Seria cronologic reprezint un set sistematizat de valori ale unei varibile msurate la momente sau intervale de timp egale i successive

I. Serii de timp (serii cronologice, serii dinamice) (note de curs) Zgomotul alb

mersul la ntmplare procese medie mobil (MA(q)) procese autoregresive (AR(p)) procese mixate (ARMA(p,q)) seria integrat (ARIMA(p,n,q), ARFIMA(p,d,q)) serii cointegrate, procese ARCH, GARCH.

Seria cronologic reprezint un set sistematizat de valori ale unei varibile msurate la momente sau intervale de timp egale i successive. Seria cronologic este numit i serie dinamic sau serie de timp. Din punct de vedere matematic, seria de timp este o realizare a unui proces stocastic unde Z sau unei mulimi din Z, iar spaiul strilor procesului (adic ) este mulimea R sau o submulime a sa. Exemple de serii cronologice : 1). Cifra de afaceri anual a unei firme de-a lungul unui deceniu. 2). Numrul omerilor nregistrai trimestrial n timpul unei guvernri de patru ani. 3). Numrul polielor ncheiate de o societate de asigurri n fiecare trimestru dintr-o perioad de 5 ani. 4). ncasrile zilnice ale unui supermarket pe o perioad de o lun. 5). Numrul de transporturi efectuate n fiecare trimestru din ultimii 3 ani de ctre o firm de transporturi auto internaionale. Analiza seriei de timp, identificarea, evaluarea i separarea componentelor ofer informaii privind :i) trendul, adic existena unui sens evolutiv dominant, care se manifest ndeosebi n condiii de normalitate ale desfurrii procesului;ii) apariia unor oscilaii periodice sistematice, cu anse mari de a se repeta i n viitor, att ca sens ct i ca amploare;iii) aspectul previzibil al evoluiei unor procese, ca rspuns la unele abateri din trecut;iv) identificarea factorilor neeseniali, permind eventuala eliminare a lor;v) caracterul inerial al desfurrii unor procese. O prim clasificare a seriilor de timp este dat de mprirea lor n serii staionare i serii nestaionare.Partea superioar a machetei

Seria staionar este seria ale crei valori oscileaz n jurul unui nivel de referin (de echilibru). Vom nota cu valoarea de la momentul t i cu variabila aleatoare de la momentul t a crei realizare este . n limbaj matematic, seria este staionar dac procesul stocastic este staionar, adic are media i dispersia constante, iar covariana variabilelor din proces depinde numai de distana dintre momentele de timp la care sunt nregistrate. Aadar, avem : i .Analize mai amnunite disting o staionaritate slab i o staionaritate strict. Procesul stocastic este complet caracterizat dac pentru orice ntreg i orice mulime de indici distinci este cunoscut funcia de repartiie

Definiia 1. Procesul stocastic este strict staionar dac i pentru orice mulime finit de indici

Definiia 2. Procesul stocastic este slab staionar (sau, mai simplu spus, staionar) dac momentele sale de ordin unu i doi sunt finite, i pentru orice t,s i h (deci, covariana este funcie numai de distana dintre variabile). Pentru staionaritatea slab se mai folosesc i sintagmele : staionar de ordinul doi, staionar n covarian sau staionar n sens larg.Observaie : Dac este o serie de timp strict staionar cu (adic momentele de ordin doi sunt finite), atunci dispersia lui este o constant pentru toi t. De asemenea, un proces stocastic strict staionar cu primele dou momente finite este i slab staionar. n economie majoritatea seriilor cronologice privind preurile, masa monetar, consumul etc. nu sunt staionare, sunt nestaionare, deoarece prezint tendine de cretere sau de scdere n timp (media lui depinde de momentul t). n raport cu modalitatea n care se elimin tendina din seria de date avem :1). Serii nestaionare TSP (trend stationary processes) sunt serii care prin ndeprtarea tendinei sunt transformate n serii staionare. Notnd cu tendina i cu rezult c seria este staionar.2). Serii nestaionare DSP (difference stationary processes) sunt serii care se transform n serii staionare prin calculul diferenelor de ordinul nti sau de ordinul doi Prin aceste diferene se elimin i trendul. Evident, se pot defini diferene i de alt ordin, inclusiv fracionar. O modalitate pentru a stabili dac o serie este de tip TSP sau DSP este dat de testul Dickey-Fuller. Pentru aceasta se pleac de la un model de forma , unde i b sunt parametri iar este o variabil aleatoare de medie zero i dispersie , Dac i atunci seria este de tip DSP. Dac i , atunci seria este de tip TSP. Evident i implic care este un proces staionr oscilnd aleatoriu n jurul lui

