VALOARE MEDIE CONDITIONATA

MODELE DE REGRESIE; ESTIMAREAPARAMETRILOR REGRESIEI LINIARE

Problema:Pentru perechea de variabile aleatoare (X;Y ) = (efect,

cauza), cum evidentiem dependenta lor (cantitativ si cal-itativ)?Exemplu: (X;Y ) = (valoarea tensiunii arteriale sistolice,

nivelul colesterolului)

COEFICIENT DE CORELATIE

Fie (X;Y ) pentru care exista momentele de ordinul 2:Reamintim denitiile covariantei si a coecientului decorelatie:

cov (X;Y ) =M ((X M (X)) (Y M (Y ))) =M (XY )M (X)M (Y )

=cov (X;Y )pD2 (X)D2 (Y )

Proprietate: jj 1 (rezulta din inegalitatea Schwartz)

= 1; corelatie pozitiva maxima

= 1; corelatie negativa maxima

= 0; necorelare

Repartitii asociate:

P (X;Y )1 =

8>:Px2A

Py2B

p (x; y) (x;y); rep. discretasau

f (x; y) l2; rep. continua

P X1 (C1) =8

P Y 1 (C2) =8

Teorema (existenta si unicitate)

Fie (;K; P ) ; F K; F corp borelian.a) Daca X este o variabila aleatoare nenegativa, atunci

exista o variabila aleatoare nenegativa M (X j F) astfel in-cat

i) M (X j F) este F -masurabila

ii)

ZA

M (X j F) dP =ZA

XdP 8A 2 F

In particular, daca X este integrabila rezulta ca M (X j F)este integrabila.M (X j F) este unica (P a:s:) variabila aleatoare cu pro-

prietatile i) si ii):b) Daca X este o variabila aleatoare integrabila, atunci

exista si este unica (P a:s:) o variabila aleatoare integra-bila M (X j F) ; cu proprietatile i) si ii):

Demonstratie:a) :

Demonstram intai unicitatea: Daca exista g1; g2 vari-abile aleatoare cu proprietatile i) si ii); rezultaZ

A

g1dP =

ZA

g2dP 8A 2 F

Dar g1; g2 sunt Fmasurabile. Rezulta g1 = g2 P a:s:

Fie X variabila aleatoare nenegativa si e

: F ! R+ (A) =

ZA

XdP

este o masura nita, absolut continua in raport cuPjF : Rezulta din teorema Radon - Nicodym ca exista ounica aplicatie

g : ! R+

3

Fmasurabila, asa incat

(A) =

ZA

gdPjF 8A 2 F

Aplicam Lema:ZA

gdPjF =Z

IA gdPjF =Z

IA gdP =ZA

gdP

Deci ZA

XdP =

ZA

gdP 8A 2 F

Vom nota aceasta unica aplicatie cu g = M (X j F) si ovom numi "media lui X conditionata de F".b) :Fie X variabila aleatoare integrabila. Atunci

X = X+ X;

cu X+ si X pozitive, integrabile, X+ = max fX; 0g ; X =max fX; 0g :Din a), (9) (!)M (X+ j F) ;M (X j F)variabile aleatoare neneg-

ative, integrabile, cu proprietatile i) si ii): Luam

M (X j F) =M X+ j FM X j F ;care satisface prorpietatile din enuntul teoremei.

CAZURI PARTICULARE

A 2 K; X = 1A: Atunci notam

M (1A j F) = P (A j F)

Y variabila aleatoare, F = B (Y ) = Y 1 (B) : Atunci notam

M (X j B (Y )) =M (X j Y )

A 2 K; X = 1A si F = B (Y ) : Atunci notam

M (1A j B (Y )) = P (A j Y )

4

VERSIUNE A MEDIEI CONDITIONATE

Fie X si Y variabile aleatoare, cu X nenegativa sauintegrbila.Se numeste versiune a mediei conditionate M (X j Y ) func-

tia masurabila

M (X j Y = y) : R ! Rcu proprietatea

M (X j Y = y) Y =M (X j Y ) P a:s:

Propozitie

Fie X si Y variabile aleatoare, cu X nenegativa sauintegrabila. Functia masurabila ' : R ! R este versiune amediei conditionate M (X j Y ) daca si numai dacaZ

B

' (y) dP Y 1 (y) =Z

Y 1(B)

XdP; 8B 2 B

Demonstratie:

' Y = M (X j Y ) P a:s: ,ZA

' Y dP =ZA

M (X j Y ) dP; 8A 2 B (Y )

