Metoda inducţiei matematice

Aceasta metoda este expusa in manualul ,, Matematica” pentru clasa X-a, insa numărul de exerciţii este limitat, si nu da posibilitatea de a forma la elevi deprinderi practice complete. Profesorul n-are posibilitatea de a controla cunoştinţele elevilor cu ajutorul lucrărilor individuale. Exerciţiile suplimentare vor putea fi folosite de invatator in clasa, cit pentru alcătuirea testelor de evaluare curenta, cit si cea tematica. La baza metodei inducţiei matematice se afla principiul inducţiei matematice, care este acceptat drept axioma. O afirmaţie P(n) depinde de numărul natural n este adevărata (justa) pentru orice n N, daca:

1. afirmaţia (propoziţia) P(n) este adevărata pentru n=12. si din faptul ca este adevărata pentru orice n=k, k N, rezulta ca este adevărata si

pentru n=k+1, atunci afirmaţia P(n) este adevărata pentru orice n. Acest principiu permite a demonstra unele propoziţii generale.

Demonstraţia se efectuează in trei etape:1. Se verifica daca afirmaţia P(n) este adevărata pentru n=1. (baza inducţiei)2. Utilizând presupunerea (ipoteza) ca afirmaţia P(n) este adevărata pentru n=k, se

demonstrează ca propoziţia P(k+1) este adevărata. (presupunerea inducţiei). 3. Daca sunt verificate etapele 1. si 2. se face concluzia ca propoziţia P(n) este adevărata

pentru orice n N.

Exemple:Ex.1. Folosind metoda inducţiei matematice sa se demonstreze:a) ( n N*) (7n+1+82n-1) 19

1. Daca n=1 atunci 72+8=57 57 19 57:19=32. Presupunem ca afirmaţia este justa in cazul când n=k adică: (7k+1+82k-1) 19In baza acestei presupuneri sa demonstram ca: afirmaţia este justa si pentru n=k+1.

Demonstraţie: 7k+1+1+82(k+1)-1= 7k+1*7+82k-1+2=7*7k+1+64*82k-1= (7*7k+1+7*82k-1)+57*82k-1=7(7k+1+82k-1)+57*82k-1

Primul termen se împarte la 19 in baza presupunerii, al doilea termen se împarte la 19 pentru ca factorul 57 se împarte la 19.In manual nu este nuci un exemplu cu inegalitati, care ar arata metoda de rezolvare. In continuare vom arata câteva exemple de rezolvare a exerciţiilor cu inegalitati.

1

Ex.2. Demonstraţi ca daca n 3, 2n > 2n+1.I metoda II metoda1. n=3 23>2*3+1 1. n=3 8>7 8>7 2. n=k 2k >2k+12. Presupunem ca afirmaţia este Demonstraţie:adevărata pentru n=k, adică 2k >2k+1 înmulţim cu 2 2k>2k+1 2*2k > (2k+1)*2Sa demonstram ca afirmaţia este 2k+1 > 4k+2justa pentru n=k+1. 2k+1 > (2k+3) + (2k-1) k N2k+1 > 2(k+1) +1 2k-1> 0 k N2k+1 > 2k+2+1 2k> 12*2k > (2k+1) +2 2k+1> 2k+3 == >2k+2 k > (2k+1) +2 2k+1>2k+1De unde rezulta ca: 3. Concluzia:2k >2 pentru k 3 Afirmaţia este justa pentru orice n.

Ex.3. Demonstraţi pentru n 5, 2n >n2

1. Arătam ca afirmaţia este adevărata, pentru n=5. 25 > 52 == > 32 >252. Facem presupunerea ca: 2k > k2

Demonstram ca afirmaţia este justa si in cazul când n=k+1.2k+1 >(k+1)2 == > 2k+1 >k2+2k+1 ==> 2k *2> k2+2k+12k+2k > k2+2k+1 2k >k2 – in baza presupunerii 2 k >2k+1 – in baza exemplului 2.

Ex.4. Demonstraţi ca pentru orice n N are loc relaţia:

> , observam ca expresia din stânga prezintă suma fracţiilor

numitorii cărora prezintă numerele naturale de la 1 pin la 2n-1.

1. Arătam ca afirmaţia are loc pentru n=1, 1>

2. Presupunem ca relaţia este adevărata pentru n=k

Sk= >

Demonstram in baza afirmaţiei făcute ca relaţia este adevărata si in cazul următor

n=k+1. Adică Sk+1= ;

Sk+1= ( ) + = ( ) + =

2

= ( ) + ( ) = Sk+ Pk.

Sk Pk

Pk= > + + +....+

2k- termeni 2k- termeni

+ + +....+ = 2k *

2k- termeni

Sk > Sk+1 > Sk+ Pk

Pk > Sk+1 > + >

3. Relaţia este adevărata pentru orice n N.

Ex. 5. Sa se demonstreze inegalitatea: , pentru orice n 1.

Fie An= .

De demonstrat ca: A k+1< =

Demonstraţie:

Ak+1=(

Din presupunere avem Ak <

Din ultimele relaţii rezulta ca e de ajuns sa demonstram ca:

< Ridicam ambele parţi la inegalităţii la pătrat si rezolvam

inecuaţia.

