reologie suport de curs

Prefață

Reologia, ca știință a curgerii și

deformațiilor lente în timp a structurilor,

constituie obiectul unor cercetări moderne

în cele mai avansate țări ale lumii și este

cuprinsă în curriculumul unor numeroase

și variate programe de studii universitare.

Introducerea în planurile de

învățământ a cursului de ”Reologie”

constituie un element de noutate, fapt ce

aliniază învățământul nostru superior la

cerințele europene și cele mondiale.

O primă ediție a cursului de

”Reologie” s-a publicat în 1993 la

Universitatea Transilvania din Brașov sub

denumirea de ”Reologia lemnului”. Între

timp au apărut discipline precum

”Reologie generală”, Reologia materialelor

utilizate în construcții” atât la programele

de Licență cât și de Master.

Suntem convinși că, dezvoltarea unor competențe bazate pe analiza, diagnoza și predicția comportării în timp a structurilor mecanice, din construcții, ambientale îi vor ajuta pe inginerii proiectanți, tehnologi, cercetători să explice științific numeroase fenomene atât din timpul proceselor de fabricație și prelucrare a materialelor cât și în timpul utilizării a produselor și structurilor obținute.

Reologia, ca știință a viitorului, trebuie cunoscută, însușită, cercetată și aplicată în mod creator și conștient.

Prezentul suport de curs se întinde pe mai multe volume a căror abordare nu este exhaustivă (reologie generală, reologia lemnului și a materialelor pe bază de lemn, reologia materialelor utilizate în construcții). Cunoștințele sunt prezentate atractiv iar demersul didactic se bazează pe problematizare și studiu individual.

Autorii mulțumesc acelora ce au răbdarea și curiozitatea să se aplece asupra acestui Suport de curs - Reologie – prima parte, fiind deschiși propunerilor utile și constructive pentru îmbunătățirea științifică și metodologică a fiecărei părți.

Contribuția la elaborarea acestui Suport de curs - Reologie – prima parte revine în proporție egală fiecăruia dintre autori.

Autorii

Brașov

15 decembrie 2013

Cuprins:

1. Introducere

1.1. Scurt istoric al reologiei;

1.2. Legătura cu alte științe;

1.3. Stările de agregare ale materiei

1.4. Fundamente;

1.5. Termeni, noțiuni și concepte din reologie;

1.6. Sisteme reologice

2. Modele reologice

2.1. Modele reologice clasice

2.2. Modele reologice ale mediilor complexe

Universitatea Transilvania din Braşov

Facultatea de Inginerie Mecanică

Departamentul de Inginerie Mecanică

1.1. Scurt istoric al reologiei

1.2. Legătura cu alte științe

1.3. Stările de agregare ale materiei

1.4. Fundamente

1.5. Termeni, noțiuni și concepte din reologie

1.6. Sisteme reologice

Șef lucrări dr. ing. STANCIU Mariana Domnica, prof. univ. dr. ing. CURTU Ioan

Reologie

- suport de curs -




Reologia este o știință relativ nouă, constituită la începutul

secolului al XX-lea, însă conceptul de ”reologic” este

cunoscut încă din antichitate, fiind legat de filozoful grec

Heraclit al cărui dicteu ”panta rhei” (trad. - totul curge)

marchează filozofia acestuia.

Termenul de reologie provine din cuvintele greceşti

rheo=curgere, logos=ştiinţă, deci ştiinţa curgerii.


Reologie - suport de curs –

Introducere




Heraclit din Efes (535 î.Hr. – 475 î.Hr.) – filosof grec

presocratic

Concepte:

- Focul este elementul fundamental;

- ”Panta rhei” schimbarea este un lucru real și că stabilitatea

este iluzorie;

- "Nici un om nu poate să intre în apa aceluiași râu de două

ori, deoarece nici râul și nici omul nu mai sunt la fel„

- Tot ceea ce exista nu exista decât gratie contrariilor.

Pentru ca un lucru să poată exista, contrariile trebuie sa se

unească.

Lucrări: Peri physeos (Despre natură)



Introducere

Sursa: http://ro.wikipedia.org/wiki/Heraclit,

http://dezvatatorul.blogspot.com/2010/03/heraclit-din-efes.html

http://ro.wikipedia.org/wiki/Heraclit









Profeta Deborah (Vechiul Testament/Cartea Judecătorii, cap 5/versetul 5)

- Numărul lui Deborah exprimă o mărime adimensională ce exprimă fluiditatea unui material în anumite condiții de curgere, indiferent de starea fizică a materialului



Introducere

𝑫𝒆 =𝒕𝒄𝒕𝒑,

unde 𝑡𝑐 − 𝑡𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑥𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑒 ; 𝑡𝑝 − 𝑡𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟𝑒






Introducere

𝑡𝑐 − 𝑡𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑥𝑎𝑟𝑒; 𝑡𝑝 − 𝑡𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟𝑒;

În cazul în care timpul de observare este foarte mare, sau în cazul în care timpul de relaxare este

foarte mic, se poate observa curgerea materialului.

Cu cât numărul lui Deborah este mai mare, materialul este solid;

cu cât numărul lui Deborah este mai mic – materialul este fluid.






Introducere

American Society of Rheology (Washington D.C)

1929

Eugene Cook Bingham

(1878 -1945)

Markus Reiner (1886- 1976)

George William Scott Blair (1902–1987)

Reologia - știința

deformării și curgerii

materiei

1929

Tipuri de corpuri Perioade

cheie

Teoreticieni

Materiale

ideale

Corpul perfect rigid Antichitate Arhimede (250 î.H), Newton (1687)

Solidul ideal elastic Sec. XVII Boyle (1660), Hooke (1678), Young (1807), Cauchy

(1827)

Fluidul ideal Sec. XVIII Pascal (1663), Bernoulli (1738), Euler (1755)

Lichidul Newtonian Încep. Sec

XIX

Newton (1687), Navier (1823), Stokes (1845), Hagen

(1839), Poiseuille (1841), Weidemann (1856)

Vâsco-elasticitatea lineară Mijl. Sec.

XIX

Weber (1835), Kohlrausch (1863), Wiechert (1893),

Maxwell (1867), Boltzmann (1878), Poynting & Thomson

(1902)

Fluidul newtonian (perfect

vâscos)

Sfârşitul sec

XIX

Înc. sec XX

Schwedoff (1890), Trouton Andrews (1904), Hatchek

(1913), Bingham (1922), Ostwald (1925), Herschel

Bulkley (1926)

Vâsco-elastcitatea neliniară Încep. Sec

XX

Poynting (1913), Zaremba (1903), Jaumann (1905),

Hencky (1929)

Materiale

cheie

Suspensii Încep. Sec

XX

Einstein (1906), Jeffrey (1922)

Polimeri Schonbein (1847), Baekeland (1909), Staudinger

(1920), Carothers (1929)

Viscozitate de

tracţiune

Barus (1893), Trouton (1906), Fano (1908), Tamman

Jenckel (1930)

Geneza reologiei 1929 Bingham, Reiner şi alţii. Societatea de Reologie





Introducere






Introducere

Mecanica corpului elastic

Mecanica corpului plastic

Mecanica fluidelor

Rezistența materialelor

(corpuri deformabile)

Fizică

Știința materialelor

Chimie

Medicină

Alimentație

Aviație

Construcții

Armată

Industria lacurilor

și vopselelor

Mecanica clasică a

solidului continuu

Teoria Elasticității

FLUIDUL IDEAL

(Fluidul lui Pascal)

SOLIDUL RIGID

(Solidul lui Euclid)

Teoria

reologiei

macroscopice

Mecanica clasică a

fluidului continuu

Teoria

hidrodinamică

SOLIDUL PERFECT

ELASTIC

FLUIDUL PERFECT

VÂSCOS

Idealizare clasică

Solidul lui HOOKE

𝜏 = 𝐺 ∗ 𝛾 s = E*e

Idealizare generală

Solidul neHookenian

𝜏 = 𝑓1(𝛾) 𝜎 = 𝑓2(휀)

Generalizare

Fluidul neNewtonian

𝛾 = 𝑓2(𝜏) 휀 = 𝑓3(𝜎)

Idealizare clasică

Fluidul lui Newton

𝛾 = 𝜑 ∗ 𝜏 휀 = 𝜑 ∗ 𝜎

Solidul plastic ideal

Solidul Saint Venant

𝝉 = 𝝑 𝝈 = 𝝁

Fluidul elastic ideal

Fluidul lui Maxwell

𝜸 =𝝉

𝑮+ 𝝋𝒕

𝜺 =𝝈

𝑬+ 𝝋𝒕

H

St.V M

N






Introducere

SOLIDĂ

LICHIDĂ

GAZOASĂ

PLASMA

Solidele se caracterizează prin formă și

volum propriu. În solide, atomii sunt

repartizați la distanțe mici unii față de

alții, iar forțele de interacțiune dintre

aceștia sunt mari.

Solide

cristaline

Solide

amorfe

Lichidele se caracterizează prin forțe

de coeziune mai mici între molecule

decât în cazul solidelor, fapt ce

determină o mișcare haotică a

moleculelor în interiorul lichidului.

Gazele se caracterizează prin forțe de

coeziune între molecule mult mai mici

decât în cazul lichidelor și solidelor,

fapt ce determină o continuă mișcare

haotică a moleculelor în interiorul

gazului, între acestea fiind distanțe

foarte mari.

Gazele sunt perfect elastice.

FLUIDE

1.4.1. Definiția reologiei

1.4.2. Comportarea reologică a corpurilor

1.4.3. Noțiuni de bază

1.4.4. Starea de tensiune

1.4.5. Tensiuni și deformații la solicitarea de

tracțiune

1.4.6. Starea simplă de forfecare

1.4.7. Tensiuni și deformații la torsiune

1.4.8. Tensiuni normale la încovoierea pură






Introducere




Reologia este ştiinţa care studiază interdependența între

solicitările mecanice, răspunsul corpurilor și proprietățile

acestora.



Introducere

Răspunsul corpurilor

Solicitările mecanice/statice/dinamice






Introducere

Comportarea reologică caracterizează comportarea corpurilor sub aspectul deformării acestora la acțiunea unei solicitări exterioare.

Sarcini exterioare;

Reacțiuni – forțele și cuplurile dezvoltate de legătura

S. M. (sistem mecanic) cu structurile și sistemele

învecinate;

Solicitări – acțiunile interioare ce afectează S.M;

Tensiunea (normală 𝝈, de forfecare/tangențială 𝝉);

Deformația specifică (liniară 𝜺, unghiulară 𝜸);

Viteza de deformare (𝜺 ; 𝜸 );





Introducere


Sarcini exterioare - toate forțele, presiunile, cuplurile rezultante ale

sarcinilor permanente, ale sarcinilor utile, ale sarcinilor climatice, ale

sarcinilor produse de deformații impuse la care se supune un sistem reologic

sau o structură.

Sarcini exterioare

Statică

Dinamică

• Șoc

• Oscilații

Conservativă

• Constantă variabilă Neconservativă

Unipară metrică

Multipară metrică





Introducere


dA

Fdp

;112

Pam

N ;11

2MPa

mm

N

PaMPa 6101

• tensiunea

222 ps

dt

pdp

• viteza de variație a tensiunii

p→ tensorul ; stare de tensiune

• unități de măsură





Introducere

𝛔 − tensiunea normală

𝛕 – tensiunea de forfecare sau tangențială






Introducere

Stări de tensiune

Starea plană de tensiune

Starea spațială de tensiune

http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_stress http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor

Starea de tensiune –

totalitatea tensiunilor din

jurul unui punct


휀𝑥 =1

𝐸𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

휀𝑦 =1

𝐸𝜎𝑦 − 𝜎𝑥

휀𝑧 =−𝐸

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

𝑥𝑦 =𝜏𝑥𝑦

𝐺

𝜎𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 = 0 unde:

휀 – deformația specifică;

E – modulul de elasticitate longitudinal;

G – modulul de elasticitate transversal;

- coeficientul contracției transversale (coeficientul lui Poisson);

- deformația unghiulară.

