Rezolvarea problemelor compuseTrecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuseconstituie un moment de salt calitativ. Pentru a realiza trecerea de la problemelesimple la cele compuse exista doua posibilitati:• regizarea unei actiuni care sa cuprinda doua faze distincte, formularea problemeiastfel ıncat s cuprinda cele doua faze ale actiunii si apoi rezolvareaacelei probleme;• rezolvarea succesiva a doua probleme simple astfel ıncat rezultatul primeiprobleme sa constituie un element al celei de a doua.Rezolvarea oricarei probleme trece prin mai multe etape. In fiecare dintre acesteetape, datele problemei apar ın combinatii noi, reorganizarea lor la diferite niveluriducand catre solutie. Procesul implica atat analiza cat si sinteza, elevul separa sireconstituie, desprinde si construieste rationamentul. Diferitele elemente luate ınconsiderare ısi dezvaluie mereu noi aspecte (analiza) ın functie de combinatiile ıncare sunt plasate (sinteza).Principalele evenimente implicate ın rezolvarea problemelor sunt:1. Prezentarea problemei, care se poate realiza prin formulare verbala sau pealta cale.2. Definirea problemei este facuta de catre elev, care distinge caracteristicileesentiale ale situatiilor din problema.3. Formularea ipotezelor este realizata de catre elev, care distinge posibile caice pot fi aplicate ca modalitate de rezolvare.4. Verificarea ipotezelor pana cand se gaseste una care duce la solutia cautata.Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea si formularea unoripoteze si verificarea lor. Formularea acestor ipoteze presupune atat un fond decunostinte pe care elevul le aplica ın rezolvarea problemelor, cat si o gama variatade deprinderi si abilitati intelectuale necesare ın procesul rezolvarii problemelor.Diferitele ipoteze (variante de rezolvare) nu apar la ıntamplare. Ele iau nasterepe baza asociatiilor, pe baza cunostintelor asimilate anterior. Cu cat experientarezolutiva este mai bogata, cu atat sunt mai mari sansele ca ipotezele care se nascın mintea rezolvitorului sa ıl conduca mai repede la o rezolvare.Etapele acestui proces complex trebuie ınsusite de catre elevi ca orice alt procedeude activitate intelectuala.

Etapele rezolvarii problemelor compuse

Cunoasterea enuntului problemeiCunoasterea enuntului problemei de catre elevi se realizeaza prin actul citirii textuluide catre profesor, apoi de catre elevi. Citirea textului unei probleme estediferita de citirea unui text literar. Prin citirea unei probleme se urmareste:• retinerea datelor;• stabilirea relatiilor dintre date;• fixarea necunoscutelor.Accentul trebuie pus pe delimitarea ipotezei de concluzie, a ceea ce se cunoastede ceea ce trebuie aflat.Intelegerea enuntului problemei si scrierea datelor problemeiIntelegerea enuntului problemei si scrierea datelor problemei constituie o etapaimportanta ın desfasurarea procesului de rezolvare a unei probleme. Prin citireatextului, elevii primesc doar un minim de informatii.In aceasta etapa se urmareste:• orientarea ın continut, pentru descoperirea structurii, delimitand si fixandsistemul de date, conditii si cerinte;• explicarea unor cuvinte sau expresii din enunt;• schematizarea problemei si scrierea pe scurt a problemei, retinand esentialul,inclusiv anumite cuvinte-cheie;• scrierea enuntului ın limbaj matematic, folosind diferite notatii si retinanddatele ımpreuna cu semnele operatiilor matematice;• realizarea unei reprezentari grafice.Pentru scrierea datelor problemei, nu se recomanda formalismul excesiv, utilizatpentru simplificarea scrierii. O schematizare prea exagerata duce la un ınteleseliptic al problemei, la crearea unor mecanisme care nu sunt benefice dezvoltariiunei gandiri logice.Analiza problemeiAnaliza problemei si examinarea sau judecarea pe cale sintetica sau analitica areloc pe baza proceselor gandirii, cu scopul eliminarii informatiilor fara semnificatiematematica ale enuntului problemei. Aceasta este faza ın care se construiesterationamentul prin care se rezolva problema, adica drumul de legatura dintre dateleproblemei si necunoscuta. Prin exercitiile de analiza a datelor, a semnificatiei lor,a relatiilor dintre ele si a celor dintre date si necunoscute, se depasesc situatiileconcrete ale problemei si se produce saltul la nivelul abstract.Transpunand problema ıntr-un desen, ıntr-o imagine sau schema, scriind datelecu relatiile dintre ele, etc., se evidentiaza esenta matematica a problemei, adicareprezentarea matematica a continutului ei.Analiza problemei se poate face pe cale sintetica sau analitica. Cele douametode nu constituie metode de rezolvare, ci modalitati de analiza a datelor sirelatiilor din problema.Examinarea problemei prin metoda sintetica presupune un rationament inductiv:prin ıntrebari elevul este dirijat sa formeze perechi de valori numerice pe bazarelatiilor date, formand cate o problema simpla. Rezolvarea succesiva a acestorapoate conduce la rezolvarea problemei. In aplicarea acestei metode trebuie avut ın