3

k N (2k+1) (2k+3) <(2k+2)2

4k2+6k+2k+3< 4k2+8k+4 4k2+8k+3< 4k2+8k+4 8< 4 Afirmaţia este adevărata pentru orice k .3. Afirmaţia este justa pentru orice n.

Ex. 6. Sa se demonstreze egalitatea (n N*)

12+22+32+….+n2=

1. Arătam ca afirmaţia este adevărata pentru n=1, avem

2. Presupunem ca afirmaţia este adevărata pentru n=k, adică 12+22+32+….+k2=

3. Sa demonstram ca: P(k+1) este adevărata: (n=k+1);

12+22+32+….+k2+(k+1)2= .

Din presupunere obţinem:(12+22+32+….+k2)+(k+1)2=

4. Afirmaţia este adevărata pentru orice n.

Ex. 6. Demonstraţi ca: , n>

1. Daca n=1

4

2. Presupunem ca afirmaţia este adevărata pentru n=k, adică: (1)

Sa demonstram ca:

Adunam la ambele parţi a inegalităţii (1) suma a trei termeni: obţinem:

(2)

Sa aratam ca:

+ -

Evident ca partea dreapta a inegalităţii (2) este mai mare ca 1, atunci partea stânga cu atât mai mult va fi mai mare ca 1, adică:

, dar c.c.t.d.

3.Deci afirmaţia este justa pentru orice n.

Ex. 7. Manual p.28 A. 3c. Sa se demonstreze egalitatea (n N*).

13+23+33+….+n3=

1. Arătam ca egalitatea are loc pentru n=1.

13=

5

2. Arătam ca egalitatea are loc pentru n=k, adică: 13+23+33+….+k3=

Sa demonstram in baza afirmaţiei de mai sus ca: 13+23+33+….+k3+(k+1)3=

presup.Demonstraţie: In baza presupunerii avem:

c.c.t.d.

3. Egalitatea este adevărata pentru orice n. Vom arata cum se rezolva si exerciţii de alt tip.

Ex. 7. Sa se arate ca: n3+11n este divizibil cu 3 ( (n3+11n)

1. Demonstram ca afirmaţia este justa pentru n=1.13+11*1=1+11=12 12:3=4

2. Presupunem ca P(n)- este adevărata n=k(k3+11k) Sa arătam ca P(k+1)- este adevărata (n=k+1).(k+1)3+11(k+1)= k3+3k2+3k+1+11k+11==(k3+11k)+(3k2+3k+12)= (k3+11k) +(k2+1)+12(k3+11k) - presupunere 3(k+1) - pentru ca un factor se divide 12 - evident

Ex. 8. ( (10n+18n-28) 1. Pentru n=1; 10+18-28=0 0 =0 2. n=k (10k+18k-28)

Demonstram ca pentru n=k+1, afirmaţia este justa.10k+1+18(k+1)-28=10*10k+18k+18-28==10*10k+10*18k-10*28+252+18-162k=

=10(10k+18k-28)+270-162k==10(10k+18k-28)+27(10+6k)

Primul termen se împarte la 27 din presupunere, al doilea termen evident. 3. deci afirmaţia este justa pentru ( .

6

Ex. 9. Demonstraţi ca: ( (72n-1) 1. Arătam: n=1 72*1-1=49-1=48 48 2. Presupunem ca (72k-1) (n=k) Demonstram ca (72(k+1)-1) Demonstraţie: 72k+1+1-1= 72k+2-1= 49*72k-1= 48*72k-1+72k= (7 2k - 1) + 48*7 2k presup. evidenta

3.Deci afirmaţia este justa pentru orice n.

Ex. 10. Demonstraţi ca: ( (7n-1) 6

1. n=1 71-1=6 6 6=12. n=k+1 7k+1-1= 7*7k-1= 6*7 k + (7 k -1) evid. presup.3.P(n)- justa

Ex. 11 Demonstraţi ca: ( (62n-1+1)1. n=1 6+1=7 7:7=12. n=k (62n-1+1) n=k+1

presup. evident

3. P(n)- adevărat

Ex. 12. Demonstraţi ca: 1. n=1 169+18+5=192 192:12=162. n=k n=k+1 = 13*13k+1+3*6*3k+5= 13*13k+1+13*6*3k+13*5-60*3k-60

Ex. 15 Demonstraţi ca: (1. n=1 5+56+55=5(1+54+55)=5(1+625+3125)=5*3751=18755 1875:31=6052. n=k ( n=k+1 25*52k-1+55*55k+1+55k*55= = 25*52k-1+25*55k+1+25*55+3100*55k+1+3100*55k= = 25(5 2k-1 +55 k+1 +5 5k ) +3100 (55k+1+55k). c.c.t.d. presup. eviden.