• Starea plană de tensiune și deformație





Introducere

http://www.ah-engr.com/som/3_stress/


휀𝑥 =1

𝐸𝜎𝑥 − (𝜎𝑦+𝜎𝑧)

휀𝑦 =1

𝐸𝜎𝑦 − (𝜎𝑧 + 𝜎𝑥)

휀𝑧 =1

𝐸𝜎𝑧 − (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)

𝑥𝑦 =𝜏𝑥𝑦

𝐺

𝑦𝑧 =𝜏𝑦𝑧

𝐺

𝑧𝑥 =𝜏𝑧𝑥

𝐺





Introducere

http://www.ah-engr.com/som/3_stress/images/comp_shear_stress2.gif

• Starea spațială de tensiune și de deformație






Introducere

http://www.ah-engr.com/som/3_stress/text_3-2.htm


http://www.ah-engr.com/som/3_stress/text_3-2.htm

𝜎1 = 𝜎𝑚𝑎𝑥

𝜎2 = 𝜎𝑚𝑖𝑛𝑖,𝑚𝑎𝑥

𝜎3 = 𝜎𝑚𝑖𝑛

𝜏13 =1

2(𝜎1 − 𝜎3)





Introducere


Adaptată după. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Axial_stress_noavg.svg





Introducere

𝜎 =𝐹

𝐴


∆𝑙 = 𝑁𝑙

𝐸𝐴





Introducere





Introducere

epruveta

Bacuri de

prindere

extensometru

Testarea la tracțiune a epruvetelor din materiale lignocelulozice în laboratorul Departamentului de

Inginerie Mecanică în cadrul tezei de doctorat – drd. Ing. Terciu Ovidiu.






Introducere

Încercarea la tracțiune


Adaptată după : http://www.ah-engr.com/som/animations/stress-strain_curve.html





Introducere






Introducere

http://practicalmaintenance.net/?p=948

Adaptată după: http://www.ami.ac.uk/courses/topics/0123_mpm/index.html







Introducere

Adaptată după: http://www1.lsbu.ac.uk/water/hyrhe.html

∆𝑠 = 𝛾ℎ =𝜏

𝐺=𝐹𝑎

𝐺𝐴






Introducere

Exemple - solicitarea de forfecare

http://classes.mst.edu/civeng110/concepts/01/shear/index.html

http://www.virtualjeepclub.com/showthread.php?74313-New-Rubicon-Express-track-bar

http://axelproducts.com/pages/plastic.html#sheartest

Adaptată după: http://www.ah-engr.com/som/3_stress/images/comp_shear_stress2.gif





Introducere


𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑡

𝑊𝑝 𝜃 =

𝑀𝑡

𝐺𝐼𝑝

Unde

𝑀𝑡 − 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖𝑢𝑛𝑒 [𝑁𝑚𝑚] 𝑊𝑝 − 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑧𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛ță 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 [𝑚𝑚3]

𝐺 − 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙ă [𝑀𝑃𝑎] 𝐼𝑝 − 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟ț𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 [𝑚𝑚4]


http://proactivefluidpower.com/images/Troubleshooting/Shft_Fail/VanePist_PumpShft/TorFat.jpg





Introducere

http://bugman123.com/Engineering/index.html

𝜎 =𝑀𝑖

𝐼𝑧𝑦 𝜎𝑚𝑎𝑥

𝑚𝑖𝑛= ±

𝑀𝑖𝑚𝑎𝑥

𝑊𝑧

𝑊𝑧 =𝐼𝑧

𝑦𝑚𝑎𝑥





Introducere

http://strengthandstiffness.com/6_beams/page_6b.htm

Unde

𝐼𝑧 − 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟ț𝑖𝑒 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑚𝑚4

𝑊𝑧 − 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑧𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛ță 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑚𝑚3






Introducere

Încovoierea în 3 puncte


Unde:

1 – epruveta; 2 – piesă de aplicare a forței;

3 – reazeme; 4 – sistem electronic de aplicare a forței

1.5.1. Starea vâsco-elastică liniară la forfecare

1.5.2. Starea vâsco-elastică neliniară la forfecare

1.5.3. Starea vâsco-elastică liniară la tracțiune

1.5.4. Funcția de curgere și funcția de relaxare

1.5.5. Vâscozitatea

1.5.6. Efectul Weissenberg

1.5.7. Efectul Bauschinger






Introducere






Introducere

Denumire noțiuni

(lb română)

Denumire noțiuni

(lb engleză)

Simbol

Rezistența

Materialelor

Simbol

Reologie

Unități

de

măsură

Direcția curgerii Direction of flow 𝒙𝟏 sau 𝒙 𝒙𝟏 sau 𝒙 m

Direcția gradientului

de viteză

Direction of

velocity gradient

𝒙𝟐 sau 𝒚 𝒙𝟐 sau 𝒚 m

Direcția neutră Neutral direction 𝒙𝟑 sau 𝒛 𝒙𝟑 sau 𝒛

m

Tensiunea la

forfecare

Shear stress 𝝉 𝑴𝑷𝒂 𝝈 Pa

Deformația la

forfecare

Shear strain 𝜸 𝜸 -

Viteza de forfecare Shear rate 𝜸 𝜸 𝒔−𝟏

Nomenclatorul Societății de Reologie

http://www.rheology.org/sor/publications/j_rheology/rheology_nomenclature/default.htm






Introducere

Denumire noțiuni

(lb română)

Denumire noțiuni

(lb engleză)

Simbol

RM

Simbol

Reologie

Unități de

măsură

Vâscozitatea Viscosity 𝜼

𝜼 Pa* s

Funcția tensiunii

normale de ordinul I

First normal stress

function σ MPa 𝑵𝟏 Pa

Funcția tensiunii

normale de ordinul II

Second normal

stress function 𝑵𝟐 𝑵𝟐 Pa

Coeficienții tensiunii

normale de ord. I și II

First and second

normal stress

coefficients

𝝍𝟏,

𝝍𝟐

𝝍𝟏,

𝝍𝟐

Pa * 𝒔𝟐








Introducere

Denumire noțiuni (lb.

română)

Denumire noțiuni

(lb. engleză)

Simbol

RM

Simbol

Reologie

Unități de

măsură

Limita vâscozității când

viteza de forfecare tinde

către zero

Limiting viscosity at

zero shear rate 𝜼𝟎 𝜼𝟎 Pa*s

Limita vâscozității când

viteza de forfecare tinde

către infinit

Limiting viscosity at

infinite shear rate 𝜼∞ 𝜼∞ Pa*s

Vâscozitatea unui solvent

sau a unui mediu continuu

Viscosity of solvent

or of continuous

medium

𝜼𝒔 𝜼𝒔 Pa*s

Vâscozitatea relativă Relative viscosity

(𝜼𝜼𝒔)

𝜼𝒓 𝜼𝒓 -

Vâscozitatea specifică Specific viscosity

(𝜼𝒓 − 𝟏) 𝜼𝒔𝒑 𝜼𝒔𝒑 -

Vâscozitatea intrinsecă Intrinsic viscosity [𝜼] [𝜼] 𝒎𝟑𝒌𝒈−𝟏








Introducere


română)

Denumire noțiuni

(lb. engleză)

Simbol

RM

Simbol

Reologie

Unități de

măsură

Deformația la forfecare Shear strain 𝜸 𝜸 -

Modulul de elasticitate

transversală (modulul

de rigiditate)

Shear modulus

(modulus of

rigidity)

G G Pa

Modulul transversal de

relaxare

Shear relaxation

modulus

G(t) G(t) Pa

Complianța la

forfecare

Shear compliance 𝑱 𝑱 𝑷𝒂−𝟏

Complianța la fluaj Shear creep

compliance

𝑱 (𝒕) 𝑱 (𝒕) 𝑷𝒂−𝟏








Introducere

Denumire noțiuni

(lb. română)

Denumire noțiuni

(lb. engleză)

Simbol

RM

Simbol

Reologie

Unități de

măsură

Complianța de

echilibru la forfecare

Equilibrum shear

compliance

𝑱𝒆 𝑱𝒆 𝑷𝒂−𝟏

Complianța la

forfecare în regim

staționar

Steady state

shear compliance

𝑱𝒔𝟎 𝑱𝒔𝟎 𝑷𝒂−𝟏

Vâscozitatea

complexă

Complex

viscosity

𝜼∗(𝝎) 𝜼∗(𝝎) 𝑷𝒂 ∗ 𝒔

Vâscozitatea

dinamică

Dynamic

viscosity

𝜼,(𝝎) 𝜼,(𝝎) 𝑷𝒂 ∗ 𝒔

Componenta

defazată a

vâscozității

complexe

Out of phase

component of 𝜼∗ 𝜼,.(𝝎) 𝜼,.(𝝎) 𝑷𝒂 ∗ 𝒔








Introducere


română)

Denumire noțiuni

(lb. engleză)

Simbol

RM

Simbol

Reologie

Unități de

măsură

Modulul transversal

complex

Complex shear

modulus 𝑮∗(𝝎) 𝑮∗(𝝎) Pa

Modulul transversal de

stocare a energiei

Shear storage

modulus 𝑮, 𝑮, Pa

Modulul de elasticitate

transversal de pierdere a

energiei

Shear loss modulus 𝑮” 𝑮” Pa

Complianța la forfecare

în domeniu complex

Complex shear

compliance 𝑱∗(𝝎) 𝑱∗(𝝎) 𝑷𝒂−𝟏

Complianța de stocare a

energiei la forfecare

Shear storage

compliance 𝑱,(𝝎) 𝑱,(𝝎) 𝑷𝒂−𝟏

Complianța de pierdere

a energiei la forfecare

Shear loss

compliance 𝑱”(𝝎) 𝑱”(𝝎) 𝑷𝒂−𝟏








Introducere

I. Inițierea curgerii

II. Încetarea curgerii staționare

III. Etapa deformării

IV. Curgerea și revenirea

V. Suprapunerea stărilor de

forfecare și a oscilațiilor

Eta

pe






Introducere



I. Inițierea curgerii

• Funcția de creștere a tensiunii de forfecare (𝜏+(𝑡, 𝛾)) Pa;

• Coeficientul de creștere a tensiunii de forfecare (𝜂+(𝑡, 𝛾) Pa*s;

• Funcția de creștere a tensiunii normale de ordinul I și II (N+1 (t,

𝛾 )), (N+2 (t, 𝛾 )) Pa;

• Coeficientul de creștere a tensiunii normale de ordinul I și II (𝜓+1

(t, 𝛾 )), (𝜓+2 (t, 𝛾 )) Pa*s2;




I. Inițierea procesului

O epruvetă, aflată inițial în stare de echilibru este supusă la o viteză de forfecare constantă 𝜸 la timpul t=0.

Mărimile măsurate sunt tensiunea de forfecare 𝛕 și tensiunile normale 𝑵𝟏 și 𝑵𝟐, toate ca funcții de timp t și viteză de deformare 𝜸 .

Mărimile măsurate sunt:

Funcția de creștere a tensiunii de forfecare: 𝝉+(𝒕, 𝜸 ) ≡ 𝝉

Coeficientul de creștere a tensiunii de forfecare: 𝜼+(𝒕, 𝜸) =𝝉+

𝜸

Funcția de creștere a tensiunii normale de ord. I: 𝑵+1(𝒕, 𝜸) ≡ 𝝈𝟏𝟏 − 𝝈𝟐𝟐

Coeficientul de creștere a tensiunii normale de ord. I: ψ+1 (t, 𝜸 ) = 𝑵+

1/𝜸𝟐

Funcția de creștere a tensiunii normale de ord. II: 𝑵+𝟐(𝒕, 𝜸) ≡ 𝝈𝟐𝟐 − 𝝈𝟑𝟑

Coeficientul de creștere a tensiunii normale de ord. II: ψ+2 (t, 𝜸 ) = 𝑵+

𝟐/𝜸𝟐



Introducere






I. Inițierea procesului

Dacă tensiunea se apropie de o valoare staționară, atunci există

următoarea corespondență cu funcțiile vâscozității:



Introducere

lim𝑡→∞

η+(𝑡, 𝛾) = η( 𝛾 )

Dacă comportarea vâsco-elastică a unui fluid prezintă o viteză de deformare redusă, atunci au loc relațiile

lim𝑡→∞

𝑁+1 (𝑡, 𝛾) = 𝑁1( 𝛾 ) lim

𝑡→∞𝑁+

2 (𝑡, 𝛾) = 𝑁2( 𝛾 )

lim𝛾 →0

η+(𝑡, 𝛾) = η( 𝑡)

lim𝛾 →0

ψ+1 (𝑡, 𝛾) = ψ+

1(𝑡) lim𝛾 →0

ψ+2 (𝑡, 𝛾) = ψ+

2(𝑡)








Introducere




• Funcția de descreștere a tensiunii de forfecare: (𝝉−(𝒕, 𝜸)) Pa;

• Coeficientul de descreștere a tensiunii de forfecare: (𝜼−(𝒕, 𝜸) Pa*s;

• Funcția de descreștere a tensiunii normale de ordinul I și II : (N-1

(t, 𝜸 )), (N-2 (t, 𝜸 )) Pa;

• Coeficientul de descreștere a tensiunii normale de ordinul I și II: (𝝍−

1 (t, 𝜸 )), (𝝍−

2 (t, 𝜸 )) Pa*s2;





Un fluid supus la o solicitare simplă de forfecare cu o viteză de

deformare 𝜸 este brusc descărcat la timpul t=0, înainte ca tensiunea să

atingă o valoare staționară.

