Lucrarea ALocalizarea unui deranjament pe o linie telefonică bifilară

Prezentare

Între două staţii telefonice vecine, 1 şi 2 , situate la distanţa d, conectate printr-o linie aerianăbifilară (cele două conductoare ale liniei fiind identice), s-a produs un deranjament.

Într-o primă variantă, aşa cum indică figura 1, deranjamentul este echivalent cu o rezistenţă descurgere între cele două fire, R.

Într-o a doua variantă, aşa cum indică figura 2, deranjamentul este echivalent cu un scurtcircuitprodus între cele două fire.

Fig. 1

Fig. 2

Pentru a înţelege cum se poate face localizarea deranjamentului dintre cele două staţii telefonice,aveţi la dispoziţie o bobină bifilară (ale cărei conductoare, 21AA şi respectiv ,BB 21 sunt identice), aşacum indică figura 3. Lungimea fiecăruia dintre cele două fire ale bobinei este L = 76 m. De la cele douăconductoare ale bobinei, la locul deranjamentului, sunt scoase perechile de prize (C; D) şi respectiv (E;F), la care se poate conecta un rezistor cu rezistenţa electrică necunoscută, R, sau se poate realiza unscurtcircuit, conectându-le printr-un conductor a cărui rezistenţă electrică este foarte mică.

La fiecare staţie există un generator electric cu t.e.m. cunoscută 2EE ;1 şi rezistenţa interioarăneglijabilă şi câte un voltmetru cu rezistenţa interioară foarte mare.

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII, TINERETULUIŞI SPORTULUI

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN - ILFOVOLIMPIADA NAŢIONALĂ DE FIZICĂ

Ediţia a 48-a; 1 – 6 aprilie 2012PROBA PRACTICĂ

XIA

F

E

D

C d

R1 2

FD

EC d

1 2

Fig. 3

Materiale la dispoziţie

1) bobină bifilară cu 4 prize (CD şi EF), lungimea firelor sale fiind L = 76 m; 2) sursă de curentcontinuu (4 baterii cu soclu , interconectabile); 3) multimetru; 4) conductoare de legătură; 5) rezistor cufire (2 buc.); 6) rezistor suplimentar ( pentru a mări rezistenţa internă a sursei).

CerinţăSă se localizeze cele două deranjamente pe firele bobinei.

Lucrare propusă de prof. dr. Mihail SanduG.Ş.E.A.S. Călimăneşti

FD EC

1A

1SD

2A

R

C

2B1B

L

2S

E

F

1

2

34

5

6

Lucrarea A

Modul de lucru – Barem de notare (10 puncte)

a) Deranjament echivalent cu rezistenţă de scurgere între cele două fire (4,00 puncte)În figura alăturată se consideră că cele două conductoare ale bobinei, fiecare cu lungimea L, sunt

desfăşurate, iar x este lungimea sectorului fiecărui fir al bobinei, de la capătul 1S al acesteia, până la loculunde deranjamentul este echivalent cu o rezistenţă de scurgere, R.

La capătul 1S al bobinei (staţia telefonică )1 se conectează generatorul cu t.e.m. ,1E iar lacapătul 2S al bobinei (staţia telefonică )2 se conectează voltmetrul ,V2 circuitul echivalent al bobineifiind cel prezentat în figura alăturată.

Utilizând teoremele lui Kirchhoff, rezultă:

;'2 '11 RIIRE x ;'2 '

11 RIISxE

;'20 '2v

'2 RIIRIR xL ;'20 '

2v'2 RIIRI

SxL

;2v xLRR ;'0 '2v RIIR

R

L

x

FD

EC

1S 2S

R 22V UxR

FD

EC

vR

'2I'

1I

'I

'2I'

1I

xLR

xLR

xR

1E

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII, TINERETULUIŞI SPORTULUI

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN - ILFOVOLIMPIADA NAŢIONALĂ DE FIZICĂ

