71

71

Modulul 6

APLICAŢII DIFERENŢIABILE

Subiecte : 1. Derivate şi diferenţiale pentru funcţii reale de o variabilă reală. 2. Formula lui Taylor şi Mac-Laurin pentru funcţii de o variabilă

reală. Serii Taylor. 3. Derivate şi diferenţiale pentru funcţii reale de mai multe variabile

reale. 4. Formula lui Taylor pentru funcţii de mai multe variabile reale. 5. Extreme pentru funcţii de mai multe variabile reale. Extreme cu

legături. Evaluare : 1. Răspunsuri la problemele finale. 2. Derivate şi diferenţiale pentru funcţii reale de o variabilă reală, respectiv pentru funcţii reale de mai multe variabile. 3. Formula lui Taylor pentru funcţii reale de una sau mai multe variabile reale. 4. Extreme pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Extreme cu legături.(Prezentarea noţiunilor şi de exemple corespunzătoare.)

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU

FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

Fie f : I ⊂ R → R, unde I = (a, b), a < b şi x I0 ∈ . Definiţia 1. Se spune că funcţia f este derivabilă în punctul x0 dacă funcţia r : I

- { x0 } → R, definită prin r xf x f x

x x( )

( ) ( )=

−−

0

0 are limită finită în punctul x0 .

Valoarea acestei limite se numeşte derivata funcţiei f în punctul x0 şi se notează cu ′f x( )0 , deci

(1) ′ =−−→

f xf x f x

x xx x( ) lim

( ) ( )0

0

00

72

Pentru aceeaşi derivată se mai folosesc notaţiile df x

dx( )0 , Df x( )0 . Dacă

lim ( )x x

r x→

= ±∞0

spunem

că funcţia f are derivata ± ∞ în x0 , dar considerăm că funcţia f nu este derivabilă în acest punct. Să notăm cu G f ⊂ R 2 graficul funcţiei f, adică

( ) ( ){ }G x f x x a bf = ∈, ( ) ; ,. Atunci ′f x( )0 = tg α (fig. 1.), deci ′f x( )0 reprezintă coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcţiei f în punctul x0 . Dintre alte interpretări ale derivatei unei funcţii de o variabilă reală amintim: viteza unui mobil la un moment t0 , densitatea unei bare liniare în punctul x0 , dobânda instantanee într-un plasament cu dobândă variabilă, etc. Teorema 1. a) O funcţie f : I ⊂ R → R derivabilă într-un punct x I0 ∈ este continuă în

punctul x0 ; b) Dacă funcţia f : I ⊂ R → J este derivabilă în x I0 ∈ şi funcţia g : J → R este

derivabilă în y f x J c d0 0= ∈ =( ) ( , ) , atunci funcţia compusă h = g • f, ( )h x g f x( ) ( )= , este derivabilă în x0 şi

(2) ( )′ = ′ ′h x g f x( ) ( )0 0 ;

c) Dacă funcţia f este bijectivă (inversabilă) şi f −1 este inversa sa, atunci dacă funcţia f este derivabilă în x0 şi funcţia f −1 este derivabilă în y0 = f( x0 ) şi

(3) ( )f yf x

− ′=

′1

00

1( )

( ).

Observaţia 1. Dacă funcţia f : I = (a, b) ⊂ R → R este derivabilă în fiecare punct x I0 ∈ spunem că funcţia f este derivabilă pe mulţimea I. Afirmaţiile din Teorema 1 rămân valabile dacă ne referim la derivabilitatea pe un interval I. Cum orice submulţime deschisă a dreptei reale R se poate scrie ca o reuniune de intervale deschise, cele stabilite mai sus rămân valabile dacă considerăm funcţia f definită pe o submulţime deschisă a lui R. Luând în considerare în Definiţia 1 limite laterale în punctul x0 se obţin derivatele laterale în x0 :

f b( )

f x( )f x( )0

f a( )

x0

y

xO

α

a x b

Fig. 1.

73

4) ′ − = ′ + =

↓ ↑f x r x f x r x

x x x x( ) lim ( ), ( ) lim ( )0 00 0

0 0.

Astfel, pentru o funcţie f : [a, b] → R, dacă ne referim la derivabilitatea pe [a, b], în punctul a avem în vedere ′ +f a( )0 , iar în punctul b, derivata ′ −f b( )0 . Definiţia 2. Să presupunem că funcţia f este derivabilă pe o vecinătate a punctului x0 , fie f ‘ derivata sa. Dacă funcţia f ‘ este derivabilă în punctul x0 spunem că funcţia f este de două ori derivabilă în x0 . ′′f x( )0 este dată prin:

(5) ′ ′ =′ − ′

−→f x

f x f xx xx x

( ) lim( ) ( )

00

00.

Prin recurenţă se defineşte derivabilitatea şi derivata de un ordin oarecare, n al funcţiei f, într-un punct x0 , respectiv pe o submulţime deschisă a dreptei reale.

Derivata de ordin n a funcţiei f se notează prin f n( ) sau prin d fdx

n

n . Cu această

notaţie avem ( )f fn n( ) ( )=′−1 .

Exemplul 1. Fie funcţia f (x) = sin x, x ∈ R şi x0 fixat în R.

′ =−−

=

−⋅

+

− =→ →

f xx xx x

x x x x

x x xx x x x

( ) limsin sin

limsin cos

cos00

0

0 0

00

0 0

22 2

22

. Cum x0

a fost ales arbitrar în R rezultă că ′ = = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f x x x( ) cos sin

π2

. La fel se arată că

( )cos sinx x′ = − . Deci:

( )′′ = ′ = − = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟f x x x x( ) cos sin sin 2

2π

. Prin inducţie se arată că

f x x nn( ) ( ) sin= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π2

.

