Media aritmetica

Prof. Adriana Cațaron

• Media aritmetica a doua sau a mai multe numere rationale este egala cu catul dintre suma lor si numarul lor.

ma= a1+a2+a3 …+an , a1 , a2 ,.., an ∈ Q+ U {0}n

Pentru 2 numere: ma= a1+a2

2Pentru 3 numere: ma= a1+a2+a3

3

• Media aritmetica a mai multor numere rationale este mai mica decat cel mai mare si mai mare decat cel mic dintre ele (este cuprinsa intre cel mai mic si cel mai mare dintre numerele considerate) daca cel putin doua din numerele considerate sunt diferite. Daca toate numerele rationale considerate sunt egale, media aritmetica coincide cu fiecare din ele.

1. Calculati media aritmetica a numerelor:

2. Media aritmetica a patru numere este 563,75. Sa se afle numerele stiind ca al doilea este jumatate din primul, al treilea este o treime din al doilea, iar al patrulea este o patrime din al treilea.

Rezolvare

x+y+z+t=563,75 · 4x=2yy=3z =>24t+12t+4t+t=563,75 · 4z=4t=>x=1320, y=660, z=220, t=55

3. Media aritmetica a 4 numere este 20. Media aritmetica a primelor trei este 20. Media aritmetica a ultimelor trei este 15. Aflati media aritmetica a numarului al doilea si al treilea.

Rezolvare

a+b+c+d=80a+b+c=60 =>

=>a+b+c+d+b+c=105b+c+d=45

=>ma=

4. Media aritmetica a doua numere naturale prime diferite este n, iar n este numar natural diferit de zero siAflati cele doua numere.

4

11

25

12

<<

n

Rezolvare

ma= a+b = n 2

=> n∈{3,4}

a+b=3 => a+b=6 , dar nu exista doua 2

numere naturale prime, diferite care adunate sa dea 6

a+b=4 => a+b=8 => cele doua numere sunt 3 si 5 2

5. Media aritmetica a 31 de numere consecutive este 65. Aflati numerele.

Rezolvare

X-15; X-14; … ;X-1; X; X+1; … ;X+14;X+15sunt cele 31 de numere consecutivema=65 => suma lor este egala cu 31 · 65=> numerele sunt: 50,51,52, … 79, 80

6. Aflati 2 numere stiind ca media lor aritmetica este 59,5 , iar cel mai mare divizor comun al lor este 7.

Rezolvare

(a,b)=7 => a=7x, b=7y, (x,y)=1=>7x+7y=119 => x+y=17

Solutiile sunt: (7;112); (14;105); (21;98); (28;91); (35;84); (42;77); (49;70); (56; 63)

7. Suma a 5 numere distincte este 66. Stiind ca toate sunt divizibile cu 3 si ca al treilea reprezinta 8 din media aritmetica a

9celorlalte, considerate in ordine, sa se afle numerele, stiind ca fiecare este mai mic decat 25.

Rezolvare

Numerele sunt: 3a; 3b; 3c; 3d; 3e;=> c=4

a+b+d+e=18 => 2+3+6+7=18 sau 1+2+7+8=18 sau 1+3+6+8=18 sau 2+3+5+8=18

• Numerele sunt: 6, 9, 12, 18, 21 sau 3, 6, 12, 21, 24 sau 3, 9, 12, 18, 24 sau

6, 9, 12, 15, 24

8. Media aritmetica a 50 de numere este 38. Daca doua numere dintre acestea, anume 45 si 55 sunt inlaturate, atunci media aritmetica a numerelor ramase este 38,5 sau 37 sau 36,5 sau 36? Care este rezultatul corect?

Rezolvare

Suma numerelor este 50x38=1900. 1900-(45+55)=18001800:48=37,5.

9. Fie a si b doua numere naturale mai mici sau egale cu 10 astfel incat 3<a<b. Stiind ca unul dintre numerele 3, a, b este media aritmetica a celorlalte doua, aflati numerele a si b.

Rezolvare

3<a<b => a este media aritmetica a numerelor 3 si b.=> b impar.

(a,b) pot fi (4,5);(5,7);(6,9).

Nb

∈+

2

3

10. In varfurile unui triunghi sunt inscrise numere astfel incat fiecare numar este media aritmetica a celorlalte doua. Aratati ca numerele sunt egale.