Ediţia a 48-a; 1 – 6 aprilie 2012PROBA PRACTICĂ

XIA

;2'2v UIR

;'0 2 RIU ;'2 RIU

;' 2

RUI

;0'

vv

2'2

RRI

RUI

;'' '2

'1 IIII

;'2 '11 RII

SxE ;'2 '

1 RIISxE

;2 221 R

URR

USxE

.2 212 UE

RU

Sx

La capătul 1S al bobinei (staţia telefonică )1 se conectează voltmetrul ,V1 iar la capătul 2S albobinei (staţia telefonică )2 se conectează generatorul cu t.e.m. ,2E circuitul echivalent al bobineifiind cel prezentat în figura alăturată.

Utilizând teoremele lui Kirchhoff, în mod asemănător, rezultă:

,2 121 UE

RU

SxL

astfel încât, din cele două relaţii, obţinem:

.2 212211

2111

UUUEUEUUUELx

................................... 2,00 puncte

Determinări experimentale …………………………………………………….2,00 punctePentru rezistorul cu rezistenţa electrică R1, conectat la priza C-D

1E 1,5 V 3,0 V 4,5 V 6,0 V

2U 1,33 V 2,63 V 4,05 V 5,4 V

2E 1,5 V 3,0 V 4,5 V 6,0 V

1U 1,07 V 2,18 V 3,26 V 4,34 Vx 18,34 m 20,68 m 17,18 m 17,10 m

325,181 x m

EC

R 11V U xR

FD

vR

"2I"

1I

"I

"2I"

1I

xLR

xLR

xR

2E

Pentru rezistorul cu rezistenţa electrică R2, conectat la priza C-D

1E 1,5 V 3,0 V 4,5 V 6,0 V

2U 1,03 V 1,97 V 2,96 V 3,95 V

2E 1,5 V 3,0 V 4,5 V 6,0 V

1U 0,53 V 1,04 V 1,5 V 2,06 Vx 15,16 m 16,5 m 15,75 m 16,22 m

90,152 x m

Pentru rezistorul cu rezistenţa electrică R3, conectat la priza C-D

1E 1,5 V 3,0 V 4,5 V 6,0 V

2U 1,44 V 2,89 V 4,16 V 5,76 V

2E 1,5 V 3,0 V 4,5 V 6,0 V

1U 1,26 V 2,55 V 3,82 V 5,1 Vx 13,64 m 13,48 m 23,91 m 14,51 m

385,163 x m

Pentru rezistorul cu rezistenţa electrică R1, conectat la priza E-F

1E 1,5 V 3,0 V 4,5 V

2U 1,4 V 2,8 V 4,18 V

2E 1,5 V 3,0 V 4,5 V

1U 1,36 V 2,8 V 4,10 Vx 31,13 m 38,00 m 33,41 m

18,341 x m

Pentru rezistorul cu rezistenţa electrică R2, conectat la priza E-F

1E 1,5 V 3,0 V 4,5 V

2U 1,26 V 2,53 V 3,77 V

2E 1,5 V 3,0 V 4,5 V

1U 1,23 V 2,46 V 3,67 Vx 35,30 m 34,86 m 35,10 m

08,352 x m

b) Deranjament echivalent cu scurtcircuit între cele două fire (5,00 puncte)

În figura alăturată se consideră că cele două conductoare ale bobinei, fiecare cu lungimea L, suntdesfăşurate, iar x este lungimea sectorului fiecărui fir al bobinei, de la capătul 1S al acesteia, până la loculunde deranjamentul este echivalent cu un scurtcircuit.

