 286Calculai msura unui unghi tiind c este5

14din msura

suplementului complementului su.* * *

VI. 287Un numr natural se numete norocos dac suma cifrelor salese divide cu 13.

a) Aflai cel mai mic numr norocos nenul.

b) Exist cel mai mare numr norocos?

c) Dai exemple de dou numere consecutive, ambele norocoase.

Olimpiada de Matematic, etapa local, Mure

VI. 288Se consider n jurul unui punct unghiuri avnd msurileexprimate n grade prin numere naturale consecutive. Diferena dintremsurile celui mai mare i msura celui mai mic dintre unghiuri este 014 .Aflai numrul unghiurilor i msurile lor.

* * *VI. 289Fie ABCun triunghi echilateral i ( )O AC astfel nct

2

OAOC= . Paralela prin C la AB intersecteaz [BO n D . tiind c

2AB

CD= , se cere:

a) S se arate c [CO este bisectoarea unghiului DCB .

b) S se arate c CD DA

* * *

VI. 290Determinai numerele ,a b dac1 1 1

11a b a b

+ + =+ +

Concursul interjudeean de matematic Rado Ferenc, Cluj

Clasa a VII-a

VII. 281 S se determine intervalul *1 1

, ,1

nn n

+

cu lungimea cea

mai mic, n care este situat numrul3 3

7 14

.

Olimpiada de Matematic , faza local, Giurgiu

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

50/64

50

VII. 282 Se ndoaie o foaie de hrtie. Prin punctele ,A B ale muchiei depliere se fac cu foarfeca dou tieturi drepte ACi BC. Se scoatetriunghiul ABC. Desfcnd hrtia apare o gaur. S se determine condiiiasupra triunghiului ABC, astfel nct gaura s fie:

i)

Un triunghi;ii)

Un romb;iii)

Un ptrat;iv)

Un dreptunghi care nu este ptrat;v)

Un trapez;vi)

Un paralelogram care nu este romb sau dreptunghi.Olimpiada de Matematic , faza local, Dmbovia

VII. 283Fie ABCD un ptrat i (BEbisectoarea unghiului,ABD E AD . Dreptele BEi ACse taie n M , iar perpendiculara n

M pe BEtaie dreptele CD i BD n Fi T .a)

S se arate c triunghiul DET este isoscel.b)

S se arate c EF AC .c)

S se arate c ET BF .Olimpiada de Matematic , faza local, Bucureti

VII. 284 Fie triunghiurile isoscele ABCi ADEcu( ) ( ) 090m BAC m DAE = = cu interioare comune. Dac

1, 2AB AD= = i , , ,M N P Q sunt mijloacele segmentelor

[ ] [ ] [ ] [ ], , ,BC CD DE EB artai c:

a)

1

3

AM

MP>

b) MP NQ

Olimpiada de Matematic, faza local, Gorj

VII. 285 Dreapta paralel cu latura BCa triunghiului ABCintersecteazlatura ( )AB n punctul P i ACn Q . Fie Fmijlocul laturii ( )AC , iarR intersecia lui PQ cu FB . S se demonstreze c suma PR PQ+ esteconstant.

Olimpiada de Matematic, faza local, Gorj

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

51/64

51

VII. 286 Se consider ABC n care D este mijlocul segmentului [ ]BC ,iar Eeste piciorul bisectoarei din B . S se arate c dac BE ED ,atunci 3BC AB= .