Dar B (Y ) = Y 1 (B) : Deci, pentru orice B 2 BZB

' (y) dP Y 1 (y) =Z

Y 1(B)

' Y dP =Z

Y 1(B)

M (X j Y ) dP =Z

Y 1(B)

XdP

MODALITATI DE CALCUL PENTRU M (X j Y = y)

(a) Cazul repartitiilor discretePresupunem

P Y 1 =Xk2I

P (Y = ak) fakg

P (Y = ak) > 0 8k;Xk2I

P (Y = ak) = 1

5

cu I cel mult numarabila. Aratam ca

M (X j Y = ak) = 1P (Y = ak)

ZfY=akg

XdP:

Notam cu ' o functie Bmasurabila, asa incat

' (ak) =1

P (Y = ak)

ZfY=akg

XdP; k 2 I

Notam suportul lui P Y 1 cu A = fak; k 2 Ig : Fie B 2 B:AvemZB

' (y) dP Y 1 (y) =Z

B\A' (y) dP Y 1 (y) =

Xak2B\A

' (ak) P (Y = ak) =

=X

ak2B\A

ZfY=akg

XdP =

ZY 1(B)

XdP

Aplicand propozitia anterioara, obtinem c.t.d.

Daca presupunem chiar mai mult, si anume ca (X;Y )este un vector aleator cu repartitie discreta

P (X;Y )1 =Xx2A0

Xy2A

p (x; y) f(x;y)g

A0 = fa0k; k 2 IgA = fak; k 2 Ig

atunci

M (X j Y = ak) =Xk2I

a0k P (X = a0k; Y = ak)

P (Y = ak)=Xk2I

a0k P (X = a0k j Y = ak)

(b) Cazul repartitiilor continuePresupunem ca (X;Y ) are densitatea de repartitie f (x; y) :

NotamfY (y) =

ZR

f (x; y) dx

Aratam ca

M (X j Y = y) =ZR

x f (x; y)fY (y)

dx

6

Observam ca denitia este corecta pentru y cu fY (y) > 0:In punctele in care fy (y) = 0 se ia M (X j Y = y) egala cu oconstanta arbitrara.Notam functia masurabila

' (y) =

ZR

x f (x; y)fY (y)

dx

Fie B 2 BZB

' (y) dP Y 1 (y) =ZB

0@ZR

x f (x; y)fY (y)

dx

1A fY (y) dy ==

ZRB

x f (x; y) dxdy =Z

RRx 1B (y) f (x; y) dxdy =

=

Z

(1B Y ) XdP =Z

Y 1(B)

XdP

Aplicand propozitia anterioara, obtinem c.t.c.

Notatie (densitatea de repartitie conditionata a lui X)

f (x j y) = f (x; y)fY (y)

M (X j Y = y) =ZR

x f (x j y) dx

DenitieFie vectorul aleator (X;Y ) cu componente integrabile.

Se numeste regresia lui X in Y functia

y !M (X j Y = y)

Regresia este liniara daca

M (X j Y = y) = a+ by

Dreapta de regresie este data de ecuatia

x = a+ by

7

REGRESIA LINIARA PENTRUMODELUL NORMAL BIDIMENSIONAL

Fie urmatorii parametri:

=x; y

0 2 R2 =

2x xyxy

2y

=

2x xy

xy 2y

;

matrice simetrica, pozitiv denita.Vectorul aleator (X;Y )0 are o repartitie normala bidi-

mensionala N (2;;) daca are densitatea de repartitie

f (x:y) =1

2q2x

2y (1 2)

exp( 12 (1 2)

"x xx

2 2x x

x y yy

+

y yy

2#)

Proprietatea 1

Repartitiile marginale ale lui N (2;;) sunt

P X1 = N x; 2x ; P Y 1 = N y; 2yDemonstratie:Adunand si scazand 2

yyy

2la exponent obtinem

f (x:y) =1q

22yp22x (1 2)

exp(

1

22x (1 2)x

x +

xy

y y

2 122y

y y

2)Repartitia marginala a lui Y este

fY (y) =

ZR

f (x; y) dx =1q22y

exp

122y

y y

2

Analog se obtine si repartitia marginala a lui X:

8

Proprietatea 2

Repartitia lui X conditionata de Y este normala,

N

x +

xy

y y

;2x

1 2

Proprietatea rezulta imediat, calculand

f (x j y) = f (x; y)fY (y)

