probleme de statistică pentru biologi, cu soluții, matematică În biologie, 2013 - 2014

8/18/2019 Probleme de Statistică Pentru Biologi, Cu Soluții, Matematică În Biologie, 2013 - 2014

http://slidepdf.com/reader/full/probleme-de-statistica-pentru-biologi-cu-soluii-matematica-in-biologie 1/9

Probleme de statistica

2008-2009

Solutii

1) S¼a se proiecteze un sondaj pentru o populatie cu volumul N = 1 000 000:Se cunosc: volumul esantionului n = 10 000; num¼arul r¼aspunsurilor favorabile= 6 000; iar eroarea s¼a …e sub 3 %:

Solutie. Fie k o variabila aleatoare care ia valoarea 1 daca "individul"cu numarul k din populatia avuta in vedere "raspunde" cu "DA" si valoarea 0in caz contrar (1 k N ). Daca p 2 (0;1) este probabilitatea obtinerii unui"raspuns" a…rmativ atunci repartitia v.a. k este urmatoarea:

k :

0 1q p

; q = 1 p;

adica o repartitie de tip Bernoulli. Evident variabilele aleatoare de mai sus suntindependente si la fel repartizate, cu media M ( k) = 0 q + 1 p = p si dispersiaD( k) = M ( 2k) [M ( k)]2 = p p2 = pq:

Conform teoremei limita centrala v.a.

sN N pp N pq

;

pentru N >> 1; este repartizata normal standard si, pentru 2 (0; 1); exista sieste unic z > 0 astfel incat

P (

z

sN N p

p N pq z) = 2(z)

1 = 1

;

unde sN = 1 + ::: + N reprezinta numarul de "raspunsuri" a…rmative la intre-barea din sondaj. Prin urmare

sN 2 [N p zp

Npq;Np + zp

N pq ];

cu o eroare sub 100%; deci cu un coe…cient de incredere egal cu 1 : Incazul = 0; 03 obtinem (z) = 1

2 = 1 0; 015 = 0; 985 si din tabelul cu

valorile lui gasim ca z0;03 = 2; 17 (pentru = 0; 01 se obtine z0;01 = 2; 58):Din esantionul de 10 000 de "votanti" chestionati se obtine p = 6 000

10 000 = 0; 6:Asadar

s1 000 000 2 [600 000 2; 17 103 r 610

410

; 600 000 + 2; 17 103 r 610

410

];

adica

s1 000 000 2 [600 000 2; 17 102 2p

6; 600 000 + 2; 17 102 2p

6];

1



cu o eroare sub 3%:Mai sus am notat cu (z) := 1p

2

R z1 et

2=2 dt; z 2R; functia de repartirie

a unei v.a. repartizate normal standard. Reamintim ca:i) lim

z!1(z) = 0; lim

z!+1(z) = 1;

ii) (z) + (z) = 1; 8z 2R;iii) strict crescatoare,iv) (R) = (0; 1):2) Se d¼a un set de date de volum n = 2r; r 3; x1; x2;:::;xn: S¼a se realizeze o

prelucrare statistic¼a elementar¼a (descriptiv¼a) a setului respectiv de date (volum,ordonare cresc¼atoare, eliminarea datelor afectate de erori grosolane, interval devariatie, indicatori de pozitie, indicatori de variatie, imp¼artire in intervale delungimi egale, determinarea frecventelor absolute si relative asociate, interval

modal,functie empiric¼a de repartitie, histograma, comentarii). Caz concret:14; 16; 12; 11; 13; 12; 15; 12:

Solutie. Se va proceda absolut analog ca in cazurile tratate la Seminar !Observatie. Aceasta problema (nr.2) este obligatorie !!!!! Se consider¼a o selectie x1; x2;:::;xn; de volum n 2; din repartitia de

valori a unei variabile aleatoare X cu media m si dispersia 2( > 0): Not¼am:

x := 1

n(x1 + ::: + xn) si s2 :=

1

n 1

nXi=1

(xi x)2:

Reamintim ca selectia fx1; x2;:::;xng poate … interpretata ca …ind o re-alizare a vectorului aleator (X 1;:::;X n) in care X k reprezinta caracteristica(variabila aleatoare) X; avuta in vedere in studiul statistic pe care il efectuam,

in experimentul cu numarul k; 1 k n: Asadar vom admite, pentru a nucomplica scrierea, ca x1; x2;:::;xn sunt variabile aleatoare independente si lafel repartizate (ca si caracteristica initiala X ). Prin urmare M (xk) = m siD(xk) = 2; 81 k n:

Ar¼atati c¼a:3) M (x) = m ;Solutie.