Considerăm cunoscute derivatele funcţiilor elementare şi regulile de derivare. Legat de acestea vom prezenta numai formula lui Leibniz de derivare de n ori a unui produs de două funcţii. Dacă u şi v sunt două funcţii derivabile de n ori pe mulţimea deschisă D ⊂ R, atunci funcţia u ⋅ v este derivabilă de n ori pe D şi are loc formula: (6) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v u v C u v C u v u vn n

nn

nk n k k n⋅ = + ′+ + + +− −1 1 K K .

Această formulă se demonstrează prin inducţie după n. Fie f o funcţie definită pe un interval I ⊂ R şi x I0 ∈ .

74

Definiţia 3. Se spune că funcţia f este diferenţiabilă în x0 dacă există un număr A ∈ R şi o funcţie α : I → R continuă în x0 şi nulă în x0 , astfel încât pentru orice x ∈ I să avem: (7) f x f x A x x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − + ⋅ −0 0 0α . Dacă funcţia f este diferenţiabilă în fiecare punct din I spunem că este diferenţiabilă pe intervalul I. Observaţia 2. Esenţial în Definiţia 3 este ca relaţia (7) să fie satisfăcută pentru x dintr-o vecinătate a lui x0 şi lim ( )

x xx

→=

00α .

Teorema 2. O funcţie f : I → R este diferenţiabilă într-un punct x I0 ∈ dacă şi numai dacă este derivabilă în x0 . Demonstraţie: Presupunem că f este diferenţiabilă în x0 . Pentru x x≠ 0 din (7) se obţine:

(8) f x f x

x xA x

( ) ( )( )

−−

= +0

0α .

Făcând pe x să tindă la x0 şi ţinând seama că lim ( )x x

x→

=0

0α rezultă că f este

derivabilă în x0 şi ′ =f x A( )0 . Dacă f este derivabilă în x0 , considerând A f x= ′( )0 şi

(9) α( )( ) ( )

( )xf x f x

x xf x pentru x x

pentru x x=

−−

− ′ ≠

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

00 0

00,

condiţiile din Definiţia 3 sunt satisfăcute. Să notăm cu h x x= − 0 creşterea de la x0 la x a variabilei independente a funcţiei f, atunci relaţia (7) se mai poate scrie sub forma: (10) [ ]f x h f x f x x h h( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0+ − = ′ + + ⋅α . Cum lim ( )

hx h

→+ =

00 0α , rezultă că pentru h suficient de mic putem scrie relaţia:

(11) f x h f x f x h( ) ( ) ( )0 0 0+ − ≅ ′ ⋅ , ce aproximează creşterea funcţiei cu produsul ′ ⋅f x h( )0 , care este o funcţie liniară. Observăm că produsul ′ ⋅f x h( )0 are sens pentru orice h ∈ R, dar numai pentru h suficient de mic, realizează o aproximare a creşterii funcţiei f, corespunzătoare creşterii h a argumentului. Definiţia 4. Funcţia liniară df x( ):0 R R→ definită prin: (12) df x h f x h( )( ) ( )0 0= ′ ⋅ se numeşte diferenţiala funcţiei f în x0 şi se notează cu df x( )0 .

75

Observăm că în timp ce ′f x( )0 este un număr real, df x( )0 este o funcţie liniară. Dacă considerăm funcţia identică ϕ(x) = x, atunci ′ =ϕ ( )x 1 şi deci d x h hϕ( )( )0 = . Fie acum x x0 = variabil, atunci obţinem dx(h) = h, deci putem scrie dx = h. Înlocuind pe h cu dx în (12) şi considerând x x0 = variabil în I, obţinem că diferenţiala funcţiei f într-un punct arbitrar x este dată prin: (13) df x dx f x dx( )( ) ( )= ′ , sau omiţând pe x şi dx ca argumente, obţinem că diferenţiala funcţiei f se poate scrie sub forma df f dx= ′ . Exemplul 2. Pentru funcţiile elementare sin x, ex , arctg x, avem:

d sin x = cos x dx, de e dxx x= , ( )d arctg xx

dx( ) =+

11 2 .

Observaţia 3. Regulile de diferenţiere se deduc, ţinând seama de relaţia (13), din regulile de derivare. Astfel, dacă două funcţii u, v : I → R sunt diferenţiabile pe I şi α ∈ R, atunci şi funcţiile u + v, u - v, α⋅u, u⋅v sunt diferenţiabile pe I şi au loc relaţiile:

(14) d u v du dv d u v du dvd u du d u v v du u dv

( ) ; ( ) ;( ) ; ( )+ = + − = −⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅α α

Deasemenea uv

este diferenţiabilă pe I - Zg , unde ( ){ }Z x I g xg = ∈ =: 0 şi

(15) duv

vdu udvv

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−2 .

Teorema 3. Fie u: I → J şi f: J → R două funcţii derivabile (diferenţiabile) în x I0 ∈ , respectiv în ( )u u x J0 0= ∈ , atunci funcţia compusă h: I → R h f u= o este derivabilă (diferenţiabilă) în punctul x0 şi mai mult avem:

(16) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ = ′ ′ = ′ = ′ ′h x f u x dh x f u du x f u u x dx0 0 0 0 0 0 0, . Dacă considerăm x x0 = , arbitrar în I şi u u= 0 punctul corespunzător din J lui x prin funcţia u, atunci (16) devine: (16’) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ = ′ ′ = ′ ′h x f u u x dh x f u u x dx; Definiţia 5. Fie funcţia f: I → R, I = (a, b), a < b şi x I0 ∈ . Spunem că funcţia f este diferenţiabilă de două ori în x0 , dacă este derivabilă într-o vecinătate V a lui x0 şi dacă derivata ′f este diferenţiabilă în x0 .

