ProiectProiect

Titlu: Aplicatii ale determinanatilor in Titlu: Aplicatii ale determinanatilor in geometriegeometrie

Profesor: Fetea LiutaProfesor: Fetea Liuta Disciplina: MatematicaDisciplina: Matematica Unitatea: DeterminantiUnitatea: Determinanti Scoala: Grup Scolar” Liviu Scoala: Grup Scolar” Liviu

Rebreanu”, HidaRebreanu”, Hida Clasa: a XI-a MIClasa: a XI-a MI

GRUPA 1GRUPA 1

Boldor RalucaBoldor Raluca Clitan DianaClitan Diana Fetea PaulaFetea Paula Mastan CornelMastan Cornel Morar AndreeaMorar Andreea Muresan AndreiMuresan Andrei

APLICAŢII ALE APLICAŢII ALE DETERMINANŢILOR ÎN DETERMINANŢILOR ÎN

GEOMETRIEGEOMETRIE

ECUAŢIA DREPTEIECUAŢIA DREPTEI

1.ecuatia unei drepte1.ecuatia unei drepte

2.coliniaritatea a trei puncte2.coliniaritatea a trei puncte

3. calculul ariei unui triunghi3. calculul ariei unui triunghi

Aplicatiile Aplicatiile determinantilordeterminantilor

Ecuatiile unei drepteEcuatiile unei drepte

FForma generală a ecuaţiei unei orma generală a ecuaţiei unei drepte estedrepte este::

ax+ by+ c = 0ax+ by+ c = 0

Determinarea pantei unei drepte Determinarea pantei unei drepte pornind de la ecuatia generalapornind de la ecuatia generala

m = -m = -aa / / bb

Paralelismul unor drepteParalelismul unor drepte- doua drepte d1 şi d2 sunt paralele doua drepte d1 şi d2 sunt paralele

dacă m1 = m2 .dacă m1 = m2 .

Perpendicularitatea unor dreptePerpendicularitatea unor drepte

--Două drepte d1 şi d2 sunt Două drepte d1 şi d2 sunt perpendiculare dacă m1*m2 = -1 .perpendiculare dacă m1*m2 = -1 .

Considerăm dreapta d determinată de un punct

A (x1 , y1) şi panta ei m= tg

Ecuaţia dreptei în acest caz este:

Y - y1 = m (x - x1 )

Ecuaţia dreptei determinată de punct şi pantă.

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

Ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte.

Considerăm dreapta d determinată de punctele A (x1 , y1) şi B (x2 , y2).Ecuaţia dreptei este :

Pornind de la ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte vom găsi o altă formă a ecuaţiei determinată de două puncte distincte şi anume o ecuaţie sub formă de determinant:

Fie punctele A (x1 , y1) şi B (x2 , y2) şi ecuaţia dreptei determinată de cele două puncte

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

Aducând la numitor comun obţinem o formă echivalentă a ecuaţiei: 0112121 xxyyxxyy

Această scriere sugerează utilizarea determinantului

0:1212

11

yyxx

yyxxAB

Scriere care provine din determinantul de ordin 3 , în care se scade L2 din celelalte şi se dezvoltă după C3

0

1

1

1

:

22

11 yx

yx

yx

AB

Se dau punctele B(-1,1), C(3,5)Se dau punctele B(-1,1), C(3,5)

Scrieti, ecuatia dreptei BC:Scrieti, ecuatia dreptei BC:  

x y 1x y 1

-1 1 1 = x + 3y – 5 – 3 – 5 x + y = -1 1 1 = x + 3y – 5 – 3 – 5 x + y =

3 4 5 = - 4x+4y=5 3 4 5 = - 4x+4y=5

Rezolvare: BC:4y-4x-5=0Rezolvare: BC:4y-4x-5=0

TEOREMĂ

Fie punctele A (x1 , y1) şi B (x2 , y2). Atunci ecuaţia dreptei AB sub formă de determinant este:

0

1

1

1

:

22

11 yx

yx

yx

AB

Un punct M (x ,, y) Un punct M (x ,, y) aparţine unei drepte dacă aparţine unei drepte dacă coordonatele lui verifică coordonatele lui verifică ecuaţia dreptei. ecuaţia dreptei.

