s2 11 zamfir vectori matrice lucrare

9
Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009 TRATAREA INTERDISCIPLINARĂ A VECTORILOR ŞI A MATRICELOR APLICAŢII INFORMATICO-MATEMATICE Elevi: Niţă Diana 1 , Dumitru Nicoleta 1 , Zamfir Mihai Cristian 2 , Profesori coordonatori: Zamfir Doina Mihaela 1 , Zamfir Rică 2 1 Liceul Teoretic Tudor Vladimirescu, Bucureşti 2 Colegiul Naţional de Informatică Tudor Vianu, Bucureşti Introducere Vectorii şi matricele se studiază atât la matematică cât şi la informatică în clasa a XI-a. Bineînţeles, abordarea este diferită, dar tocmai de aceea este importantă colaborarea dintre profesorul de informatică şi cel de matematică. Vectorii sub formă algebrică sunt trataţi ca şi cazuri particulare de matrice, cu o singură linie sau coloană. În informatică, vectorii şi matricele sunt structuri de date, care, în alocare statică se implementează sub formă de tablouri unidimensionale, respectiv bidimensionale. Teoria matricelor ne permite să rezolvăm probleme importante în matematica de liceu, cum ar fi ecuaţiile matriceale, sistemele de ecuaţii, introducerea şi definirea determinanţilor. De asemenea, pentru pregătirea olimpiadelor şcolare se studiază vectorii proprii, valorile proprii ataşate unei matrice. În informatică, vom lucra cu elementele unui tablou, identificate prin intermediul poziţiei acestora în cadrul vectorului sau a matricei. Una dintre

Upload: micro2

Post on 06-Aug-2015

51 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: S2 11 Zamfir Vectori Matrice Lucrare

Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009

TRATAREA INTERDISCIPLINARĂ A VECTORILOR ŞI A MATRICELOR

APLICAŢII INFORMATICO-MATEMATICE

Elevi: Niţă Diana1, Dumitru Nicoleta1, Zamfir Mihai Cristian2,

Profesori coordonatori: Zamfir Doina Mihaela1, Zamfir Rică2

1 Liceul Teoretic Tudor Vladimirescu, Bucureşti2 Colegiul Naţional de Informatică Tudor Vianu, Bucureşti

Introducere

Vectorii şi matricele se studiază atât la matematică cât şi la informatică în clasa a XI-a.

Bineînţeles, abordarea este diferită, dar tocmai de aceea este importantă colaborarea dintre

profesorul de informatică şi cel de matematică. Vectorii sub formă algebrică sunt trataţi ca şi cazuri

particulare de matrice, cu o singură linie sau coloană. În informatică, vectorii şi matricele sunt

structuri de date, care, în alocare statică se implementează sub formă de tablouri unidimensionale,

respectiv bidimensionale.

Teoria matricelor ne permite să rezolvăm probleme importante în matematica de liceu, cum ar

fi ecuaţiile matriceale, sistemele de ecuaţii, introducerea şi definirea determinanţilor. De asemenea,

pentru pregătirea olimpiadelor şcolare se studiază vectorii proprii, valorile proprii ataşate unei

matrice. În informatică, vom lucra cu elementele unui tablou, identificate prin intermediul poziţiei

acestora în cadrul vectorului sau a matricei. Una dintre cele mai importante utilizări ale tablourilor

în informatică este implementarea grafurilor cu ajutorul matricei de adiacenţă, a matricei de

incidenţă, a vectorului de muchii.

Datorită modului diferit în care această teorie se aplică în informatică, respectiv matematică,

pentru a realiza o tratare unitară şi a nu dezorienta elevii este util ca profesorul de matematică şi cel

de informatică care predau la aceeaşi clasă să se pună de acord cu privire la terminologia folosită şi

notaţiile utilizate.

Lucrarea pune în evidenţă, pe lângă aspectele semnalate mai sus şi numeroase aplicaţii care

pot fi realizate în paralel atât la orele de matematică, cât şi la cele de matematică.

Page 2: S2 11 Zamfir Vectori Matrice Lucrare

Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009

Utilizarea vectorilor şi a matricelor în algebră

Există o varietate de probleme în care matricele sunt utilizate pentru a rezolva probleme de

algebră. La începutul clasei a XI-a, elevul, după ce învaţă noţiunea de matrice, studiază la

matematică operaţiile care se pot efectua cu matrici. El asimilează multe concepte noi, cum ar fi :

urma unei matrici, determinantul, adjuncta unei matrice, inversa, rangul, etc.

Vectorii în formă algebrică reprezintă cazuri particulare de matrice. Ei se utilizează atunci

când dorim să rezolvăm pe cale matriceală sisteme de ecuaţii sau atunci când, pentru pregătirea

olimpiadelor şcolare, este nevoie să aplicăm teoria vectorilor şi a valorilor proprii ale unei matrice.

De aceea, în această lucrare ne vom axa pe aplicaţii ale matricelor.

Cu privire la rangul unei matrice, o inegalitate deosebit de utilă în aplicaţii este cea a lui

Sylvester şi în continuare vom prezenta câteva aplicaţii ale acesteia.

Teoremă ( inegalitatea lui Sylvester)

Dacă , atunci

1. Dacă este inversabilă, atunci este inversabilă dacă şi numai dacă

este inversabilă.

(Lucian Dragomir)

Soluţie

Deoarece este inversabilă, atunci . Folosind inegalitatea lui Sylvester,

deducem . Pe de altă parte, se ştie că avem . Aşadar am

găsit că , de unde rezultă concluzia.

