mecanica fluidelor me ifr structura ui

Universitatea TRANSILVANIA din Braşov

DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ ŞI ÎNVĂŢĂMÂNT CU FRECVENŢĂ REDUSĂ

Virgil-Barbu UNGUREANU

MECANICA FLUIDELOR

2011

Introducere

Principiile mecanicii fluidelor stau astăzi la baza a numeroase aplicaţii în cele mai

variate domenii ale activităţii inginereşti şi de cercetare, iar cunoaşterea lor este absolut

necesară pentru formarea completă a unui inginer. Ca atare, studiul disciplinei de Mecanica

fluidelor este inclus de multă vreme în programele de învăţământ din universităţile tehnice.

Cursul de faţă îşi propune să prezinte noţiunile teoretice şi practice de bază prevăzute

în programa analitică a disciplinei "Mecanica fluidelor" care se predă la anul IV al

programului de studii Managementul energiei din cadrul departamentului de Inginerie

Electrică şi Fizică Aplicată aparţinând Universităţii Transilvania din Braşov, fiind util pentru

forma de învăţământ cu frecvenţă redusă.

La elaborarea materialului s-a urmărit atât evidenţierea principiilor fundamentale care

stau la baza mecanicii fluidelor, cât şi prezentarea modului de aplicare a acestor principii la

rezolvarea problemelor concrete pe care viitorii ingineri energeticieni le pot întâlni în

activitatea lor. Cursul conţine aplicaţii numerice la sfârşitul fiecărui capitol. La problemele

care pot părea mai dificile s-au prevăzut răspunsuri mai detaliate, cuprinzând rezultatele

parţiale ale mărimilor care conduc la determinarea mărimilor finale cerute de problemă.

Conţinutul lucrării este raportat la cerinţele de pregătire profesională prevăzute de

programa analitică menţionată mai sus şi la cunoştinţele de matematică şi fizică dobândite

anterior de studenţi.

2

Obiectivele cursului

Dobândirea unor cunoştinţe în domeniul staticii şi dinamicii

fluidelor şi formarea unor deprinderi de calcul minimal al instalaţiilor şi maşinilor

hidraulice ţinând cont de condiţii optimizatoare cuantificate prin eficienţă şi

randamente.

Competenţe conferite

După parcurgerea cursului studentul va fi capabil să:

explice noţiunile din domeniul staticii şi dinamicii fluidelor;

să identifice fenomenele simple care stau la baza curgerii fluidelor prin maşinile

şi instalaţiile hidraulice;

explice funcţionarea unei instalaţii hidraulice;

să rezolve o problemă de natură hidraulică din domeniul gospodăriei energetice

a unei societăţi comerciale;

să realizeze un calcul hidraulic general al unei instalaţii hidraulice simple.

Resurse şi mijloace de lucru

Se recomandă parcurgerea fiecărei unităţi de învăţare şi în

continuare să se răspundă la întrebările chestionarelor şi să se rezolve problemele.

Rezolvarea chestionarelor şi a problemelor de autoevaluare necesită

utilizarea unui minicalculator ştiinţific sau, în unele cazuri, preferabil a unui

program de calcul tabelar.

Structura cursului

Cursul conţine 10 unităţi de învăţare.

Testele de autoevaluare întâlnite în cadrul materialului de curs vor fi

rezolvate de către student acasă şi vor alcătui un dosar ce va fi predat cadrului

didactic la data examenului.

3

Cerinţe preliminare

Disciplina are la bază noţiuni de matematică, fizică şi chimie

dobândite în pregătirea anterioară.

Discipline deservite

Disciplina precede cursul de Maşini hidraulice.

Durata medie de studiu individual

O unitate de învăţare poate fi parcursă în 1...3 ore, fiecare unitate de

învăţare conţinând atât partea teoretică, cât şi exemple şi teste de autoevaluare.

4

Cuprins

Introducere..................................................................................................................................2

Obiectivele cursului....................................................................................................................2

Competenţe conferite..................................................................................................................2

Resurse şi mijloace de lucru.......................................................................................................3

Structura cursului........................................................................................................................3

Cerinţe preliminare.....................................................................................................................4

Discipline deservite.....................................................................................................................4

Durata medie de studiu individual..............................................................................................4

Unitatea de învăţare 1. Noţiuni introductive..............................................................................8

U.1.1. Introducere.......................................................................................................8

U.1.2. Competenţele unităţii de învăţare.....................................................................8

U.1.3. Mărimi şi unităţi de măsură.............................................................................9

U.1.4. Obiectul mecanicii fluidelor...........................................................................13

U.1.5. Noţiunea de fluid.............................................................................................13

U.1.6. Forţe caracteristice fluidelor..........................................................................14

U.1.7. Test de autoevaluare a cunoştinţelor..............................................................15

Unitatea de învăţare 2. Mărimi de stare şi proprietăţi fizice ale fluidelor................................17

U.2.1. Introducere.....................................................................................................17

U.2.2. Competenţe.....................................................................................................17

U.2.3. Densitatea şi greutatea specifică....................................................................18

U.2.4. Presiunea........................................................................................................19

U.2.5. Viscozitatea fluidelor......................................................................................22

U.2.6. Compresibilitatea izotermică şi dilatarea izobară a lichidelor.....................25

U.2.7. Absorbţia şi degajarea gazelor, cavitaţia.......................................................28


Unitatea de învăţare 3. Ecuaţiile echilibrului static al fluidelor...............................................26

U.3.1. Introducere.....................................................................................................35

U.3.2. Competenţele unităţii de învăţare...................................................................35

U.3.3. Ecuaţiile lui Euler pentru echilibrul static al unui fluid ................................36

U.3.4. Echilibrul static al unui fluid uşor..................................................................37

U.3.5. Echilibrul static al unui fluid greu şi incompresibil.......................................37

U.3.5.1. Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii......................................................37

U.3.5.2. Interpretarea ecuaţiei fundamentale a hidrostaticii................................38

U.3.5.3. Consecinţe deduse din ecuaţia fundamentală a hidrostaticii..................39

5

U.3.5.4. Aplicaţii ale legii fundamentale a hidrostaticii.......................................40


Unitatea de învăţare 4. Forţe de acţiune ale fluidelor în repaus asupra unor pereţi solizi.......47

U.4.1. Introducere.....................................................................................................47


U.4.3. Generalităţi.....................................................................................................48

U.4.4. Forţe de presiune ale fluidelor în repaus asupra unor suprafeţe plane.........48

U.4.4.1. Ecuaţii generale.......................................................................................48

U.4.4.2. Acţiunea unui fluid uşor în echilibru static pe o suprafaţă plană...........49

U.4.4.3. Acţiunea unui fluid greu în echilibru static asupra unei suprafeţe plane

49

U.4.5. Forţe de acţiune ale fluidelor în repaus asupra unor suprafeţe curbe deschise

51

U.4.5.1. Generalităţi..............................................................................................51

U.4.5.2. Forţe de acţiune ale fluidelor uşoare în repaus pe suprafeţe curbe

deschise ...................................................................................................................................52

U.4.6. Forţe hidrostatice pe suprafeţe curbe închise................................................53


Unitatea de învăţare 5. Ecuaţiile cinematicii şi dinamicii fluidelor.........................................56

U.5.1. Introducere.....................................................................................................56


U.5.3. Cinematica fluidelor.......................................................................................57

U.5.3.1. Clasificarea mişcării fluidelor.................................................................57

U.5.3.2. Definirea noţiunilor generale din cinematica fluidelor...........................58

U.5.3.3. Legea continuităţii...................................................................................60

U.5.4. Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor perfecte.....................................................61

U.5.4.1. Ecuaţia lui Bernoulli pe o linie de curent pentru mişcarea permanentă şi

absolută a unui fluid ideal în câmp gravitaţional.....................................................................61

U.5.4.2. Extinderea ecuaţiei lui Bernoulli la curenţi de secţiune finită în mişcare

permanentă................................................................................................................................63

U.5.5. Teorema impulsului........................................................................................63

U.5.5.1. Teorema impulsului aplicată unui tub de curent.....................................63

U.5.5.2. Acţiunea dinamică a unui jet de fluid asupra unei suprafeţe solide,

principiul turbinei cu acţiune....................................................................................................66

U.5.6. Mişcarea laminară a fluidelor vâscoase........................................................68

U.5.6.1. Ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide vâscoase şi incompresibile..............68

6

U.5.6.2. Rezistenţe hidraulice, compunerea pierderilor de sarcină......................69

U.5.7. Similitudinea...................................................................................................71

U.5.8. Curgerea fluidelor vâscoase în regim laminar prin conducte forţate............72

U.5.9. Mişcarea turbulentă........................................................................................74

U.5.10. Test de autoevaluare a cunoştinţelor............................................................76

Unitatea de învăţare 6. Mişcarea permanentă în conducte sub presiune..................................79

U.6.1. Introducere.....................................................................................................79


U.6.3 . Calculul pierderilor de sarcină locale în instalaţiile hidraulice...................80

U.6.4. Calculul pierderilor de sarcină liniare în instalaţiile hidraulice...................83

U.6.5. Caracteristica unei conducte..........................................................................88

U.6.6. Probleme tip şi metode de rezolvare..............................................................93


Unitatea de învăţare 7. Aparate pentru măsurarea parametrilor hidrodinamici bazate pe

ecuaţia lui Bernoulli................................................................................................................100

U.7.1. Introducere...................................................................................................100

U.7.2. Competenţele unităţii de învăţare.................................................................100

U.7.3. Parametrii frânaţi ai fluidelor......................................................................101

U.7.4. Principiul măsurării vitezei cu ajutorul tubului Pitot-Prandtl.....................102

U.7.5. Determinarea debitului folosind sonda de viteză.........................................103

U.7.6. Dispozitive standardizate pentru măsurarea debitului prin restricţia secţiunii

de curgere...............................................................................................................................104

U.7.7. Alte dispozitive pentru măsurarea debitului prin restricţia secţiunii de

curgere 106

U.7.8. Test de autoevaluare a cunoştinţelor............................................................108

Bibliografie.............................................................................................................................112

7

Unitatea de învăţare 1. Noţiuni introductive

Cuprins

U.1.1. Introducere............................................................................................................8

U.1.2. Competenţele unităţii de învăţare.........................................................................8

U.1.3. Mărimi şi unităţi de măsură..................................................................................9

U.1.4. Obiectul mecanicii fluidelor...............................................................................13

U.1.5. Noţiunea de fluid.................................................................................................13

U.1.6. Forţe caracteristice fluidelor..............................................................................14

U.1.7. Test de autoevaluare a cunoştinţelor..................................................................15

U.1.1. IntroducereÎn acest capitol se prezintă mărimile şi unităţile de măsură folosite

în cursul de faţă, obiectul disciplinei, apoi se definesc unele noţiuni de bază.

Unitatea este structurată în patru părţi: prima este dedicată prezentării sistemului

de unităţi de măsură folosit în curs, a doua - obiectului cursului, a treia – definirii

noţiunii de fluid şi a patra – prezentării forţelor caracteristice fluidelor.

Astfel, după parcurgerea acestei unităţi, studenţii trebuie să poată să

utilizeze aceste noţiuni în etapele ulterioare ale cursului.

U.1.2. Competenţele unităţii de învăţare

După parcurgerea unităţii de învăţare studentul va fi capabil să: Cunoască noţiunea de fluid;

Folosească corect unităţile de măsură în ecuaţiile de calcul;

Transforme unităţile de măsură în diferite sisteme de unităţi;

Cunoască forţele care acţionează în fluide, natura acestor forţe şi a

interacţiunii fluidelor cu mediile care le înconjoară

Durata medie de parcurgere a primei unităţi de învăţare este de 1 oră.

8

U.1.3. Mărimi şi unităţi de măsură

O mărime cuprinde o latură cantitativă - valoarea şi una calitativă - unitatea de

măsură, din punct de vedere matematic aceasta exprimându-se sub forma:

, (1.1)

unde V este valoarea reprezentată printr-un număr abstract, iar U este unitatea de măsură.

Numărul abstract V este legat de fenomen numai prin operaţia de măsurare şi depinde atât de

mărimea fizică cât şi de unitatea de măsură:

. (1.2)

Se atrage atenţia asupra faptului că o mărime fizică nu poate fi descrisă numai prin

valoare. Inexistenţa unităţii de măsură adăugate după valoarea numerică este o eroare gravă

deoarece nu oferă informaţia completă asupra rezultatului unui proces de măsurare sau al unui

calcul.

Fiecare stat stabileşte pe cale legislativă regulile privind utilizarea unităţilor de măsură

pe plan naţional. În România este obligatorie folosirea SI care cuprinde trei clase de unităţi:

fundamentale, derivate şi suplimentare.

Unităţile fundamentale, în număr de şapte, sunt bine definite şi considerate

independente din punct de vedere dimensional.

Tabelul 1.1 prezintă unităţile SI fundamentale.

Tab. 1.1. Unităţi SI fundamentale

Mărimea Denumirea unităţii de măsură Simbollungime metru mmasă kilogram kgtimp secundă sintensitate a curentului electric amper Atemperatură termodinamică kelvin Kcantitate de substanţă mol molintensitate luminoasă candelă cd

A doua clasă cuprinde unităţile derivate. Ele pot fi formate pe baza unor relaţii

algebrice care conţin numai operaţii simple de înmulţire şi/sau împărţire.

În tabelul 1.2 se prezintă câteva exemple de unităţi SI derivate, în tabelul 1.3 unele

unităţi derivate cu denumiri speciale, iar în tabelul 1.4 câteva unităţi SI derivate obţinute cu

ajutorul unităţilor cu denumiri speciale.

9

Tab. 1.2. Unităţi SI derivate

Mărimea Denumirea unităţii de măsură Simbolarie metru pătrat m2

volum metru cub m3

viteză metru pe secundă m/sacceleraţie metru pe secundă la pătrat m/s2

masă volumică (densitate) kilogram pe metru cub kg/m3

volum masic (volum specific) metru cub pe kilogram m3/kg

A treia clasă cuprinde unităţile suplimentare: radianul şi steradianul.

Unităţile SI cuprinse în aceste trei clase formează un ansamblu coerent de unităţi,

denumite unităţi SI, adică un sistem de unităţi legate între ele prin reguli de înmulţire şi

împărţire, fără vreun factor numeric.

