proiectarea optimalĂusers.utcluj.ro/~claudiar/proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32...

32
Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice 1/32 PROIECTAREA OPTIMALĂ A DISPOZITIVELOR ELECTROMAGNETICE Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR CURS 8 PODE e-mail: Claudia.Pacurar @et.utcluj.ro

Upload: others

Post on 06-Dec-2020

12 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice1/32

PROIECTAREA OPTIMALĂ

A DISPOZITIVELOR

ELECTROMAGNETICE

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

CURS 8

PODE

e-mail: [email protected]

Page 2: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice2/32 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

PARTEA II

Page 3: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice3/32

Obiectivul cursului

Structura cursului

METODE DE ANALIZĂ A SENSIBILITĂŢII

Derivata în raport cu un parametru electro-fizic

Rezolvarea problemelor de optimizare a formei utilizând metode de

căutare de tip determinist

Formularea problemelor de optimizare a formei unei interfeţe de separaţie

a vizează definirea evaluarea derivatelor matricelor elementare, precum şi

derivarea în raport cu un parametru geometric, în contextul rezolvării

problemelor de câmp electromagnetic printr-o metodă numerică şi în mod

particular în cazul utilizării MEF.

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 4: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice4/32

Derivata în raport cu un parametru electro-fizic

a) Derivata matricei locale a coeficienţilor în raport cu reluctivitatea magnetică:

p = e

M

p

e

e

=

1[ ].M e

b) Derivata matricei locale a termenilor liberi în raport cu reluctivitatea magnetică:

p = e

Q

p

e

= 0.

c) Derivata matricei locale a coeficienţilor în raport cu densitatea de curent:

p = Je

M

p

e

= 0.

d) Derivata matricei locale a termenilor liberi în raport cu densitatea de curent:

p = Je

Q

p J

e

e

=1

.{ }Qe

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 5: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice5/32

Rezolvarea problemelor de optimizare a formei utilizând

metode de căutare de tip determinist

În acest curs, sunt prezentate câteva aplicaţii de optimizare a formei unor interfeţe

de separaţie rezolvate prin metode de optimizare tip HODOM.

În acest scop s-a elaborat un program de analiză numerică de câmp prin MEF, în

care modulul de pre-procesare, respectiv de generare a reţelei de discretizare cu

elemente finite triunghiulare de ordinul I permite definirea parametrică a interfeţei

căutate, conform celor prezentate în cursurile anterioare.

Elaborarea unui programde analiză numerică de câmp prin MEF a fost necesară

deoarece, aşa cum s-a arătat şi în cursurile anterioare, aplicarea metodelor de

căutare de tip determinist în care sensibilitatea este evaluată pe cale analitică,

necesită accesul la nivelul programului sursă ceea ce nu este posibil în cazul

utilizării unui software comercial.

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 6: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice6/32

În acest mod se evaluează ecuaţiile de sensibilitate în raport cu un parametru de

natură geometrică şi/sau electro-fizică.

Diferite tehnici de optimizare de tip HODOM au fost implementate de către autor

alături de acest modul de analiză numerică, formând în final un pachet de

programe performant care permite rezolvarea unei clase aparte de PIE şi anume

cele cunoscute în literatură ca fiind probleme de optimizare a formei.

Pachetul de programe, scris în limbajul FORTRAN 77 a fost testat pentru diferite

configuraţii de câmp magnetic staţionar în vederea optimizării formei unor interfeţe

de separaţie.

Rezultatele obţinute sunt prezentate şi comentate în continuare.

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 7: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice7/32

Formularea problemelor de optimizare a formei unei

interfeţe de separaţie

Utilizând notaţiile introduse în acest curs,

pentru problema bidimensională de câmp

magnetic staţionar prezentată în figură,

problema de optimizare a formei se reduce

la găsirea interfeţei de separaţie 12 (sau

numai a unei anumite părţi a ei) astfel încât

în subdomeniul m să se obţină o anumită

distribuţie impusă a inducţiei magnetice (de

obicei constantă, sinusoidală,

cosinusoidală, etc.). Se studiază, clasa de

probleme în care câmpul magnetic

staţionar se consideră plan-paralel, cu

domeniul de existenţă conţinut în planul

xOy şi delimitat de frontiera .

y

x

n12

1

12

2

m

z

Structura problemei de optimizare a

formei unei interfeţe de separaţie 12

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 8: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice8/32

În formularea problemelor de analiză numerică a câmpului magnetic staţionar

autorul a adoptat următoarele ipoteze simplificatoare:

• există doar componentele pe axa Oz ale potenţialului magnetic vector A şi

ale densităţii de curent J:

A k k

J k k

= =

= =

A x y A

J x y J

z

z

( , ) ,

( , ) .

