>><<

Oscilaţii electromagnetice libere

Autor: profesor Emilia Păuşan

>>

>><<

Este un proces tranzitoriu în care se realizează acumulare de sarcină electrică pe armăturile condensatorului. Durata procesului depinde de capacitatea condensatorului şi de rezistenţa electrică a circuitului de încărcare.

Descărcarea unui condensator

U0

LC+

-

q, iQmax

Imax

+

-

-

+

t

printr-o bobină ideală

1. Încărcarea condensatorului de la sursă

[mai multe]

R

(clic pe întrerupător) (un nou clic pe întrerupător)

Imediat după conectarea unui condensator, încărcat cu o sarcină electrică Q0, într-un circuit ce conţine o bobină ideală (R=0), apare un curent electric. Intensitatea acestuia variază periodic în timp, prezentând caracteristicile unei oscilaţii.

[Descrierea proceselor]

2. Generarea oscilaţiei electromagnetice libere (circuitul LC) [simulare]

UC (t) - semnal obţinut la încărcarea condensatorului

i (t) - semnal obţinut la descărcarea condensatorului în circuitul LC

>><<

>><<

Încărcarea condensatorului de la sursă(printr-un rezistor)

La încărcarea condensatorului sub tensiune continuă, sarcina electrică acumulată pe armăturile acestuia creşte, determinând un curent de încărcare, de intensitate i:

t

e1Uu

Mărimea t = RC reprezintă constanta de timp a circuitului.

dt

duC

dt

dq

R

uUi

Soluţia ecuaţiei este: [secvenţă experimentală]

>><<

,,

secvenţa:

<< derulare secvenţe >>

Oscilaţii electromagnetice libere

q, iQmax

Imaxt

1

Simulare (clic pe indexul secvenţei)

dt

diLua

Imediat după conectarea condensatorului apare un curent electric a cărui intensitate creşte o dată cu scăderea sarcinii electrice de pe armăturile condensatorului (i = dq/dt).

Variaţia intensităţii curentului electric va determina apariţia, la bornele bobinei, a unei t.e.m. de autoinducţie (ua), proporţională cu viteza de variaţie a intensităţii curentului electric şi de sens contrar acesteia:

1

Creşterea curentului electric nu se realizează brusc, curentul autoindus prelungind descărcarea.

uC LC+-

i

2

2 3 4

Prin inductanţa sa (L), bobina manifestă inerţie la variaţiile curentului, determinând existenţa unui curent electric şi după anularea sarcinii electrice pe armăturile condensatorului (în momentul anulării sarcinii electrice intensitatea curentului electric atinge o valoare maximă).

Curentul electric menţinându-şi sensul, se va realiza un transport de sarcină electrică ce va determina reîncărcarea condensatorului: armătura electrizată iniţial pozitiv va acumula sarcină electrică negativă, iar cea iniţial negativă se va electriza pozitiv (electrizare prin influenţă).

2

uC LC-+

i

i

1

-Qmax

3

Condensatorul, reîncărcat, se va descărca prin bobină, curentul electric schimbându-şi sensul.

Bobina, prin inerţia sa la variaţiile intensităţii curentului, va prelungi descărcarea.

Atunci când sarcina electrică pe armăturile condensatorului devine nulă, valoarea intensităţii curentului electric devine maximă, sensul curentului electric fiind opus celui anterior, când s-a realizat prima descărcare a condensatorului.

3

uC LC-+

i

i

4

- Imax

După anularea sarcinii electrice pe armăturile condensatorului, continuă să existe în circuit curent electric, datorită inerţiei bobinei la variaţiile intensităţii curentului electric.

Acest curent va determină o nouă reîncărcare a condensatorului. Polarităţile armăturilor se vor modifica, revenindu-se la valorile potenţialelor electrice existente la începutul experimentului (imediat după conectarea în circuit).

4

uC LC+-

i

i

Procesele descrise se repetă periodic, generând oscilaţii ale sarcinii electrice, ale intensităţii curentului electric, respectiv ale tensiunii la bornele condensatorului.

Descrierea proceselor

>><<

Bilanţ energetic

În circuitul LC este stocată energie atât în câmpul electric dintre armăturile condensatorului:

Wel(t) = q2/2C, q(t) = Qmsin (wt+f0), f0 = p/2

cât şi în câmpului magnetic al bobinei:

Wmag(t) = Li2/2, i(t) = Imcos (wt+f0), f0 = p/2

Valoarea maximă a energiei ce poate fi stocată în câmpul electric are aceeaşi valoare cu a energiei maxime ce poate fi stocată în câmpul magnetic:

Wel (max) = Wmag (max)

Qm2/2C = LIm

2/2

Energia totală a circuitului oscilant LC se conservă:

W = Wel + Wmag = const

Wel(t) Wmag(t)

)(sin2

)( 02

2

tC

QtW m

el

2

LI

C2

Q)t(cos)t(sin

C2

QW

2m

2m

02

02

2m

maxWmaxW magel

constW neticăelectromag

Valorile maxime ale energiei ce poate fi stocată în cele două câmpuri au aceeaşi valoare:

Utilizând relaţiile [1], [2] şi [3] se obţine expresia energiei electromagnetice:

Concluzie Energia oscilaţiilor electromagnetice libere se conservă.

