PREDAREA FRACIILOR

PREDAREA FRACIILOR

Formarea noiunii de fracie este un proces mai complicat, ce va conduce, n timp, la conceptul de numr raional. Bazele psihopedagogice ale predrii-nvrii fraciilor sunt determinate de sporirea experienei de via i didactice a elevilor, a maturizrii lor cognitive, a lrgirii ariei cunotinelor lor matematice i din alte domenii ale cunoaterii. Demersul didactic trebuie s aib traseul obinuit n nvarea la aceast vrst: de la elementele acionale, concrete, la cele de reprezentare iconic i atingnd nivelul abstraciunii, prin elemente simbolice.

Date fiind experiena matematic redus a elevilor, capacitile de abstractizare i generalizare nc nematurizate, precum i noutatea noiunii , nvarea acesteia parcurge mai multe etape:

a) etapa de fracionare efectiv a unor obiecte concrete (mr, pine, portocal .a.) i de partiie a unor mulimi de obiecte concrete (nuci, creioane, beioare, jetoane .a.);

b) etapa de fracionare prin ndoirea unor figuri geometrice plane care au axe de simetrie (ptrate, dreptunghiuri, cercuri);

c) etapa de fracionare prin trasarea unor linii pe un desen geometric dat, pe care-l mpart n pri la fel de mari (axe de simetrie ale unui ptrat, dreptunghi, cerc .a) sau fracionarea unor imagini de obiecte (trasarea unor linii pe imaginea unui mr, a unei cldiri .a)

d) etapa de fracionare a numerelor, reductibil la mprirea acestora la un numr dat (2, pentru aflarea unei doimi; 4, pentru aflarea unei ptrimi .a.m.d.)

n cadrul fiecrei etape se va evidenia unitatea fracionar i se va sublinia faptul c ntregul a fost mprit n pri la fel de mari. Se introduce apoi noiunea de fracie, ca fiind una sau mai multe uniti fracionare i scrierea/citirea acesteia. Pentru ca elevii s rein mai uor denumirile celor doi termeni ai unei fracii, se poate preciza c numitorul numete unitatea fracionar (de exemplu, 2 ntregul a fost mprit n dou pri la fel de mari, numite doimi), iar numrtorul numr cte

uniti fracionare formeaz fracia dat.

n citirea unei fracii se va urmri ca exprimrile elevilor s fie complete i corecte (ex. 3/4 = trei ptrimi i nu 3 pe 4sau 3 supra 4), pentru a contientiza noiunea de fracie, evitnd formalizri ce nu spun nimic elevului . De asemenea, din punct de vedere metodic, se recomand folosirea unei fracii ai cror numrtori/numitori sunt numere mai mici dect 10.

Primele tipuri de sarcini ale elevilor vizeaz precizarea fraciei corespunztoare unor pri dintr-un ntreg mprit n pri egale (de exemplu: s se scrie fracia corespunztoare prii haurate/colorate dintrun ntreg mprit n pri egale: ). Apoi se cere elevilor s haureze/coloreze partea dintr-un ntreg mprit n pri egale ce

corespunde unei fracii date, respectiv s mpart ntregul i s haureze/coloreze corespunztor fraciei date. Sarcinile de lucru pot fi i de natur practic: s se plieze o foaie de hrtie de form ptrat astfel nct s se obin un numr de pri egale i apoi s se coloreze cteva dintre acestea, corespunztor unei fracii date. Un alt tip de sarcin, mai dificil, este cel n care, prezentndu-se obiecte concrete de dou feluri sau

imagini ale acestora (de exemplu, mere i pere), se cere elevilor s scrie fracia ce reprezint numrul obiectelor de primul fel fa de toate sau fa de cele de felul al doilea (n exemplu: numrul merelor fa de numrul fructelor i fa de numrul perelor).

Urmtoarele informaii pe care i le pot nsui elevii se refer la tipurile de fracii date de compararea cu ntregul (subunitare, echiunitare, supraunitare). Prin aciune direct cu obiecte sau cu imagini, acetia constat c dac numrtorul fraciei este mai mic dect numitorul, trebuie luate n considerare mai puine uniti fracionare dect are ntregul n cazul dat (ex.: pentru fracia , ntregul a fost mprit n 4 pri la fel de mari i s-au luat n considerare doar 3 dintre ele), deci fracia reprezint, n acest caz, mai puin dect un ntreg, numindu-se subunitar. Dac numrtorul fraciei este egal cu numitorul, atunci se iau n considerare toate unitile fracionare ale ntregului, deci tot ntregul, fracia reprezentnd, n acest caz, chiar ntregul i numindu-se echiunitar.

Dac numrtorul fraciei este mai mare dect numitorul, elevii constat c nu sunt suficiente uniti fracionare ale ntregului i este necesar considerarea nc unui ntreg (sau mai muli) de acelai fel, pentru a obine fracia. Firete, n acest caz, fracia reprezint mai mult dect un ntreg i se va numi supraunitar. Treptat, concretul reprezentat de obiecte sau imagini va disprea i elevii i vor forma priceperea de a sesiza tipul fraciei, prin simpla comparare a numrtorului cu numitorul.

Fraciile egale sunt definite ca fiind fraciile ce reprezint aceeai parte dintrun

ntreg sau din ntregi identici. Aceast definiie nu poate fi asimilat de elevi dect prin intuirea unor situaii particulare. Astfel, se poate cere elevilor s plieze o foaie de hrtie dreptunghiular astfel nct s obin dou pri la fel de mari, apoi s haureze/coloreze ntr-un anumit mod, una dintre pri (deci, 1/2). Apoi se cere plierea aceleiai foi astfel nct s se obin patru pri la fel de mari i s se haureze/coloreze ntr-un alt mod, dou pri (deci, 2/4). Se compar apoi prile haurate/colorate, constatndu-se c reprezint aceeai parte din ntreg, motiv pentru care vor fi numite fracii egale i se va scrie 1/2 = 2/4.