• miezul feromagnetic se consideră omogen, izotrop şi fără magnetizaţie

permanentă.

Optimizarea formei interfeţei 12 a fost studiată atât în cazul unui mediu liniar cât şi

neliniar. În vederea formulării problemei de optimizare a interfeţei căutate, variabilele

de proiectare sunt grupate în vectorul {p}:

{ } { , ,......., } .p = p p pn

T

1 2

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 9: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice9/32

Variabilele de proiectare pi sunt asociate coordonatelor carteziene ale nodurilor de

control plasate pe interfaţa căutată. Nodurile de control se pot deplasa atât după

direcţia axei Ox cât şi Oy. S-a adoptat soluţia de corespondenţă directă între nodurile

de control şi respectiv nodurile reţelei de discretizare.

Această soluţie asigură obţinerea unui contur “neted” în ipoteza evaluării informaţiei

de sensibilitate prin metoda analitică directă:

şi într-un timp de calcul rezonabil.

Pentru menţinerea unei topologii constante, la nivelul reţelei de discretizare, s-a

adoptat metoda elementului de proiectare.

MQ M

p p pi i i

= .

Orice problemă de optimizare a formei unei interfeţe de separaţie poate fi adusă în

forma canonică cunoscută din teoria programării matematice conform căreia se

caută:

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 10: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice10/32

min max

i1, 2,...,n .

=

= −

=

2

1

1minimul funcţiei : ({ }) ( ) ,

2

supus restricţiilor ,

qe e

l fix

l

i i

f p B B

p p p i

e

lB

e

fixB

min max

i ip şi p

- unde: ➢ q reprezintă numărul punctelor de testare a valorii inducţiei

magnetice din zona de interes m;

➢ (T) reprezintă inducţia magnetică calculată în zona de interes m

pe baza analizei numerice de câmp prin MEF. Această mărime

depinde implicit de variabilele de proiectare adoptate, prin

intermediul potenţialului magnetic vector A;

➢ (T) reprezintă valoarea impusă în fiecare punct de testare m

astfel încât curba de variaţie a inducţiei magnetice să îndeplinească

condiţia impusă;

➢ (m) reprezintă valorile minime şi respectiv maxime

impuse variabilelor de proiectare adoptate.

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 11: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice11/32

Cu ipotezele adoptate anterior, modelul matematic variaţional formulat revine la

extremizarea pe domeniul de câmp , în raport cu potenţialul magnetic vector, a

funcţionalei de tip energetic:

W d d d

B

N

N

( ) ,A H B J AA

nA= −

0

cu condiţiile de unicitate aferente: de material, de sursă şi la limită (de frontieră

Dirichlet şi/sau Neumann şi pe interfaţa subdomeniilor de câmp). Dintre aceste

condiţii, cele de frontieră Neumann neomogene (A/n 0 pe N ) şi cele de

interfaţă sunt condiţii la limită naturale în procesul de extremizare a

funcţionalei energetice din această expresie.

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 12: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice12/32

Rezolvarea numerică prin MEF a modelului matematic variaţional de câmp magnetic

staţionar constă în obţinerea unei aproximante discrete a funcţiei de potenţial

magnetic, ce realizează extremul funcţionalei din relaţia anterioară în domeniul de

câmp , cu condiţiile de unicitate aferente. Pentru aceasta, domeniul bidimensional

de câmp magnetic se partiţionează într-un număr finit de elemente triunghiulare de

ordinul I. Această discretizare a domeniului permite înlocuirea funcţionalei

energetice din expresia anterioară prin suma contribuţiilor We[Ae] a tuturor

elementelor finite "e" aparţinând partiţiei:

