11

1 OBIECTUL ŞI STRUCTURA CĂRŢII

1.1. INTRODUCERE

Este bine cunoscut faptul, că cedarea unui element sau a unei structuri înansamblul ei este un fenomen complex caracterizat prin epuizarea capacităţiiportante şi/sau pierderea stabilităţii, iar modelarea matematică riguroasă a acestuifenomen este, în general, dificil de realizat. Odată cu apariţia calculatoarelornumerice de mare viteză, posibilităţile de a modela comportări structuralecomplexe, repetitivitatea calculelor în diferite ipoteze pun în discuţie concepţiatradiţională (convenţională) de proiectare a construcţiilor, deschizând noi orizonturişi în acest domeniu. În codurile de proiectare moderne se constată o trecere de lametoda rezistenţelor admisibile la metoda stărilor limită de proiectare careconsideră în mod explicit şi raţional efectele inelasticităţii materialului şi stabilităţiiîn determinarea capacităţii portante a elementelor de construcţie. Întrucât în metodastărilor limită se ţine seama de variaţia posibilă a încărcărilor, rezistenţelor şidimensiunilor prin coeficienţi diferenţiaţi (în locul coeficientului de siguranţă unicdin metodele deterministe – metoda rezistenţelor admisibile) este de aşteptat casistemul structural şi elementele componente ale acestuia să aibă o comportareneliniară înainte de a atinge limita capacităţii portante şi drept urmare trebuie să seţină seama de acest fapt. Prin urmare, devine evident faptul că cea mai directă şiriguroasă abordare a proiectării structurale este aceea în care toţi factoriisemnificativi care influenţează comportarea neliniară a elementelor sunt prinşi înanaliza statică globală.

Examinând dezvoltarea metodelor de calcul ale structurilor, se distinge înliteratura de specialitate un nou mod de abordare pentru problemele de analiză şiproiectare a structurilor, în metoda stărilor limită, şi anume, analiza neliniaraavansată. În această concepţie, prin analiză avansată se înţelege orice metodă decalcul global care poate descrie în mod satisfăcător rezistenţa, rigiditatea şistabilitatea globală a structurii, astfel încât verificarea individuală a fiecaruielement component al structurii să nu mai fie necesară (Chen&Toma, 1994),asigurând o mai realistă predicţie a efectelor acţiunilor asupra structurilor şi aperformanţelor structurale ale acestora, ca şi, în cele mai multe situaţii, un proiectmai ieftin şi condiţii de siguranţă mai uniforme.

12

Îşi găseşte astfel o tot mai largă recunoastere faptul că dacă toate efectelesemnificative care determină comportarea structurală sunt corect modelate încalcul, atunci verificarea individuală a fiecarui element al structurii nu mai estenecesară, procesul de proiectare simplificându-se. O asemenea metodă avansată deanaliză trebuie să surprindă simultan cât mai adecvat toţi factorii determinanţi aicomportării structurale de rezistenţă şi stabilitate, şi anume:• comportarea elasto-plastică a materialelor structurii în procesul de încărcare

pâna la starea limită de cedare. Se apreciază ca modelul de dezvoltare a zonelorplastice atât în secţiune cât şi de-a lungul barelor reflectă mai fidel modul realde comportare elasto-plastică a structurii decât cel bazat pe conceptul dearticulaţie plastică şi poate fi aplicat atât structurilor metalice cât şi celor dinbeton armat;

• considerarea interacţiunii eforturilor în plastificarea secţiunilor ;• efectele, locale (P-δ) şi globale (P-∆) de ordinul al doilea a neliniarităţii

geometrice;• comportarea neliniară a conexiunilor flexibile (semirigide) în cazul cadrelor

metalice;• imperfecţiunile geometrice, locale şi globale, ale elementelor structurale şi ale

structurii;• efectele imperfecţiunilor mecanice (tensiuni reziduale) asupra capacităţii

portante a structurilor metalice;• efectele deformaţiilor din curgere lenta în cazul structurilor din beton armat.