În acest caz, tensiunea este monitorizată ca o funcție de timp, iar

mărimile măsurate sunt:

Funcția de descreștere a tensiunii de forfecare: 𝝉−(𝒕, 𝜸 ) ≡ 𝝉;

Coeficientul de descreștere a tensiunii de forfecare: 𝜼−(𝒕, 𝜸) =𝝉−

𝜸 ;

Funcția de descreștere a tensiunii normale de ord. I și II:

𝑵−1(𝒕, 𝜸) ≡ 𝝈𝟏𝟏 − 𝝈𝟐𝟐, 𝑵−

𝟐(𝒕, 𝜸) ≡ 𝝈𝟐𝟐 − 𝝈𝟑𝟑

Coeficientul de descreștere a tensiunii normale de ord. I și II:

ψ-1 (t, 𝜸 ) = 𝑵−1/𝜸

𝟐 , ψ-2 (t, 𝜸 ) = 𝑵−

𝟐/𝜸𝟐



Introducere







Dacă materialul prezintă proprietăți vâsco-elastice liniare pentru valori

reduse ale vitezei de deformare, atunci există următoarele legități :



Introducere

lim𝛾 →0

η−(𝑡, 𝛾) = η−( 𝑡)

lim𝛾 →0

ψ−1 (𝑡, 𝛾) = ψ−

1(𝑡) lim𝛾 →0

ψ−2 (𝑡, 𝛾) = ψ−

2(𝑡)








Introducere




• Funcția de relaxare a tensiunii de forfecare: (𝝉 𝒕, 𝜸 ) Pa;

• Modulul transversal de relaxare a tensiunii de forfecare: (G 𝒕, 𝜸 ) Pa;

• Funcția de relaxare a tensiunii normale de ordinul I și II: (N1(t,𝜸)), (N2 (t,𝜸)) Pa;





Dacă un material aflat în stare de echilibru este supus brusc deformării

cu o valoare 𝛾 la timpul t = 0, atunci tensiunea este analizată ca o

funcție de timp:

Funcția de relaxare a tensiunii de forfecare: 𝝉(𝒕, 𝜸) ≡ 𝝉

Modulul transversal de relaxare a tensiunii: 𝑮 𝒕, 𝜸 = 𝝉𝜸

În cazul unei comportări vâsco-elastice liniare 𝐥𝐢𝐦𝜸→𝟎

𝑮(𝒕, 𝜸) = 𝑮(𝒕)

Funcția de relaxare a tensiunii normale de ord. I și II sunt:

𝑵1(𝒕, 𝜸) ≡ 𝝈𝟏𝟏 − 𝝈𝟐𝟐,

𝑵𝟐(𝒕, 𝜸) ≡ 𝝈𝟐𝟐 − 𝝈𝟑𝟑



Introducere








Introducere



IV. Curgerea și revenirea

• Complianța curgerii la forfecare: (𝑱 𝒕, 𝝉 ) Pa-1;

• Complianța în starea de echilibru: (𝑱𝒔 𝒕, 𝝉 ) Pa-1;

• Deformația de revenire: 𝜸𝒓 (𝒕, 𝝉);

• Funcția de revenire: 𝑹 𝒕, 𝝉 Pa-1;

• Deformația finală: 𝜸∞ 𝒕, 𝝉 ;

• Funcția finală de revenire: 𝑹∞ 𝒕, 𝝉 Pa-1;




IV. Curgerea

Dacă un material aflat în stare de echilibru este supus la o tensiune

constantă începând cu timpul t = 0, atunci deformația 𝛾 este observată

ca o funcție de timp:

Complianța la curgere: 𝑱 𝒕, 𝝉 ≡ 𝜸 𝝉 ;

Viteza de curgere: 𝜸 − 𝒕, 𝝉 ≡ 𝜸 ;

Relația dintre tensiune și viteza de deformare este definită prin

coeficientul vitezei de curgere: 𝜼𝒄+(𝒕, 𝝉) ≡ 𝝉 𝜸 − ;

Coeficientul vitezei de curgere este analog cu coeficientul de creștere

a tensiunii (𝜼𝒄+(𝒕, 𝜸 )) în cazul unei viteze de solicitare constantă.



Introducere






IV. Curgerea

Dacă materialul studiat este un fluid, astfel încât acesta tinde spre o comportare liniară cu timpul, atunci curba complianței poate fi extrapolată pentru timpul t=0, determinându-se complianța în starea de echilibru:

𝑱𝒔 𝒕, 𝝉 = 𝑱𝒔 𝝉 + 𝒕 𝜼 ;

Unde 𝜼 ≡ 𝜼𝒄+(𝝉) este evaluată la o viteza de solicitare 𝜏 .

În domeniul vâsco-elastic liniar pentru o tensiune mică, complianța materialului testat este o funcție de timp:

𝐥𝐢𝐦𝝈→𝟎

𝑱(𝒕, 𝝉) = 𝑱(𝒕);

𝐥𝐢𝐦𝝈→𝟎

𝜼𝒄+(𝒕, 𝝉) = 𝜼𝒄

+(𝒕);

Când deformația devine o funcție liniară de timp, expresia complianței este:

𝑱 𝒕 = 𝑱𝒔 + 𝒕 𝜼𝟎 ;



Introducere






IV. Revenirea

Un fluid, a cărui tensiune și rată de deformare sunt contante în timp,

atinge o tensiune egală cu zero la timpul t=0 când pe direcția 𝑥2 apare

o constrângere. Deformația de revenire este monitorizată ca o funcție

de timp și este considerată pozitivă când are loc în sens opus cu

deformarea inițială.

Deformația de revenire: 𝜸𝒓 = 𝜸 𝟎 − 𝜸(𝒕);

Funcția de revenire: 𝑹 𝒕, 𝝉 ≡ 𝜸𝒓 𝝉 ;

Deformația finală: 𝜸∞ 𝝉 = 𝐥𝐢𝐦𝒕→∞

𝜸𝒓(𝒕, 𝝉) ;

Funcția deformației finale: 𝑹∞(𝝉) ≡ 𝐥𝐢𝐦𝒕→∞

𝑹(𝒕, 𝝉) ;



Introducere






IV. Revenirea

Știind că 𝝉 = 𝜼 ∗ 𝜸 la timpul t=0, rata de deformare poate fi utilizată

în locul tensiunii ca o variabilă independentă.

Dacă comportarea vâsco-elastică liniară are loc în limitele unei

tensiuni inițiale reduse, atunci funcția de revenire are expresia:

𝐥𝐢𝐦𝝉→𝟎

𝑹(𝒕, 𝝉) = 𝑹 𝒕 = 𝑱 𝒕 − 𝒕 𝜼𝟎 ;

Întrucât testul de revenire se realizează uneori în cadrul testului de

curgere prin măsurarea tensiunii la un timp t=0, înainte ca

deformația să devină liniară în timp, atunci deformația de revenire va

fi determinată în funcție de variabilele introduse în test:

𝜸𝒓(𝒕 − 𝒕𝟎, 𝒕𝟎, 𝝉) = 𝜸 𝒕𝟎 − 𝜸(𝒕);



Introducere








Introducere



V. Suprapunerea stărilor de forfecare și a oscilațiilor:

• Vâscozitatea în direcție paralelă în domeniu complex (𝜼‖ ∗(𝝎,𝜸 m )) Pa*s;

• Vâscozitatea în direcție ortogonală în domeniu complex (𝜼⊥ ∗(𝝎,𝜸 m )) Pa*s;




V. Suprapunerea stărilor paralele și oscilatorii în timpul curgerii

Viteza de deformare este suma valorii medii a vitezei de deformare

(𝛾𝑚) și a componentei oscilatorii:

𝜸 𝒕 = 𝜸 𝒎 + 𝜸𝟎𝝎𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕;

Dacă amplitudinea oscilației 𝛾0 este mică, atunci rezultă că tensiunea

este suma valorii medii a tensiunii și a componentei sinusoidale:

𝝉𝒎 = 𝜼 𝜸 𝒎 𝜸 𝒎;

𝝉 = 𝝉𝒎 + 𝝉𝟎𝐬𝐢 𝐧 𝝎𝒕 + 𝜹 ;

Unde 𝜏0 este amplitudinea componentei sinusoidale, iar 𝛿 este unghiul de

atenuare mecanică.

Vâscozitatea în direcție paralelă în domeniu complex are

componentele:

𝜼‖ (𝝎, 𝜸 𝒎) ≡ 𝝉𝟎 𝝎𝜸 𝟎𝒔𝒊𝒏𝜹;

𝜼”‖(𝝎, 𝜸 𝒎) ≡ 𝝉𝟎 𝝎𝜸 𝟎𝒄𝒐𝒔𝜹;



Introducere






V. Suprapunerea stărilor ortogonale și oscilatorii în timpul curgerii

În acest caz, starea de forfecare este în planul 1-2, în timp de componentele oscilatorii sunt în planul 2-3:

𝒗𝟏 = 𝜸 𝒎𝒙𝟐; 𝒗𝟐 = 𝟎; 𝒗𝟑 = (𝜸𝟎𝝎𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕)𝒙𝟐;

Tensorul vitezei de deformare va avea următoarea expresie:

0 𝛾 𝑚 0𝛾 𝑚 0 (𝛾0𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡)0 𝛾0𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 0

;

Dacă amplitudinea vibrației 𝛾0 este mică, componenta tensiunii 𝜎23 este sinusoidală de forma:

𝝈𝟐𝟑 = 𝝉𝟎𝐬𝐢𝐧 (𝝎𝒕 + 𝜹)

Vâscozitatea în direcție paralelă în domeniu complex are componentele:

𝜼‖ (𝝎, 𝜸 𝒎) ≡ 𝝉𝟎 𝝎𝜸 𝟎𝒔𝒊𝒏𝜹

𝜼”‖(𝝎, 𝜸 𝒎) ≡ 𝝉𝟎 𝝎𝜸 𝟎𝒄𝒐𝒔𝜹



Introducere








Introducere

Denumire noțiuni

(lb. română)

Denumire noțiuni

(lb. engleză)

Simbol

RM

Simbol

Reologie

Unități de

măsură

Deformația Strain 𝜺 𝜺 -

Modulul de

elasticitate

longitudinal

(Modulul lui Young)

Young`s Modulus 𝑬 𝑬 Pa

Modulul de relaxare

la tracțiune

Tensile relaxation

modulus 𝑬(𝒕) 𝑬(𝒕) Pa

Complianața la

tracțiune

Tensile compliance 𝑫 𝑫 𝑷𝒂−𝟏

Complianța de

tracțiune la fluaj

Tensile creep

compliance 𝑫(𝒕) 𝑫(𝒕) 𝑷𝒂−𝟏






Funcția de curgere a unui material cu densitate constantă se

caracterizează prin următoarele componente ale vitezei de curgere:

𝒗𝟏 = 𝜺 𝒙𝟏;

𝒗𝟐 = −𝟏

𝟐𝜺 𝒙𝟐;

𝒗𝟑 = −𝟏

𝟐𝜺 𝒙𝟑;

Unde 𝜺 ≥ 𝟎 și 𝜺 = 𝐥𝐧 (𝑳

𝑳𝟎).


Reologie -suport de curs –

Introducere








Introducere



Începerea curgerii la tracțiune

Încetarea solicitării de

tracțiune

Curgerea la tracțiune

Revenirea

Etapa deformării

ETA

PE

I

II

III

IV

V




O epruvetă aflată inițial în stare de echilibru este supusă la o solicitare de tracțiune cu o viteză de deformare 휀, la timpul 𝑡 = 0. Tensiunea normală de tracțiune 𝜎𝐸 este monitorizată ca o funcție de timp:

𝝈𝑬 ≡ 𝝈𝟏𝟏 − 𝝈𝟐𝟐 = 𝝈𝟏𝟏 − 𝝈𝟑𝟑;

Coeficientul de creștere a tensiunii de tracțiune:

𝜼+𝑬(𝐭, 𝜺 ) ≡𝝈𝑬

𝜺 ;

Vâscozitatea la tracțiune:

𝜼𝑬(𝜺) = 𝐥𝐢𝐦𝒕→∞

𝜼+𝑬 (𝒕, 𝜺) ;

Dacă materialul tinde spre o comportare vâsco-elastică liniară la viteze mici de deformare, atunci acesta se caracterizează prin următoarele relații:

𝐥𝐢𝐦𝜺 →𝟎

𝜼+𝑬 (𝒕, 𝜺) = 𝜼+𝑬 𝒕 = 𝟑𝜼+ (𝒕) ;


η𝑬 (𝜺) = 𝟑η𝟎 ;



Introducere

I. Începerea curgerii la tracțiune






O epruvetă supusă la o solicitare de tracțiune cu o viteză de deformare

휀, este adusă în stare de echilibru brusc, la timpul 𝑡 = 0, înainte ca

aceasta să fi atins tensiune maximă.

