METODE DE CALCUL A UNOR DETERMINANI

1. S se calculeze determinantul matricei

a b c db a d c

Ac d a bd c b a

Soluie: Calculm produsul dintre matrice i transpusa ei :

2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

42 2 2 2

2 2 2 2

0 0 00 0 00 0 00 0 0

t

a b c d a b c db a d c b a d c

A Ac d a b c d a bd c b a d c b a

a b c da b c d

a b c d Ia b c d

a b c d

2 2 2 24

42 2 2 24

det det

det det det

t

t

A A a b c d I

A A a b c d I

42 2 2 2 2

22 2 2 2

det

det

A a b c d

A a b c d

2. S se calculeze determinantul matricei

a b c db a d c

Ac d a bd c b a

i demonstrai identitatea :

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a b c d x y z t

ax by cx dt ay bx ct dz az bt cx dy at bz cy dx

Soluie: Calculm produsul dintre matrice i transpusa ei :

t

a b c d a b c db a d c b a d c

A Ac d a b c d a bd c b a d c b a

2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

42 2 2 2

2 2 2 2

0 0 00 0 00 0 00 0 0

a b c da b c d

a b c d Ia b c d

a b c d

2 2 2 24

42 2 2 24

det det

det det det

t

t

A A a b c d I

A A a b c d I

42 2 2 2 2

22 2 2 2

det

det

A a b c d

A a b c d

Pentru demonstarea identitii calculm produsul:

, , , , , ,

m

n

a b c d x y z tb a d c y x t z

A a b c d A x y z tc d a b z t x yd c b a t z y x

ax by cz dt ay bx ct dz az bt cx dy at bz cy dx

ay bx ct dz ax by cz dt at bz cy dx az bt cx dy

a

p

q

z bt cx dy at bz cy dx ax by cz dt ay bx ct dz

at bz cy dx az bt cx dy ay bx ct dz ax by cz dt

, , , det , , , , , , det , , ,m n p qn m q p

A m n p q A a b c d A x y z t A m n p qp q m nq p n m

Aplicm rezultatul obinut anterior i avem:

2 22 2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2

a b c d x y z t

ax by cz dt ay bx ct dz az bt cx dy at bz cy dx

De unde rezult identitatea

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a b c d x y z t

ax by cx dt ay bx ct dz az bt cx dy at bz cy dx

3. S se calculeze determinantul2

2

2

a x ab acba b x bcca cb c x

'

Soluie: Adugm convenabil o linie i o coloan astfel nct valoarea determinantului ' s fie la fel:

2

2

2

1 0 0 0a a x ab acb ba b x bcc ca cb c x

'

Efectum operaii convenabile cu coloanele astfel nct s scpm de elementele cu puterea a doua. Scdem prima coloan nmulit cu a din coloana a doua, scdem prima coloan nmulit cu b din coloana a treia i scdem prima coloan nmulit cu c din coloana a patra.

2 13 14 1

2

2

2

1 0 0 0 10 0

0 00 0

C aCC bCC cC

a b ca a x ab ac a xb ba b x bc b xc ca cb c x c x

'

Acum dezvoltm determinantul dup linia a doua i obinem:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

10 0 00 0 0

a b c b ca x x b x

x c x

a x x x c x b x a x x x c b x a b c x

'

4. S se calculeze determinantul

2

2

2

2

11

11

a ab ac adba b bc bdca cb c cdda db dc d

'

Soluie: Adugm convenabil o linie i o coloan astfel nct valoarea determinantului ' s fie la fel:

2

2

2

2

1 0 0 0 01

11

1

a ab ac adab ba bc bdbc ca cb cdcd da db dc d

'

Efectum operaii convenabile cu coloanele astfel nct s scpm de elementele cu puterea a doua. Scdem prima coloan nmulit cu a din coloana a doua, scdem prima coloan nmulit cu b din coloana a treia, scdem prima coloan nmulit cu c din coloana a patra i scdem prima coloan nmulit cu d din coloana a cincea.

2 13 14 15 1

2

2

2

2

1 0 0 0 0 11 0 0 010 1 0 010 0 1 010 0 0 11

C aCC bCC cCC dC

a b c da ab ac ad aab ba bc bd bbc ca cb cd ccd da db dc dd

'

Acum dezvoltm determinantul dup linia a doua i obinem: 1

0 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 00 0 0 1 0 0 1

a b c d b c db

acd

'

Primul determinant este triunghiular i al doilea l dezvoltm dup linia a doua i obinem:

2

2 2 2 2 2 2 2 2

10 1 0 1 00 0 1 0 1

1 1

b c d c da b c

d

a b d c a b c d

'

metode-smechere-c3aen-calculul-unor-determinanc5a3i-1metode-smechere-c3aen-calculul-unor-determinanc5a3i-2