vedere sa se formuleze numai acele probleme simple care converg spre ıntrebareafinala. Aceasta pentru ca ın cadrul unor probleme compuse se pot formula si problemesimple care nu converg spre rezultatul final si care abat atentia si gandireaelevilor de la rezolvarea justa. De aceea este necesar ca ın formularea fiecarei problemesimple sa se puna ıntrebarea daca este necesar sa se afle acel lucru.Examinarea problemei prin metoda analitica solicita din partea elevului unefort de gandire mai mare, deoarece el trebuie sa cuprinda ıntregul problemei sinu fragmente din enunt. A examina o problema prin metoda analitica ınseamnaa porni de la ıntrebarea problemei, a stabili datele, ın general necunoscute, cuajutorul carora se poate formula problema simpla a carei ıntrebare sa coincida cuıntrebarea problemei date, apoi a stabili alte date cu ajutorul carora sa se formulezealte probleme simple ale caror rezultate sa constituie elementele problemei simpleprecedente si asa mai departe pana se ajunge la prima problema simpla care sepoate formula pe baza datelor problemei compuse respective, date ce trebuie safie ambele cunoscute. Pornind de la aceasta problema simpla, se arata ın modsuccesiv toate problemele simple care pot fi formulate, fiecare utilizand datelecelei precedente, pana se ajunge la problema simpla al carei rezultat este ınsusirezultatul problemei date. Acest tip de analiza este dominant deductiva.Metoda sintetica este mai usoara, mai accesibila elevilor datorita faptului canu necesita un proces de gandire de mare profunzime. De aceea este ıntrebuintatacu precadere mai ales ın primele trei clase. Intrebuintarea acestei metode poateduce la greseli, prin formularea unor probleme simple care nu sunt necesare, tocmaidatorita faptului ca procesul de gandire nu este orientat ın mod clar spre ıntrebareafinala, pentru ca nu porneste de la aceasta ıntrebare.Metoda analitica formuleaza problemele simple ın functie de ıntrebarea finala,deci apeleaza numai la acele probleme simple ce converg spre ıntrebarea finalasi care concura la stabilirea raspunsului corespunzator acestei ıntrebari. Este maigrea pentru ca presupune un proces de gandire continuu si de profunzime, faptpentru care exista tendinta de a fi ocolita. Dar ıntrebuintarea acestei metode contribuieıntr-o mai mare masura la dezvoltarea gandirii logice si numai cunoastereasi ıntrebuintarea ei creeaza posibilitatea rezolvarii de catre elevi a problemelorın mod independent. Este necesar ca pe masura ce elevii dobandesc pricepereade a examina problemele prin metoda sintetica, sa se treaca treptat la utilizareametodei analitice, mai ales la clasele a III-a si a IV-a.Procesul analitic nu poate fi izolat de cel sintetic, ıntrucat cele doua metodeformeaza o unitate ın cadrul proceselor de gandire, astfel ca nu poate fi vorbade utilizarea cu exclusivitate a uneia sau alteia din aceste metode. In analizaunei probleme intervin ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar degandire, dar ın anumite momente, una dintre ele este dominanta. Astfel, descompunereaunei probleme compuse ın problemele simple din care este formata, esteprin esenta un proces de analiza, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilireasuccesiunii problemelor simple, este un proces de sinteza. Cu alte cuvinte, exista ostransa interdependenta ıntre procesele de analiza si sinteza, ele conditionandu-sereciproc si realizandu-se ıntr-o unitate inseparabila.Intocmirea si realizarea planului de rezolvareConcluziile care rezulta din examinarea unei probleme se concretizeaza ın planul de