Diferenţiala de ordinul doi a funcţiei f în x0 se noteză cu ( )d f x20 şi se

defineşte prin: (17) ( ) ( )d f x f x dx2

0 02= ′′ .

76

În mod analog, prin recurenţă, se defineşte diferenţiabilitatea şi diferenţiala de ordinul n a funcţiei f în x0 . Avem:

(18) ( ) ( ) ( )d f x f x dxn n n0 0= ,

adică ( )d f xn0 este un polinom de gradul n în dx.

Aplicaţiile derivatei şi diferenţialei sunt numeroase, acestea pornesc de la faptul că diferite mărimi fizice, economice etc. se exprimă ca derivate sau difrenţiale ale unor funcţii. Dintre acestea amintim: viteza şi acceleraţia în mişcarea rectilinie sau unghiulară, debitul unui lichid, intensitatea curentului electric, densitatea unei repartiţii liniare de masă, etc. Care este legătura dintre funcţii derivabile şi funcţii diferenţiale ?

Scrieţi care sunt regulile de diferenţiere pentru funcţiile u + v, u – v,uv,vu .

6.2. FORMULELE LUI TAYLOR ŞI MAC-LAURIN

PENTRU FUNCŢII DE O VARIABILĂ REALĂ. SERII TAYLOR

Fie f : I ⊂ R → R o funcţie de n ori derivabilă într-un punct a ∈ I. Aceasta înseamnă că primele n - 1 derivate ale funcţiei f există pe o vecinătate V a punctului a şi că derivata de ordinul n - 1 este derivabilă în punctul a. Pentru simplificarea scrierii presupunem că V coincide cu intervalul deschis I. Atunci pentru fiecare x ∈ I putem să definim polinomul:

(1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )T x f a

x af a

x an

f an

nn= +

−′ + +

−1! !

K ,

care se numeşte polinomul lui Taylor de gradul n asociat funcţiei f în punctul a. Să considerăm funcţia: (2) ( ) ( ) ( )R x f x T xn n= − , atunci avem formula: (3) ( ) ( ) ( )f x T x R xn n= + , care dezvoltat se scrie sub forma:

(4) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x f a

x af a

x an

f a R xn

nn= +

−′ + +

−+

1! !K .

Relaţia (3) unde ( )T xn este definit de relaţia (1) sau relaţia (4) poartă numele de formula lui Taylor de ordinul n, asociată funcţiei f în punctul a. Funcţia ( )R xn definită de relaţia (2) se numeşte restul de ordinul n al formulei lui Taylor (3) sau (4).

77

Deoarece funcţiile f şi ( )T xn au derivate până la ordinul n în punctul a rezultă că şi funcţia rest ( )R xn este derivabilă şi deci continuă în punctul a. Mai mult, ( ) ( ) ( )R a f a T an n= − = 0 , deci ( ) ( )lim

x an nR x R a

→= = 0 . De aici deducem

că pentru x suficient de aproape de a, restul ( )R xn poate fi făcut oricât de mic, adică pentru x suficient de aproape de a, funcţia f(x) poate fi aproximată prin polinomul lui Taylor ( )T xn . Pentru o evaluare a erorii făcute în această aproximare, este util să găsim exprimări adecvate pentru restul ( )R xn . Vom presupune în cele ce urmează că funcţia f este derivabilă de (n + 1) ori pe intervalul I, care se poate reduce la o vecinătate a punctului a şi vom determina o constantă k astfel încât: (5) ( ) ( )R x k x an

p= − , unde p ∈ N. În acest caz formula lui Taylor (4) ia forma:

(6) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x f a

x af a

x an

f a k x an

n p= +−

′ + +−

+ −1! !

K .

Să considerăm funcţia ϕ: I → R definită prin:

(7) ϕ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )t f t

x tf t

x tn

f t k x tn

n p= +−

′ + +−

+ −1! !

K .

Observăm că funcţia ϕ(t) este derivabilă, continuă şi ϕ(x) = f(x), ϕ(a) = f(x), deci ϕ(x) = ϕ(a). Fiind îndeplinite condiţiile teoremei lui Rolle, rezultă că există ξ cuprins între a şi x astfel că ( )′ =f ξ 0 .

Calculând ( )′f ξ obţinem relaţia:

(8) ( ) ( ) ( ) ( )x

nf kp x

nn p−

− − =+ −ξξ ξ

!1 1 0 ,

de unde rezultă:

(9) ( ) ( ) ( )kx

n pf

n pn=

− − ++ξ

ξ1

1!

.

Aşadar, restul ( )R xn se poate exprima sub forma:

(10) ( )( )

( ) ( ) ( )R xx

n px a fn

n pp n=

−−

− ++ξ

ξ1

1!

,

cu ξ situat între x şi a. Luând p = 1 se obţine forma lui Cauchy a restului formulei lui Taylor:

(11) ( )( ) ( ) ( ) ( )R xx x a

nfn

nn=

− − +ξξ

!1 .

Pentru p = n + 1 se obţine forma cunoscută sub numele de restul lui Lagrange:

Comment:

78

(12) ( )( )( )

( ) ( )R xx a

nfn

nn=

−+

++

11

1 !ξ ,

care este des utilizată în aplicaţii. Deoarece ξ este cuprins între a şi x, există un număr θ care depinde de a, x, n şi p, θ ∈ [0, 1] astfel că ξ = a + θ(x-a). Să notăm h = x - a, atunci ξ = a + θh, iar formula lui Taylor de ordinul n devine:

(13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f a h f a

hf a

hn

f ahn

fn

nn

n+ = + ′ + + ++

++

1 1

11

! ! !K (a + θh).

