s2 11 zamfir vectori matrice lucrare
TRANSCRIPT
Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009
TRATAREA INTERDISCIPLINARĂ A VECTORILOR ŞI A MATRICELOR
APLICAŢII INFORMATICO-MATEMATICE
Elevi: Niţă Diana1, Dumitru Nicoleta1, Zamfir Mihai Cristian2,
Profesori coordonatori: Zamfir Doina Mihaela1, Zamfir Rică2
1 Liceul Teoretic Tudor Vladimirescu, Bucureşti2 Colegiul Naţional de Informatică Tudor Vianu, Bucureşti
Introducere
Vectorii şi matricele se studiază atât la matematică cât şi la informatică în clasa a XI-a.
Bineînţeles, abordarea este diferită, dar tocmai de aceea este importantă colaborarea dintre
profesorul de informatică şi cel de matematică. Vectorii sub formă algebrică sunt trataţi ca şi cazuri
particulare de matrice, cu o singură linie sau coloană. În informatică, vectorii şi matricele sunt
structuri de date, care, în alocare statică se implementează sub formă de tablouri unidimensionale,
respectiv bidimensionale.
Teoria matricelor ne permite să rezolvăm probleme importante în matematica de liceu, cum ar
fi ecuaţiile matriceale, sistemele de ecuaţii, introducerea şi definirea determinanţilor. De asemenea,
pentru pregătirea olimpiadelor şcolare se studiază vectorii proprii, valorile proprii ataşate unei
matrice. În informatică, vom lucra cu elementele unui tablou, identificate prin intermediul poziţiei
acestora în cadrul vectorului sau a matricei. Una dintre cele mai importante utilizări ale tablourilor
în informatică este implementarea grafurilor cu ajutorul matricei de adiacenţă, a matricei de
incidenţă, a vectorului de muchii.
Datorită modului diferit în care această teorie se aplică în informatică, respectiv matematică,
pentru a realiza o tratare unitară şi a nu dezorienta elevii este util ca profesorul de matematică şi cel
de informatică care predau la aceeaşi clasă să se pună de acord cu privire la terminologia folosită şi
notaţiile utilizate.
Lucrarea pune în evidenţă, pe lângă aspectele semnalate mai sus şi numeroase aplicaţii care
pot fi realizate în paralel atât la orele de matematică, cât şi la cele de matematică.
Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009
Utilizarea vectorilor şi a matricelor în algebră
Există o varietate de probleme în care matricele sunt utilizate pentru a rezolva probleme de
algebră. La începutul clasei a XI-a, elevul, după ce învaţă noţiunea de matrice, studiază la
matematică operaţiile care se pot efectua cu matrici. El asimilează multe concepte noi, cum ar fi :
urma unei matrici, determinantul, adjuncta unei matrice, inversa, rangul, etc.
Vectorii în formă algebrică reprezintă cazuri particulare de matrice. Ei se utilizează atunci
când dorim să rezolvăm pe cale matriceală sisteme de ecuaţii sau atunci când, pentru pregătirea
olimpiadelor şcolare, este nevoie să aplicăm teoria vectorilor şi a valorilor proprii ale unei matrice.
De aceea, în această lucrare ne vom axa pe aplicaţii ale matricelor.
Cu privire la rangul unei matrice, o inegalitate deosebit de utilă în aplicaţii este cea a lui
Sylvester şi în continuare vom prezenta câteva aplicaţii ale acesteia.
Teoremă ( inegalitatea lui Sylvester)
Dacă , atunci
1. Dacă este inversabilă, atunci este inversabilă dacă şi numai dacă
este inversabilă.
(Lucian Dragomir)
Soluţie
Deoarece este inversabilă, atunci . Folosind inegalitatea lui Sylvester,
deducem . Pe de altă parte, se ştie că avem . Aşadar am
găsit că , de unde rezultă concluzia.
2. Dacă verifică inegalitatea , atunci
(Marius Ghergu,OJ 2004)
Soluţie
Dacă , inegalitatea propusă este evidentă, iar dacă , nu avem nimic de
demonstrat. Dacă , avem . Din inegalitatea lui Sylvester avem acum
3. Dacă şi , atunci există implicaţia:
Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009
(Romanţa şi Ioan Ghiţă, Blaj, GM 2006)
Soluţie
Folosind inegalitatea lui Sylvester, avem:
Am găsit că şi analog, .