W W Ae e

e

[ ] [ ]A =

La nivelul fiecărui element finit "e", funcţia de potenţial magnetic se aproximează prin:

A (x, y) = N x, y A m i j ke

m

em

em( ) , = , ,

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 13: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice13/32

- unde: i, j şi k sunt indexările locale corespunzătoare vârfurilor

triunghiului cu indicele "e";

Ame reprezintă valorile necunoscute ale soluţiei aproximative de

potenţial în nodurile caracteristice elementului finit "e";

Nme(x, y) sunt funcţiile de formă corespunzătoare elementului

finit triunghiular de ordinul I care pot fi calculate utilizând

relaţiile:

em

em

em

em

ei e j k k j

ei e j k

ei e k j

N (x, y) = a + b x + c y , m = i, j, k.

a =1

2( x y - x y ) ,

b = 1

2( y - y ) ,

c = 1

2( x - x ) ,

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 14: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice14/32

- unde: ➢ xm , ym (m = i, j, k) sunt coordonatele carteziene ale nodului

curent "m";

➢ e reprezintă aria triunghiului "e" cu vârfurile i, j, k;

➢ restul termenilor ame, bm

e, cme (pentru j şi k) se obţin prin

permutarea ciclică a indicilor.

În consecinţă, funcţionala energetică elementară:

este aproximată printr-o funcţie dependentă de valorile nodale ale reţelei de

discretizare. Staţionarizarea acestei funcţionale, conform MEF, la nivelul elementului

triunghiular generic "e" conduce la forma matriceală:

eW

W d d d

B

N

N

( ) ,A H B J AA

nA= −

0

=

e

e

e e eW

A = M A + -Q 0 ,

~

[ ]{ } { }{ }

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 15: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice15/32

[ ] ( ) .M B

b b c c b b c c b b c c

b b c c b b c c

b b c c

e e e e

i

e

i

e

i

e

i

e

i

e

j

e

i

e

j

e

i

e

k

e

i

e

k

e

j

e

j

e

j

e

j

e

j

e

k

e

j

e

k

e

k

e

k

e

k

e

k

e

=

+ + +

+ +

+

A A A Ae

i j k

T

= .

{ }e

e eTQ =

J

3 .

1 1 1

- unde: ➢ [Me] este matricea locală a coeficienţilor (3 3), de formă

simetrică, având expresia:

➢ {Ae} este vectorul potenţialelor magnetice necunoscute (3 1),

corespunzător elementului triunghiular "e":

➢ {Qe} reprezintă vectorul termenilor liberi (3 1) corespunzător

elementului triunghiular "e":

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 16: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice16/32

Matricele elementare [Me] şi {Qe} sunt apoi asamblate, rezultând forma condensată de

scriere:

[ ({ })] {M A = Qp p } { ({ })}

- unde: [M({p})] reprezintă matricea globală a coeficienţilor. Este o matrice

pătrată (nn nn), simetrică, pozitiv definită, rară, neliniară (datorită

caracteristicii neliniare a reluctivităţii în regiunile feromagnetice), care

depinde de vectorul variabilelor de proiectare, prin coordonatele

nodurilor din reţeaua de discretizare situate în zona elementului de

proiectare;

{A} reprezintă vectorul valorilor necunoscute (nn 1) ale potenţialului

magnetic în nodurile active ale reţelei de discretizare;

{Q({p})} este vectorul termenilor liberi având dimensiunea (nn 1).

Componentele sale se obţin cu ajutorul funcţiilor de sursă şi al

condiţiilor neomogene de tip Dirichlet şi/sau Neumann pe frontiera

domeniului de câmp. Vectorul este dependent de variabilele de

proiectare adoptate.

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 17: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice17/32

Rezolvarea acestui sistem de ecuaţii, scris sub formă matriceală, depinde de natura

mediului de câmp, care poate fi:

❖ liniară, caz în care matricea globală a coeficienţilor şi corespunzător,

ecuaţia devin liniare. Sistemul algebric de ecuaţii a fost rezolvat cu

metoda Choleski (metoda rădăcinii pătrate);

❖ neliniară, situaţie în care am adoptat metoda iterativă cu două cicluri

accelerate prin relaxare.

