metoda elementului finit cap5

8/16/2019 Metoda elementului finit cap5

1/13

CAPITOLUL 5.

ELEMENTE DE TIP PLACĂ

5.1 Teoria pl ăcilor♦Plăci plane♦Încărcare laterală ♦Solicitarea principala de încovoiere

Aplica ţ ii:

♦Pereţi♦Placi de pardoseala♦Rafturi

For ţ e si momente ce ac ţ ioneaz ă pe placă Sarcinile care pot acţiona pe o placă sunt prezentate in figura 5.1.

Fig. 5.1. Sarcinile care acţionează pe o placă

Starea de tensiune care apare în cazul pl ăcilorStarea de tensiune (tensiuni normale şi tangenţiale care apar

în placă) sunt prezentate în figura 5.2.


2/13

Fig. 5.2. Starea de tensiune dintr-o placă

Rela ţ ia dintre for ţ e şi tensiuni

Eforturile secţionale se deduc din condiţiile de echilibru:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ=σ=σ= ∫∫∫

−−−m

Nm,zdzM,zdzM,zdzM

2

t

2

txyxy

2

t

2

tyy

2

t

2

txx , (5.1)

Qx= ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡τ=τ= ∫∫

−−m

N,dzQ,dzQ

2

t

2

tyzy

2

t

2

txzx , (5.2)

Tensiunea maximă dată de încovoiere este:

( ) ( ) .t

M6,

t

M62

ymaxy2

xmaxx ±=σ±=σ (5.3)

♦Tensiunea maximă este la2

tz ±= ;

♦ Nu există tensiuni pe suprafaţa medie (similar ca şi în cazulgrinzilor încovoiate).

Teoria pl ăcilor (teoriile lui Khirchhof ) O linie dreaptă perpendicular ă pe suprafaţa medie r ămâne

normala la suprafaţă şi după deformare, nu există deformaţiitransversale:

0yzxy =γ=γ (5.4)


3/13

Deplasările sunt:

Fig. 5.3. Rotirile şi deplasările unei plăci subţiri

( ) .y

wvv,

x

wzu,y,xww

∂∂

−=∂∂

−== (5.5)

Deformaţiile specifice sunt:

.yx

wz2,

y

wz,

x

wz

2

xy2

2

y2

2

x ∂∂∂

−=γ∂

∂−=ε

∂

∂−=ε (5.6)

Nota: nu există deformaţii la mijlocul suprafeţei în cazulsolicitării de încovoiere

Starea plană de tensiune

În cazul stării plane de tensiune se poate scrie relaţia:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ

ε

ε

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν

ν

ν−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

σ

σ

σ

xy

y

x

2

z

y

x

2

100

01

01

1

E , (5.7)

sau

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂

∂

∂

∂

∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−

ν

ν

ν−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

σ

σ

σ

yx

w

y

w

x

w

100

01

01

1

Ez

2

2

2

2

2

2

z

y

x

(5.8)

Variabila principală este deformaţia w=w(x,y).Ecuaţia de guvernare este:


4/13

)y,x(qwD 4 =∇ (5.9)

unde:

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

+∂∂

∂

+∂

∂

≡∇ 4

4

22

4

4

44

yyxx , (5.10)

iar rigiditatea la încovoiere a plăcii este:

( )23

112

tED

ν−= (5.11)

Nota: Ecuaţia (5.9) reprezintă condiţia de echilibru pedirecţia z. Prin însumarea for ţelor pe direcţia z rezultă:

0yxqxQyQ yx =∆∆+∆+∆ (5.12)

Care se poate exprima sub forma:

0)y,x(qy

Q

x

Q yx =+∂

∂+

∂

∂ (5.13)

Prin înlocuirea acestei relaţii în ecuaţia anterioar ă se obţine ecuaţia(5.9).