Performanţele de analiză numerica şi de grafică ale calculatoarelor personale şiale staţiilor de lucru, permit astăzi utilizarea tot mai extinsă a metodelor avansatede calcul în proiectarea curentă a structurilor, elaborarea programelor de analiză şia bazelor de date necesare promovării "analizei avansate" a structurilor metalice,înscriindu-se în preocupările de cercetare ştiinţifică de ultimă oră din ţări avansatetehnologic, în domeniul analizei şi proiectării structurilor. Un mare număr delucrări sunt consacrate în ultimii ani acestor probleme (Chan&Zhou, 1993;Chen&Toma, 1994, Ziemian, 1990; Ziemian ş.al., 1990, 1992,1997;White&Clarke, 1997; Chen&Kim, 1997; Chen&Sohal, 1998; Lip&Clarke, 1999;Kim&Choi, 2001; Liew s.al., 2000, 2001; Jiang ş.al., 2002; Wongkaew&Chen,2002; Trahair&Chan, 2003; Kim&Choi, 2005). Aceste dezvoltări deschidposibilitatea modelării tot mai exacte a comportării structurilor, considerarea cuacurateţe a tuturor factorilor care determină răspunsul unei structuri la acţiunileaplicate ei şi adoptarea de către inginerul proiectant a filosofiei proiectării la stărilimită dintr-o perspectivă mai largă. Astfel, pentru structurile în cadre metalice,analiza elasto-plastică de ordinul al doilea cu considerarea comportării neliniare aprinderilor flexibile ale barelor în noduri şi care să includă dezvoltarea zonelor deplastificare, atât în secţiune cât şi în lungul barelor, ca şi efectul imperfecţiunilormateriale şi a imperfectiunilor geometrice, locale şi globale se dovedeşte areprezenta o variantă posibilă de analiză avansată globală. Pot fi consemnateprevederi referitoare la analiza avansată globală a structurilor în cadre metalice în

13

normativele de proiectare mai noi, ca de exemplu în Eurocod (EC3,2003), unelenormative americane, şi mai ales în normativul australian pentru calculul la stărilimită (AS4100,1992). Pentru structurile în cadre din beton armat, chiar dacă s-aufăcut paşi importanţi în modelarea comportării elasto-plastice şi a considerăriicelorlalţi factori determinanţi de comportare în analiza structurală (Izzudin&Smith,2000; Izzudin s.al., 2002), normativele de proiectare, după cunoştintele noastre, nucuprind încă prevederi explicite referitoare la analiza avansată globală.

O analiză care sa raspundă cât mai adecvat cerinţelor formulate mai sus,presupune o modelare complexă a structurilor prin utilizarea cu precădere amodelului plastificării distribuite şi a "elementelor finite de fibră" (Jiang s.al.,2002) şi implementarea programelor de calcul dezvoltate pe baza acestor teoriiasigurând astfel o predicţie mai realistă a comportării structurilor în starea limită derezistenţă. Pe de altă parte, pe măsura creşterii rafinamentului de analiză apar şiinconveniente: programele de calcul scrise în acest sens se amplifică considerabil,devin necesare calculatoare de capacităţi tot mai mari, numărul datelor iniţialecreşte şi introducerea lor se complică, la fel şi forma în care se obţin rezultatele,timpul de calcul - indicator esenţial de eficienţă - se mareşte etc, fiind greu deasimilat şi chiar neatractive pentru inginerii proiectanţi de structuri, acesteprograme fiind folosite cu precadere în cercetare.

Astfel deşi tehnica de calcul cunoaşte în prezent un ritm alert de dezvoltare şiperfectionare, trecerea calculului complex din domeniul cercetării, care îşi permitesă consume timp nelimitat de calculator, în cel al proiectării curente, la care timpulefectiv de analiză consumat este principalul criteriu de eficienţă al programului,reprezintă astăzi una din principalele direcţii de cercetare (Izzudin s.al., 2002;Kim&Choi, 2005; Chiorean&Bârsan, 2005). Pasul de la cercetare la utilizareacurentă în birourile de proiectare nu este încă făcut, fiind necesară elaborarea unorprograme de calcul suficient de exacte pentru a nu altera rezultatele, dar în acelaşitimp şi suficient de simple pentru o utilizare curentă de catre proiectanţii destructuri. Necesitatea elaborării unor astfel de programe de calcul este subliniată şide faptul că analiza structurilor la acţiuni seismice, cea mai importantă fază dinproiectarea structurală, se bazează, la nivelul actual, pe un calcul plastic primitiv.