Orice mărime de natură electromagnetică (locală sau globală) poate fi evaluată în

acest moment, valoarea potenţialului magnetic vector fiind cunoscută.

În cazul problemei de optimizare a formei unei interfeţe, în vederea obţinerii unei

inducţii magnetice impuse în q puncte de testare din domeniul m, componentele

inducţiei magnetice după axele Ox respectiv Oy pot fi evaluate utilizând relaţiile:

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 18: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice18/32

ex

e

m

me

em

Te e

ey

e

m

me

em

Te e

B = A

y =

N

yA = c A ,

B = -A

x =

N

xA = - b A .

{ } { }

{ } { }

S-au utilizat următoarele notaţii:

{ }

{ }

eT

i j k

eT

i j k

b = b b b ,

c = c c c .

Inducţia magnetică la nivelul fiecărui element triunghiular "e" devine:

e ex

ey

Te e eB = B + B = A M A .( ) ( ) { } [ ]{ }2 2

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 19: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice19/32

Rezolvarea problemei de optimizare

printr-o metodă de tip HODOM presupune calculul informaţiei de sensibilitate.

Componenta gradientului funcţiei obiectiv în raport cu o variabilă arbitrară de

proiectare "p" este dată de relaţia:

min max

i1, 2,...,n .

=

= −

=

2

1

1minimul funcţiei : ({ }) ( ) ,

2

supus restricţiilor ,

qe e

l fix

l

i i

f p B B

p p p i

f

p = B - B

B

p .

l=1

q

le

fix

e le

( )

Utilizând relaţia:

e ex

ey

Te e eB = B + B = A M A .( ) ( ) { } [ ]{ }2 2

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 20: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice20/32

sensibilitatea inducţiei magnetice Be (pentru un element "l" arbitrar) în raport cu

parametrul considerat devine:

e

e xe x

e

ye y

eB

p =

1

BB

B

p + B

B

p .

Sensibilitatea fiecărei componente a inducţiei magnetice, folosind relaţia:

se exprimă prin:

ex

e

m

me

em

Te e

ey

e

m

me

em

Te e

B = A

y =

N

yA = c A ,

B = -A

x =

N

xA = - b A .

{ } { }

{ } { }

xe Te

e Te

e

ye Te

e Te

e

B

p =

p

A

y =

c

pA + c

A

p ,

B

p =

p-

A

x = -

b

pA - b

A

p .

{ } { }

{ } { }

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 21: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice21/32

Înlocuind succesiv aceste relaţii în expresia sensibilităţii de ordinul întâi şi efectuând

calculele, se obţine:

f

p =

B - B

BA

M

pA + 2 A M

A

p .

l=1

qle

fix

e

le l

e T le

le

le T

le l

e( ){ } { } { } [ ]

Principala dificultate, în evaluarea acestei relaţii, constă în determinarea derivatei de

ordinul întâi a potenţialului magnetic, în raport cu toţi parametrii de proiectare şi în

toate nodurile adiacente celor q elemente finite în care se impune valoarea inducţiei

Bfix. Acest calcul trebuie efectuat pentru toate nodurile reţelei de discretizare nn,

chiar dacă informaţia de sensibilitate este necesară, de obicei, pentru pe un număr

mai mic de noduri q.

Informaţia de sensibilitate de ordinul întâi se obţine utilizând metoda analitică directă.

Prin urmare sensibilitatea potenţialului magnetic vector, în raport cu parametrul de

proiectare "p", se obţine rezolvând ecuaţia matriceală:

[ ] { }MA

p =

Q

p -

M

pA .

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 22: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice22/32

Calculul derivatei matricelor globale a coeficienţilor [M] şi respectiv a termenilor liberi

{Q} presupune derivarea, în mod succesiv, în raport cu fiecare parametru în parte a

acestora.

Problemele de optimizare a formei interfeţelor de separaţie, aduse la forma canonică

au fost studiate în două cazuri distincte:

min max

i1, 2,...,n .

=

= −

=

2

1

1minimul funcţiei : ({ }) ( ) ,

2

supus restricţiilor ,

qe e

l fix

l

i i

f p B B

p p p i

❖ fără impunerea de restricţii de variaţie asupra parametrilor de proiectare.