Remarcăm că deoarece ξ depinde de a, x, n şi p, cel din restul lui Lagrange este diferit de cel din restul lui Cauchy. Dacă a = 0 ∈ I, atunci din formula lui Taylor, se obţine formula cunoscută sub numele Mac-Laurin:

(14) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ξ1

1

!10

!0

!10 +

+

++++′′+= n

nn

n

fnxf

nxfxfxf K ,

cu ξ cuprins între 0 şi x. Pentru n = 0, folosind formula de mai sus, sub forma lui Lagrange, se obţine cunoscuta formulă a creşterilor finite a lui Lagrange:

(15) ( )( )

f x f ax a

f= +−

′( )!

( )1

ξ .

Ca o aplicaţie a formulei lui Taylor, să determinăm punctele de extrem ale unei funcţii de o variabilă utilizând derivatele de ordin superior. Fie f: I → R astfel încât ( ) ( ) ( ) ( )′ = ′′ = = −f a f a f anK 1 =0 şi ( )f an ( ) ≠ 0 , unde a ∈ I.Aplicând formula lui Taylor de ordinul n - 1 obţinem relaţia:

(16) ( ) ( ) ( )f x f a f

x an

nn

( ) ( )!

− =−

ξ ,

unde ξ este cuprins între x şi a. Punctul a este un punct de extrem al funcţiei f dacă f(x) - f(a) păstreză semn constant pe o vecinătate a lui a. Deoarece ( )f n este continuă în punctul a, fiind derivabilă în acest punct, rezultă că există o vecinătate a lui a, Va pe care ( )f n păstrează semn constant şi

anume semnul lui ( )f an ( ) . Să considerăm cazurile:

1) n este un număr par şi ( )f an ( ) > 0 , atunci f(x) - f(a) > 0 pentru orice x Va∈ , deci a este un punct de minim local al funcţiei f;

2) n este un număr par şi f an( ) ( ) < 0 , atunci f(x) - f(a) < 0 pentru orice x Va∈ , ceea ce arată că a este un punct de maxim local al funcţiei f;

79

3) n este un număr impar, atunci ( )x a n− şi deci şi f(x) - f(a) schimbă semnul după cum x se află la stânga sau la dreapta lui a, ceea ce arată că a nu poate fi un punct de extrem local al funcţiei f.

Exemplul 1. Fie funcţia f: (0, 2π) → R, f(x) = sin x (1 + cos x). Observăm că f este derivabilă de n ori, n ≥ 1 şi ′ = + − ′ =f x x x f x( ) cos cos , ( )2 1 02 implică

x x x f x x x x1 2 3353

4= = = ′′ = − −π π

π, , , ( ) sin cos sin ; din ′′ <f x( )1 0 rezultă că

x1 este un punct maxim local al funcţiei f, ′′ >f x( )2 0 implică x2 este punct de minim local al funcţiei f; cum ′′ =f x( )3 0 şi ′′′ ≠f x( )3 0 rezultă că x = π este un punct de inflexiune al funcţiei f . Formula lui Taylor are aplicaţii multiple sub forma: (17) f x T xn( ) ( )≈ , ca formulă de aproximare a valorilor funcţiei f prin cele ale polinomului Taylor asociat. O evaluare a restului R xn ( ) permite evaluarea erorii făcute prin aproximare. Exemplul 2. Să calculăm aproximativ sin 46°. Considerăm a = 45° şi n = 2. Avem:

sin 46° ≈ sin 45° +π π

18045

12 180

452

cos sino o−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Obţinem sin 45° ≈ 0,7193402. O aproximare mai bună se obţine considerând n > 2. Fie I un interval deschis al dreptei reale, a ∈ I şi f: I → R o functie indefinit derivabilă în punctul a. Atunci putem considera seria de puteri:

(18) ( )

f ax a

f ax a

nf a

nn( )

!( )

!( )( )+

−′ + +

−+

1K K ,

care se numeşte seria Taylor, asociată funcţiei f, în punctul a. Să notăm cu R raza de convergenţă a seriei (18), R ∈ [0, ∞]. Deasemenea seriei (18) îi corespunde o mulţime de convergenţă C, care conţine intervalul de convergenţă (a - R, a + R) şi deci, inclusiv punctul a. Să notăm cu T suma acestei serii şi cu Tn , n ≥ 1, sumele ei parţiale. Observăm că suma seriei (18), funcţia T, este determinată de valorile f an( ) ( ), n ≥ 0, deci de valorile funcţiei f într-o vecinătate a punctului a, în acelaşi timp mulţimea de convergenţă C, a seriei (18) nu este în mod obligatoriu inclusă în I. Ţinând seama că sumele parţiale ale seriei (18) sunt polinoamele lui Taylor asociate funcţiei f, în punctul a, putem să scriem relaţiile: (19) T(x T x x x Cn n) ( ) ( ),= + ∈ρ ;

80

(20) f x T x R x x Vn n a( ) ( ) ( ),= + ∈ , unde ρn x n( ), ≥ 1 reprezintă resturile seriei lui Taylor (18), iar R xn ( ) , n ≥ 1, reprezintă resturile formulei lui Taylor (3). În exprimarea lui Lagrange R xn ( ) sunt date de (12). Ţinând seama de exprimările lui T(x) şi f(x) din (19), respectiv (20), se pune întrebarea, dacă pentru valori x ∈ I ∩ C, f(x) = T(x). Vom arăta printr-un exemplu că acest fapt nu se întâmplă întotdeauna. Exemplul 3. Fie funcţia f: R → R

f x e pt xpt x

x( ) ..

