modele matematice în stiinte si nu numai - math.uaic.rostoleriu/mathmodelling.pdf · aplicaµie...
TRANSCRIPT
Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai
Dr. Iulian Stoleriu
Facultatea de Matematic
Universitatea Al. I. Cuza Ia³i
[email protected]; [email protected]
29 martie 2014
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 1 / 9
Aplicaµii în Biologie: Apariµia ³i evoluµia formelor în natur
Dintotdeauna oamenii au fost fascinaµi de varietatea formelor ³i culorilor ce apar înnatur , c utând s le explice în diverse moduri.De ce sunt dungate ZEBRELE? Cum apar petele la leoparD? Cum
evolueaz coarnele la ? Cum apare coloritul la ?J.D. Murray (Mathematical Biology, Springer Verlag) sugereaz c apariµia ³i evoluµiaacestor forme în natur poate explicat folosind anumite sisteme de ecuaµii cuderivate parµiale, numite ecuaµii de reacµie-difuzie, introduse de A. Turing.Turing a armat c diversele modelele ce apar pe pielea/blana animalelor apar înurma unor instabilit µi in difuzia substanµelor morfogenetice din piele ap rute întimpul st rii embrionare a evoluµiei.Dac u = u(x , y) ³i v = v(x , y) sunt concentraµiile activatorului/inhibitorului,atunci rata de schimbare a concentraţiei =
producţia - degradarea + difuzia în spaţiu∂u
∂t= F (u, v)− αu + du∆u, (x , y) ∈ Ω,
∂v
∂t= G(u, v)− βu + dv∆v .
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 2 / 9
Aplicaµii în Biologie: Apariµia ³i evoluµia formelor în natur
Dintotdeauna oamenii au fost fascinaµi de varietatea formelor ³i culorilor ce apar înnatur , c utând s le explice în diverse moduri.De ce sunt dungate ZEBRELE? Cum apar petele la leoparD? Cum
evolueaz coarnele la ? Cum apare coloritul la ?J.D. Murray (Mathematical Biology, Springer Verlag) sugereaz c apariµia ³i evoluµiaacestor forme în natur poate explicat folosind anumite sisteme de ecuaµii cuderivate parµiale, numite ecuaµii de reacµie-difuzie, introduse de A. Turing.Turing a armat c diversele modelele ce apar pe pielea/blana animalelor apar înurma unor instabilit µi in difuzia substanµelor morfogenetice din piele ap rute întimpul st rii embrionare a evoluµiei.
Teorem :
Nu exist animale care au atât dungi pe corp(piele/blan ) cât ³i coada în pic µele, îns exist animale ce au corpul în pic µele ³i coada dungat .
[N.B. Excepµiile sunt considerate a anomalii]
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 2 / 9
Aplicaµii în Ecologie: Modele prad -r pitor
Model matematic de lanµ troc în Ecologie:
Modeleaz evoluµia în timp pentrupopulaµiile a trei specii de pe³ti (mici,mijlocii ³i mari) aaµi în competiµie.
Notaµii: n(t) = num rul pe³tilor mici;N1(t), N2(t) = populaµiile celor dou specii de pr d tori.
dn
dt= r n
(1− n
K
)− a1nN1
1 + b1n,
dN1
dt= −c1
a1nN1
1 + b1n− d1N1 −
a2N1N2
1 + b2N1
dN2
dt= −c2
a2N1N2
1 + b2N1
− d2N2.
Urm torul sistem de ecuaµii diferenµiale modeleaz evoluµia în timp a dou specii deanimale, prad ³i r pitor (e.g., iepuri ³i vulpi):
dI
dt= I (t)(a− bV (t)) (I (t)− nr. de iepuri la momentul t)
dV
dt= −V (t)(c − dI (t)). (V (t)− nr. de vulpi la momentul t)
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 3 / 9
Aplicaµii în Ecologie: Modele prad -r pitor
Model matematic de lanµ troc în Ecologie:
Modeleaz evoluµia în timp pentrupopulaµiile a trei specii de pe³ti (mici,mijlocii ³i mari) aaµi în competiµie.
Notaµii: n(t) = num rul pe³tilor mici;N1(t), N2(t) = populaµiile celor dou specii de pr d tori.
dn
dt= r n
(1− n
K
)− a1nN1
1 + b1n,
dN1
dt= −c1
a1nN1
1 + b1n− d1N1 −
a2N1N2
1 + b2N1
dN2
dt= −c2
a2N1N2
1 + b2N1
− d2N2.
Urm torul sistem de ecuaµii diferenµiale modeleaz evoluµia în timp a dou specii deanimale, prad ³i r pitor (e.g., iepuri ³i vulpi):
dI
dt= I (t)(a− bV (t)) (I (t)− nr. de iepuri la momentul t)
dV
dt= −V (t)(c − dI (t)). (V (t)− nr. de vulpi la momentul t)
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 3 / 9
Aplicaµii în Ecologie: Modele prad -r pitor
Model matematic de lanµ troc în Ecologie:
Modeleaz evoluµia în timp pentrupopulaµiile a trei specii de pe³ti (mici,mijlocii ³i mari) aaµi în competiµie.