Rezolvarea problemelor a fost realizată utilizând:

➢ metoda de gradient simplă;

➢ metoda gradienţilor conjugaţi (metoda Fletcher-Reeves).

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 23: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice23/32

❖ cu impunerea de restricţii, asupra tuturor parametrilor de proiectare. S-a

utilizat o metodă indirectă de rezolvare, tip SUMT, respectiv metoda

funcţiei de penalizare exterioară. În acest caz pseudo-funcţia obiectiv

ataşată are expresia:

G r B B r g

unde g p p p p p p

l

e

fix

e

l

q

j

j

n

j j j j j j j

({ }, ) ( ) [ ( ({ }), ]

: ({ }) ( ) .

p p

p

= − +

= − + +

= =

1

20

0

2

1

2

1

2

max

min max minmax

Problema nou formulată sub această formă a fost rezolvată, în urma unui proces

secvenţial, printr-o metodă de gradient simplă. Componenta gradientului pseudo-

funcţiei obiectiv este:

G r

pB B

B

pr g p p pl

e

fix

e l

e

j

j

n

l

q

j j j

({ }, )( ) [ ( , )] [ ( )]

p= − + − +

==

2 0 211

max max min

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 24: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice24/32

Valoarea parametrului de penalizare “r” creşte în mod progresiv la fiecare iteraţie de

calcul a procesului de optimizare.

Determinarea pasului optim de deplasare, pe direcţia de căutare găsită (minimizarea

unidimensională) are la bază metoda interpolării pătratice.

Trebuie subliniat faptul că, numai pentru determinarea acestei valori sunt necesare

trei analize numerice de câmp prin MEF, la fiecare iteraţie a procesului de optimizare.

Toate elementele necesare pentru realizarea programului de calcul sunt în acest

moment disponibile.

În figura următoare este prezentată schema bloc a programului, care rezolvă

problema optimizării formei interfeţei de separaţie pentru diferite distribuţii impuse

ale inducţiei magnetice în domeniul de interes m.

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 25: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice25/32

START

Generator de retea parametrizat

file =’date00’

Program principal MEF

Call init

Call element Call asambla

Call rezolv Call magntb

Call obiectd Call iesire

Call derivx Call derivy

Call derivindy

Call discret

Call asamb

Call derivindx Call gradient

Call optim Call iesire

STOP

Call Cholesky Call sum

Call prod Call clcal

Call blcal

Schema bloc a programului de calcul

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 26: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice26/32

Cele mai importante variabile utilizate în program sunt prezentate în acest tabel:

MAXNOD Numărul maxim de

noduri

RELUCT Vectorul coloană a reluctivităţii

magnetice

MAXELM Numărul maxim de

elemente finite

P1 Matricea globală a coeficienţilor

MAXPAR Numărul maxim de

parametrii

Q, DQ Vectorul coloană a termenilor liberi

şi derivata acesteia în raport cu

fiecare parametru în parte

NPARAM Numărul de

parametrii (NPX+NPY)

PELEM,

DPELEM

Matricea locală a coeficienţilor şi

derivata acesteia în raport cu fiecare

parametru de proiectare

NPX, NPY Numărul parametrilor

după axa Ox şi

respectiv Oy

QELEM,

DQELEM

Vectorul local a termenilor liberi şi

derivata acestuia în raport cu fiecare

parametru de proiectare

NNOD Numărul curent de

noduri

OBIECT Funcţia obiectiv impusă

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 27: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice27/32

NELM Numărul curent de

elemente finite

ALFAIN Vectorul coloană a variabilelor de

proiectare

AZ, DAZ Vectorul coloană a

potenţialului magnetic

şi derivata acestuia în

raport cu fiecare

parametru în parte

NGLO Matricea globală a nodurilor care

delimitează fiecare element, ordonată

funcţie de numărul parametrilor

dependenţi

BELM,

DBELM

Vectorul coloană a

inducţiei magnetice şi

derivata acestuia în

raport cu fiecare

parametru în parte

NGRAD Matricea ce conţine informaţia de

sensibilitate la nivelul fiecărui

element finit

CURENT Vectorul coloană a

densităţii de curent

FIXB Vectorul coloană a elementelor finite

în care este impusă valoarea

inducţiei magnetice

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 28: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice28/32