= ≠=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

−12 0

0 0

Funcţia f este continuă în origine, are derivate de orice ordin în origine şi acestea sunt nule pentru orice n ≥ 0, ( ( )f n ( )0 0= , n ≥ 0). Seria Taylor asociată lui f este seria nulă, având toţi coeficienţii nuli şi deci are şi suma 0, care este diferită de valorile funcţiei pentru orice x ≠ 0. Răspunsul la întrebarea pusă, este dat de teorema următoare. Teorema 1. Seria Taylor a funcţiei f: I ⊂ R → R în punctul a este convergentă într-un punct x ∈ C ∩ I, către valoarea f(x), dacă şi numai dacă valorile în x ale resturilor { }R xn n( )

≥1, ale formulei lui Taylor, formează un şir convergent către

0. Într-adevăr, în acest caz ( )lim ( ) lim ( ) ( ) ( )

nn

nnT x f x R x f x

→∞ →∞= − = .

În condiţiile Teoremei 1, putem scrie:

(21) ( ) ( ) ( )

f x f ax a

f ax a

f ax a

nf a

nn( ) ( )

!( )

!( )

!( )( )= +

−′ +

−′′ + +

−+

1 2

2K K

Egalitatea de mai sus se numeşte formula de dezvoltare a funcţiei f în serie Taylor, în vecinătatea punctului a. Dacă a = 0 ∈ I, atunci seria din (21) ia forma:

(22) f x fx

fx

fxn

fn

n( ) ( )!

( )!

( )!

( )( )= + ′ + ′′ + + +01

02

0 02

K K ,

şi spunem că funcţia f(x) se dezvoltă în serie Mac-Laurin în vecinătatea originii (x ∈V0 ).

Exemplul 4. Fie funcţia f x ex( ) = , f: R → R, f ∈ C∞ (R) şi f x en x( ) ( ) = , n ≥

1, deci f n( ) ( )0 1= , oricare ar fi n ∈ N. Formula lui Mac-Laurin, pentru funcţia exponenţială cu restul sub forma lui Lagrange are forma:

81

(23) ( )ex x x

nxn

exn n

cx= + + + + ++

+1

1 2 1

2 1

! ! ! !K ,

unde cx se găseşte între 0 şi x, şi evident depinde de x. Mai mult, oricare ar fi x real fixat are loc:

(24) ( )lim ( ) lim!

.n

nn

cn

R x exn

x→∞ →∞

+=

+=

1

10

Raza de convergenţă a seriei Mac-Laurin a funcţiei exponenţiale:

(25) xn

n

n !=

∞∑

0

este ( )

Rn

nn

= ⋅+

= ∞→∞lim

!!1 1

1.

Din cele de mai sus rezultă că pentru orice x ∈ C ∩ R = R ∩ R = R funcţia exponenţială f x ex( ) = admite următoarea dezvoltare ca serie de puteri (Mac-Laurin):

(26) ex x x

nx

n= + + + + +1

1 2

2

! ! !K K .

Relaţia (26) poate fi considerată ca relaţie de definiţie a funcţiei exponenţiale. Mai mult, în analiza complexă se demonstrează că relaţia rămâne adevărată pentru orice număr complex z din C. Dacă definim funcţia exponenţială prin relaţia (26) se regăsesc toate proprietăţile cunoscute ale funcţiei exponenţiale. Considerând dezvoltările Mac-Laurin ale funcţiilor sin x, cos x şi scriind după (26) dezvoltările corespunzătoare funcţiilor e eix ix, − , x ∈ R vom obţine:

(27) ( )sin! !

( )!

x xx x x

nn

n= − + + + −

++

+3 5 2 1

3 51

2 1K K;

(28) ( ) ( )cos! ! !

xx x x

nn

n= − + + + − +1

2 41

2

2 4 2K K ;

(29) eix x ix xix = + − − + −11 2 3 4

2 3 4

! ! ! !K;

(30) eix x ix xix− = − − + + −11 2 3 4

2 3 4

! ! ! !K ,

de unde rezultă relaţiile:

(31) cos sinxe e

xe e

i

ix ix ix ix=

+=

−− −

2 2,

ce se pot constitui în relaţii de definiţie ale funcţiilor cos x şi sin x. De asemenea rezultă relaţia: (32) e x i xix = +cos sin ,

82

care poartă numele de formula lui Euler şi are o importanţă deosebită în diferite calcule. Din dezvoltarea în serie a funcţiei exponenţiale (26) se obţin următoarele

dezvoltări în serie pentru funcţiile ( )shx e ex x= − −12

(sinus hiperbolic),

respectiv ( )chx e ex x= + −12

(cosinus hiperbolic):

(33) ( )shx xx x x

n

n= + + + +

++

+3 5 2 1

3 5 2 1! ! !K K ;

(34) ( )chxx x x

n

n= + + + + +1

2 4 2

2 4 2

! ! !K K ,

ce pot fi considerate şi ca relaţii de definiţie a acestor funcţii. Pe baza acestor relaţii de definiţie se pot demonstra proprietăţile acestor funcţii dintre care amintim: (35) ch x sh x2 2 1− = . Exemplul 5. Fie funcţia f(x) = ln(1 + x), f: (-1, +∞) → R. Atunci avem:

( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

′ =+

′ =

′′ = −+

′′ = −

= −−

+= − −− −

f xx

f

f xx

f

f xn

xf nn n

nn n

11

0 11

10 1

11

10 1 1

2

1 1

;

;

!!