Tab. 1.3. Unităţi SI derivate cu denumiri speciale

Mărimea Denumirea unităţii de

măsură

Simbol Expresia în alte uni-

tăţi SI

Expresia în unităţi fundamentale SI

frecvenţă hertz Hz s-1

forţă newton N kg m s 2

presiune, tensiune mecanică pascal Pa N/m2 kg m s1 2

energie, lucru mecanic, cantitate de căldură

joule J N.m kg m s 2 2

putere (hidraulică, mecanică, electrică etc.), flux energetic

watt W J/s kg m s 2 3

Tab. 1.4. Unităţi SI derivate obţinute din unităţi derivate cu denumiri speciale

Mărimea Denumire Simbol Expresia în unităţi SI

fundamentalemomentul unei forţe newton metru N m kg m s2 2

viscozitate dinamică pascal secundăenergie specifică masică joule pe kilogram J kg m s2 2 energie specifică gravifică, sarcină

joule pe newton m

În tabelul 1.5 sunt prezentate prefixele unităţilor SI pentru formarea multiplilor şi

submultiplilor şi factorii de multiplicare corespunzători.

10

Tab. 1.5. Prefixe SI şi factorii de multiplicare

Multipli SubmultipliFactorul de multiplcare

Prefixul Sim-bolul

Factorul de multilpicare

Prefixul Sim-bolul

1018 exa E 10-1 deci d1015 peta P 10-2 centi c1012 tera T 10-3 mili m109 giga G 10-6 micro 106 mega M 10-9 nano n103 kilo k 10-12 pico p102 hecto h 10-15 femto f10 deca da 10-18 atto a

Există o serie de unităţi de măsură care joacă un rol foarte important în practica

măsurării şi sunt larg răspândite. Ele sunt prezentate în tabelul 1.6. Se recomandă ca unităţile

din acest tabel să nu fie combinate cu unităţi SI.

Tab. 1.6. Unităţi mai importante care nu fac parte din SI

Mărimea Denumirea unităţii Simbol Valoarea în unitatea SIVolum litru l, L 1 l = 1 L = 1dm3 = 10-3 m3

Masă tonă t 1 t = 103 kgViteză kilometru pe oră km/h 1km/h = 1000/3600 m/s = 0,278 m/sTuraţie rotaţie pe secundă rot/s 1 rot/s = 1 s-1

rotaţie pe minut rot/min 1 rot/min = (1/60) s-1

Ca urmare a obişnuinţei existente în anumite ţări şi în anumite domenii, Conferinţa

Internaţională Pentru Măsuri şi Greutăţi - CIPM -1978 a acceptat ca unele unităţi de măsură

să fie folosite în continuare, împreună cu unităţile SI, până când se va considera că utilizarea

lor nu mai este necesară. Câteva din aceste unităţi de măsură sunt prezentate în tabelul 1.7.

Tab. 1.7. Unităţi de măsură folosite temporar împreună cu unităţile SI

Mărimea Unitatea Simbolul Transformarea în SIdistanţa milă marină 1 milă maină = 1852 mviteza nod 1 nod = (1852/3600) m/saria ar a 1a = 1 dam2 =102 m2

aria hectar ha 1 ha = 1 hm2 = 104 m2

presiunea bar bar 1 bar = 0,1 MPa = 105 Pa

În mecanică, sistemul CGS se baza pe trei unităţi fundamentale: centimetrul, gramul şi

secunda. Câteva sunt prezentate în tabelul 1.8.

11

Tab. 1.8. Unităţi de măsură CGS

Mărimea măsurată Unitatea Simbolul Transformarea în SIenergie erg erg 1 erg = 10-7 Jforţa dynă dyn 1 dyn = 10-5 Nviscozitatea dinamică poise P 1 P = 1 dyn.s / cm2 = 0,1 Pa.sviscozitatea cinematică stokes St 1 St = 1 cm2 / s = 10-4 m2 / s

Se recomandă ca unităţile de măsură care nu fac parte din SI şi nu sunt prezentate în

subcapitolele 1.3 şi 1.4 să fie înlocuite prin unităţi SI. Totuşi, în multe domenii de activitate se

pot întâlni aparate de măsură, caracteristici ale unor instalaţii prezentate în prospecte sau

constante fizice date în astfel de unităţi de măsură. Din acest motiv se prezintă în tabelul 1.9

unele dintre aceste unităţi de măsură împreună cu modul de transformare în unităţi SI.

Tab. 1.9. Unităţi de măsură care nu sunt în SI

Mărimea Unitatea de măsură Simbol Transformarea în SIforţă kilogram forţă kgf 1 kgf = 9,80665 N

torr = mm Hg torr 1 torr= (101325 / 760)Pa=133,32 Papresiune atmosferă normală atm 1 atm = 101325 Pa

atmosferă tehnică at 1 at = 1 kgf/cm2 = 9,80665.104 Paputere cal putere CP 1 CP = 75 kgf.m/s = 735,5 W

Referitor la denumirea de atmosferă normală, prin rezoluţia 4 a celei de-a X-a CGPM

(1954) aceasta rămâne admisă pentru presiunea de referinţă care defineşte starea normală

fizică: pN = 101325 Pa. Starea normală fizică mai este definită prin temperatura normală

corespunzătoare punctului 0 al scării Celsius: TN = 273,15 K.

Se recomandă ca toate calculele să fie realizate în Sistemul Internaţional de unităţi de

măsură (SI) deoarece acesta este un sistem coerent.

Ecuaţia dimensională a unei mărimi poate fi utilizată pentru verificarea omogenităţii

dimensionale (verificarea rezultatului unui calcul algebric) sau pentru stabilirea relaţiei de

transformare a valorii unei mărimi la schimbarea unităţii de măsură. Deoarece în literatura de

specialitate se întâlnesc încă multe relaţii în care mărimile sunt exprimate în alte unităţi de

măsură decât unităţile SI este necesară transformarea acestora în SI. Trecerea la SI se face

prin înlocuirea simbolurilor unităţilor mărimilor fizice cu simbolurile unităţilor SI

corespunzătoare aceloraşi mărimi înmulţite cu factorii de conversiune în SI.

12

Exemple

1 centistokes

;

1 poise

.

Se insistă asupra faptului că înlocuirea valorilor numerice în ecuaţii se face folosind

unităţile de măsură fundamentale, iar în cazul multiplilor sau submultiplilor se vor folosi

factorii de multiplicare corespunzători.

U.1.4. Obiectul mecanicii fluidelor

Mecanica teoretică, studiind cele mai simple forme de mişcare şi cauzele care le

produc, se foloseşte de noţiunile de punct material sau sistem de puncte materiale. Un sistem

de puncte materiale însă poate fi discret sau continuu. Lichidele şi gazele sunt medii continui

fluide, deci au proprietatea de curgere datorită coeziunii mult mai mici decât a corpurilor

solide.

Mecanica fluidelor este o ramură a mecanicii mediilor continui, desprinsă ca ştiinţă de

sine stătătoare, care studiază repausul şi mişcarea fluidelor, precum şi interacţiunea lor

mecanică cu corpurile cu care vin în contact.

U.1.5. Noţiunea de fluid

Fluidul este un mediu continuu, omogen şi izotrop în care, în stare de repaus, pe

suprafeţele de contact ale diferitelor particule se exercită numai eforturi normale, iar sub

acţiunea unor forţe care nu tind să-i modifice volumul se deformează cu uşurinţă. Mobilitatea

particulelor fluide este datorată slabei coeziuni a moleculelor.

Lichidele au volum propriu şi iau forma vaselor în care sunt conţinute. Gazele, având o

coeziune mult mai mică datorită spaţiilor intermoleculare mari, nu au volum propriu, ci sunt

expansibile, deci ocupă tot spaţiul disponibil. De asemenea, sunt cu mult mai compresibile şi

mai uşoare decât lichidele.

13

Particula fluidă este o porţiune de fluid având dimensiuni cu mult mai mari decât

dimensiunile moleculelor, dar cu mult mai mici faţă de dimensiunile corpurilor în raport cu

care se studiază echilibrul sau mişcarea fluidului.

Ipoteza generală a continuităţii unui fluid exprimă faptul că în fiecare punct P(x,y,z)

şi la orice moment t se pot determina mărimi fizice (de exemplu: o densitate, ,

o presiune , o viteză etc.) şi că aceste funcţii de

coordonatele punctului şi de timp sunt continue aproape peste tot, deci cu excepţia unui

număr finit de suprafeţe sau linii singulare.

Ca exemple de suprafeţe de discontinuitate se pot cita suprafeţele de contact: suprafaţa

de contact dintre un lichid şi vasul care îl conţine, suprafaţa care delimitează un jet de fluid,

suprafaţa liberă a unui lichid.

U.1.6. Forţe caracteristice fluidelor

Într-un fluid în repaus nu apar forţe de vâscozitate (forţe de frecare tangenţială), ele

fiind condiţionate de deplasarea relativă a particulelor. Deci fluidele reale în repaus se

comportă ca fluide perfecte (lipsite de viscozitate), iar eforturile asupra lor se exercită numai

pe direcţie normală la suprafeţele care le înconjoară. Un fluid în repaus este acţionat de două

categorii de forţe, care se echilibrează reciproc: forţele masice şi forţele de suprafaţă.

Forţele masice sunt proporţionale cu masa fluidului şi sunt cauzate de unele câmpuri

exterioare. Cele mai obişnuite forţe masice sunt cele de greutate, datorate câmpului gravi-

taţional, exterior masei fluide considerate. Dacă fluidul se află în echilibru faţă de un sistem

mobil cu mişcarea accelerată, pe lângă forţele de greutate apar şi forţele de inerţie.

Se defineşte forţa masică unitară ca fiind raportul dintre forţa masică şi masă:

. (1.3)

Deci semnificaţia şi unitatea de măsură a forţei masice unitare este identică cu cea

a acceleraţiei. În calcule, forţa masică se determină cu ajutorul forţei masice unitare:

. (1.4)

Forţele de suprafaţă joacă rolul forţelor de legătură din mecanica rigidului. S-a arătat

că pentru un fluid în repaus forţele elementare de suprafaţă sunt compresiuni normale la

elementele de suprafaţă. Aceste forţe se calculează cu ajutorul presiunii care reprezintă

modulul efortului unitar normal. Pentru forţa elementară de suprafaţă care acţionează asupra

unui fluid rezultă:

14

, (1.5)

unde este versorul normalei la suprafaţa considerată, îndreptat spre fluid.

Se poate demonstra că presiunea într-un punct dintr-un fluid este constantă după

orice direcţie, deci este o mărime scalară (câmp scalar).

U.1.7. Test de autoevaluare a cunoştinţelor

U.1.7.1. Alegeţi răspunsurile corecte:

I. O mărime fizică este definită prin:

A. valoare sau unitate de măsură

B. unitate de măsură sau valoare

C. valoare şi unitate de măsură

II. În SI mărimile derivate se obţin din cele fundamentale:

A. prin operaţii de înmulţire şi împărţire

B. prin înmulţire cu un coeficient real

C. prin înmulţire cu un coeficient întreg

III. Înainte de a fi înlocuite în relaţii matematice, mărimile exprimate cu

ajutorul multiplilor sau submultiplilor:

A. se transformă ţinând seama de coeficienţii de multiplicare;

B. nu se transformă deoarece sunt unităţi de măsură SI

IV. Forţa este o mărime

A. fundamentală în SI

B. derivată în SI

C. suplimentară în SI

V. Sunt fluide:

A. lichidele

B. gazele

C. metalele topite

D. vaporii

VI. Forţele masice sunt proporţionale cu:

A. volumul fluidului izodens

B. masa fluidului

C. aria suprafeţei de contact cu mediile externe

15

VII. Forţele de suprafaţă:

A. sunt tangente la suprafaţa fluidului;

B. depind de presiunea în diversele puncte ale suprafeţei;

C. depind de aria suprafeţei.

U.1.7.2. Transformaţi unităţile de măsură în relaţii între unităţile

fundamentale SI:

volumul, V = 2 dm3 , (decimetri cubi);

debitul volumic, Q = 2 l/s, (litri pe secundă);

debitul masic: Qm = 3600 kg/h, (kilograme pe oră);

forţa: F = 3 kN., (kilonewtoni).

Răspuns: V = 2.10-3 m3 ; Q = 2 dm3/s = 2.10-3m3s-1 ;

Qm =3600/3600 kg/s= = 1 kg.s-1;

F = 3.103 N = 3.103 kg.m/s2 = 3.103 kg.m.s-2.

16

Unitatea de învăţare 2. Mărimi de stare şi proprietăţi fizice ale

fluidelor

Cuprins

U.2.1. Introducere..........................................................................................................17

U.2.2. Competenţe.........................................................................................................17

U.2.3. Densitatea şi greutatea specifică........................................................................18

U.2.4. Presiunea............................................................................................................19

U.2.5. Viscozitatea fluidelor..........................................................................................22

U.2.6. Compresibilitatea izotermică şi dilatarea izobară a lichidelor..........................25

U.2.7. Absorbţia şi degajarea gazelor, cavitaţia...........................................................28


U.2.1. Introducere

În ecuaţiile care descriu repaosul sau mişcarea fluidelor intervin

mărimile care definesc starea fluidului luat ca sistem termodinamic (temperatura,

presiunea, volumul specific sau densitatea etc.) sau mărimi care definesc unele

proprietăţi (viscozitate, compresibilitate etc.) În această unitate de învăţare se

prezintă mărimile de stare şi proprietăţile fizice mai importante ale fluidelor

utilizate în cursul de faţă, precum şi unele aplicaţii simple care pot fi rezolvate

folosind definiţiile acestor proprietăţi.

Mărimile de stare şi proprietăţile fizice ale fluidelor sunt variabile

cu temperatura şi presiunea. Determinarea corectă a valorii lor presupune

cunoaşterea funcţiilor care aproximează aceste variaţii. Se vor avea în vedere

aplicaţii tehnice uzuale în care nu se cer precizii foarte ridicate.