Consecinţă :Consecinţă : Trei puncte Trei puncte A (xA (x1 1 ,, yy11)) , B , B (x(x2 2 ,, yy22) şi C (x) şi C (x33,, yy33)) sunt coliniare sunt coliniare dacă şi numai dacă :dacă şi numai dacă :

0

1

1

1

33

22

11

yx

yx

yx

Coliniaritatea punctelorColiniaritatea punctelor

Se dau 3 puncte: A(-2, 5); B(2, -3); C(-1, 4);. Se dau 3 puncte: A(-2, 5); B(2, -3); C(-1, 4);. Sa se determine daca sunt coliniare.Sa se determine daca sunt coliniare.Intai, trecem coordonatele lor intr-un determinant: Intai, trecem coordonatele lor intr-un determinant:

xa ya 1xa ya 1 xb yb 1 acesta trebuie sa fie =0 pt xb yb 1 acesta trebuie sa fie =0 pt xc yc 1 ca punctele sa fie coliniarexc yc 1 ca punctele sa fie coliniare-2 5 1-2 5 12 -3 1 = 0→-2+(-3)+1+2∙4∙1+5∙1∙(-1)—1)∙(-2 -3 1 = 0→-2+(-3)+1+2∙4∙1+5∙1∙(-1)—1)∙(-

3)∙1-3)∙1--1 4 1 -4∙1∙(-2)-2∙5∙1=0? -1 4 1 -4∙1∙(-2)-2∙5∙1=0?

= 6+8-5-3+8-10= 4→ 4 ≠ 0→ A,B,C-nu sunt coliniare= 6+8-5-3+8-10= 4→ 4 ≠ 0→ A,B,C-nu sunt coliniare

Aria unui triunghiAria unui triunghi

Sa se afle aria triunghiului care are Sa se afle aria triunghiului care are coordonatele varfurilor: A (6,5); coordonatele varfurilor: A (6,5); B(2,2);C(5,6).B(2,2);C(5,6).

APLICAŢIIAPLICAŢII 1. Scrieţi ecuaţia dreptei determinată de 1. Scrieţi ecuaţia dreptei determinată de

punctele A(2 ,1) şi B(-4,-2).punctele A(2 ,1) şi B(-4,-2). 2. Stabiliţi care din punctele C,D,E se află 2. Stabiliţi care din punctele C,D,E se află

pe dreapta pe dreapta AB pentru AB pentru A(1, 3) , B(-1, 9), C(1/3, 5), D(0, 5), E(0, A(1, 3) , B(-1, 9), C(1/3, 5), D(0, 5), E(0,

6).6). 3.Determinaţi m a3.Determinaţi m astfel stfel îîncatncat punctele să punctele să

fie coliniare fie coliniare

A(1-m, 2), B(m, 0), C(1, 2m).A(1-m, 2), B(m, 0), C(1, 2m).

Rezolvare exercitii de la AplicatiiRezolvare exercitii de la Aplicatii1.1.XX yy 1122 11 1 = x∙1∙1 + 2∙(-2)∙1 +y∙1∙(-4)1 = x∙1∙1 + 2∙(-2)∙1 +y∙1∙(-4)-4-4 -2-2 11 – (-4)∙1∙1 – (-2)∙1∙x – – (-4)∙1∙1 – (-2)∙1∙x –

2∙y∙1=2∙y∙1= =x-4-4y+4+2x-2y= -6y+3x=x-4-4y+4+2x-2y= -6y+3x

Ec dr. AB -6y+3x=0Ec dr. AB -6y+3x=0

Rezolvarea exercitiului 2 de la Rezolvarea exercitiului 2 de la Aplicatii:Aplicatii:

3.3. 1-m 1-m 22 11mm 00 1 = (1-m)∙0∙1+m∙2m∙1+2∙1∙1-1∙0∙1-1 = (1-m)∙0∙1+m∙2m∙1+2∙1∙1-1∙0∙1-

2m∙1∙(1-m)-2m∙1∙(1-m)-1 1 2m2m 1 1 m∙2∙1= =1-m +2+2m2 -0- 2m(1-m) m∙2∙1= =1-m +2+2m2 -0- 2m(1-m)