2. Dacă verifică inegalitatea , atunci

(Marius Ghergu,OJ 2004)

Soluţie

Dacă , inegalitatea propusă este evidentă, iar dacă , nu avem nimic de

demonstrat. Dacă , avem . Din inegalitatea lui Sylvester avem acum

3. Dacă şi , atunci există implicaţia:

Page 3: S2 11 Zamfir Vectori Matrice Lucrare

Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009

(Romanţa şi Ioan Ghiţă, Blaj, GM 2006)

Soluţie

Folosind inegalitatea lui Sylvester, avem:

Am găsit că şi analog, .

Obţinem acum imediat că, dacă , atunci

4. Fie o matrice nenulă. Să se arate că dacă şi numai dacă şi

(Dorinel Anca, GM 2006)

Soluţie

Dacă , atunci din inegalitatea lui Sylvester deducem că

aşadar Deoarece , obţinem şi, chiar mai mult, din avem că

valorile proprii ale matricei A sunt toate nule, aşadar

Reciproc, deoarece , avem că există astfel încât şi

.Deducem astfel că

5. Să se arate că pentru orice , avem :

(Ion Savu , ON 2004)

Soluţie

Presupunem că:

şi astfel avem

Din inegalitatea lui Sylvester avem:

de unde

Page 4: S2 11 Zamfir Vectori Matrice Lucrare

Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009

şi astfel

Din ( 1 ) şi ( 2 ) , prin adunare, obţinem inegalitatea dorită.

6. Dacă şi astfel încât , atunci

(Marius Ghergu , OJ 2006)

Soluţie

Folosind inegalitatea lui Sylvester obţinem:

Pe de altă parte, avem :

Din ultimele două inegalităţi rezultă concluzia.

Utilizarea vectorilor şi a matricelor în informatică

În paralel, la orele de informatică elevul învaţă cum se declară o matrice ca şi tablou

bidimensional, cum se introduc valori pentru componente şi cum se tipăreşte matricea. Apoi se pot

rezolva probleme în care apar operaţii cu matrice: suma, diferenţa, produsul. O altă categorie de

probleme studiată este cea referitoare la operaţii care implică doar componentele unei matrice:

determinarea elementului minim/maxim, suma componentelor de pe o linie sau coloană dată,

produsul elementelor care verifică o anumită proprietate (componente pare, numere perfecte,

numere de tip palindrom etc.), calcularea determinantului matricei, interschimbarea a două linii sau

coloane date, efectuarea transpusei unei matrice. Cele două diagonale împart matricea în patru zone.

La informatică elevul învaţă cum să se refere la elementele situate în aceste zone, prin intermediul

indicilor. Pentru toate acestea se realizează programe în limbajul de programare studiat la clasă:

Pascal sau C/C++.

Pentru eficientizarea demersului didactic, am realizat un soft care tratează tablourile

unidimensionale şi bidimensionale în informatică. Este indicată utilizarea lui în etapa de fixare şi

consolidare a cunoştinţelor. Pentru optimizarea interacţunii dintre aplicaţie şi elev, softul este

proiectat astfel încât să fie asigurat un mod clar şi accesibil de autoprezentare.

Ţinând cont de particularităţile grupului de elevi pentru care este elaborat acest material, au

fost impuse prin proiectare caracteristici ale unui soft de investigare, generând un mediu care să

Page 5: S2 11 Zamfir Vectori Matrice Lucrare

Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009

permită elevului obţinerea informaţiilor necesare pentru rezolvarea unei sarcini de lucru. Meniurile

sunt bine structurate, oferind acces rapid la secvenţele pe care elevul doreşte să le acceseze (optim

pentru materialele recapitulative).

Figura 1. Pagina de inceput a aplicaţiei

Aplicaţia face legătura cu informaţiile pe care elevul le primeşte la orele de matematică, prin

accesarea paginii Tablouri în interpretare matematică, pentru ca apoi să se facă referirea la studiul

tablourilor în informatică, cu aplicaţii în limbajul de programare studiat.

Figura 2. Tablouri în interpretare matematică Figura 3. Tablouri în interpretare informatică

Există mai multe aplicaţii, pentru fiecare dintre ele fiind scris codul sursă. Acesta este vizibil

în partea principală a paginii. Pentru a rula un program realizat în C++, se accesează aplicaţia prin

intermediul numelui. Se deschide în mod interactiv fereatra executabilului în care se introduc datele

necesare. Programul este executat în limbajul de programare C++.

Page 6: S2 11 Zamfir Vectori Matrice Lucrare

Simpozionul Naţional “Şcoala – moment zero pentru o societate a cunoaşterii”, 30 mai 2009

O aplicaţie interesantă o reprezintă parcurgerea în spirală a elementelor unei matrice, începând

cu primul element de pe linia 1, în sensul acelor de ceasornic.

Figura 4. Exemplu de execuţie a unui program

Concluzie

Lucrarea reprezintă o abordare interdisciplinară interesantă a unor elemente de teorie a

matricelor, în care sunt prezentate aplicaţii deosebite ale matricelor în matematică şi informatică.

BIBLIOGRAFIE

[1] Vlad Huţanu, Sorin Tudor, Manual de informatică, clasa a XI-a, Editura LS-Infomat,

Bucureşti, 2007

[2] Marcel Ţena, Doru Şerbănescu, Manual pentru clasa. a XI-a, Matematică, Editura Art,

Bucureşti, 2008

[3] C. Chiteş, D. Petriceanu, A. Vernescu, Manual pentru clasa a XI-a, Matematică, Editura

Gil, Zalău, 2008