LLLLLLLLLLLL

Astfel seria Mac-Laurin asociată funcţiei f este:

(36) ( )

xx x x

nx

nn− + − + +

−+

−2 3 4 1

2 3 41

K K .

Raza de convergenţă a acestei serii este:

(37) Ra

a nn

nn

n n= = ⋅

+=

→∞ + →∞lim lim

1

1 11

1.

Pentru x = -1 seria (36) este divergentă, iar pentru x = 1 seria este convergentă, deci mulţimea de convergenţă a seriei este C = (-1, 1]. Restul de ordinul n al formulei lui Mac-Laurin sub forma lui Lagrange este:

( )( )R x

xn

f cn

xcn

nn

xx

n( )

!( )=

+=

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

++

+11

1

11

1 1,

(38) şi:

83

lim ( ) limn

nn x

nR x

nxc→∞ →∞

+

=+ +

=1

1 10

1,

pentru orice x ∈ (-1, 1). Aceasta arată că suma seriei (36) este funcţia f(x) = ln(1 + x), deci seria (36) reprezintă dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei f(x) = ln(1 + x), adică avem

ln( )( )

,11

11

1+ =

−<

−

=

∞∑x

nx x

n

n

n .

Exemplul 6. Să se dezvolte în serie Mac-Laurin funcţia f: (-1, +∞) → R,

( )f x x( ) = +1 α , α ∈ R, α ≠ 0, 1, 2, … Funcţia admite derivate de orice ordin în origine (x = 0) şi: (39) ( ) ( )( )f x n xn n( ) ( ) = − − + + −α α α α1 1 1K ,

(40) ( ) ( ) ( )f nn ( )0 1 1= − − +α α αK . Seria Mac-Laurin corespunzătoare este:

(41) ( )( ) ( )

11

12

1 12+ + − + +

− − ++α α α

α α αx x nn

xn! ! !

KK

K .

Raza de convergenţă a seriei de puteri (41) este 1, iar intervalul de convergenţă este (-1, 1). Utilizând restul formulei lui Taylor R xn ( ) , sub forma lui Cauchy (11), se arată că acesta tinde la 0, pentru orice x ∈ (-1, 1) şi deci, seria (41) converge către funcţia ( )f x x( ) = +1 α . Seria (41) se numeşte seria binomială. Pentru α ∈ N se obţine dezvoltarea binomului lui Newton. Scrieţi polinomul lui Taylor de ordinul patru ataşat funcţiei f în punctul x0 = –2, unde f : I → R , f este derivabilă de patru ori pe I şi x0 ∈ int I. Scrieţi formula lui Mac – Laurin de ordinul cinci pentru funcţiile sin, cos, sh, ch, (1+x)m cu m ∈ R respectiv de ordinul cinci. 6.3. DERIVATE PARŢIALE ŞI DIFERENŢIALE

PENTRU FUNCŢII REALE DE MAI MULTE VARIABILE REALE

Vom considera, mai întâi, cazul funcţiilor de două variabile reale. Fie f X: ⊂ →R R2 şi ( )x y IntX0 0, ∈ . Pentru simplificarea scrierii vom considera în cele ce urmează funcţii definite pe mulţimi deschise, formate numai din puncte interioare.

84

Definiţia 1. a) Spunem că funcţia f este derivabilă parţial, în raport cu variabila x, în punctul

( )x y0 0, dacă:

(1) ( ) ( )

lim, ,

x x

f x y f x yx x→

−−0

0 0 0

0

există şi este finită. Limita însăşi se numeşte derivata parţială în raport cu

variabila x, a funcţiei f, în punctul ( )x y0 0, şi se notează cu ( )∂∂

fx

x y0 0, sau

( )′f x yx 0 0, ; b) Spunem că funcţia f este derivabilă parţial, în raport în raport cu variabila y,

în punctul ( )x y0 0, dacă:

(2) ( ) ( )

lim, ,

y y

f x y f x yy y→

−−0

0 0 0

0

există şi este finită. Limita însăşi se numeşte derivata parţială, a funcţiei f, în

raport cu variabila y, în punctul ( )x y0 0, şi se notează prin ( )∂∂

fy

x y0 0, sau

( )′f x yy 0 0, . Dacă f este derivabilă parţial în fiecare punct al unei mulţimi spunem că funcţia f este derivabilă parţial pe mulţimea respectivă. Din definiţia derivabilităţii parţiale rezultă că atunci când se derivează parţial în raport cu o variabilă celelalte variabile se consideră constante. Cu această observaţie regulile de la derivarea funcţiilor de o variabilă se transpun la derivarea parţială a funcţiilor de mai multe variabile. Exemplul 1. Să se calculeze derivatele parţiale ale funcţiei:

( ){ } ( )f f x y x y: , ( , ) lnR R2 2 20 0− → = + . Avem:

∂∂

∂∂

fx

xx y

fy

yx y

=+

=+

2 22 2 2 2; .

Propoziţia 1. a) Dacă funcţia f X: ⊂ →R R2 este derivabilă parţial într-un punct sau pe o

mulţime atunci funcţia f este continuă parţial în acel punct, respectiv este continuă parţial pe acea mulţime.