Analiza irului de egaliti scrise n ordine invers (4/8 = 2/4 = 1/2) sugereaz proprietatea de simplificare a fraciilor (mprirea att a numrtorului ct i a numitorului cu un acelai numr nenul).

Problema comparrii a dou fracii apare imediat dup problema egalitii: dac fraciile nu sunt egale, trebuie stabilit care dintre ele este mai mic/mare.

n acest fel se va introduce o relaie de ordine n mulimea fraciilor. La clasa a IV-a, sunt abordate doar dou situaii n compararea fraciilor:

a) fraciile au acelai numitor;

b) fraciile au acelai numrtor.

Primul caz nu ridic probleme metodice deosebite, elevii intuind cu uurin c, fraciile avnd acelai numitor, prile (unitile fracionare) sunt la fel de mari, deci va fi mai mic fracia cu numrtorul mai mic, deoarece se iau mai puine uniti fracionare.

Pentru compararea fraciilor care au acelai numrtor, elevii trebuie s neleag c, mprind un ntreg n pri (egale) mai multe, prile vor fi mai mici. Aceast aseriune poate fi intuit cu uurin prin prezentarea problematizat a unei situaii de tipul: Avem dou prjituri egale, una mprit n dou pri (egale), cealalt n trei pri (egale); pe care bucat ai alege-o i de ce? n acest fel, elevii pot realiza c 1/2 > 1/3 i prin abordarea altor cazuri particulare, c 1/2 > 1/3 > 1/4 >, adic, dintre dou uniti fracionare diferite este mai mare cea cu numitorul mai mic. n acest context este mai uor pentru elevi s ordoneze descresctor mai multe uniti fracionare diferite.

n etapa urmtoare se consider nu cte o unitate fracionar, ci mai multe (dar tot attea din fiecare ntreg!), adic fracii cu numrtori egali. Cunoscnd faptul c o ptrime reprezint mai mult dect o cincime (din acelai ntreg sau din doi ntregi egali), elevii intuiesc cu uurin c dac se iau cte 3 asemenea pri, 3 ptrimi nseamn mai mult dect 3 cincimi. Dup prezentarea mai multor asemenea cazuri particulare, se poate obine regula: dintre dou fracii cu acelai numrtor este mai mare cea cu numitorul mai mic. Sarcinile care urmeaz vizeaz: stabilirea celei mai mari fracii dintre mai multe fracii cu acelai numrtor, compararea i ordonarea descresctoare a mai multor astfel de fracii, urmat de ordonarea lor cresctoare.

Adunarea i scderea fraciilor cu acelai numitor) nu ridic probleme metodice deosebite deoarece, n aceast etap, elevii pot discrimina cu uurin tipul de problem simpl ntlnit, iar partea calculatorie este corect intuit, dup utilizarea unui desen sugestiv i a unor exprimri neformalizate (de tipul: dou cincimi + o cincime =?, trei cincimi dou cincimi =?). Se ajunge astfel la regulile cunoscute: pentru a aduna/scdea dou fracii cu acelai numitor se adun/scad numrtorii, numitorul rmnnd neschimbat.

Aflarea unei fracii dintr-un ntreg trebuie realizat metodic n dou etape:

a) aflarea unei (singure) uniti fracionare dintr-un ntreg;

b) aflarea unei fracii (mai multe uniti fracionare) dintr-un ntreg.

Prima etap se parcurge apelnd mai nti la intuiie, prin utilizarea unui material didactic tridimensional (obiecte) i plan (imagini, figuri). Problema aflrii unei doimi dintr-un astfel de ntreg este transpus cu uurin de ctre elevi n plan operaional, la mprirea acestuia n dou pri egale. Prin inducie se ajunge la concluzia c aflarea unei uniti fracionare dintr-un ntreg este reductibil la mprirea acestuia n attea pri egale ct arat numitorul. Apoi se afl uniti fracionare din ntregi ce reprezint mase, lungimi, volume, cantiti (ex.: 1/2 din 10 kg, 1/3 din 9m, 1/4 din 12 l), reinnd

ideea: mprire (n pri egale). De aici, se trece la aflarea unei uniti fracionare dintr-un numr (1/2 din 10, 1/3 din 9, 1/4 din 12), subliniind procedeul: mprire.

Parcurgerea celei de-a dou etape (aflarea unei fracii dintr-un ntreg) presupune doi pai: aflarea unei singure uniti fracionare de tipul indicat de numitor i apoi aflarea fraciei respective din ntreg. De exemplu, problema aflrii a 3/4 din 12 este reductibil la: aflarea unei ptrimi din 12 (ceea ce elevii tiu) i constatarea c 3 astfel de pri (ptrimi) nseamn de 3 ori mai mult dect una singur (deci nmulire cu 3).

Dup rezolvarea mai multor cazuri particulare se sintetizeaz modul de lucru n regula: pentru a afla ct reprezint o fracie dintr-un numr (natural), mprim numrul la numitorul fraciei i nmulim rezultatul cu numrtorul.

Din punct de vedere metodic, aceast ultim etap poate fi parcurs, funcie de particularitile clasei, trecnd prin fiecare dintre fazele concret, semiconcret i abstract sau numai prin ultimele/ultima. Considerm c elevii i-au nsuit procedeul aflrii unei fracii dintr-un ntreg, dac vor avea capacitatea s gndeasc i s exprime (oral sau scris) de tipul 3/4 din 12 = 12 : 4 x 3.