În urma parcurgerii unităţii de învăţare studentul va fi capabil să:

Cunoască definiţia densităţii şi a unităţii de măsură corespunzătoare

în SI;

Cunoască definiţia greutăţii specifice şi a unităţii de măsură în SI;

Cunoască definiţia presiunii şi a unităţilor de măsură folosite;

Înţeleagă noţiunile de presiune absolută, presiune relativă,

suprapresiune, presiune manometrică, depresiune, presiune vacuummetrică,

17

presiune atmosferică, presiune barometrică;

Cunoască şi interpreteze ecuaţia lui Newton pentru determinarea

eforturilor tangenţiale de frecare şi domeniul de aplicabilitate al acestei ecuaţii;

Cunoască definiţiile coeficienţilor de viscozitate dinamică şi

cinematică şi a unităţilor de măsură;

Cunoască definiţia coeficientului compresibilităţii izotermice şi a

indicelui (coeficientului) de elasticitate izotermică;

Cunoască definiţia coeficientului de dilatare izobară al lichidelor;

Cunoască fenomenul de cavitaţie şi să poată face o scurtă descriere

a fenomenelor care o însoţesc.

Durata medie de parcurgere a unităţii de învăţare este de 2 ore.

U.2.3. Densitatea şi greutatea specifică

Densitatea este masa unităţii de volum, definită pentru un punct dintr-un fluid prin

relaţia matematică:

(2.1)

În Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură (notat pe scurt SI), unitatea de măsură

este kg/m3, iar în sistemul CGS, g/cm3. În termodinamică se foloseşte volumului specific, o

mărime de stare specifică, fiind inversul densităţii.

Densitatea variază în funcţie de temperatură şi presiune. Astfel, densitatea

fluidelor scade cu creşterea temperaturii. Apa prezintă o anomalie din acest punct de vedere,

densitatea maximă fiind la temperatura de 3,98oC şi are valoarea de 1000 kg/m3. Densitatea

lichidelor variază foarte puţin cu presiunea.

Tabelul 2.1 prezintă densitatea unor lichide uzuale la temperatura de 20 oC.

În cazul gazelor se recomandă ecuaţia de stare care dă rezultate foarte bune pentru

domeniul în care acestea pot fi asimilate unui gaz ideal:

p

TR, (2.2)

unde p este presiunea absolută a gazului, T - temperatura absolută, iar R se numeşte

constanta caracteristică a gazului. Pentru aer, constanta caracteristică este: R = 287,04 J/kgK.

18

Tab. 2.1. Densitatea unor lichide la temperatura de 20oC

Lichidul [kg/m3]Acetonă 790Alcool etilic 789,5Alcool metilic 792Apă de mare 1010 - 1050Benzină 710 - 740Lapte 1020 - 1050Mercur 13545,7Ulei de ungere 871Ulei de transformator 866

Greutatea specifică este definită ca greutatea unităţii de volum:

(2.3)

În Sistemul Internaţional, unitatea de măsură este N/m3, iar în sistemul CGS, dyn/cm3.

Acceleraţia medie a gravitaţiei terestre este g = 9,80665 m/s2.

Uzual, în calcule se ia g = 9,81 m/s2.

U.2.4. Presiunea

Prin definiţie, presiunea este raportul dintre forţa normală şi aria suprafeţei pe

care se exercită această forţă. Într-un punct dintr-un fluid în repaus, presiunea se defineşte

ca fiind limita raportului dintre forţa normală şi aria suprafeţei pe care se exercită această

forţă, când aria tinde către zero, în jurul punctului respectiv:

. (2.4)

Dacă forţa elementară nu ar fi perpendiculară pe suprafaţă, ar însemna că admitem

ipoteza existenţei unor eforturi tangenţiale în fluidul în repaus, ceea ce contrazice ipoteza de

definiţie a fluidului.

Presiunea este o mărime termodinamică de stare.

Trebuie accentuat faptul că într-un fluid în echilibru, presiunea este funcţie de

punctul în care ea se determină.

Unitatea de măsură în Sistemul Internaţional este N/m2 denumită şi pascal:

. (2.5)

19

Deoarece aceasta este o unitate de măsură foarte mică în comparaţie cu presiunile

uzuale întâlnite în instalaţiile industriale, se folosesc multiplii: kilopascalul, kPa (denumit şi

piez - prescurtat pz): 1kPa = 103Pa şi megapascalul, MPa: 1 MPa = 106Pa.

În aplicaţiile tehnice curente se foloseşte barul (prescurtat bar), o unitate care, deşi

nu aparţine Sistemului Internaţional este tolerată pe o perioadă nedefinită datorită obişnuinţei

utilizării ei în diferite ţări, printre care şi ţara noastră:

. (piez) (2.6)

În tehnică s-a mai utilizat şi se mai întâlneşte încă destul de frecvent o unitate de

măsură denumită atmosferă tehnică, prescurtat at şi definită astfel:

. (2.7)

Pentru definirea stării normale fizice se utilizează atmosfera normală, prescurtat

atm sau At, ea fiind presiunea hidrostatică exercitată de o coloană de mercur cu înălţimea de

760 mm. Prin Rezoluţia nr. 4 a celei de-a Zecea Conferinţe Generale de Măsuri şi Greutăţi din

1954 se adoptă pentru folosire generală definiţia:

. (2.8)

Deoarece pentru măsurarea presiunilor în fluide se pot utiliza cu succes aparate bazate

pe principiul presiunii hidrostatice create de o coloană cu lichid (numite şi piezometre), se

definesc:

milimetrul coloană de apă:

; (2.9)

metrul coloană de apă:

; (2.10)

milimetrul coloană de mercur cunoscut şi sub denumirea de torr:

. (2.11)

milimetrul coloană de alcool:

. (2.12)

20

În cazul utilizării piezometrelor, pentru creşterea preciziei măsurărilor este necesar a se

ţine seama de variaţia densităţii lichidului piezometric cu temperatura. În ecuaţia (2.12) s-a

dat densitatea alcoolului la 20oC.

După nivelul de la care se face măsurarea presiunii, în mecanica fluidelor întâlnim

două noţiuni: presiune absolută şi presiune relativă.

Fig. 2.1. Presiuni absolute şi relative

Presiunea absolută este presiunea care are ca nivel de referinţă vidul absolut.

Presiunea atmosferică este presiunea absolută a atmosferei în punctul de măsurare.

Ea se măsoară cu ajutorul barometrului şi de aceea se mai numeşte şi presiune barometrică.

Presiunea relativă este presiunea care are ca nivel de referinţă presiunea atmosferică a

locului unde se efectuează măsurarea.

Aceasta este mărimea care se determină în mod curent în practica măsurărilor

din instalaţiile industriale. Cunoscând presiunea atmosferică şi presiunea relativă, se poate

determina presiunea absolută din relaţia :

. (2.13)

Presiunea relativă poate fi:

o suprapresiune denumită şi presiune manometrică (după numele

aparatului folosit pentru realizarea măsurării - manometru). Ea este pozitivă, iar presiunea

absolută calculată cu ecuaţia (2.13) are o valoare mai mare decât presiunea atmosferică.

21

o depresiune sau presiune vacuummetrică (după numele aparatului folosit

pentru realizarea măsurării - vacuummetru). Ea este negativă, iar presiunea absolută rezultată

din ecuaţia (2.13) are o valoare mai mică decât presiunea atmosferică.

Se atrage atenţia asupra faptului că în practica măsurărilor industriale se întâlnesc

diferite unităţi de măsură. Când se utilizează ecuaţia (2.13) trebuie ca cele două presiuni să fie

exprimate în aceleaşi unităţi de măsură. De cele mai multe ori, presiunea atmosferică se

determină în mmHg sau mbar. Ea prezintă variaţii în funcţie de altitudinea locului, (scade cu

creşterea altitudinii) dar chiar şi variaţii săptămânale sau diurne. Presiunea medie la nivelul

oraşului Braşov este de circa 710 mmHg, pe când la nivelul mării este de 760 mmHg.

În general, în problemele de mecanica fluidelor se utilizează presiunea relativă

deoarece forţele care apar în instalaţii sunt rezultatul diferenţei dintre presiunea din interiorul

instalaţiei şi presiunea ambiantă. Excepţie fac:

problemele de cavitaţie (fenomenul depinde de presiunea absolută de

vaporizare a lichidului dependentă la rândul ei de temperatură) şi

problemele în care intervin gazele perfecte (în ecuaţia de stare a gazului

perfect se folosesc temperatura absolută şi presiunea absolută).

U.2.5. Viscozitatea fluidelor

Viscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune deformaţiilor atunci când

sunt supuse la lunecare relativă a straturilor suprapuse.

Această proprietate reprezintă mecanismul de transmitere a mişcării într-un fluid.

Constatarea a fost făcută de Newton în 1687, care a stabilit şi expresia efortului unitar

tangenţial de viscozitate în mişcarea laminară.

Se consideră două straturi de fluid cu aria infinit mică dA, situate la distanţa

elementară dn măsurată pe normală şi aflate în mişcare relativă unul faţă de celălalt astfel:

stratul inferior are viteza v, iar stratul superior o viteză cu un infinit mic mai mare decât

aceasta: v+dv (fig.2.2). Datorită frecării, apare o forţă elementară dF care se opune acestei

deplasări relative.

Newton a stabilit că efortul unitar tangenţial de frecare este proporţional cu variaţia

vitezei pe direcţia normală conform ecuaţiei:

. (2.14)

22

Acest efort tangenţial are tendinţa de a egala vitezele straturilor, deci se opune mişcării

stratului cu viteza mai mare. Semnul minus arată că efortul de frecare are sensul opus sensului

vitezei.

Coeficientul de proporţionalitate este coeficientul viscozităţii dinamice sau pe scurt,

viscozitatea dinamică, deoarece ecuaţia de definiţie a sa:

, (2.15)

conţine o mărime dinamică (efortul unitar tangenţial).

Înlocuind unităţile de măsură corespunzătoare din SI se obţin succesiv egalităţile:

. (2.16)

În sistemul de unităţi CGS, unitatea de măsură este numită poise de la numele

savantului francez Poiseuille care a studiat curgerea laminară:

1 1 12Pcm

dyn s 10 N s

10 m10

N s

m

5

-4 21

2. (2.17)

Prin raportarea viscozităţii dinamice la densitatea fluidului se obţine o mărime

cinematică numită viscozitate cinematică:

. (2.18)

Fig. 2.2. Modelul pentru ecuaţia lui Newton

23

În SI unitatea de măsură este m2/s, iar în sistemul CGS, unitatea de măsură este cm2/s

care poartă denumirea de stokes:

1 1Stcm

s1

10 m

s10 .

2 4 24

m s2 (2.19)

Se mai foloseşte centistokesul: 1cSt = 10-2 St = 10-6 m2/s.

Fluidele al căror efort de vâscozitate în mişcare laminară (în straturi paralele) este dat

de ecuaţia (2.14) se numesc fluide newtoniene. În această categorie se înscriu destul de bine

fluidele uzuale: aerul, apa şi uleiurile aflate în mişcare laminară. Fluidele care nu respectă

legea lui Newton se numesc ne-newtoniene.

Viscozitatea dinamică creşte foarte puţin cu presiunea dar variază foarte mult cu

temperatura. La creşterea temperaturii, viscozitatea lichidelor scade, pe când cea a

gazelor creşte.

Explicaţia în cazul lichidelor constă în faptul că prin creşterea temperaturii, dilatarea

conduce la scăderea forţelor de coeziune moleculară. În cazul gazelor, agitaţia moleculară

crescând cu temperatura, are loc un transfer de particule materiale (la nivel molecular) între

straturile de fluid aflate în mişcare laminară, ceea ce conduce la o creştere a eforturilor de

frecare.

Variaţia viscozităţii cinematice prezintă aceleaşi caracteristici cu cea a viscozităţii

dinamice, cu excepţia variaţiei cu presiunea în cazul gazelor. Astfel, prin creşterea

presiunii, viscozitatea dinamică a gazelor creşte, dar densitatea creşte mai accentuat,

astfel încât rezultă o scădere a viscozităţii cinematice.

Pentru variaţia viscozităţii dinamice cu temperatura, în cazul gazelor se recomandă

formula semiempirică dată de Southerland:

(2.20)

unde T este temperatura absolută, S este o constantă a cărei valoare este în funcţie de gazul

respectiv, iar este viscozitatea gazului la temperatura normală fizică TN.

În cazul aerului, unul dintre cele mai întâlnite gaze în aplicaţiile industriale şi nu

numai, constantele sunt: S = 111K,

24

Pentru variaţia viscozităţii lichidelor cu temperatura se utilizează formule diferite.

Astfel, pentru apă se recomandă formula:

, (2.21)

unde t este temperatura relativă [oC].

Pentru calculul viscozităţi uleiurilor în funcţie de temperatură se poate utiliza

formula:

, (2.22)

unde este viscozitatea cinematică la temperatura , iar exponentul .

Bazat pe modelul creat de Newton se poate da o rezolvare destul de corectă a unor

probleme simple legate de lubrificaţie, cum ar fi determinarea aproximativă a forţelor de

frecare vâscoasă şi a puterii consumate prin frecare în cazul unor lagăre având forme relativ

simple. În astfel de probleme se poate presupune că pelicula de lubrifiant are o grosime foarte

mică, considerându-se că în ecuaţia (2.16) se poate trece la diferenţe finite fără o eroare prea

mare.

Este foarte important ca în practică să se ţină seama de variaţia coeficientului de

viscozitate cu temperatura. Pornirea unei maşini de la rece presupune forţe de viscozitate

mai mari decât în regimul de funcţionare continuă. În afară de aceasta, creşterea temperaturii

lubrifiantului conduce la scăderea viscozităţii, iar îndepărtarea defectuoasă a căldurii de

frecare vâscoasă generată în funcţionarea unei maşini determină scăderea proprietăţilor de

ungere, micşorarea grosimii peliculei de lubrifiant şi în final griparea lagărelor.

U.2.6. Compresibilitatea izotermică şi dilatarea izobară a lichidelor

Compresibilitatea izotermică a lichidelor este proprietatea de variaţie a densităţii

unui lichid datorită variaţiei presiunii (la temperatură constantă).