Coeficientul de descreștere a tensiunii de tracțiune:

𝜼−𝑬(𝐭, 𝜺 ) ≡𝝈𝑬

𝜺 ;

Dacă materialul tinde spre o comportare vâsco-elastică liniară la viteze

mici de deformare, atunci acesta se caracterizează prin următoarele

relații:


𝜼−𝑬 (𝒕, 𝜺) = 𝜼−𝑬 𝒕 = 𝟑𝜼− (𝒕) ;



Introducere

II. Încetarea solicitării de

tracțiune






O epruvetă aflată în stare de echilibru este supusă la o solicitare

constantă de tracțiune, deformația acesteia fiind monitorizată ca o

funcție de timp. Se determină următoarele mărimi:

Complianța curgerii la tracțiune:

𝑫(𝒕, 𝝈𝑬) ≡𝜺𝝈𝑬 ;

Funcția de descreștere a vitezei de curgere la tracțiune:

𝜺 − 𝒕, 𝝈𝑬 = 𝜺 ;

Coeficientul vitezei de curgere la tracțiune caracterizat de raportul

dintre tensiune și viteza de deformare:

𝜼−𝑬,𝒄 𝒕, 𝝈𝑬 ≡ 𝝈𝑬𝜺 − ;



Introducere

III. Curgerea la tracțiune






Dacă materialul analizat este un fluid, atunci, după ce deformația devine liniară cu timpul, coeficientul de curgere devine constant, iar complianța la curgere are expresia:

𝑫 𝒕, 𝝈𝑬 = 𝑫𝒔 𝝈𝑬 + 𝒕η𝑬 ;

Unde 𝐷𝑠 - este complianța în starea de echilibru, iar 𝜼𝑬 = 𝜼+𝑬,𝒄 𝝈𝑬 este evaluată viteză de deformație corespunzătoare cu 𝝈𝑬.

Dacă materialul prezintă o comportare vâsco-elastică liniară la valori mici ale tensiunii,atunci:

𝐥𝐢𝐦𝝈𝑬→𝟎

𝑫(𝒕, 𝝈𝑬) = 𝑫 𝒕 =𝟏

𝟐𝑱(𝒕);

Și 𝐥𝐢𝐦𝝈𝑬→𝟎

𝜼+𝑬, 𝒄 (𝒕, 𝝈𝑬) = 𝜼+𝑬, 𝒄 𝒕 = 𝟑𝜼𝒄+ (𝒕) ;

După ce deformația devine o funcție liniară de timp:

𝑫 𝒕 = 𝑫𝒔𝟎 + 𝒕

𝜼𝑬,𝟎 ;

Unde 𝑫𝒔𝟎 este complianța la tracțiune în starea de echilibru și η𝐸,0 = η𝐸,𝑐

+ este limita vâscozității la tracțiune la viteza de extindere zero.



Introducere

III. Curgerea la tracțiune






Un material supus la solicitarea de tracțiune cu o viteză de deformare 휀 în

timp până atinge limita de curgere 𝜎𝐸 este detensionat brusc până la zero.

Viteza de revenire a deformației este monitorizată ca o funcție de timp.

Deformația de revenire la tracțiune:

𝜺𝒓 = 𝜺 𝟎 − 𝜺 𝒕

Funcția de revenire la tracțiune:

𝑺(𝒕, 𝝈𝑬) ≡ 𝜺𝒓/𝝈𝑬

Deformația finală:

𝜺∞(𝝈𝑬) ≡ 𝐥𝐢𝐦𝒕→∞

𝜺𝒓(𝒕, 𝝈𝑬)

Funcția de revenire a tensiunii finale:

𝑺∞ 𝝈𝑬 = 𝜺∞(𝝈𝑬)/𝝈𝑬

Dacă materialul analizat tinde spre o comportare vâsco-elastică liniară la

tensiuni mici, atunci:

𝐥𝐢𝐦𝝈𝑬→𝟎

𝑺(𝒕, 𝝈𝑬) = 𝑺 𝒕 =𝟏

𝟑𝑹(𝒕)



Introducere

IV. Revenirea






Un material aflat în stare de echilibru este supus la o deformare cu

magnitudinea 휀, la timpul t=0. Atunci tensiunea este analizată ca o

funcție de timp.

Modulul de relaxare are expresia:

𝐸(𝑡, 휀) ≡ 𝜎𝐸/휀;

Dacă materialul studiat tinde spre o comportare vâsco-elastică liniară

la valori mici ale deformației, atunci:

lim𝜀→0

𝐸(𝑡, 휀) = 𝐸 𝑡 = 2𝐺(𝑡);



Introducere

V. Etapa deformării







Introducere


F 𝝈𝟎, 𝒕 =𝜺(𝒕)

𝝈𝟎 R 𝜺𝟎, 𝒕 =

𝝈(𝒕)

𝜺𝟎

vâscozitatea dinamică ( η ) – proprietatea fluidelor aflate în

mișcare de a se opune deformațiilor acestora.

vâscozitatea cinematică 𝝑 =η

𝝆 𝒎

𝟐𝒔 ;

Vâscozitatea convențională – se măsoară prin timpul de curgere

a unui lichid în condiții bine precizate;

vâscozitatea fluidelor scade cu creșterea temperaturii;

η 𝑆𝐼 =1𝑁𝑠

𝑚2 = 1𝑃𝑎 ∗ 𝑠





Introducere


Metoda corpului căzător – bazată pe legea lui

Stokes care stabilește rezistența ce o întâmpină un

corp sferic omogen când cade cu o viteză constantă

într-un lichid.

Metoda corpului rotitor (cilindru sau con) –

bazată pe determinarea tensiunilor tangențiale pe

care se dezvoltă într-un corp la rotirea sa prin lichid.

Metoda corpului vibrant

Metoda corpului oscilant

Metoda Engler

ș.a.





Introducere


http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~sanongn1/course.html

Tixotropia - reducerea progresivă a viscozităţii sub acţiunea

unei tensiuni constante (etimologic schimbare la atingere)

Tixotropia – efecte dorite





Introducere


Tixotropia – proprietate pentru evaluarea calității vopselelor.

Vopselele sunt compuse din particule solide dispersate în lichid.

Când se aplică prin pensulare, e preferabil ca ea să alunece frumos pe

suprafaţa de vopsit. Astfel, la aplicarea presiunii, vopseaua devine mai puţin

vâscoasă, favorizând depunerea în strat neted.

După îndepărtarea pensulei, e de dorit ca vopseaua să nu se prelingă.

Pentru a nu se prelinge, e necesar ca vopseaua să fie tixotropă.

Pentru a fi tixotropă, mărimea şi forma granulelor de pigment şi de aditivi

solizi se aleg în aşa fel încât materialul să se întărească repede, dacă se

poate, în prima secundă după aplicare.

Tixotropia – efecte nedorite!





Introducere


Ce facem când, la un cutremur, terenul aluvionar (noroi nisipos) de sub noi

începe să se înmlăştineze?

Fenomenul apare în special în lunci, dar şi acolo unde substratul este constituit din

loess umed.

În China, de exemplu, sunt milioane de hectare de loess. Adesea, alunecările de teren

se petrec ca urmare a înmuierii loessului (deja înmuiat de apa subterană) din cauza

mişcărilor telurice. Au fost înghiţite sate întregi aşa. După seism, terenul se întărea la

loc.

La cutremurul din 11 martie 2011, 4.200 ha de teren din jurul golfului Tokio s-au

înmlăştinat. În special, în aria numită Urayasu. Străzile au devenit un deal şi-o vale.

Oscilaţiile mecanice au făcut ca pământul să se înmoaie. Acolo unde pânza freatică e

superficială, stratul tixotrop devine brusc permeabil, lăsând apa să izvorască.

O clădire cu mai mult de 1゜ abatere de la verticală, provoacă vertij şi dureri de cap

locatarilor.

Reopexia - creşterea progresivă a viscozităţii sub acţiunea unei

tensiuni constante (constituie fenomenul opus tixotropiei).





Introducere


Timp de

relaxare

convențional





Introducere


Timp de relaxare - timpul necesar de reducere a tensiunii într-un

material supus curgerii.

Lichide

𝟏𝟎−𝟔 −𝟏𝟎𝟐 𝒔

Solide

> 102 𝑠

Gaze

> 𝟏𝟎−𝟔 𝒔





Introducere


Reprezintă fenomenul prin care fluidul antrenat de o tijă rotativă cu viteză

mare de rotație se înfășoară în jurul tijei sau se ridică pe pereții

recipientului datorită tensiunilor normale ce se dezvoltă în fluid.

http://www.nap.edu/openbook.php?record_id=5871&page=32





Introducere


Johann Bauschinger (1834 – 1893) Germania

Matematician

Inginer

A descoperit efectul Bauschinger în cazul

solicitării ciclice a materialelor la tracțiune –

compresiune care se manifestă prin creșterea

limitei de curgere la tracțiune și scăderea

limitei de curgere la compresiune

http://www.ttk.bme.hu/altalanos/nyilt/BMe-

palyazat/zsarnoczay_adam_en/zsarnoczay_adam_en.html

1.6.1. Obiectul reologiei

1.6.2. Starea materială a unui sistem material

1.6.3. Clasificarea sistemelor reologice

1.6.4. Factorii care influențează comportarea

în timp a sistemelor reologice






Introducere




Sistemul reologic (SR)– este caracterizat prin:

- Forțele exterioare (statice, dinamice, variabile ca intensitate, mărime, direcție, etc. în condiții agresive de mediu);

- Nu sunt sisteme izolate mecanic (sunt în interacțiune cu alte corpuri prin contacte elastice, plastice sau vâscoase;

- Sunt considerate omogene sau cvasi-omogene, izotrope sau anizotrope, compozite sau multi-materiale;



Introducere

Sistemul reologic (SR) - Obiectul de studiu al reologiei

caracterizat prin deformația, tensiunea, legitățile dintre

deformații și tensiuni în domeniul elastic, vâscos, plastic.




Sistemul reologic (SR)– este caracterizat prin:

- Deformarea acestuia depinde de compoziția sa, de trecutul și prezentul său, de modul de solicitare;

- Se pot deosebi: o stare ereditară a sistemelor reologice (trecutul acestora) și o stare unanimă (starea de tensiune existentă);

- Starea deformabilă/nedeformabilă - noțiuni relative;

- Ecuațiile reologice care descriu starea sistemelor reologice stabilesc legături între tensiuni (cantități dinamice) și deformații (cantități cinetice), fiind legate între ele prin constante ale SM (sistemelor materiale) sau alți coeficienți;

- Comportarea SR depinde de funcțiile dintre tensiuni și deformații precum și de derivatele acestor funcții în raport cu timpul.



Introducere

St.V






Introducere

VÂSCOZITATE

ENERGIE

POTENȚIALĂ

ENERGIE

CINETICĂ ENERGIE

DISIPATĂ

N

Corpuri

vâscoase Corpuri

plastice

Corpuri vâsco-plastice

Corpuri elastice H






Introducere

- Metale (OL, Al, Cu, Ag, Au, Ni, aliaje etc.)

- Lemnul

- Fibre de carbon

- Fibre de sticlă





Introducere

- geluri

- paste

- masticuri

- mixturi

- Zăpada

- Gheața

- Vopsele

- Ciocolata

- Prenandez

- Poliuretan

- …..

-





Introducere

- rășini polimeri

- Poliacetat de

vinil

- Sticlă

- Ceramica

- Materiale

casante

- ….





Introducere




Temperatura pieselor și a mediului de exploatare;

Umiditatea pieselor și a mediului de exploatare;

Radiații (intensitate, durată, tipuri – UV, IR, X, );

Geometria pieselor;

Tipurile de solicitări, modul de variație și durata acestora;

Defecte ale pieselor;

Agenți chimici;

Compoziția, structura;

Combinații ale acestora.