1.2. STRUCTURA CĂRŢII

Obiectul cărţii se înscrie în aceste preocupări de promovare a metodelor deanaliză avansată a structurilor şi îşi propune să elaboreze metode de calcul,algoritmi, programe de calcul, baze de date pentru punerea în aplicare a metodelorde analiză avansată pentru structurile în cadre metalice, pentru care există pe planmondial o anumită experienţă, şi să încerce să extindă aplicarea unor astfel demetode şi pentru structurile din beton armat. Sunt dezvoltate relaţii şi algoritmi decalcul în limitele ipotezelor curent acceptate cu privire la deformaţia barelor. Seacordă atenţie problemelor specifice ale calculului structurilor plane şi spaţialeprezentându-se tehnici originale de soluţionare a următoarelor aspecte: plastificarea

14

distribuită, prin surprinderea dezvoltării graduale a zonelor plastice în secţiuni şi înlungul barelor, efectele neliniarităţii geometrice locale şi globale, comportareaneliniară a conexiunilor flexibile de prindere a barelor în noduri. După ointroducere în analiza neliniară a structurilor prin prezentarea principalelor modelenumerice utilizate la modelarea neliniarităţii geometrice şi de material suntprezentate în mod detaliat metodele şi modelele numerice dezvoltate de autor lacrearea a două aplicatii software: ASEP: analiza secţiunilor de formă oarcecarecompozite oţel-beton în domeniul elasto-plastic şi NEFCAD: analiza neliniară astructurlor în cadre.

Lucrarea cuprinde şase capitole şi două anexe, o descriere sumară aconţinutului lor fiind dată în continuare.

CAPITOLUL 1 - Obiectul şi structura cărţii-prezintă tematica şi obiectivelelucrării.

CAPITOLUL 2 - Metode de analiză elasto-plastică de ordinul al II-lea astructurilor în cadre- se prezintă comparativ modalităţile de modelare acomportării elasto-plastice prin folosirea conceptului de plastificare punctuală(articulaţie plastică) şi, a celui mai riguros de plastificare distribuită (zoneplastice). Pentru ultimul caz se discută procedeele ce consideră plastificarea la nivelde fibră ("exact") şi la nivel de secţiune ("aproximativ"). Sunt discutate deasemenea modalităţile de introducere în calcul a efectelor neliniarităţii geometricelocale şi globale în analiza statică neliniară a structurilor în cadre plane şi spaţiale.Sunt prezentate şi exemplificate aspectele cu privire la implementarea metodelorpredictor-corector în analizele incremental-iterative.

CAPITOLUL 3 - Metode de determinare a soluţiei în calculul elasto-plasticde ordinul al II-lea- sunt discutate modalităţile de conducere a analizelor neliniare(metoda paşilor controlaţi de încărcări, metoda paşilor controlaţi de lungimea dearc-"arc length methods"-, etc) precum şi dificultăţilor şi rezolvărilor posibile aleanalizei în vecinătatea încărcării de colaps.

CAPITOLUL 4 - Calculul secţiunilor în domeniul elasto-plastic. AplicaţiaASEP- se prezintă o metodă numerică eficientă, elaborată de autor, pentru analizaelasto-plastică a secţiunilor de formă oarecare oţel-beton în baza căreia s-a elaborataplicaţia ASEP. Modelarea inelasticităţii se face la nivel de "fibră" considerândrelaţiile constitutive neliniare tensiune-deformaţie pentru beton şi oţel. Procedeulnumeric dezvoltat permite studiul comportamentului secţiunilor solicitate lacompresiune excentrică oblică prin trasare curbelor moment-curbură (M-N-Φ)precum şi a diagranelor de interacţiune (N-M-M). Rezultatele numericecomparative obţinute fiind relevante pentru performanţele programului de calculelaborat evidenţiind elocvent eficacitatea metodei de calcul propuse. Capitolulcontinuă cu stabilirea relaţiilor analitice aproximative pentru modelarea curbelorcaracteristice M-N-Φ ale secţiunilor metalice, studiindu-se de asemnea efectul

15

tensiunilor reziduale asupra acestora.