85

b) Dacă funcţia f este derivabilă parţial pe o vecinătate a unui punct ( )x y0 0, şi

derivatele parţiale ∂∂

∂∂

fx

fy

, sunt mărginite pe acea vecinătate, atunci funcţia f

este continuă (global) în punctul ( )x y0 0, . Demonstraţia afirmaţiei a) rezultă imediat din definiţie, iar pentru a arăta afirmaţia b) se aplică cunoscuta teoremă a lui Lagrange pe un interval ( )x x0 , şi

( )y y0 , , dacă x x0 < , respectiv y y< 0 . Observaţia 1. Cele spuse despre derivabilitatea parţială a funcţiilor de două variabile rămân valabile pentru funcţii de n variabile, n ≥ 2. Astfel, dacă considerăm funcţia f X n: ⊂ →R R , X fiind o mulţime deschisă din R n şi

( )a a a a Xn= ∈1 2, , ,K , atunci pentru funcţia f pot fi definite n derivate parţiale

de ordinul întâi, în raport cu variabilele x k nk , ,= 1 , în punctul a:

(3) ( )( ) ( )∂

∂f

xa

f a a x a a f ax ak x a

k k k k

k kk k=

−−→

− +lim,... , ,...

.1 1 1

Observaţia 2. Operaţiile algebrice (cu sens) asupra funcţiilor derivabile parţial au ca rezultat funcţii derivabile parţial. Exemplul 2. Derivatele parţiale ale funcţiei:

{ } ( )f f x x suntf

xx

x

ni

i

n

k

k

ii

n: lnR R− → =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

=

=

∑∑

022

1 2

1

∂∂

.

Să considerăm o funcţie f X: ⊂ →R R2 despre care presupunem că este derivabilă parţial în raport cu variabilele x şi y pe mulţimea deschisă X. Atunci

derivatele parţiale ∂∂

fx

şi ∂∂

fy

sunt la rândul lor funcţii de două variabile definite

pe X şi pot fi derivabile parţial la rândul lor. Definiţia 3. Dacă derivatele parţiale ale funcţiei f pe mulţimea X sunt la rândul lor derivabile parţial pe X în raport cu x şi y, atunci derivatele lor parţiale se numesc derivate parţiale de ordinul doi, ale funcţiei f, şi se notează astfel:

86

(4)

( )

( )( )( )

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

22

2

2

2

fx

fx

fx

fy x

fy

fx

fx y

fx

fy

fy

fy

fy

xx

xy

yx

yy

= ′′ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ′′ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ′′ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ′′ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Derivatele parţiale ′′fxy şi ′′fyx , numite şi derivate parţiale mixte, în general nu sunt egale. Următoarea teoremă stabileşte condiţii suficiente ca derivatele parţiale mixte să fie egale. Teorema 1. (Criteriul lui Schwartz). Dacă funcţia f(x, y) are derivate parţiale mixte de ordinul doi ′′fxy , ′′fyx într-o vecinătate a unui punct (a, b) şi dacă acestea sunt continue în punctul (a, b) atunci ele sunt egale în punctul (a, b), adică: (5) ′′fxy (a, b) = ′′fyx (a, b).

Demonstraţie: Fie ( ) ( )x y V a b, ,∈ şi x ≠

a, y ≠ b. Considerăm funcţia: (6)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )R x y

f x y f x b f a y f a bx a y b

,, , , ,

=− − +

− −, definită pe vecinătatea lui (a, b), ( )V a b,

mai puţin punctul (a, b) şi funcţia:

(7) ( )( ) ( )

ϕ tf t y f t b

y b=

−−

, ,,

definită pe intervalul [a, x], respectiv [x, a] după cum a < x sau x < a. Observăm că:

(8) ( )( ) ( )

ϕ xf x y f x b

y b=

−−

, ,, ( )

( ) ( )ϕ a

f a y f a by b

=−−

, ,,

de unde rezultă:

(9) ( ) ( ) ( )R x y

x ax a

, =−−

ϕ ϕ.

Aplicând teorema creşterilor finite a lui Lagrange rezultă că există ξ, situat între a şi x, astfel încât:

( , )x b( , )a b

α ξ η( , )

( , )x y( , )a yy

O xa ξ x

y

η

b

87

(10) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ

ϕ ξx ax a−−

= ′ ,

de unde rezultă:

(11) ( ) ( ) ( )R x y

f y f by b

x x,, ,

=′ − ′

−ξ ξ

.

Funcţia ( ) ( )ϕ ξ1 u f ux= ′ , este derivabilă pe [b, y], dacă b < y, respectiv pe [y, b], dacă y < b, deoarece ′′fxy există pe V. Aplicând din nou teorema creşterilor

finite pe acest interval rezultă că există η cuprins între b şi y astfel încât:

(12) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ

ϕ η1 11

y by b−−

= ′ ,

de unde rezultă:

(13) ( ) ( ) ( )′ − ′

−= ′′

f y f by b

fx xx y

ξ ξξ η

, ,,, .

Am obţinut astfel că: (14) R(x, y) = ′′fxy (ξ, η). Printr-un raţionament analog folosind funcţia:

(15) ( ) ( ) ( )Ψ t

f x t f a tx a

=−−

, ,,

se deduce că: (16) R(x, y) = ′′fyx (ξ’, η’),

cu ξ’ cuprins între a şi x şi η’ cuprins între b şi y. Fie acum un şir, ( ){ } ( )x y Vn n n a b, ,≥

⊂1

, convergent către (a, b), cu

x an ≠ şi y bn ≠ . Din cele de mai sus rezultă că există ξn , ′ξn cuprinşi între a şi x şi ηn , ′ηn cuprinşi între b şi y astfel încât:

(17) ( ) ( ) ( )R x y f fxy n n yx n n, , ,= ′′ = ′′ ′ ′ξ η ξ η .

Din convergenţa ( ) ( )x y a bn n n, ,→∞⎯ →⎯⎯ rezultă că deasemenea şirurile

( )ξ ηn n n,≥1, ( )′ ′

≥ξ ηn n n, 1 converg la (a, b), cum derivatele parţiale ′′fxy şi ′′fyx

sunt continue, rezultă că f a b f a bxy yx″ = ″( , ) ( , ) şi teorema este complet

demonstrată. Corolarul 1. Dacă derivatele mixte ′′fxy şi ′′fyx există şi sunt continue pe o mulţime, atunci ele sunt egale pe mulţimea respectivă. Observaţia 3. Afirmaţia Teoremei 1 rămâne adevărată în condiţii mai largi şi anume este suficient ca cel puţin una din derivatele parţiale de ordinul doi să fie continuă în punctul (a, b).

