Probleme statistică

1. Numărul produselor defecte care au fost sesizate de către un fabricant pe parcursul a 16 zile diferite este: 11, 14, 18, 14, 21, 17, 13, 21, 25, 19, 17, 13, 28, 13,17, 18. Calculaţi media, mediana, modul şi procentila 90 pentru aceste date.

2. Un studiu cu privire la obiceiurile tinerilor în materie de vizionare TV a condus la următoarele date referitoare la numărul de ore petrecute la televizor în decurs de o săptămână: 14, 9, 12, 4, 20, 26, 17, 15, 18, 15, 10, 6, 16, 15, 8, 5.

a) Calculaţi media, mediana şi modul

b) Calculaţi procentila de ordin 10 şi pe cea de ordin 80.

3. Calculaţi rangul, dispersia şi abaterea standard şi coeficientul de variaţie pentru următoarele date care indică numărul de ore lucrate de membrii unei echipe de proiect pentru finalizarea în termen a acestuia: 15, 21, 18, 16, 18, 21, 19, 15, 14, 18, 17, 20, 18, 15, 16.

5. Considerăm următoarea distribuţie de frecvenţă care arată costurile pentru reparaţii minore pe care le plăteşte o firmă de asigurări pentru poliţele pe care le administrează:

Costuri pentru reparaţii (lei)

Frecvenţa

Între 0 şi 100 10Între 100 şi 200 28Între 200 şi 300 60Între 300 şi 400 70Între 400 şi 500 52Total 220

Calculaţi media, mediana, modul, dispersia, abaterea standard coeficientul de variaţie pentru aceste date grupate.

6. O urnă conţine 3 bile roşii, 2 verzi şi 4 galbene. Se fac extrageri succesive. Dacă este extrasă o bilă roşie sau galbenă se va pune la loc, altfel nu. Găsiţi probabilitatea ca a doua bilă extrasă să fie galbenă.

7. La examenul de bacalaureat, 25% dintre elevii unui liceu au luat 10 la matematică, 15% dintre elevi au luat 10 la fizică şi 10% dintre elevi au luat 10 atât la matematică cât şi la fizică. Dacă alegem un elev la întâmplare care este probabilitatea ca acesta să:

a) aibă 10 la matematică dacă la fizică are deja;

b) aibă 10 la fizică dacă la matematică are deja;

c) aibă 10 măcar la una din cele două discipline.

8. O persoană extrage o carte dintr-un pachet de 52 de cărţi, o pune la loc şi amestecă apoi cărţile. Acesta va repeta experimentul până va extrage o treflă. Care este probabilitatea să extragă o treflă:

a) după cel puţin 3 încercări;

b) după exact 3 încercări.

9. O urnă conţine 3 bile albe şi 2 bile negre iar a doua urnă conţine 5 bile albe şi 3 bile negre. Se alege la întâmplare o urnă din care se extrage o bilă. Care este probabilitatea ca bila să fie albă?

10. Se consideră trei urne a căror structură este următoarea: prima urnă conţine 3 bile albe şi 7 bile negre; a doua urnă conţine 4 bile albe şi 6 bile negre; a treia urnă conţine 5 bile albe şi 5 bile negre. Se extrage o bilă la întâmplare, bilă ce se dovedeşte a avea culoarea albă. Care este probabilitatea ca aceasta să fie din prima urnă? Dar din a doua urnă? Dar din a treia urnă?

11. La un test grilă întrebările au 4 răspunsuri posibile din care unul sau mai multe sunt corecte. Candidatul va primi punctaj pentru grilă numai dacă bifează toate răspunsurile corecte ale grilei. Acolo unde nu ştie cu exactitate răspunsul corect, acesta decide să pună răspunsul la întâmplare. Dacă i s-ar permite trei încercări pentru o grilă, care este probabilitatea să răspundă corect?

12. Presupunem că avem 2 platouri cu prăjituri. Pe primul platou sunt 10 fursecuri cu fulgi de ciocolată şi 30 fursecuri cu fructe, pe al doilea platou sunt câte 20 de fursecuri din fiecare fel. Prietenul nostru Fred a ales la întâmplare o prăjitură de pe unul din cele două platouri. Prăjitura s-a dovedit a fi cu fructe. Care este probabilitatea ca aceasta să fie de pe primul platou?