Olimpiada de Matematic, faza local, Iai

VII. 287 S se arate c dac 1, ,xy x y x y+ + = , atunci

( )( )2 22 1 1x y+ + .Olimpiada de Matematic, faza local, Slaj

VII. 288 S se arate c: ( )1 1 1 1 1 1

1 ... 1 ... ,2 3 2 3 1

n nn n

+ + + + + + + +

+

pentru orice numr natural 1n .Lucian Dragomir, OeluRou

VII. 289Fie ,p q i rtrei numere prime, astfel nct 5 p q r < < . tiind

c 2 22 49p r i 2 22 193q r , determinai , ,p q r.* * *

VII. 290Numerele reale distincte , ,x y z au proprietatea c3 3 3x x y y z z = = . S se arate c 0x y z+ + = .

Concursul interjudeean Alexandru Myller, Iai

Clasa a VIII-a

VIII. 281 S se determine ( ) * *,n p cu p prim, astfel nct2 3

*2 3

2 3

n p

n p

+ ++

Concursul interjudeean Alexandru Myller, Iai

VIII. 282 a) S se arate c dac , , 0x y z> i ( ) 3x y z z xy+ + = , atunci2 2 22x y z+ .

b) Determinai numerele naturale , , , ,a b c d e diferite dou cte dou,

tiind c2 2 2 2

1 a ab abc abcd abcde+ + + + = .Concurs Gheorghe Lazr, Sibiu

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

52/64

52

VIII. 283 Fie , ,a b c astfel nct 10 10 10 54a b c+ + = .

S se arate c 11 11 11 112a b c+ + . Cnd are loc egalitatea?Concurs Constana

VIII. 284 Fie ( ), , , 0,a b c d astfel nct 12ac bd = = . Demonstrai c :

( )( )( )( ) 23 3 4 4 48a b c d + + + + Olimpiada de Matematic, faza local, Brila

VIII. 285Fie *x i numerele2

2 4 2

1, ,

1 1

x xa x b c

x x x x x

= + = =+ + + +

. S se arate c 1b

ac

= +

Olimpiada de Matematic, faza local, Cara- Severin

VIII. 286 Dac *,a b + i 1a b c+ + = , artai c:

2 2 2 22 2 2

a b a c b ca b c

ab ac bc

+ + ++ + + + + .

Olimpiada deMatematic, faza local, Iai

VIII. 287 Determinai x pentru care are loc egalitatea:

2

4

1

1

xx

x

+

= + .

Olimpiada de Matematic, faza local, Slaj

VIII. 288 Se dau numerele: 99...99n

a= i2

1

499...9900...00n n

b

= .

a) S se arate c : 2 2 1a b= + .

b)

S se calculeze2

a b+ .Olimpiada de Matematic, faza local, Tulcea

VIII. 289 S se determine numerele iraionale x , astfel nct numerele2 2x x+ i 3 6x x s fie ambele raionale.

* * *

VIII. 290 Fie ,a b . S se arate c 2a b = dac i numai dac

2 1a b ab+ = +

Concurs Constana

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

53/64

53

Clasa a IX-a

IX. 241 Pentru orice mulimi 1 2, ,..., ,...nA A A de numere reale, se noteaz

1 2 *... ...n kkA A A A

=

i1 2 *... ...n kk

A A A A

= .

Determinai mulimile*

20,

2k

kH

k

= +

i*

20,

2k

kG

k

= +

.

Olimpiada de Matematic, etapa local, Cara- Severin

IX. 242 Pe o insul triesc numai oameni cinstii care spun ntotdeaunaadevrul i mincinoi care mint ntotdeauna . La un moment dat se

organizeaz alegeri pentru funcia de guvernator la care particip n candidai. Fiecare dintre cei n candidai a dat o declaraie n carecandidatul al k lea ( )1 k n a spus: Fr a m considera pe mine,ntre candidai, mincinoii sunt cu kmai muli dect cinstiii. Cicandidai la postul de guvernator au fost?

Olimpiada de Matematic, etapa local, Bucureti

IX. 243 Determinai , ,a b c

, dac { } { }2

0 ,x ax bx c a b + + = =

.Dan Negulescu, Brila

IX. 244 Fie ( ), 0,x y care satisfac inegalitile:

1

4x xy + i

1

4y xy + . Artai c x y=

Ioan Tudor Stratulat, Flticeni, Suceava

IX. 245 Artai c, dac paralelogramele ABCX i DEFX au un vrfcomun X , atunci triunghiurile ACEi BDFau acelai centru degreutate.