Notaµii: n(t) = num rul pe³tilor mici;N1(t), N2(t) = populaµiile celor dou specii de pr d tori.
dn
dt= r n
(1− n
K
)− a1nN1
1 + b1n,
dN1
dt= −c1
a1nN1
1 + b1n− d1N1 −
a2N1N2
1 + b2N1
dN2
dt= −c2
a2N1N2
1 + b2N1
− d2N2.
Urm torul sistem de ecuaµii diferenµiale modeleaz evoluµia în timp a dou specii deanimale, prad ³i r pitor (e.g., iepuri ³i vulpi):
dI
dt= I (t)(a− bV (t)) (I (t)− nr. de iepuri la momentul t)
dV
dt= −V (t)(c − dI (t)). (V (t)− nr. de vulpi la momentul t)
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 3 / 9
Aplicaµie în Finanµe: Evaluarea activelor nanciare derivate
Evalueaz dreptul de cump rare a unui activ nanciar, ce valoreaz acum S0, la unmoment viitor T , cu un preµ prestabilit K ;A fost introdus de F. Black, M. Scholes & R. Merton în 1973; (premiul Nobel)
Ipoteze de lucru:opµiuni de tip call european − C(S, t);St este o mi³care brownian geometric ,
dSt = µStdt + σStdW (t);
nu exist dividende;piaµa nanciar este perfect .volatilitatea σ este o constat .
Ecuaµia Black-Scholes:
∂C
∂t+
12σ2S2 ∂
2C
∂S2+ rS
∂C
∂S= rC , t ∈ [0, T ]
Condiµia nal : C(St , T ) = (S(T )− K)+
Condiµii la limit : C(0, t) = 0, pt S = 0
C(S, T )
S→ 1 pt S →∞
Soluµia ecuaµiei este:
C0 = S0 Φ(d1)− K e−rT Φ(d2),
unde: d1 =ln (St/K) +
(r + σ2/2
)T
σ√T
³i d2 = d1 − σ√T .
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 4 / 9
Aplicaµie în Sociologie grade de separaµie (six degrees of separation)
Psihologul american Stanley Milgram a f cut un grup de experimente ce doreau s stabileasc lungimea medie a conectivit µii unei reµele sociale din Statele Unite.
Aceste experimente au dus la concluzia c reµeaua social uman este o lume mic
Oricare dou persoane de pe glob pot unitede un ³ir de cuno³tinµe de lungime medie ≤ 6
Alte lumi mici: reµele metabolice, reµeleneuronale, reµele de computere legate lainternet ([D. Watts, 2001] analizând 48.000 deutilizatori din 157 de µ ri)
Fenomenul poate descris folosind Teoria
Grafurilor ³i Statistic Distanµa dintre dou noduri alese la întâmplare este proporµional cu num rul denoduri din reµea.
Exemple de small worlds: reµelele de socializare, internetul, Wikipedia, reµelelemetabolice, reµelele genetice, reµeaua actorilor de la Hollywood (Kevin Bacon =⇒Bacon number), reµeaua matematicienilor (Paul Erdös =⇒ Erdös number) etc.
Au aplicaµii în Sociologie, Medicin , Computer Science, tiinµele P mântului etc.
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 5 / 9
Aplicaµie în Chimie: Studiul reacµiilor chimice
ki k1 k2
k−1
k oS + E C E + P
Kinetic
equa
tion
s
(massaction
kinetics)
dS
dt= ki − k1S E + k−1C , S(t)−substrat, E(t)−enzim
dE
dt= −k1S E + (k−1 + k2)C , C(t)−complex, P(t)−produs
dC
dt= k1S E − (k−1 + k2)C , lege de conservare: E + C = E0.
dP
dt= k2C − koP.
Evoluµia reacµiei chimice este guvernat
de ecuaµia variet µii invariante:dS
dt= − vmaxS
S + KM
0
C
S
C = E S0
S + K M
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 6 / 9
Aplicaµie în Biochimie: Studiul reµelelor metabolice
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 7 / 9
Aplicaµie în ... dragoste: Cum putem întreµine o poveste de iubire?
O poveste simpl de dragoste tradus în limbaj matematic:
Romeo o iube³te pe Julieta, îns Julieta este rece faµ de el.Not m cu R(t) afecµiunea lui Romeo faµ de Julieta ³i cu J(t) afecµiunea Julieteifaµ de Romeo.Dac la un moment t avem R(t) > 0, atunci spunem c Romeo iube³te, iar dac R(t) < 0, atunci spunem c Romeo o ur ³te (do not do this at home!). R(t) = 0este semn de indiferenµ . Similar pentru Julieta.Iniµial, avem c : R(0) = 10 (o iubire de nota 10), J(0) = 0 (înc neimpresionat ).Îns lucrurile nu trebuie s r mân a³a! Romeo dore³te s o scoat pe Julieta dinstarea de indiferenµ , apelând la diverse... ³titi voi!