rezolvare. Acesta arata etapele succesive ale procesului de gandire care a avut locın examinarea problemei, fiecare punct al planului reprezentand ıntrebarea uneiadintre problemele simple ın care s-a descompus problema data.Planul de rezolvare poate fi formulat prin propozitii interogative sau prinpropozitii afirmative. Formularea planului de rezolvare prin propozitii afirmativeconstituie o etapa superioara ın dezvoltarea gandirii elevilor si a formarii priceperilorsi deprinderilor de rezolvare a problemelor.O caracteristica importanta a desfasurarii procesului de examinare a unei prob-leme si de stabilire a planului de rezolvare o constituie faptul ca ın tot acest timpse lucreaza numai cu marimi si cantitati, deci cat mai putin cu numere, fara sa seefectueze nici un fel de calcule. De aceea aceste procese apar ca procese de gandire,de stabilire a raporturilor cantitative dintre marimi si nu au aspectul unor relatiide calcul. Operatiile pe care le reclama rezolvarea problemelor simple prevazute ınplanul de rezolvare urmeaza sa se faca dupa ce acest plan a fost complet formulatsi apoi repetat de catre elevi.Realizarea planului pretinde stabilirea operatiilor aritmetice, scrierea scriereasi efectuarea calculelor. Prin formularea planului de rezolvare si esalonarea pepuncte a problemei date, aceasta se descompune ın tot atatea probleme simple,care urmeaza sa fie rezolvate ın ordinea stabilita. Pentru rezolvarea unei problemesimple este necesar sa se stabileasca, pe baza unui nou proces de gandire, operatiacorespunzatoare, sa se scrie aceasta operatie si apoi sa se efectueze mintal sau ınscris.De aceea urmeaza sa se trateze separat fiecare punct al planului de rezolvare,aratandu-se ın primul rand procesul de gandire care sta la baza stabilirii operatieicorespunzatoare, sau care justifica aceasta operatie, dupa care sa se scrie operatiaın partea stanga a tablei, termenii operatiei scriindu-se cu numere concrete si ınordinea indicata de procesul de gandire. In cazul cand calculele se efectueaza ınscris, acestea se scriu ın partea dreapta a tablei, dupa regulile stabilite la calculul ınscris, termenii operatiei scriindu-se fara denumirea unitatilor pe care le reprezinta.De asemenea, pentru efectuarea calculului ın scris se aplica, daca este necesar,proprietatile generale ale operatiilor aritmetice.Activitati suplimentare dupa rezolvarea problemeiActivitatile suplimentare dupa rezolvarea problemei se centreaza pe exprimareaprincipiului general de rezolvare, ın vederea integrarii problemei ın tipul sau categoriadin care face parte.Aceasta etapa consta ın verificarea solutiei problemei, ın gasirea si a altormetode de rezolvare si de alegere justificata a celei mai bune. Acum se realizeaza autocontrolul asupra felului ın care s-a ınsusit enuntul problemei, asuprarationamentului realizat si a demersului de rezolvare parcurs.O atentie deosebita trebuie acordata problemelor care admit mai multe procedeede rezolvare. Formarea priceperilor de a gasi noi procedee de rezolvarecultiva mobilitatea gandirii, creativitatea si simtul estetic, prin eleganta, simplitatea,organizarea economica a rezolvarii. Se educa de asemenea atentia, spiritulde investigatie si perspicacitatea.Pe baza planului, se construiesc expresiile matematice care ınglobeaza datele siconditiile din problema sub forma unui exercitiu cu doua sau mai multe operatii.

Acest exercitiu leaga ıntr-o singura expresie aritmetica toate operatiile care core-spund judecatilor formulate. Rezolvarea acestui exercitiu constituie si o modalitatede verificare a corectitudinii rezultatului.Expresia numerica ce transcrie rezolvarea sub forma unui exercitiu se referala cazul concret si nu reprezinta un algoritm de rezolvare pentru o categorie deprobleme. Daca la scrierea rezolvarii printr-un exercitiu se ınlocuiesc datele culitere, se obtin formule literale care surprind algoritmul de rezolvare a problemeisi care pot fi folosite ın compunerea sau rezolvarea altor probleme.Privirea retrospectiva asupra rezolvarii constituie o etapa cu multe implicatiiformative pentru elevi:• se verifica daca rezultatul obtinut ındeplineste toate conditiile din enunt,oferind astfel ınca o oportunitate pentru ıntelegerea drumului parcurs ınrezolvare;• se ofera posibilitatea de a uniıntr-unıntreg ideile din plan, deoarece continutulproblemei a fost fragmentat ın activitatea de rezolvare;• se descopera asemanari si deosebiri ıntre schema de rezolvare a problemeidate si schemele altor probleme, aceste operatii constituind primele exercitiide formare a algoritmilor de recunoastere, atat de necesari ın alegerea algoritmuluide lucru;• se cauta alte procedee de rezovare, se compun probleme asemanatoare saudiferite.O problema este cu atat mai dificila cu cat difera mai mult de problemelerezolvate anterior, deci cu cat situatia noua cere o restructurare mai profunda aexperientei anterioare. Dat fiind faptul ca posibilitatile scolarului mic de folosirea cunostintelor si de raportare a relatiilor vechi la cele noi sunt ınca insuficientdezvoltate, actiunile principale ale profesorului trebuie sa urmareasca ıntelegereade catre elevi a specificului rezolvarii prin alegerea unui procedeu simplu pentruproblemele care, desi par diferite, au ın esenta aceeasi structura.

