NUMERE COMPLEXE

SI APLICATII IN

GEOMETRIE

Grupa I

MULŢIMEA NUMERELOR COMPLEXE

Definiţii

Se defineşte mulţimea numerelor complexe fiecare element Z are drept corespunzător pereche ordonată(a,b)a,b € R.

Mulţimea R x R pe care s-au definit operaţiile algebrice de adunare şi de inmulţire se numeşte mulţimea numerelor complexe ,notată C.

Un element z=(a,b)al mulţimii numerelor complexe se numeşte număr complex.

Numerele complexe se notează cu orice literă mică a alfabetului.Se obişnuieşte să se folosească literele:z,u,w.

Numărul complex (0,1) se notează (0,1)=i si se numeşte unitate imaginară. i2=1

z- a+bi, a,b Є ℝ.

Această scriere a unui număr complex se numeşte scrierea sub formă algebrică a numărului complex.

Numărul a Є ℝ din relaţia (1) se numeşte partea reală a lui z iar bi se numeşte partea imaginară a lui z.

Numărul b Є ℝ din (1) reprezintă coeficientul părţii imaginare.

Se folosesc notaţiile a= Re(z), b=Im(z).

Pentru mulţimea numerelor complexe se adoptă relaţia: C={z=a+bi|a,b Є ℝ, i2=-1}.

Se notează C=C \{0} mulţimea numerelor complexe nenule.

MODULUL UNUI NUMAR COMPLEX

.

Proprietati ale modulului

tDefinitie:

Fie

Modulul numarului complex z este numarul real pozitiv

•(inegalitatea triunghiului)

22yx

2

1

2

1

z

z

z

z

l, k naturaki, n

l, k natura k, n

l, k natura k i, n

k naturalk, , n

in

34

241

14

41

•|z|=|x+iy|= ℝ

Puterile lui i:

•|z1z2|=|z1|·|z2|;

NUMERE COMPLEXE CONJUGATE

.t Definitie:

Modulul unui număr complex z = a + bi este numărul real şi se notează prin

Observaţii

Dacă atunci

Exemplu

Dacă z = a + bi este un număr complex atunci se numeşte conjugatul său. Numerele z şi

se numesc conjugate.

Observaţii

•Suma şi produsul a două numere complexe conjugate sunt numere reale;

•Dacăatunci

•Exemple

Condiţia de coliniaritate a trei puncte

Fie , ,A B C trei puncte in plan. Condiţia ca punctele , ,A B C să fie coliniare se traduce

în limbaj de vectori prin coliniaritatea vectorilor ,AB AC .

Vectorii ,AB AC sunt coliniari * astfel încât AB AC .

Analitic: Dacă ; ; ; ; ;A A B B C C

A x y B x y C x y atunci

, , B A B A

B A B A C A C A

C A C A

x x y yAB AC x x y y x x y y

x x y y

În concluzie

punctele ; ; ; ; ;A A B B C C

A x y B x y C x y sunt coliniare dacă C AB A

B A C A

y yy y

x x x x.

Cu numere complexe: Dacă , ,A a B b C c atunci

*( )b a

AB AC b a c ac a

.

În concluzie

punctele , ,A a B b C c sunt coliniare dacă *b a

c a.

Condiţia de paralelism a două drepte

Considerăm dreptele ,AB CD . Condiţia de paralelism a acestor drepte se exprimă

echivalent prin coliniaritatea vectorilor ,AB CD .

Analitic: Dacă ; , ; , ; , ;A A B B C C D DA x y B x y C x y D x y atunci

D CB A

B A D C

y yy yAB CD

x x x x

rezultă imediat deoarece ,AB CD coliniari * astfel încât

, ,B A B A D C D CAB CD x x y y x x y y .

Cu numere complexe: Dacă , , ,A a B b C c D d sunt punctele din plan,

atunci

*b aAB CD

d c

rezultat imediat deoarece ,AB CD sunt coliniari * astfel încât

*( )b a

AB CD b a d cd c

.

Perpendicularitatea a două drepte

Dreptele ,AB C D sunt perpendiculare ,AB CD sunt perpendiculari 0AB C D .

Analitic: Dacă

,

,

B A B A

B A D C B A D C

D C D C

AB x x y yAB CD x x x x y y y y

CD x x y y

Deci 0

B A D C B A D C

B A D C B A D C

x x x x y y y y

x x x x y y y y

În concluzie dreptele ,AB C D sunt perpendiculare dacă

D CB A

B A D C

x xy y

x x y y sau

1B A

D CB A

D C

y y

y yx x

x x

Perpendicularitatea a două drepte

Cu numere complexe:

Dreptele ,AB CD sunt perpendiculare ,AB CD sunt perpendiculari unde

, .AB b a CD d c

Se consideră reprezentanţi ai vectorilor liberi ,AB CD vectorii legaţi de

1,O r b a şi respectiv 2r d c . Atunci

*1 2

3arg ,

2 2

d c d cr r i

b a b a, deoarece numerele pur imaginare au

argumentul egal cu 2

şi 3

2.

În concluzie dreptele ,AB CD sunt perpendiculare dacă *d ci

b a