microsoft word - interior_9.02.2011

Liliana GuranLiliana GuranLiliana GuranLiliana Guran

Modele matematice aplicate n astronomie.Modele matematice aplicate n astronomie.Modele matematice aplicate n astronomie.Modele matematice aplicate n astronomie. Spectre stelareSpectre stelareSpectre stelareSpectre stelare

Liliana GuranLiliana GuranLiliana GuranLiliana Guran

Modele matematice aplicate n Modele matematice aplicate n Modele matematice aplicate n Modele matematice aplicate n astronomie. Spectre stelareastronomie. Spectre stelareastronomie. Spectre stelareastronomie. Spectre stelare

Renaissance Bucureti

2011

Tehnoredactare & copert: Monica Balaban

Editura Renaissance 2011 www.editurarenaissance.ro

(Editur recunoscut C.N.C.S.I.S.) Editor: Sorin Alexandru ONTEA

Telefon/fax: 031.808.91.97 0744.652118

E-mail: [email protected]

Toate drepturile asupra acestei ediii sunt rezervate editurii

ISBN 978-606-8321-04-2

Tipar: ABSTRACT MEDIA SRL Tel/fax: 031.808.91.97

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei:

GURAN, LILIANA Modele matematice aplicate n astronomie. Spectre

stelare / Guran, Liliana, Bucureti: Editura Renaissance, 2011 Bibliogr. ISBN 978-606-8321-04-2

Dumnezeu a zis: S fie nite lumintori n ntinderea Cerului, ca s despart ziua de noapte; ei s fie nite semne care s arate vremile, zilele i anii; i s slujeasc de lumintori n ntinderea Cerului, ca s lumineze Pmntul.

Geneza 1:14, 1:15

7

PREFATAPREFATAPREFATAPREFATA

Lucrarea de fa se adreseaz studenilor cu profil de mate-matic, matematic-fizic, matematic-informatic sau matematic

aplicat, studenilor care au n planul de nvmnt inclus materia Astronomie.

ncercnd s rspund la ntrebri banale precum: Ce este o stea?, Ce culoare au stelele?, Cum ne furnizeaz Soarele lumina?, Soarele va muri vreodat?, Care este destinul unei stele? i simplificnd limbajul tiinific, am dorit s realizez o sintez accesibil publicului larg cititor a principalelor posibile rspunsuri la aceste ntrebri. Astfel, aceast lucrare se vrea a fi i un prim ghid al pasionailor de astronomie care vor s descopere proprietile fizice i istoria observaional ale unei stele. Filozofnd i visnd un pic pe tema descifrrii tainelor Universului infinit n timp i spaiu care ni se ntinde la picioare de mii i mii de ani, pe parcursul lucrrii mele cititorul chiar i dezinteresat de aparatajul matematic utilizat, poate descoperi cteva probleme deschise asupra existenei umane. Atand cteva imagini surprinse de marile telescoape ale lumii sau doar de un telescop de astronom amator pasionat, am ncercat printre filele acestei cri s

aduc mai aproape de fiecare cititor minunile tinuite de Universul imens de lng noi.

,

8

Pentru realizarea acestei lucrri vreau s mulumesc surorii

mele, pentru suportul moral pe care mi l-a oferit, i familiei Achim

Marian i Ramona. Lui Marian, pentru nopile nenumrate pierdute sub bolta nstelat, numai bun pentru observaii astronomice materializate n poze deosebite care s-mi mpodobeasc cartea i pentru sfaturile oferite, i Ramonei, pentru superbele picturi Marea Nebuloas din Orion i respectiv Pleiadele, care menin atmosfera de visare i reflecie pe care am vrut s o induc n toat aceast lucrare, lsnd la o parte informaiile fizice i matematice. De asemenea, vreau s dedic aceast lucrare colegilor mei de la Facultatea de Fizic, specializarea matematic-fizic - promoia 1999-2003, de la Universitatea Babe-Bolyai, Cluj-Napoca, precum i profesorilor mei de la Universitatea Babe-Bolyai, care m-au lefuit i ajutat s devin ce sunt acum.

Liliana Guran

9

INTRODUCEREINTRODUCEREINTRODUCEREINTRODUCERE

nc din cele mai vechi timpuri i pn astzi, curiozitatea oamenilor a iscat tot felul de ntrebri asupra astrelor nopii, care lumineaz pe bolta cereasc n fiecare noapte senin. ntrebri ca Ce sunt stelele?, De ce lumineaz?, Cum stau prinse de cer?, au ncolit n mintea fiecrui om. Acetia, veac dup veac, mileniu de mileniu, au ncercat s dea un rspuns acestor ntrebri, construindu-i diferite instrumente menite observaiilor stelelor de la cele mai rudimentare instrumente antice pn la luneta lui Galilei (1609) i pn la cel mai performant telescop ce permite observarea stelelor pe distane de mii de ani lumin.

n anul 129 . Hr., Hiparh ntocmete un catalog de stele mprindu-le n funcie de strlucirea lor perceput de pe Pmnt cu ochiul liber, n ase clase de magnitudine. n secolul al XIX-lea Pogson a stabilit o legtur ntre magnitudinea aparent, magnitudinea absolut i distane. Din formula lui Pogson se poate determina distana de la Pmnt la o stea, n funcie de strlucirea sa de pe bolta cereasc.

Pas cu pas, tiina a nceput s dezlege enigma stelelor. Astfel cercettorii au demonstrat c stelele sunt similare Soarelui nostru, cu mrimi diferite ns, a cror lumin este o form de energie care

cltorete n Univers cu viteza de 300.000 s

km sub form de unde

Modele matematice aplicate n astronomie. Spectre stelareModele matematice aplicate n astronomie. Spectre stelareModele matematice aplicate n astronomie. Spectre stelareModele matematice aplicate n astronomie. Spectre stelare

10

electromagnetice. O stea a fost asemnat cu un corp negru, descoperindu-se astfel legile prin care steaua radiaz n exterior undele electromagnetice: legea lui Kirchhoff, legea lui Plank, legea Stefan-Boltzmann, legea lui Wien.

Radiaiile electromagnetice sunt produse n condiii de temperatur foarte ridicate prin reaciile termonucleare: lanul protonproton, ciclul carbon-azot, procesul triplu-alfa. Ele sunt caracterizate de o lungime de und i n funcie de aceast mrime caracteristic au fost captate pe Pmnt n diferite domenii spectrale: domeniul radioundelor, infrarou, optic, ultraviolet, domeniul radiaiilor X i cel al radiaiilor .

Fiecare stea emite radiaii electromagnetice cu lungimi de und diferite care sunt captate cu ajutorul unor aparate de analiz spectral i dispuse ntr-un spectru. Cercetnd spectrul unei stele omul de tiin a putut determina compoziia a stelei, viteza sa radial, temperatura, densitatea, cmpul magnetic, electric i cel gravitaional existente la nivelul stelei precum i alte lucruri legate de steaua studiat.

n funcie de spectrele obinute pentru diverse stele, cercettorii au propus diverse clasificri, printre care cele mai importante sunt clasificarea n funcie de temperatur ntocmit de astrofizicienii Observatorului Harvard i clasificarea n funcie de temperatur i luminozitate realizat de Morgan i Keenan. Astfel stelele au fost mprite n clase spectrale: W, O, B, A, F, G, K, M, R, S, N i s-au determinat diferite tipuri de stele n funcie de luminozitate i temperatur: supergigante, gigante, subgigante, pitice, subpitice, pitice albe.

IntroducereIntroducereIntroducereIntroducere

11

La nceputul secolului al XX-lea doi oameni de tiin E. Hertzsprung i H.N. Russell ntocmesc independent unul de cellalt cea mai important lucrare de sintez a tuturor informaiilor cunoscute pn atunci despre stele. Astfel n 1905 E. Hetzsprung ntocmete o diagram a stelelor n funcie de clasele lor spectrale i luminozitatea lor. n 1913 H.N. Russell determin magnitudinea absolut a unor stele din paralaxele lor cunoscute i formeaz un grafic n funcie de clasele lor spectrale i magnitudinea absolut determinat. Russell a observat c stelele din graficul su se dispun similar cu cele cuprinse n diagrama spectru-luminozitate ntocmit de Hertzsprung. Astfel a fost realizat diagrama H-R, care a fost perfecionat de oamenii de tiin pe msura trecerii timpului.

Diagrama H-R a jucat un rol foarte important n determinarea etapelor de evoluie a stelelor dintr-un roi sau galaxie. Pe scurt, o stea se nate prin contracie gravitaional din materia difuz interstelar sub influena presiunii i temperaturii, formnd o protostea. Odat cu creterea temperaturii se declaneaz n interiorul protostelei reaciile termonucleare producndu-se astfel energie i steaua are o form de pitic. Temperatura crete i determin creterea dimensiunilor stelei, n interiorul creia se sintetizeaz n urma reaciilor termonucleare toate elementele chimice cunoscute pe

Pmnt pn la fier. Cnd hidrogenul stelar s-a transformat n ntregime n heliu, volumul stelei s-a mrit foarte mult, ea devenind o gigant. Dac temperatura crete i mai mult (n funcie de masa iniial) steaua se va transforma ntr-o supergigant, i n urma unei


12

explozii de nov sau supernov ea va deveni o pitic alb, o stea neutronic sau un black-hole.

Acest traseu evolutiv este urmrit n diagrama H-R pentru fiecare stea i inclusiv pentru Soarele nostru, i decurge n timpul a zeci, sute i mii de miliarde de ani.

