REZISTENTA SI RIGIDITATEA - ELEMENTELOR DE TIP BARA

1. ELEMENTE SOLICITATE LA INTINDERE SI COMPRESIUNE CENTRICA

1.1. INTINDEREA SI COMPRESIUNEA CENTRICA. DEFINITIE; EXEMPLE

Intinderea/compresiunea centrica este solicitarea simpla n prezenta careia, n sectiunea transversala, interactiunea este exprimata printr-o pereche de forte axiale (fig.3.1).

fig.3.1.

O pereche de forte echilibrate aplicate pe o bara dreapta de-a lungul axului ei genereaza ntre punctele de aplicatii ntindere/compresiune centrica (fig.3.2). Forta axiala N are intensitatatae P a fiecaruia din cele doua forte exterioare

Fig.3.2.

In practica, ntinderea/compresiunea centrica este solicitarea caracteristica barelor grinzilor cu zabrele (si n general sistemelor alcatuite din bare drepte articulate la capete, ncarcate cu forte n punctele de articulare), numai sub forma de ntindere, ea este proprie firelor (drepte, poligonale sau curbe).

1.2. REZISTENTA BARELOR INTINSE/COMPRIMATE CENTRIC

1.2.1. Eforturi unitare pe sectiunea transversala

Studiul geometric (privind modul de deformare). Pe suprafetele laterale ale unei bare drepte cu sectiune dreptunghiulara se traseaza un sistem de linii longitudinale (paralele cu axa) si transversale (perpendiculare pe axa). In regim de solicitare (fig.3.3) liniile transversale se departeaza /aproape (prin translatii) ramnnd drepte, paralele ntre ele si normale pe cele longitudinale.

Fig.3.3.

Observatia corespunde ipotezei Bernoulli (sectiuni transversale plane si normale pe axa ramn plane si normale tot timpul deformarii), confirmnd-o (cu putin pe suprafata - vizibila - a barei)

Cu privire la cele doua tipuri de deformatii (liniare si unghiulare) se constata

- lipsa deformatiilor unghiulare ( = 0) caci unghiurile retelei nu se modifica

- prezenta unor deformatii liniare egale n toate fibrele longitudinale ale barei (l

= const., deci = const.).

Studiul fizici consemneaza conditia de elasticitate liniara (legea lui Hooke) acceptata n Rezistenta materialelor.

Sinteza studiu geometrica - studiu fizic. Daca = 0, rezulta = 0. Daca = const., rezulta = const. Pe sectiunea transversala, interactiunea punctuala este

exprimata prin eforturi unitare normale egale (uniform distribuite) (fig.3.4).

Fig.3.4.

Studiul static. Efortul sectional N si sistemul de eforturi unitare sunt masura aceleasi interactiuni. Studiul static consemneaza echivalenta dintre cele doua moduri de exprimare ale ei:

N = dA

Sinteza studiu geometric - studiu static. Intruct = const.

N = dA = A,

de unde:

= (3.1).

Marimea efortului unitar depinde de doi parametri:

- forta axiala N, parametrul global al interactiunii din sectiune, masura solicitarii

- aria A, parametrul geometriei sectiunii transversale.

I.2.2. Proiectarea de rezistenta a sectiunii barelor ntinse/comprimate centric

1.2.2.1. Conditii de rezistenta. Verificare; dimensionare, capacitate portanta. Conditia de rezistenta impusa de metoda rezistentelor admisibile (1.1) devine

a

Relatia contine trei parametri; ei corespund celor trei factori care apar an procesul celor trei factori care apar n procesul proiectarii sectiunii:

- solicitarea, exprimata prin forta axiala N;

- materialul, exprimat prin rezistenta sa admisibila a;

- geometria suprafetei sectiunii transversale, exprimata prin aria A. 737h72h

Dupa felul n care acestia intervin (ca parametrii cunoscuti sau necunoscuti), proiectaread mbraca trei aspecte: verificarea, dimensionarea si determinarea capacitatii portante a sectiunii.

Cele trei aspecte ale proiectarii sunt prezentate sintetic n tabelul 3.1 si comentate n continuare.

Tabelul 3.1.

Parametri

cunoscuti

Parametri necunoscuti

Relatia de calcul

Verificare N, a, A -

a

Dimensionare N, a Aria necesara

Anec Anec =

Capacitate portanta a, A forta capabila

Ncap

Ncap = aA

In problemele de dimensionare, dupa stabilirea ariei necesare Anec, dimensiunile sectiunii (carora le va corespunde aria efectiva Aef) se aleg astfel, nct, indiferent de

forma ei , Aef Anec.