88

Observaţia 4. Afirmaţia Teoremei 1 rămâne adevărată în condiţii similare pentru derivate parţiale mixte de un ordin oarecare n ≥ 2 şi pentru funcţii de mai multe variabile decât doi. De exemplu, pentru o funcţie f X k: ⊂ →R R ( )f f x x xk= 1 2, ,..., derivabilă de

două ori pe X, avem k2 derivate parţiale de ordinul doi ∂

∂ ∂

21

fx x

i j ki j

, , ,= dintre

acestea ( )k k k k2 1− = − sunt mixte, dacă acestea sunt continue doar ( )k k −1

2

sunt distincte. Observaţia 5. Teorema 1 furnizează o condiţie suficientă ca derivatele mixte într-un punct să fie egale. Ea nu este şi necesară. Se poate arăta că pentru funcţia:

( )f x y yxy

pentru y x

pentru y x, ln ,

,= +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ≠ ∈

= ∈

⎧

⎨⎪

⎩⎪

22

21 0

0 0

R

R

( ) ( )′′ = ′′f fxy yx0 0 0 0, , şi nu sunt satisfăcute condiţiile din Criteriul lui Schwartz. Exemplul 3. Vom prezenta un exemplu economic în care intervin derivate parţiale. Să presupunem că pe o piaţă de desfacere, la concurenţă, apar n mărfuri de consum m m mn1 2, ,..., , care se vând la preţurile x x xn1 2, ,..., . Pe această piaţă cumpără la un moment dat un anumit număr de consumatori cu gusturi, preferinţe şi venituri date. În acest caz cantitatea Yi din marfa mi cerută pe piaţă este funcţie de preţurile tuturor mărfurilor de pe piaţă, adică: ( )Y f x x xi i n= 1 2, ,..., . Funcţiile fi le presupunem derivabile parţial în raport cu toate variabilele xi . Variaţia cererii unui produs când un anumit preţ variază, iar celelalte rămân

constante, este dată de derivatele parţiale ∂∂

fx

i j ni

j, , ,= 1 .

Să presupunem i = j fixat şi că preţul xi al produsului pi creşte, atunci

derivata parţială ∂∂

fx

i

i va fi negativă şi va indica viteza cu care scade cererea din

produsul pi corespunzătoare creşterii preţului xi . Derivata mixtă ∂∂ ∂

2fx x

k

i j cu k, i

şi j fixaţi, pe care o presupunem continuă, va indica viteza de variaţie a cererii din produsul pk atunci când preţurile produselor pi şi p j variază cu o anumită viteză într-un sens sau altul (creştere, scădere). O informaţie mai completă o furnizează elasticitatea parţială a cererii pentru produsul pi în raport cu preţul său xi dată prin:

89

( )( )

i

n21i

i

ixf x

xxxffx

Fii ∂

∂ ,...,,, = .

Fie f X: ⊂ →R R2 , unde X este o mulţime deschisă şi ( )x y0 0, un punct fixat în X. Definiţia 2. Se spune că funcţia f este diferenţiabilă în punctul ( )x y0 0, dacă există două numere reale λ şi µ şi o funcţie ω: X → R continuă în punctul ( )x y0 0, şi nulă în acest punct, astfel încât pentru orice (x, y) dintr-o vecinătate

( )V x y0 0, a punctului ( )x y0 0, să fie satisfăcută egalitatea:

(18) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x y f x y

x x y y x y x x y y

, ,

,

− =

= − + − + − + −

0 0

0 0 02

02

λ µ ω.

Dacă funcţia f este diferenţiabilă în fiecare punct al unei mulţimi deschise spunem că funcţia f este o diferenţiabilă pe mulţimea respectivă. ( ) ( ) ( )∆f x y f x y f x y0 0 0 0, , ,= − se numeşte creşterea funcţiei în punctul

( )x y0 0, corespunzătoare creşterii variabilelor ∆x x x= − 0 şi ∆y y y= − 0 .

( ) ( )d x x y y= − + −02

02 reprezintă distanţa dintre punctele (x, y) şi ( )x y0 0, .

Cu aceste notaţii (18) devine: (19) ( )∆f x y x y d0 0, = + +λ∆ µ∆ ω . Observaţia 6. Esenţial în definiţia de mai sus este faptul că: (20) ( )lim , ,

i xy y

x y→→

=00

0ω deoarece dacă ω(x, y) verifică egalitatea (18) pentru

( ) ( ) ( )x y V x yx y, \ ,,∈0 0 0 0 ea poate fi prelungită în ( )x y0 0, prin continuitate, iar

în afara vecinătăţii prin relaţia de definiţie (18). Lema 1. Dacă funcţia ω: X → R are limita 0 în punctul ( )x y0 0, atunci există

două funcţii ω ω1 2, :X → R având limita 0 în punctul ( )x y0 0, şi astfel este verificată egalitatea: (21) ( ) ( )( ) ( )( )ω ω ωx y d x y x y x y y y, , ,= − + −1 0 2 1 0 , pentru orice (x, y) ∈ X. Reciproc, dacă funcţiile ω ω1 2, :X → R au limitele nule în ( )x y0 0, atunci există

o funcţie ω: X → R, având limita nulă în ( )x y0 0, şi care verifică egalitatea (21).

90