Rezolvare

2a=b+c2b=a+c2c=a+bInlocuim in relatia a treia. Rezulta 4c=3b+c => b=c.Analog rezulta ca a=c, deci a=b=c.

2

cba

+=

11. Fie cinci numere reale distincte astfel incat daca unul si numai unul din ele se mareste de 11 ori, media lor aritmetica se mareste de 3 ori. Demonstrati ca media aritmetica a celorlalte 4 numere este egala cu media aritmetica a numerelor date.

Rezolvare

a+b+c+d+e=5m => b+c+d+e=5m-a =>11a+b+c+d+e=15m => b+c+d+e=15m-11a=>5m-a=15m-11a => 10a=10m => a=m=>b+c+d+e=4m => b+c+d+e =m

4

Media aritmetica ponderata

Avand n numere a1 , a2 ,.., an, daca printre ele p1 sunt egale cu a1, p2 sunt egale cu a2, …, pk sunt egale cu ak astfel incat p1+p2+…+pk=n, atunci media aritmetica se scrie:

si se mai numeste media aritmetica ponderata a numerelor a1 , a2 ,.., ak cu ponderile p1 , p2 ,.., pk

k

kka

ppp

apapapM

+++

+++=

...

...

21

2211

13. a) Se amesteca 20kg bomboane de 20 lei/kg cu 5kg bomboane de 24 lei/kg si cu 15 kg bomboane de 16 lei/kg. Cat costa un kg de amestec?

b) Ce pret are un anumit sortiment de bomboane cand 1 kg de amestec format din 5kg din acest sortiment si 10 kg de 20 lei/kg costa 18 lei?

c) Cu cate kg de bomboane de 18 lei/kg trebuie sa amestecam 10 kg bomboane de 25 lei/kg pentru ca amestecul sa coste 20 lei/kg?

Solutie

a)

b)

c)

1940

760

15520

16152452020==

++

⋅+⋅+⋅

1470518510

52010=⇒=⇒=

+

⋅+⋅xx

x

255022010

182510=⇒=⇒=

+

⋅+⋅xx

x

x

Comentariu

In acelasi mod se pot rezolva multe probleme de amestec si aliaj. De exemplu: S-au amestecat doua solutii de apa si sare: prima cu concentratia procentuala 38%, a doua cu concentratia procentuala 78%. Amestecul obtinut are concentratia 60%. Daca masa amestecului ese 1700 g, ce cantitate din fiecare solutie a fost folosita?

Solutie

m1+m2=1700

Deci 20m1=1700x9 g => m1=765g, m2=935g.

cmm

cmcm=

+

⋅+⋅

21

2211

601700

78)11700(381=

⋅−+⋅ mm

Tema1. Suma a trei numere naturale diferite este 54.

Stiind ca unul dintre ele este media aritmetica a celorlalte doua si ca fiecare numar este divizibil cu 6, sa se afle cele trei numere.

2. Într-o clasă sunt 6 băieți și 18 fete. La un test, media notelor băieților a fost 8, iar media notelor fetelor a fost 8,(3). Notele primite de elevi au fost numere naturale nenule mai mici sau egale cu 10.

a) Calculați media notelor tuturor elevilor din clasă;b) Arătați că cel puțin doi băieți au primit la test

aceeași notă.

Tema (II)3. Sa se calculeze media aritmetica a numerelor

a, b si c stiind ca media aritmetica a numerelor a si b este cu 13 mai mare decat media aritmetica a numerelor a si c, media aritmetica a numerelor a si c este de 3 ori mai mica decat media aritmetica a numerelor b si c iar media aritmetica a numerelor b si c este cu 1 mai mare decat media aritmetica a numerelor a si b.

Tema (III)

4. Un producator de concentrate de sucuri livreaza pentru sucurile de portocale doua tipuri de concentrate:- concentrat de 98% cu pretul de 10$ litrul- concentrat de 70% cu pretul de 6$ litrul.

Calculati ce suma trebuie sa va returneze producatorul daca v-a livrat 500 de litri de concentrat cu pretul de 10$ litrul, insa cu concentratia de 92% in loc de 98% asa cum era prevazut in contract.