Fie V0 volumul ocupat de un fluid la presiunea p0. Dacă presiunea are o variaţie

, are loc o variaţie relativă de volum proporţională cu variaţia absolută a

presiunii:

(2.23)

25

unde . Semnul minus arată că unei creşteri de presiune îi corespunde o scădere de

volum, iar factorul de proporţionalitate este coeficientul (modulul) de compresibilitate

cubică notat k.

Din ecuaţia de mai sus rezultă ecuaţia de definiţie a acestui coeficient:

(2.24)

Unitatea de măsură în Sistemul Internaţional este m2/N sau Pa-1.

Coeficientul de compresibilitate cubică scade puţin cu creşterea presiunii şi

temperaturii.

Într-o altă variantă, ecuaţia (2.23) poate fi scrisă utilizând coeficientul (modulul) de

elasticitate cubic:

(2.25)

Pentru apă la temperatura ambiantă, = 2,11.109 N/m2. Apa este deci de 100 de ori

mai compresibilă decât oţelul.

Tabelul 2.2 prezintă modulul de elasticitate al câtorva fluide la temperaturi uzuale.

Totuşi, în majoritatea fenomenelor studiate, lichidele se consideră ca fluide incompresibile.

Fac excepţie fenomenele:

şocul hidraulic (cunoscut şi sub numele de lovitură de berbec) şi

sonicitatea (propagarea energiei în lichide prin comprimări şi dilatări

succesive ale straturilor de lichid).

Teoria sonicităţii, cu numeroase aplicaţii tehnice a fost fundamentată de savantul

român G. Constantinescu.

Gazele sunt cu mult mai compresibile decât lichidele.

Tab. 2.2. Coeficientul de elasticitate

Lichidul t [oC] [N/m2]

Apă 0 1,954.109

Apă 20 2,11.109

Petrol 20 1,154.109

Ulei 20 1,443.109

26

Pentru variaţii infinit mici ale presiunii şi volumului, ecuaţia (2.23) devine:

. (2.26)

Dilataţia termică izobară a fluidelor reprezintă creşterea volumului unui fluid

datorită creşterii temperaturii (la presiune constantă).

Legea matematică se exprimă sub forma:

. (2.27)

Deci creşterea relativă a volumului unui fluid este direct proporţională cu

creşterea absolută a temperaturii.

Din această ecuaţie rezultă definiţia coeficientului de dilatare izobară:

(2.28)

din care se poate obţine unitatea de măsură: K-1.

În cursul de faţă prezintă interes această proprietate a lichidelor. În cazul gazelor ideale

se foloseşte ecuaţia termică de stare

Pentru apă la 20oC, = 1,5.10-4 K-1. Trebuie totuşi să reamintim faptul că apa prezintă

o anomalie faţă de această lege deoarece în intervalul 0...4oC volumul apei scade cu creşterea

temperaturii, astfel încât la temperatura de 3,98oC apa are cea mai mare densitate.

Tabelul 2.3 prezintă coeficientul de dilatare izobară al unor lichide la temperatura de

20 oC (pentru păcură o medie în intervalul 0...100 oC).

Pentru o variaţie infinit mică a temperaturii şi volumului, ecuaţia (2.28) devine:

Tab. 2.3. Coeficientul de dilatareLichidul [10-6 . K-1]

Acetonă 1487Alcool etilic 1100Alcool metilic 1220Benzină 1100Glicerină 505Mercur 181Păcură, ulei 600Petrol 900

27

dd

V

VT . (2.29)

Reunind ecuaţiile (2.26) şi (2.29) într-o singură relaţie, se obţine ecuaţia generală de

transformare a lichidelor:

(2.30)

Ecuaţia se poate folosi cu rezultate bune şi dacă diferenţialele se înlocuiesc prin

diferenţe finite.

U.2.7. Absorbţia şi degajarea gazelor, cavitaţia

Prin absorbţie lichidele încorporează o parte din gazele cu care vin în contact. Procesul

invers absorbţiei este degajarea, care se produce la scăderea presiunii în masa lichidului sau la

creşterea temperaturii. În starea de saturaţie a lichidului (la fierbere), degajarea gazelor este

totală. La presiunea şi temperatura ambiantă, în apă se dizolvă maximum circa 2% gaze în

greutate. Astfel este posibilă viaţa florei şi faunei acvatice.

Cavitaţia, printr-o definiţie sumară, reprezintă apariţia în lichid a unor bule de

gaz şi vapori la scăderea presiunii sub valoarea presiunii de vaporizare la temperatura

respectivă, urmată de dispariţia lor când presiunea creşte.

Dacă în anumite porţiuni ale unui lichid în mişcare presiunea scade până la valoarea

presiunii de vaporizare la temperatura dată, se produce vaporizarea lichidului însoţită de

degajarea gazelor dizolvate. Apare fenomenul complex numit cavitaţie, foarte periculos

pentru maşinile şi instalaţiile hidraulice (în special la intrarea în rotoarele de turbopompe,

ieşirea din rotoarele de turbine şi zona ventil-scaun a unui robinet).

Acest fenomen poate fi explicat prin existenţa simultană a unor procese care se

întrepătrund.

În primul rând, bulele de vapori şi de gaz, ajungând în zone cu presiuni

mai mari se recondensează şi respectiv se redizolvă (fenomen mai lent decât

recondensarea). Condensările rapide conduc la realizarea unor mici implozii care pot

produce suprapresiuni şi supratemperaturi punctuale foarte mari, precum şi zgomote.

28

În al doilea rând, vaporii de apă şi gazele degajate care, după cum s-a mai

menţionat, nu se recondensează instantaneu, pun în libertate oxigenul atomic, foarte activ

chimic, prin aceasta explicându-se coroziunea chimică.

În al treilea rând, efectul distructiv al cavitaţiei poate fi atribuit

supratemperaturilor mari (mii de grade) create prin recondensarea vaporilor (fenomenul de

condensare este însoţit de degajare de căldură către peretele solid cu care fluidul este în

contact), care slăbesc rezistenţa materialelor.

La proiectarea maşinilor şi instalaţiilor hidraulice este necesar să se ţină seama de

faptul că presiunea minimă a lichidului trebuie să depăşească presiunea de vaporizare la

temperatura de funcţionare. Deoarece presiunea de vaporizare creşte cu temperatura,

instalaţiile în care circulă lichide calde sunt supuse mai frecvent riscului apariţiei

cavitaţiei. De asemenea, se ţine seama de faptul că alura dependenţei presiune de saturaţie în

funcţie de temperatură nu este liniară. Această dependenţă, numită şi curbă de vaporizare

este specifică fiecărei substanţe, astfel încât fenomenul este mai frecvent în cazul lichidelor

mai volatile (de exemplu alcoolul).

Însoţit de zgomote caracteristice, fenomenul de cavitaţie se întâlneşte la:

maşinile hidraulice (în special pompele care lucrează cu fluide calde ca de

exemplu pompa de apă a motoarelor cu ardere internă);

schimbările de direcţie cu tendinţa de desprindere a fluidului de pereţii solizi,

în zonele sifonate ale conductelor;

corpuri ce se deplasează cu viteză în apă (nave);

corpuri care suportă impactul apei (palete).


U.2.8.1. Alegeţi răspunsurile corecte:

I. Unitatea de măsură a densităţii în CGS este g/cm3. În SI este egală cu:

A. 10-3 kg/ 10-6 m3;

B. 1000 kg/m3;

C. 103 kg/m3;

D. 10-3 kg/m3.

II. Presiunea atmosferică poate fi:

A. 720 mmHg;

29

B. 95000 Pa;

C. 95 kPa;

D. 950 kPa;

E. - 3000 Pa.

III. Presiunea vacuummetrică poate fi:

A. - 30 kPa;

B. - 1 kPa;

C. - 300 kPa.

IV. Pericolul apariţiei cavitaţiei este mai mare în cazul:

A. instalaţiilor cu fluide volatile (de exemplu alcool);

B. instalaţiilor cu fluide calde (de exemplu apă caldă);

C. instalaţiilor cu fluide foarte reci;

D. conductelor de aspiraţie ale pompelor;

E. conductelor de refulare ale pompelor.

Răspuns: I A,B,C; II A,B,C; III A,B; IV A,B,D.

2.8.2. În racordul de refulare al unui ventilator parametrii de stare ai aerului sunt:

suprapresiunea: şi temperatura T = 21 oC, iar în racordul de aspiraţie

se măsoară aceeaşi temperatură şi o depresiune . Presiunea

barometrică este de 710 torr. Să se determine densitatea aerului în cele două racorduri.

Răspuns: Pentru a utiliza ecuaţia de stare este necesară transformarea

parametrilor de stare în unităţile de măsură ale SI, presiunea şi temperatura fiind cele

absolute. Se obţin succesiv: ;

pentru racordul de refulare:

;

;

pentru racordul de aspiraţie, depresiunea dată în valoare absolută în

problemă se introduce cu semnul "-" şi se obţin: ;

.

Se observă că variaţia densităţii este foarte mică, practic neglijabilă. Se

30

poate trage concluzia că pentru instalaţiile de ventilaţie, calculele se pot face

considerând că fluidul (aerul) este practic incompresibil.

2.8.3. Presiunea vacuummetrică (depresiunea) la aspiraţia pompei de apă a unui motor

este de 0,1 at. Să se determine presiunea absolută în [Pa], dacă presiunea barometrică

este de 707 mm Hg.

Răspuns: Folosind relaţia (2.13) şi efectuând transformările în unităţi

de măsură ale SI se obţine: 8,44.104 Pa.

2.8.4. Un manometru montat pe racordul de refulare al unei pompe de apă indică 2,6

bar. Să se determine sarcina hidrostatică la refulare în [m col. apă].

Răspuns: Sarcina este energia specifică gravifică (tab. 1.4), exprimată

în metri coloană de fluid, deci presiunea de 2,6 bar se transformă în metri. Ţinând

seama de relaţiile de transformare (2.10) şi (2.6), se obţine rezultatul 26,5 m col apă.

2.8.5. Depresiunea măsurată în racordul de aspiraţie al unei pompe de apă este de

0,4at, iar suprapresiunea din racordul de refulare este de 1,2at. Să se determine sarcina

hidrostatică în [m col. apă].

Răspuns: Similar cu problema precedentă. Sarcina totală este însă dife-

renţa între energia specifică gravifică la refularea pompei şi la aspiraţia pompei, rezul-

tând în final:

.

S-au transformat presiunile exprimate în at în sarcini exprimate în metri coloană de

apă şi s-a ţinut seama de faptul că la aspiraţie exisă o depresiune care în relaţia (2.13)

se introduce cu semnul „-”.

2.8.6. Presiunea manometrică dintr-o anvelopă este de 8at. Presiunea atmosferică este

de 94,7kPa. Presiunea relativă nominală este de 800 kPa ±2% din valoarea nominală.

Să se precizeze dacă presiunea este corespunzătoare şi să se determine presiunea

absolută a aerului.

Răspuns: Calculând 2% din 800kPa, după efectuarea transformărilor se

obţin succesiv: pnec = 784...816 kPa; preal =785 KPa, deci se încadrează în intervalul

calculat, presiunea fiind corespunzătoare; Folosind relaţia (2.13) se obţine în final:

31

pabs= 879,5kPa.

2.8.7. Presiunea absolută dintr-o instalaţie este de 0,8 bar. Presiunea absolută a

atmosferei este de 950 mbar (milibar). Să se determine presiunea relativă în kPa şi să

se precizeze dacă aceasta este o suprapresiune sau o depresiune.

Răspuns: Presiunea relativă rezultă din relaţia (2.13) şi se ţine seama

de prefixul mili (10-3), de transformarea bar în Pa şi de prefixul kilo:

, depresiune.

2.8.8. În racordul de refulare al unui ventilator se măsoară o suprapresiune de 250 mm

col. alcool. Să se determine presiunea absolută la refularea ventilatorului.

Densitatea alcoolului se va considera ca fiind de 803kg/m3, iar presiunea atmosferică,

707 mmHg.

Răspuns: pabs= 9,62.105 Pa.

2.8.9. Să se determine forţa de frecare vâscoasă maximă între un piston plonjor

(piston fără segmenţi, etanşarea între el şi cilindru fiind realizată prin contactul foarte

strâns pe o lungime relativ mare) şi cilindrul său. Pistonul se se deplasează vertical cu

viteza de 10 cm/s.

Se cunosc: diametrul cilindrului, 50 mm; diametrul pistonului, 49,96 mm; lungimea

pistonului, 1000 mm; viscozitatea cinematică a uleiului, 43 cSt; densitatea uleiului,

790 kg/m3; forţa utilă, 1000 daN.

Răspuns: Efortul tangenţial de frecare se exercită în pelicula de ulei cu

grosimea: . Din particularizarea legii lui Newton scrisă cu

diferenţe finite: se obţine: .

2.8.10. Arborele vertical al unei maşini are, faţă de lagărul său radial, un joc

măsurat în direcţia razei, diametrul d = 200 mm şi lungimea l = 180 mm.

Uleiul folosit pentru ungere umple jocul dintre arbore şi lagăr şi are coeficientul

viscozităţii cinematice = 60 cSt şi densitatea = 827 kg/m3.

Să se determine forţa de frecare şi puterea pierdută prin frecare dacă turaţia de regim a

arborelui este n = 600 rot/min.

32

Răspuns: Forţa se obţine din ecuaţia lui Newton scrisă în diferenţe

finite. Mişcarea nu mai este de translaţie ca în problema precedentă, ci de rotaţie.

Variaţia de viteză în stratul de ulei cu grosimea este egală cu viteza tangenţială a

arborelui: în care viteza unghiulară .

Viscozitatea cinematică se va transforma în m2/s (exemplul de la U.1 şi relaţia (2.19)),

iar viscozitatea dinamică se obţine din formula de definiţie a viscozităţii cinematice

(2.18). Aria pe care se exercită forţa de frecare şi în care are loc efortul tangenţial este

aria laterală a unui cilindru cu diametrul d şi lungimea l.

Puterea mecanică pierdută prin frecare se obţine prin înmulţirea forţei de frecare

exercitată tangenţial cu viteza tangenţială a arborelui, v.

Se obţine: F = 70,52 N; P = 433 W.

2.8.11. O instalaţie de încălzire centrală trebuie să fie prevăzută obligatoriu cu un vas

de expansiune (de asemenea, instalaţia de răcire a motorului cu ardere internă).