D.p.d.v. matematic, evoluµiapove³tii de iubire o scriem astfel[S. Strogatz (1994)]:
dR
dt= αR + βJ
dJ
dt= γR + δJ
[α, β, γ, δ ∈ R]
Exemple de stiluri romantice:α > 0, β > 0 : Romeo e pe cai mariα > 0, β < 0 : Romeo e narcisistα < 0, β > 0 : Romeo e precautα < 0, β < 0 : Romeo este Hermitα = 0, β = 0 : Romeo este robot
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 8 / 9
Aplicaµie în ... dragoste: Cum putem întreµine o poveste de iubire?
O poveste simpl de dragoste tradus în limbaj matematic:
Ecuaµiile iubirii:
dR
dt= αR + βJ
dJ
dt= γR + δJ
Exemple de stiluri romantice:α > 0, β > 0 : Romeo e pe cai mariα > 0, β < 0 : Romeo e narcisistα < 0, β > 0 : Romeo e precautα < 0, β < 0 : Romeo este Hermitα = 0, β = 0 : Romeo este robot
Dinamica pove³tii de dragoste:
Povestea se complic : apare o necunoscut nou în sistem, F (t);
Probabil c este o amant =⇒ ∆riunghiul iubirii.
[Tem pentru acas !]
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 9 / 9
Aplicaµie în ... dragoste: Cum putem întreµine o poveste de iubire?
O poveste simpl de dragoste tradus în limbaj matematic:
Ecuaµiile iubirii:
dR
dt= αR + βJ
dJ
dt= γR + δJ
Exemple de stiluri romantice:α > 0, β > 0 : Romeo e pe cai mariα > 0, β < 0 : Romeo e narcisistα < 0, β > 0 : Romeo e precautα < 0, β < 0 : Romeo este Hermitα = 0, β = 0 : Romeo este robot
Dinamica pove³tii de dragoste:
Povestea se complic : apare o necunoscut nou în sistem, F (t);
Probabil c este o amant =⇒ ∆riunghiul iubirii.
[Tem pentru acas !]
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 9 / 9
Aplicaµie în ... dragoste: Cum putem întreµine o poveste de iubire?
O poveste simpl de dragoste tradus în limbaj matematic:
Ecuaµiile iubirii:
dR
dt= αR + βJ
dJ
dt= γR + δJ
Exemple de stiluri romantice:α > 0, β > 0 : Romeo e pe cai mariα > 0, β < 0 : Romeo e narcisistα < 0, β > 0 : Romeo e precautα < 0, β < 0 : Romeo este Hermitα = 0, β = 0 : Romeo este robot
Dinamica pove³tii de dragoste:
Povestea se complic : apare o necunoscut nou în sistem, F (t);
Probabil c este o amant =⇒ ∆riunghiul iubirii.
[Tem pentru acas !]
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 9 / 9
Aplicaµie în ... dragoste: Cum putem întreµine o poveste de iubire?
O poveste simpl de dragoste tradus în limbaj matematic:
Ecuaµiile iubirii:
dR
dt= αR + βJ
dJ
dt= γR + δJ
Exemple de stiluri romantice:α > 0, β > 0 : Romeo e pe cai mariα > 0, β < 0 : Romeo e narcisistα < 0, β > 0 : Romeo e precautα < 0, β < 0 : Romeo este Hermitα = 0, β = 0 : Romeo este robot
Dinamica pove³tii de dragoste:
Povestea se complic : apare o necunoscut nou în sistem, F (t);
Probabil c este o amant =⇒ ∆riunghiul iubirii.
[Tem pentru acas !]
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 9 / 9
Aplicaµie în ... dragoste: Cum putem întreµine o poveste de iubire?
O poveste simpl de dragoste tradus în limbaj matematic:
Ecuaµiile iubirii:
dR
dt= αR + βJ
dJ
dt= γR + δJ
Exemple de stiluri romantice:α > 0, β > 0 : Romeo e pe cai mariα > 0, β < 0 : Romeo e narcisistα < 0, β > 0 : Romeo e precautα < 0, β < 0 : Romeo este Hermitα = 0, β = 0 : Romeo este robot
Dinamica pove³tii de dragoste:
Povestea se complic : apare o necunoscut nou în sistem, F (t);
Probabil c este o amant =⇒ ∆riunghiul iubirii.
[Tem pentru acas !]
Dr. Iulian Stoleriu (Univ. Al. I. Cuza Ia³i) Modele matematice în ³tiinµe ³i nu numai 29 martie 2014 9 / 9