Corolar

M (X j Y = y) = x + xy

y y

D2 (X j Y = y) = 2x

1 2

Rezulta ca, pentru modelul normal bidimensional, re-gresia lui X in Y este liniara, iar ecuatia dreptei de regresieeste

x =

x

xyy

+

xy y

ESTIMAREA PARAMETRILOR DREPTEI DEREGRESIE

(a) Fara specicarea repartitiei lui (X;Y )

Fie vectorul aleator (X;Y )0 pentru care facem ipoteza

M (X j Y = y) = a+ by

astfel incat ecuatia dreptei de regresie este x = a+ by:Fie observatiile (Xi; Yi)0 ; = 1; :::; n; care sunt vectori aleatori

independenti, identic repartizati ca si (X;Y )0 si e (xi; yi)0i = 1; :::; n datele statistice corespunzatoare.

M (Xi j Y1 = y1; :::; Yi = yi; :::; Yn = yn) =M (Xi j Yi = yi) = a+ byiLucrand cu repartitia conditionata, apare modelul liniar

ndimensionalXi = (a+ byi) + Zi; i = 1; :::; n

9

unde Z1; :::; Zn sunt variabile aleatoare indep, de mediezero. Aplicam metoda celor mai mici patrate:

SS (a; b) =nXi=1

(xi a byi)2

Sistemul de ecuatii normale @SS@a = @SS@b = 0 se scrie subforma 8>>>:

na+ bnPi=1

yi =nPi=1

xi

anPi=1

yi + bnPi=1

y2i =nPi=1

xiyi

Determinantul matricii sistemului liniar este egal cuzero doar in cazul degenerat (cand toti yi = y; 8i), caz careapare cu probabilitatea zero:

=

n

nPi=1

yinPi=1

yinPi=1

y2i

= nnXi=1

y2i (ny)2 = nnXi=1

(yi y)2 > 0

Notatie:

s2x =1

n

nXi=1

(xi x)2

s2y =1

n

nXi=1

(yi y)2

sxy =1

n

nXi=1

(xi x) (yi y)

r =sxysxsy

Solutia unica a sistemului de ecuatii normale estebb = sxy

s2y= r

sxsyba = xbb y

Obtinem dreapta de regresie de selectie

x x = r sxsy(y y)

10

Estimatorii obtinuti prin metoda celor mai mici pa-trate,

bb (X1; :::; Xn) = 1nPi=1

(yi y)2nXi=1

Xi X

(yi y) = 1nP

i=1

(yi y)2nXi=1

Xi (yi y)

ba (X1; :::; Xn) = X bb (X1; :::; Xn) ysunt nedeplasati (medierea conditionata):

Mbb j Y1 = y1; :::; Yn = yn = b

M (ba j Y1 = y1; :::; Yn = yn) = aPutem calcula valoarea minima a sumei abaterilor pa-

tratice,SSmin =

nXi=1

xi babbyi2 notat= SSresid

(b) Cu specicarea repartitiei normale a lui (X;Y )

Fie vectorul aleator (X;Y )0 pentru care facem ipotezaca urmaza o repartitie normala bidimensionala N (2;;) :Utilizand proprietatile modelului, avem

D2 (Xi j Y1 = y1; :::; Yn = yn) = 2x1 2 ; i = 1; :::; n

Proprietatea 3.

Variabila aleatoare

SSresid =

nXi=1

Xi babbyi2

are proprietatea1

2x (1 2) SSresid 2 (n 2)

Rezulta din Proprietatea 8 de la "Estimarea para-metrilor" (metoda celor mai mici patrate).

11

In continuare facem o analiza a surselor de variabili-tate ale datelor, utilizand modelul regresiei liniare(ANOVA pentru dreapta de regresie)

In acest moment dispunem de urmatoarele valori:

yi; i = 1; ::; n; valorile observate ale covariatei (ale vari-abilei "cauza")

xi; i = 1; :::; n; valorile observate ale variablei raspuns("efect")

bxi = ba+bb yi; i = 1; :::; n; predictorii dati de modelul regre-siei liniare (tted values)

xi bxi; i = 1; :::; n; reziduuriIntroducem urmatoarele "sume de abateri patratice"

(sum of squares):

SSresid =nXi=1

(xi bxi)2 = nXi=1

xi babbyi2

SSregresie =nXi=1

( bxi x)2SStotal =

nXi=1

(xi x)2

(vom utiliza aceste notatii atat pentru valorile numericecalculate ale SSurilor, cat si pentru variabilele aleatoarecorespunzatoare)

Proprietatea 4 (ecuatia ANOVA)

