rezolvari subiecte matematica
TRANSCRIPT
Enunturi setul de subiecte numarul 1
I) Determinati multimea punctelor de convergenta ale seriei:
II) Determinati punctele de extrem local ale functiei:
III) Fie ,
a) Sa se afle astfel incat sa fie densitate de probabilitate pentru o variabila aleatoare de tip continuu.
b) Sa se calculeze media si dispersia variabilei aleatoare .c) Sa se determine functia de repartitie a variabilei aleatoare .
d) Sa se calculeze si
IV) Fie si doua variabile aleatoare discrete avand repartitiile, comuna si marginala (sau individuale) date in tabelul incomplet de mai jos, in care este un parametru real iar
1) Determinati repartitiile variabilelor si .2) Calculati dispersiile lui si lui .3) Determinati repartitia comuna a variabilelor si in functie de parametrul .4) Calculati coeficientul de corelatie al variabilelor si in functie de .5) Determinati valoarea lui pentru care si sunt independente.
Rezolvari pentru setul de subiecte numarul 1
YX
2 4
1
3
I) Seria este o serie de puteri.
Conform teoremei lui Abel, pentru orice serie de puteri de forma exista un
numar astfel incat:
1. seria este absolut convergenta pe intervalul ;
2. seria este divergenta pe multimea ;
3. pentru orice seria este uniform convergenta pe .
Numarul se numeste raza de convergenta a seriei de puteri, iar se numeste intervalul de convergenta al seriei.
Asadar trebuie sa determinam pe pentru a putea preciza care este multimea de convergenta a seriei de puteri date.
Pentru determinarea lui folosim teorema Cauchy-Hadamard care spune ca daca
este o serie de puteri avand raza de convergenta si daca notam
, atunci ( este simbolul grecesc “omega”)
In cazul nostru se observa ca
Deci pentru a-l determina pe trebuie sa calculam =
= = = = (cand si tind
catre 0).
Asadar . Deci, conform teoremei lui Abel, seria data este convergenta pe
intervalul .
Nu cunoastem insa comportamentul seriei in punctele si si de aceea tratam
separat cele doua cazuri (cand si cand )
Pentru seria devine = care este o
serie numerica alternanta deoarece produsul oricaror doi termini consecutivi este negativ. Pentru ca aceasta serie sa fie
convergenta ar trebui, conform criteriului lui Leibniz ca sirul sa fie
descrescator si ca sa fie 0.
Se observa ca sirul este descrescator ( , , ,
… ) si limita sa este 0 deoarece
Asadar punctul este si el punct de convergenta pentru seria de puteri data.
Pentru seria devine = care este o serie cu
termeni pozitivi.
Folosind criteriul radacinii (al lui Cauchy) stim ca daca avem o serie de termeni
pozitivi pentru care exista un numar natural si un numar astfel incat
sa aiba loc inegalitatea , pentru orice atunci seria este convergenta.
In cazul nostru si
Se vede ca daca luam si atunci pentru orice avem
. Deci seria este convergenta, deci si punctul
este punct de convergenta pentru seria de puteri data.
Valoarea pentru a fost aleasa cont ca sirul este descrescator si ca pentru
avem ; cu alte cuvinte puteam alege pentru orice valoare din
intervalul .
Asadar multimea de convergenta a seriei este
II) Pentru a determina punctele de extrem local ale functiei determinam mai intai punctele stationare ale acestei
functii.
Punctele stationare ale functiei sunt solutii ale sistemului
In cazul nostru (derivam functia considerand ca x
este variabila iar y este constanta) iar (derivam functia
considerand ca y este variabila si x este constanta). Am folosit faptul ca
unde este o constanta si faptul ca unde .
Deci pentru functia data, punctele stationare sunt solutii ale sistemului:
Din a doua relatie rezulta ca . De mentionat ca din relatia
rezulta ca atat cat si sunt diferite de 0.
Inlocuim in prima relatie si obtinem:
Notam si inlocuind in relatia de mai sus obtinem: care este o
ecuatie de gradul 2 cu solutiile
si .
Revenind in notatie rezulta ca sau adica sau
Deci avem 4 cazuri: , , si
Pentru rezulta punctul stationar
Pentru rezulta punctul stationar
Pentru rezulta punctul stationar
Pentru rezulta punctul stationar
Asadar am obtinut 4 puncte stationare pentru functia
Multimea punctelor de extrem local este o submultime a multimii punctelor stationare, cu alte cuvinte, punctele de extrem local (daca exista) se aleg dintre punctele stationare.
Pentru a vedea care dintre punctele stationare sunt si puncte de extrem local trebuie ca pentru fiecare punct stationar sa calculam expresia:
Daca , atunci este punct de extrem local pentru si anume punct de
minim daca si punct de maxim daca
Daca atunci punctual este punct şa.
Asadar avem nevoie si de derivatele de orinul 2 ale functiei
Deci in cazul nostru:
Pentru punctul avem:
rezulta ca punctul este punct de extrem local si cum
rezulta ca este punct de maxim local.
Pentru punctul avem: rezulta ca punctul este punct de
extrem local si cum rezulta ca este punct de minim local.
Pentru punctul avem: rezulta ca punctul
este punct şa.
Pentru punctul avem:rezulta ca punctul este punct şa.