Capacitatea portanta a unei sectiuni se masoara prin forta axiala - numita forta capabila, Ncap - corespunzatoare unor eforturi unitare egale cu rezistenta admisibila. Rezistenta barei este asigurata daca efortul axial N corespunzator solicitarii (determinat

n functie de ncarcari) nu depaseste efortul capabil N Ncap.

1.2.2.2. Observatie privind proiectarea barelor comprimate.

Barele comprimate se pot distruge mai nainte cu eforturile unitare (determinate cu raport ntre forta axiala si aria sectiunii transversale) sa atinga limita de rupere sau de curgere a materialului, prin fenomenul numit flambaj*. In principiu, pericolul flambajului este cu att mai mare cu ct barele sunt mai svelte. Numai barele robuste (cu lungimea redusa si sectiuni transversale desvoltate) pot fi proiectate la compresiune n conditiile analizate n capitolul de fata.

1.2.3. Concentrari de eforturi

In sectiuni transversale foarte apropiate de punctul de aplicatie a fortei exterioare axiale (fig.3.8) ipoteza lui Bernoulli (a sectiunilor plane.) este infirmata de experiment. Fibrele longitudinale din preajma axei barei, cu deformatii longitudinale mai mari, vor fi mai puternic solicitate;

*) Flambajul va fi analizat pe larg n unul din capitolele urmatoare ale cursului.

Fig.3.8.

fig.3.8 prezinta distributia eforturilor unitare n trei sectiuni (a, b, c) aflate la distante diferite de punctul de aplicatii a fortei exterioare.

In sectiuni transversale suficient de departate de punctul de aplicatie a fortelor exterioare, distributia n sectiune a eforturilor unitare nu este influentata de modul de aplicare a acestor forte (principiului Saint-Venant).

Neuniformitatile n distributia eforturilor unitare pe sectiunea transversala apar si la variatii ....ale formei sectiunii (gauri, crestaturi etc.) (fig.3.9).

Concentratiile de eforturi din sectiunile slabite de gauri sau crestaturi au consecinte diferite la materialele casante si ductile.

La materialele casante bara se rupe brusc cnd "vrful" eforturilor atinge r (deci la o valoare a efortului mediu mult mai mica dect r (fig.3.10). La materialele ductile (cu curgere, sau cu deformatii plastice mari) ruperea este un proces ndelungat, care se sfrseste chiar dupa ce, treptat, pe masura ce creste solicitarea, toate eforturile unitare din sectiune ating rezistenta de curgere; distributia eforturilor unitare n cteva faze premergatoare ruperii unei bare alcatuite din material ductil este prezentata n fig.3.11.

fig.3.10

fig.3.10

fig.3.11.

1.3. DEFORMATIILE BARELOR INTINSE/COMPRIMATE CETRIC

1.3.1. Calculul deformatiilor

Intre deformatii si eforturi exista legatura liniara exprimata de legea lui Hook =

E; de aici se deduce expresia formatiilor specifice liniare :

=

Deformatia specifica liniara este proportionala cu solicitarea (N) si invers proportionala cu factorul de rigiditate la ntindere /compresiune (produsul EA); acesta, la rndul lui, depinde de doua categorii de parametri: modulul de elasticitate E (care exprima rigiditatea materialului) si aria suprafetei sectiunii transversale A (care exprima rigiditatea sectiunii).

Cum reprezinta deformatia unitatii de lungime, deformatia ntregii unitati de lungime, deformatia ntregii bare (alungirea sau scurtarea l) e proportionala cu lungimea l:

l = l (3.3)

l = (3.4)

1.3.2. Efectul static al variatiilor de temperatura n bare

O bara libera, cu lungimea l, supusa unei variatii de temperatura to se dilata/contracta (alungeste/scurteaya) cu cantiatea.

lt = to l (3.5)

unde este coeficientul de dilatatie termica al materialului; pentru otel,

= 1,2 . 10-5

Aplicatie. La o variatie de temperatura de 30o, o bara de otel de 8 m lungime se alungeste/scurteaza cu

lt = 30 . 1,2 . 10-5 . 8000 mm = 2,88 mm

Daca dilatatia/contractia barei este mpiedicata de legaturile acesteia n sistem,

n bara apar eforturi t de compresiune/ntindere corespunzatoare alungirii/scurtarii blocate (ca si cum eforturi axiale de compresiune N ar constrnge bara dilatata cu

cantitatea lt sa revina la pozitia initiala printr-o scurtare lN egala

lt = l N;

to . . l = ,

de unde

t = = t . . E (3.6)