Tot n diagrama H-R gsim i o categorie special de stele, stele variabile, a cror strlucire crete sau descrete datorit unor fenomene fizice cunoscute sau nc cercetate. Dintre acestea cele mai

spectaculoase sunt exploziile de supernov care injecteaz n spaiu, materia unei stele cu viteze uimitoare avnd o strlucire echivalent cu cea a unei galaxii ntregi.

Lucrarea de fa i propune s analizeze n detaliu etapele parcurse de lumina stelelor de pe bolta cereasc de la producerea ei pn la formare a spectrului ce determin clasificrile spectrale ale stelelor, ntocmirea diagramei H-R, trasarea etapelor evoluiei stelare i caracterizarea stelelor variabile.

Astfel, dup attea milenii de cercetri despre astrofizicianul veacului nostru, s-ar putea spune c:

...Universul fr margini e n degetul lui mic,

Cci sub frunte-i viitorul i trecutul se ncheag .

Noapte-aduc-a veciniciei el n iruri o dezleag;

Precum Atlas n vechime sprijinea cerul pe umr

Aa el sprijin lumea i vecia ntr-un numr.

M. Eminescu

13

CUPRINSCUPRINSCUPRINSCUPRINS

PREFPREFPREFPREFATAATAATAATA............................................................................................................................................................................................................................................................................ 7777

INTRODUCEREINTRODUCEREINTRODUCEREINTRODUCERE ............................................................................................................................................................................................................................................ 9999

Capitolul I. Introducere n astrofiziCapitolul I. Introducere n astrofiziCapitolul I. Introducere n astrofiziCapitolul I. Introducere n astrofizicacacaca ........................................................................................................ 17171717 1.1 Fotometrie astronomica........................................ 17 1.1.1 Magnitudinea aparenta ............................... 17 1.1.2 Magnitudinea absoluta.................................22 1.2 Legile de radiaie ale corpului negru ....................26 1.3 Parametrii de stare ai stelelor .............................34

Capitolul II. Spectrul Capitolul II. Spectrul Capitolul II. Spectrul Capitolul II. Spectrul ---- cheia cerului cheia cerului cheia cerului cheia cerului ............................................................................................................ 38383838 2.1 Elemente de analiz spectrala ............................38 2.2 Sursele radiaiilor electromagnetice.....................45 2.3 Scurt istoric al spectrului stelar ..........................50 2.4 Spectre stelare ....................................................53

Capitolul III. Formarea spectrelor stelareCapitolul III. Formarea spectrelor stelareCapitolul III. Formarea spectrelor stelareCapitolul III. Formarea spectrelor stelare ........................................................................................ 57575757 3.1 Procese care stau la baza formrii spectrelor stelare ..................................................................57 3.2 Legea lui Boltzamann i Saha ............................62 3.3 Deplasarea liniilor spectrale .................................66

3.3.1 Efectul Doppler- Fizeau................................66 3.3.2 Efectul Zeeman...........................................67 3.3.3 Efectul Stark ..............................................68

3.3.4 Efectul Einstein ..........................................68


14

Capitolul IV. Clasificare spectralCapitolul IV. Clasificare spectralCapitolul IV. Clasificare spectralCapitolul IV. Clasificare spectral a stelelor a stelelor a stelelor a stelelor i diagrama i diagrama i diagrama i diagrama Hertzprung Hertzprung Hertzprung Hertzprung----RussellRussellRussellRussell........................................................................................................................................ 74747474 4.1 Clasificarea Harvard a stelelor .............................74 4.2 Caracterizarea claselor spectrale..........................78 4.2.1 Clasele spectrale principale..........................78

4.2.2 Adaugri la clasele spectrale.......................86 4.2.3 Clasele spectrale speciale ........................88

4.2.4 Clasele de luminozitate .............................90 4.2.5 Clasificarea piticelor albe ...........................94

4.3 Culoarea stelelor ................................................95 4.4 Diagrama Hertzspruug-Russell........................... 104

Capitolul V. EvoluCapitolul V. EvoluCapitolul V. EvoluCapitolul V. Evoluie stelaie stelaie stelaie stelarararara ............................................................................................................................................................ 112112112112 5.1 Stele consideraii generale .................................. 112 5.2 Scale de timp....................................................... 116 5.3 Etapele evoluiei stelare ....................................... 118 5.3.1 Contracia gravitaionala............................ 119

5.3.2 Stadiul de secven principala ..................... 127 5.3.3 Stadiul de giganta ....................................... 130

5.4 Stadiile finale ale evoluiei stelare ...................... 135 5.4.1 Stadiul de pitic alba................................... 137 5.4.2 Stadiul de stea neutronica (pulsar)............ 140

5.4.3 Stadiul de gaura neagra (black-hole) ..... 147 5.5 Destinul Soarelui ................................................ 154

Capitolul VI. Stele variabile Capitolul VI. Stele variabile Capitolul VI. Stele variabile Capitolul VI. Stele variabile ............................................................................................................................................................ 158158158158 6.1 Stele pseudovariabile ........................................... 161

6.1.1 Binare vizuale ............................................. 161 6.1.2 Binare astrometrice ..................................... 162

CuprinsCuprinsCuprinsCuprins

15

6.1.3 Binare spectroscopice ..................................... 163 6.1.4 Binare eclipsante ........................................ 164

6.1.5 Binare de acreie .......................................... 165 6.2 Stele variabile pulsante .................................... 167

6.2.1 Variabile de tip Canis Majoris ( Cephei) ..... 168 6.2.2 Cefeide pitice i - Scuti ............................. 170 6.2.3 Stele variabile magnetice i spectrale .......... 170

6.2.4 Stele variabile de tip RR Lyrae ................... 171 6.2.5 Cefeidele clasice sau variabilele de tip -Cephei ....................................................... 172 6.2.6 Cefeidele anormale sau de tip W Virginis ...... 174 6.2.7 Stelele variabile cu perioad lung sau de tip Ceti ............................................................ 174

6.3 Stele variabile semiregulate ................................ 176 6.3.1 Stele variabile de tip RV Tauri ..................... 175 6.3.2 Stele variabile semiregulate roii ................ 177

6.4 Stele variabile eruptive ....................................... 178 6.4.1 Nove............................................................. 178 6.4.2 Stelele variabile de tip U Geminorum sau novele pitice ............................................... 183 6.4.3 Novoidele .................................................... 184

6.4.4 Steaua variabil P Cygni .......................... 184 6.4.5 Steaua variabil S. Doradus ....................... 185

6.4.6 Stelele de tip Wolf-Rayet ........................... 186 6.4.7 Stelele variabile UV Ceti (Flare Stars)........ 187

6.4.8 Variabilele nebulare ................................... 187 6.4.9 Stele variabile de tip RW Aurigae ............... 188


16

6.4.10 Stelele variabile de tip T Tauri ................... 188 6.4.11 Stele variabile de tip R Coronae Borealis...... 189

6.4.12 Steaua variabil Carinae ....................... 189 6.4.13 Supernova.................................................. 190

6.4.13.1 Supernove de tip I ........................... 191 6.4.13.2 Supernove de tip II ......................... 192

n loc de ncheiere n loc de ncheiere n loc de ncheiere n loc de ncheiere ................................................................................................................................................................................................................................ 196196196196

BIBLIOGRAFIEBIBLIOGRAFIEBIBLIOGRAFIEBIBLIOGRAFIE ............................................................................................................................................................................................................................................ 197197197197

17

Capitolul I. Introducere n astrofizicCapitolul I. Introducere n astrofizicCapitolul I. Introducere n astrofizicCapitolul I. Introducere n astrofizic

1.1 Fotometrie astronomi1.1 Fotometrie astronomi1.1 Fotometrie astronomi1.1 Fotometrie astronomicacacaca

Studiul corpurilor cereti pe baza msurrii strlucirii lor aparente formeaz obiectul fotometriei astronomice. Strlucirile aparente reprezint cantitatea de energie recepionat pe unitatea de timp i pe unitatea de arie receptoare, orientat perpendicular pe direcia astrului. Aceast energie traverseaz Cosmosul sub forma undelor electromagnetice care de mii de ani aduc cu ele pe Pmnt informaii despre puzderiile de stele care ne ncnt ochiul n nopile senine i fr Lun.

La steaua care a rsrit

E-o cale att de lung

C mii de ani i-a trebuit

Luminii s ne-ajung

M. Eminescu

1.1.1 Magnitudinea aparent

Astronomul grec al antichitii Hiparh (190-125 .H-R.) a ntocmit n anul 129 .Hr. un catalog al stelelor vizibile cu ochiul liber. Acesta cuprinde 1028 de stele grupate n 49 de constelaii din care 12 zodiacale, 21 n constelaia boreal i 16 n emisfera austral. Hiparh a


18

mprit stelele dup strlucirea lor aparent n 6 clase de strlucire pe care le-a numit magnitudini stelare. Stele cele mai strlucitoare le-a considerat de magnitudine 1, iar pe cele aflate la limita vizibilitii cu ochiul liber pe cerul senin al nopilor fr Luna, de magnitudine 6. ntre ele acesta a considerat clase intermediare de magnitudine . Acest Hiparh [] s-a apucat s numere pentru urmai stelele i s noteze constelaiile, folosindu-se de nite instrumente inventate de el, pentru stabilirea locului i a mrimii fiecrei stele n parte .[....] scria Pliniu cel Btrn n cea de a doua carte a Istoriei naturale. Catalogul lui Hiparh nu s-a pstrat ns n varianta sa original, preluat fiind de printele geocentrismului Ptolemeu n lucrarea sa Megalae sintaxis. Pe la mijlocului secolului al XIX-lea s-a dovedit c mprirea lui Hiparh se poate explica pe baza legii psihofiziologice a lui Weber-Fechaner care are urmtorul enun:

Variaia intensitii senzaiei produse de un excitant fizic, este proporional cu raportul dintre variaia intensitii excitaiei i intensitatea excitaiei iniiale . Aplicm aceast lege n fotometria astronomic:

Notm : E strlucirea aparent a unui astru

dE variaia strlucirii aparente

EE

- variaia relativ a strlucirii aparente

dm intensitatea senzaiei corespunztoare variaiei relativ a strlucirii aparente

1. Introducere n astrofizi1. Introducere n astrofizi1. Introducere n astrofizi1. Introducere n astrofizicacacaca

19

Conform legii Weber-Fechner: dm=KEE

(1.1.1)

Integrnd aceast relaie obinem: cEKm += ln (1.1.2) unde c constant de integrare.