Presupunând că nu se montează vas de expansiune, să se determine suprapresiunea ce

s-ar crea într-o instalaţie cu volumul de 100 l în care temperatura creşte de la 10 oC la

95 oC. Care este variaţia volumului lichidului din instalaţie, dacă se montează vasul de

expansiune?

Răspuns: În ecuaţia (2.30) se trece la diferenţe finite

şi se introduce .

Se obţine suprapresiunea , apoi în aceeaşi ecuaţie se consideră

şi rezultă variaţia volumului: .

33

Unitatea de învăţare 3. Ecuaţiile echilibrului static al fluidelor

Cuprins

U.3.1. Introducere..........................................................................................................35

U.3.2. Competenţele unităţii de învăţare.......................................................................35

U.3.3. Ecuaţiile lui Euler pentru echilibrul static al unui fluid ....................................36

U.3.4. Echilibrul static al unui fluid uşor......................................................................37

U.3.5. Echilibrul static al unui fluid greu şi incompresibil...........................................37

U.3.5.1. Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii.....................................................37

U.3.5.2. Interpretarea ecuaţiei fundamentale a hidrostaticii...............................38

U.3.5.3. Consecinţe deduse din ecuaţia fundamentală a hidrostaticii.................39

U.3.5.4. Aplicaţii ale legii fundamentale a hidrostaticii.......................................40


U.3.1. Introducere

În această unitate de învăţare se prezintă ecuaţiile echilibrului static

al fluidelor cu aplicaţii în domeniul măsurării presiunilor, calculul distribuţiei

presiunii pe pereţii vaselor care conţin fluide, acţionărilor hidrostatice etc.


În urma parcurgerii unităţii de învăţare studentul va fi capabil să: Cunoască semnificaţia fizică a ecuaţiilor Euler pentru echilibrul

static al fluidelor;

Cunoască rezultatul integrării ecuaţiilor Euler pentru un fluid uşor;

Cunoască ecuaţia fundamentală a hidrostaticii;

Cunoască interpretări ale ecuaţiei fundamentale a hidrostaticii

(semnificaţiile termenilor din mai multe puncte de vedere);

Cunoască unele consecinţe deduse din ecuaţia fundamentală a

hidrostaticii;

Rezolve unele aplicaţii simple: măsurarea presiunii cu ajutorul

piezometrelor, amplificarea forţelor în instalaţiile de acţionare hidrostatică.

34


U.3.3. Ecuaţiile lui Euler pentru echilibrul static al unui fluid

Statica fluidelor studiază echilibrul şi acţiunile pe care acestea le exercită asupra

corpurilor solide cu care aceste fluide aflate în repaus vin în contact.

Ecuaţiile echilibrului fluidelor se obţin din anularea rezultantei forţelor care acţionează

asupra domeniului de fluid. Dintr-un fluid în echilibru se desprinde o particulă fluidă de

formă paralelipipedică, de volum dV=dx.dy.dz şi densitate (x,y,z) (fig. 3.1). Un fluid în

repaus este acţionat de două categorii de forţe, care se echilibrează reciproc: forţele masice şi

forţele de suprafaţă.

În final, se obţin ecuaţiile generale de echilibru static (Euler):

fp

xx 1

0

; (3.1)

fp

yy 1

0

; (3.2)

fp

zz 1

0

. (3.3)

Cele trei ecuaţii cu derivate parţiale exprimă condiţiile de echilibru între forţele de

presiune şi forţele masice.

Fig. 3.1. Particula de fluid în echilibru static de forţe

35

A găsi condiţia de integrabilitate a acestui sistem înseamnă a preciza condiţiile pe care

să le îndeplinească forţa masică unitară pentru ca sub acţiunea sa fluidul să

rămână în echilibru static. Multiplicând cele trei ecuaţii prin dx, dy şi respectiv dz şi

adunându-le, rezultă:

. (3.4)

Această ecuaţie exprimă variaţia de presiune în interiorul unui fluid între două

puncte situate la distanţa infinit mică de proiecţii dx, dy, dz.

Dacă în ecuaţia (3.4) se consideră dp = 0, deoarece se obţine:

, (3.5)

Relaţia (3.5) reprezintă ecuaţia diferenţială a suprafeţelor izobare.

U.3.4. Echilibrul static al unui fluid uşor

Aşa cum s-a mai menţionat, în general, pentru instalaţiile industriale, într-un fluid uşor

(gazele respectă această ipoteză), forţele masice se pot neglija. Din ecuaţia (2.4) rezultă

succesiv:

(3.6)

Consecinţa esenţială a acestei constatări este că într-o instalaţie în care se află un

fluid uşor (de exemplu un recipient cu gaz), prizele de presiune la care se conectează

aparatele pentru măsurarea presiunii pot fi prevăzute în orice loc, deoarece aparatele

vor indica aceeaşi valoare a presiunii.

Singura condiţie este să nu existe riscul blocării orificiilor prizelor de presiune cu

lichide sau impurităţi solide.

U.3.5. Echilibrul static al unui fluid greu şi incompresibil

U.3.5.1. Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii

În acest caz al fluidelor grele incompresibile se încadrează lichidele.

Deducerea ecuaţiei

Pornind de la ecuaţia care exprimă variaţia presiunii în interiorul unui fluid între două

puncte (3.4), apoi particularizând forţele masice unitare pentru aplicaţia vizată şi integrând, se

obţine ecuaţia care exprimă relaţia dintre presiune, densitate, forţele masice unitare şi

coordonatele punctului.

36

Pentru aplicaţiile repausului absolut al unui fluid greu aflat în câmp gravitaţional

terestru, câmpul forţelor masice este constituit numai din forţa masică unitară pe axa Oz,

acţionând de sus în jos, deci în sens invers axei Oz:

; (3.7), (3.8)

Prin separarea variabilelor şi integrare nedefinită, ţinând seama de incompresibilitatea

fluidului ( ) se obţine ecuaţia fundamentală a hidrostaticii:

[m] (3.9)

Dacă notăm cu h adâncimea, şi considerând cunoscută presiunea pe suprafaţa liberă a

lichidului (p0) se poate efectua integrarea acestei ecuaţii între p0 şi p, când adâncimea variază

de la 0 la h:

[Pa]. (3.10)

S-a obţinut binecunoscuta ecuaţie a variaţiei presiunii cu adâncimea într-un lichid aflat

în repaus.

U.3.5.2. Interpretarea ecuaţiei fundamentale a hidrostaticii

Poate fi făcută în mai multe moduri.

a. Se remarcă în primul rând că din punct de vedere dimensional, termenii ecuaţiei

(3.9) sunt lungimi, în SI măsurându-se în metri.

b. Din punct de vedere geometric, termenii ecuaţiei (3.9) sunt înălţimi geometrice

măsurate faţă de un plan de referinţă . Astfel, z se numeşte înălţime geometrică

(înălţime geodezică), iar se numeşte înălţime piezometrică (înălţime de presiune).

În general, în aplicaţiile practice nu interesează presiunea absolută la suprafaţa

lichidului, ci numai presiunea manometrică. Astfel, uzual, simbolul p se foloseşte pentru

presiunea relativă într-un punct oarecare.

c. Din punct de vedere energetic, termenii ecuaţiei (3.9) sunt energii potenţiale

specifice raportate la unitatea de greutate, astfel încât ea exprimă legea conservării energiei.

Astfel, z este energie potenţială specifică de poziţie, iar este energie potenţială

specifică de presiune.

37

Însă ecuaţia fundamentală a hidrostaticii poate fi exprimată şi în alţi termeni. Astfel,

dacă termenii ecuaţiei (3.9) se înmulţesc cu acceleraţia gravitaţiei g, se obţin energii specifice

masice:

[J/kg], (3.11)

iar dacă această ecuaţie o mai înmulţim cu , se obţine ecuaţia fundamentală a hidrostaticii

exprimată în presiuni:

g z p const. [Pa]. (3.12)

U.3.5.3. Consecinţe deduse din ecuaţia fundamentală a hidrostaticii

Într-un fluid aflat în repaus, planele orizontale sunt plane izobare şi

reciproc.

Din ecuaţia fundamentală a hidrostaticii scrisă pentru două puncte din domeniul ocupat

de un fluid în repaus rezultă:

zp

gz

p

g11

22

. (3.13)

Dacă , atunci şi reciproc.

Fig. 3.2. Variaţia presiunii cuadâncimea într-un vas cu lichid şi

pernă de gaz

Fig. 3.3. Epura presiunii pe peretelelateral al unui vas cu trei lichide

nemiscibile

Presiunea creşte liniar cu adâncimea

Aceasta se observă din ecuaţia (3.10). Dacă reprezentăm distribuţia presiunii (epura

presiunii) pe peretele lateral plan vertical al unui rezervor cu un lichid (fig. 3.2) se remarcă

faptul că unghiul poate fi exprimat prin relaţia:

38

, (3.14)

unde este greutatea specifică a lichidului.

Pentru un vas în care se găsesc mai multe lichide nemiscibile, variaţia presiunii pe

pereţii laterali arată ca în figura 3.3, unde obligatoriu lichidul cu densitatea cea mai mare se

află în partea de jos a vasului.

Principiul vaselor comunicante

Dacă într-un sistem de vase comunicante (necapilare) se toarnă un acelaşi lichid, iar pe

suprafeţele libere ale coloanelor se exercită aceeaşi presiune, nivelurile în aceste vase sunt

egale.

Principiul lui Pascal (principiul transmiterii presiunii)

O variaţie de presiune produsă la suprafaţa unui lichid care nu are posibilitatea să se

deplaseze, fiind conţinut într-un vas în repaus, se transmite integral (cu aceeaşi intensitate) în

întregul domeniu ocupat de lichid.

U.3.5.4. Aplicaţii ale legii fundamentale a hidrostaticii

Ca aplicaţie a legii vaselor comunicante se menţionează piezometrele care sunt

aparate de măsură a presiunii relative bazate pe principiul ridicării sau coborârii unui lichid în

tuburi verticale sau înclinate cu un unghi bine determinat.

Piezometrele pot fi alcătuite dintr-un singur tub drept (vertical sau înclinat), dintr-un

tub îndoit în forma literei U (direct sau inversat), sau dintr-o multitudine de tuburi îndoite în

forma literei U (drepte şi inversate, înseriate – piezometru multiplu). Tuburile pot fi verticale

sau înclinate. Înclinarea tubului piezometric se poate face în scopul creşterii preciziei

măsurării deoarece operatorul citeşte o lungime mai mare ( ) decât denivelarea măsurată (

), între ele existând relaţia:

, (3.15)

unde este unghiul de înclinare al tubului piezometric faţă de direcţia orizontală.

Ca aplicaţie de acest gen se aminteşte micromanometrul cu braţ înclinat, figura 3.4

prezentând schiţa acestui aparat.

Fig. 3.4. Micromanometrul cu braţ înclinat39

Pentru adaptarea la cerinţele de precizie a măsurării, este necesar a se folosi un fluid cu

densitatea adecvată şi bine determinată. De asemenea, tuburile piezometrice nu trebuie să aibă

un diametru prea mic pentru a nu se manifesta fenomenul de capilaritate. Dacă lichidul

piezometric este altul decât fluidul de lucru, acestea nu trebuie să fie miscibile, iar densitatea

lichidului piezometric trebuie să fie adecvată (mai mare dacă el se află mai jos decât fluidul

de lucru şi mai mică în caz contrar).

Aparatele de acest tip sunt foarte simplu de realizat, dar se atrage atenţia asupra

faptului că este necesară asigurarea ca în coloanele de lichid să nu se afle bule de gaze

deoarece acestea pot cauza erori. De altfel, acest inconvenient poate interveni şi în cazul

manometrelor clasice.

Testele aplicative vor prezenta mai detaliat utilizarea acestor aparate de măsură. În

continuare se va prezenta numai algoritmul general de calcul care se foloseşte în mod uzual

pentru determinarea presiunii diferenţiale (diferenţei de presiune) cu ajutorul piezometrelor.

Se identifică punctele între care se cere determinarea diferenţei de presiune şi

se notează (simbolizează) separat.

Se parcurge traseul dintre cele două puncte, notând în ordine (de obicei cu

cifre sau litere în ordine alfabetică, de la stânga la dreapta) suprafeţele de separaţie dintre

fluidele nemiscibile.

Se alege un plan orizontal de referinţă (pentru care z 0), de obicei un plan ce

trece prin punctul situat la nivelul cel mai coborât.

Se scrie ecuaţia fundamentală a hidrostaticii în aceeaşi ordine, pentru punctele

extreme ale fiecărui fluid, presiunile putând fi absolute, însă recomandabil este a se folosi

presiunile relative. Ecuaţia poate fi scrisă în presiuni - ecuaţia (3.12) - sau sub forma clasică a

ecuaţiei (3.9), caz în care se elimină numitorii pentru a ajunge la aceeaşi formă. Se atrage

atenţia că fluidele, fiind omogene, densitatea care apare în fiecare ecuaţie este aceeaşi în

membrul drept şi stâng, dar diferită de la o ecuaţie la alta. Presiunile la suprafeţele de contact

ale fluidelor nemiscibile vor apărea alternant, în ordine, în membrul drept, respectiv stâng al

acestor ecuaţii.

Se adună ecuaţiile obţinute şi se reduc presiunile suprafeţelor de separaţie

intermediare (care apar cu acelaşi semn în membrii diferiţi ai ecuaţiei finale).

Prin separarea în membrul stâng a presiunilor din punctele între care se doreşte

determinarea presiunii diferenţiale şi eventual gruparea convenabilă a termenilor rămaşi în

membrul drept, se obţine presiunea diferenţială cerută.

40

Pentru înţelegerea acestui algoritm de calcul se va prezenta calculul presiunii

diferenţiale cu ajutorul manometrului diferenţial cu tub în formă de U inversat. În figura 3.5

se prezintă un manometru diferenţial conţinând în ramurile sale lichidul cu densitatea aflat

într-o conductă orizontală, ca fluid de închidere folosindu-se aerul cu densitatea . Se cere

presiunea diferenţială .