Autocovariane i autocorelaii

Fiind dat o serie de timp staionar, , numrul este numit a k autocovarian, iar irul vzut ca o funcie definit pe Z, este numit funcia de autocovarian a lui . Pentru definim numit a k autocorelaie a lui , se mai noteaz . Evident i irul vzut ca funcie definit pe Z este numit funcia de autocorelaie a lui . Este mai convenabil de lucrat cu autocorelaiile deoarece ele sunt invariante la scal. S considerm un proces stocastic staionar. Pentru funcia autocorelaie avem urmtoarele proprieti.P.1. Funcia de autocorelaie este par n raport cu lag-ul, adic avem

Demonstaie. staionar implic , rezult

P.2.

Demonstraie. Avem . Rezult

Lund obinem , i

Lund i obinem , , . Aadar .

Metode de extragere a trendului

1). Metoda mediilor pariale const n urmtorii pai : Pasul1 : Se separ datele seriei n dou grupe : una inferioar i alta superioar. Pasul 2 : Se calculeaz media aritmetic a fiecrei grupe. Pasul 3 : Se determin mediana momentelor de timp ale fiecrei grupe. Aceasta reprezint momentul de timp corespunztor mediei aritmetice. Pentru fiecare grup, se reprezint grafic punctul de ordonat media aritmetic i de abscis momentul de timp corespunztor. Pasul 4 : Dreapta determinat de cele dou puncte, reprezentate grafic, constituie trendul cerut.Exemplul 1. Numrul contractelor de asigurare ncheiate de o societate de asigurri n primele 10 luni ale anului 200N este dat n tabelul : Ianuarie Februarie Martie Aprilie Mai

2000 2400 2600 2500 2300

Iunie Iulie August Septembrie Octombrie

2800 3000 3500 3200 3400

Utiliznd metoda mediilor pariale, s se extrag trendul.Soluie. Primele 5 luni formeaz grupa inferioar avnd media cu momentul de timp corespunztor luna martie. Celelalte luni formeaz grupa superioar avnd media cu momentul luna august. 2. Metoda mediilor mobile const n calcularea mediei aritmetice a fiecrui subset de q valori consecutive ale seriei date. Mrimea q este denumit perioada mediilor mobile. Formarea unui nou subset presupune scoaterea primei valori din subsetul anterior, pstrarea celorlalte q-1 valori i introducerea n subset a urmtoarei valori din irul valorilor seriei date. Mediile mobile calculate reprezint chiar componentele (valorile) trendului seriei cronologice date. La stabilirea perioadei mediilor mobile trebuie avut n vedere necesitatea ca aceasta s coincid cu lungimea ciclului natural al seriei. De exemplu, la determinarea trendului numrului de omeri nregistrai trimestrial de-a lungul mai multor ani, perioada mediilor mobile va fi 4; la determinarea trendului ncasrilor zilnice ale unui supermarket, nregistrate de-a lungul mai multor luni, perioada mediilor mobile va fi 7. n cazul exemplului de la punctul 1, mediile mobile de perioad 5 sunt :

2000240026002500230028003000350032003400

Totaluri

mobile118001260013200141001480015900

Medii

mobile236025202640282029603180

n cazul n care mediile mobile sunt folosite pentru reprezentarea grafic a trendului i se vrea reprezentarea valorilor acestuia n anumite momente de timp, exist o metod de centrare a mediilor mobile, metod care necesit calculul mediilor aritmetice pentru perechile succesive de medii mobile. Modele de serii de timp1. Modelul aditiv al seriilor de timp

unde : Y este valoarea cunoscut a seriei de timp, T este componenta trend, S este componenta sezonier, R este componenta rezidual.

2. Modelul multiplicativ al seriilor de timp

unde : Y, T, S, R au semnificaia de mai sus.