Trecnd expresia logaritmic n logaritm zecimal:

EE log10lnln = ,

putem scrie: cEKm += log10ln (1.1.3)

notnd =10lnK relaia devine: cEm += log (1.1.4) n 1856, prin msurtori fotometrice, Pogson a stabilit c strlucirea unei stele de magnitudinea 1 este mai mare de o sut de ori dect strlucirea unei stele de magnitudine 6. Pe aceste considerente se folosete n calcul matematic expresia:

E(1)=100E(6) sau ( )( ) 10061

=

EE

Lum cazul celor dou stele de magnitudine 1, respectiv 6 i aplicm legea Weber-Fechner asupra strlucirii lor aparente. Vom avea relaiile :

- pentru m=1: 1= ( ) cE +1lg - pentru m=6: 6= ( ) cE +6lg (1.1.6) Scznd relaiile, rezult:

1-6 ( ) ( )( )6lg1lg EE = . Aplicm proprietile logaritmilor zecimali i determinm constanta :


20

-5= ( )( )61lg

EE ;

tiind c ( )( ) 10061

=

EE

putem scrie:

-5= 100lg ;

-5= 210lg ;

=-25

; =-25. (1.1.7)

Astfel, magnitudinea m se poate determina din strlucirea aparent E, pe baza relaiei:

cEm += lg5.2 (1.1.8) - formula lui Pogson,

unde 5.2= este constanta de scar a lui Pogson c- este constanta de punct nul al sistemului de magnitudini

Hiparh consider doar magnitudini ntregi de la 1 la 6, dar, pe baza formulei lui Pogson, scara magnitudinilor s-a extins la magnitudini intermediare fracionare, fiind cuprins n prezent ntre 26,7 magnitudinea Soarelui i +24 magnitudini ale stelelor mai slabe, accesibile doar marilor telescoape. Relaia lui Pogson poate fi scris i sub alt form. Astfel, considerm dou stele de magnitudini aparente diferite, m i m0 , cu strluciri

aparente E i E0, pentru care scriem legea Weber-Fechner:

cEm += lg


21

cEm += 00 lg (1.1.9) Procednd ca n cazul anterior (unde m=1 i m0=6) scdem cele dou relaii obinnd:

00 lg E

Emm = (1.1.10)

Rezolvnd ecuaia logaritmic:

0

lgEE

=

5.20

nn;

0

lgEE

=

5.20 nn ;

0

lgEE

=0.4 (m0-m);

( )mmEE

= 04.0

0

10 ; (1.1.11)

( )mmEE

=0512.2

0; (1.1.12)

Pe baza acestei relaii legea Weber-Fechner se poate reformula astfel: La variaia n progresie geometric a intensitii excitaiei i

corespunde o variaie n progresie aritmetic a intensitii senzaiei . Noiunea de magnitudine s-a extins i n cazul receptorilor obiectivi ca fotomultiplicatorul, bolmetrul, placa fotografic etc., strlucirea aparent a stelelor msurat cu aceti receptori expunndu-se tot pe baza formulei lui Pogson.


22

1.1.2 Magnitudinea absolut

Magnitudinea absolut exprim magnitudinile aparente care s-ar obine de pe Pmnt dac toate corpurile cereti luminoase (inclusiv Soarele) s-ar gsi pe o sfer imaginar avnd Pmntul n centrul ei i raza de 10 parseci (1ps = 3,2615 ani-lumin = 206264,80 UA = 3,0861016 m). Numai considernd toate stelele la aceeai distan de Pmnt am putea obine valori ale strlucirii lor. Astfel, privit de la 10 parseci, Soarele ar aprea ce o stea de mrime stelar +4,65, vizibil, deci, cu ochiul liber, dar puin strlucitor. Pentru determinarea expresiei magnitudinii absolute notm:

M- magnitudinea absolut a unei stele m- magnitudinea aparent a unei stele

tim formula strlucirii la o distan oarecare:

Hr

RE = 22

(1.2.1)

i la distana standard de 10 ps:

Hr

REst

st = 2

2

unde: R raza astrului; H fluxul specific de radiaie; r - distana pn la astru; rst =10 ps distana standard mprim cele dou relaii:

2

2

r

r

EE st

st

= (1.2.2)


23

Conform formulei lui Pogson (1.1.2) putem scrie:

( )mMstst r

r

EE

== 512.222

(1.2.3)

rezult c: ( )mMstr

r

= 512.222

(1.2.4)

Logaritmnd relaia (1.2.4) obinem:

( ) 512.2lglg 22

mMr

rst=

tiind c rst este 10 ps, scriem :

( ) 512.2lg10lg 22

mMr

=

4.0)(lg10lg 22 = mMr tiind c lg10=1, rezult:

4.0)(lg22 = mMr

mMr =4.0lg22

5-5lg r=M-m Putem scrie astfel formula magnitudinii absolute n funcie de magnitudinea aparent i de distana pn la astru:

rmM lg55 += (1.2.6)

Deoarece "

1pi

=r , unde "pi este paralaxa anual a astrului

msurat n secunde de arc (sau unghiul sub care se vede din centrul astrului raza medie a orbitei terestre n momentul n care direcia


24

Pmnt-astru este perpendicular pe direcie Pmnt-Soare), relaia (1.2.6) se poate transcrie:

"

1lg55pi

+= mM (1.2.7)

adic )"lg1(lg55 pi+= mM

cum lg 1 =0 rezult:

'

1lg55pi

+= mM (1.2.8)

Cu aceast formul putem calcula distana pn la o stea cnd i se cunosc cele dou magnitudini. Determinm r din relaia (1.2.6):

rmM lg55 +=

rmM lg55 =

rmM lg5

5=

astfel:

15

lg += Mmr

adic:

)(2.01 Mmr += (1.2.9) Am obinut astfel formula distanei pn la astru. Magnitudinea absolut a unei stele este n strns legtura cu luminozitatea ei.

Astfel tiind formula de dependen a strlucirii aparente de luminozitate:


25

24 rLEpi

= (1.2.10)

unde L - luminozitatea, r - distana pn la stea Rescriem formula lui Pogson (1.1.8), pentru magnitudinea absolut, deci steaua se afl la distana standard de 10 ps: cEM += lg5.2

astfel:

cLM +

= 2104lg5.2

pi

La fel procedm i n cazul Soarelui :

cL

M oo +

= 2104lg5.2

pi

scznd cele dou relaii, obinem:

= 22 104lg

104lg5.2

pipio

o

LLMM

folosind proprietile logaritmilor, deducem:

o

o LLMM lg5.2= (1.2.11)

Astfel putem determina luminozitatea unei stele cnd i cunoatem magnitudinea absolut, n funcie de magnitudinea absolut a Soarelui (Mo=+4,63) i luminozitatea lui (Lo= 103,826 26 W).


26

Magnitudini aparente i absolute ale celor 20 de stele cele mai apropiate de Pmnt

Nr. crt.

Denumirea stelei Distana (ps)

Magnitudinea aparent - m

Magnitudinea absolut - M

1 Soarele 1/206265 -26,7 +4,9 2 Proxima

Centauri 1,31 +11,3 +15,7

3 Centauri A 1,32 +0,3 +4,7 4 Centauri B 1,32 +1,7 +6,1 5 Steaua lui

Barnard 1,84 +9,5 +13,1

6 Lalande 21185 2,46 +10,7 +13,7 7 Wolf 359 2,48 +13,5 +16,5 8 +3602147 2,58 +7,5 +10,4 9 Sirius 2,66 -1,5 +1,4 10 Satelitul lui

Sirius 2,66 +8,5 +11,4

11 Ross 154 2,86 +10,5 +16,2 12 Ross 248 2,89 +12,2 +14,7 13 Luyten 7896 3,05 +12,3 +14,9 14 Eridani 3,30 +3,8 +6,2 15 Procyon 3,37 +0,5 +2,8 16 Satelitul lui

Procyon 3,37 +10,8 +13,1

17 61 Cygni 3,38 +5,4 +7,7 18 Satelitul lui 61

Cygni 3,38 +6,1 +8,4

19 Ceti 3,40 +3,7 +6,0 20 Indi 3,47 +4,7 +7,0

1.2 Legile de radia1.2 Legile de radia1.2 Legile de radia1.2 Legile de radiaie ale corpului negruie ale corpului negruie ale corpului negruie ale corpului negru

Se numete corp negru, sau radiator integral un corp care absoarbe complet radiaiile electromagnetice incidente. Fiind un absorbant perfect, corpul negru este n acelai timp i un radiator