Introducere





Introducere


Crăpături - generate de : încărcare excesivă, contracție, contracția termică,

coroziune armăturii , atac chimic, îngheț-dezgheț, consolidarea insuficientă,

îmbinare neadecvate, suport necorespunzător;

Probleme ale calității suprafeței - exfoliere și uzură excesivă , practici de

construcție necorespunzătoare și / sau de proiectare, planeitate, lipsa jocurilor;

Coroziunea armăturii – coroziunea generată de factorii de mediu duce la

crăparea și exfolierea de beton. Cauze - acoperire insuficientă de protecție, beton

de proastă calitate, penetrare a unor substanțe corozive;

Distrugerea datorată înghețului și dezghețului Expunerea la condiții

meteorologice aspre, cum ar fi înghețarea ciclică și decongelare (FT). Cauze:

proiectarea rețetei nu ține cont de condițiile de mediu, calitatea amestecului;

Degradarea chimică - În timp ce betonul este non-reactiv în cele mai multe

medii, degradarea poate apărea ca urmare a atacului și reacțiilor cu substanțe

alcaline, sulfurice, etc.

Calitatea suprafeței de acoperire – umiditate excesivă datorită vaporilor de

emisie, pregătirea suprafeței inadecvată și materiale incompatibile Identificare

prin - vezicule, desprinderea, decolorarea și descuamarea acoperiri.





Introducere


corect

incorect





Introducere






Introducere

corect incorect


Coeficientul de

concentrare a

tensiunilor

as>1





Introducere


Adaptată după: http://www.kokch.kts.ru/me/t1/image/T33.GIF





Introducere






Introducere


Fibre rigide, nedeformabile

Adaptată după: http://www.kokch.kts.ru/me/t1/index.html





Introducere


http://www.kokch.kts.ru/me/t1/index.html





Introducere





2.1. Modele reologice clasice

2.2. Modele reologice ale mediilor complexe

2.2.1. Modele reologice ale corpurilor elasto-plastice

2.2.2. Modele reologice ale corpurilor vâsco-elastice

2.2.3. Modele reologice ale corpurilor vâsco-plastice


Reologie

- suport de curs -

2.1.1. Solidul lui Euclid (rigid)

2.1.2. Solidul lui Hooke (elastic)

2.1.3. Solidul lui Saint Venant (plastic)

2.1.4. Lichidul lui Pascal

2.1.5. Lichidul lui Newton

2.1.6. Comparații între diferite tipuri de modele

2.1.7. Gruparea elementelor în modele





Modele reologice


Se caracterizează prin absența deformațiilor;

Un corp perfect rigid;

Tensorul sferic al deformațiilor are expresia:

𝑆𝑒 =

휀𝑚 0 00 휀𝑚 00 0 휀𝑚

= 0

Unde: 휀𝑚 =𝜀𝑥+𝜀𝑦+𝜀𝑧

3

Deviatorul deformațiilor specifice are expresia:

𝐷𝜀 =

휀𝑥 − 휀𝑚1

2𝛾𝑥𝑦

1

2𝛾𝑥𝑧

1

2𝛾𝑦𝑥 휀𝑦 − 휀𝑚

1

2𝛾𝑦𝑧

1

2𝛾𝑧𝑥

1

2𝛾𝑧𝑦 휀𝑧 − 휀𝑚

=0





Modele reologice


휀𝑥 = 0

휀𝑦 = 0

휀𝑧 = 0

𝛾𝑥𝑦= 0

𝛾𝑦𝑧=0

𝛾𝑥𝑧=0

se caracterizează printr-un corp perfect elastic, independent de

intensitatea sau natura solicitărilor, ce revine la forma iniţială odată

cu îndepărtarea acestora.

Între mărimea deformațiilor și intensitatea solicitărilor există o relație

liniară:

Tensorul sferic al deformațiilor

Deviatorul deformațiilor

Modelul mecanic – arcul;





Modele reologice

𝜎 = 𝐸 ∗ 휀;

𝑆𝜀 =1−2𝜗

𝐸 𝑆𝜎;

𝐷𝜀 =1+𝜗

𝐸𝐷𝜎;

http://commons.wikimedia.org


H

H

𝑘 =𝐹

∆𝑙 [N/mm]

𝑘 − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐ă

Reprezentare spaţială a mediului de comportare; (Curtu,

Roşca, 1993), compilație cu

http://www.britannica.com/EBchecked/media/153434





Modele reologice


• Se caracterizează printr-un corp greu, rezemat pe un plan rugos, solicitat

de o forţă F de tracţiune, care nu se pune în mişcare decât în momentul în

care forţa F depăşeşte forţa de frecare Ff = μGc.

• Modelul poate fi considerat ca un limitator de efort, deoarece nu poate

prelua forţe mai mari decât forţa de frecare;

• Tensorul sferic al deformațiilor:

• Deviatorul deformațiilor specifice:

Unde

𝐷𝑐 –caracterizează pragul dat de forța de frecare.

• Modelul mecanic:





Modele reologice


𝑆𝜀 = 0

𝐷𝜀 = 𝐷𝑐

St.V.

Se caracterizează prin:

– Deformații fără variație de volum;

– Tensiunile sunt compresiuni normale;

– Tensiunile tangențiale sunt nule;

– Tensiunile normale sunt constante într-un punct.

• Tensorul sferic:

• Deviatorul tensiunilor:

• Un fluid ideal curge cu orice viteză pentru o tensiune egală cu zero.





Modele reologice

𝑆𝜀 = 0

𝐷𝜎 = 0;


Fluidul lui Newton posedă numai viscozitate, astfel încât sub acțiunea unei solicitări,

curge.

• Curgerea este un proces de deformare continuă cu viteză finită;

• Deformația vâscoasă depinde de mărimea și durata solicitării.

• La efort constant, curgerea este întreţinută continuu, deformaţia este crescătoare

continuu şi viteza de deformaţie este constantă.





Modele reologice


http://www.chemistryexplained.com/Kr-Ma/Liquids.html

http://robertcampbelluas.edublogs.org/non-newtonian-fluids/

N

• La corpurile vâscoase tensiunea este corelată cu viteza de deformare.

• Comportarea fluidului lui Newton este descrisă de o ecuaţie care prezintă

proporţionalitate între efort (tensiune) şi viteza de deformare, coeficienţii de

proporţionalitate fiind independenţi de parametrii solicitării :





Modele reologice


𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝑣

𝑦

ℎ

Unde: v − viteza de deplasare; h − înălțimea peretului;

y − înălțime oarecare

𝜏 = η𝑣

ℎ

η − vâscozitatea dinamică;

• Modelul mecanic:

N

N

Inversul vâscozității se numește fluiditate sau complianță.

Ecuațiile constitutive ale unui lichid newtonian:

Tensorul sferic al deformațiilor:

Condiția de proporționalitate între deviatorul tensiunilor și deviatorul

vitezelor de deformație:

Vâscozitatea lichidelor newtoniene este influențată de temperatură,

comparativ cu cele ne-newtoniene a căror viscozitate este influențată

de forța aplicată





Modele reologice

𝑆𝑒 = 0

𝐷𝜎 = 2η𝐷𝜀


Fluid de

tip

Newtonian

Fluid de tip

ne-Newtonian

N





Modele reologice


Adaptată după:

http://www.geosci.usyd.edu.au/users/prey/Granite/Granite.html

N





Modele reologice

Șef lucrări dr. ing. STANCIU Mariana Domnica, prof. univ. dr.

ing. CURTU Ioan

Adaptată după:

http://www.geosci.usyd.edu.au/users/prey/Granite/Granite.html





Modele reologice


N

St.V.

- sunt modelele analoage ale corpurilor cu proprietăţi unitare şi cu comportare liniară.

- reprezintă cele mai simple elemente mecanice cu ajutorul cărora se poate reproduce

răspunsul unui corp la solicitări simple.

Modelul unui corp cu proprietăţi multiple va fi format din două sau mai multe

elemente mecanice grupate în diverse moduri.





Modele reologice M

od

ele

sim

ple

Amortizorul

Arcul elicoidal

Corpul cu frecare


N

H

St.V. http://en.wikipedia.org/wiki/Viscopla

sticity

Termeni în limba engleză

Gruparea în serie

• permite separarea fiecărui tip de

deformaţie.

• Forţa aplicată modelului se transmite în

întregime fiecărui element din structura

modelului, în timp ce deformaţia totală

este egală cu suma deformaţiilor

componente.

Gruparea în paralel

• impune ca toate elementele să

prezinte aceeaşi deformaţie.

• Forţa care îi revine fiecăruia diferă

de la element la element.

• Forţa totală, aplicată modelului, este

egală cu suma forţelor ce

acţionează asupra tuturor

elementelor. (Curtu, Roşca, 1993)





Modele reologice


N1

N2

H2

H1

H N





Modele reologice

Gru

pare

în s

eri

e

Gru

pare

în s

eri

e

Gru

pare

în s

eri

e

Grupare în

paralel Șef lucrări dr. ing. STANCIU Mariana Domnica, prof. univ. dr. ing. CURTU Ioan

N1

N3 N2

H1

H4

H3 H2





Modele reologice


2.2.1. Modele reologice ale corpurilor elasto-plastice;

2.2.2. Modele reologice ale corpurilor vâsco-elastice;

2.2.3. Modele reologice ale corpurilor vâsco-plastice;





Modele reologice


Se caracterizează prin faptul că peste valoarea critică a solicitării

apar deformații permanente ca urmare a fenomenului de fluaj.

Modelul mecanic al corpului elasto-plastic:

Modelul mecanic al corpului rigido-plastic:





Modele reologice

Corpului elasto-plastic Corpul rigido-plastic


Adaptate după: http://www.docstoc.com/docs/140351030/metal-Forming-Fundamentals





Modele reologice

http://www.rombel-

srl.ro/index.php?cmd

=album&idalbum=7





Modele reologice

Elemente din domeniul construcțiilor de mașini:

Comportare liniară

Comportare neliniară


2.2.2.1. Corpul de tip Maxwell 2.2.2.2. Corpul de tip Kelvin-Voigt

2.2.2.3. Corpul de tip Burgers 2.2.2.4. Corpul de tip Lethersich 2.2.2.5. Corpul de tip Zener I

2.2.2.6. Corpul de tip Zener II (Poynting-Thomson) 2.2.2.7. Comparații între diferite modele vâsco-elastice 2.2.2.8. Modele mecanice cu mai multe elemente

2.2.2.9. Alte modele





Modele reologice


James Clerk Maxwell (1831 – 1879)

- matematician, fizician;

- fundamentează ecuații din electricitate, magnetism, etc;

În anul 1867 propune modelul Maxwell compus dintr-un corp elastic

(Hooke) și un lichid vâscos (Newton) fiind un model liniar.





Modele reologice

http://www.youtube.com/watch?v=ZVK1qVkXfC4

http://ro.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell

http://cro.sagepub.com/content/14/2/138/F4.expansion.html






Modele reologice

𝛾𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝛾𝑒 + 𝛾𝑣 =𝜏

𝐺+ 휀𝑣

𝛾 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝛾 𝑒 + 𝛾 𝑣 =𝜏

𝐺+ 𝛾 𝑣

𝛾 =1

𝐺

𝑑𝜏

𝑑𝑡+𝜏

η Ș𝑡𝑖𝑖𝑛𝑑 𝑐ă 𝜏 = η𝛾𝑣

𝐷𝜀 =1

2𝐺𝐷𝜎 +

1

2η𝐷𝜎

Starea de deformații specific

modelului Maxwell rezultă din

suprapunerea stărilor de

deformații ale celor două

componente (cea elastică –

notată cu indicele ”e” și cea

vâscoasă notată cu indicele ”v”.

În cazul solicitărilor spațiale, se

utilizează tensorul sferic și

deviatorul deformațiilor.

𝑆𝜀 =1 − 2

𝐸𝑆𝜎






Modele reologice

Cazul solicitării constante 𝝉𝟎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕.


𝝉 𝟎 = 𝟎

𝜸 𝒕 =𝝉𝟎𝑮+𝝉𝟎𝜼𝒕 = 𝝉𝟎 𝟏 +

𝑮

𝜼𝒕 =

𝝉𝟎𝑮(𝟏 +

𝒕

𝒕𝒓)

Unde 𝑡𝑟 − 𝑡𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑥𝑎𝑟𝑒 (𝑡𝑟 =η

𝐺 )

Ecuația unei drepte f(t)

Funcția de fluaj: F 𝒕 = 𝜸(𝒕)

𝝉𝟎=

𝟏

𝑮+

𝒕

𝜼





Modele reologice

Cazul deformației constante 𝜸𝟎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕.