* **IX. 246 Fie patrulaterul ABCD convex, Emijlocul diagonalei [ ]AC i P

un punct oarecare n planul su. Atunci: 4PA PB PC PD PE + + + =

daci numai dac ABCD este paralelogram.

Paul Biatu, Giurgiu

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

54/64

54

IX. 247 Fie 2n un numr natural i A o submulime nevid a mulimii

{ }1,2,...,n cu proprietatea: oricum am lua dou elemente ,x y A , dacx y n+ , atunci x y A+ .

Artai c media aritmetic a elementelor lui A este cel puin ( )1

12 n + .Concurs Vrnceanu-Procopiu

IX. 248 Artai c dac , 0a b> , atunci2 2

2

a ba b ab

++ + .

* **

IX. 249 Demonstrai c, pentru orice , , 0, 2x y z

, are loc inegalitatea:sin sin sin

cos cos cos

x y ztgx tgy tgz

y z x+ + + + .

Concurs Traian Lalescu

IX. 250 Fie :f o funcie. Demonstrai c exist ,x y cu x y

astfel nct ( ) ( ) 1f x f y .* * *

Clasa a X-a

X. 251 Rezolvai ecuaia : sin cos2 2 3x x+ = .Olimpiada de Matematic, etapa local, Gorj

X. 252 Fie ABCun triunghi cu 1 172sin sin sin2

A B C ++ = . Artai c

triunghiul este isoscel.* * *

X. 253 Determinai numerele reale x care verific egalitatea:1 1 1 1

21 2 1 3 1 6x x x+ = +

+ + +

Olimpiada de Matematic, etapa local,Hunedoara

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

55/64

55

X. 254 Perechea de numere complexe ( ) * *1 2,z z are proprietatea

( )P , dac exist un numr real [ ]2,2a , astfel nct2 21 1 2 2 0z az z z + = . Artai c, dac ( )1 2,z z are proprietatea ( )P , atunci

pentru orice ( )1 2, ,n nn z z are proprietatea ( )P .Prof. Dorin Andrica, Dej

X. 255 Determinai funciile [ ): 0,f cu proprietile

( ) 2 ,xf x x i ( ) ( ) ( ) , ,f x y f x f y x y+ Prof. Vasile Pop, Cluj

X. 256 Fie ,a b numere reale mai mari ca 1. Artai c a b dac i numai

dac funcia ( ): 0,f , ( ) [ ] [ ]log loga bf x x x= este surjectiv.* **

X. 257 Rezolvai n numere reale sistemul:

5 12 13

5 12 13

5 12 13

x y z

y z x

z x y

+ =

+ =

+ =

Prof. Vasile Berinde, Baia Mare

X. 258 Vrfurile triunghiului ABCau n planul complex afixele , ,a b c cu

1a b c= = = . nlimea din A taie din nou cercul circumscris

triunghiului ABCn punctul D . Determinai afixul punctului D .* * *

X. 259 Fie a un numr ntreg. Determinai toate funciile :f care

au proprietatea: ( )( ) ( ), ,f f x y x f y a x y+ = + + Concurs Laureniu Panaitopol, Tulcea

X. 260 Artai c1

sin1n n

unde , 2n n .

* * *

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

56/64

56

Clasele a XI-a i a XII-a

XI. 241 Fie matricea ( )nA aa nct2 3

A A= . Artai c matricea2

nI A A + este inversabil.Olimpiada de Matematic, etapa local, Suceava

XI. 242 Fie ( ), nA B cu proprietatea c A B AB+ = .Artai c: a) AB BA= ;

b) *,k krangA rangB k N = Romeo Ilie, Braov

XI. 243 Fie irul ( ) 1n nx definit prin 1 0x i ( )1 , 1lnnn

nxx ne x

+ = + .

a) Demonstrai c ( )

1n nx

este convergent i lim 0n

xx

= .

b) Calculai lim n

xn x

.

c)

Aflailn

limln

n

x

x

n.