La capătul 1S al bobinei (staţia telefonică )1 se conectează în paralel generatorul cu t.e.m. 1E şivoltmetrul ,V1 iar la capătul 2S al bobinei (staţia telefonică )2 capetele conductoarelor rămân libere,astfel încât, pentru circuitul echivalent al bobinei, prezentat în figura alăturată, rezultă:

;2 0111 RIRIE x ;1v101 III ;0111 RIUE

;1101 R

UEI ;1v011 III ;

v

11v R

UI

;v

111

v

1011 R

UR

UERUII

;2 11v

1111 UE

RU

RUERE x

;2 1v

111 URU

RUERx

;2

v

111

1

Sx

RU

RUEURx

;v R

.2 11

1

Sx

RUE

URx

vR

FD

xR

1I

11V U

EC1I

xLR

xLR

xR

1E

R 01I

1vI

L

x

FD

EC

1S 2S

Asemănător, dacă la capătul 1S al bobinei (staţia telefonică ),1 capetele conductoarelor rămânlibere, iar la capătul 2S al bobinei (staţia telefonică )2 se conectează în paralel generatorul cu t.e.m.

2E şi voltmetrul ,V2 astfel încât, pentru circuitul echivalent al bobinei, prezentat în figura alăturată,rezultă:

;2 0222 RIRIE xL ;2v202 III ;0222 RIUE

;2202 R

UEI ;2v022 III ;

v

22v R

UI

;v

222

v

2022 R

UR

UERUII

;2 22v

2222 UE

RU

RUERE xL

;2 2v

222 URU

RUER xL

;2

v

222

2

SxL

RU

RUEUR xL

;v R

.2 22

2

SxL

RUE

UR xL

În aceste condiţii, din relaţiile:

;2 11

1

Sx

RUE

URx

,2 22

2

SxL

RUE

UR xL

rezultă:

.112221

221

UEUUEUUEULx

………………………….3,00 puncte

vR

FD

xR

2I

22V U

EC 1I

xLR

xLR

xR

2E

R

Determinări experimentale …………………………………….. 2,00 punctePentru scurtcircuit la priza C-D

1E 1,5 V 3,0 V 4,5 V

]U 0,11 V 0,23 V 0,35 V

2E 1,5 V 3,0 V 4,5 V

2U 0,39 V 0,79 V 1,19 Vx 13,97 m 14,3 m 15,5 m

59,144 x mCDx 16,3 m.

Pentru scurtcircuit la priza E-F

1E 1,5 V 3,0 V 4,5 V

]U 0,25 V 0,52 V 0,85 V

2E 1,5 V 3,0 V 4,5 V

2U 0,29 V 0,59 V 0,9 Vx 34,58 m 35,06 m 36,65 m

43,353 x m

89,34EF x m

Oficiu ………………………………………………. 1,00 punct

Lucrarea BProblema 1. Momentul producerii unui cutremur în focarul acestuia

Momentele sosirilor undelor seismice directe longitudinale (primare) la staţiile seismice de laBucureşti 1S şi Focşani ,S2 ca urmare a producerii unui cutremur, cu epicentrul (E) localizat înpunctul ale cărui coordonate geografice sunt: = 37º,8 şi = 23º, sunt precizate în tabelul alăturat,indicându-se şi coordonatele geografice ale staţiilor de înregistrare.

Staţiaseismică 2,1 2,1 2,1p,t

Bucureşti 44º24 26º06 16h17min22s,7

Focşani 45º42 27º12 16h17min25s,3

Cerinţe

a) Să se determine momentul t alproducerii cutremurului în focarul (F) al

acestuia, situat la adâncimea ,30RH unde R

este raza Pământului;b) Să se determine momentele sosirilor

undelor directe transversale (secundare) în celedouă staţii seismice de înregistrare, 1st şirespectiv ,2st dacă raportul vitezelor celor douătipuri de unde este vp/vs = 3 .

c) Să se calculeze raportul distanţelordintre focarul cutremurului şi cele două staţii

seismice,1

2

FSFS

. Se va considera că propagarea

undelor seismice directe, între focarulcutremurului şi staţiile seismice de înregistrareeste rectilinie şi uniformă

2S

Y

1S

F E

1

1

X

Z

Greenwich

R

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII, TINERETULUIŞI SPORTULUI

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN - ILFOVOLIMPIADA NAŢIONALĂ DE FIZICĂ

Ediţia a 48-a; 1 – 6 aprilie 2012PROBA PRACTICĂ

XIB

Lucrarea BProblema 2. Sondă spaţială în atmosfera unei planete

O sondă spaţială pătrunde în atmosfera planetei XG3-86AY1, coborând spre planetă, pe o direcţieverticală oarecare. La un moment dat, de pe sondă se trimite, pe o direcţie orizontală oarecare, un fasciculîngust de lumină monocromatică. Pentru radiaţia emisă, indicele de refracţie al mediului care compuneaceastă atmosferă variază cu altitudinea conform graficului din figura alăturată.