Activitatea de compunere de probleme

Activitatea de compunere a problemelor ofera terenul cel mai fertil pentru cultivareasi educarea creativitatii si a inventivitatii. Creativitatea gandirii se poatecultiva pe baza unor deprinderi corect formate, stabilizate si eficient transferate.Trecerea de la rezolvarea problemelor, unde deprinderile si abilitatile se referaın special la analiza datelor, a conditiei, la capacitatea de a ıntelege ıntrebarea si aorienta ıntreaga desfasurare a rationamentului ın directia descoperirii unei metodede rezolvare, se face ın mod gradat, prin:• complicarea unei probleme prin introducerea de noi date sau prin modificareaıntrebarii;• rezolvarea problemei prin mai multe procedee:– scrierea rezolvarii problemei ıntr-o singura expresie;– alegerea celei mai elegante cai de rezolvare;– determinarea schemei generale de rezolvare si ıncadrarea problemei ıncategoria respectiva.Compunerea de probleme este una dintre modalitatile principale de a dezvoltagandirea independenta si originala a elevilor, a pasiunii pentru matematica.Se pot compune si crea probleme ın urmatoarele forme, respectandu-se succesiuneagradata:• compunerea de probleme dupa imagini;• compunerea de probleme dupa modelul unei probleme rezolvate anterior;• compunerea de probleme cu indicarea operatiilor matematice ce trebuie efectuate;• compunerea de probleme dupa un plan stabilit;• compunerea de probleme cu mai multe ıntrebari posibile;• compunerea de probleme cu ıntrebare data;• compunerea de probleme cu ıntrebare probabilistica;• compunerea de probleme cu ınceput dat, cu sprijin de limbaj;• compunerea de probleme cu marimi date, cu valori numerice date;• compunerea de probleme dupa un exercitiu simplu sau compus;• compunerea de probleme dupa un model simbolic;• compunerea de probleme cu modificarea continutului si a datelor; • compunerea de probleme, crearea libera de probleme, eventual rebusisticesau de perspicacitate.In activitatea de compunere a problemelor, trebuie sa se tina seama de posibiltatile elevilor, prin sarcini gradate, trecandu-se treptat de la compunerea liberala cea ıngradita de anumite conditii din ce ın ce mai restrictive. Se recomanda caatat ın compunerea de probleme cat si ın rezolvarea acestora sa se utilizeze joculdidactic.Profesorul are sarcina sa conduca aceasta activitate prin indicatii clare, prinexemple sugestive folosite ca modele, prin cerinte rationale, sa canalizeze gandireasi imaginatia copiilor spre asociatii din ce ın ce mai putin ıntamplatoare. Este necesarca profesorul sa aiba permanent ın atentie ımbunatatirea continua a exprimariicorecte a copiilor, orala si ın scris, atat din punct de vedere matematic cat si gramatical;ımbogatirea vocabularului; cresterea continua a volumului de cunostinte,de corelare a lor si, mai ales, de transfer si folosirea acestora ın practica; nuantarea

exprimarii orale a copiilor ın expunerea problemelor propuse, pentru a scoate ınevidenta atat datele, cat mai ales relatiile dintre ele si ıntrebarea problemei.Compunerea de probleme ın clasele I-IV poate constitui o premisa reala sieficienta pentru o viitoare munca de cercetare, pentru activitatea ulterioara decreatie, inovatie, inventie si o modalitate sigura de sporire a rolului formativ alınvatamantului matematic din ciclul primar.