27

perfect, care, meninut n echilibru termic la temperatur constant cu mediul ambiant, emite o cantitate de energie egal cu energia absorbit. O stea este considerat un corp negru . Analogia dintre stele i un corp negru este justificat prin faptul c radiaiile stelare provin din interiorul stelei, sunt absorbite i remise de pturile exterioare . Pentru un corp negru n echilibru cu mediu ambiant este valabil legea lui Kirchhoff care afirm c raportul

( )TBKj

pi4= (1.2.1),

unde: j - coeficient de emisie K - coeficient de absorbie

)(TB - intensitatea specific a radiaiei emise de corpul negru Elabornd teoria cuantic a radiaiei, Planck a artat c funcia

)(TB , numit funcia lui Planck are forma :

112)( /2

3

= Tkh Bec

hTB

(1.2.2)

Unde h=6,62610-34 Js constanta lui Planck kB =1,3810-23 J/K constanta lui Boltzmann c= 3108 m/s viteza luminii

- frecvena de radiaie

T temperatura

tiind c c

= , rescriem ecuaia lui Planck pentru scara

lungimilor de und:


28

112)( /5

2

= Tkh Be

hcTB (1.2.3)

Pe baza analogiei materiei stelare cu corpul negru afirmm c intensitatea specific medie pe discul astrului va fi dat de funcia lui Planck, adic:

( )TBIF == (1.2.4) iar fluxul specific va avea expresia:

)(TBFH pipi == (1.2.5) Analog pentru intensitatea integral, care reprezint intensitatea emis

de ntreaga stea, avem:

BIF == (1.2.6) BH pi= (1.2.7)

unde ( )

=

0

dTBB (1.2.8)

Introducnd expresia )(TB n (1.2.7) obinem:

( )

pi de

hcdTBB Tkhc B

==

0/5

2

0 112

(1.2.9)

Notm 122 chc = , obinem 2ck

hc=

=

0/5

1

11

2

pi d

e

cH

c (1.2.10)

schimbnd variabilele: xT

c=

2, rezult c

xTc2

= .


29

Atunci 22

x

dxTcd = .

Dac 0= , atunci =x Dac = , atunci 0=x

Astfel putem scrie:

22

0

52

551

11

x

dxTc

ec

TxcH

x

=

pi

simplificnd termenii asemenea, rmne:

=

0

3

42

41

1dx

e

x

c

TcHx

pi (1.2.11)

calculm integrala din expresia fluxului integral:

( )

=

=

=

0

3

0

3

0

3

0

3

)1(1

)1(11 dxeexdxeexdx

ee

xdxe

xx

x

x

x

xxx (1.2.12)

Dac 0>x , atunci 1


30

=

=

0 0 0

33

11

k

xkx

x dxexdxe

ex (1.2.15)

Calculm integrala sumei, folosim metoda integrrii prin pri. Astfel vom nota:

3xf = 23' xf =

kxeg =' k

egkx

=

Conform formulei de integrare prin pri:

= gffgfg '' (1.2.16) obinem in cazul nostru:

=+=+

=

0 0

22

0

2

00

33 3303 dxex

kdxex

kdx

ke

xekx

ex kxkxkx

kxx (1.2.17)

Pentru rezolvarea noii integrale folosim din nou metoda integrrii prin

pri, notnd: 2xf = xf 2'=

kxeg =' k

egkx

=

n aceste condiii, folosind (1.2.16) n relaia (1.2.17) obinem relaia de mai jos (1.2.18).

dxxek

dxxek

dxxek

exk

dxexk

ex kxkxkxkxkxxk

=+=+==0

20

20

20

22

0

2

0

3 6603233

Folosindu-ne de aceeai metod de integrare, notm: 1'== fxf

kegeg

kxkx

==

'


31

Introducnd noile notaii n (1.2.18), conform (1.2.16) putem scrie:

40

30

30

30

20

3 66666kk

e

kdxe

kxe

kdxxe

kex

kxkxkxkxxk

=

=+==

(1.2.19)

Revenim la formula (1.2.15) nlocuim datele obinute:

159066 44

04

0 0

3 pipi===

=

=

kk

kx

kdxex (1.2.20)

nlocuind (1.2.20) n formula fluxului integral (1.2.11) obinem:

151

4

42

41

0

3

42

41 pipipi =

=

c

Tcdxe

x

c

TcH

x (1.2.21)

Dac notm coeficientul =42

41

15cTc

, obinem: 4TH =

Formula (1.2.21) se numete legea Stefan-Boltzmann care caracterizeaz radiaia corpului negru i are urmtorul enun: Fluxul integral emis de unitatea de arie de pe suprafaa corpului negru este proporional cu puterea a patra a temperaturii lui absolute. Temperatura astrului determinat cu ajutorul legii Stefan-Boltzmann se numete temperatur efectiv. Maximul intensitii specifice )(TB este atins pentru o anumit lungime de und maxim, m . ncercm s determinm aceast lungime de und maxim. Astfel n formula lui Planck pentru lungimea de und,

112)( /5

2

= Tkh Be

hcTB ,

notm 2

122

ckhc

chc

=

=


32

Rescriem funcia lui Planck:

11)( /51 2

= Tce

cTB (1.2.22)

Notm xT

c=

2, astfel

2

1c

xT=

Expresia (2.22) se transform:

52

551)(c

TxcTBx = (1.2.23)

Notm 352

551 cc

Txc= , i obinem:

1)(

5

3

=xx e

xcTB

(1.2.24)

Derivnd expresia (1.2.24) n raport cu x, obinem: ( )( )

( )( )2

43

2

54

31

551

15)(

=

=

x

xx

x

xx

x

e

exexc

e

exexc

x

TB (1.2.25)

Fiindc x este o constant, are derivata ntotdeauna nul:

( )( ) 01

552

43

=

x

xx

e

exexc (1.2.26)

Aceast relaie este adevrat numai dac: 5-x-5e-x=0 (1.2.27)

Rezolvnd aceast ecuaie exponenial obinem pentru: xm=4,9651 (1.2.28)

Revenind la notaiile fcute, deducem:

dac 9651.42 == mxTc

, atunci

m

m Txc2

= , adic


33

9651.42cTm = (1.2.29)

Notnd n (1.2.29) bc =9651.4

2, o constant vom avea

bTm = (1.2.30) Aceast formul reprezint expresia legii lui Wienn sau legea deplasrii. Cu ajutorul acestor legi se poate determina temperatura corpului negru, a stelei n cazul nostru. Astfel, pentru diferite valori ale lungimilor de und, se msoar intensitatea specific i se

construiete graficul ( ) fB = : din grafic putem determina lungimea de und maxim m , pentru care intensitatea are valoare maxim.

nlocuind valoarea lui m n formula (1.2.30) se determin temperatura de radiaie. Cu ct temperatura crete cu att i valoarea maxim a intensitii specifice se va deplasa pe graficul ntocmit. Funcia lui Planck admite dou expresii asimptotice:

Pentru mKT 3103 , legea lui Planck devine: ( ) TckTB 42 (1.2.32)

Prezentm n cele ce urmeaz curbele de distribuie Planck ale intensitilor radiaiilor n funcie de temperatur pe scara lungimilor de und.


34

1.3 Para1.3 Para1.3 Para1.3 Parametrii de stare ai stelelor metrii de stare ai stelelor metrii de stare ai stelelor metrii de stare ai stelelor

Proprietile stelelor pot fi caracterizate cu ajutorul unor parametrii care permit s le deosebim de alte corpuri cereti, numii parametrii de stare, sau parametrii fizici ai stelelor. Aceti parametrii sunt:

1) Masa stelei, M0 , exprimat n funcie de masa Soarelui M=1,9891030kg.

2) Compoziia chimic a stelei, determinat prin proporia pe kilogram de materie a hidrogenului, X a heliului, Y i a celorlalte elemente chimice, Z=1-X-Y.

3) Raza stelei, R exprimat de regul n raze solare R=6,96108 m.


35

4) Luminozitatea stelei, L este cantitatea total de energie emis de stea n unitate de timp, exprimat n luminoziti solare, sau n W. Deci L =3,8261026 W.

5) Temperatura efectiv a stelei Te, este temperatura care ar emite aceiai cantitate de energie pe unitatea de arie, n unitatea de timp, ca i unitatea de arie a stelei n unitatea de timp. Se msoar n grade absolute. 00C=273,16 K. Scriind legea

Stefan-Boltzmann, H= 4Te i conform relaiei de definiie a

luminozitii HRL 24pi= , putem scrie relaia de

definiie: 424 TeRL pi= .

6) Spectrul stelei determinat pe baza unei clasificri spectrale empirice. Cea mai rspndit i mai utilizat este clasificarea

Morgan-Keenan, n care un spectru este caracterizat prin clasa

spectral i prin clasa de luminozitate. Asupra acestei

clasificri se va reveni n ultima parte a acestei lucrri.

7) Densitatea medie a stelei, , exprimat n kg/m3 rezult din

relaia de definiie: 343

Rpi 0M= , unde M0 masa stelei, R raza

stelei.

8) Acceleraia gravitaional la suprafaa stelei, g msurat n

m/s2 rezult din relaia de definiie: 2RG

g 0M

= , unde

G-constanta gravitaional egal cu

6,67210-11 m3/kgs la suprafaa Soarelui g=274m/s2.


36

9) Producia medie de energie a stelei, , pe kg de materie pe

secund, definit prin relaia: 0M

L= .

Pentru Soare o =210-4

W/kg.