M (x) = 1

n

nXi=1

M (xi) = 1

n

nXi=1

m = 1

n n m = m:

4) M (s2) = 2;Solutie. Utilizam urmatoarele fapte:a) M (x2

i ) := D(xi) + [M (xi)]2 = 2 + m2;b)Pn

i=1 xi = nx;c) M (x) = m ; D(x) = 2=n ;d) M (x2) = D(x) + [M (x)]2 = 2=n + m2

2



e) Pn

i=1(xi x)2 =Pn

i=1 x2i 2x

Pni=1 xi + nx2 =

Pni=1 x2

i nx2:Deci

(n 1)M (s2) = M [nXi=1

(xi x)2] =nXi=1

M (x2i ) nM (x2) =

=nXi=1

(2 + m2) n(2=n + m2) = n2 + nm2 2 nm2 = (n 1)2:

Simpli…cand cu (n 1) (,in ipoteza naturala n 2; ) obtinem rezultatul dorit.5) x 2 N (m; p

n); pentru n >> 1;

Solutie.Utilizam urmatoarea:Observatie . Fie o variabila aleatoare repartizata normal standard. Atunci

pentru orice m 2 R si orice > 0 avem + m 2 N (m; ) (demonstratia seface prin veri…care directa).

Deoarece x1;:::;xn sunt (considerate ca) variabile aleatoare independente sila fel repartizate, cu media m si dispersia 2; aplicand teorema limita centralarezulta ca, pentru n >> 1; variabila aleatoare (notata,ulterior, cu )

x m

=p

n

este repartizata normal standard. De aici, deoarece

x = (=p

n) + m;

se obtine imediat a…rmatia din enunt.Pentru completitudine vom arata si ca + m 2 N (m; ); daca 2 N (0; 1);

iar > 0; m

2R:

Demonstratia se face prin veri…care directa !Vom avea:

P ( + m x) = P ( x m) = P ( (x m)=) =

2N (0;1)=

1p 2

(xm)=Z 1

et2=2dt

t:=(sm)==

dt=1ds

1

p

2

xZ 1

e(sm)

22

2

ds; x 2 R:

6) P (A x B) = (Bm=p n

) ( Am=p n

); pentru n >> 1;

Solutie. Tinand cont de rezultatul din problema precedenta vom avea:

P (A x B) = P (A m x m B m) =

= P ( A m=

p n x m

=p

n B m

=p

n ) = ( B m

=p

n ) ( A m

=p

n );

deoarece xm=p n 2 N (0; 1); daca n >> 1:

7) m 2 [x zp n

; x + zp n

]; cu o eroare sub 100 %; unde z este unica

solutie pozitiv¼a a ecuatiei (z) = 1 2 ;caz concret = 0; 03 (=) z = 2; 17).

3



Reamintim c¼a:

(z) := 1p 2

zZ 1

et2=2dt; z 2R :

Solutie. A…rmatia din enunt este echivalenta cu:

P (m 2 [x zp

n; x + z

p n

]) = 1

si deci cu

P (z x m

=p

n z) = 1 :

Dar, pentru n >> 1; xm=p n

este repartizata normal standard si deci

P (z x m

=p

n z) = (z) (z) = 2(z) 1:

Ramane sa alegem z ca unica solutie (strict pozitiva) a ecuatiei:

2(z) 1 = 1 ;

care, la randul sau, se mai scrie sub forma:

(z) = 1 =2:

Deoarece este strict crescatoare (0(x) = (1=p

2) ex2=2 > 0; 8x 2 R);