𝜸 𝟎 = 𝟎

𝝉 𝒕 = 𝑮𝜸𝟎𝒆−𝑮𝒕η = 𝑮𝜸𝟎𝒆

𝒕𝒕𝒓

Unde 𝑡𝑟 − 𝑡𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑥𝑎𝑟𝑒 (𝑡𝑟 =η

𝐺 )

Funcție descrescătoare exponențială

Funcția de relaxare: R 𝒕 = 𝝉(𝒕)

𝜸𝟎= 𝑮𝒆

−𝒕

𝒕𝒓





Modele reologice

𝜺𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝜺𝒆 + 𝜺𝒗 =𝝈

𝑬+ 𝜺𝒗 𝜺 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =

𝝈

𝑬+ 𝜺 𝒗 =

𝝈

𝑬+𝝈

𝝀

𝜎 +𝐸

λ𝜎 = 𝐸휀

𝑢𝑛𝑑𝑒 ∶ λ 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣â𝑠𝑐𝑜𝑧𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡ă λ = 3η și 𝜎 = λ휀 𝑣

𝑑𝑎𝑟 𝐸

λ=

1

𝑡𝑟

Înlocuind, se obține ecuația de stare a corpului de tip Maxwell

𝑢𝑛𝑑𝑒: 𝜎0 = 𝐸휀0 ș𝑖 휀0 =𝜎0

𝐸

În cazul în care un corp tip Maxwell este solicitat la tracțiune, deformația

totală va fi suma deformațiilor celor două elemente (elastic și vâscos).

𝝈 = 𝒆−𝑬

𝝀𝒕 (𝝈𝟎 + 𝑬 𝜺

𝒕

𝟎𝒆−

𝑬

𝝀𝒕𝒅𝒕)






Modele reologice

Cazul solicitării constante 𝝈 = 𝝈𝟎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕.


𝝈 𝟎 = 𝟎

𝜺 =𝒅𝜺

𝒅𝒕=𝝈

λ

Unde 𝑡𝑟 − 𝑡𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑥𝑎𝑟𝑒 (𝑡𝑟 =λ𝐸 )

𝜺 =𝝈

𝝀𝒕 + 𝑪

Integrând

Dacă la t=0, 휀 =𝜎

𝐸 ; atunci constanta de integrare C devine 𝐶 = 𝜎0

𝐸

𝜺 =𝝈𝟎𝑬

𝟏 +𝑬

λ𝒕 =

𝝈𝟎𝑬(𝟏 +

𝒕

𝒕𝒓)

Deformarea corpului:

• deformația elastică (instantanee și reversibilă în întregime) 𝜺𝒆 = 𝜺𝟎 =𝝈𝟎

𝝀𝒕𝒓;

• Deformația elastică nu depinde de durata aplicării sarcinii;

• curgere ireversibilă 𝜺𝒄 =𝝈𝟎

𝑬𝒕𝒓𝒕𝟏 =

𝝈𝟎

𝝀𝒕𝟏;

• Curgerea este proporțională cu durata aplicării sarcinii;





Modele reologice

Cazul deformației constante: 𝜺𝟎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕.


𝜺 𝟎 = 𝟎

𝝈 𝒕 = 𝑬𝜺𝟎𝒆−𝒕𝒕𝒓 = 𝜺𝟎𝑬𝒓(𝒕)

Unde:

𝐸𝑟 𝑡 = 𝐸𝑒−𝑡

𝑡𝑟 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑥𝑎𝑟𝑒

Funcție descrescătoare exponențială, deci tensiunea descrește

continuu în timp tinzând către zero

Cazul vitezei de deformație proporțională cu timpul:

𝜺 = 𝒄 ∗ 𝒕, 𝜺 = 𝒄.

𝝈 = 𝝈𝟎𝒆−𝒕𝒕𝒓 + 𝒄λ(𝟏 − 𝒆

−𝒕𝒕𝒓)

Cazul vitezei de solicitare proporțională cu timpul: 𝝈 = 𝒔 ∗ 𝒕, 𝝈 = 𝒔

𝜺 =𝒔𝒕

𝑬+𝒔𝒕𝟐

𝟐𝝀





Modele reologice

Cazul solicitărilor ciclice: 𝝈 = 𝝈𝟎𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕


𝜺 𝟎 =𝝈

𝑬+𝝈

λ

𝜺 =𝝈𝟎𝑬±

𝟏 +𝝎𝟐𝒕𝟐𝒓𝝎𝒕𝒓

𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 − 𝜹)

Deformația variază sinusoidal

urmând variația tensiunii cu o

întârziere de fază φ

http://silver.neep.wisc.edu/~lakes/VEnotes.html

William Thomson KELVIN (1824–1907)

Irlanda

inginer, fizician;

stabilește ”scara Kelvin”, scară de

temperatură termodinamică (absolută)

unde temperatura de zero absolut (0 K)

este cea mai scăzută temperatură

posibilă, nimic neputând fi răcit mai mult,

iar în substanță nu mai există energie sub

formă de căldură;

a conceput primul telegraf care traversa

Atlanticul;





Modele reologice


http://ro.wikipedia.org/wiki/Kelvin

Woldemar Voigt (1850 – 1919) Germania

fizician;

Aproximează transformarea Lorenz

Descoperă și fundamentează efectul Voigt

(birefrigeranța)

Elaborează modelul reologic Voigt format

dintr0un amortizor și un arc legate în paralel





Modele reologice


Starea de deformații specifică modelului Kelvin-Voigt este aceeași atât pentru

elementul de tip Hooke (H – arcul) cât și pentru elementul de tip Newton (N-

amortizorul).

Tensiunea normală σ

(tracțiune/compresiune) 𝝈 = 𝝈𝒆 + 𝝈𝒗 = 𝑬𝜺 + 𝜼𝜺 = 𝑬𝜺 + 𝜼

𝒅𝜺

𝒅𝒕

Ecuația de stare a corpului vâsco-

elastic fără relaxare cu deformații

elastice întârziate

𝜺 = 𝒆−𝑬𝜼𝒕(

𝝈

𝜼𝒆𝑬𝜼𝒕𝒅𝒕 + 𝜺𝟎)

𝒕

𝟎

Integrând,rezultă:





Modele reologice


1. Deformația sub tensiune constantă 𝝈 = 𝝈𝟎

𝜺 = 𝜺𝟎𝒆−𝑬𝜼𝒕 +

𝟏

𝑬𝝈(𝟏 − 𝒆

−𝑬η𝒕)

2. Deformația inițială nulă 𝛆 = 𝜺𝟎 = 𝟎, 𝒍𝒂 𝒕 = 𝟎

𝜺 =𝝈𝟎𝑬

𝟏 − 𝒆−𝑬η𝒕 =

𝝈𝟎𝑬(𝟏 − 𝒆

−𝒕𝒕𝒊)

Unde:

ti − timpul de întârziere ti =η

E

Funcția de fluaj:

F 𝒕 =𝜺

𝝈𝟎=

𝟏

𝑬𝟏 − 𝒆

−𝑬

η𝒕= 𝐉 𝟏 − 𝒆

−𝒕

𝒕𝒊

unde: 𝑱 𝒕 - complianța elastică 𝑱 𝒕 = 𝟏/𝑬

Caracteristica

curgerii lente:

𝝋 𝒕 =𝜺𝒄

𝜺𝟎

Funcția de revenire (relaxare):

R 𝒕 =𝝈𝟎

𝑬𝟏 − 𝒆

−𝒕𝟎𝒕𝒊 𝒆

−𝒕−𝒕𝟎𝒕𝒊 =

𝝈𝟎

𝑬𝒆−𝒕

𝒕𝒊(𝒆𝒕

𝒕𝒊 − 𝟏)





Modele reologice


3. Deformația proporțională cu timpul: 𝜺 = 𝒄 ∗ 𝒕 𝜺 = 𝒄

𝝈 = 𝐄𝜺 + 𝜼𝒄

4. Tensiunea proporțională cu timpul:

𝝈 = 𝒔 ∗ 𝒕 𝝈 = 𝒔

𝜺 = 𝜺𝟎𝒆−𝒕𝒕𝒊 +

𝒔𝒕

𝑬𝟏 −

𝒕𝒊𝒕(𝟏 − 𝒆

−𝒕𝒕𝒊)

𝜺 =𝝈𝟎𝑬

𝟏

𝟏 + 𝝎𝟐𝒕𝒊𝟐(𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 − 𝒕𝒊𝝎𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 + 𝒕𝒊𝝎𝒆

−𝒕𝒕𝒊)

휀1 =𝜎0𝐸

1

± 1 + 𝜔2𝑡𝑖2

sin (𝜔𝑡 − 𝛿) 휀2 =𝜎0𝐸

𝑡𝑖𝜔

1 + 𝜔2𝑡𝑖2 𝑒

−𝑡𝑡𝑖

5. Solicitări ciclice: 𝝈 = 𝝈𝟎𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕

Johannes Martinus Burgers (1895 –1981)

Fizician

Ecuația Burgers – exprimă legătura dintre

viteză și viscozitate

Modelul Burgers este obținut prin legarea

în serie a unui model Maxwell cu un model

Kelvin-Voigt – caracterizându-se prin

viscozitate, elasticitate instantanee și

elasticitate întârziată





Modele reologice


http://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Martinus_Burgers

• Caracterizează comportarea betoanelor, lemnului

masiv, plăcilor din aşchii, polimerii amorfi liniari.





Modele reologice


𝛾 = 𝛾𝑀 + 𝛾𝐾𝑉

𝛾 = 𝛾 𝑀 + 𝛾 𝐾𝑉

𝛾 = 𝛾 𝑀 + 𝛾 𝐾𝑉

𝜸 𝑴 =𝝉

𝑮𝟏+

𝝉

𝜼𝟏

𝜸 𝑴 =𝝉

𝑮𝟏+

𝝉

𝜼𝟏

𝝉 = 𝑮𝟐𝜸𝟐 + 𝜼𝟐𝜸 𝟐

𝝉 = 𝑮𝟐𝜸 𝟐 + 𝜼𝟐𝜸 𝟐

𝜸 𝑲𝑽 = 𝜸 −𝝉

𝑮𝟏−

𝝉

𝜼𝟏

𝜸 𝟐 =𝝉

𝜼𝟐−𝑮𝟐

𝜼𝟐(𝜸 −

𝝉

𝑮𝟏−

𝝉

𝜼𝟏)

Modelul Maxwell

Modelul

Kelvin-Voigt






Modele reologice

1. Deformația sub tensiune constantă 𝝉 = 𝝉𝟎 𝜸 +𝑮𝟐

𝜼𝟐𝜸 +

𝑮𝟐

𝜼𝟏𝜼𝟐𝝉𝟎 = 𝟎

Prin aplicarea instantanee a tensiunii va apărea o deformație instantanee

𝜸 = 𝝉𝟎𝑮𝟏 , urmată de o deformație vâscoasă.

Viteza inițială de deformație este determinată de cele două amortizoare, la

timpul t=0:

𝜸 =𝝉𝟎

𝜼𝟏+

𝝉𝟎

𝜼𝟐

Funcția de fluaj F(t)

F 𝒕 =𝜸(𝒕)

𝝉𝟎=

𝟏

𝑮𝟏+

𝒕

𝜼𝟏+

𝟏

𝑮𝟐(𝟏 − 𝒆

−𝒕

𝒕𝒊)

Unde 𝑡𝑖 =η2

𝐺2 reprezintă timpul

de întârziere.






Modele reologice

2. Tensiunea sub deformație constantă: 𝛄 = 𝜸𝟎=k

𝝉 +𝑮𝟏

η𝟏+𝑮𝟏

η𝟐+𝑮𝟐

η𝟐𝝉 +

𝑮𝟏𝑮𝟐

η𝟏η𝟐𝝉 = 𝟎

Întrucât deformația totală rămâne constantă, elementele din modelul KV și

amortizorul liber se deformează, iar arcul liber recuperează din deformații

în sensul micșorării deformației:

𝜏 = 𝐺1𝛾0𝑒−𝑘2𝑡 𝑒

𝐾𝑡2 −

1

𝐾𝐴 + 𝐾 − 2

𝐺1η2

𝑠ℎ(𝐾

2𝑡) Unde: 𝐾 = 𝐴2 − 4𝐵

A B

Funcția de relaxare R(t)

R 𝒕 =𝝉

𝜸𝟎= 𝑮𝟏𝒆

−𝑲

𝟐𝒕 𝒆

𝑲𝒕

𝟐 −𝟏

𝑲𝑨 +𝑲 − 𝟐

𝑮𝟏

𝜼𝟐𝒔𝒉(

𝑲

𝟐𝒕)






Modele reologice

William Lethersich (sec XX)

- Modelul este format dintr-un corp de tip Newton și unul de tip

Kelvin-Voigt;

- Prezintă curgere pur vâscoasă (N) și elasticitate întârziată);

𝜸 = 𝜸𝟏 + 𝜸𝟐 Deformația totală 𝜏 = η1𝛾 1

𝜏 = η2𝛾 2 + 𝐺𝛾2

Pentru o tensiune arbitrară 𝜏𝑖𝑗

𝝉𝒊𝒋 + 𝒕𝒓𝜹𝝉𝒊𝒋

𝜹𝒕= −𝜼(𝜸 𝒊𝒋 + 𝒕𝒊

𝝏𝜸 𝒊𝒋

𝝏𝒕)

𝜏𝑖𝑗 = + η

𝑡𝑟2 1 −

𝑡1𝑡𝑟

𝑒−

𝑡−𝑡 ,

𝑡𝑟 + 2𝑡1𝛿 𝑡 − 𝑡 , 𝛾 𝑡 , 𝑑𝑡 ,𝑡

−∞

Unde: 𝛿 𝑡 − 𝑡 , este funcția delta Dirac, 𝑡𝑟 = (η1 + η2)/𝐺1 și 𝑡𝑖 = η1/𝐺1

Tensiunea la timpul prezent t depinde de viteza de deformare la timpul

prezent t și de viteza de deformare la timpii anteriori 𝒕,.