SStotal = SSregresie + SSresid

Demonstratie:

SStotal =nXi=1

(xi bxi + bxi x)2 == SSresid + SSregresie + 2

nXi=1

(xi bxi) ( bxi x)12

nXi=1

(xi bxi) ( bxi x) = nXi=1

xi babbyiba+bbyi x =

=nXi=1

xi x+bby bbyixbby +bbyi x =

= bb nXi=1

h(xi x)bb (yi y)i (yi y) =

= bbnsxy sxys2y ns2y

= 0

Cunoastem repartitia variabilei aleatoare 12x(12) SSresid(proprietatea 3).Ne propunem sa stabilim repartitiile variabilelor aleatoare

1

2x (1 2) SSregresie si 1

2x (1 2) SStotal;

in situatia in care am avea

b = 0

13

AUXILIAR: TEOREMA LUI COCHRAN

Propozitie (rezultat algebric, pentru variabile scalare)

Fie vectorul y = (y1; :::; yN )0 2 RN : Presupunem ca suma depatrate

NXi=1

y2i

se descompune in suma a m forme patratice

qj =NX

;=1

aj yy ; j = 1; :::m;

NXi=1

y2i =

mXj=1

qj ;

unde, pentru orice j = 1; :::;m;

Aj =

aj

;=1;:::;N

este matrice simetrica, de rang rj :O conditie necesara si sucienta ca sa existe o trans-

formare ortogonalaz = By

asa incatqj =

r1+:::+rjXk=r1+:::+rj1+1

z2k; j = 1; :::m

este car1 + :::+ rm = N

Demonstratie:

" =) "Presupunem ca exista transformarea z = By; B0B = I; cu

proprietatea din enunt. Transformarea

(y1; :::; yN ) ! (z1; :::; zr1+:::+rm)

trebuie sa e nesingulara. Rezulta

r1 + :::+ rm N

14

Scriem matriceal relatia de descompunere din ipoteza

y0y =mXj=1

y0Ajy

RezultamXj=1

Aj = I

rang

0@ mXj=1

Aj

1A = NDar

rang

0@ mXj=1

Aj

1A mXj=1

rang (Aj) =mXj=1

rj

DeciN r1 + :::+ rm

"(= "Vom construi matricea B intr-o forma partitionata,

B =

0BBBBBB@B1::::::::::::Bm

1CCCCCCAPentru i = 1 :A1 este NNdimensionala, simetrica, de rang r1:Rezulta

ca exista o matrice nesingulara D0 asa incat

D0A1D00 =

24 Iq 0 00 Ir1q 00 0 0

35unde q este numarul de valori proprii pozitive ale lui A1 si(r1 q) este numarul de valori proprii negative ale lui A1.Notam

D0 = D10D = kdk

15

si avem

A1 = D0

24 Iq 0 00 Ir1q 00 0 0

35DRetinem

b(1) = d ; = 1; :::; r1; = 1; :::; N

B1 =

b(1)

=1;:::;r1; =1;:::;N

Consideram transformarea liniara denita de aceastamatrice,

z =NX=1

b(1)y ; = 1; :::; r1

z(1) = (z1; :::; zr1)0= B1y

Atunci

q1 = y0A1y = y0D0

24 Iq 0 00 Ir1q 00 0 0

35Dy == z21 + :::+ z

2q z2q+1 ::: z2r1

q1 =

r1X=1

cz2; c 2 f1; 1g:

Pentru i arbitrar:

In mod analog obtinem

z =

NX=1

b(i)y ; = r1 + :::+ ri1 + 1; :::; r1 + :::+ ri

Bi =

b(i)

=r1+:::+ri1+1;:::;r1+:::+ri;

=1;:::;N

qi =

r1+:::+riX=r1+:::+ri1+1

cz2; c 2 f1; 1g:

AtuncimXi=1

qi =NX=1

cz2; c 2 f1; 1g:

16

DarmXi=1

qi = y0y > 0 8y 6= 0

DeciNP=1

cz2 este pozitiv denita si deci c = 1 8 = 1; :::; N:

Am obtinutqi =

r1+:::+riX=r1+:::+ri1+1

z2; i = 1; :::;m

Formam matricea B = kbk ; de dimensiune N N; parti-tionata in componentele Bi: Avem

z =

NX=1

b y ; = 1; :::; N

NX=1

y2 =NX=1

z2

Ultima relatie este echivalenta cu

y0y =(By)0 (By) = y0B0By;

deci B0B = I; adica transformarea este ortogonala.