[2]

[3]

[4]

Energia acumulată în câmpul electric dintre armăturile condensatorului variază în timp:

)t(cos2

LI)t(W 0

22m

mag

Energia acumulată în câmpul magnetic al bobinei variază în timp:

[1]

xx

[detalii]

[grafice]

>><<

Oscilator liniar armonic Circuit oscilant LC

elongaţie, y (t) sarcina electrică, q (t)

viteza, v(t) = dy/dt i (t) = dq/dt

acceleraţia, a (t) = dv/dt di/dt

|Fe| = ky (Fe este forţa ce readuce sistemul în configuraţia de echilibru, k reprezentând constanta elastică a oscilatorului)

uC = q/C (tensiunea la bornele condensatorului, C reprezentând capacitatea electrică a condensatorului)

k 1/C

m (masa oscilatorului, ce măsoară inerţia sistemului)

L (inductanţa bobinei, ce măsoară inerţia la variaţia intensităţii curentului electric)

perioada proprie de oscilaţie:

T =

perioada oscilaţiilor electromagnetice libere:

T = p = mv (impulsul oscilatorului) F = Li (fluxul câmpului magnetic propriu)

energia potenţială, Wp = ky2/2 energia câmpului electric, Wel = q2/2C

energia cinetică, Wc = mv2/2 energia câmpului magnetic, Wmag = Li2/2

energia totală a oscilatorului se conservăW = Wc + Wp = constWp (max) = Wc (max)

kymax2/2 = mvmax2/2

energia totală a circuitului LC se conservăW = Wel + Wmag = constWel (max) = Wmag (max)

qmax2/2C = Limax

2/2

k

m2

LC2 [detalii]

>>

Scriind legea lui Ohm pentru circuitul LC:

qLC

1

dt

di

C

q

dt

diL

şi utilizând analogia cu oscilatorul armonic

pentru care: a = - w2y

se poate obţine pulsaţia oscilaţiei electromagnetice libere (w):

a di/dt y q

Se utilizează apoi relaţia dintre pulsaţie şi perioadă:

>> (perioada oscilaţiilor

electromagnetice libere).

qdt

di 2LC

1

2

T LC2T

x

Analogie mecanică

>><<

Descărcarea unui condensatorprintr-o bobină reală

U0

LC+

-

q,iQ0

+

-

-

+

t

Simulare

R1

(clic pe întrerupător) (un nou clic pe întrerupător)

R2

Oscilaţii electromagnetice libere

Scriind legea lui Ohm pentru circuitul format din rezistorul de rezistenţă R2, condensatorul de capacitate C, încărcat iniţial de la o sursă de tensiune continuă, şi bobina de inductanţă L, se obţine:

Ecuaţia este echivalentă celei obţinute pentru oscilatorul liniar armonic, folosind principiul II al mecanicii clasice:

(constanta r reprezintă coeficientul de rezistenţă la mişcarea în mediul vâscos).

Realizaţi analogia cu mişcarea unui oscilator într-un mediu vâscos şi veţi putea descrie cu uşurinţă comportarea circuitului electric.

[Ajutor]

0dt

di

C

qiR2

0makyrv

dt

diL

C

qiR2

madt

dvmkyrv-

Cauza amortizării este rezistenţa electrică a circuitului.

>><<

În regim aperiodic sistemul nu mai poate executa

nici o oscilaţie

Regimul aperiodic începe de la o valoare critică:

C

L2L2R 0 mk2m2r 0

Sistemul revine în configuraţia de echilibru fără a mai oscila (există frecări mari).

Se produce descărcarea condensatorului fără a se mai realiza reîncărcarea lui (R mare).

mk2m2r 0 C

L2L2R 0

k/mω0 LC/1ω0 w0 – pulsaţia oscilaţiilor libere neamortizatek/mω0 LC/1ω0

Prin lucru mecanic al forţelor de frecare, o parte din energia sistemului se transformă în căldură.

Prin efect Joule, o parte din energia electromagnetică se transformă în căldură.

Amplitudinea oscilaţiei scade exponenţial în timp

t2mr

0eAA(t)

t

2LR

0max eQ(t)q

w0 – pulsaţia oscilaţiilor libere neamortizate

m2/r

Factor de amortizare: L2/R

w < w022

0 (“pseudopulsaţie”)

)tsin(eAy(t) 0t

2mr

0

)tsin(eQq(t) 0t

2LR

0

C

L2L2R 0 mk2m2r 0

Oscilaţie amortizată

Cazuri particulare de interesDescărcare C printr-o bobină reală

[interpretare]

Într-un interval de timp egal cu τ = 1/δ, numit constanta de

timp a oscilatorului, amplitudinea oscilaţiilor scade de e

( 2,71) ori.≅

Mişcarea oscilatorie amortizată se "stinge" cu atât mai repede cu cât factorul de amortizare, δ, este mai mare.

x

Regim aperiodic

[Oscilaţie amortizată] [Regim aperiodic]

(condiţie de realizare)