Subiectul I 1.Determinati x eR pentru care numerele x-1, x+1 si 3x-1 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. REZOLVARE: Metoda.1. Diferenta dintre 2 termeni consecutivi ne da ratia progresiei aritmetice. x + 1- (x 1) = x + 1 x + 1 = 2 Deci ratia progresieir = 2. 3x 1 (x + 1) = 3x 1 x 1 = 2x 2 Deci ratia progresieieste r = 2 = 2x 2 ; 2x 2 = 2 => 2x = 4 => x = 4/2 = 2 x = 2 Metoda.2. Daca trei termeni consecutivi sunt in progresie aritmetica inseamna ca termenul al doilea este media aritmetica a celorlalti doi termeni. 1 3 1 4 21 2 12 2x x xx x + + = = = 1 2 1 2 1 1 0 2 0 2 x x x x x x + = = = = 2.Se considera functiaf: R R,f(x) = 5 x. Calculati f (0) xf (1) x f(2)x....xf(10) REZOLVARE: f(0) = 5 0 = 5 f(1) = 5 1 = 4 f(2) = 5 2 = 3 f(3) = 5 3 = 2 f(4) = 5 4 = 1 f(5) = 5 5 = 0 . . f(10) = 5 -10 = -5 f(5) = 0 fiind egal cu 0 avem 5x4x3x2x1x0x......x(-5 )= 0 Deci f (0) xf (1) x f(2)x....xf(10) = 0 3.Rezolvati n multimea numerelor reale ecuatia1 x = x 3. REZOLVARE: Punem conditiile: x - 1 >0 deci x>1 => x e[1, ) 3 0 x >deci x>3 => x e[3, ) x e [1, ) [3, ) => x e[3, )Ridicam la patrat ecuatia si avem: 2( 1) x = 2( 3) x x 1 =26 9 x x +26 9 1 0 x x x + + =27 10 0 x x + =122[7 ( 7) 4 10] / 2 x = 12x = (7 49 40 )/2 12x=( 7 3)/2 1x = (7-3)/2 = 4/2 = 2 2x=(7+3)/2 =10/2 = 5 Observam ca solutia 1x = 2 nu apartine x e[3, ) Deci multimea solutiilor ecuatiei este x e{5}. 4.Determinati numarul submultimilor ordonate cu 2 elemente ale unei multimi cu 7 elemente. REZOLVARE: ( )277!7 2 !A ==1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5x x x x x xx x x x=6x7= 42 5. Calculati distanta de la punctul A(2,3) la punctul de intersectie a dreptelor 1d :2x y-6=0 2d : -x + 2y 6 = 0 REZOLVARE: Avem sistemul de 2 ecuatii cu 2 necunoscute (x,y) care sunt coordonatele punctului de intersectie a celor 2 drepte: 2x y 6 = 0 -x + 2y- 6 = 0/x2 Inmultim cu 2 adoua ecuatie a sistemului si apoi adunam prima ecuatie cu cea obtinuta prin inmultirea cu 2 si avem: 2x y 6 = 0 -2x +4y 12 = 0 => 3y 18 = 0 => 3y = 18 => y = 6 Inlocuim pe y = 6 in prima ecuatie si avem: 2x 6 6 = 0 => 2x = 12 => x = 6 Daca notam punctul de intersectie a dreptelor 1d si 2dcu B, elva aveacoordonatele B(6,6). AB =2 2(6 2) (6 3) + = 16 9 + =25 = 5 AB = 5 6. Calculati cosinusul unghilui M al triunghiului MPN,stiind ca MN=4, MP= 5 NP=6. REZOLVARE: Aplicam teorema cosinusului pentru unghiul M 2 2 22 cos a b c bc M = + a = PN = 6 b = MP = 5 c = MN = 4 inlocuim in formula si avem: 2 2 26 5 4 2 5 4 cos M = + =>36 = 25 + 16 40 cosM => 40cosM = 41 - 36 = 5 40cosM = 5 => cosM = 5/40 =1/8 cosM = 1/8