Se notează suprafeţele de separaţie dintre aer şi lichid cu 1 şi respectiv 2, se alege ca

plan de referinţă planul orizontal ce trece prin punctele A şi B, deci , apoi se scrie

ecuaţia fundamentală a hidrostaticii pentru cele trei zone cu fluide: apa, aer, apa, respectiv

între punctele A-1, 1-2 şi 2-B:

; (3.16)

; (3.17)

. (3.18)

Se adună cele trei ecuaţii şi se reduc presiunile suprafeţelor de separaţie:

. (3.19)

Separarea în membrul stâng a presiunii diferenţiale şi gruparea convenabilă a

termenilor din membrul drept ne conduce la relaţia:

, (3.20)

din care, prin particularizare, se obţine:

, (3.21)

Fig. 3.5. Manometru diferenţial cu tub U inversat

41

unde h este diferenţa de nivel între suprafeţele libere ale lichidului din cele două ramuri.

Dacă lichidul este de exemplu apă, densitatea ei este de aproape 1000 de ori mai mare

decât a aerului. În practică aerul se poate considera un fluid uşor, iar ecuaţia finală îmbracă

binecunoscuta formă:

. (3.22)

Aplicaţii ale principiului lui Pascal

Amplificatorul hidrostatic de forţe (cricul hidraulic, presa hidraulică, frâna hidraulică, acţionările hidrostatice)

Ca exemplu se consideră un cric hidraulic format dintr-o pompă P cu piston având aria

A1 şi randamentul mecanic , acţionată cu forţa F1 şi un cilindru hidraulic C, cu aria feţei

pistonului şi randamentul . Randamentele pompei şi respectiv cilindrului hidraulic pot

fi exprimate prin raportul între lucrul mecanic util şi lucrul mecanic consumat:

; (3.23)

, (3.24)

unde cu s-au notat deplasările pistoanelor respective. Eliminând presiunea între cele două

ecuaţii se obţine raportul de amplificare al forţelor:

. (3.25)

Se observă că raportul teoretic de amplificare dat de raportul ariilor este diminuat prin

înmulţirea cu produsul randamentelor mecanice.

C P

Fig. 3.6. Cricul hidraulic

F2F1

42

A2, mC

A1, mP

p

Acţionarea fiind dinamică şi nu statică randamentul ţine seama atât de pierderile

mecanice (pierderile prin frecări) cât şi pierderile hidraulice (pierderi datorită viscozităţii

fluidului – ulei). Acest randament se mai numeşte randament mecano-hidraulic.

Acesta este deci un transformator hidraulic de forţe care transformă energia

mecanică în energie mecanică având alţi parametrii prin intermediul energiei hidraulice de

presiune (deci energiei potenţiale) a unui fluid.

Amplificatorul hidrostatic de presiuniLa acesta, cele două pistoane au diametrele diferite fiind cuplate rigid printr-o tijă.

Cuplarea este mecanică, deci forţa pe cele două pistoane (în modul) este aceeaşi. Presiunile

diferite rezultă din faptul că aria este diferită. Acesta este deci un transformator hidraulic care

transformă energia hidraulică în energie hidraulică cu alţi parametri prin intermediul energie

mecanice.


U.3.6.1. Alegeţi răspunsurile corecte

I. Într-un recipient cu gaz, presiunea

A. este constantă

B. este liniar crescătoare cu adâncimea

C. este parabolic crescătoare cu adâncimea.

II. Un manometru poate fi conectat pentru a măsura presiunea dintr-un

rezervor cu aer:

A. obligatoriu în partea superioară a rezervorului;

B. obligatoriu la partea inferioară a rezervorului;

C. în orice parte a rezervorului, având grijă să fie vizibil şi să nu

existe pericolul pătrunderii accidentale a unui lichid în conducta

de legătură.

III. Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii:

A. exprimă principiul conservării energiei potenţiale într-un fluid

B. exprimă legea conservării materiei.

Răspuns: I A; II C; III A.

43

U.3.6.2. Un manometru diferenţial cu tub "U" cu apă are un capăt liber la

presiunea atmosferică şi celălalt conectat printr-un racord flexibil la o priză de

presiune statică executată pe o conductă cu gaz natural. Să se determine

suprapresiunea din conductă, dacă diferenţa de nivel între cele două coloane de

lichid este de 198 mm.

Răspuns: 1942 Pa = 19,42 hPa = 19,42 mbar.

U.3.6.3. Un motor hidrostatic liniar (cilindru hidraulic de forţă) primeşte

ulei la presiunea de intrare 125 bar. Diametrul cilindrului este 75 mm,

diametrul tijei pistonului este de 37 mm, iar randamentul de 92% . Pe faţa

inactivă a pistonului se exercită o contrapresiune de 5,2 at. Să se determine forţa

utilă exercitată de tija pistonului.

Răspuns: 50,3 kN.

U.3.6.4. Să se determine presiunea uleiului necesară la intrarea într-un

cilindru hidraulic cu dublu efect având diametrul pistonului 50 mm şi

diametrul tijelor 25 mm pentru a realiza o forţă utilă 1800 daN. Se va

considera un randament mecano-hidraulic de 86 % şi o contrapresiune de 5 bar

pe faţa opusă feţei active a pistonului.

Răspuns: .

U.3.6.5. Să se determine presiunea uleiului necesară într-un cilindru

hidraulic al unei autobasculante pentru a realiza o forţă utilă 2400 daN.

Diametrul pistonului (de tip plunger) este 50 mm, iar randamentul mecano-

hidraulic se consideră de 90%.

Răspuns: .

U.3.6.6. Etanşarea pompei şi a cilindrului unui cric hidraulic este realizată

cu garnituri din azbest grafitat având lăţimea s = 5 mm. Pompa are un diametrul d

= 15 mm, iar cilindrul, D = 60 mm. Se cere să se determine forţa utilă exercitată

44

de pistonul cilindrului hidraulic şi randamentul cricului hidraulic dacă se

acţionează asupra pistonului pompei cu o forţă F = 100 N. Se va considera un

coeficient de frecare între cilindri şi garnituri = 0,2.

Răspuns: Forţa utilă a pompei este:

, (3.6.6.a)

în care forţa de frecare s-a considerat repartizată pe circumferinţa garniturii şi

rezultă:

. (3.6.6.b)

De aici se obţine forţa utilă F1 şi apoi presiunea din sistem:

, (3.6.6.c)

care se foloseşte pentru determinarea forţei de frecare în garnitura cilindrului:

(3.6.6.d)

şi în final a forţei utile exercitate de pistonul cilindrului hidraulic:

. (3.6.6.e)

U.3.6.7. O instalaţie pentru testarea radiatoarelor pentru autovehicule este

dotată cu un manometru diferenţial cu mercur cu tub U în scopul determinării

căderii de presiune la curgerea apei prin radiator. Se cere să se determine această

cădere de presiune în Pa, mm coloană de mercur şi metri coloană de apă dacă se

dau cotele nivelurilor mercurului în cele două ramuri ale manometrului

diferenţial: h1=323 mm şi h2=764 mm.

Răspuns: = 54,5 kPa = 409 mmHg = 5,56 m.c.a.

45

Unitatea de învăţare 4. Forţe de acţiune ale fluidelor în repaus

asupra unor pereţi solizi

Cuprins

U.4.1. Introducere..........................................................................................................47


U.4.3. Generalităţi.........................................................................................................48

U.4.4. Forţe de presiune ale fluidelor în repaus asupra unor suprafeţe plane.............48

U.4.4.1. Ecuaţii generale........................................................................................48

U.4.4.2. Acţiunea unui fluid uşor în echilibru static pe o suprafaţă plană.............49

U.4.4.3. Acţiunea unui fluid greu în echilibru static asupra unei suprafeţe plane...49

U.4.5. Forţe de acţiune ale fluidelor în repaus asupra unor suprafeţe curbe deschise 51

U.4.5.1. Generalităţi................................................................................................51

U.4.5.2. Forţe de acţiune ale fluidelor uşoare în repaus pe suprafeţe curbe deschise

...................................................................................................................................................52

U.4.6. Forţe hidrostatice pe suprafeţe curbe închise....................................................53


U.4.1. Introducere

Calculul de rezistenţă având ca finalitate determinarea grosimii

pereţilor solizi ai rezervoarelor, conductelor etc. porneşte de la cunoaşterea forţelor

de acţiune al fluidelor asupra acestora. În această unitate de învăţare se prezintă

modul de calcul al forţelor cu care acţionează fluidele în repaus asupra pereţilor

solizi care le înconjoară.



Determine forţele de acţiune ale fluidelor uşoare în repaus asupra

suprafeţelor plane;

Determine forţele de acţiune ale fluidelor grele în repaus asupra

suprafeţelor plane;

Determine forţele de acţiune ale fluidelor uşoare în repaus asupra

unor suprafeţe curbe deschise;

Determine forţele de acţiune ale fluidelor în repaus asupra unor

46

suprafeţe curbe închise (forţe arhimedice).


Să ne reamintim...

Forţa elementară de suprafaţă care acţionează asupra unui fluid este:

,

unde este versorul normalei la suprafaţa considerată, îndreptat spre fluid.

U.4.3. Generalităţi

Într-un fluid în echilibru static, presiunea fiind o mărime scalară funcţie de punct,

acţiunea fluidului asupra unui perete solid se calculează integrând forţele elementare de

presiune date de relaţia:

, (4.1)

unde este normala la elementul de suprafaţă al peretelui orientată spre fluid.

Dacă suprafaţa este curbă oarecare, forţele elementare însumate au ca efect asupra

suprafeţei un torsor format din forţa rezultantă de presiune şi momentul în raport cu

originea sistemului de axe ales:

; (4.2)

. (4.3)

Aceste două integrale se pot calcula dacă se cunoaşte repartiţia presiunii p în fluid pe

suprafaţa S, cu ajutorul ecuaţiei de echilibru absolut sau relativ.

U.4.4. Forţe de presiune ale fluidelor în repaus asupra unor suprafeţe plane

U.4.4.1. Ecuaţii generale

Pentru o suprafaţă plană este constantă, forţele elementare de presiune sunt paralele,

deci rezultanta este o forţă normală la suprafaţa plană şi orientată de la fluid către suprafaţă.

Punctul de aplicaţie al forţei se numeşte centru de presiune, notat C. Poziţia centrului de

presiune este dată de vectorul de poziţie:

47

. (4.4)

U.4.4.2. Acţiunea unui fluid uşor în echilibru static pe o suprafaţă plană

Să ne reamintim...

Pentru un fluid uşor se poate considera presiunea ca fiind constantă

în întreg domeniul ocupat de fluid.

Se obţine forţa de presiune rezultantă:

. (4.5)

Deci rezultanta este o forţă normală pe suprafaţă, orientată dinspre fluid spre

suprafaţă şi egală în modul cu produsul dintre presiune şi aria suprafeţei plane.

Centrul de presiune se obţine din ecuaţia (4.4):

. (4.6)

Deoarece numărătorul este chiar momentul static al suprafeţei plane în raport cu

originea, centrul de presiune coincide cu centrul de greutate (centrul de masă) al

suprafeţei plane respective.

U.4.4.3. Acţiunea unui fluid greu în echilibru static asupra unei suprafeţe plane

Se alege sistemul axelor de coordonate astfel:

- axa Ox la intersecţia dintre planul suprafeţei libere a lichidului cu un plan ce conţine

suprafaţa dată;

- axa Oy la intersecţia dintre planul suprafeţei date şi un plan vertical perpendicular pe axa

Ox, (fig. 4.1). Deci axa Oy se află pe linia de cea mai mare pantă a suprafeţei date.

În figura 4.1 s-a reprezentat atât o secţiune în plan vertical cât şi o proiecţie în planul

desenului a suprafeţei date, având axa Ox răbătută.

48

Forţa de presiune a unui lichid în repaus pe o suprafaţă plană este orientată de la fluid

spre suprafaţă şi este egală, în modul, cu produsul dintre aria suprafeţei plane şi

presiunea în centrul de masă:

F n p Ap G . (4.7)

Coordonatele centrului de presiune se obţin din coordonatele centrului de masă la

care se adaugă câte o excentricitate ex, respectiv ey:

x x eC G x ; yC G yy e (4.8), (4.9)

ey y A

ey y A

xxyG

Gy

xG

G

I;

I

, (4.10), (4.11)

unde y este o modificare a nivelului planului suprafeţei libere a lichidului cu o înălţime

egală cu înălţimea piezometrică datorată presiunii relative pr (poate fi înălţare sau

coborâre după cum pr este pozitivă-suprapresiune sau negativă-depresiune).

Se disting două cazuri particulare mai importante.

Dacă suprafaţa plană dată admite o axă de simetrie verticală, aceasta se ia ca

axă Oy, momentul de inerţie centrifugal este zero, iar centrul de presiune se află pe această

Fig. 4.1. Acţiunea unui fluid greu în echilibru static asupra unei suprafeţe plane

49

axă. Epura distribuţiei presiunii în secţiunea suprafeţei plane date poate fi un trapez sau un

triunghi. Se poate demonstra că adâncimea centrului de greutate al acestei epure coincide

cu adâncimea centrului de presiune. Astfel, în cazul particular al unui stăvilar

dreptunghiular, centrul de presiune se află la o treime de bază.

Dacă suprafaţa este orizontală, presiunea este constantă, iar centrul de

presiune coincide cu centrul de greutate, la fel ca în cazul fluidelor uşoare.

Cazurile practice sunt: calculul forţei de presiune pe un stăvilar plan sau un capac plan

vertical (fig. 4.2) şi un capac plan orizontal (fig. 4.3).

U.4.5. Forţe de acţiune ale fluidelor în repaus asupra unor suprafeţe curbe

deschise

U.4.5.1. Generalităţi

Pentru un calcul mai simplu:

- torsorul format din rezultanta şi momentul se înlocuieşte cu un sistem echivalent de

trei forţe (în general neconcurente), paralel cu axele sistemului de coordonate;

- suprafaţa curbă deschisă se proiectează pe un sistem de axe, obţinându-se trei suprafeţe

plane;

- cele trei forţe de presiune şi centrele de presiune respective se obţin în modul cunoscut al

forţelor pe suprafeţe plane.