CAPITOLUL 5 - Calculul neliniar al structurilor în cadre. AplicaţiaNEFCAD- se face prezentarea metodei propuse de autor pentru analiza neliniarăavansată a structurilor în cadre plane şi spaţiale din oţel sau din beton armat, cuconsiderarea plastificării distribuite (zone plastice) în care, spre deosebire demetoda elementelor finite, elementul constitutiv al cadrului este bara dreaptă decadru spaţial cu noduri semirigide, termenii convenţionali ai matricei de rigiditateliniare şi ai vectorului forţelor nodale fiind corectaţi prin factori de corecţiecorespunzători tuturor surselor de neliniaritate considerate. Este descris algoritmulde calcul neliniar, care integrează cele trei efecte de neliniaritate fizică, geometricăşi de comportare a conexiunilor, în baza căruia s-a realizat un program de calculperformant, pentru analiza statică neliniară a structurilor în cadre. Metoda propusăurmăreşte utilizarea celor mai eficiente modelări şi metode de rezolvare, reflectateîn principal în următoarele caracteristici:• evită subânpărţirea barelor între noduri (divizare tipică metodelor elementelor

finite), prin considerarea ca element a barei în întregime; rigiditatea esteevaluată prin integrare numerică realizată pe fiecare bară, ţinând seama denivelul de plastificare atins în fiecare secţiune a barei;

• poate modela plastificarea în două moduri: la nivel de fibră, mai riguroasă darcu un consum de timp ridicat (propice problememlor de cercetare sau calibrare)sau la nivel de secţiune, perfect utilizabilă sub aspectul acurateţii şi timpului înproblemele de proiectare;

• include şi neliniarităţile specifice conexiunilor semi-rigide de la capetelebarelor;

• integrează efectele neliniarităţii geometrice locale şi globale;• programul este aplicabil oricărui tip de material şi alcătuire a secţiunii cu

analiza plastificării la nivel de fibră sau prin precizarea unor curbe deinteracţiune tipice diferitelor alcătuiri de secţiuni şi materiale, şi rularea cuconsiderarea plastificării la nivel de secţiune.

Algoritmul elaborat integrează un şir de procedee a căror eficienţă este justificatăprin consideraţii teoretice şi testări numerice semnalându-se în acest sensrezolvarea incremental iterativă cu control prin "lungimea de arc" adoptând şigeneralizând în acest sens metodele de acest tip cunoscute în literatura despecialitate, evaluarea rigidităţilor secţionale prin integrare numerică a tensiunilorpe contur, integrarea numerică cu procedeul Gauss-Lobatto etc.

CAPITOLUL 6 - Calibrarea programelor de analiză neliniară.Testărinumerice. -este consacrat calibrării programelor de analiză structurală avansatăutilizând criteriile şi structurile standard de calibrare, europene şi americane,propuse în literatura de specialitate şi unor testări numerice. Toate testele numericerealizate atestă deplina concordanţă dintre rezultatele metodei propuse şi cele dereferinţă obţinute pentru cele mai performante modele şi programe de calcul

16

prezenatate în literatura de specialitate. Un exemplu de calcul complet, conform cuprevederile normativului european de analiză şi proiectare seismică a structurilor,EC8, este de asemenea prezentat, exemplificând etapele de aplicare a analizeistatice neliniare de tip "pushover". Structura propusă, o structură în cadre spaţialădin beton armat, este analizată luând în considerare neliniaritatea geometrică şi ceade material. Modelarea inelasticităţii se face în două variante, la nivel de "fibră"considerând relaţiile constitutive neliniare pentru beton şi armătură respectiv lanivel de secţiune prin considerarea relaţiilor neliniare moment-curbură. Rezultatelenumerice comparative obţinute sunt relevante pentru performanţele programului decalcul elaborat, şi evidenţiază elocvent eficacitatea metodei de calcul propuse.

La sfirşitul lucrării este prezentată o extinsă bibliografie de ultimă oră, precumşi cele două anexe în care sunt date fişele de prezentare ale aplicaţiilor softwarerealizate.