TEOREMA LUI COCHRAN

Fie Y1; :::; YN variabile aleatoare independente, identicrepartizate N (0; 1) : Notam Y = (Y1; :::; YN )0 : Presupunem caY0Y se descompune in suma a m forme patratice

Qi = Y0AiY;i = 1; :::;m;

cu Ai =

a(i)

;=1;:::;Nmatrici simetrice, de rang ri; i = 1; :::;m;

asa incatY0Y =

mXi=1

Qi:

O conditie necesara si sucienta ca variabilele aleatoareQi sa e repartizate 2 (ri) ; i = 1; :::;m si Qi sa e indepen-denta de Qj pentru orice i 6= j este ca

r1 + :::+ rm = N

17

Demonstratie

" =) "Aceasta implicatie rezulta cu aceleasi argumente ca

cele utilizate in demonstrarea implicatiei similare dinrezultatul algebric."(= "Folosind rezultatul algebric rezulta ca exista o trans-

formare Z = BY; B = kbk ; asa incat

Qi =

r1+:::+riX=r1+:::+ri1+1

Z2; i = 1; :::;m

Z =NX=1

b Y ; = 1; :::; N

Din proprietatile combinatiilor liniare de variabile in-dependente, repartizate normal rezulta ca Z este repar-tizata N (0; 1) pentru orice = 1; :::; N si Z1; :::; ZN sunt inde-pendente. Atunci, din avem Qi 2 (ri) ; i = 1; :::;m si, dinasociativitatea independentei, Qi este independenta de Qjpentru orice i 6= j:

Corolar 1Fie Y1; :::; Yk variabile aleatoare independente, identic

repartizate N (0; 1) : Notam Y = (Y1; :::; Yk)0 : O conditie nece-sara si sucienta caY0AY sa e repartizata 2 este ca A2 = A;caz in care numarul de grade de libertate este egal curang(A):

Corolar 2.Fie Y1; :::; Yk variabile aleatoare independente, identic

repartizate N (0; 1) : Notam Y = (Y1; :::; Yk)0 : Presupunem caY0Y =Q1 +Q2; unde

Q1 = Y0AY 2 (r)

Atunci Q2 2 (k r) :

Corolar 3.Fie Y1; :::; Yk variabile aleatoare independente, identic

repartizate N (0; 1) : Notam Y = (Y1; :::; Yk)0 : Fie Q;Q1; Q2 forme

18

patratice in Y asa incat Q = Q1 + Q2; Q 2 (a) ; Q1 2 (b) :Atunci Q2 2 (a b) :

Corolar 4.Fie Y1; :::; Yk variabile aleatoare independente, identic

repartizate N (0; 1) : Notam Y = (Y1; :::; Yk)0 : Fie Y0A1Y 2 (a)si Y0A2Y 2 (b) : O conditie necesara si sucienta ca celedoua forme patratice sa e independente este ca A1A2 = 0:

============================================

Revenim la ANOVA pentru dreapta de regresie:

Proprietatea 5.

Daca b = 0; atunci1

2x (1 2) SSregresie 2 (1)

1

2x (1 2) SStotal 2 (n 1)

iar variabilele 12x(12) SSregresie si1

2x(12) SSresid sunt indepen-dente (in raport cu repartitia conditionata).

Demonstratie:

Daca b = 0; atunci repartitia conditionata a lui Xi esteNa; 2x

1 2 ; 8i:

(i) Ne ocupam intai de SSregresie

SSregresie =

nXi=1

cXi X2 = nXi=1

ba+bbyi X2 = nXi=1

X bby +bbyi X2 =

=bb2 nX

i=1

(yi y)2 = 1nPi=1

(yi y)2

nXi=1

(yi y)Xi!2;

SSregresie =1

nPi=1

(yi y)2(X1; :::; Xn) B

0BB@X1::Xn

1CCA19

undeB = k(yi y) (yj y)ki;j=1;:::;n

notat= kbijk

Presupunem ca nu suntem in cazul degenerat si obser-vam ca pentru 1 i < j n avem

yj yyi y

0BB@b1i::bni

1CCA0BB@b1j::bnj

1CCA = 0Deci rang (B) = n (n 1) = 1. Prin calcul direct se verica

1

ns2yB

2=

1

ns2yB

Cum1

2x (1 2)SSregresie =

1p

2x (1 2)X

!0 1ns2y

B

1p2x (1 2)

X

!

putem aplica Corolarul 1 si obtinem faptul ca1

2x (1 2)SSregresie 2 (1) :