U.4.5.2. Forţe de acţiune ale fluidelor uşoare în repaus pe suprafeţe curbe

deschise

În cazul fluidelor uşoare presiunea este constantă, deci cele trei forţe de presiune se

vor calcula ca şi în cazul suprafeţelor plane.

Componentele după axele de coordonate sunt egale cu presiunea înmulţită cu

proiecţia suprafeţei pe planul normal la axa respectivă.

Fig. 4.3. Capac plan pe fundul unui rezervor

Fig. 4.2. Stăvilar dreptunghiular

50

Centrele de presiune coincid cu centrele de greutate ale proiecţiilor suprafeţei

curbe pe planele xOy, xOz, yOz.

Aplicaţiile uzuale sunt în cazul determinării grosimii pereţilor conductelor şi

rezervoarelor cu pereţi subţiri.

Pentru aceasta, se consideră două variante de exercitare a forţei de întindere a tablei

din care se confecţionează pereţii rezervorului: longitudinal şi transversal. În figurile 4.4. şi

4.5 se prezintă cele două variante.

În cazul solicitării transversale, se presupune o secţiune longitudinală, proiecţia

suprafeţei cilindrice pe un plan mediator longitudinal fiind un dreptunghi cu lungimea L şi

lăţimea D. Forţa se obţine din înmulţirea ariei suprafeţei cu presiunea:

F p L d , (4.12)

iar aria secţiunii pe care se exercită această forţă este:

A Le2 . (4.13)

Grosimea necesară a peretelui este:

ep D

a

2 . (4.14)

Pentru o solicitare longitudinală se presupune o secţiune transversală, proiecţia

suprafeţei circulare pe un plan mediator transversal fiind un disc cu diametrul D. Forţa este

dată de produsul dintre aria suprafeţei cu presiunea:

FD

p1

2

4 , (4.15)

iar aria secţiunii pe care se exercită această forţă este:

Fig.4.5. Secţiune transversală printr-un rezervor cilindric cu perete subţire

Fig. 4.4. Secţiune longitudinală printr-un rezervor cilindric cu perete

subţire

51

A D e1 . (4.16)

Grosimea necesară a peretelui:

ep D

a1 4

. (4.17)

Dintre cele două rezultate, corect este cel dat de relaţia (4.14), deoarece al doilea -

(ec. 4.17) - conduce la o subdimensionare. În final, relaţia pentru dimensionarea grosimii

pereţilor rezervoarelor este:

, (4.18)

unde k este un adaos de coroziune funcţie de materialul peretelui şi agresivitatea fluidului faţă

de el.

U.4.6. Forţe hidrostatice pe suprafeţe curbe închise

Considerăm o suprafaţă curbă închisă imersată în totalitate într-un lichid.

Forţa de presiune se poate obţine prin integrare directă pe suprafaţa închisă şi rezultă:

F g V kp . (4.19)

Forţa de presiune pe o suprafaţă curbă închisă delimitând un corp imersat într-un

fluid este egală cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp şi îndreptată vertical,

de jos în sus. Punctul ei de aplicaţie se află în centrul de greutate al volumului corpului.

După cum se ştie, acesta poartă denumirea de principiul lui Arhimede.

Se face observaţia că principiul se aplică şi în cazul gazelor, dar forţa ascensională

(portantă) este neglijabilă datorită densităţii mult mai mici a gazelor faţă de lichide.

Dacă un corp solid este scufundat parţial într-un lichid, principiul lui Arhimede

rămâne valabil. Forţa portantă în acest caz este egală cu volumul lichidului dezlocuit de corp,

aflat sub suprafaţa liberă a lichidului (imersat). Acesta se numeşte şi volum de carenă.

În cazul general, dacă un corp solid liber este introdus într-un lichid, asupra lui

acţionează două forţe:

greutatea proprie calculată prin produsul dintre greutatea specifică medie a corpului şi volumul său:

; (4.20)

forţa portantă (arhimedică) maximă determinată prin produsul dintre greutatea specifică a lichidului şi volumul corpului:

52

. (4.21)

Dacă:

, deci , corpul se scufundă;

, deci , corpul pluteşte submers (submarin);

, deci , corpul pluteşte.

În ultimul caz corpul se ridică la suprafaţa lichidului şi îşi creează un volum de carenă

mai mic decât volumul său, astfel încât să existe egalitatea:

m CV V , (4.22)

de unde se obţine volumul de carenă:

V VCm

. (4.23)

Un astfel de corp se numeşte plutitor.


U.4.7.1. Alegeţi răspunsurile corecte:I. Rezultanta forţelor elementare de presiune pe o suprafaţă plană este:

A. egală cu aria suprafeţei înmulţită cu presiunea calculată în centrul

de masă al suprafeţei şi aplicată în centrul de presiune

B. egală cu aria suprafeţei înmulţită cu presiunea calculată în centrul

de presiune şi aplicată în centrul de greutate

II. Acţiunea unui fluid uşor în repaus pe o suprafaţă plană constă

A. dintr-o forţă egală cu presiunea înmulţită cu aria suprafeţei

B. dintr-o forţă aplicată în centrul de masă al suprafeţei

III. Punctul de aplicaţie al forţei de presiune a unui fluid greu pe o suprafaţă

plană este:

A. în centrul de presiune

B. în centrul de greutate al suprafeţei plane

C. în centrul de greutate al diagramei de distribuţie a presiunii

IV. Forţa arhimedică este egală cu:

A. produsul dintre greutatea specifică a corpului şi volumul său

B. produsul dintre greutatea specifică a lichidului şi volumul corpului

C. produsul dintre densitatea corpului, acceleraţia gravitaţională şi

53

volumul corpului

Răspuns: I A; II A,B; III A,C; IV B,C.

4.7.2. Să se determine forţa de presiune exercitată de apă asupra unui

capac plan vertical care închide orificiul de formă pătrată cu latura de 30 cm al

unui rezervor. Adâncimea centrului pătratului faţă de suprafaţa liberă a lichidului

este de 1,5 m. Cât ar fi forţa de presiune dacă deasupra lichidului s-ar afla o pernă

de gaz cu presiunea de 0,2 bar ?

Răspuns: F = 1,324 kN; F = 3,124 kN.

4.7.3. Să se calculeze grosimea peretelui unei conducte din oţel cu

diametrul de 20 mm pentru a rezista la presiunea de 150 bar. Rezistenţa

admisibilă la rupere se va lua = 15 daN/mm2, iar adaosul de coroziune, 1,5

mm.

Răspuns: Aplicând relaţia (4.18) se obţine e = 2,5 mm.

54

Unitatea de învăţare 5. Ecuaţiile cinematicii şi dinamicii fluidelor

Cuprins

U.5.1. Introducere..........................................................................................................56


U.5.3. Cinematica fluidelor...........................................................................................57

U.5.3.1. Clasificarea mişcării fluidelor...................................................................57

U.5.3.2. Definirea noţiunilor generale din cinematica fluidelor..............................58

U.5.3.3. Legea continuităţii......................................................................................60

U.5.4. Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor perfecte.........................................................61


absolută a unui fluid ideal în câmp gravitaţional.....................................................................61


permanentă................................................................................................................................63

U.5.5. Teorema impulsului............................................................................................63

U.5.5.1. Teorema impulsului aplicată unui tub de curent........................................63


principiul turbinei cu acţiune....................................................................................................66

U.5.6. Mişcarea laminară a fluidelor vâscoase.............................................................68

U.5.6.1. Ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide vâscoase şi incompresibile.................68

U.5.6.2. Rezistenţe hidraulice, compunerea pierderilor de sarcină.........................69

U.5.7. Similitudinea.......................................................................................................71

U.5.8. Curgerea fluidelor vâscoase în regim laminar prin conducte forţate................72

U.5.9. Mişcarea turbulentă............................................................................................74

U.5.10. Test de autoevaluare a cunoştinţelor................................................................76

U.5.1. Introducere

Unitatea de învăţare prezintă ecuaţiile cinematicii şi dinamicii

fluidelor reale pentru cazuri particulare care modelează suficient de corect unele

aplicaţii practice. Sunt avute în vedere două modele: modelul fluidului ideal în

care nu există forţe de frecare şi modelul fluidului real. Se insistă asupra

interpretării fizice a ecuaţiilor obţinute.

55



Cunoască clasificarea mişcării fluidelor;

Cunoască noţiunile linie de curent, tub de curent, debit, viteză

medie;

Aplice corect legea continuităţii pentru un tub de curent în cazurile:

fluid compresibil sau incompresibil;

Cunoască ecuaţia lui Bernoulli pe o linie de curent şi un tub de

curent, pentru mişcarea permanentă şi absolută a unui fluid incompresibil în câmp

gravitaţional şi interpretarea ei din punct de vedere dimensional, geometric şi

energetic;

Cunoască forma de aplicare a teoremei impulsului pentru un tub de

curent, cu aplicaţie la turbina cu acţiune;

Înţeleagă principiul de studiu al mişcărilor fluidelor pe baza

similitudinii şi să cunoască semnificaţia fizică a criteriului Reynolds;

Înţelegerea fenomenelor care au loc la curgerea fluidelor vâscoase

în regim laminar şi turbulent în conducte forţate;

Cunoască modul de calcul al pierderilor de sarcină în instalaţiile

hidraulice.


U.5.3. Cinematica fluidelor

Cinematica este un capitol al mecanicii fluidelor care cuprinde studiul mişcării

fluidelor fără a se ţine seama de forţele care o determină şi de transformările energetice

produse.

U.5.3.1. Clasificarea mişcării fluidelor

Pentru studiul teoretic al aplicaţiilor practice este necesară clasificarea mişcării

fluidelor în funcţie de anumite criterii. Mişcările se pot clasifica:

după forma generală a mişcării:

curenţi (de ex. mişcările dirijate prin canale şi conducte),

oscilaţii (de exemplu mişcarea valurilor) şi

56

perturbaţii (de exemplu şocul hidraulic denumit şi lovitura de berbec);

după limitele domeniului în care are loc mişcarea:

curgeri forţate (conducte sub presiune),

curenţi cu suprafaţă liberă (canale, râuri),

jeturi de fluid formate în alt fluid şi

curenţi formaţi în jurul unei suprafeţe curbe închise solide;

după desfăşurarea în spaţiu a mişcării:

unidirecţională,

bidimensională (mişcare plană) şi

tridimensională;

după desfăşurarea în timp a mişcării: staţionare (permanente) -mărimile

care caracterizează mişcarea nu sunt funcţii de timp - şi nestaţionare (nepermanente);

din punct de vedere al structurii fizice a mişcării: laminară şi turbulentă.

U.5.3.2. Definirea noţiunilor generale din cinematica fluidelor

Linia de curent este curba care, urmărind direcţia de curgere, este tangentă la

vectorii viteză ai particulelor care, la un moment dat, coincid cu punctele de pe acea

linie.

Linia de curent nu este, în general, identică cu traiectoria unei particule. În figura 5.1.

se arată o linie de curent care trece printr-un punct dat A0. Ea îşi schimbă în general poziţia

de la un moment la altul. Dacă mişcarea este permanentă, linia de curent coincide cu

traiectoria.

Ecuaţiile scalare ale liniei de curent sunt:

, (5.1)

Fig. 5.1. Linie de curent

57

rezultate din ecuaţia vectorială care exprimă coliniaritatea vectorilor v şi

. (5.2)

Totalitatea liniilor de curent care se sprijină pe o curbă închisă determină un tub de

curent (fig. 5.2). Dacă secţiunea tubului de curent se reduce la un element foarte mic, tubul se

reduce la un fir de curent.

Deşi firul de curent se reprezintă printr-o linie ca şi linia de curent, există între cele

două noţiuni deosebirea că, pe când linia de curent este o noţiune geometrică abstractă,

nematerială, firul de curent reprezintă materializarea liniei de curent, el conţinând materia

aflată în acel tub de curent elementar. Firele de curent pot fi vizualizate uneori introducând o

materie colorată prin injectoare foarte fine în masa fluidului.

Dacă în masa unui fluid în mişcare se consideră o suprafaţă pe care se trasează o curbă

închisă, se numeşte flux, cantitatea de materie (măsurată volumetric) care trece în

unitatea de timp prin aria limitată de acea curbă.

Fluidul din interior constituire curentul de fluid.

Secţiunea transversală a tubului de curent este o secţiune ortogonală (normală sau

vie) dacă este ortogonală la toate liniile de curent ce o traversează. Dacă secţiunea ortogonală

este plană, ea se numeşte secţiune dreaptă.

În hidraulică fluxul poartă denumirea de debit volumic, şi se notează cu Q pe când

denumirea de flux este rezervată mai mult unei noţiuni generale.

Debitul volumic are dimensiunile l3.t-1 şi se măsoară în m3/s. Se mai utilizează litrul pe

minut:

. (5.3)

Fig. 5.2. Tub de curent

58

Dacă se înmulţeşte debitul volumic cu densitatea sau cu greutatea specifică, se obţin

debitul masic şi respectiv debitul gravific:

; (5.4), (5.5)

Viteza medie dintr-un tub de curent este definită ca fiind debitul curentului împărţit la

aria secţiunii drepte:

. (5.6)

Această mărime este utilizată în problemele de curgere prin conducte şi canale.

U.5.3.3. Legea continuităţii

Legea continuităţii exprimă principiul conservării materiei şi totodată al continuităţii,

adică al neexistenţei unor spaţii lipsite de materie într-o masă fluidă în mişcare.

Pentru a stabili ecuaţia de continuitate se consideră o suprafaţă arbitrară fixă care

închide în interiorul ei un volum constant şi se exprimă că diferenţa dintre masa de fluid care

intră în acea suprafaţă şi care iese din acea suprafaţă este egală cu masa de fluid acumulat în

interiorul suprafeţei într-un timp determinat.

Pentru un tub de curent se obţine următoarea ecuaţie diferenţială:

. (5.7)

Creşterea debitului masic de-a lungul unui tub de curent este compensată prin scăderea

densităţii şi ariei tubului de curent în timp.

Cazurile particulare mai interesante sunt:

mişcare staţionară (permanentă):

(5.8)

adică debitul masic este constant de-a lungul tubului de curent;

mişcare staţionară şi fluid incompresibil:

A

t

Av

sAv Q 0 0 şi const. const. const., (5.9)

adică debitul volumic este constant de-a lungul tubului de curent.