Ecuația reologică este






Modele reologice

Funcția de relaxare

F 𝒕 =𝜸(𝒕)

𝝉𝒌=

𝒕

𝜼𝟏+

𝟏

𝑮𝟐𝟏 − 𝒆

−𝒕

𝒕𝒊 R 𝒕 =𝝉(𝒕)

𝜸𝒌=

𝝉𝒊

𝜸𝒌𝒆−

𝒕

𝒕𝒓

𝜸 𝒕 =𝝉𝒌𝜼𝟏

𝒕 +𝝉𝒌𝑮𝟐

𝟏 − 𝒆−𝒕𝒕𝒊

Funcția de fluaj

Expresia curbei de fluaj

Clarence Melvin Zener (1905 –1993)

fizician;

în 1957 – primește medalia Bingham pentru

contribuțiile aduse în reologie;

corpul de tip Zener se compune dintr-un

element elastic de tip Hooke legat în serie de

un model Kelvin-Voigt.

Modelul Zener caracterizează comportarea

reologică a fibrelor de sticlă, a unor metale și a

lemnului în anumite condiții de temperatură și

umiditate.

În timpul relaxării, tensiunea nu scade până la

zero, ceea ce caracterizează corpurile reale.






Modele reologice






Modele reologice

𝛾 = 𝛾1 + 𝛾2 Deformația totală 𝜏 = 𝐺1𝛾1 𝜏 = η2𝛾 2 + 𝐺2𝛾2

Pentru o tensiune arbitrară 𝜏𝑖𝑗 rezultă

𝑮𝟏 + 𝑮𝟐

𝜼𝟐𝝉𝒊𝒋 +

𝝏𝝉𝒊𝒋

𝝏𝒕= 𝑮𝟏(

𝑮𝟐

𝜼𝟐𝜸𝒊𝒋 + 𝜸 𝒊𝒋)

Ecuația de comportare

reologică a corpului

Zener I

Ecuația curbei de fluaj,

pentru 𝝉 = 𝝉𝒌 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕. 𝜸 𝒕 =

𝝉𝒌𝑮𝟏

+ 𝝉𝒌(𝟏

𝑮𝟏+

𝟏

𝑮𝟐)(𝟏 − 𝒆

−𝒕𝒕𝒊)

Expresia variației în

timp a tensiunii, pentru

𝛄 = 𝜸𝒌 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕. 𝝉 𝒕 = 𝑲𝑮𝜸𝒌 + (𝝉𝒊 −𝑲𝑮𝜸𝒌)𝒆

−𝒕𝒕𝒓 Unde 𝐾𝐺 =

𝐺1𝐺2

𝐺1+𝐺2






Modele reologice

Funcția de fluaj

Funcția de relaxare

𝑭 𝒕 =𝜸(𝒕)

𝝉𝒌=

𝟏

𝑮𝟏+ (

𝟏

𝑮𝟏+

𝟏

𝑮𝟐)(𝟏 − 𝒆

−𝒕𝒕𝒊)

𝑹 𝒕 =𝝉(𝒕)

𝜸𝒌= 𝑲𝑮 + (

𝝉𝒊𝜸𝒌

−𝑲𝑮)𝒆−𝒕𝒕𝒓






Modele reologice

John Henry Poynting (1852 –1914) (UK)

Joseph John Thomson (1856- 1940) (UK)

Modelul Poynting-Thomson – materialul cu

proprietăți vâscoase se descarcă și se

încarcă cu proprietăți elastice

Aplicații: structurile mixte lemn-metal.

Ecuația de stare 𝝉

𝑮𝟐+𝝉

𝜼= 𝟏 +

𝑮𝟏

𝑮𝟐𝜸 +

𝑮𝟏

𝜼𝜸






Modele reologice

Modelul Maxwell

• Predicție bună a funcției de relaxare;

• Predicție slabă a curgerii

• Utilizat pentru materiale solide ușoare

Modelul Kelvin-Voigt

• Predicție bună a curgerii

• Predicție slabă a funcției de relaxare

• Utilizat pentru polimeri organici, cauciuc, lemn (la solicitări mici)

Modelul Burgers

• Predicția comportării vâsco-elastice a polimerilor

• Utilizat pentru polimeri






Modele reologice

Modelul Maxwell generalizat

este format dintr-o grupare în

paralel a mai multor modele

Maxwell simple;

Modelul Kelvin -Voigt

generalizat este format dintr-o

grupare în serie a mai multor

modele KV simple;






Modele reologice

Pentru determinarea funcțiilor de relaxare și curgere, se pleacă de la

ecuația diferențială a unui model Maxwell:

𝜸 =𝝉

𝑮+

𝝉

𝜼

;

Din legarea corpurilor în paralel rezultă: 𝜸𝟏 = 𝜸𝟐 = 𝜸𝟑 = ⋯ = 𝜸𝒏 = 𝜸;

și 𝝉𝟏 + 𝝉𝟐 + 𝝉𝟑 +⋯+ 𝝉𝒏 = 𝝉.

𝜸𝟏 =𝝉𝟏𝑮𝟏

+𝝉𝟏η𝟏

𝜸𝟐 =𝝉𝟐𝑮𝟐

+𝝉𝟐η𝟐

𝜸𝒏 =𝝉𝒏𝑮𝒏

+𝝉𝒏η𝒏

R 𝒕 = 𝑮𝒌𝒆−

𝒕

𝒕𝒓𝒌𝒏𝒌=𝟏






Modele reologice

Funcția de relaxare a corpului k în cazul în care se

cunoaște funcția de deformare 𝛾(𝑡) :

Funcția de relaxare a corpului k la care s-a atașat

un arc 𝐺0:

R 𝒕 = 𝑮𝟎 + 𝑮𝒌𝒆−

𝒕

𝒕𝒓𝒌𝒏𝒌=𝟏

Funcția de relaxare a corpului k la care s-a atașat

un arc 𝐺0 și un amortizor η0

R 𝒕 = 𝑮𝟎 + 𝑮𝒌𝒆−

𝒕

𝒕𝒓𝒌 + 𝜼𝟎𝜹(𝒕)𝒏𝒌=𝟏

Unde δ t − funcția de impuls Dirac






Modele reologice

𝜏1 = 𝜏2 = 𝜏3 = ⋯ = 𝜏𝑛 = 𝜏

𝛾1 + 𝛾2 + 𝛾3 +⋯+ 𝛾𝑛 = 𝛾 𝛾1 =

1

η1 𝑒

−𝐺1η1

𝑡−𝜉𝜏 ξ 𝑑ξ

𝑡

0

𝛾2 =1

η2 𝑒

−𝐺2η2


𝑡

0

𝛾𝑛 =1

η𝑛 𝑒

−𝐺𝑛η𝑛


𝑡

0

…………………………………

Integrând

ș𝑖 𝛾 = ψ 𝑡 − ξ 𝜏 ξ 𝑑ξ

𝑡

0

Funcția de fluaj F (t)= 𝑱𝟎 + 𝑱𝒋(𝟏 − 𝒆−

𝒕

𝒕𝒊𝒋)𝒏𝒋=𝟎

Unde 𝐽𝑖 - complianța la timpul i






Modele reologice

Ecuația deformației

F(t-ξ)= 𝟏

𝑮𝟏𝒌−𝑮𝟐𝒌 𝒆

−𝑮𝟏𝒌𝑮𝟐𝒌

𝑮𝟏𝒌−𝑮𝟐𝒌 η𝒌(𝒕−ξ)𝒏

𝒌−𝟏

𝜸 = 𝑭(𝒕 − 𝝃)𝝉 𝝃 + 𝑮(𝒕 − 𝝃)𝝉(𝝃) 𝒅𝝃

𝒕

𝟎

Unde:

G(t-ξ)= 𝑮𝟐𝒌

(𝑮𝟏𝒌−𝑮𝟐𝒌)η𝒌 𝒆

−𝑮𝟏𝒌𝑮𝟐𝒌

𝑮𝟏𝒌−𝑮𝟐𝒌 η𝒌(𝒕−ξ)𝒏

𝒌−𝟏






Modele reologice

Ecuația tensiunii

𝝉 = 𝜱 𝒕 − 𝝃 𝜸 𝝃 + 𝜳(𝒕 − 𝝃)𝜸(𝝃) 𝒅𝝃

𝒕

𝟎

Unde:

Φ 𝑡 − ξ = (𝐺1𝑘 + 𝐺2𝑘)𝑒−𝐺2𝑘η𝑘

(𝑡−ξ)𝑛

𝑘=1

Ψ 𝑡 − ξ = 𝐺1𝑘𝐺2𝑘η𝑘

𝑒−𝐺2𝑘η𝑘

(𝑡−ξ)𝑛

𝑘=1






Modele reologice






Modele reologice

Corpul de tip

Bingham

Corpul de tip

Schwedoff

Corpul de tip

Schofield-Scott

Blair




Reologie

- suport de curs -


1. Ce este reologia?

2. Ce este elasticitatea? Dar plasticitatea? Dar vâscozitatea?

3. Ce este curgerea lentă în timp?

4. Ce este un corp rigid? Dar unul elastic? Dar unul plastic? Dar

un lichid vâscos? Dar un lichid ideal?

5. Ce este E? Dar G? Dar η? Dar ε? Dar ? Dar 𝜀 ? Dar 𝛾 ?

6. Definiți curba caracteristică a unui material (σ-ε, -)?

7. Cine este σ? Dar ? Dar 𝜎 ? Dar 𝜏 ?




Reologie

- suport de curs –

Test de verificare


8. Care sunt punctele principale ale curbei caracteristice σ-ε sau -?

9. Ce tensiuni apar la solicitările de: tracțiune, compresiune,

forfecare, torsiune, încovoiere pură, încovoiere simplă?

10. Definiți noțiunea de ”sistem reologic” (S.R.). Prin ce se

caracterizează un sistem reologic?

11. Care este expresia constantei elastice k a unui material?

12. Ce este fenomenul de relaxare?

13. Dați exemple de sisteme reologice elasto-plastice, vâsco-elastice

și vâsco-plastice.




Reologie


Test de verificare


14. Solidul lui EUCLID este rigid sau elastic?

15. Definiți și arătați modelele reologice pentru corpurile elastice,

corpurile plastice și cele vâscoase.

16. Ce semnificație au simbolurile H, N, St.V. utilizate în reologie?

17. Citați 5 oameni de știință care au avut preocupări în reologie.

18. Enunțați 7 factori care influențează comportarea în timp a

sistemelor reologice.

19. Ce reprezintă suprafața de sub curba caracteristică a unui

material?




Reologie


Test de verificare


20. Cum influențează concentratorii de tensiune curgerea lentă, în

timp? Dați 6 exemple de concentratori de tensiune.

21. Desenați schema încovoierii în ”trei puncte” și în ”patru puncte”.

22. La o solicitare dinamică a unui corp elastic, ce semnificație au

simbolurile: E’, E’’, E*, sau tg?

23. Ce este funcția de curgere F(t)? Dar cea de relaxare R(t)?

24. De câte feluri poate fi vâscozitatea? În ce se măsoară

vâscozitatea?

25. Ce este un corp newtonian, dar nenewtonian?

26. Ce este deformația elastică instantanee? Dar plastică

permanentă?




Reologie


Test de verificare


27. Care este expresia funcției de revenire la un fluid vâsco-elastic?

28. Ce factori agresivi de mediu intervin în comportarea reologică a

corpurilor?

29. Ce este un material compozit? Dar un polimer?

30. Ce este complianța (statică și dinamică)?

31. Existe diferențe între curbele caracteristice σ-ε la solicitarea de

tracțiune și cea de compresiune?