13. Bomboanele albastre M&M au apărut pe piaţă în anul 1995. Înainte de acest moment fiecare punguţă conţinea 30% maro, 20% galbene, 20% roşii, 10% verzi, 10% portocalii şi 10% cafenii. După acest moment în fiecare punguţă erau 20% albastre, 20% verzi, 16% portocalii, 14% galbene, 13% roşii şi 17% maro. Un prieten al meu are două punguţe de M&M, una din 1994 şi alta din 1996. Acesta îmi dă câte o bombonică din fiecare punguţă. Una se dovedeşte a fi galbenă şi alta verde. Care este probabilitatea ca bomboana galbenă să fie din punga din anul 1994?

14. La locul unei crime s-au descoperit urme de sânge de la două persoane diferite. Un suspect, Oliver, are grupa 0 de sânge. Săngele găsit este din grupa 0 (o grupă de sânge extrem de frecventă în rândul populaţiei locale, 60% dintre aceştia având această grupă) şi grupa AB (o grupă rară de sânge a cărui frecvenţă este de 1%). Folosind datele prezentate anterior, consideraţi că într-adevăr Oliver a fost unul din cei doi oameni al căror sânge s-a găsit la locul crimei?

15. Conform unui studiu sunt de 23 ori mai multe şanse ca bărbaţii care fumează să facă cancer la plămâni decât cei nefumători şi de 13 ori mai multe şanse ca femeile ce fumează să facă cancer la plămâni decât cele ce nu fumează. Dacă o femeie a fost diagnosticată cu cancer pulmonar, care este probabilitatea să fie fumătoare?

16. Presupunem că participaţi la un show TV şi trebuie să alegeţi între cadourile aflate în spatele a 3 uşi: în spatele unei dintre uşi este o maşină iar în spatele celorlalte două este câte o capră. Tu alegi una din uşi, să spunem A şi gazda, care ştie ce se află în spatele uşii alese de tine deschide una din celelalte două uşi, să zicem uşa B în spatele căreia se dovedeşte a fi o capră. Apoi te întreabă dacă vrei să schimbi alegerea făcută. Consideraţi că este în avantajul dumneavoastră să vă schimbaţi opţiunea?

17. O companie de transport asigură 40% dintre maşini la firma de asigurare A şi 60% dintre maşini la firma de asigurare B. Dintre acestea, 6% asigurate la prima companie şi 5% asigurate la a doua necesită despăgubiri.

a) Care este probabilitatea ca o maşină a firmei să necesite despăgubiri?

b) Care este probabilitatea ca maşina avariată să fie asigurată la firma A?

18. O persoană din 2000 suferă de cancer. Dacă o persoană suferă de cancer, sunt 90% şanse ca testul să fie pozitiv. Dacă o persoană nu suferă de cancer, sunt 1% şanse ca testul să fie pozitiv. Care este probabilitatea ca o persoană care a fost testată pozitiv să aibă cancer. 0,43

19. Un cerc este împărţit în 4 părţi egale colorate în roşu, galbe, verde şi albastru. Scrieţi spaţiul de selecţie precum şi probabilitatea cu care apare fiecare culoare.

20. Se alege la întâmplare o carte dintr-un pachet de 52 de cărţi. Care este probabilitatea ca aceasta să nu fie As.

21. Un bol de sticlă conţine 20 de bile roşii. Dacă se alege la întâmplare o bilă din urnă, care este probabilitatea ca aceasta să nu fie roşie?

22. Se aruncă un zar. Care este probabilitatea să apară faţa cu 2 sau 5 puncte?

23. Un bol de sticlă conţine 1 bilă roşie, 3 bile verzi, 2 bile albastre şi 4 bile galbene. Se alege o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea să fie de culoare galbenă sau verde?

24. Într-o clasă sunt 17 băieţi şi 13 fete. Dintre aceştia, 4 băieţi şi 5 fete au luat 10 la testul de matematică. Dacă se alege la întâmplare un elev, care este probabilitatea să fie fată sau să aibă nota 10?