10) Rotaia stelei, determinat prin perioada de rotaie, Prot, exprimat in zile medii.

n cazul Soarelui, la ecuator: Prot =25,38 z.m. Pentru studiul evoluiei i structurii stelelor, dintre parametrii

amintii mai sus doar civa sunt fundamentali, i anume: masa, compoziia chimic, raza i luminozitatea .

V. Vogt i Russell au dedus din observaiile asupra interiorului stelelor, teorema care le poart numele. Ea se enun astfel:

ntreaga structur interna a stelei i parametrii de stare de la suprafa (luminozitatea i raza) sunt n mod unic determinai prin masa i compoziia chimic

Parametrii de stare pentru cteva stele

Denu-mirea stelei

Mas MMMM0000//// MMMM

Lumino-zitate L/L

Raza R/R

Densi-tate

medie

Magnitu-dine

absolut bolome-tric Mb

Tempera-tura

efectiv Te (K)

Antares A 50 3100 328 0,0000014

-3,9 3200

Conopus 50 24000 85 0,00011 -6,1 8000

Deneb 35 10000 35 0,0011 -5,2 11000

Rigel 40 13000 33 0,0014 -5,5 13000


37

Orionis 27 2300 7 0,13 -3,6 28000

Spica 11 730 5 0,14 -2,3 20000

Pegasi 14 310 141 0,000007

-1,4 3000

Arcturus 11 109 26 0,001 -0,2 4200

Capella A 4,2 111 12 0,0033 -0,3 5500

Capella B 3,3 69 7 0,015 +0,2 6500

Vega 2,8 50 2,2 0,28 +0,6 12000

Procyon 1,2 5,8 1,8 0,28 +2,9 7000

Soare 1,0 1,0 1,0 1,41 +4,63 5700

Bootis B 0,58 0,07 0,65 2,8 +7,7 4200 Krger

60A 0,38 0,003 0,41 6,2 +11,2 3000

40 Eridani B

0,31 0,003 0,016 110000 +11,3 12500

Sirius B 0,89 0,009 0,029 52000 +10,0 9400

Steaua Van Maanen

0,12 0,0002 0,007 420000 +14,3 8000

38

Capitolul II. Spectrul Capitolul II. Spectrul Capitolul II. Spectrul Capitolul II. Spectrul ---- cheia cerului cheia cerului cheia cerului cheia cerului

2.1 Elem2.1 Elem2.1 Elem2.1 Elemente de analizente de analizente de analizente de analiz spectral spectral spectral spectral

ncepnd din a doua jumtate a secolului XIX-lea cercetarea naturii fizice a corpurilor cereti observate i a proceselor fizice ce se petrec n interiorul lor, ntreprinse de astrofizic, a devenit un domeniu fundamental al tiinei astrelor. Utilizarea analizei spectrale a avut n

aceast privin o importan crucial, un rol important avnd J. N. Fraunhofer (1824-1887) i R. Bunsen (1811-1899) i-au dus lucrrile mai departe, contrazicnd afirmaiile filosofului Auguste Compte care susinea c niciodat, de pe Pmnt, oamenii nu vor cunoate structura

chimic a stelelor. Astfel, s-a descoperit un element chimic mai nti n spectrul Soarelui, denumit heliu i apoi a fost confirmat prezena

i pe Pmnt.

Unicul mesager primit de la atri l constituie totalitatea

radiaiilor electromagnetice, ca reprezentare a energiei fiecrui astru. Radiaia electromagnetic este caracterizat de o lungime proprie de

und . Lungimea de und a radiaiei se msoar n uniti de msur

obinuite pentru distan, metrul sau n angstromi (1 mA 100

10= ), iar n funcie de lungimea de und radiaiile electromagnetice se mpart n

domenii spectrale.

2. Spe2. Spe2. Spe2. Spectrul ctrul ctrul ctrul cheia cerului cheia cerului cheia cerului cheia cerului

39

Caracteristicile domeniilor spectrale vor fi prezentate n cele ce urmeaz.

a) Domeniul radioundelor

-Are limitele ntre 31011 0A

0810 A


40

Este singurul domeniu spectral n care au fost efectuate observaii astronomice pn n 1945 d) Domeniul ultraviolet

Cuprinde lungimi de und n intervalul oo

AA 33 10310


41

Undele electromagnetice cuprinse n toate aceste domenii spectrale vin din Universul infinit n timp i spaiu ctre Pmnt ns

nu toate ajung s ating suprafaa terestr. Principalul obstacol n calea undelor cosmice este atmosfera terestr, care este transparent

doar pentru lungimile de und din domeniul radio i domeniul optic. Dup cum se tie, atmosfera are n componena sa azot

molecular (N2) n procent majoritar (78.8%), oxigen (O2- 29.9%), argon (Ar-0.934%), dioxid de carbon (CO2-0.033%) i diferite alte gaze n procente foarte mici.

Undele electromagnetice, n contact cu atmosfera, disociaz

moleculele de gaz, ioniznd atmosfera, fiind absorbite n aceste procese i formnd stratul atmosferic ce se ntinde de la 50 km la 500 km altitudine, numit ionosfer. Astfel, stratul de ozon O3, care se gsete la altitudinea de 20-

25 km, absoarbe undele electromagnetice cu lungimi de und mai mici


42

de 2900 0A , cuprinse, deci, n domeniul ultraviolet ndeprtat i

apropiat.

Radiaia electromagnetic cu lungimea de und n infrarou

este absorbit n excitaia produs asupra moleculelor de ap, n stare de vapori, oxigen, azot i dioxid de carbon.

Radiaia cu lungimi de und mai mari de 0

11102 A este absorbit

i reflectat napoi n spaiul extraterestru de ctre ionosfer. Tot la nivelul acestui strat radiaia X interacioneaz cu moleculele

atmosferei stratificate determinnd disocierea moleculelor de oxigen i azot.

Radiaia cu lungimi de und din domeniul optic, sau lumina cu toate c ptrunde prin atmosfera terestr, sufer i ea, n urma

impactului, anumite fenomene fizice, nainte s ating suprafaa

Pmntului. Aceste fenomene sunt:

a) Difuzia luminii Acesta este ntlnit la interaciunea luminii cu o particul i are

drept consecin toate efectele optice percepute de ochiul nostru zi de

zi. Lungimea de und ( ) depinde de mrimea moleculei cu care intr n interaciune ( L ). Astfel:

o Dac L>> , unda electro-magnetic intr n interaciune cu molecule de mrimi mai mici ca lungimea sa de und, atunci lumina difuzat va avea o culoare albastr, explicndu-se astfel culoarea

cerului senin sub care existm.


43

o Dac L~ , unda electromagnetic interacioneaz cu molecule de mrimi comparabile cu lungimea sa de und, atunci este difuzat n exterior mai mult

lumin roie, explicnd nroirea Soarelui i Lunii la rsrit i apus.

o Dac L


44

d) Dispersia luminii Este fenomenul determinat de dependena radiaiei refractate de

indicele de refracie. Cel mai cunoscut fenomen de dispersie n natur este curcubeul, realizat prin descompunerea luminii monocromatice,

datorit refraciei sub unghiuri diferite n picturile de ploaie, n cele apte culori .

Curcubeul este amestecarea n nor a culorilor nchise cu cele deschise, dup Aristotel.

Spectrul atomului de hidrogen obinut pe un film fotografic n condiii de laborator


45

Tipuri de spectre care pot fi ntlnite n analiza spectral

2.2 Sursele radia2.2 Sursele radia2.2 Sursele radia2.2 Sursele radiaiilor electromagneticeiilor electromagneticeiilor electromagneticeiilor electromagnetice

[...] precum n cer aa i pe Pmnt [...]

n anul 1932 fizicianul american C.D. Anderson a constatat c n razele venite din cosmos, de natur necunoscut, se afl dou particule gemene, cu mase egale, dar cu sarcini electrice opuse. Una dintre particule era electronul, cu sarcin negativ, iar cealalt pozitronul, cu sarcin negativ, prevzut de P.A.M. Dirac nc din anul 1928. Tot n 1932 s-a constatat c atunci cnd un atom este

bombardat cu particule (nuclee de He24 ) din nucleul atomic au fost


46

smulse particule cu sarcin nul-neutronul, descoperit de James Chadwick (1891-1947). Astfel s-a nscut atomul - unitatea fundamental a materiei, din razele cosmice. n urma examinrii unor probleme legate de structura materiei s-a constatat c la partea final a sistemului periodic al lui Mendeleev, unele sisteme au structuri instabile i prin dezintegrare, ele se transform n alte elemente. Astfel s-a introdus noiunea de element radioactiv. Prin cercetarea acestor elemente i supunerea lor la diferite condiii de reacie s-au descoperit aa-zisele reacii nucleare. n 1938 H.A. Bethe a elaborat teoria reaciilor termonucleare. Astfel, radiaiile electromagnetice din Univers reprezint o form de manifestare a energiei stelare, energia furnizat de reaciile termonucleare.