For ţ ele de forfecare şi momentele de încovoiere:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+∂

∂=∂

∂+∂

∂=

2

2

2

2

y2

2

2

2

x

yxyy

xyxx

x

wv

y

wDM,

y

wv

x

wDM

y

M

x

MQ,y

M

x

MQ

, (5.14)

Ecuaţiile diferenţiale de ordinul 4 date în ecuaţia (5.9) şitermenii deformaţiei w(x,y) trebuie rezolvate funcţie de condiţiile decontur.

Condi ţ ii de contur♦Latur ă încastrată w=0, 0=

∂∂

n

w (5.15)

♦Latur ă simplu rezemată w=0, Mn=0 (5.16)♦Latur ă liber ă Qn=0, Mn=0 (5.17)


5/13

unde n reprezintă normala la un contur. De notat că valorile date pecontur pot fi diferite de zero.

Fig. 5.4. Normala si tangenta la un contur

Exemplul 5.1Se consider ă o placă pătrată cu marginile încastrate sau

articulate pe care acţionează o sarcină uniformă q sau o sarcină concentrată P în centrul plăcii C.

Pentru această geometrie simplă, ecuaţia (5.9) cu condiţiilede rezemare (5.15) sau (5.16) se poate rezolva analitic. Pentrudiferite cazuri de încărcare deformaţia maximă este dată în tabelul5.1.

Fig. 5.5. Placă articulată pe contur pe care acţionează o sarcină concentrată

În care rigiditatea plăcii este:

( )23

112

EtD

ν−=

Aceste valori se pot folosi pentru verificarea rezultatelorobţinute prin MEF.


6/13

Valorile săgeţilor funcţie de tipul de sarcină şi de rezemareTabelul 5.1

Teoria pl ăcilor groase Dacă grosimea plăcii t nu este prea mică, de exemplu

t/L 1/10 (unde L este o caracteristică a dimensiunii plăcii), atunci se poate aplica teoria plăcilor groase. În cadrul acestei teorii unghiul γ se schimbă odată cu secţiunea,

≥

.0,0 yzxy ≠γ≠γ (5.18)Aceasta înseamnă că linia normală la suprafaţa medie înainte

de deformare nu va r ămâne normală şi după deformare.

Încastrare Rezemare simplă Sarcină uniform distribuită 0,00126qL4/D 0,00406qL4/DSarcină concentrată 0,00560 PL2/D 0,0116 PL2/D

Fig.5.6. Deformaţiile în cazul unei plăci groase

Variabile noi independente vor fi: θx şi θy unghiul de rotire

după axa x şi y a liniei, care este normală la suprafaţa neutr ă înaintede deformaţie.

Relaţiile noi vor fi:

,xy zv,zu θ−=θ= (5.19.a)

xz

yx ∂

θ∂=ε , (5.19.b)

yz xy ∂

θ∂−=ε , (5.19.c)


7/13

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

θ∂−

∂

θ∂=γ

xyz xyxy , (5.19.d)

yxy x

wθ+

∂

∂=γ , (5.19.e)

xyzy

wθ−

∂

∂=γ , (5.19.f)

Not ă: dacă se introduc condiţiile:

,0x

w,0

y

wyxzxyz =θ−∂

∂=γ=θ−

∂∂

=γ (5.20)

atunci se pot reface ecuaţiile din teoria plană.Variabilele principale sunt: w(x,y), θx(x,y), θy(x,y).

Ecuaţiile de guvernare şi condiţiile de margine pentru plăcilede bază se pot stabilii pe baza considerentelor anterioare.

Fig.5.7. Element patrulater cu patru noduri

5.2 . Elemente de tip placă

Elemente de tip Kirchhof sunt elemente patrulatere cu patrunoduri, fig.5.7. GDL pentru fiecare nod sunt:

.y

w,

x

w,w

∂∂

∂∂ (5.21)

Pe fiecare element, săgeata w(x,y) este dată de ecuaţia:

( ) ∑= ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

+=4

1i iyi

ixiii y

w N

x

w Nw Ny,xw (5.22)

unde Ni, Nxi şi Nyi sunt funcţii de formă. Acesta este un elementincompatibil.