* **XI. 244 Fie ( ) *n na un ir convergent i ( )

*1 ,n n nx n a a n+= .

Artai c, dac irul ( )1n n

x

are limit, atunci lim 0nn

x

= .

Prof. Vladimir Cerbu, Cmpulung Moldovenesc, Suceava

XI. 245 Fie :f funcia definit prin ( ) 3 23 2f x x x x= + .

Artai c:a)

Funcia f este bijectiv;

b) Exist M astfel nct ( )1f x M x , oricare ar fi x .

Dorel I. Duca, Cluj Napoca

XI. 246 Fie ( )2,A B astfel nct2 2A B AB+ = i 2BA O= .

Demonstrai c 2AB O=

Dinu erbnescu, Bucureti

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

57/64

57

XI. 247 a) Dac matricea ( )2A satisface relaia3 2

23 4 2A A A I + = , artai c ( ) 2Tr A = , unde ( )Tr A reprezint urmamatricei A .

b)Artai c exist matricea ( )2A pentru care3 2

23 4 2A A A I + = i ( ) 2Tr A prof. Dan Popescu, Suceava

XI. 248 Fie [ ]: ,f a b o funcie derivabil, cu ( )f a b= i ( )f b a= .

S se arate c exist ( )1 2, ,c c a b astfel nct ( ) ( )1 2' ' 1f c f c = .Dorel Mihe, Timioara

XI. 249 Artai c funcia ( ): , sing g x x x = + este bijectiv.* * *

XI. 250 Fie :f o funcie derivabil, cu ( )0 0f = , astfel nct

( ) ( ) ( )2 21 ' 1x f x f x+ + pentru orice x .

S se calculeze ( )limx f x .Lucian Dragomir, shortlist ONM

8/11/2019 RMCS_nr.43, vers.10

58/64

58

Rubrica rezolvitorilor

nainte de a scrie aici ceva, trebuie s v rugm din nou ca, atuncicnd trimitei rezolvrile problemelor, s scriei pe plic, jos n stnga,

clasan care suntei !!!

Aa cum anunam n RMCS nr. 39, la pagina 21, punctajelorobinute n urma evaluriisoluiilor trimise pe adresa noastr li se aduncele publicate n Gazeta Matematic (sau pe www.viitoriolimpici.ro

pentru participanii la concursul Gazetei), precum i punctajul ponderatobinut (dac e cazul)la ediia anterioar a Concursului RMCS.

Reamintim c punctajele cumulate le putei gsi (atunci cndcomisia de evaluare finalizeaz aceast activitate) pe paginawww.neutrino.ro, la seciunea CS MATE, 2012 2013, Concursuri,tabere, Rezolvitori _ concurs RMCS 2013.

Clasa a II-a

c. Nr. 2 Reia:Buzera Vlad Petru (270), Volintiru Andrei (251), DoranRaisa (249), Constantin Teodora Cristina (243), Palik Diana (230), Calfa

Nicoleta (225), Voicu Mdlina (171), Bereghi Mdlina (117), FoghiAdrian (105), Prvulescu Mdlina (101), Gu Raul (100), PotraAlexandru Andrei (100), Lozneanu Izabela (50), era Denisa (50); c.Romul Ladea Oravia: Teicu Dusan (45); Col. Na. Traian LalescuReia: Clin Radu (200); Lic. Hercules Bile Herculane: CherciuAndra (195), Filipoaia Claudiu (194), Arjocu Ionu (100), Ioca Nicholas(100); Lic. Eftimie Murgu Bozovici: Negru Iasmina Anamaria (100),Borozan Tismanariu (99), Suta Boldea Andreea Dochia (97), Tunea

Alexandra (96), Marin Victoria Maria Florina (95), Mustata Cristian (95),Stan Eduard Nicolae (90), Tudor Ariana Tania (90).

Clasa

rmcs_nr.43, vers.10

Documents