Principalele reacii care se desfoar n interiorul stelelor sunt:

a) Lanul proton-proton Se produce la temperaturi mai mari de 61015 K, temperaturi la care hidrogenul, principalul constituent al stelelor, este complet ionizat i supus unor viteze foarte mari. Astfel, n aceste condiii dou

nuclee de hidrogen se pot ciocni i declannd astfel reaciile nucleare ce se pot modela astfel:

11 H+

11 H

21 H+e

++ +6,710-14J

21 H+

11 H

32 He+ +8,7810-13 J

32 He+

32 He

42 He+2

11 H+20,5610

-13 J


47

- este particula neutrino care are o mas neglijabil, putnd ptrunde prin materie; este cuanta de energie. Astfel, patru protoni se sintetizeaz ntr-un nucleu de heliu,

eliberndu-se n urma acestui proces energie. Acest tip de reacii termonucleare este responsabil pentru producerea energiei Soarelui i

a stelelor de talia sa.

b) Ciclul carbon-azot La temperaturi mai mari de 7101,5 K se declaneaz aceste

reacii pe care le putem modela astfel:

)101,1(1094,7

)82(1070,2

)102,3(1076,11

)107,2(1006,12

min)7(1092,1

)103,1(1012,3

51342

126

11

157

13157

158

813158

11

147

613147

11

136

13136

137

713137

11

126

aniJHeCHN

sJeNO

aniJOHN

aniJNHC

JeCN

aniJNHC

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+

+

Aceste reacii se desfoar cu o vitez foarte mare, elementul

principal C126 refcndu-se n finalul ciclului, putnd s reporneasc

un alt set de reacii de de acest tip.

Ciclul carbon-azot este ntlnit la stelele cu mrime mult mai mare dect a Soarelui nostru, n aa-zisele gigante.


48

c) Procesul triplu- Aceste reacii sunt caracteristice interiorului stelei foarte mari

ca mrime, n supergigante, care au o temperatur central mai mare

de 108 K. Lanul reaciilor are forma:

++ BeHeHe 844242

++ CHeBe 1264284

Se observ c n urma

acestui proces are loc o

eliberare puternic de

energie luminoas.

ntlnite n stele i cu o mare capacitate de a elibera

energie, reaciile termonucleare

sunt n atenia cercettorilor tiinifici, pentru ca energia viitorului, pe

Pmnt s fie produs cu ajutorul reaciilor nucleare. Aceste reacii termonucleare dureaz milioane sau chiar miliarde de ani n laboratorul numit stea i duc la schimbarea

compoziiei chimice a stelei. Astfel prin mrirea temperaturii se

sintetizeaz aproape toate elementele lui Mendeleev.

Reaciile termonucleare prezentate mai sus asigur radiaii cu lungimi de und corespunztoare domeniilor spectrale: optic,

ultraviolet i infrarou, radiaii emise la nivelul pturilor energetice de la periferia atomului. Radiaiile X sunt legate de pturile energetice

din interiorul atomului, unde sunt prezeni de obicei toi electronii posibili. Aceste radiaii au fost puse n eviden n 1895 de fizicianul


49

german W. C. Roentgen (1845-1923). Electronii emit o radiaie electromagnetic de fiecare dat cnd sunt supui unor acceleraii sau

frnri. De exemplu cnd electronii trec prin vecintatea unui nucleu atomic ei sufer o frnare puternic, iar surplusul de energie cinetic

este eliberat sub form de fotoni. Aceast radiaie de frnare poart numele de radiaie bremsstrahlung. n prezena liniilor de cmp magnetic traiectoriile electronilor au forma unor spirale nfurate n

jurul liniilor de for. Are loc o variaie continu a vitezei ce determin variaia continu a energiei, definind astfel radiaia sincrotron.

n spaiul interstelar intensitatea cmpului magnetic este foarte redus (10-8 Gs), de aceea electronii relativiti emit energie n domeniul frecvenelor mici, la lungimi de und mari, ncadrndu-se n domeniul spectral al undelor radio. Dac electronii relativiti trec pe

lng cmpuri magnetice puternice, radiaia sincrotron corespunz-toare este emis n domeniul radiaiilor X sau gama.

Dup cum am asociat radiaia stelar cu cea a corpului negru, spunem c aceast radiaie este de natur termic, fapt demonstrat prin

nclzirea unui corp solid n laborator. Se observ c, pe msur ce acest corp se nclzete emite radiaii cu lungimi de din ce n ce mai

scurte.

tim c o und electromagnetic este caracterizat de vectorul

intensitate a cmpului electric Er

i vectorul intensitate a cmpului

magnetic Hr

, vectori egali, perpendiculari unul pe altul i cu o

orientare perpendicular pe direcia de propagare. La propagarea undei

n spaiu interstelar au loc variaii ale vectorului intensitate a cmpului


50

electric Er

n mrime i orientare determinnd aa-zisa lumin polarizat. Aceste transformri ale luminii la propagare ne ajut deosebim radiaia sincrotron care este radiaia polarizat, de radiaia termic nepolarizat.

Energia fotonilor din radiaia bremmstrahlung provine de la energia cinetic a electronilor i poate s fie de natur termic sau

netermic.

Radiaia gama poate fi determinat prin anihilarea unei

pozitron ( +e ) cu un electron ( e ) . Radiaia luminoas se descompune ntr-un electron i un

pozitron, dnd astfel natere materiei. + + ee

Cnd un electron i un pozitron se ntlnesc, ei se anihileaz dnd natere unei cuante de lumin. 2+ + ee

Deci, lumina formeaz materia care se transform n lumin.

[...] S fim oare fcui din lumin?

Lumina lumineaz n ntuneric i ntunericul nu a biruit-o

Ioan 1:5

2.3 Scurt istoric al spectrului stelar2.3 Scurt istoric al spectrului stelar2.3 Scurt istoric al spectrului stelar2.3 Scurt istoric al spectrului stelar

Dispersia luminii solare prin prisme de sticl a fost studiat de

Newton, n 1666, care a artat c lumina alb se poate descompune ntr-o serie de radiaii, iar acestea, prin suprapunere, pot recompune lumina iniial. Dar a trecut mai bine de un secol, pn cnd,


51

Wollaston (1786-1828), n 1802, lsnd s cad pe o prism un fascicol ngust de raze solare a obinut o niruire de culori, care nu se

ntreptrund, ci sunt separate prin linii negre. Totodat, dou descoperiri dovedesc c spectrul Soarelui se extinde n ambele

extremiti ale prii sale vizibile, prin radiaii invizibile. nti F.W. Herschel (1738-1822) cerceteaz cu ajutorul unui termometru repartiia cldurii n spectrul solar i gsete c maximul temperaturii se afl dincolo de extremitatea roie, n invizibil, apoi J. W. Ritter

descoper c clorura de argint a plcii fotografice este puternic sensibil la radiaii, dincolo de extremitatea violet. Astfel s-au

determinat radiaii infraroii i ultraviolete ale spectrului solar. J. Fraunhofer, n anii 1812-1814, relund experienele lui

Wollaston, descoper liniile de absorie care-i poart numele. El gsete cele apte linii obscure, care, n urma cercetrii lor cu o lunet,

se descompun n peste 600 de linii negre. Apoi constat c lumina mai slab a Lunii, a lui Venus i a lui Marte prezint alte linii, n alte

poziii. Dar, n 1815, ntr-o flacr cu clorur de sodiu a gsit cele dou linii strlucitoare, care apar n spectrul solar n aceleai poziii,

dar negre. Mai trec cteva decenii pn cnd, n 1859, fizicienii Gustav Kirchhoff (1824-1887) i Robert Bunsen (1811-1899) au descoperit secretul liniilor spectrale de emisie i de absorie precum i condiiile

n care se obin. Liniile spectrale sunt elementele cifrului prin care se reflect

constituia corpurilor. Soarele este un focar incandescent, ale crui


52

radiaii dovedesc existena chimice, din care sunt absorbite de elementele din care este constituit atmosfera.

Puin mai trziu, un amator englez William Huggins (1824-1914) compar spectrele din domeniul vizibil al stelelor mai strlucitoare cu ale altor corpuri cunoscute i afl c fiecare linie

spectral este produs de unul i acelai element chimic. De aici

rezult chimia stelelor, descifrarea compoziiei chimice i a condiiilor fizice care le produc.

Prin studiul liniilor de emisie ale elementelor chimice i identificarea lor n spectrele stelare s-a constatat c acestea conin linii

ale multora dintre elementele din spectrul solar i, n general, din spectrele elementelor cunoscute pe Pmnt.

H. C. Vogel a introdus metode fotografic pentru studiul stelelor, dup ce n 1824 fizicianul austriac C. Doppler a descoperit

efectul care-i poart numele, stabilind o relaie ntre deplasarea liniei spectrale i viteza radial a sursei, cunoscnd din micarea proprie a

unei stele, viteza ei tangenial i viteza radial din deplasarea liniilor. Suma lor geometric ne d viteza de deplasare a stelei n spaiu.

J. W. Draper a obinut n secolul al XIX-lea fotografiile spectrelor stelare, iar Edward Pickering (1846-1919) prin introducerea unei prisme n faa obiectivului al unei lunete a obinut pe o plac fotografic, spectrul tuturor stelelor din cmpul lunetei.

n acest fel, dintr-o simpl niruire de linii determinate de lumin, locuitorii Pmntului pot cunoate attea i attea lucruri

despre o stea ndeprtat.


53

2.4 Spectre stelare 2.4 Spectre stelare 2.4 Spectre stelare 2.4 Spectre stelare

Radiaiile electromagnetice care se formeaz la nivelul stelelor

prin procesele termonucleare prezentate n paragraful 2, sunt

nregistrate cu ajutorul unor aparate spectrale la suprafaa Pmntului, sau n atmosfer n vederea obineri unui spectru stelar specific fiecrei stele n parte .

Spectrul reprezint de fapt dispunerea radiailor electromag-netice n funcie de lungimea lor de und, sau de frecven.

Dup cum se tie dependena lungimi de und, de frecven este dat de relaia:

c

= ; unde c=3108 m/s (2.4.1)

Din punct de vedere practic, dup cum am amintit, dispunerea radiaiilor electromagnetice n funcie de lungimea de und se realizeaz cu ajutorul aparatelor spectrale: spectroscopul, spectrograful, spectrometru, etc., a cror funcionare se bazeaz pe fenomenul de dispersie a luminii, obinut n aparate cu ajutorul prismelor optice si al reelelor de difracie.

