mici oscilatii ale unui rigid pe suspensie elastica avand incorporat un rotor
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 Mici Oscilatii Ale Unui Rigid Pe Suspensie Elastica Avand Incorporat Un Rotor
1/6
MICI OSCILATII ALE UNUI RIGID PE SUSPENSIE ELASTICA AVANDINCORPORAT UN ROTOR
MICI OSCILATII ALE AXEI UNUI GIROSCOP CENTRAT
Giroscopul centrat este un rigid cu simetrie de revolutie in distributia masei
avand central de ma sa C fx si cu o miscare de rotatie cu viteza unghiulara
constanta in jurul axei sale de simetrie . Fie R*(C x!"!z!# un reper fx si R(C!
x"z#un reper solidar cu rigidul cu axa C!z orientate dupa axa de simertie. $xa
C
!
z ca axa principal de inertie este axa spontana de rotatie imprimand corpuluio rotatie cu viteza unghiulara in absenta oricaror %orte aplicate axa C !z
ramanand fxa in spatiu. &rmare actiunii unei perturbatii axa giroscopului
executa mici oscilatii vectorul viteza unghiulara ' avand proiectii sip e axele
perpendicularre pe axa C!z '('x '" 'z #. )omentele de inertie ale
giroscopului in raport cu axele reperului R sunt *x*"*+ *z*. ,cuatiile ,&-,
pentru rigidul cu punct fx conduc la /
( ) ( )10
0
01
10
0
00
0
0
=
+
y
x
y
xJJ
J
J
&nde 0x 0" sunt proiectiile pe axele Cx C" ale vectorului acceleratie
unghiulara.
1entru precizarea orientarii corpului giroscop in raport cu reperul fx se utilizeaza
sistemul unghiurilor ,&-, /
2rotatie cu unghiul de precesie 3 in jurul axei C!z! rezultand axa C!x4
2 rotatie cu unghiul de nutatie 5 in jurul axei C!x4 rezultand pozitia %inala a axei
C!z
2 rotatie cu unghiul de rotatie proprie 6 in jurul axei C!z
)icile oscilatii ale axei giroscopului presupun valori %oarte mici ale unghiului 5.
7ectorul 5 este in planul x! C! "! dupa axa C!x48 proiectiile sale 5x 5" pe axele
C!x! C!"! defnes complet orientarea axei giroscopului8 pentru valorile %oarte
mici ale unghiului 5 vectorii 3 si 6 pot %i considerate coliniari dupa axa C!z!
ast%el ca proiectiile vectorilor ' si 0 pe axele Cx C" pot %i exprimatecu
proiectiile lor pe axele Cx! C"! %olosind matricea de rotatie in jurul axei Cz!/
-
7/24/2019 Mici Oscilatii Ale Unui Rigid Pe Suspensie Elastica Avand Incorporat Un Rotor
2/6
( )2
=
=
y
x
y
x
y
x
y
xRR
( ) ( )
( ) ( )
++
++=
cossin
sincosR
9ntroducand trans%ormarile (:# si (;# si preinmultind cu
-
7/24/2019 Mici Oscilatii Ale Unui Rigid Pe Suspensie Elastica Avand Incorporat Un Rotor
3/6
ECUATIILE DIFERENTIALE DE MISCARE ALE RIGIDULUI SUPORT
eplasarile lui @ in raport cu R0 (deplasari mici# defnite in A sunt/
[ ] [ ] [ ]TzyxrT
zyxt
TT
r
T
t qtttqcuqqq ===
1entru @ %ara rotor ecuatiile di%erentiale ale micilor oscilatii sunt de tipul/
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+=
=
=+
MRr
RtTsi
tFr
tFtQunde
tTtQKqqM
Cii
i
~~
40
&nde ri este matricea antisimetrica asociata vectorului ri si rC este matricea
antisimetrica asociata vectorului rC
ECUATIILE DIFERENTIALE DE MISCARE ALE ROTORULUI
1entru considerat separat de @ miscarea poate f descompusa in miscarea
centrului sau de masa C! si miscarea %ata de R* (miscare de rigid cu punct
fx#.1arametrii de pozitie in miscarea centrului de masa sunt deplasarile lui C!
masurate in raport cu R0.
[ ]Tzyxt tttq **** =
9ar ecuatiile di%erentiale ale miscarii centrului de masa se scriu/
)5(*RqmI t =
&nde meste masa rotorului 9 matricea de unitate ?x?.
$xa C!z!a rotorului este solidara cu @ ast%el ca deplasarile incluse in t!se pot
exprima in %unctie de deplasarile incluse in /
[ ] )6(~
*
C
t
rI
qq
=
=
9ntroducand trans%ormarea (H# in (I# si preinmultind cu 6
-
7/24/2019 Mici Oscilatii Ale Unui Rigid Pe Suspensie Elastica Avand Incorporat Un Rotor
4/6
( )
( )( )
)7(~
0
0
0
0100
0010
0001
********
********
********
**
**
**
=
++
+
Rr
Rqm
C
1arametrii de pozitie ai rotorului in miscarea sa %ata de central maselor sunt 6x!
6"! t.7om nota 6z!6z unghiul de rotatie al unui plan solidar cu @ si
perpendicular pe axa lui in raport cu axa C!. )omentul Jinetic al lui care
oscileaza impreuna cu @ este *(6z!Kt# iar din teorema momentului Jinetic
pentru in raport cu axa C!z! rezulta /
0* =zJ
7om nota r! Lx! "! z!M
-
7/24/2019 Mici Oscilatii Ale Unui Rigid Pe Suspensie Elastica Avand Incorporat Un Rotor
5/6
) este simetrica si pozitiv defnite8 P este matricea de rigiditate realizata de
suspensia elastica (simetrica si pozitiv defnita#8 G este matricea giroscopica
antisimetrica.
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
+
+
+
+
+=
+
=+=
*2*****
**2*2***
****2*2*
0
0
00
**
**
**
0
00
00
00~
)8(
0
0
0
0
0
0
~,~
m
J
J
J
JJ
mMSImMM
&nde ) este masa rigidului support DE coordonatele centrului sau de greutatein *+ este matricea de inertie a rigidului support in . )atricea G din relatia (Q#
este/
( )
=
==
=
000
001
010
0
00~~
0
00~
0JJg
ggcug
GG
)atricea de rigiditate P simetrica si pozitiv defnite este in general de %orma/
=
rrrt
trtt
KK
KKK
,cuatiile di%erentiale (Q# reprezinta sisteme liniare giroscopice.
$legand originea A a reperului in central de masa al ansamblulu"i @K se obtine
@++. aca in plus in acerasta raportare se obtine PtrPrt< + (decuplare
elastica# sistemul de ecuatii di%erentiale (Q# se descompune in ; sistemeindependente/
)10(~~~
~
0 MRrqKqGqJ
RqKqM
Crrrr
ttt
+=++
=+
-
7/24/2019 Mici Oscilatii Ale Unui Rigid Pe Suspensie Elastica Avand Incorporat Un Rotor
6/6
7ibratiile pe gradele de libertate corespunzatoare translatiei sunt decuplate vde
vibratiile pe gradele de libertate de rotatie. ,%ectul g"roscopic cupleaza intre ele
vibratiile pe gradele de libertate de rotatie corespunzatoare rotatiilor in jurul
axelor perpendicular pe axa rotorului. 9n prezenta cuplajului elastic intre rotatii si
translatii inRuenta e%ectului g"roscopic se transmite si vibratiilor pe gradele de
libertate de translatie.
1&-@$