8/13

Matricea de rigiditate este de forma:

∫=V

TEBdVBk , (5.23)

unde B este matricea deformaţiilor iar E este matricea tensiune-deformaţie specifică.

Elementul de tip placă (în accep ţ iunea elementului finit) Elementul patrulater cu 4 noduri, fig. 5.8.Elementul patrulater cu 8 noduri, fig. 5.9.

Fig. 5.8. Element patrulater cu 4 noduri

GDL pentru fiecare nod sunt:

Fig.5.9. Element patrulater cu 8 noduri

w, θx, θy. (5.24)Pe fiecare element deformaţiile sunt:


9/13

( )

( )

( ) . Ny,x

, Ny,x

,w Ny,xw

n

1iyiiy

n

1ixiix

n

1iii

∑∑

∑

=

=

=

θ=θ

θ=θ

=

, (5.25)

♦Există 3 grade de libertate independente;♦Săgeata w(x,y) pentru elementul patrulater cu 4 noduri esteliniar iar pentru elementul patrulater cu 8 noduri este pătratic.

Element discret de tip KirchhofElement triunghiular plan cu 6 noduri, fig.5.10.

GDL pentru nodurile din colţuri sunt:

Fig. 5.10. Element triunghiular cu 6 noduri

yx ,,y

w,

x

w,w θθ

∂∂

∂∂ , (5.26)

GDL pentru nodurile din interior sunt:

., yx θθ (5.27)În total elementul are 21 de GDL.Dacă se impun condiţiile γxz= γyz= 0 etc. pe nodurile selectate

prin folosirea ecuaţiei (5.19) GDL se reduc. Astfel se obţineelementul triunghiular cu 3 noduri, fig.5.11. Are deplasările şirotirile:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

==θ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

=θy

w,

x

w,w yx , (5.28)

pe fiecare nod. GDL pentru nodurile din colţuri sunt în număr de 9.


10/13

Săgeata w(x,y) este incompatibilă, are o expresie cubică înlungul laturilor, ceea ce înseamnă că elementul este eficient.

Fig.5.11. Element triunghiular cu 3 noduri

Problemă test: Se dă o placă groasă încărcată centric cu o for ţă centrată. Se

cere să se determine valoarea săgeţii în centrul plăcii. Se dau: L/t=10, ν=0,3.

Rezultatele săgeţii determinate cu programul COSMOSTabelul 5.2

Discretizarea Wc(x P L2

/D)2x2 0,005934x4 0,005988x8 0,00574

16x16 0,00565Soluţia exactă 0,00560

Fig. 5.12. Placă groasă încărcată cu o sarcină concentrată


11/13

5.3. Învelitoare şi elemente de tip învelitoare SHELL Elementul de tip SHELL se foloseşte pentru plăci subţiri care

urmăresc suprafeţe curbe, fig.5.13.

Fig.5.13. Plăci curbe subţiri (învelitoare)

Fig.5.14. Solicitările plăcilor subţiri (învelitoarelor)

Fig.5.15.Starea de solicitare interioar ă a unui recipient cilindric

Exemple:

♦Coaja de ou;♦Containere, ţevi, rezervoare;♦Habitaclu maşinii;♦Acoperiş, clădiri etc.


12/13

For ţ e în învelitoare: Pe învelitoare acţionează for ţe de tip membrană + momente

de încovoiere, fig.5.16.

Fig. 5.16. Element de tip învelitoare

Exemplu:container cilindric.

Teoria învelitorilor ♦Teoria învelitorilor subţiri♦Teoria învelitorilor groşi

Elemente de tip SHELL GDL pentru fiecare nod sunt prezentate în figura 5.17.

Fig.5.17. Gradele de libertate în cazul unui element de tip învelitoare


13/13

metoda elementului finit cap5

Documents