Clasificarea spectrelor a. Spectre de emisie

continue n care intensitatea radiaiei variaz continuu cu lungimea de und pe fondul

luminos al spectrului;


54

discontinue

de linii conine linii luminoase pe un fond ntunecat;

de benzi conine benzi luminoase pe un fond ntunecat;

b. Spectre de absorie sunt spectre n care apar pe un fond luminos linii de absorie, benzi de absorie i

discontinuiti spectrale. n funcie de tranziiile electronilor ntre nivelele energetice ale

atomilor sau moleculelor care determin radiaiile electromagnetice, spectrele pot s fie atomice sau moleculare.

Formarea spectrelor de diferite tipuri se explic astfel:

Corpurile solide, lichidele i gazele dense, la presiuni mari n

stare de incandescen, emit spectre continue. Spectrul radiaiei corpului negru este un spectru continuu.

Gazele monoatomice rarefiate, n stare de incandescen emit spectre de linii. Fiecare element chimic emite un spectru de

linii caracteristic, care permite identificarea lui .

Gazele moleculare rarefiate n stare de incandescen emit

spectre caracterizate prin ansambluri de linii, care, de regul, fuzioneaz n benzi de emisie.

Dac radiaiile emise de un corp solid, lichid, sau de un gaz

dens, n starea de incandescen, trec printr-un gaz aflat la o temperatur mai mic dect corpul care emite, gazul absoarbe

unele radiaii pe care el le-ar emite n stare de incandescen n aceleai condiii de temperatur i presiune. Astfel se explic


55

formarea liniilor de absorbie i a benzilor de absorbie. Aceasta este legea lui Kirchhoff, enunat n 1859.

n unele regiuni ale spectrului se observ o absorbie continu a radiaiilor cu frecvena peste o anumit frecven limit. n acele regiuni apar discontinuitile spectrale care se explic prin procesele de ionizare.

La un spectru stelar se studiaz: o n spectrul continuu se determin din msurtori

spectro-fotometrice distribuia energiei n spectru. Se determin

variaia intensitii radiaiei I cu lungimea de und .

Se tie relaia : pi I

r

RHr

RE == 22

2

2 (2.4.2)

unde : E - strlucirea stelei;

R- raza stelei;

r - distana pn la stea;

H - fluxul de energie radiat de stea;

I - intensitatea radiaiei emise. Prin msurarea strlucirii E i cunoscnd raza stelei R i

distana r din ecuaia (2.4.2) obinem fluxul H sau intensitatea

radiaiei I . Prin compararea distribuiei energiei n spectrul I cu

izotermele teoretice Planck ( )TB , se poate determina temperatura stelei.


56

Determinnd poziia maximului intensitii I , conform legii

lui Wien se determin culoarea stelei . Astfel, stelele emit, n sensul descreterii temperaturii, radiaii de culoare albastr pentru stelele cele

mai fierbini, verde, galben, orange i rou pentru stelele cu temperaturi din ce n ce mai sczute.

o Liniile i benzile de absorie i de emisie La acestea se determin: poziia n spectru n funcie de

lungimea de und - din care rezult compoziia chimic a stelei; intensitatea din care rezult densitatea substanei care le-a produs i

abundena relativ a elementelor chimice; deplasrile liniei spectrale din care rezult viteza radial a stelei sau prezena unui cmp

magnetic, electric, gravific.

o Discontinuitile spectrale

Se determin poziia discontinuitii 1 i mrimea

discontinuitii D, prin relaia

+

=

1

1lg

II

D (2.4.3)

n spectrul vizibil, cea mai important este discontinuitatea Balmer produs de absorbia continu a hidrogenului la lungimea de

und nmBalmer 3701 = . Datorit prezenei liniilor i discontinuitilor spectrale,

spectrele stelare indic abateri importante ale radiaiei stelei de la legile de radiaie ale corpului negru. Astrofizica teoretic explic

aceste abateri pe baza teoriilor din fizica atomic i mecanica cuantic.

57

Capitolul III. Formarea spectrelor stelareCapitolul III. Formarea spectrelor stelareCapitolul III. Formarea spectrelor stelareCapitolul III. Formarea spectrelor stelare

3.1 Procese care stau la 3.1 Procese care stau la 3.1 Procese care stau la 3.1 Procese care stau la baza formbaza formbaza formbaza formrii spectrelorrii spectrelorrii spectrelorrii spectrelor

stelarestelarestelarestelare

Modul de formare al spectrelor stelare se poate explica utiliznd rezultatele fizicii atomice i mecanicii cuantice. Acestea

arat c atomul se gsete ntotdeauna ntr-o stare energetic cuantificat.

Considernd cazul atomului de hidrogen, putem spune c electronul nu poate ocupa orice stare energetic fa de nucleu ci

numai stri energetice determinate, numite nivele energetice

(discrete). Notnd cu energia unui nivel aceasta depinde de numrul n care este un numr natural numit numr cuantic principal:

= (n). (3.1.1) Conform teoriei lui BoH-RSommerfeld pentru ionii hidrogenoizi, avem relaia:

2220

42 18

)(nh

eZmn e =

; n=1,2,3....

unde: me -masa electronului

e-sarcina electronului

Z-numrul atomic


58

0 -permitivitatea vidului

sJ106.625h -34 = - constanta lui Planck. Energia electronului legat de nucleu este negativ,

considerndu-se drept originea energiei ( ( ) 0= ), energia minim la care electronul se desprinde de nucleu prin ionizare. Electronul tinde s ocupe nivelul energetic cel mai sczut, afirmndu-se astfel c

atomul este in starea fundamental. Prin ciocniri ntre atomi sau absorie de radiaie, electronul poate trece pe un nivel energetic

superior ( )n . Spunem ca atomul este excitat. Atomul poate rmne ntr-o stare excitat timp de 10-8 s, dup care electronul trece spontan la un nivel energetic inferior, revenind fie direct, fie prin treceri

intermediare, la nivelul fundamental. Acest proces se numete dezexcitare.

Trecerea electronului de la un nivel de energie E(n) la un alt nivel E(n) se numete tranziie. Pentru simplificarea scrierii considerm

n= (n) i n= (n) (3.1.2) Dac n>n tranziia se realizeaz prin absorie de radiaie

electromagnetic, sub forma unor cuante, a cror energie ',nnh este

dat de relaia

',nnh ( ) ( )

== 2222

0

4

'

118 nnh

emn e

n' (3.1.3)

tiind relaia

c= obinem lungimea de und a radiaiei absorbite,

respectiv numrul de und, caracterizate de formula:

3. Formarea spectrelor stelare3. Formarea spectrelor stelare3. Formarea spectrelor stelare3. Formarea spectrelor stelare

59

== 22

',

',

'

111~

nnR y

nn

nn (3.1.4)

Cnd n ia valori foarte mari (n ) se determin lungimea

de und limit a seriei Balmer: 0

3647 A= , creia i corespund spectre linii de absorie, observabile n domeniul vizibil, prezente n

spectrul Soarelui i din spectrele stelelor. n formula (3.1.4), n 1905, T. Lyman nlocuiete n = 1, obinndu-se astfel seria Lyman de linii spectrale de absorie, caracteristice domeniului ultraviolet, cu limita lungimilor de und

0912 A= i caracterizat de formula:

== 22

',

',

'

1111

~

nRy

nn

nn (3.1.5)

nlocuind n=2 se obine seria lui Balmer de linii spectrale de absorie, caracteristice domeniului vizibil dat de formula:

== 22

',

',

'

1211

~

nRy

nn

nn (3.1.6)

n 1908 F. Paschen (1865-1947), nlocuind n = 3 determin seria Paschen de linii spectrale de absorie, caracteristic domeniului

infrarou i dat de formula:

== 22

',

',

'

1311

~

nRy

nn

nn (3.1.7)

Pentru n = 4 se obine seria lui F. S. Brackett:

== 22

',

',

'

1411

~

nRy

nn

nn (3.1.8)


60

i pentru n = 5, seria lui A. H. Pfund, stabilit n anul 1922, avnd forma:

== 22

',

',

'

1511

~

nRy

nn

nn (3.1.9)

Dac nn , fa de nucleu.

Procesul invers ionizrii, n care electronul trece de pe un nivel

continuu de energie pe unul discret (legat), prin emisie de energie se numete recombinare.


61

Spectrul continuu se formeaz prin procesele de recombinare adic au loc tranziii liber-legat i tranziii liber-liber, unde energia

radiaz continuu. Liniile de emisie, respectiv absorie se formeaz prin tranziii

legat-legat, deci ntre nivelele discrete. Discontinuitile spectrale se formeaz prin ionizare, datorit

absoriei continue a radiaiilor de la limita seriilor spectrale. Pentru atomii altor elemente chimice au loc aceleai procese,

doar c diagrama nivelelor energetice are o structur mai complex.

Astfel energia este cuantificat dup mai multe numere cuantice: n numr cuantic principal, l numrul cuantic orbital, m numrul cuantic magnetic, s numrul cuantic de spin, iar nivelele energetice

se despic n subnivele. De asemenea, n spectrul energetic pentru molecule, fiecare

nivel energetic se poate

despica n foarte multe

subnivele apropiate, n spectrul unei stele, liniile

corespunztoare acestor

subnivele fuzionnd n

benzi de absorie sau de emisie.