32. Ce este contracția transversală? Ce reprezintă coeficientul lui

Poisson ?

33. Sub tensiune constantă, σ=const., ce face deformația specifică

ε, crește sau descrește? Dar modulul de elasticitate? Explicați

fenomenul.




Reologie


Test de verificare


34. Dați exemple de moduri de cuplare a sistemelor reologice în

funcție de complexitatea lor.

35. Cu creșterea vitezei de deformare 𝜀 la o tensiune constantă

σ=const., deformația specifică crește sau scade? Explicați

fenomenul.

36. Ce este fenomenul de histerezis?

37. Care sunt coeficienții de conversie între mărimile mecanice și

termice în sistemul S.I. și anglo-saxon, pentru:

• 1 inch = ? mm;

• 1milă = ?km;

• 1 𝑖𝑛𝑐ℎ2= ? 𝑚𝑚2

• 1 yard = ? Mm

• 1 𝑦𝑑2=? 𝑚2

• 1 rad= ? Grade

• 1 carat=?grame

• 1lb=? Kg;

• 1MPa = ? Pa;

• 1GPa=? Pa;

• 1 bar=? Pa;

• 1 cP= ? Pa*s

• 1 Poise = ? Pa*s

• 1cal= ?J

• 1kWh=? MJ;

• 1MJ= ?kWh;

• 0℃=?℉;

• 0℃=?𝐾;

• 32℉ =?℃




Reologie


Test de verificare


38. Desenați modelele reologice pentru corpurile de tip

Maxwell, Voigt, Burgers. Cum variază deformațiile în timp

ale acestor corpuri sub tensiune constantă?

39. Desenați modelul reologic la corpurile de tip Zener.

40. Care este schema corpului reologic de tip Lethersich?

41. Desenați ciclurile oscilante pentru tensiuni și deformații.

42. Care este principiul lui Boltzmann?

43. Desenați curba de relaxare sub deformație constantă.




Reologie


Test de verificare


44. Cum variază volumul unui corp cu creșterea temperaturii

acestuia? Crește sau scade? Comentarii!

45. Care este capacitatea de amortizare la solicitări ciclice pentru

corpul de tip Maxwell? Dar care este expresia funcției de relaxare R(t)?

46. Desenați curbele tensiuni-deformații pentru corpurile rigido-

plastice și elasto-plastice.

47. Ce știți despre efectul Bauschinger? Explicați.

48. Ce știți despre efectul Weissenberg? Explicați.

49. Desenați modelul generalizat pentru corpul de tip Maxwell și

Kelvin-Voigt.

50. Câtă energie de deformație se pierde după un ciclu de

încărcare-descărcare a unui corp de tip H?




Reologie


Test de verificare







Bibliografie

1. Barnes, H., Hutton, J., Walters, K. (1989): An Introduction to Rheology. Elsevier, New York,

USA.

2. Banfil, P., F. (1991): Rheology of Fresh Cement and Concrete. F&FN Spon, Londra U.K.

3. Bodig, J. s.a. (1982): Mechanics of Wood and Wood Composites. Van Nostrand Reinhold

Company, New York, Londra, U.K.

4. Bernard, F. (1990): Elemente de rheologie du bois. CTBA, Paris.

5. Chawla, N., Jester, B., Vonk, D. T. (2003): Bauschinger effect in porous sintered steels, în

Materials Science and Engineering A346 (2003) 266/272, Elsevier,

www.elsevier.com/locate/msea

6. Cristescu, N., s.a. (1976): Vâscoplasticitate. Ed. Tehnică București.

7. Curtu, I., Roșca, I., C. (1993): Reologia lemnului. Reprografia Universității Transilvania din

Brașov.

8. Curtu, I., ș.a. (1981): Calculul de rezistență în industria lemnului. Ed. Tehnică București.

9. Curtu, I., Ghelmeziu, N. (1984): Mecanica lemnului și materialelor pe bază de lemn. Ed.

Tehnică București

10. Dey, A., Basudhar, B. K. (2010): Applicability of Burger Model in Predicting the Response of

Viscoelastic Soil Beds, în GeoFlorida 2010: Advances in Analysis, Modeling & Design, p. 2611

– 2620.

11. Dinwoodie, J., M. (1990): Creep in chipboard. Wood Science andTechnology, vol. 24, nr. 2,

p.181-189.






Bibliografie

12. Fox, T., ș.a.(1956): Rheology. Vol.1, Academic Press, New York, cap.12.

13. Frazier, C.: Rheological Characterization of Wood Composites. Virgina Tech.

14. Foudjet, A. (1986): Contribution a ľ étude rhéologique du matériau bois. Thése d`État. INSA

Lyon.

15. Fredrickson, A., G. (1964): Principles and Applications of Rheology. New Jersey, Prentice

Hall USA.

16. Ferry, J. (1980): Viscoelastic Properties of Polymers. Jhon Wiley, New York, SUA.

17. Galferin, A., M. (1977) Reologiceskie rasceti gornovo tehniceski soarujenii, Nedra Moscova.

18. Kollmann, F. (1968): Principles of wood sciences and wood technology. Vol. I., Solid Wood,

Springer Verlag, Berlin Heidelberg, New York.

19. Jinhak Kong, Ji Hoon Kim, and Kwansoo Chung (2007): Residual Stress Analysis with

Improved Numerical Methods for Tempered Plate Glasses Based on Structural Relaxation

Model, în METALS AND MATERIALS International, Vol. 13, No. 1 (2007), pp. 67~75

20. Huang, X. P., Cui, W. C. (2006): Effect of Bauschinger Effect and Yield Criterion on Residual

Stress Distribution of Autofrettaged Tube, în Journal of Transaction of the ASME, Vol 128,

mai 2006.

21. Ibănescu, C., Reologia sistemelor polimerice multifazice, descărcata la data de 11.12.2013

http://omicron.ch.tuiasi.ro/~inor/matmip/pdf/RSM.pdf

22. Lăzărescu, C., (1985): Contribuții cu privire la studiul comportării cepurilor din lemn masiv în

vederea asigurării ajustajelor în procesul asamblării. Teză de doctorat. Universitatea Brașov.

23. Lenk, R., S., (1968): Plastics rheology. MacLaren and Sons, Londra, UK.






Bibliografie

23. Lenk, R., S. (1971): Rheologie der Kunststoffe. Carl Hanser Verlag, München.

24. Macosko, C. (1994): Rheology Principles, Measuremets and Applications. VCH New York.

25. Malkin, A., Isajev, A. (2006): Rheology. Chem`Tech Publishing, Toronto 2006.

26. Menard, K., P. (2008): Dynamic Mechanical Analysis. CRC Press Taylor&Francis Group,

New York, Londra.

27. Mihai, A., Goriely, A. (2013) Numerical simulation of shear and the Poynting effects by the

finite element method: An application of the generalised empirical inequalities in non-linear

elasticity, în nternational Journal of Non-Linear Mechanics, 49 (2013) 1–14,

www.elsevier.com/locate/nlm;

28. Mocanu, F., Elemente de plasticitate – curs, descărcat în data de 01.03.2012

www.mec.tuiasi.ro/diverse/FMEP.pdf

29. Morrison, F., A. (2001): Understanding Rheology. Univresity Press, Oxford U.K.

30. Mozes, Vamos (1968): Reologia es Reometria. Muszaki Könyvkiado Budapesta.

31. Murata, H. : Rheology –Theory and Application to Biomaterials, descărcat în data de 10

ianuarie 2014 http://dx.doi.org/10.5772/48393

32. Nielson, A. (1972): Rheology of building materials. Rotobeckmann, Stockholm, Suedia.

33. Nijenhuis, K. (1980): Rheology, Vol I – Principles, Eds, Plenum Press, New York.

34. Persoz, B. (1969): La rhéologie. Massou et Cie, Paris.

35. Petrea, I., C. (1981): Fizica elastomerilor, reologie. Ed. Didactică și Pedagogică București.

36. Romanescu, C., Racanel, C. (2003): Reologia lianților bituminoși și a mixturilor asfaltice- pe

CD;






Bibliografie

36. Radu, Z., ș.a. (1982): Reologia compusilor macromoleculari. Vol I. Ed. Tehnică București.

37. Reiner, M. (1955): Rhéologie théorique. Dunod Paris.

38. Scott, B.G, W. (1969): Elementary Rheology., Academic Press, Londra.

39. Sherman, P. (1970): Industrial Rheology. Academic Press, Londra.

40. Shaw, M., MacKnight, W. (2005): Introduction to Polymer Viscoelasticity. Wiley, New York,

41. Schmalholz, S.M., Podladchikov, Y. Y. (2001): Viscoelastic Folding: Maxwell versus Kelvin

Rheology, Geophysical Research Letters, Vol 28, Nr. 9 pag. 1835–1838;

42. Sobotka, Z. (1981): Reologie kmot a konstrukcii. VHD Academia, Praga.

43. Somwangthanaroj Anongnat, Rheology and Polymer Characterization- suport de curs –

descărcat în data de 20.10.2012, http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~sanongn1/course.html

44. The Society of Rheology (2013): Official symbols and nomenclature of The Society of Rheology

în Journal of Rheology, 57, 1047 (2013), http://dx.doi.org/10.1122/1.4811184

45. Tanaka, E., Theo van Eijden : Biomechanical Behavior Of The Temporomandibular Joint Disc în

Critical Reviews in Oral Biology & Medicine, descărcat la date de 14 ianuarie 2014,

http://cro.sagepub.com/content/14/2/138

46. Todorescu, A. (1986): Reologia rocilor și aplicații în minerit. Ed. Tehnică București.

47. Tudose, R. Z., Volintiru D. (1982): Reologia compușilor macromoleculari. Vol. I. Ed. Tehnică

București .

48. Vader, D, Wyss H, Introduction to Rheology - Weitzlab group meetng tutorial descărcat în data

de 14.11.2012 https://www.yumpu.com/en/document/view/6061990/introduction-to-rheology

49. Vaicum, A. (1978): Studiul reologic al corpurilor solide. Ed. Academiei Române, București






Bibliografie

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/grl.v28.9/issuetoc

NDT Resource Center: Resources at Education at Material Premier – http://www.ndt-ed.org

Multimedia Group, Department of Engineering, Cambridge University, UK: Teach Yourself Phase Diagrams – http://www-g.eng.cam.ac.uk/mmg/teaching

Steel Matter: http://www.matter.org.uk/steelmatter

University of Bolton, UK: Basic principles of materials – http://www.ami.ac.uk/courses/topics

Key to Metals: Resource Center at Articles – http://www.keytometals.com

SubsTech (Substances & Technologies): http://www.substech.com

AISI (American Iron and Steel Institute): Learning Center – http://www.steel.org

Corus: Internet Teaching Resources – http://www.corusgroup.com/en/responsibility/education/resources/internet

Tata Steel International (Australasia) Ltd: Products – http://tatasteelnz.com

BRITISH STAINLESS STEEL ASSOCIATION: Technical Help – http://www.bssa.org.uk

The Nickel Institute: Nickel & Its Uses at Technical Support – http://nickelinstitute.org

The International Stainless Steel Forum (ISSF): http://www.worldstainless.org

EverBright(China) St. St. Pipe Co., Ltd: Reference – http://www.eb-stainless.com

Ductile Iron Society: Ductile Iron Data – http://www.ductile.org

Steel Founders Society of America: Publications – http://sfsa.org






Bibliografie




http://www.youtube.com/watch?v=jckDtV121lg

http://www.youtube.com/watch?v=q9emsMcG8cc

shear stress growth function


http://www.youtube.com/watch?v=ywDsB3umK2Y


http://www.iq.usp.br/mralcant/About_Rheo.html

http://www.fhwa.dot.gov/engineering/geotech/pubs/05037/05b.cfm

http://classes.mst.edu/civeng110/concepts/01/shear/index.html

http://www.virtualjeepclub.com/showthread.php?74313-New-Rubicon-Express-track-bar

http://axelproducts.com/pages/plastic.html#sheartest

http://bugman123.com/FluidMotion/index.html

https://uwaterloo.ca/fatigue-stress-analysis-lab/research-areas/multiaxial-fatigue-mg-alloys

https://www.efatigue.com/constantamplitude/background/strainlife.html

http://wweb.uta.edu/faculty/ricard/Classes/KINE-3301/Notes/Lesson-14.html

http://www.roymech.co.uk/Useful_Tables/Mechanics/Stress_Strain_diagram.html

http://www.myengineeringworld.net/2012/06/fatigue-analysis-in-turbomachinery.html

http://www.youtube.com/watch?v=OIdbRHoctss

http://www.youtube.com/watch?v=VMu7_W0QE3Y



Bibliografie

reologie suport de curs

Documents