Cerinţe

a) Să se analizeze, în funcţie de altitudine, şi să se argumenteze, posibilitatea reveniriifascicolului de lumină înapoi pe sondă, datorită doar refracţiei sale prin atmosfera planetei. Se neglijeazăabsorţia luminii în atmosfera planetei.

b) Să se determine altitudinea limită maximă la care ar trebui să se afle sonda spaţială carecoboară prin atmosfera planetei, în momentul trimiterii fascicolului orizontal de lumină, pentru calumina să poată reveni pe sondă, dacă raza planetei este km.000.1R Sonda spaţială este un punctmaterial.

Lucrare propusă de prof. dr. Mihail SanduG.Ş.E.A.S. Călimăneşti

100

1

2n

km103h

Lucrarea BProblema 1 – Rezolvare – Barem de notare – 5,00 puncte

a) 1,50 puncteÎntre coordonatele geografice (, , R) şi coordonatele carteziene (x, y, z) ale epicentrului (E) al

unui cutremur, utilizând figura alăturată, se stabilesc relaţiile:

x = R coscos;

y = Rcos sin;

z = Rsin,astfel încât, pentru focarul (F) al cutremurului se pot scrie următoarele relaţii între cele două tipuri decoordonate:

0x = (R - H) cos cos;

0y = (R - H) cos sin;

0z = (R - H)sin,

unde H este adâncimea la care se află focarul cutremurului.În mod asemănător, pentru o staţie seismică S1, avem:

1x = Rcos1 cos1;

1y = Rcos1 sin1;

2S

Y

1S

F E

1

1

X

Z

Greenwich

R

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII, TINERETULUIŞI SPORTULUI

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN - ILFOVOLIMPIADA NAŢIONALĂ DE FIZICĂ

Ediţia a 48-a; 1 – 6 aprilie 2012PROBA PRACTICĂ

XIB

1z = Rsin1.Dacă t este momentul producerii cutremurului în focarul acestuia, iar tp1 şi respectiv ts1 sunt

momentele sosirilor celor două tipuri de unde directe (primară şi respectiv secundară) la staţia seismicăS1, rezultă:

FS1 = (tp1 - t)vp = (ts1 - t)vs;

(FS1)2 = (tp1 - t)2 2pv = (x1 - 0x )2 + (y1 - 0y )2 + (z1 - 0z )2;

(tp1 - t)2 2pv = (x1 - 0x )2 + (y1 - 0y )2 + (z1 - 0z )2;

;coscoscoscos 1101 HRRxx ;coscoscoscoscoscos 1101 HRxx

;coscos101 Hxxxx xx 1 = Rcos1 cos1 - Rcos cos;xx 1 = R(cos1 cos1 - cos cos);

xx 1 = - 0,08573 R;;coscos08573,001 HRxx

;920,0798,008573,001 HRxx

;73416,008573,001 HRxx ;30RH

;30

73416,008573,001RRxx

;06126,002447,008573,001 RRRxx

;06126,001 Rxx ;sincossincos 1101 HRRyy

;sincossincossincos 1101 HRyy ;sincos101 Hyyyy

yy 1 = Rcos1 sin1 - Rcos sin;yy 1 = R(cos1 sin1 - cos sin) ;

y1 - y = 0,00558 R;;sincos00558,001 HRyy

;390,0798,000558,001 HRyy

;31122,000558,001 HRyy ;30RH

;30

31122,000558,001RRyy

;01037,000558,001 RRyy ;01595,001 Ryy

;sinsin 101 HRRzz ;sinsinsin 101 HRzz

;sin101 Hzzzz

zz 1 = Rsin1 - Rsin;

zz 1 = R(sin1 - sin);zz 1 = 0,08676 R;