62

3.2 Legea lui Boltzamann 3.2 Legea lui Boltzamann 3.2 Legea lui Boltzamann 3.2 Legea lui Boltzamann i Saha i Saha i Saha i Saha

S-a observat n studiul spectrelor unor stele c apar nite linii

spectrale intensificate. Aceasta descoperire a provocat discuii aprinse timp de 41 de ani, ntre doi astrofizicieni englezi Lockyer i Huggins.

Studiind n laborator spectrul determinat de un corp supus temperaturilor din ce n ce mai nalte, Lockyer a observat prezena

liniilor ntrite n spectrul corpului supus la temperaturi foarte mari,

concluzionnd ca liniile intensificate din spectrul unei stele relev o

temperatur nalt a stelei.

Huggins constat cam n acelai timp c presiunea joac un rol important n diferenierea linilor spectrale, cele ntrite fiind date de gaze supuse unor presiuni mici.

De aici polemica: Lockyer relev fenomenul ntriri linilor ca

efect al creterii temperaturii, Huggins ca efect al scderii presiunii. n 1921 cercetrile savantului indian Megh Nad Saha au pus capt polemicii, dnd dreptate ambilor savani, dovedind c ntrirea

linilor spectrale se datorete fenomenului ionizrii. Astfel, atomul, constituit dintr-un nucleu n jurul cruia graviteaz un numr oarecare de electroni supus excitrii, fie n condiii de temperatur, fie de presiune, i pierde unul sau mai muli

electroni. Se spune c atomul este ionizat o dat, de dou ori, de trei ori, etc., dup numrul de electroni pe care i-a pierdut.

Observnd c un corp ionizat este compus dintr-un amestec de atomi ionizai i electroni liberi, i lund n considerare teoria


63

disocierii reversibile a unui gaz n alte dou gaze, Saha a emis teoria fenomenului ionizrii.

Pentru stele nu prea fierbini, spectrul continuu al unei stele poate fi descris cantitativ, n prim aproximaie. Cu ajutorul legii lui Planck ( )TBIF == . ns, intensitile liniilor spectrale depind de numrul atomilor care contribuie la formarea lor, adic de numrul relativ al atomilor pe diferite nivele de excitare i pe diferite stadii de

ionizare. Legile lui Saha i lui Boltzmann determin aceste distribuii relative ale atomilor.

Astfel, fie

NA numrul de atomi ai unui element chimic, pe unitatea de volum,

aflai pe nivelul A;

EA energia nivelului A;

NB numrul corespunztor nivelului B;

EB energia nivelului B;

Cu condiia EB > EA

innd cont de afirmaiile anterioare, cele dou energii EA i

EB sunt cuantificate dup cele patru numere cuantice amintite.

Fie =AB EB- EA diferena celor dou nivele.


64

Dac A este nivel fundamental atunci AB se numete energie de excitare al nivelului de potenial B sau potenial de excitare. Boltzmann arat c n echilibru termodinamic este adevrat relaia:

KT

A

B

A

BAB

egg

NN

= (3.2.1)

din aceast formul rezult c odat cu creterea temperaturii crete

numrul de atomi pe nivelele energetice superioare. Dac temperatura crete suficient de mult, atunci unii electroni prsesc atomii, avnd

loc procesul de ionizare.

Fie: Nq numrul de atomi ai unui element chimic, pe unitatea

de volum, care se gsesc n stadiul q de ionizare.

Dac: q = 0 avem atomi neutri;

q = 1 avem atomi ionizai o dat ; etc.

q energia necesar trecerii de la stadiul de

ionizare q la la q+1, adic energia de ionizare a

stadiului q.

Saha arat c n condiii de echilibru termodinamic este valabil relaia:


65

( ) ( ) ( )( ) kTq

qe

q

qq

eTBTB

hkTm

PeN

N pi ++

=1

3

25

23

1 22 , q = 0,1,2... (3.2.2)

unde: me masa electronului;

Pe presiunea electric;

Ne numrul electronilor pe unitatea de volum.

Pe = NekT (3.2.3)

relaia care leag presiunea electronic de numrul de electroni din unitatea de volum.

Bq(T) suma strilor atomului de q ori ionizat.

Suma strilor atomului de de q ori ionizat este dat de relaia:

( ) kTr

rqq

rq

egTB,

0,

=

= (3.2.4)

unde: gq,r - pondere statistic

rq , - potenialul de excitare pentru nivelul r al atomului

de q ori ionizat.

Deoarece ( )( )TBTB

q

q 1+ variaz cu T, formula (3.2.2) arat c gradul

de ionizare crete cu temperatura, aceast cretere suferind ns o frnare lent determinat de presiunea electronic Pe. Formulele

(3.2.1) i (3.2.2) permit calculul intensitii liniilor spectrale i determinarea abundenei elementelor chimice n atmosfera stelei. n


66

funcie de temperatur, variaz intensitatea liniilor spectrale ale elementelor chimice.

De aceea, msurnd gradul de ionizare, dup datele aduse de liniile ntrite, formula ne permite s deducem temperatura corpului

ce determin spectrul nregistrat. Trebuie s relevm faptul c temperaturile msurate de Saha

cu ajutorul formulei (3.2.2) sunt independente de ipoteza asemnrii stelelor cu corpul negru. De aceea sunt considerate adevrate.

3.3 Deplasarea liniilor spectrale3.3 Deplasarea liniilor spectrale3.3 Deplasarea liniilor spectrale3.3 Deplasarea liniilor spectrale

Comparnd spectrul unui astru cu spectrul unuei surse terestre fixe, se constat anumite deplasri ale liniilor spectrale ale astrului

care pot avea diferite cauze. Astfel, s-au determinat urmtoarele efecte:

3.3.1 Efectul Doppler- Fizeau

Cnd astrul se deplaseaz fa de observator cu viteza radial vr (proiecia vitezei sale pe raza vizual), atunci liniile spectrale sufer o deplasare, dat de relaia:

c

vr= (3.3.1)

Unde: = '

' - lungimea de und a liniei spectrale n spectrul astrului;


67

-lungimea de und corespunztoare sursei terestre; dac 0> , astrul se va deprta de observator (vr 0> ), iar n

spectru se produce o deplasare spre rou;

dac 0


68

cazul cel mai simplu, iar lumina componentelor este circular

polarizat i n sens contrar.

Dac radiaia electromagnetic se propag perpendicular pe liniile de for ale cmpului magnetic atunci liniile spectrale se

scindeaz n trei componente, lumina componentelor laterale fiind polarizat plan-perpendicular pe orientarea cmpului.

Deplasarea componentelor fa de linia spectral neafectat de efectul Zeeman este proporional cu intensitatea cmpului magnetic.

Aceast observaie permite determinarea din observaii spectrosco-pice, cmpurilor magnetice ale atrilor.

3.3.3 Efectul Stark

Dac radiaia electromagnetic provine dintr-o surs localizat

ntr-un cmp electric, se produce, de asemenea, o despicare a liniilor spectrale n mai multe componente. Acest fenomen se numete efect Stark. Deplasarea componentelor fa de linia spectral neperturbat

de cmpul electric este proporional cu intensitatea cmpului electric. Astfel, din observaii spectroscopice se poate determina intensitatea

cmpului electric corespunztor.

3.3.4 Efectul Einstein

Pentru o surs de radiaii electromagnetice care se gsete ntr-

un cmp gravific intens, observatorul terestru va pune n eviden o deplasare a liniilor spectrale numit deplasare gravitaional spre rou sau efect Einstein.


69

n teoria relativitii generale se arat c n prima aproximaie, de cmp gravific slab, aceast deplasare are expresia:

( ) 20 1ce +=

(3.3.2)

unde: = '

' - lungimea de und a liniei spectrale n spectrul astrului;

- lungimea de und corespunztoare sursei terestre;

e - potenialul gravitaional n punctul de emisie;

0 - potenialul gravitaional n punctul de observaie;

La suprafaa unui corp ceresc de mas M0 i raz R avem:

R

M0Ge = (3.3.3)

unde G = 6,6710-11 Nm2/kg2 este constanta atraciei universale, putem scrie astfel i potenialul corespunztor suprafeei Pmntului:

T

0T

R

MG=0 (3.3.4)

Unde: M0T = 5.9781024 kg - masa Pmntului,

RT = 6378,16 km - raza Pmntului.


70

ns acest potenial se poate neglija n raport cu potenialul gravitaional e , puternic, al unor corpuri cereti pentru care efectul

este relevant.

n aceste condiii expresia (3.3.2) ia forma:

=

Rc

M2

0G (3.3.5)

Dac introducem raza gravitaional (Schwaryschild) a corpului:

22 cG

Rg0M

= (3.3.6)

atunci expresia (3.5) devine:

=

RRg

21

(3.3.7)

Pentru Soare (Rg =2,95 km i R =0,696106 km) este dificil de

separat acest efect ( = 2,1210-6) de efectul Doppler, care este mult

mai important. Cele dou efecte s-au putut separa pentru stelele pitice

albe, ca Sirius B ( = 10-4), 40 Euridani B, etc.

n acest fel s-a demonstrat existena deplasrii gravitaionale spre rou, care constituie unul dintre patru teste clasice ale teoriei relativitii generale a lui Einstein.


71

Cu relaia (3.3.5) se poate determina masa sau raza corpului din msurtorile deplasrii gravitaionale spre rou.

Efectul Einstein este foarte important pentru corpurile cereti

cu cmp gravitaional puternic, ca: pulsarii, quasarii, etc.

Spectrele su

microsoft word - interior_9.02.2011

Documents