25. Într-un sertar sunt câte o pereche de şosete din culorile: roşu, albastru, maro, alb şi negru. Fiecare pereche este legată şi aşezată în acel sertar. Se alege o pereche de şosete la întâmplare. Aceasta se pune la loc în sertar şi apoi se alege alta. Care este probabilitatea să alegem perechea roşie de fiecare dată?

26. Se aruncă cu o monedă şi cu un zar. Care este probabilitatea să obţinem „cap” şi faţa cu 3 puncte?

27. Conform unun studiu efectuat în rândul elevilor, 9 din 10 elevi au spus că le place pizza. Care este probabilitatea ca 3 elevi aleşi la întâmplare să spună că le place pizza?

28. Dintr-un pachet de 52 de cărţi se aleg 2 fără a fi puse la loc. Care este probabilitatea ca prima carte să fie Damă şi a doua să fie Popă?

29. Profesorul de matematică al unei clase în care sunt 18 fete şi 12 băieţi scoate pe rând 2 elevi la tablă. Dacă primul elev este fată, care este probabilitatea ca al doilea să fie tot fată?

30. Elevii unei clase dau 2 teste. 25% dintre aceştia iau notă de trecere la ambele teste iar 42% iau notă de trecere doar la primul test. Ce procent din cei ce au trecut primul test îl vor trece şi pe al doilea?

31. Dintre toate persoanele prezente la un concert rock 85% sunt adolescenţi. Dintre toţi cei prezenţi, 65% sunt fete iar dintre toţi adolescenţii 70% sunt fete. O persoană aleasă la întâmplare se va întâlni cu starurile rock la sfârşitul concertului. Care este probabilitatea ca persoana să fie:

a) Băiatb) O adolescentăc) Băiat care nu este adolescent

32. A fost efectuat un studiu pentru a se vedea unde îşi vor petrece concediul familiile dintr-un oraş. Rezultatele studiului sunt rezumate în tabelul de mai jos:

În străinătate TotalDa Nu

În ţară Da 18 30 50Nu 180 72 250

Total 200 100 300

a) Construiţi tabelul probabilităţilor juxtapuse pornind de la datele prezentate anterior.

b) Folosind probabilităţile marginale, comentaţi asupra celor ce aleg să-şi petreacă concediul în ţară.

c) Folosind probabilităţile marginale, comentaţi asupra celor ce aleg să-şi petreacă concediul în străinătate.

d) Care este probabilitatea ca o persoană să petreacă concediul atât în ţară cât şi în străinătate ?

e) Dacă o persoană îşi petrece o parte a concediului în ţară, care este probabilitatea să petreacă restul în străinătate ?

f) Dacă o persoană îşi petrece o parte a concediului în străinătate, care este probabilitatea să petreacă restul în ţară ?

g) Sunt cele două evenimente independente ? Justificaţi.

33. Doi băieţi aruncă alternativ la coş, rezultatele obţinute de cei doi fiind independente. Primul înscrie cu o probabilitate egală cu 0,6 iar al doilea cu 0,4. Care este probabilitatea ca măcar unul să dea coş la prima aruncare ?

34. În luna decembrie anul trecut 34% dintre cei ce s-au vaccinat impotriva gripei aveau vârsta sub 18 ani şi 66% aveau vârsta păeste 18 ani. Dintre cei ce aveau sub 18 ani, 3% au avut o formă uşoară de gripă şi dintre cei ce aveau peste 18 ani, 5% au răcit. Care este probabilitatea ca o persoană ce a venit la doctor cu simptome de gripă, ştiind că a făcut vaccinul antigripal să aibă sub 18 ani ?