;sin08676,001 HRzz

;601,008676,001 HRzz ;30RH

;30

601,008676,001RRzz

;02003,008676,001 RRzz

;10679,001 Rzz

(FS2)2 = (tp2 - t)2 2pv = (x2 - 0x )2 + (y2 - 0y )2 + (z2 - 0z )2;

(tp2 - t)2 2pv = (x2 - 0x )2 + (y2 - 0y )2 + (z2 - 0z )2;

;coscos202 Hxxxx

x2 - x = R(cos2 cos2 - cos cos);x2 - x = - 0,10616 R;

;coscos10616,002 HRxx

;73416,010616,002 HRxx ;30RH

;30

73416,010616,002RRxx

;02447,010616,002 RRxx

;08169,002 Rxx ;sincos202 Hyyyy

yy 2 = R(cos2 sin2 - cos sin);

yy 2 = 0,01050R;;sincos01050,002 HRyy

;31122,001050,002 HRyy ;30RH

;30

31122,001050,002RRyy

;01037,001050,002 RRyy

;02087,002 Ryy

;sin202 Hzzzz

zz 2 = R(sin2 - sin);

zz 2 = 0,10279 R;

;sin10279,002 HRzz

;601,010279,002 HRzz ;30RH

;30

601,010279,002RRzz

;02003,010279,002 RRzz

;12282,002 Rzz

(tp1 - t)2 2pv = (x1 - 0x )2 + (y1 - 0y )2 + (zi1 - 0z )2;

(tp2 - t)2 2pv = (x2 - 0x )2 + (y2 - 0y )2 + (z2 - 0z )2;

;202

202

202

201

201

201

22p

21p

zzyyxxzzyyxx

tttt

;06126,001 Rxx ;01595,001 Ryy ;10679,001 Rzz

;08169,002 Rxx ;02087,002 Ryy ;12282,002 Rzz

;12282,002087,008169,010679,001595,006126,0

222

222

22p

21p

RRRRRR

tttt

;69431,0

02218,001540,0

01508,000043,000667,001140,000025,000375,0

22p

21p

tttt

;83325,02p

1p

tttt

;16675,083325,0 2p1p tt

t

;7,221716 sminh1p t ;3,251716 sminh

2p t

.7,91716 sminhtb) 1,50 puncteDin relaţia:

FS1 = (tp1 - t)vp = (ts1 - t)vs;

;vv

vv

sp

s1sp1p

ttt

tp1 - t =1

vv

s

p

1p1s

tt= ,

131p1s

tt

din care rezultă.ts1 = tp1 + ( 3 - 1)(tp1 - t) = 16h17min32s,19.

Asemănător, pentru staţia ,S2 obţinem:

ts2 = tp2 + ( 3 - 1)(tp2 - t) = 16h17min36s,68.

c) 1,50 puncteFS1 = (ts1 - t)vs;

;vFS s1s1 tt ;vFS s2s2 tt

.199,1FSFS

1s

2s

1

2

tttt

Oficiu ............................................................................................ 0,50 puncte

Lucrarea BProblema 2 – Rezolvare – Barem de notare – 5,00 puncte

a) 2,00 puncteSă presupunem că sonda se apropie de planetă, coborând prin atmosfera acesteia, pe o direcţie

verticală oarecare. Dacă fascicolul de lumină ar fi fost emis, pe o direcţie orizontală oarecare, atunci cândsonda se afla o altitudine km,000.10h atunci lumina s-ar fi propagat în linie dreaptă, pe direcţiaorizontală respectivă, depărtându-se de planetă, deoarece, conform graficului dependenţei ,hfn înacel domeniu al valorilor lui h, indicele de refracţie al mediului este constant. În această situaţie, n-ar maifi posibilă reîntâlnirea fascicolului de lumină cu sonda spaţială.