(ii) Continuam cu variabila aleatoare SStotal :

SStotal =nXi=1

Xi X

2Putem scrie

SStotal =nXi=1

Xi X

Xi =

1

n2(X1; :::; Xn) A

0BB@X1::Xn

1CCAunde A = kaijki;j=1;:::;n ; aii = n (n 1) ; aij = n pentru i 6= j:Aplicam succesiv transformarile elementare pe coloane

( Ci ! Ci Ci+1, i = 1; :::; n 1 ) si obtinem

1

n2A =

0BBBBBB@0 0 ::::: 0 1=n1 1 ::::: 0 1=n0 1 ::::: 0 1=n::::: ::::: ::::: ::::: :::::0 0 ::::: 1 1=n0 0 ::::: 1 1 1=n

1CCCCCCA20

Notam eC1; :::; eCn coloanele acestei matrice si observam ca1

neC1 + 2

neC2 + :::::+ n 1

neCn1 + eCn = 0

iar eC1; :::; eCn sunt vectori liniar independenti. Deci rang 1n2A =n 1:Rezulta ca

1

2x (1 2)SStotal 2 (n 1) :

(iii) Prin calcul direct se verica relatia1

n2A 1

ns2yB

1ns2y

B = 0

Cum avem si1

2x (1 2)SSresid =

1

2x (1 2)(SStotal SSregresie) ;

1

2x (1 2)SSregresie =

1

2x (1 2) 1s2y(X1; :::; Xn) B

0BB@X1::Xn

1CCA 2 (1) ;

1

2x (1 2)SSresid =

1

2x (1 2)(X1; :::; Xn)

1

n2A 1

ns2yB

0BB@X1::Xn

1CCA 2 (n 2) ;putem aplica Corolar 4 si obtinem independenta vari-abilelor 12x(12)SSregresie si

12x(12)SSresid:

21

TABELUL ANOVA PENTRU DREAPTA DEREGRESIE

Sursa de variabilitate SS Grade de libertate SS (mean SS)abaterile predictorilor de la x SSregresie 1 SSregresie = SSregresie

reziduuri aleatoare SSresid n 2 SSresid = 1n2SSresidabaterile observatiilor de la x SStotal n 1

FUNCTII IN R

> cauza c (y1; :::; yn)> efect c (x1; :::; xn)> model lm (efect cauza)

Functia lm returneaza

coe cientsba;bb

summary: statistica descriptiva pentru reziduuri

fxi bxi; i = 1; :::; ng> anova(model)

Functia anova returneaza tabelul ANOVA si teste pen-tru ipoteza fb = 0g despre care discutam in ultima parte acursului.

22

APLICATIE

longley {datasets} R DocumentationLongleys Economic Regression Data

DescriptionAmacroeconomic data set which provides a well-known

example for a highly collinear regression.

Usagelongley

FormatA data frame with 7 economical variables, observed

yearly from 1947 to 1962 (n=16).GNP.deator: GNP implicit price deator (1954=100)GNP: Gross National Product.Unemployed: number of unemployed.Armed.Forces: number of people in the armed forces.Population: noninstitutionalizedpopulation >= 14

years of age.Year: the year (time).Employed: number of people employed.

The regression lm(Employed ~.) is known to be highlycollinear.Alegem ca variabila raspuns Employed, cu covariata

Population

> X Y model1 model1Call:lm(formula = X ~Y)Coe cients:(Intercept)...........Y8.3807 .........0.4849

23

> summary(model1)Call:lm(formula = X ~Y2)Residuals:

Min........ .......1Q.......... Median....... 3Q .............Max-1.4362 ...-0.9740 .........0.2021...... 0.5531 ......1.9048

Coe cients:

....................Estimate .....Std. Error...... t value.......Pr(>jtj)(Intercept) ...8.3807 .......4.4224 ..........1.895 ........0.079 .Y................ 0.4849 ........0.0376 ..........12.896 .....3.69e-09

Residual standard error: 1.013 on 14 degrees of freedomMultiple R-Squared: 0.9224, Adjusted R-squared: 0.9168F-statistic: 166.3 on 1 and 14 DF,p-value: 3.693e-09

p-value < 0.05, deci modelul regresiei liniare este corect

> anova(model1)Analysis of Variance Table

Response: X...................Df...... Sum Sq........Mean Sq .......F value........Pr(>F)

Y........ ........1....... 170.643 ......170.643 .......166.30 ......3.693e-09Residuals ...14 ......14.366 .........1.026

24