3. Zgomotul alb

O serie de timp format din variabile aleatoare necorelate, cu media zero i dispersia , se numete zgomot alb. Evident, ea este staionar, avnd funcia de autocovarian ,i funcia de autocorelaie

Se noteaz (White Noise), deci . Zgomotul alb mai este denumit i proces pur aleator. Dac elementele lui sunt i.i.d. (independente i identic repartizate), atunci seria de timp este strict staionar (se mai scrie ). Cnd -urile au repartiia normal, spunem c zgomotul alb este gaussian. n cazul unui zgomot alb gaussian cele dou definiii privind staionaritatea coincid, deci seria este att staionar ct i strict staionar. Un proces este un zgomot alb cu media m dac . Cu zgomotul alb se pot construi multe modele de serii de timp.Exemplu : Seria de timp unde , i este numit medie mobil de ordinul nti (ordin unu). Se noteaz . Aceast serie de timp este staionar pentru orice , are media 0, funcia de autocovarian i funcia autocorelaie

Evident . Procesul MA(1) este cel mai simplu exemplu de filtru liniar.

4. Mersul aleator (random walk)

Se consider un proces discret pur aleator (adic Z i variabilele aleatoare sunt independente i identic repartizate) cu media m i dispersia . Procesul unde se numete mers aleator. n mod obinuit procesul este pornit de la zero cnd , astfel c i . Avem : i Observaie : Cum media i dispersia depind de t, mersul aleator este nestaionar. Totui, este interesant c diferenele de ordinul nti ale mersului aleator dau un proces pur aleator care este staionar, deci unde este staionar. Cele mai cunoscute exemple de serii de timp care se comport foarte mult ca mersul aleator (la ntmplare) sunt preurile aciunilor (share prices). n acest caz un model care corespunde datelor este : Preul aciunii n ziua t = preul aciunii n ziua (t-1) + o eroare aleatoare.

5. Procese medie mobil

Se consider un zgomot alb (sau, mai restrictiv, un proces pur aleator, pentru c n locul necorelrii se consider independena) cu media zero i dispersia . Procesul , unde ,

-urile sunt constante, se numete proces medie mobil de ordin q (abreviat MA(q)).n mod uzual Z-urile sunt scalate, astfel c . Plasndu-ne n ipoteza mai restrictiv (-urile independente), obinem : i . Avem :

Cum nu depinde de t i media este constant, rezult c procesul este slab staionar (altfel zis, staionar de ordinul doi) pentru toate valorile lui . Mai mult, cnd -urile sunt repartizate normal, atunci i -urile sunt repartizate normal. Deci, procesul este complet determinat de medie i funcia autocovarian. Funcia de autocorelaie a procesului MA(q) este

n particular, procesul MA(1) cu are funcia autocorelaie

S menionm c funcia autocorelaie taie (ntrerupe) la lag-ul q, ceea ce constituie o trstur a proceselor MA. Privitor la condiiile ca un MA proces s fie staionar vom face urmtoarele consideraii. Fie urmtoarele procese MA de ordinul nti :1).

2).

Primul proces are funcia autocorelaie

Al doilea proces are funcia autocorelaie

Aadar, avem . Astfel se vede c un MA proces nu poate fi identificat dup funcia autocorelaie. Punnd n cele dou modele n termeni de , prin substituiri succesive obinem : A). B). Dac , atunci seria de la A este convergent iar seria de la B este divergent. Astfel, o procedur de estimare care implic estimarea reziduurilor, duce n mod natural la modelul A, care se zice c este invertibil (n acest caz modelul B nu este invertibil). Condiia de invertibilitate ne asigur unicitatea procesului MA pentru o funcie autocorelaie dat. Aceast condiie pentru un proces MA de ordin general este exprimat cel mai bine folosind operatorul de schimbare (mutare, dare) napoi, notat cu B, care este definit prin . Astfel, ecuaia (5.1) se va scrie , unde este un polinom de ordin q n B. Un MA proces de ordin q este invertibil dac toate rdcinile ecuaiei