III) a) Conditia ca functia sa fie densitate de probabilitate pentru o variabila aleatoare de tip continuu este ca functia sa fie integrabila pe astfel incat
si
Deci trebuie sa calculam , unde
Pe intervalele si , Pe intervalul ,
Deci
Deci
Se observa ca pentru este indeplinita si condtita ca
b) Media variabilei aleatoare de tip continuu pentru care functia este densitate de probabilitate este:
Dispersia variabilei aleatoare de tip continuu pentru care media este este:
unde
Am calculat la punctul a) si stim deja ca functia noastra
Calculam dispersia
Asadar
Calculam acum
Deci
Asadar
c) Functia de repartitie a variabilei aleatoare este:
Avem 3 cazuri posibile:
Cazul I - cand caz in care deci
Cazul II - cand caz in care deci
.
Deci pentru ,
Cazul III - cand caz in care deci
Asadar
d)
In cazul nostru
Deci
=
Deci
Am vazut mai sus ca
Asadar:
IV) 1) Pentru determinarea repartitiilor variabilelor si am notat valorile necunoscute din tabelul dat cu , repectiv :
Pentru corectitudinea redactarii am schimbat notatia care era initial data in enunt. Mai exact in loc de am pus si in loc de am pus (dealtfel acestea sunt si notatiile folosite in curs).
Semnificatia lui este: , si , unde
In plus pentru si pentru
Concret:
Din si
Din
Din
Din
Asadar repartitia variabilei este si repartitia variabilei este
2) Pentru a calcula dispersiile variabilelor si calculam mai intai mediile lor:
YX
2 4
1
3
1
Dispersiile variabilelor si sunt:
3) Repartitia comuna a variabilelor si in functie de parametrul real este data de tabelul de mai jos:
4) Coeficientul de corelatie al variabilelor si se calculeaza dupa relatia:
, unde iar
YX
2 4
1
3
1
Deci:
Asadar coeficientul de corelatie al variabilelor si este:
5) Conditia ca variabilele si sa fie independente este:
,
Concret:
Din
Verificam daca si celelalte 3 relatii sunt indeplinite pentru
Adevarat
Adevarat
Adevarat.
Asadar variabilele si sunt independente pentru
Enunturi setul de subiecte numarul 2
1 ) a) Sa se determine multimea de convergenta a seriei: ,
b) Enuntati si demonstrati criteriul radacinii pentru serii cu termini pozitivi.
2) Aflati punctele de extrem local ale functiei ,
3) Fie functia ,
a) Sa se afle constanta astfel incat sa fie densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare X.
b) Sa se determine M(X) si D(X).c) Sa se afle functia de repartitied) Sa se calculeze .
4) Intr-un magazin, la sfarsitul unei zile, stocul din produsul P1 se termina cu probabilitatea 0.3, stocul din produsul P2 se termina cu probabilitatea 0.4 iar stocul ambelor produse se termina cu probabilitatea de 0.1. Sa se determine probabilitatea ca:
a) sa se termine cel putin un stocb) sa se termine numai un stocc) sa nu se termine niciun stoc.
5) a) Sa se estimeze parametrul din legea de probabilitate:
b) Sa se defineasca estimatorul absolut corect.
Raspunsuri/rezolvari pentru setul de subiecte numarul 2
1) a) Se rezolva la fel ca subiectul I) de la setul de subiecte numarul 1.
b) Criteriul radacinii pentru serii cu termini pozitivi a fost deja folosit pentru rezolvarea
subiectului I) de la setul de subiecte numarul 1 (cand am demonstrat ca punctul este
punct de convergenta).
Enuntul:
Fie o serie cu termini pozitivi:
a) Daca exista un numar natural si un numar , astfel incat sa aiba loc
inegalitatea , pentru orice , atunci seria este convergenta.
b) Daca , pentru o infinitate de termini, atunci seria este divergenta.
Demonstratia ar trebui sa se gaseasca in curs (daca nu se gaseste atunci nu ar trebui sa fie data la examen). Cred ca pentru un economist este suficient sa stie enuntul si sa il aplice.
2) Se rezolva la fel ca subiectul II) de la setul de subiecte numarul 1.
3) Se rezolva la fel ca subiectul III) de la setul de subiecte numarul 1.
4) Conform definitiei evenimentelor independente, doua evenimente si sunt independente daca
In cazul nostru, notam cu evenimentul “stocul din produsul se termina” si cu evenimentul “stocul din produsul se termina”.
In enunt ni se dau , si Observam ca . De aici deducem ca evenimentele nu sunt independente (deci sunt dependente).
a) Probabilitatea sa se termine cel putin un stoc este:
b) Probabilitatea sa se termine numai un stoc este egala cu probabilitatea sa se termine cel putin un stoc minus probabilitatea sa se termine ambele stocuri:
c) Probabilitatea sa nu se termine niciun stoc este egala cu probabilitatea totala adica 1 minus probabilitatea sa se termine cel putin un stoc adica:
Acest subpunct este o aplicatie la prima din cele doua legi ale lui De Morgan:
Cum
5) a) Dorim sa estimam parametrul din legea de probabilitate :
Consideram ca avem o selectie si folosim metoda momentelor.
Avem de rezolvat ecuatia:
Deci
Pentru calculul acestei integrale folosim formula de calcul:
Asadar
Deci
Inlcuind pe in ecuatia obtinem:
b) Spunem ca este o estimare absolut corecta a parametrului daca:
si
Mult succes!