Consideram matricea A cu m linii si n coloane , nenula , cu elemente numere complexe :

iar un numar natural , astfel incat ( prin min(m,n) intelegem cel mai mic dintre numerele m si n ) .

Daca din matricea A alegem k linii : si k coloane : , elementele care se gasesc la intersectia acestor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k :

al carui determinant se numeste minor de ordin kminor de ordin k al matricei A .

CM

aaa

aaa

aaa

A nm

mnmm

n

n

,

21

22221

11211

...

............

...

...

CM

aaa

aaa

aaa

k

jijiji

jijiji

jijiji

kkkk

k

k

...

............

...

...

21

22212

12211

nmk ,min1

iii k,.....,, 21 jjj k,.....,, 21

– - Fie o matrice nenula ;

• - Spunem ca matricea A are rangul r si scriem rangA = r , daca A are un minor nenul de ordin r , iar toti minorii de ordin mai mare decat r (daca exista) sunt nuli .

• Daca A este matricea nula , convenim sa spunem ca matricea are rangul 0 , adica : rang(0m,n)=0 .

• - Fie o matrice ;

• - Numarul natural este rangul matriceieste rangul matricei A daca si numai daca exista un minor de ordinul al lui A , nenul , iar toti minorii de ordinul (daca exista) sunt nulisunt nuli .

• - Fie si doua matrice ;

• - Atunci orice minor de ordin , , al produsului de matrice se poate scrie case poate scrie ca o combinatie liniara de minori de ordinul ai matricei (sau , ca o combinatie liniara de minori de ordinul ai matricei

B ) .

CMA nm ,

0 ,nmA r

r 1r

CMA nm , CMB nm ,

k smk ,min1 kBA

A k

• Rangul unei matrice se poate calculase poate calcula astfel : • Fiind data o matrice nenula , aceasta are neaparat un minor de ordinul intai

nenul (putem lua orice element nenul al matricei) ;• Daca am gasit un minor de ordinul k nenul , il bordam pe randul cu elementele

corespunzatoare ale uneia dintre liniile si uneia dintre coloanele ramase , obtinand astfel toti minorii de ordinul k+1 care-l contin.

• Daca toti acesti minori sunt nuli , rangul matricei este r = k .• Daca insa cel putin unul dintre acestia (de ordinul k+1 ) este nenul , atunci retinem

unul dintre ei si continuam procedeul .• Numarul minorilor de ordinul r+1 care trebuie considerati este :

• , pentru a stabili ca o matrice are rangul r nu mai poate fi micsorat . Totusi numarul de calcule necesar pentru a afla rangul unei matrice se poate reduce in diverse cazuri particulare .

• Rangul unei matrice ramane neschimbat , dacaramane neschimbat , daca : • 1). Multiplul unei linii (coloane) se aduna la o alta linie (coloana) .• 2). Liniile (coloanele) se schimba intre ele .• Rangul unei matrice mai poate fi calculatRangul unei matrice mai poate fi calculat si folosind

transformarile elementare , operatii de schimbare intre ele a liniilor sau coloanelor , sau prin adunarea lor , operatie repetata pana cand ajungem sa avem minimum de elemente diferite de zero rangul matriceirangul matricei A este este egal cuegal cu numarul elementelor

rnrm

},min{,1 , 0 mniaii

1.Sa se determine rangul umatoarelor matrice : a)

A= min{2,2}=2 , =26 –(-18) =26 -18 = 8 ≠0 => rangA =2

b) A= r=4

d= = =1(-1) =- 5 +84 – 90+8 =92-95 =-3 ≠0 => rangA =4

136

32

2196

0054

0321

1010

2196

0054

0321

1010

2196

0054

0321

1010

2176

0054

0321

1000

14

176

054

321

• 2.Sa se calculeze rangul urmatoarelor matrice pentru diferitele valori ale lui

•

• a11=1≠0

• d1= =1+4=5≠0

• sunt doi minori de ordin 3 obtinuti prin bordarea lui d1

• d2= =1+14+10 +5-7 +4 = 24+3

• d2=0 24+3 =0 => =-8

• d3= =10+14 -7-5 = 3-9

• d3=0 3-9 =0 => = 1/3

• Pentru = -8 d2=0, dar d3 ≠0=> rang A=3

• Pentru = 1/3 d3=0 , dar d2 ≠0=> rang A=3

• Deci rang A=3

C

0175

112

121

r≤min{3,4}=3