7

3. Afirmaţia adevărata .

Ex. 16. Demonstraţi ca: (1. n=1 53+33*20=125+27=152; 152:19=82. n=k ( n=k+1 52k+1+2+3k+2+1*2k-1+1=25*52k+1+3*3k+2*2*2k= =(6*52k+1+6*3k+2*2k-1)+19*52k+1= =(6*52k+1+6*3k+2*2k-1)+19*52k+1= =6(52k+1+3k+2*2k-1)+19*52k+1

3. Afirmaţia justa orice n N*

Ex. 17. Demonstraţi ca: 1. n=1 62+33+31=36+27+3=66 66:11=62. n=k n=k+1 62k+2+3k+2+1+3k+1=36*62k+3*3k+2+3*3k= =3*62k+3*3k+2+3*3k+33*62k= =3(6 2k +3 k+2 +3 k ) + 33*62k

presupun. evident3. P(n)- adevărata N*

Ex. 18. Demonstraţi ca: 1. n=1 34*52-34*2=34(25-2)=23*34 23*34:232. n=k n=k+1 32k+2+2*52k+2-32k+2+2*2k+1=9*32k+2*25*52k-9*32k+2*2*2k= =225*32k+2*52k-18*32k+2*2k= =18*32k+2*52k-18*32k+2*2k+207*32k+2*52k= =18(3 2k+2 *5 2k -3 2k+2 *2 k ) + 207*32k+2*52k 207:23=9 presup. evid.

Ex. 19. Demonstraţi ca: (11n+1+122n-1) 1331. n=1 112+12=121+12=133 133:133=12. n=k (11k+1+122k-1) 133 n=k+1 11k+1+1+122k-1+2=11*11k+1+144*122k-1= =11*11k+1+11*122k-1+133*122k-1= =11(11 k+1 +12 2k-1 ) + 133*122k-1

presup. evid.3.P(n)- adevărata orice n.

8

Ex. 20. Sa se demonstreze ca: 3*2+3*22+3*23+….+3*2n=6(2n-1)1. n=1 6=6(2n-1) 6=62. n=k 3*2 +3*22+3*23+….+3*2k=6(2k-1) Demonstram ca pentru n=k+1 are loc relaţia: 3*2+3*22+3*23+….+3*2k+3*2k+1= 6(2k+1-1) Demonstraţie. In baza presupunerii avem: 6(2k-1)+3*2k+1=6*2k-6+3*2*2k=12*2k-6= 6(2*2k-1)=6(2k+1-1) c.c.t.d.3. P(n)- justa orice n.

Ex. 21. Sa se demonstreze ca:

1. n=1

2. n=k

Sa demonstram ca pentru n=k+1 are loc relaţia:

Demonstraţie: in baza presupunerii avem:

c.c.t.d.

4k2+5k+1=0K1=-1K2=-1/43. Afirmaţia P(n) e adevărata pentru orice n.

Ex. 22. Sa se demonstreze ca:

1. n=1

2. n=k

Sa demonstram in baza presupunerii ca pentru n=k+1 are loc relaţia:

Demonstraţie: In baza presupunerii avem:

9

c.c.t.d3. Afirmaţia este justa pentru orice n.

Ex. 23. Demonstraţi ca: 1+4+7+….+(3n-2)=

1. n=1 1= 1=1

2. n=k 1+4+7+….+(3k-2)=

n=k+1 1+4+7+….+(3k-2)+(3k+1)=

Demonstraţie in baza presupunerii:

c.c.t.d.

3k2+5k+2=0k1=-1 k2=-3/23. Afirmaţia adevărata orice n.

Ex. 24. Sa se demonstreze ca:

1. n=1

2. n=k

3. n=k+1

Demonstraţie: In baza presupunerii avem.

c.c.t.d.

2k2+3k+1=0k1=-1 k2=-1/23. Afirmaţia este justa orice n.

10

Ex. 25. Demonstraţi ca:

1. n=1

2. n=k

Sa demonstram in baza presupunerii si pentru n=k+1,

Demonstraţie: In baza presupunerii avem:

c.c.t.d.

k1=-1 k2=-1/2

3. Afirmaţia este adevărata pentru orice n.

Ex. 26. Demonstraţi ca: 3+5+7+….+2n+1= n(n+2)1. n=1 3=1(1+2)=3 3=32. n=k 3+5+7+….+2k+1=k(k+2)Sa demonstram n=k+1 3+5+….+(2k+1+)(2k+3)=(k+1)(k+3)Demonstraţie, in baza presupunerii avem:k(k+2)+(2k+3)= k2+2k+2k+3= k2+4k+3=(k+1)(k+3) c.c.t.d.k2+4k+3=0k1=-1 k2=-33. Afirmaţia este adevărata pentru orice n.

Ex. 27. Demonstraţi ca: 1+7+13+….+6n-5=n(3n-2)

1. n=1 1=1(3-2)=1 1=12. n=k 1+7+13+….+(6k-5)=k(3k-2)Sa demonstram ca si in cazul când n=k+1 1+7+13+…+(6k-5)+(6k+1)=(k+1)(3k+)Demonstraţie: In baza presupunerii avem:

K(3k-2)+6k+1=3k2-2k+6k+1=3k2+4k+1=3(k+1)(k+ )= (k+1)(3k+1) c.c.t.d.

k1=-1 k2=-1/33. Afirmaţia este justa pentru orice n.

11