Subiectul 21.Se considera matricele 2I =1 00 1| | |\ ., A=1 12 2 | | |\ . si X(a) = 2I+ aA unde aeZ. a) Calculati 2A -3 A. b) Demonstrati ca X(a)xX(b) = X(a+b+3ab), oricare ar fi a,b eZ. c) Aratati ca X(a) este matrice inversabila, oricare ar fi aeZ. REZOLVARE: a) 2A -3 A= 1 12 2 | | |\ .1 12 2 | | |\ .-31 12 2 | | |\ .=3 36 6 | | |\ .-3 36 6 | | |\ .=0 00 0| | |\ . b) Metoda 1: X(a) = 2I+ aA 2( ) X b I bA = +X(a+b+3ab)= 2( 3 ) I a b ab A + + +Deci inlocuind inX(a)xX(b) = X(a+b+3ab),vom avea: 2 2 2( )( ) ( 3 ) I aA I bA I a b ab A + + = + + +Facem inmultirea parantezelor si avem: 2 22 2 2I aAI bAI abA + + + =2( 3 ) I a b ab A + + +2Ifiind matricea unitate avem: 22 2I I = ; 2aAI aA = ;2bAI bA = ; 22I aA bA abA + + + =2( 3 ) I a b ab A + + +De la punctul a) avem 2A -3 A= 2Odeci 2A =3A inlocuim pe 2A si avem: 23 I aA bA abA + + + =2( 3 ) I a b ab A + + + Dm factor comun pe A si avem: 2( 3 ) I a b ab A + + + =2( 3 ) I a b ab A + + + Metoda 2: X(a) = 1 00 1| | |\ . + a1 12 2 | | |\ .= 1 00 1| | |\ .+ 2 2a aa a | | |\ .= 12 2 1a aa a+ | | | +\ . X(b) = 2I+ bA=12 2 1b bb b+ | | | +\ . X(a+b+3ab)=3 1 32 2 6 2 2 6 1a b ab a b aba b ab a b ab+ + + | | | + + +\ .

X(a) X(b) =12 2 1a aa a+ | | | +\ .12 2 1b bb b+ | | | +\ .=3 1 32 2 6 2 2 6 1a b ab a b aba b ab a b ab+ + + | | | + + +\ . c) X(a) =12 2 1a aa a+ | | | +\ . 1X=1det XX- pentru ca X(a) sa fie inversabila detX trebuie sa fie diferit de 0 detX= 0 detX = (a+1)(2a+1) 22a=2 2a+ a + 2a +1 - 22a = 3a + 1 detX = 3a +1 3a+1 =0 => a= -13dar aeZ deci nu poate lua valoarea -13(nu este numar intreg)=>3a+1 = 0 i X(a) este inversabila. 2.Polinomul f=3 22 5 X X X m + + , cu meR are radacinile 1,x2,x i 3,x . a) Calculati 21x + 22x + 23x . b) Determinati me R- pentru care 1 2 3x x x + += 1 2 31 1 1x x x+ + c)Aratati ca determinantul = det1 2 32 3 13 1 2x x xx x xx x x| | | | |\ . este numar natural, oricare ar fi meR. REZOLVARE: a)Aplicam relatiile lui Viete: 1 2 3x x x + + = - 2 1 2 1 3 2 3x x x x x x + + =-5 1 2 3x x x = -m Ridicam la patrat 1 2 3x x x + +i obtinem 21 2 3( ) x x x + + = 2 2 21 2 3x x x + + + 21 2 1 3 2 3( ) x x x x x x + +

