Pătrate perfecte şi cuburi perfecte

Grigore Moisil afirma că “matematica este ştiinţa care dezvoltă gândirea acolo unde există”.Ca expresie majoră a gândirii, matematica este şi duşmanul oricărei stări de lenevie, prin ea viaţa devenind mai palpabilă. Se numeşte pătrat perfect orice număr natural care se poate scrie ca puterea a doua a altui număr natural. a pătrat perfect ⇔ a = k2 Se numeşte cub perfect orice număr natural care se poate scrie ca puterea a treia a altui număr natural. a cub perfect ⇔ a = k3

Pentru început vom aminti câteva rezultate cunoscute şi des folosite în acest cadru : 1) Ultima cifră a unui pătrat perfect este doar una dintre cifrele

0, 1, 4, 5, 6, 9. 2) Orice pătrat perfect are una dintre formele 4p sau 8 1q + .

(Într-adevăr,dacă 2n k= ,atunci 2 24 4n k p= = ,iar dacă 2 1n k= + ,

avem 2 4 ( 1) 1 8 1n k k q= + + = + ) 3) Orice pătrat perfect este de forma 3p sau 3 1q + . (Ca şi mai înainte,considerăm 3 sau 3 1 sau 3 2n k n k n k= = + = + şi ridicăm la pătrat) 4) Dacă un pătrat perfect conţine un factor prim în descompunere,atunci acest factor este de fapt la o putere pară în descompunerea numărului iniţial. 5) Restul împărţirii oricărui pătrat perfect la 4 este 0 sau 1. 6) Un număr care se termina în una din cifrele 2, 3, 7, sau 8 nu este pătrat perfect. 7) Pentru a arăta că un număr nu este pătrat perfect mai putem arăta că el este cuprins între

două pătrate de numere consecutive. EXERCIŢII:

1. Arătaţi că numărul A = 2+4+6+...+100 nu este pătrat perfect. 2. Arătaţi că numărul B=1+3+5+...+99 este pătrat perfect. 3. Arătaţi că numărul A = 2+4+6+...+ 4020- 2010 este pătrat perfect. 4. Dacă a şi b sunt cifre cu a ≠ 0 , arătaţi că numărul

ba

bababa

5

9...21 +++ este pătrat perfect.

5. Arătaţi că numărul A= 2547 ⋅ 4917 este pătrat perfect. 6. Arătaţi că numărul 1549 15492 3 7B = + + nu este pătrat perfect. 7. Scrieţi numărul 20055 ca sumă de trei pătrate perfecte nenule.

(Concurs RMCS 2006) 8. Scrieţi numărul 62007 ca diferenţă de două pătrate perfecte. 9. Fie numarul A=32+34+....+32006.Aratati ca 8A+9 este patrat perfect.

Câte numere naturale există între două numere naturale pătrate perfecte consecutive?

Numerele naturale pătrate perfecte consecutive sunt:

02; 12; 22; 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92; 102; ..., mai precis: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; ...

Între 0 şi 1 sunt 1-0-1=0 numere naturale; Între 1 şi 4 sunt 4-1-1=2 numere naturale; Între 4 şi 9 sunt 9-4-1=4 numere naturale; Între 9 şi 16 sunt 16-9-1=6 numere naturale; Între 16 şi 25 sunt 25-16-1=8 numere naturale; Între 25 şi 36 sunt 36-25-1=10 numere naturale; Între 36 şi 49 sunt 49-36-1=12 numere naturale;

.......................................... Se observă că rezultatele obţinute sunt numere pare consecutive.

Reluăm încă o dată ceea ce am scris mai sus cu deosebirea că vom scrie pătratele perfecte sub formă de puteri cu exponentul 2: Între 02 şi 12 sunt 0 numere naturale, adică 2·0; Între 12 şi 22 sunt 2 numere naturale, adică 2·1; Între 22 şi 32 sunt 4 numere naturale, adică 2·2; Între 32 şi 42 sunt 6 numere naturale, adică 2·3; Între 42 şi 52 sunt 8 numere naturale, adică 2·4; Între 52 şi 62 sunt 10 numere naturale, adică 2·5; Între 62 şi 72 sunt 12 numere naturale, adică 2·6;

.......................................... Generalizând, putem spune că între n2 şi (n+1)2 există 2·n numere naturale, unde „n” este număr natural oarecare. Aplicatia 1 Aflaţi câte numere naturale există între:

a) 1002 şi 1012; b) 5002 şi 5012; c) 20052 şi 20062.

Rezolvare a) 1002 şi 1012 sunt numere naturale pătrate perfecte consecutive. Aplicând rezultatul obţinut

la exerciţiul precedent, rezultă că între cele două pătrate perfecte consecutive sunt 2·100=200 numere naturale.

b) Între 5002 şi 5012 sunt 2·500=1000 numere naturale. c) Între 20052 şi 20062 sunt 2·2005=4010 numere naturale. Aplicatia 2 Aflaţi 2 numere naturale pătrate perfecte ştiind că sunt numere naturale pătrate perfecte

consecutive şi între ele există 60 de numere naturale. Rezolvare Fie n2 şi (n+1)2 cele două numere naturale pătrate perfecte consecutive, unde „n” este un

număr natural oarecare. Avem relaţia: 2·n=60 ⇒ n=30. Aşadar, cele două numere naturale pătrate perfecte consecutive sunt 302 şi 312. Aplicatia 3 Aflaţi două numere naturale pătrate perfecte consecutive ştiind că între ele există 2004 numere

naturale. Rezolvare Fie n2 şi (n+1)2 cele două numere naturale pătrate perfecte consecutive. Punem condiţia

2n=2004 ⇒ n=1002. Cele două numere naturale pătrate perfecte consecutive sunt 10022 şi 10032. Aplicatia 4 Arătaţi că numerele naturale 4abcd şi 6mnfgh nu pot fi numere naturale pătrate perfecte

consecutive, oricare ar fi a, b, c, d, m, n, f, g, h – cifre, a≠0, m≠0. Rezolvare Ştim că între două numere naturale pătrate perfecte consecutive există un număr par de

numere naturale. Presupunem că numerele date sunt pătrate perfecte consecutive. Între cele două numere există 6mnfgh - 4abcd -1 numere naturale.

Însă U( 6mnfgh - 4abcd -1)=1 ⇒ 6mnfgh - 4abcd -1 este un număr impar, aşadar cele două numere nu pot fi pătrate perfecte consecutive, deoarece între două numere naturale pătrate perfecte consecutive există un număr par de numere naturale.

Prof.Radu Mariana