Prezentare Realizata De Catre

MoSuLeT AdRiAn

Enjoy !!

Functiile trigonometrice simple

1.Functia arcsin Functia f(x) = sinx; f : (Fig 1.) este bijectiva,deci

este inversabila. Functia inversa f -1 se noteaza f -1(x)= arcsinx unde

arcsinx : [-1,1] → si a graficului sau (Fig.2) este simetricul

graficului functiei f(x) = sinx, f : fata de prima bisectoare a axelor de coordonate y=x.

Observatii :: Este inversabila orice restrictie a functiei sin cu conditia ca aceasta sa fie bijectiva,dar numai inversa

restrictiei la intervalul se numeste arcsin.

( f o f -1 )( x ) = x => sin( arcsinx ) , pentru x є [-1,1].

( f -1 0 f ) ( x ) = x => arcsin( sinx ) = x , pentru x є

Functia f -1 este impara,adica arcsin( -x ) = - arcsinx, x є [-1,1].

2.Functia arccos

In mod analog functia f : [ 0,π ] → [ -1,1 ], f(x) = cosx (Fig.4) este bijectiva,deci inversabila si atunci functia inversa f -1 notam cu arccos x,unde : f -1( x ) = arccos : [-1,1] → [0, π].

Observatii :

A.Graficul functiei f -1 (x) = arccosx : [ -1,1 ] → [ 0,π ] ( Fig. 5 ) este simetricul graficului functiei f(x) = cosx, f :[ 0,π ] → [-1,1].fata de prima bisectoare.

B. ( f o f -1 )( x ) = x => cos(arccosx) = x, x є [-1,1].

C. ( f -1 0 f ) ( x ) = x => arccos(cosx)= x, x є [ 0,π ] D. arccos(-x) = π – arccosx, x є [-1,1]

3.Functia arctg

Functia f : ,f(x) = tgx,este surjectiva,dar nu este

injectiva.Restrictia sa la intervalul ,fiind monoton crescatoare,este

injectiva si deci bijectiva si atunci f : ,f(x)= tgx este inversabila(Fig. 6)

Inversa sa f -1 se numeste arctgx si se noteaza : f -1 ,f -1(x) = arctgx

(Fig. 6 – linia rosie ).Graficul sau este simetricul functiei f(x) = tgx :

,fata de prima bisectoare.

Se observa ca dreptele si sunt asimptote orizontale

pentru graficul functiei arctgx.

Aceste asimptote sunt simetricele asimptotelor verticale si ale

graficului functiei directe. Scriem arctg si arctg .Se deduce usor ca

arctg 0=0 pentru ca tg0 = 0; arctg ,pentru ca ;

arctg etc.

Observatii :

1.arctg(tgx) = x, x є

2.tg(arctgx) = x, x є

3.arctg(-x) = -arctgx, x є

4.Functia arcctg

Restrictia bijectiva a functiei f(x) = ctgx; f : este

functia f : ( 0,π ) → ,f(x) = ctgx.Inversa sa se numeste arcctg x si se scrie : f -1( x ) = arcctgx ; f -1 : → ( 0,π ).

Graficul sau este simetricul functiei f(x) = ctgx : ( 0,π ) → fata de prima bisectoare (Fig. 7).

Se observa ca functia arcctgx este pozitiva pe ,iar graficul sau are dreptele y=0 si y=π asimptote orizontale care sunt simetricele fata de prima bisectoare a asimptotelor verticale x=0 si x=π la graficul functiei directe.

Avem : arcctg 0 = ;arcctg

;arcctg =0;arcctg .

Observatii :

1.arcctg(ctgx) = x , x є ( 0,π ).

2. ctg(arcctgx) = x, x є