se afl n afara cercului unitate. De notat c n ecuaia (5.2) B este vzut ca o variabil complex i nu ca un operator. De asemenea, se poate aduga n (5.1) o constant arbitrar m n membrul drept, ceea ce d un proces de medie m. Cum aceasta nu schimb funcia autocorelaie pentru simplificare va fi omis.Privitor la formalizarea matematic, se numete proces medie mobil finit procesul stocastic Z}, unde N, R, i -urile sunt variabile aleatoare necorelate , adic i (mai restrictiv, sunt considerate independente). Procesul medie mobil infinit este dat de reprezentarea , unde nu exist un numr natural M astfel nct Z cu Procesul definit de unde i se numete proces medie mobil cu o latur de ordin q (mai precis este un proces medie mobil stnga de ordin q, pe scurt proces medie mobil de ordin q). Aceasta pentru c punnd i avem , deci nu se pierde din generalitate dac se consider numai reprezentarea cu o latur. Un proces medie mobil de ordin infinit cu media nenul , dat de este numit proces liniar general (aceasta pentru c procesele de acest tip se obin trecnd un proces pur aleator printr-un sistem liniar. Cteva cuvinte despre sistemele liniare. S considerm c sunt date observaii (nregistrri) asupra intrrilor (inputurilor) i ieirilor (outputurilor) unui sistem, notate n cazul n care timpul este discret cu i cu n cazul timpului continuu.Definiie. Fie ieirile corespunztoare intrrilor Sistemul se numete sistem liniar dac i numai dac orice combinaie liniar de intrri (s zicem ) produce aceeai combinaie liniar de ieiri, adic , fiind constante.Definiie. Dac intrarea produce ieirea , atunci sistemul se zice c este invariant n timp dac o ntrziere de timp la intrare produce aceeai ntrziere la ieire, adic produce ieirea , altfel zis relaia intrare-ieire nu se schimb cu timpul. a) Sisteme liniare n timpUn sistem liniar invariant n timp se poate scrie sub forma pentru cazul timpului discret, sau sub forma pentru cazul timpului continuu. Funcia de ponderare (pentru timpul continuu) sau (pentru timpul discret) arat o caracterizare (descriere) a sistemului n timp i este cunoscut sub numele de FIR (Funcia Impuls Rspuns). Un exemplu foarte simplu de sistem liniar este dat de ntrzierea simpl, adic unde ntregul d arat timpul de ntrziere. Funcia sa FIR este :

Alt exemplu de sistem liniar este ctigul pur, adic unde constanta c reprezint ctigul. FIR ul acestui sistem este :

b). Sisteme liniare n frecven

O alt cale de descriere a unui sistem liniar este prin intermediul unei funcii denumit funcia de transfer (FRF Funcia Rspuns Frecven). Aceasta este transformata Fourier a funciei FIR, adic este n cazul timpului continuu i este , .ntrun sistem liniar o intrare exponenial complex d o ieire . Pentru sistemul liniar ntrzierea simpl, unde este o constant, funcia FIR este unde este funcia delta Dirac, adic , astfel nct (altfel zis, pentru orice funcie care este continu n , funcia delta Dirac este funcia care verific . Funcia de transfer este dat de .

6. Procese autoregresive

Dac este un proces pur aleator cu media 0 i dispersia , atunci un proces se zice c este proces autoregresiv de ordin p dac

Acest model seamn cu modelul regresiei multiple, dar diferena const n faptul c nu este regresat peste variabile independente ci peste valorile din trecut. Se utilizeaz abrevierea AR(p) proces.Procese de ordinul nti : i

Prin substituii succesive obinem : pentru . Deci poate fi exprimat ca un proces medie mobil de ordin infinit. Utiliznd operatorul de mutare napoi (ntoarcere) B, ecuaia (6.2) se scrie , astfel c

Rezult : i

Astfel, dispersia este finit dac , caz n care avem : Funcia autocovarian este :

EMBED Equation.3 pt. Aceasta converge n cazul la

Pentru gsim .Deoarece nu depinde de t, un proces AR(1) este slab staionar dac . Funcia autocorelaie este :

Pentru toi ntregii k avem

Mai simplu, funcia autocorelaie poate fi gsit presupunnd apriori c procesul este staionar, n care caz . nmulind ecuaia (6.2) cu i lund media obinem : pentru presupunnd c Deoarece este o funcie par, trebuie s avem pentru Cum7. Procese mixate ARMA(p,q) Sunt procese autoregresive de ordin p cu reziduuri medie mobil de ordin q care verific relaia , unde -urile sunt reziduuri medie mobil de ordin q.8. Procese nestaionare autoregresive i de medie mobil ARIMA(p,n,q) Sunt procese nestaionare care n forma original prezint tendin i prin diferene de ordin n pot fi aduse la forma staionar, p fiind ordinul prii autoregresive i q ordinul prii medie mobil a modelului.Pentru ARIMA(1,1,2) ecuaia este :

9. Modelul ARFIMA (Autoregressive Fractionally Integrated Movie Average) Este o variant a modelului ARIMA(p,d,q) n care d este ordinul diferenei i este o fraciune din 1 (0