Dacă altitudinea la care se va afla sonda coborând, în momentul emiterii semnalului luminos, araparţine intervalului km,000.100 h acolo unde indicele de refracţie al atmosferei planetei creşte,când altitudinea scade (sau scade când altitudinea creşte), atunci desigur că, în acel interval, existăposibilitatea ca, pe un strat superior limită, să se producă reflexia totală a fascicolului de lumină şi astfelfascicolul de lumină să se propage prin atmosfera planetei, în jurul acesteia, reîntâlnindu-se cu sonda, peaceeaşi verticală, la o altitudine mai mică. În figura 1 este reprezentat mersul posibil al fascicolului delumină, emis atunci când sonda spaţială se afla în punctul S0 şi recepţionat pe sondă atunci când aceastaa ajuns, pe verticala coborârii, în punctul inferior S.

Fig. 1

Din S0 până în T, fascicolul de lumină trece, prin refracţie, în straturi atmosferice superioare cuindicele de refracţie din ce în ce mai mic, depărtându-se continuu de normală. În punctul T, unde suntîndeplinite condiţiile necesare, fascicolul de lumină se reflectă total. Apoi, din T până în S, fascicolul delumină trece, prin refracţie, în straturi atmosferice inferioare, cu indicele de refracţie din ce în ce maimare, apropiindu-se continuu de normală.

b) 2,50 puncteProblema propusă, se referă însă la existenţa posibilităţii producerii reflexiei totale a fascicolului

de lumină, pe stratul atmosferic existent chiar la altitudinea unde s-a aflat sonda spaţială în momentultrimiterii fascicolului de lumină pe direcţie orizontală. Trebuie calculată deci altitudinea limită maximăla care s-a aflat sonda în momentul emiterii fascicolului orizontal.

Să admitem că întreaga pătură atmosferică a planetei, cu grosimea de km,000.10 din intervalulaltitudinilor km,000.100 h ar fi divizată imaginar într-o infinitate de straturi sferice concentrice, cugrosimi foarte mici, în aşa fel încât în interiorul fiecărui strat sferic subţire, indicele de refracţie să poatăfi considerat constant.

luminadefascicolul

S

0S

T

Fig. 2

În figura 2 am considerat că raza de lumină a fost emisă în punctul S0, la distanţa r, faţă decentrul planetei, atunci când sonda s-a aflat la limita inferioară a stratului atmosferic k. Grosimea acestuistrat, ,r este foarte mică, astfel încât indicele său de refracţie să poată fi considerat constant .nStratul atmosferic superior ,1k şi el foarte subţire, cu aceeaşi grosime, ,r are indicele de refracţieconstant ,nn unde ,0n astfel încât fascicolul de lumină AS0 trimis de pe sondă, să treacă înstratul ,1k refractându-se sub un unghi de .900 Aceasta implică faptul că unghiul de incidenţă alfascicolului AS0 este unghi limită, ,li corespunzător indicilor de refracţie, n şi respectiv ,nnn ai celor două straturi, k şi respectiv ,1k astfel încât, din legea refracţiei, rezultă:

.sinn

nnl

Utilizând şi geometria desenului, rezultă:

;sin 0

rrr

OAOSl

nnn ;

rrr

;nrrrnn ;0 rn .nrrn

Din forma graficului dependenţei hfn , reprezentată în enunţul problemei, pentrukm,000.100 h rezultă: ,bahhfn unde coeficienţii a şi b se determină folosind valorile

numerice înscrise pe grafic;

;km10

14a ;2b

;2km104

hn km;103rRrh

,1021

km104 rn

din care:

1kk

hnn

1k k

n

090r

li

B

r

0S

O R

A

,km104

rn

astfel încât, folosind rezultatele anterioare, obţinem:

;nrrn ;r

rnn

;1021

km101

4 rrr

n

km104

r ;

1021

km101

4 rrr

km;500.10r km.500.9h

Oficiu ……………………………………………………………. 0,50 puncte