În acest tabel sunt prezentate câteva explicaţii legate de fiecare subrutină în parte:

init (inip,

initq)

Iniţializează la fiecare iteraţie a procesului de optimizare, matricea globală

a coeficienţilor [M] şi respectiv vectorul termenilor liberi {Q} şi a

potenţialului {A};

discret Apelează fişierul de date de intrare ‘date00’ creat în prealabil. Acest fişier

conţine informaţie tipică pentru un fişier de intrare utilizat în probleme de

câmp magnetic rezolvate cu MEF cu menţiunea că, asigură în acelaşi timp

definirea parametrică la nivelul elementului de proiectare. Sunt de

asemenea iniţializate valorile tuturor variabilelor utilizate în program;

element Generează matricea locală a coeficienţilor [Me] şi respectiv vectorul

termenilor liberi {Qe};

asambla Asamblează matricele globale;

rezolv Rezolvă sistemul matriceal obţinut utilizând metoda Cholesky. În acest

scop apelează în mod succesiv:

➢ clcal, blcal - subrutine care evaluează cele două matrice superioară şi

inferioară utilizate în rezolvarea sistemului de ecuaţii;

➢ Choleski - rezolvă sistemul de ecuaţii (pentru cazul liniar);

➢ N-Raphson - pentru cazul neliniar;

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 29: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice29/32

magntb Evaluează componentele inducţiei magnetice Bx, By şi respectiv modulul

acestuia la nivelul fiecărui element finit;

obiectd Evaluează funcţia obiectiv utilizată în procesul de optimizare de forma

ecuaţiei;

derivx,

derivy

Evaluează derivata matricelor locale în raport cu un parametru geometric

(după direcţia x şi respectiv y conform ecuaţiilor prezentate. Sunt utilizate

în acest modul informaţiile corespunzătoare legate de evaluarea

derivatelor coordonatelor nodale, funcţie de tipul acestora: noduri fixe,

intermediare şi respectiv noduri de control;

asamb Asamblează derivatele matricelor globale conform ecuaţiei;

derivindx,

derivindy

Evaluează sensibilitatea componentelor inducţiei magnetice conform

ecuaţiei;

Gradient Evaluează componentele gradientului funcţiei obiectiv în raport cu fiecare

parametru de proiectare în parte;

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 30: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice30/32

optim Apelează modulul de optimizare utilizat la rezolvarea problemei propuse.

Subrutina poate fi modificată funcţie de algoritmul de tip HODOM utilizat.

Tot în acest modul sunt modificate coordonatele nodurilor de control

funcţie de valorile obţinute în urma optimizării. Un nou ciclu de optimizare

este posibil în acest moment;

sum, prod Implementează suma şi respectiv produsul matriceal;

iesire Generează fişierele de ieşire utilizate în faza de post-procesare.

Optimizarea formei interfeţei de separaţie este complet automatizată. În programul

de generare a reţelei de discretizare, prin fişierul ‘date00’ se stabilesc nodurile

principale de proiectare, nodurile fixe şi respectiv cele intermediare. Din acest

moment, coordonatele nodurilor principale de proiectare sunt “lăsate” libere. Ele

reprezintă gradele de libertate pentru modelul de analiză numerică de câmp. Poziţia

lor finală generează forma conturului tălpii polare care asigură satisfacerea

criteriului de performanţă impus.

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 31: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice31/32

După fiecare iteraţie a procesului de optimizare valorile parametrilor de proiectare

se modifică în mod automat. Pentru reluarea ciclului de optimizare se recalculează

coordonatele tuturor nodurilor de discretizare situate în zona elementului de

proiectare, pentru asigurarea unei triangulaţii regulate. O problemă deosebit de

importantă este aceea de a se evita “distorsionarea” exagerată a elementelor

triunghiulare, fapt care poate afecta precizia soluţiei găsite. Acest lucru s-a realizat

prin impunerea unei limite minime, sub care valoarea ariei unui element

triunghiular nu poate coborî.

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

Page 32: PROIECTAREA OPTIMALĂusers.utcluj.ro/~claudiar/Proiectarea optimala a... · 2020. 4. 24. · 5/32 Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice Rezolvarea problemelor de

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice32/32

Vă mulţumesc!!!

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR