1

Proceduri de control pentru procese multivariabile neliniare

1. Introducere Este destul de des intalnit in industrie sa se reduca o problema de control multivariabil la o

problema SISO. In literatura exista o multime de metode, strategii si solutii pentru rezolvarea

acestui tip de probleme. Dintre acestea numai cateva au la baza strategii de control descentralizat

sau utilizeaza proceduri de decuplare statica.

Sunt prezentate rezultate comparative pentru 3 metode de implementare in timp real a

metodelor de control pentru un proces multivariabil cu caracteristica statica neliniara. Primele doua

metode sunt clasice, utilizand controlul descentralizat, respectiv proceduri de decuplare statica.

Pentru cea de-a treia metoda autorii propun o schema imbunatatita si procedurile de implementare

corespunzatoare, utilizand o combinatie de structuri feedforward si feedback.

Strategia de control descentralizat considera buclele de control SISO ale unui proces MIMO

ca fiind independente (fig. 1). Fiecare algoritm de control este suficient de robust pentru a rejecta

perturbatiile detorate celorlalte bucle "paralele".

Procedurile de decuplare statica aduc un bloc suplimentar de decuplare, introdus de regula

intre procesul multivariabil si cei N algoritmi de control independenti (fig. 2). Produsul dintre

matricea de decuplare si matricea de transfer a procesului este o matrice unitate.

Fig.1. Principiul controlului descentralizat

Fig.2. Scheme de decuplare statica

Cele doua metode conduc la rezultate foarte bune in situatii normale, cand neliniaritatile

procesului nu au efecte importante. Daca neliniaritatile afecteaza functionarea procesului in timp

real, se pot observa: deteriorarea performantelor sau limitari in urmarirea referintei.

Pentru a rezolva aceste probleme, plecand de la scheme descentralizata, autorii propun o

schema de control ce compenseaza neliniaritatile statice ale procesului. Aceasta solutie implica

faptul ca pentru fiecare bucla de control vor fi adaugate doua comenzi: o comanda directa

(feedforward) generata pe baza modelului invers, si o a doua generata de un algoritm clasic (PID,

RST, etc.)

In literatura pot fi gasite o serie de lucrari ce trateaza acest tip de structura, denumit model

invers. Dintre acestea pot fi mentionate: [1], [8], [10], potrivit carora lucrarea propune o varianta

destul de simpla si eficienta (fig. 3).

2

Fig.3. Schema de control pentru un process multivariabil decuplat, cu compensarea neliniaritatii

In fig. 1, 2, 3 blocurile su variabilele au urmatoarea semnificatie:

Process – sistemul fizic ce trebuie controlat;

Command calculus – bloc ce calculeaza legea de comanda;

Classic Alg. – algoritmul de control (PID, RST);

y – iesirea procesului;

u – iesirea blocului de calcul a comenzii;

u alg. – iesirea algoritmului clasic;

u i.m. – iesirea din blocul de compensare a neliniaritatii (medelul invers);

r – referinta sistemului;

p – perturbatii ce afecteaza procesul fizic.

Prima comanda (u i.m.), bazata pe caracteristica statica a procesului, este dependenta de

valoarea referintei si are rolul de a genera o valoare corespunzatoare pentru a duce iesirea

procesului cat mai aproape de valoarea referintei. Cel de-al doilea algoritm genereaza o comanda ce

corecteaza diferenta fata de referinta datorata perturbatiilor externe, precum si eroarea sistematica

datorata nepotrivirilor dintre caracteristica statica inversa determinata si cea corespunzatoare

procesului real.

Aceasta solutie propune tratarea acestor nepotriviri, ce perturba prima comanda, prin prisma

unui al doilea algoritm de comanda. Acest fapt impune proiectarea unui algoritm clasic cu o

margine de robustete adecvata. Din acest motiv, proiectarea celui de-al doilea algoritm are loc in 2

etape:

- proiectarea unui algoritm clasic, bazat pe un model identificat intr-un punct real de functionare

aleator ales, sau luat la mijlocul caracteristicii statice;

- verificarea robustetii algoritmului si imbunatatirea acesteia, daca este necesar, folosind o

procedura de (re)proiectare.

Fata de controlul clasic, utilizarea unui model invers necesita abordarea unor aspecte

specifice suplimentare:

- determinarea caracteristicii statice a procesului;

- construirea modelului invers;

- proiectarea unei comenzi robuste.

Structura prezentata poate fi utilizata pentru controlul unui proces multivariabil ce suporta

proceduri de descentralizare. Acestea presupun descompunera unui proces MIMO (N intrari si M

iesiri) in max(N,M) procese paralele. Un singur proces are un canal principal de la ui la yi, si

optional o serie de canale secundare de la ui la yj, unde i>j. Toate canalele secundare, ce reprezinta

conexiuni intre procese paralele, pot fi considerate drept perturbatii, neliniaritati, erori de

identificare, etc. Fig. 4 ilustreaza canalele principal si secundare pentru procesul 1.

3

Fig.4. Procedura de descentralizare/descompunere pentru un proces MIMO

In particular, pentru un proces cu 2 intrari si 2 iesiri, algoritmul de control este prezentat in

fig. 3.

In sectiunile urmatoare, ne vom concentra pe principalele aspecte intalnite in proiectares

structurii prezentate.

2 Proiectarea modelului invers Dupa cum am precizat anterior, pentru structura cu model invers propusa, aspectele

suplimentare specifice sunt: determinarea caracteristicii statice pentru fiecare proces paralel,

construirea modelului invers si proiectare comenzi robuste. Toate acestea vor fi prezentate in cele

ce urmeaza.

2.1 Determinarea caracteristicii statice

Aceasta operatie are la baza cateva experimente de crestere si descrestere a comenzii u(k) a

canalului principal si masurarea iesirii corespunzatoare pentru procesul stabilizat y(k). Comanda

u(k) acopera toate posibilitatile (de la 0 la 100%). Intrucat canalele secundare pot afecta canalul

principal si cum procesul este afectat de zgomote, caracteristicile obtinute sunt diferite.

Caracteristica statica finala va fi obtinuta prin medierea tuturor caracteristicilor obtinute. In fig. 5

este prezentata aceasta operatie. Graficul intre doua puncte medii poate fi obtinut utilizand

proceduri de extrapolare.

Fig.5. Determinarea caracteristicii statice a unui process

(linia continua reprezinta caracteristica finala)

Conform teoriei identificarii sistemelor, dispersia traiectoriei procesului poate fi gasita

utilizand expresia (1):

2 2 *

1

1, n \ 1

1

n

i

n y i Nn

(1)

4

Aceasta poate fi o masura a superpozitiei influentelor "canalelor" secundare, zgomotului ce

actioneaza asupra procesului, neliniaritatilor procesului, etc. si trebuie luat in consideratie mai ales

in analiza robustetii algoritmului de control. O alta posibilitate este gasirea pozitiei si valorii mg a

distantei maxime fata de caracteristica "medie".

2.2 Constructia modelului invers

Aceasta etapa are ca scop operatia de "transpozitie" a caracteristicii statice medie a

procesului, ilustrata in fig. 6. Conform acesteia u(k) este dependent de r(k). Aceasta caracteristica

este stocata intr-un tabel; astfel, pentru modelul invers, selectarea unei noi referinte r(k) impune

gasirea in acest tabel a comenzii corespunzatoare u(k) ce determina o iesire a procesului y(k)

apropiata de valoarea de referinta.

Fig.6. Constructia modelului invers

2.3 Proiectarea legii de comanda

Rolul algoritmului de control este de a elimina perturbatiile di diferentele dintre comanda

data modelul invers si comportamentul real al procesului.

Fig.7. Structura de control de tip RST

Pe poate utiliza o gama diversa de algoritmi de control: PID, RST, fuzzy, etc., insa scopul in

cazul de fata este de a utiliza un algoritm simplificat. Prin urmare am ales un algoritm de tip RST.

Acesta este proiectat utilizand proceduri de alocare a polilor [5]. Un algoritm RST este prezentat in

fig. 7.

Polinoamele R, S, T sunt:

1 1

0 1

1 1

0 1

1 1

0 1

...

...

...

nr

nr

ns

ns

nt

nt

R q r r q r q

S q s s q s q

T q t t q t q

(2)

Algoritmul de alocare a polilor este bazat pe modelul identificat pentru proces.

5

)()(

)()(

1

1

kuqA

qBqky

d

(3)

unde

1 1 2

1 2

1 1

1

...

1 ...

nb

nb

na

na

B q b q b q b q

A q a q a q

(4)

Identificarea este realizata intr-un anumit punct de functionare al procesului, putandu-se

utiliza algoritmul CMMP-R exemplificat prin relatiile urmatoare, dezvoltate in [5]:

NkkkkFkk ),1()()1()(ˆ)1(ˆ 0

Nk

kkFk

kFkkkFkFkF

T

T

,)()()(1

)()()()()()1(

(5)

Nktkkyk T ),()(ˆ)1()1(0

cu urmatoarele conditii initiale:

10,)(1

)0(

IGIIF (6)

Valorile estimate )(ˆ k reprezinta parametrii modelului polinomial al procesului, iar )(kT

reprezinta vectorul masurilor.

Aceasta abordare permite utilizatorilor sa verifice daca este necesara calibrarea robustetii

algoritmului. Robustetea poate fi analizata prin intermediul functiei de sensibilitate perturbatie-

iesire (fig. 8), data de expresia:

( ) ( )

( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( )

defj j

vy vy

j j

j j j j

S e H e

A e S eR

A e S e B e R e

(7)

Fig.8. Reprezentarea functiei de sensibilitate

In acelasi timp, valoarea maxima negativa a functiei de sensibilitate reprezinta marginea de

modul:

max ( )

j

vydB R dB

M S e (8)

6

Pe baza acestei valori, intr-o reprezentare intrare-iesire [5], neliniaritatea procesului poate fi

inclusa in interiorul unui sector conic, prezentat in fig. 9, unde castigurile a1 si a2 sunt calculate

folosind expresiile:

1 2

1 1

1 1a a

M M

(9)

Fig.9. Procedura de control robust

In final, daca se impune ca toate caracteristicile neliniare sa fie marginite (grafic) de cele

doua castiguri, sau amplificarea sa fie mai mare sau egala cu distanta maxima a caracteristicii

statice a procesului ΔG≥mg, un regulator cu o margine de robustete suficienta va fi proiectat.

3 Analiza structurii propuse Vor fi prezentate cateva avantaje, dezavantaje sau limitari, precum si cateva dezvoltari

posibile ale structurii prezentate.

3.1 Avantaje

Principalul avantaj consta in utilizarea unei proceduri clasice pentru proiectarea algoritmului

de control si determinarea blocurilor pentru comanda inversa, comparativ cu metodele de proiectare

bazate pe control multivariabil. Pentru identificare si proiectarea comenzii sunt utilizate proceduri

binecunoscute. Toate etapele pentru identificarea caracteristicii inverse a modelului pot fi incluse

intr-o aplicatie software de timp real.

Sistemul este foarte stabil datorita comenzii globale care contine o componenta "constanta"

generata de un bloc pentru comanda modelului invers, in concordanta cu valoarea referintei.

Un bloc de logica fuzzy "continand" experienta umana cu privire la cateva procese neliniare

poate inlocui blocul de generare a comenzii modelului invers.

Intrucat nu este foarte complexa din punct de vedere al implementarii software si hardware

in timp real, legea de comanda nu necesita resurse importante.

3.2 Dezavantaje

Limitarea principala este data de aplicarea acestei proceduri numai pentru procesele care

suporta partea de decuplare.

Aceasta structura este dificil de utilizat pentru sisteme care nu au o caracteristica statica

bijectiva, precum si pentru sisteme cu diferite regimuri de functionare.

O alta limitare este date de faptul ca aceasta structura poate fi folosita numai pentru procese

stabile. In situatia in care procesul "ruleaza", este destul de probabil in cazul comanzii globale sa nu

fie destul de flexibila pentru a-l controla.

Numarul mare de experimentari necesar pentru determinarea unei caracteristici statice

corecte poate constitui un alt dezavantaj.

3.3 Dezvoltari posibile

In situatia in care legea de comanda devine prea complexa, situatie cauzata de procese cu o

caracteristica dificila, caracteristica procesului poate fi impartita in doua sau mai multe componente.

7

Sistemul de control global devine un “sistem multivariabil cu multiple modele inverse” [18-20].

Fig. 10 prezinta maniera in care o astfel de caracteristica este impartita in trei sectiuni.

Fig.10. Separarea caracteristicii statice a unui proces in trei regiuni. Linia continua reprezinta

caracteristica procesului.

Alegerea modelului se poate face in functie de referinta procesului sau, mai de intalnit,

referinta filtrata a acestuia. Fig. 11 prezinta un sistem cu o structura multimodel pentru unul dintre

regulatoare [20].

Fig.11. Sistem multivariabil cu mai multe modele inverse

O alta situatie in care legea de control devine complexa se datoreaza mai multor

caracteristici “paralele” ale procesului. In aceasta situatie procesul poate fi considerat ca avand mai

multe regimuri de functionare. Pentru fiecare regim determinat de un interval de variatie a comenzii

si respectiv a iesirii procesului, modelul corespunzator Mj este considerat precum in fig. 12.

Fig.12. Proces cu diferite regimuri de functionate

Aici, sistemul de control global devine “sistem multivariabil cu regimuri (inverse) multiple”

[19]. Selectia intre diferitele regimuri/modele poate fi facuta pe baza referintelor, respectiv

referintelor filtrate. In fig. 13 este prezentata schema unui sistem, ce are o structura multimodel

pentru unul dintre regulatoare [19], [20], [21].

8

Fig.13. Sistem multivariabil cu multiple modele inverse – solutie pentru un proces cu regimuri

diferite de functionare

Pentru aceasta solutie, referintele ce selecteaza modelul provin de la regulatorul “paralel”.

Una dintre problemele specifice pentru sistemele multimodel consta in aparitia socurilor la

schimbarea regulatoarelor. Pentru a rezolva aceasta situatie nedorita, valoarea de referinta este

filtrata de un sistem numeric [1], [22], [26].

)()(

)()(

1

1

krqA

qBkr

m

md

(10)

Iesirea acestui filtru este fortata sa treaca prin toate modelele intermediare (daca exista) pe

parcursul schimbarii referintei. Coeficientii filtrului sunt obtinuti prin discretizarea unui sistem

continuu de ordinul I sau II.

Exista o multitudine de solutii pentru algoritmi de tranzitie de la un regim de functionare la

altul. Cative dintre acestia, ce pot fi aplicati pentru sisteme in timp real, sunt prezentati in [19], [20].

Structurile propuse pot fi implementate cu usurinta pe PLC-uri.

4 Rezultate experimentale

Performantele schemelor propuse (Fig. 1, 2, 3) au fost evaluate pe un sismulator software

experimental reprezentat in fig. 14.

Fig.14. Simulator de process experimental

9

Pe aceasta instalatie, utilizatorul poate controla doi parametri: nivelul si temperatura.

Conform principiilor de control descentralizat, nivelul este controlat de cantitatea de lichid de la

intrare, iar temperatura de cantitatea de caldura de la intrare. Ambele procese (nivel si temperatura)

au caracteristici neliniare datorate fenomenelor fizice si particularitatilor instalatiei (vezi fig. 15).

Fig.15. Caracteristici neliniare: nivel(stanga) si temperatura(dreapta)

Pentru a achizitiona date din simulatorul software, a fost dezvoltata o aplicatie software de

timp real prezentata in fig. 16. Aplicatia a fost dezvoltata utilizand LabWindows/CVI (National

Instruments). Cu aplicatia dezvoltata pot fi testate procese 2x2 (doua intrari si doua iesiri). Datele

achizitionate sunt utilizate pentru identificarea parametrilor procesului. Din acest motiv, pentru

fiecare pereche intrare-iesire, exista urmatoarele functii:

- conectare cu simulatorul software;

- setarea/aplicarea unei comenzi manuale;

- setarea/aplicarea unei secvente pseudoaleatoare binara (PRSB);

- setarea valorii perioadei de esantionare;

- reprezentarea in timp real a evolutiei procesului;

- stocarea intr-un fisier a valorilor pentru perechile de date intrare-iesire.

Fig.16. Interfata aplicatiei de achizitie de date in timp real pentru procese multivariabile 2x2

Intre “canalele” principale ale procesului exista (doua) influente secundare: un canal de la

nivel catre temperatura si un canal de la temperatura catre nivel. Influenta poate fi exprimata printr-

o matrice de castig statica de ordinul 2x2.

Dupa efectuarea unor teste:

a) u1=20.0 si u2=0.0 se obtine K11=2.0 si K21=0.245 ;

b) u1=0.0 si u2=20.0 se obtine K22=1.9 si K12=0.5 .

Pentru valorile de mai sus, ceoficientii matricii de decuplare sunt :

10

543848.02213596.012

06662.021516655.011

dd

dd

KK

KK

Prin cresterea comenzii u1 de la 0.0 la 30.0 si mentinerea comenzii u2=10.0 constanta,

timpul de crestere Ts1 este 4.5s, ceeea ce implica o perioada de esantionare Te1 de 0.5s .

Prin mentinerea comenzii u1=10.0 constanta si cresterea comenzii u2 de la 0.0 la 30.0, se

obtine timpul de crestere Ts2=1.8s, ceea ce determina o perioada de esantionare Te2=0.2s .

Modelele pentru procesele de nivel si respectiv temperatura, obtinute prin folosirea metodei

celor mai mici patrate recursiva [1], prin intermediul software-ului WinPIM, sunt: 1

1 2

1 2

1 2 3

0.60592 0.07053

1.0 0.55799 0.0358

0.12993 0.43005 0.14257

1.0 0.7537 0.15158 0.03953

nivel

temp

qM

q q

q qM

q q q

Aceste modele au fost identificate in zona inferioara (40%) a caracteristicii statice.

Regulatoarele RST corespunzatoare, determinate cu ajutorul software-ului WinREG, sunt:

- pentru controlul nivelului:

1 1 2

1 1 2

1 1 2

( ) 0.552689 0.332786 0.029291

( ) 1.0 1.057657 0.057657

( ) 1.478306 1.893358 0.664246

R q q q

S q q q

T q q q

- pentru controlul temperaturii:

1 1 2 3

1 1 2 3

1 1 2

( ) 0.492338 0.388487 0.108353 0.027731

( ) 1.0 0.591022 0.308964 0.100014

( ) 1.423386 1.823019 0.639569

R q q q q

S q q q q

T q q q

Simularile in bucla inchisa facute cu software-ul WinPIM, pentru cele doua perechi

model/regulator: nivel si temperatura, sunt reprezentate in Fig. 17 respectiv Fig. 18.

Fig.17. Simulare in bucla inchisa a modelului si regulatorului pentru nivel

11

Fig.18. Simulare in bucla inchisa a modelului si regulatorului pentru temperatura

Se poate observa ca cele doua seturi de figuri sunt asemanatoare. Motivul este dat de

impunerea acelorasi performante pentru cele doua bucle de reglare.

Pentru teste in timp real cu solutiile de reglare propuse (Fig. 1, 2, 3), a fost dezvoltata o noua

aplicatie software, prezentata in Fig. 19. Aceasta a fost dezvoltata in acelasi mediu

LabWindows/CVI (Natioal Instruments).

Fig.19. Aplicatie software de timp real pentru implementrea unui regulator multivariabil cu model

invers – fereastra principala

Aceasta aplicatie poate controla procese multivariabile 2x2 (doua intrari si doua iesiri). Din

acest motiv, pentru fiecare din cele doua bucle de reglare, aplicatia are urmatoarele functii:

- conectare cu simulatorul software;

- setarea/aplicarea unei comenzi manuale;

- setarea/aplicarea unei comenzi automate;

- setarea/aplicarea valorii referintei;

- schimbarea intre comanda manuala si automata;

- setarea valorii perioadei de esantionare;

- incarcarea modelului procesului si parametrilor algoritmului de comanda;

- incarcarea parametrilor generatorului comenzii pentru modelul invers;

- reprezentarea in timp real a evolutiei procesului.

O fereastra de mare importanta a aplicatiei este prezentata in Fig. 20. Aceasta permite

incarcarea/setareacaracteristicii neliniare a procesului si suplimentar, identificarea acestor

caracteristici.

12

Fig.20. Aplicatie software de timp real pentru implementrea unui regulator multivariabil cu model

invers – fereastra de identificare a caracteristicii statice

Procedura de identificare, conform unor parametri impusi, se bazeaza pe cautarea valorii

corespunzatoare de intrare a procesului care determina o valoare a iesirii de 0%, 10%, 20%, ...,

90%, 100%. Acest algoritm de cautare permite stabilirea unei valori impuse a erorii, setata in

functie nivelul zgomotelor intalnite in cadrul procesului.

Aplicatia poate reprezenta grafic una sau mai multe caracteristici ale procesului analizat.

Pentru cele trei solutii propuse, s-a efectuat un set de teste. Valoarea referintei a fost

schimbata atat in regiunea in care au fost identificate modelele (40%), precum si in regiunea

superioara, unde neliniaritatile sunt mai accentuate.

In figurile urmatoare curbele de evolutie sunt reprezentate utilizand urmatorul cod al

culorilor: galben – referinta; verde – referinta filtrata; albastru – iesirea procesului; rosu – iesirea

blocului de control (comanda finala); mov – iesirea algoritmului RST; portocaliu – iesirea

modelului identificat.

Fig.21. Performante in timp real pentru solutia cu algoritm descentralizat

(nivel – stanga, temperatura – dreapta)

Fig.22. Performante in timp real pentru solutia cu algoritm de decuplare

(nivel – stanga, temperatura – dreapta)

13

Fig.23. Performante in timp real pentru solutia cu model invers

(nivel – stanga, temperatura – dreapta)

In testele de mai sus se poate observa:

- toate cele trei solutii sunt stabile;

- prima solutie are inconvenientul ca cele doua bucle se influenteaza una pe cealalta,

conducand la o usoara instabilitate;

- solutia de decuplare are o problema pe partea de saturare a comenzii;

- ultima solutie este singura care poate urmari referinta pe intreg domeniul sau de variatie

(0 – 100%);

- pentru ultima solutie, performatele de urmarire a referintei sunt mult mai apropiate de

cele obtinute in simulare (fig. 17 si fig. 18), independent de zonele in care se studiaza

evolutia. Acest fapt conduce la concluzia ca aceasta structura poate asigura si mentine in

exploatare aceleasi performante cu cele impuse sau determinate in simulare.

5 Concluzii

Se propune o structura cu model invers ca solutie pentru controlul proceselor neliniare

multivariabile. Aceasta abordare este dezvoltata pornind de la abordarea clasica a controlului

descentralizat pentru procese multivariabile. Pentru structura analizata, sunt prezentate metode de

proiectare pentru fiecare componenta. Acestea au la baza teste experimentale, identificare clasica si

metode de alocare a polilor in bucla inchisa.

Metoda propusa este comparata cu solutii clasice utilizand proceduri de descentralizare si

decuplare statica, analizandu-se avantajale si dezavantajele acesteia.

Pentru a rezolva dezavantajele datorate cresterii complexitatii algoritmilor de control, sunt

propuse doua scheme aditionale. Acestea sunt bazate pe algoritmi multimodel.

Rezultatele experimentale prezentate sunt obtinute utilizand o implementare software in

timp real. Testele sunt facute pe un simulator software si pe o aplicatie de control in timp real.

Rezultatele demonstreaza ca, pentru clasa de procese considerate, solutia propusa ofera performante

buna in stabilitate, precum si in urmarirea referintei, la diferite variatii ale acesteia. Performantele in

exploatare sunt apropiate de cele impuse sau determinate in simulare.

In exploatare solutia cu model invers nu conduce la operatii complexe, este facil de utilizat

si ofera performante superioare comparativ cu structurile clasice.

Bibliografie

[1] I. D. Landau, R. Lozano and M. M'Saad, Adaptive Control, Springer Verlag, London, 1997.

[2] J.M. Flaus, La Regulation Industrielle, Editure Herms, Paris, 1994.

[3] A.Errahmani, H.Ouakka, M.Benyakhlef and I.Boumhidi, Decentralized Adaptive Fuzzy Control

for a class of Nonlinear Systems, WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEM and CONTROL, Issue 8,

Vol.2, August 2007, pp. 411-418

[4] J. T. Spooner, and K.M. Passino, Adaptive control of a decentralized nonlinear, IEEE.

Transaction. On Automatic Control, vol. 41, 1996, pp. 280-284.

14

[5] H. E. Psillakis and A. T. Alexandridis, A new excitation control for multimachine power

systems. I: Decentralized nonlinear adaptive control design and stability analysis, International

Journal of Control, Automation, and Systems, 2005, pp. 278-287

[6] P. Yildiz, Spatial Applications of Multimedia on Exhibition Halls by Decentralized Control and

Multivariable Systems & Related Appliance Works, Proceedings of the 9th WSEAS International

Conference on Automatic Control, Modeling & Simulation, Istanbul, Turkey, May 27-29, 2007, pp.

133-139

[7] X. Dai, D. He, T. Zhang, K. Zhang, Generalized Inversion for the Linearization and Decoupling

Control of Nonlinear Systems, IEE Proc.- Control Theory Application, 2003, 267-277

[8] N. Prljaca, Z. Gajic, Optimal Control and Filtering of Weakly Coupled Linear Discrete

Stochastic Systems by The Eigenvector Approach, WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEM and

CONTROL, Issue 9, Vol.2, September 2007, pp. 435-441

[9] I. Dumitrache, Ingineria Reglarii Automate, Politehnica Press, Bucuresti, 2005.

[10] G. Pajunen, Adaptive control of wiener type nonlinear system, Automatica, no. 28, 1992, pp.

781-785.

[11] G. Tao and P. Kokotovic, Adaptive control of systems with actuator and sensor nonlinearities,

Wiley, N.Y. 1996

[12] X. Yuan, Y. Wang, L. Wu, Adaptive Inverse Control of Excitation System with Actuator

Uncertainty, WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEM and CONTROL, Issue 8, Vol.2, August 2007,

pp. 419-428

[13] M. Foltin, J. Murgaš, I. Sekaj, A new Adaptive PID Control Approach Based on Closed-Loop

Response Recognition, Proceedings of the 7th

WSEAS International Conference on Automation &

Information, Cavtat, Croatia, June 13-15, 2006, pp. 156-160

[14] I.D. Landau, and A. Karimi, Recursive algorithm for identification in closed loop: a unified

approach and evaluation, Automatica, vol. 33, no 8, 1997, pp.1499-1523

[15] L. Ljung and T .Soderstroom, Theory and Practice of Recursive Identification, MIT Press,

Cambridge,Massashusetts, 1983.

[16] S. Sastry and M. Bodson, Adaptive control stability, convergence, and robustness, Prentice-

Hall International Inc., New Jersey, 1994.

[17] F. Lewis, Optimal Control, Wiley, 1986.

[18] K. S. Narendra and J. Balakrishnan, Adaptive Control using multiple models, IEEE

Transactions on Automatic Control, vol. 42, no. 2, Feb., 1997, pp. 171–187

[19] C. Lupu, D.Popescu, C. Petrescu, A.Ticlea, B. Irimia, C.Dimon, A.Udrea, Multiple – model

Design and Switching Solutions for Nonlinear Processes Control, EUROSIS Publication, Industrial

Simulation Conference Proceedings, Lyon, France, 2008, ISBN: 978-90-77381-4-03, pp. 71-76.

[20] C. Lupu, D. Popescu B. Ciubotaru, C. Petrescu, G. Florea 2006., Switching solution for

multiplemodel control systems, 14th Mediterranean Conf on Control Automation Proceeding,

Ancona, Italy, June 28-30, paper WLA2-2

[21] C. Lupu, P. Borne, D. Popescu,– Multimodel adaptive control systems, Control Ingineering

and Applied Informatics Journal, vol. 10, nr. 1, ISSN 1454-8658, March 2008, pp. 47-54.

[22] J. Richalet, Practique de la Commande Predictiv, Editura Herms, Paris, 1993

[23] B. A. Ogunnaike, J. P. Lemaire, M. Morari, and W. H. Ray, Advanced multivariable control of

a pilot plant distillation column, AIChE Journal, Vol. 29, 1983, .pp.225-230

[24] B. Hanus, L. Tuma, Hybrid Estimators for Multivariable Systems with Variable Parameters,

WSEAS Int. Conf. on DYNAMICAL SYSTEMS and CONTROL, Venice, Italy, November 2-4, 2005,

pp. 198-203

[25] Z. Gajic and X. Shen, Parallel Algorithms for Optimal Control of Large Scale Linear Systems,

Springer Verlag, London, 1993

[26] K. Alimhan, Global Asymptotic Output Tracking for a Class of Nonlinear Systems by Output

Feedback, WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEM and CONTROL, Issue 3, Vol.2, March 2007, pp.

267-271