35. Un stidiu de piaţă a studiat relaţia dintre fumători şi bolile de inimă pe un eşantion de 1000 de barbaţi cu vârsta perte 50 de ani. S-au obţinut următoarele date:

Fumător Nefumător TotalSuferă de o boală de inimăNu suferă de o boală de inimă

100 80200 620

180 820

Total 300 700 1000

a) Construiţi tabelul probabilitaţilor juxtapuse pentru aceste date.b) Care este probabilitatea ca un barbat cu vârsta de peste 50 de ani să fie

fumător şi să aiba o boală de inimă.c) Calculaţi şi interpretaţi probabilităţile marginale.d) Dacă un bărbat cu vârsta de peste 50 de ani este fumător, care este

probabilitatea să aibă o boală de inimă.e) Dacă un bărbat cu vârsta de peste 50 de ani este nefumător, care este

probabilitatea să aibă o boală de inimă.f) Sunt bolile de inimă şi fumatul două evenimente independente? folosiţi

valorile de probabilitate pentru a justifica.

36. Un profesor cu o vastă experienţă a estimat că, pentru seminarul de vineri, numărul de studenţi poate fi privit ca o variabilă aleatoare X cu următoarea distribuţie de probabilitate:

x f(x)1 0,012 0,123 0,214 0,305 0,186 0,107 0,08

a) Reprezentaţi grafic funcţia repartiţiei de probabilitate.b) Calculaţi probabilitatea ca, într-o zi de vineri, doi, trei sau patru studenţi

să fie absenţi.c) Calculaţi probabilitatea ca, într-o zi de vineri, la seminar să fie mai mult

de trei absenţi.d) Calculaţi valoarea anticipată a variabilei aleatorii X.e) Calculaţi dispersia şi abaterea standard a variabilei aletorii X.f) Calculaţi funcţia de repartiţie.

37. Fie A evenimentul ca o persoană să aibă piciorul în ghips şi B evenimentul ca o persoană să participe la un concurs de dans. Presupunem că avem următoarele valori de probabilitate: P(A) = 0,25 şi P(B) = 0,65.

a) Sunt cele două evenimente mutual disjuncte ?b) Care este probabilitatea ca o persoană fie să aibă piciorul în ghips, fie să

participe la un concurs de dans ?

c) Care este probabilitatea ca atunci când o persoană nu are piciorul în ghips să facă altceva decât să participe la concursul de dans ?

d) Sunt cele două evenimente independente ?

38. O companie a cules următoarele date cu privire la profitul înregistrat în primele 6 luni de activitate:

x (mii dolari) f(x)-100 0 50 100 150 200

?0.200.300.250.100.10

a) Care este probabilitatea unei pierderi de 100 000$? b) Conform datelor din tabel, spuneţi care este probabilitatea ca firma să

înregistreze profit?c) Care este probabilitatea unui profit de cel puţin 100 000$?d) Construiţi funcţia de repartiţie F(x).

39. Cererea pentru un produs este normal distribuită de medie 400 şi abatere medie pătratică 100.

a) Care este probabilitatea să fie cerute exact 400 de produse ?b) Care este probabilitatea să fie cerute între 350 şi 450 de produse ?c) Care este probabilitatea să se ceară între 450 şi 480 produse ?d) Care este probabilitatea să se ceară între 350 şi 370 de produse ?

40. Timpul in care un avion parcurge drumul Bucuresti – Roma este uniform distribuit intre 130 si 145 minute.

a) Scrieti expresia matematica a functiei densitati de probabilitate.b) Calculati probabilitatea ca avionul sa ajunga la destinatie in 135 de

minute sau mai putin.c) Care este probabilitatea ca avionul sa ajunga in cel putin 142 de minute?d) Determinati valoarea medie a timpului probabil de parcurgere al

drumului si abaterea standard.

41. De regula o companie de asigurari incheie 5 de contracte noi in fiecare zi. Care este probabilitatea ca in urmatoarele 3 zile sa incheie 12 contracte? Dar 18 in urmatoarele 4 zile? Care este probabilitatea ca maine sa incheie cel mult 3 contracte?

42. . Un lot de piese este supus controlului de calitate. Se ştie că în lotul respectiv o piesă este defectă cu o probabilitate egală cu 0,01. Un inspector de calitate extrage 5 piese la întâmplare, punând de fiecare data piesa înapoi în lot. Care este probabilitatea ca toate cele 5 piese extrase să fie corespunzătoare calitativ?

43. Presupunem ca aruncam o moneda de 8 ori. Care este probabilitatea de a obtine aceiasi fata de 6 ori?