(0) = 1=2 si (z) = 1 =2 > 1=2 = (0) rezulta z > 0: Existenta lui zse obtine din egalitatea (R) = (0; 1) si din faptul ca 1 =2 2 (0; 1); daca 2 (0; 1):

Pentru urmatoarele trei probleme vom prezenta, mai intai, cateva fapte cu

caracter teoretic.Fie X o variabil¼a aleatoare, numit¼a si caracteristic¼a (a procesului studiat),

asociata unei experiente cu rezultate aleatoare. Notam cu F functia (teoretic¼a)de repartitie corespunzatoare acestei variabile. Deci

F (x) := P (X < x); x 2R

:

Intrucat limx!1

F (x) = 0; limx!1

F (x) = 1 convenim ca F (1) = 0 si F (+1) = 1:

Se vede imediat ca daca se cunoaste F atunci se determina imediat

P (a X < b) = F (b) F (a); 8a; b 2 R = R [f1; +1g; cu a < b:

4



Deoarece P (X

b) = lim

x&b

F (x) = F (b + 0) se pot calcula si probabilitatile:

a) P (a X < b) = P (X < b) P (X < a) = F (b) F (a);b) P (a < X < b) = P (X < b) P (X a) = F (b) F (a + 0);c) P (a X b) = P (X b) P (X < a) = F (b + 0) F (a);d) P (X = a) = P (X a) P (X < a) = F (a + 0) F (a):

In anumite cazuri concrete, dupa efectuarea unei analize statistice prelim-inare a setului de date din esantionul reprezentativ selectionat aleator, ni se "sug-ereaza" tipul repartitiei asociate variabilei aleatoare a‡ate in studiu. Intr-uneledintre cele mai importante cazuri intalnite in aplicatii aceste repartitii depindde unul sau mai multi parametri de a caror determinare depinde cunoasterea(completa a) respectivei repartitii.

Exemple importante.

a) Repartitie de tip Bernoulli :

:

0 11 p p

;

parametrul …ind numarul real p 2 (0; 1):b) Repartitie de tip binomial:

:

0 1 :::: k :::

q n C 1n p1q n1 :::: C kn pkq nk :::n

pn

;

cu parametrii n2N si p

2(0; 1) (am notat q = 1

p):

c) Repartitie de tip Poisson:

:

0 1 :::: n ::: p0 p1 :::: pn :::

;

unde pn = n

n! e; iar n 2 N

( > 0 …ind parametrul repartitiei, numar real…xat).

d) Repartitie normala cu densitatea de probabilitate:

pm;(t) = 1

p

2e

(tm)2

22 ; t 2 R;

avand parametrii m 2 R si > 0:In general se alege o multime (nevida) R

k si se selecteaza parametrii = (1; 2;:::;k) 2 ; iar functia de repartitie va avea o reprezentare de forma:

F (x; ) = F (x; 1;:::;k):

5



Functia de repartitie a vectorului aleator (X 1;:::;X n) va …:

F (x1;:::;xn; ) = F (x1; ) ::: F (xn; ):

Cum se face estimarea parametrilor ? O posibilitate este data de

Metoda verosimilitatii maxime.

Cazul discret. Presupunem c¼a X (variabil¼a aleatoare discret¼a) ia o valoarex cu o probabilitate depinzând de parametrul

P (X = x ; ):

Se numeste functie de verosimilitate bazat¼a pe o selectie de volum nfunctia :

L(x1;:::;xn; ) := P (X = x1; )

:::

P (X = xn; ):

Cazul continual. Daca X este o variabil¼a aleatoare continual¼a si f (x; )este densitatea de probabilitate asociat¼a se de…neste o functie de verosimili-tate bazat¼a pe o selectie de volum n functia :

L(x1;:::;xn; ) := f (x1; ) ::: f (xn; ):

De…nitie. Se numeste estimatie de verosimilitate maxima (pe scurt E.V.M.)

acea estimatie a parametrilor, notat¼a cu = n = n(x1;:::;xn);care realizeazamaximul functiei de verosimilitate:

L(x1;:::;xn; ) = max2

L(x1;:::;xn; );

pentru orice selectie (x1;:::;xn):Observatie.a) L(x1;:::;xn; ) (ca functie in variabila ) admite un maxim dac¼a (si numai

dac¼a) functia

V (x1;:::;xn; 1;:::;k) := ln L(x1;:::;xn; 1;:::;k)

admite un maxim.a) Dac¼a admitem c¼a exist¼a o E.V.M. atunci ea este solutie a sistemului:

@

@jV (x1;:::;xn; 1;:::;k) = 0; 1 j k;

cu k ecuatii si k necunoscute.8) Determinati o estimatie de verosimilitate maxim¼a pentru parametrul p

dintr-o repartitie Bernoulli.

6



Solutie. Dac¼a X :

0 11

p p

atunci:

P (X = x; p) = px(1 p)1x; x 2 f0; 1g; p 2 (0; 1):

Prin urmareL(x1;:::;xn; p) = psn(1 p)nsn ;

unde sn = x1 + ::: + xn:Deci

V (x1;:::;xn; p) = sn ln p + (n sn)ln(1 p):

Derivând functia V , in raport cu p; rezult¼a:

sn p

n

sn1 p = 0;

adic¼asn sn p pn + psn = 0;

de unde^ p =

snn

= x:

Deoarece@ 2

@p2V (x1;:::;xn; ^ p) = sn

^ p2 n sn

(1 ^ p)2 < 0

rezult¼a c¼a ^ p realizeaz¼a o E.V.M.9) Determinati o estimatie de verosimilitate maxim¼a pentru parametrul

dintr-o repartitie Poisson.Solutie.Dac¼a

X :

0 1 :::: n ::: p0 p1 :::: pn :::

;

unde pn = n

n! e; > 0 …ind parametrul repartitiei Poisson, functia de

verosimilitate va …:

L(x1;:::;xn; ) = en x1

(x1)! ::: xn

(xn)!; x1;:::;xn 2N:

Prin urmare

V (x1;:::;xn; ) := ln L(x1;:::;xn; ) = n + (x1 + ::: + xn) ln + C (x1;:::;xn);

unde C (x1;:::;xn) este o constant¼a (in raport cu );dar care depinde de x1;:::;xn.

7



Derivând (functia V ) in raport cu rezult¼a:

n + 1

(x1 + ::: + xn) = 0;

de unde

= x1 + ::: + xn

n = x:

Deoarece@ 2

@2 ln L(x1;:::;xn; ) = 1

2 (x1 + ::: + xn) < 0

rezulta ca realizeaza o E.V.M.10) Determinati o estimatie de verosimilitate maxim¼a pentru parametrii m

si dintr-o repartitie normal¼a.Solutie.In acest caz

L(x1;:::;xn; m; ) = Cne 122

Pn

i=1(xim)2

si deci

V (x1;:::;xn; m; ) = C 1 n ln 1

22

nXi=1

(xi m)2:

Din sistemul @ @mV (x1;:::;xn; m; ) = 1

2

Pni=1(xi m) = 0;

@ @ V (x1;:::;xn; m; ) = n

+ 13 P

ni=1(xi m)2 = 0;

rezult¼a: m = x1+:::+xn

n = x;

2 = 1n

Pni=1(xi x)2 = S 2;

unde S 2 = 1n

Pni=1(xi x)2 este dispersia de selectie.

Apoi@ 2

@m2V (x1;:::;xn; m; ) = n

2 ;

@ 2

@m@V (x1;:::;xn; m; ) =

@ 2

@@mV (x1;:::;xn; m; ) = C ()

nXi=1

(xi x) = 0;

@ 2

@ 2 V (x1;:::;xn; m; ) = n

2 3

4

nXi=1

(xi x)2

= n

2 3

4 n2

= 2n

2 :

Prin urmare matricea hessian¼a n2

00 2n

2

8



are ambele valori proprii 1 =

n2

; 2 =

2n2

strict negative si deci perechea

(m; 2) realizeaz¼a o E.V.M.

9

probleme de statistică pentru biologi, cu soluții, matematică În biologie, 2013 - 2014

Documents