Obţinem acum imediat că, dacă , atunci
4. Fie o matrice nenulă. Să se arate că dacă şi numai dacă şi
(Dorinel Anca, GM 2006)
Soluţie
Dacă , atunci din inegalitatea lui Sylvester deducem că
aşadar Deoarece , obţinem şi, chiar mai mult, din avem că
valorile proprii ale matricei A sunt toate nule, aşadar
Reciproc, deoarece , avem că există astfel încât şi
.Deducem astfel că
5. Să se arate că pentru orice , avem :
(Ion Savu , ON 2004)
Soluţie
Presupunem că:
şi astfel avem
Din inegalitatea lui Sylvester avem:
de unde
Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009
şi astfel
Din ( 1 ) şi ( 2 ) , prin adunare, obţinem inegalitatea dorită.
6. Dacă şi astfel încât , atunci
(Marius Ghergu , OJ 2006)
Soluţie
Folosind inegalitatea lui Sylvester obţinem:
Pe de altă parte, avem :
Din ultimele două inegalităţi rezultă concluzia.
Utilizarea vectorilor şi a matricelor în informatică
În paralel, la orele de informatică elevul învaţă cum se declară o matrice ca şi tablou
bidimensional, cum se introduc valori pentru componente şi cum se tipăreşte matricea. Apoi se pot
rezolva probleme în care apar operaţii cu matrice: suma, diferenţa, produsul. O altă categorie de
probleme studiată este cea referitoare la operaţii care implică doar componentele unei matrice:
determinarea elementului minim/maxim, suma componentelor de pe o linie sau coloană dată,
produsul elementelor care verifică o anumită proprietate (componente pare, numere perfecte,
numere de tip palindrom etc.), calcularea determinantului matricei, interschimbarea a două linii sau
coloane date, efectuarea transpusei unei matrice. Cele două diagonale împart matricea în patru zone.
La informatică elevul învaţă cum să se refere la elementele situate în aceste zone, prin intermediul
indicilor. Pentru toate acestea se realizează programe în limbajul de programare studiat la clasă:
Pascal sau C/C++.
Pentru eficientizarea demersului didactic, am realizat un soft care tratează tablourile
unidimensionale şi bidimensionale în informatică. Este indicată utilizarea lui în etapa de fixare şi
consolidare a cunoştinţelor. Pentru optimizarea interacţunii dintre aplicaţie şi elev, softul este
proiectat astfel încât să fie asigurat un mod clar şi accesibil de autoprezentare.
Ţinând cont de particularităţile grupului de elevi pentru care este elaborat acest material, au
fost impuse prin proiectare caracteristici ale unui soft de investigare, generând un mediu care să
Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009
permită elevului obţinerea informaţiilor necesare pentru rezolvarea unei sarcini de lucru. Meniurile
sunt bine structurate, oferind acces rapid la secvenţele pe care elevul doreşte să le acceseze (optim
pentru materialele recapitulative).
Figura 1. Pagina de inceput a aplicaţiei
Aplicaţia face legătura cu informaţiile pe care elevul le primeşte la orele de matematică, prin
accesarea paginii Tablouri în interpretare matematică, pentru ca apoi să se facă referirea la studiul
tablourilor în informatică, cu aplicaţii în limbajul de programare studiat.
Figura 2. Tablouri în interpretare matematică Figura 3. Tablouri în interpretare informatică
Există mai multe aplicaţii, pentru fiecare dintre ele fiind scris codul sursă. Acesta este vizibil
în partea principală a paginii. Pentru a rula un program realizat în C++, se accesează aplicaţia prin
intermediul numelui. Se deschide în mod interactiv fereatra executabilului în care se introduc datele
necesare. Programul este executat în limbajul de programare C++.
Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009
O aplicaţie interesantă o reprezintă parcurgerea în spirală a elementelor unei matrice, începând
cu primul element de pe linia 1, în sensul acelor de ceasornic.
Figura 4. Exemplu de execuţie a unui program
Concluzie
Lucrarea reprezintă o abordare interdisciplinară interesantă a unor elemente de teorie a
matricelor, în care sunt prezentate aplicaţii deosebite ale matricelor în matematică şi informatică.
BIBLIOGRAFIE
[1] Vlad Huţanu, Sorin Tudor, Manual de informatică, clasa a XI-a, Editura LS-Infomat,
Bucureşti, 2007
[2] Marcel Ţena, Doru Şerbănescu, Manual pentru clasa. a XI-a, Matematică, Editura Art,
Bucureşti, 2008
[3] C. Chiteş, D. Petriceanu, A. Vernescu, Manual pentru clasa a XI-a, Matematică, Editura
Gil, Zalău, 2008