Aplicatie. Pentru bara din exemplul precedent, blocarea deformatiilor de dilatare/contractie genereaya eforturi unitare care consuma mai mult de jumatate din reyistenta admisibila a materialului:

t = 30 . 1,2 . 10-5 . 2,1 . 106 = 755 Kgf/cm2

De remarcat ca n expresia eforturilor unitare (3.6) nu intervine geometria barei (nici aria sectiunii transversale, nici lungimea). Eforturile nu pot fi moderate prin dimensionare, ci printr-o conformare de ansamblu a structurii care sa permita deformatii libere.

In sistemul static determinate (cu numar minim de legaturi) deformatiile de dilatare/contractie se produc liber (fig.3.12.a), deci fara consecinte asupra starii de efort din bare.

Legaturile suplimentare ale sistemelor static nedeterminate ngradesc libertatea de deformare, genernd n bare eforturi (fig.3.12.b).

Podurile metalice sunt totdeauna structuri simplu rezemate (cu un reazem fix si altul mobil), cu posibilitatea de dilatare sau contractii neblocata n lungul axului podului.

fig.3.12

2. ELEMENTE SOLICITATE LA FORFECARE PURA. FORFECAREA PIESELOR CU SECTIUNE REDUSA.

2.1. FORFECARE PURA. DEFINITIE; EXEMPLE.

Forfecarea pura este solicitarea simpla n prezenta careia, n sectiunea transversala, interactiunea este exprimata printr-o pereche de forte taietoare (fig.3.14).

Fig.3.14.

Doua forte P, paralele, egale si de sens contrar, actionnd, la distanta neglijabila ntre ele, normal pe axul barei, genereaza forfecare pura (fig.3.15). Forsa taietoare T are intensitatea P a fiecareia din cele doua forte exterioare.

Fig.3.14.

2.2. CADRUL PROBLEMEI

Sub forma pura (sau macar aproximativ) solicitarea apare rar.

In cele ce urmeaza studiul se limiteaza la cazane curent al forfecarii pieselor cu sectiuni transversale mici (mituri, buloane, cordoane de sudura , etc. - folosite la mbinarile elementelor din metal) la care efectul unor solicitari secundare este redus.

2.3. APROXIMATIV SI IPOTEZE SIMPLIFICATOARE

A. Chiar si n cazul din fig.3.15 forfecarea lor nsotita la ncovoiere; momentul cuplului este mic nsa si se neglijeaza.

B. La forfecarea pieselor cu suprafata sectiunii redusa se admite ca forta taietoare este rezultanta unor eforturi elementare tangentiale paralele, a caror masura

este un efort unitar cu intensitate constanta.

2.4. EFORTURI UNITARE PE SECIUNEA TRANSVERSALA

In conditiile ipotezei B facuta n paragraful precedent ( = const),

T = A;

de unde,

= (3.7)

2.5. PROBLEME DE FORFECARE LA O IMBINARE CU NITURI SOLICITATA AXIAL

2.5.1. Descrierea imbinarii

O mbinare realizeaza legarea elementelor ntr-un ansamblu indeformabil.

Imbinarilse cu nituri solicitate axial blocheaza deplasarile relative n lungul unui ax comun celor doua elemente. Fig.3.16 prezinta o astfel de mbinare.

Fig.3.16.

Niturile sunt piese din otel (rezistenta otelului nitului este putin inferioara celei a otelului pieselor care se mbina) cu forma din fig.3.17.a. Imbinarea se realizeaza prin introducerea niturilor ncalzite la rosu n gauri date n prealabil si formarea, prin baterie, a celui de-al doilea cap (fig.3.17.b.).

fig.3.17.

2.5.2. Proiectarea mbinarilor cu nituri

2.5.2.1. Modul de lucru. Sub actiunea fortelor P, de sens contrar, care solicita mbinarea, cele doua elemente au tendinta de a luneca relativ (fig.3.18). Ca urmare, mbinarea se poate distruge n doua feluri:

fig.3.18

- prin forfecarea tijei sitului n sectunea transversala din dreptul planului de separatie a celor doua elemente;

- prin strivirea tijei pe suprafata de contact dintre tija si peretii gaurii de nit.