-2m-2m = 1-m+2+2m2 –[2m-2m2]-2m== 1-m+2+2m2 –[2m-2m2]-2m= =3+4m2 -5m=3+4m2 -5mDeterminantul, pentru ca punctele sa fie coliniare, Determinantul, pentru ca punctele sa fie coliniare,

trebuie sa fie egal cu 0 (zero)trebuie sa fie egal cu 0 (zero)Asadar, 4m2-5m+3=0. avem o ecuatie de gradul II, Asadar, 4m2-5m+3=0. avem o ecuatie de gradul II,

ale carei solutii sunt:ale carei solutii sunt: m1= (-b+Δ)/2am1= (-b+Δ)/2a m2= -b-Δ/2am2= -b-Δ/2a

Alte exempleAlte exemple

1.a)Se considera dreptele de ecuatii : d1.a)Se considera dreptele de ecuatii : d11: 2x+5y-: 2x+5y-7=0 si d7=0 si d22: 4x+10y+9=0. Sa se arate ca dreptele : 4x+10y+9=0. Sa se arate ca dreptele sunt paralele. sunt paralele. 

dd11 // d // d22 daca m daca m11 // m // m22 => =>

=> d=> d11: 5y= -2x+7 : 5y= -2x+7

dd22: 10y= -4x-9: 10y= -4x-9

b)b)Se considera dreptele de ecuatii : dSe considera dreptele de ecuatii : d11: 2x+5y-: 2x+5y-7=0 si d7=0 si d22: 4x+10y+9=0. Sa se arate ca dreptele : 4x+10y+9=0. Sa se arate ca dreptele sunt paralele.sunt paralele.

dd11 // d // d22 daca m daca m11 // m // m22

=> d=> d11: 5y= -2x+7: 5y= -2x+7

dd22: 10y= -4x-9: 10y= -4x-9

 

 2. Se dau punctele A(-8, -2) B(-10, 32) C(2, 2)a)Calculati distanta de la A la B   d(A, B)

3. În sistemul cartezian de coordonate xOy se considerã triunghiul ABC determinat de dreptele de ecuaţii: (AB): x + 2y – 4 = 0; (BC): 3x + y – 2 = 0; (AC): x – 3y – 4 = 0. Sã se calculeze perimetrul triunghiului ABC. Rezolvare:Pentru a calcula perimetrul triunghiului format de cele trei puncte trebuie mai întâi sã le aflãm coordonatele, apoi distanţele dintre ele pe care le vom aduna. Pentru aceasta vom alcãtui trei sisteme de câte douã ecuaţii.  x + 2y – 4 = 0 x + 2y = 4 x + 2y = 4 x – 3y – 4 =0 x – 3y = 4 ٠(-1) - x + 3y = -4  

5y = 0 y=0x + 2y = 4 x + 2 ٠ 0 = 4 x = 4    

A ( 4 , 0 )  

3x + y – 2 = 03x + y – 2 = 0 3x + y = 2 3x + y = 2 ٠٠ (3) 9x + 3y = (3) 9x + 3y = 66

x – 3y – 4 = 0x – 3y – 4 = 0 x – 3y = 4 x – 3y = 4 x – 3y = x – 3y = 44

  10x = 1010x = 10

x = 1x = 1  

3x + y = 2 3x + y = 2

3 + y = 23 + y = 2

y = 2 – 3 y = 2 – 3

y = -1 y = -1

  

  

C ( 1 , -1 )C ( 1 , -1 )

x + 2y – 4 = 0 x + 2y = 4 ٠(-1) -x - 2y = -4 3x + y – 2 = 0 3x + y = 2 ٠(+2) 6x +2y = 4  

5x = 0x = 0

x + 2y = 4 0 + 2y = 4 2y = 4 y = 4 / 2 y = 2    

B ( 0 , 2 )

Pentru a calcula distanţa dintre fiecare douã puncte utilizãm formula: 

d(AB)= (xb - xa)2 + (yb-ya)2  A ( 4 , 0 ); B ( 0 , 2 ); C ( 1 , -1 ) 

d(AB)= (xb - xa)2 + (yb-ya)2 = (0 - 4)2 + (2 - 0)2 = 16 +4 = 20  = 4,47d(BC)= (xc - xb)2 + (yc - yb )2 = (1 - 0)2 + (-1 - 2)2 = 1 + 9 = 10  = 3,16  

d(AC)= (xc – xa)2 + (yc – ya )2 = ( 1– 4)2 + (–1 – 0)2 = 9 + 1 = 10  = 3,16 PABC = 4,47 + 3,16 + 3,16 = 10,79