2( 2) = 2 2 21 2 3x x x + + - 10 4 = 2 2 21 2 3x x x + +- 10 2 2 21 2 3x x x + + = 4+10 = 14 2 2 21 2 3x x x + + = 14 b) 1 2 3x x x + += 1 2 31 1 1x x x+ + 1 2 3x x x + + = - 2 1 2 31 1 1x x x+ + =1 2 1 3 2 31 2 3x x x x x xx x x+ +=5m= 5m -2 = 5m => -2m = 5 => m = - 52. c) det1 2 32 3 13 1 2x x xx x xx x x| | | | |\ .= 1 2 3x x x + 1 2 3x x x + 1 2 3x x x -33x- 32x- 31x= 31 2 3x x x- (31x +32x +33x ) 3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3( )( ) 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = + + + + +1 2 3x x x + + = - 2 2 2 21 2 3x x x + + = 14 1 2 1 3 2 3x x x x x x + + =-5 1 2 3x x x = -m 3 3 31 2 32[14 ( 5)] 3( ) 2 19 3 38 3 x x x m m m + + = + = = (31x +32x +33x ) = -38-3m 31 2 3x x x- (31x +32x +33x ) = -3m-(-38-3m) = -3m+38 + 3m=38 det1 2 32 3 13 1 2x x xx x xx x x| | | | |\ .= 38, numar natural. Subiectul 3 1.Se considera functiaf:[1,+ )->R,f(x) =1xex . a)Calculati 2( ) (2)lim2xf x fx.22211lim1 4xxexe+= +b)Aratati ca f(x)>0, oricare ar fi xe[1, + ). c)Aratati ca graficul functiei f nu admite asimptota spre + . REZOLVARE: a) 2( ) (2)lim2xf x fx= 221 12lim2xxe exx +.Avem cazul 00 si aplicam regula lui Hospital 2 ''21 1( )2lim( 2)xxe exx +=22211lim1 4xxexe+= + b) f(x) =1xex. x 1 + xee + 1x 1 0 f(x) e-1 + e-1 > 0 => f(x)>0 c) 1lim( )xxex+ = +deci nu admite asimptota spre + 2.Se consider functia: , f R R 2( ) 10 f x x = + . a)Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia n jurul axei Ox a graficului functieig: [0,3] R ,( ) ( ) g x f x =b)Demonstrati ca orice primitiva F a functieif este crescatoare pe R. c)Demonstrati ca 10 1010 0( ) 2 ( ) f x dx f x dx=} } REZOLVARE: a) g(x)=210 x +320( ) ( )gV C g x dx = }=3 32 2 20 0( 10) ( 10) x dx x dx + = +} }=3 320 0( 10 ) x dx dx +} }=33 30 0( 10 )3xx + = 27( 30) 393 + =b) ( ) F f x dx =} ' 2( ) 10 F f x x = = +210 0 x + > x R e=> '0 F >deci F este crescatoare pe R. c) 1021010 x dx+ =}10' 21010 x x dx+}-102 '10( 10) x x dx+}=2 101010 x x+ -1021010xx dxx+}= 2 101010 x x+ -10 221010xdxx+}=2 101010 x x+ -10 2210( 10) 1010xdxx+ +}= 2 101010 x x+ -10 2210( 10)10xdxx++}+102101010dxx+}= 2 101010 x x+ -1021010 x dx+}+2 101010ln( 10) x x+ +=> 21021010 x dx+ =}2 101010 x x+ +2 101010ln( 10) x x+ + 1021010 x dx+ =}12[2 101010 x x+ +2 101010ln( 10) x x+ + ]= 12{[210 10 10 + -2( 10) ( 10) 10 + ]+ +[210ln(10 10 10) + + -210ln( 10 ( 10) 10) + + ]} = 12{[10 100 10 + +10 100 10 + ]+[10ln(10 110) + -10ln( 10 110) + ]}= 12{ 20 110 +10 11010ln10 110+ +}=10 1105{10 110 ln }110 10++ 10202 10 x dx +}= [2 10010 x x + +2 10010ln( 10) x x + + ]= [10 110 +10ln(10 110) + -10ln 10 ]= [10 110 +10 11010ln10+]