"Transportul" fortelor prin mbinare (adica efectul lor pe suprafata forfecata si pe suprafata strivita) este reprezentat n fig.3.19 prin forte interioare de legatura.

fig.3.19.

Se remarca echilibrul care controleaza parametrii tuturor acestor forte.

Forta pe care o poate transmite mbinarea prin intermediul unui singur nit (numita rezistenta nitului) depinde de rezistenta la forfecare Rf (n sectiunea transversala a tijei) si de rezistenta la strivire Rs (pe suprafata de contact dintre dija si elementele mbinate.

2.5.2.2. Rezistenta nitului la forfecare. Capacitatea de rezistenta n sectiunea transversala a tijei depinde de aria sectiunii forfecate, Af, si de rezistenta admisibila la

forfecare, af, a materialului tijei. In baza relatiei (3.7);

Rf = Af . af

Rf = af, (3.8)

unde d este diametrul nitului.

Pe baza experimentale, se considera

af = 0,8 a,

unde a este rezistenta admisibila la compresiune a materialului elementelor care se mbina. Pentru elemente din OL37 (cu nituri din OL34), af = 0,8 x 1500 = 1200 Kgf/cm2.

2.5.2.3. Rezistenta nitului la strivire. Presiunile reciproce dintre tija si peretii gaurii au distributia neuniforma din fig.3.2 pentru simplificarea calculelor, volumul matizat,

avnd o distributie uniforma, pe edeala, de forma dreptunghiulara, a unui plan diametral (fig.3.20.b).

fig.3.20

In aceste conditii simplificatoare, capacitatea de rezistenta la strivire Rs depinde de aria sectiunii strivite.

As = dt

si de rezistenta admisibila la strivire de peretii gaurii de nit ag. Daca elementele care se mbina au grosimi diferite (t1ft2), aceeasi forta P se distribuie pe suprafete cu arii diferite; eforturile unitare de strivire fiin mai mari pe piesa mai subtire, n determinarea ariei As se va considera tmin :

Rs = dtmin ag (3.9)

Rezistenta admisibila la strivire ag se considera dat n raport cu rezistenta

admisibila a a materialului elementelor de mbinat:

ag = 2 a

Pentru OL37, ag = 2 x 1500 = 3000 Kgf/cm2

2.5.2.4. Rezistenta nitului. Rezistenta nitului (forta P pe care o poate transmite mbinarea prin intermediul unui singur mit), R, este cea mai mica dintre valorile Rf si Rs definite anterior.

2.5.2.5. Rezistenta nitului cu mai multe sectiuni de forfecare. La o mbinare de trei elemente (fig.3.21) forta P se transmite prin forfecare a doua sectiuni. Rezistenta nitului la forfecare Rf se va dubla, caci numai jumatate din forta P trebuie echilibrata de eforturile tangentiale dintr-o sectiuune transversala a tijei. La limita de rezistenta,

= Af . af,

de unde

Rf = 2 af

Pentru mai multe sectiuni de forfecare, daca nf este numarul lor

Rf = ng af (3.10)

La determinarea rezistentei nitului la strivire, interactiunile ce apar la contactul tijei cu elementele cu tendinte de lunecare opuse

Fig.3.21.

se considera separat; strivirea maxima apare pe suprafeta minima si aceasta este suprafata care intervine n determinarea rezistentei Rs

Rs = d (t) min ag (3.11)

unde (t) min este suma minima a grosimilor elementelor care tind sa se deplaseze n acelasi sens.

2.5.2.6. Determinarea numarului de nituri. La mbinarea elementelor solicitate la ntindere sau compresiune centrica se admite ca forta transmisa prin mbinare se repartizeaza n mod egal tuturor niturilor. In aceasta ipoteza, numarul necesar de nituri, n, se determina mpartind forta P care "traverseaza" mbinarea la rezistenta R a unui singur mit:

n = (3.12)

Diametrul nitului (care intervine n calculul rezistentei sale) se alege n functie de grosimea celui mai subtire element din pachet, pe baza unor prevederi constructive cuprinse n standarde (cu aproximatie, d = 2t). Tot standardele precizeaza reguli privind propozitia niturilor n mbinare.

Desi calculul mbinarilor nituite are un caracter conventional (fiind condus pe baza mai multor ipoteze simplificatoare), rezultate obtinute corespund capacitati reale de rezistenta, ntruct rezistentele admisibile acceptate sunt determinate, experimental, tocmai prin ruperea unor astfel de mbinari.