U.5.4. Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor perfecte

59


absolută a unui fluid ideal în câmp gravitaţional

Ecuaţia lui Bernoulli, aplicată pe o linie de curent, pentru mişcarea permanentă a unui

fluid ideal în câmp gravitaţional se poate exprima sub forma:

zp

g

v

g

2

2const., (5.10)

iar între două puncte ale unei linii de curent se obţine:

zp

g

v

gz

p

g

v

g11 1

2

22 2

2

2 2

. (5.11)

Din punct de vedere dimensional, termenii ecuaţiilor (5.10) şi (5.11) sunt

lungimi, în Sistemul Internaţional având unitatea de măsură metru.

Din punct de vedere geometric sunt nişte înălţimi, având următoarele

denumiri:

z - înălţime de poziţie sau cotă geodezică (geometrică) şi

reprezintă cota punctului considerat faţă de un plan orizontal de referinţă, arbitrar

ales;

- înălţime de presiune sau piezometrică şi reprezintă

înălţimea unei coloane de fluid care, prin greutatea sa, produce în punctul considerat

o aceeaşi presiune p; dacă presiunea p este exprimată în scară relativă, înălţimea de

presiune corespunde distanţei măsurate pe verticală dintre punct şi nivelul lichidului

dintr-un tub piezometric al cărui orificiu din fluid este tangent vitezei locale (şi deci

liniei de curent);

- cotă piezometrică, a cărei variaţie în lungul mişcării

este indicată de linia piezometrică LP (fig. 5.3);

- înălţime cinetică;

- cotă energetică sau sarcină hidrodinamică, a

cărei conservare în lungul mişcării este indicată de nivelul energetic NE; la lichide,

vizualizarea acestei linii se poate face cu tuburi piezometrice al căror capăt este

60

curbat în forma literei L, astfel încât planul orificiului ciocului sondei să fie normal

vitezei locale (fig. 5.3).

În figura 5.3. se reprezintă grafic ecuaţia de conservare a energiei unui fluid ideal pe o

linie de curent.

Din punct de vedere energetic, termenii ecuaţiilor (5.10) şi (5.11) reprezintă

nişte energii specifice pe unitatea de greutate:

z - energia specifică potenţială de poziţie;

- energia specifică potenţială de presiune;

- energia specifică potenţială;

- energie specifică cinetică;

- energie specifică totală, compusă deci din energia

potenţială şi cinetică.

În terminologia curentă, energia specifică pe unitatea de greutate se numeşte şi

sarcină. Linia de sarcină piezometrică (LP) are ca înălţime cota piezometrică, iar linia de

sarcină energetică totală (sarcina hidrodinamică totală - LE sau nivel energetic - NE) este

dată de cota energetică.

Astfel, se poate da o formulare energetică a ecuaţiei lui Bernoulli.

În mişcarea permanentă a unui fluid perfect (incompresibil şi lipsit de vâscozitate)

aflat în câmp de forţe masice gravitaţionale, suma energiei cinetice specifice, energiei

potenţiale de presiune specifice şi energiei potenţiale de poziţie specifice rămâne constantă

pe aceeaşi linie de curent.

Dacă înmulţim termenii ecuaţiilor (5.10) şi (5.11) cu g :

Fig. 5.3. Reprezentarea ecuaţiei lui Bernoulli

61

gz pv

2

2const.; (5.12)

gz pv

gz pv

1 112

2 222

2 2 , (5.13)

atunci termenii reprezintă nişte presiuni:

p - presiune statică;

v2

2 - presiune dinamică;

pv

2

2 - presiune totală.


permanentă

Se fac următoarele ipoteze: tubul de curent pentru care dorim să extindem teorema lui

Bernoulli prezentată mai sus este drept sau foarte puţin curbat, astfel încât efectul centrifugării

să nu conducă la o variaţie de presiune pe secţiunea curentului; secţiunea lui este neglijabilă

în raport cu variaţiile cotei geodezice.

Se va utiliza pentru viteză valoarea vitezei medii, introducând pentru termenul energie

cinetică un coeficient de corecţie, astfel încât să se folosească aceeaşi formă a ecuaţiei:

zp

g

v

g

2

2const. (5.14)

Acesta poartă numele de coeficientul lui Coriolis. Valoarea lui este cuprinsă în general

între 1,05 şi 1,1 pentru mişcarea turbulentă, iar pentru mişcarea laminară = 2.

U.5.5. Teorema impulsului

U.5.5.1. Teorema impulsului aplicată unui tub de curent

Se consideră tubul de curent din figura 5.4 şi masa de fluid cuprinsă în volumul de

control mărginit de suprafaţa de control formată din cele două suprafeţe S1 şi S2 şi de peretele

tubului de curent cuprins între S1 şi S2.. Fluidul este considerat incompresibil, iar mişcarea

este staţionară.

62

Deoarece viteza nu prezintă o distribuţie uniformă pe secţiunea tubului de curent, s-a

propus utilizarea unui coeficient de corecţie astfel încât să se poată efectua calculul

impulsului cu ajutorul vitezei medii. Coeficientul pentru corecţia impulsului se numeşte

coeficientul Boussinesq şi se notează cu . Impulsul într-o secţiune a unui tub de curent poate

fi calculat cu relaţia:

I v A v Q v . (5.15)

Teorema impulsului pentru un tub de curent, ţinând seama de ipotezele anterioare se

enunţă astfel: variaţia impulsului este egală cu suma forţelor exterioare care acţionează

asupra fluidului şi se exprimă prin ecuaţia:

, (5.16)

unde cu v2 şi v1 s-au notat vitezele medii pe secţiunile de intrare şi ieşire ale tubului de

curent.

Suma forţelor exterioare care acţionează asupra masei de fluid poate fi explicitată

astfel:

. (5.17)

Forţele de presiune pe suprafeţele secţiunilor de intrare şi ieşire ale tubului de

curent (Fp1 şi Fp2 ) sunt forţele cu care fluidul din exteriorul suprafeţei de control

acţionează asupra fluidului din interiorul acesteia. Acestea se pot calcula cu ajutorul

ecuaţiilor cunoscute:

Fig. 5.4. Vectorii ce intervin în teorema impulsului pentru un tub

de curent

63

F p A F p Ap p1 1 1 2 2 2 ; . (5.18, 5.19)

Se observă că forţele de presiune pe suprafaţa laterală a tubului de curent se anulează

reciproc.

Forţa de reacţiune (FR) a peretelui tubului de curent ce face parte din

suprafaţa de control, asupra fluidului din interiorul volumului de control este de obicei

necunoscuta problemei.

Forţa de greutate (forţa masică) a fluidului din interiorul volumului de

control, (FG) se determină lesne din ecuaţiile cunoscute.

Forţa de frecare Ff este practic imposibil de calculat cu precizie. De ea se ţine

seama prin introducerea unor coeficienţi de corecţie obţinuţi experimental.

Conform principiului acţiunii şi reacţiunii din mecanică, forţa de reacţiune este egală

în modul dar de sens contrar cu forţa de acţiune:

. (5.20)

În majoritatea aplicaţiilor practice este important să se determine forţa de acţiune

dinamică a fluidului asupra unor suprafeţe solide cu care acesta vine în contact. Astfel, forţa

de acţiune va fi necunoscuta, iar forţa de frecare este neglijată într-un prim calcul. Cu acestea,

forma practică a teoremei impulsului pentru un tub de curent este:

F I I F F FA p p G 1 2 1 2 . (5.21)

Având în vedere că ecuaţia (5.21) este vectorială, metoda analitică presupune alegerea

unui sistem de axe arbitrar pe care se proiectează relaţiile respective. Se obţin astfel valorile

componentelor după axele sistemului.

Se poate aprecia că tipurile de aplicaţii practice ale relaţiei (5.21) pot fi împărţite în trei

categorii.

Valoarea parametrilor hidrodinamici rămâne constantă, variind între

secţiunea de intrare şi ieşire numai direcţia şi sensul lor. Este reprezentat de cazul tehnic

al coturilor de conducte cu diametrul constant cu orice unghi la centru, ca şi cazul

jeturilor compacte ce lovesc o suprafaţă solidă.

Valoarea parametrilor hidrodinamici se schimbă între secţiunea de intrare şi

ieşire, direcţia şi sensul lor rămânând acelaşi. Este reprezentat de cazul tehnic al

îngustărilor şi lărgirilor de conducte unidirecţionale, ajutaje, etc.

Atât valoarea cât şi direcţia şi sensul parametrilor hidrodinamici se modifică

între secţiunea de intrare şi secţiunea de ieşire. Este reprezentat de cazul tehnic al

ramificaţiilor sau al coturilor cu schimbare de secţiune.

64

În cazul unui sistem cu mai multe ramificaţii de intrare şi ieşire, relaţia (5.21) devine:

, (5.22)

unde n este numărul secţiunilor de intrare, iar m este numărul secţiunilor de ieşire.


principiul turbinei cu acţiune

Presupunem un jet de secţiune circulară care loveşte perpendicular o placă plană cu

diametrul mult mai mare decât diametrul jetului, astfel încât devierea jetului să fie completă

la 90o. Jetul, creat de un ajutaj, se dezvoltă liber în mediul ambiant până la impactul cu placa,

deci forţele de presiune distribuite în exteriorul jetului se echilibrează reciproc. Se neglijează

forţele de frecare şi greutatea jetului. Se notează viteza absolută a jetului cu c, iar viteza

relativă a jetului faţă de placă cu w. În primă aproximaţie se consideră placa în repaus faţă de

ajutaj. Alegând convenabil suprafaţa de control, astfel încât să înconjoare zona de impact

(fig.5.5), şi un sistem de axe cu axa Ox în direcţia şi sensul jetului şi axa Oy în planul plăcii,

se poate proiecta ecuaţia de echilibru dinamic după cum urmează:

(5.23, 5.24)

Deoarece debitul jetului deviat este repartizat uniform (impactul este perpendicular),

impulsul în secţiunea de ieşire este nul. Forţa de acţiune este dirijată în lungul jetului,

perpendicular pe placă, având valoarea:

. (5.25)

Se defineşte un coeficient de formă C ca fiind raportul dintre forţa de impact cu

profilul plăcii şi forţa de impact ideală dată de produsul dintre presiunea dinamică şi aria

Fig. 5.5. Placă plană mare acţionată de un jet de fluid

65

secţiunii drepte a jetului:

. (5.26)

Comparând relaţiile (5.25) şi (5.26) se obţine:

. (5.27)

Pentru cazul unei cupe duble care deviază jetul de fluid cu mai mult de 90o, forţa de

acţiune dinamică se măreşte cu o cantitate egală cu proiecţia pe axa Ox a impulsului la ieşire

(fig. 5.6).

Rezultă:

(5.28, 5.29)

Considerând placa plană în repaus, se obţine în final:

F A cA 2 1 cos . (5.30)

Coeficientul de formă este:

. (5.31)

Pentru cazul în care jetul de fluid este întors complet ( = 180o), C are valoarea 4 deci,

din punct de vedere teoretic, acest profil este de două ori mai eficient decât placa plană.

În sfârşit, să luăm în consideraţie cazul unei cupe duble montată pe periferia unui rotor

aflat în mişcare de rotaţie. Este cazul schematizat al turbinei cu acţiune (Pelton). Viteza

tangenţială medie a plăcii se notează cu u (fig. 5.6).

Rezultă că viteza relativă a cupei este:

w c u . (5.32)

Înlocuind această expresie în ecuaţia (5.28), se obţine pentru forţa teoretică de acţiune

dinamică asupra cupei de turbină Pelton:

Fig. 5.6. Cupă de turbină Pelton

66

F Q c u A c c uA 1 1cos cos . (5.33)

Din construcţie, unghiul este de circa 5..7o, astfel încât jetul care părăseşte o cupă să

nu lovească extradosul cupei alăturate.

Se calculează randamentul acestei acţionări şi se obţine:

t

u

c

P

P

Q c u u

Qc c

c u u

1

2

212 2

coscos

. (5.34)

Viteza jetului este determinată, din punct de vedere teoretic, de înălţimea de cădere a

apei (nivelul apei la baraj), deci viteza tangenţială a roţii, u, este de fapt singura variabilă a

acestei funcţii. Se doreşte maximizarea randamentului acestei acţionări, ceea ce se poate

obţine prin anularea derivatei acestei funcţii în raport cu variabila u. Se obţine în final:

uc

2

. (5.35)

Rezultatul este valabil pentru orice turbină cu acţiune, de exemplu turbinele folosite

în agregatele folosite la supraalimentarea motoarelor. Aceasta conduce la faptul că o

funcţionare economică va fi obţinută numai într-un anumit interval destul de îngust al

turaţiei agregatului. Acesta este un motiv pentru care intrarea în funcţiune a turbinei nu se

realizează la orice sarcină.

Randamentul teoretic maxim este:

t ,max cos 1

21 . (5.36)

Se observă că pentru = 0 s-ar putea obţine un randament teoretic egal cu 1. În

realitate însă, transformările energetice sunt departe de a se realiza cu astfel de valori ale ran-

damentului, forţele de frecare conducând la pierderi însemnate.

U.5.6. Mişcarea laminară a fluidelor vâscoase

U.5.6.1. Ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide vâscoase şi incompresibile

În cazul fluidelor vâscoase, mai apar forţele masice de frecare.

Integrând pe o linie de curent între două puncte 1 şi 2 în câmp gravitaţional pentru un

fluid incompresibil aflat în regim de curgere permanent se obţine:

. (5.37)

Ultimul termen din membrul al doilea este lucrul mecanic specific al forţelor de

frecare vâscoasă şi rezultă ca o pierdere energetică specifică pe unitatea de greutate necesară

67

învingerii frecărilor vâscoase. Se notează de obicei cu hp.

Sintetizând, ecuaţia (5.37), se poate scrie:

, (5.38)

unde e1 reprezintă energia specifică intrată, iar e2 reprezintă energia specifică ieşită, mai mică

decât energia specifică intrată cu pierderile specifice de sarcină hp. Lucrul mecanic al forţelor

de frecare vâscoasă se transformă în căldură, dar aceasta nu poate fi determinată printr-o

măsurare a căderii de temperatură utilizând ecuaţia calorimetrică, deoarece pe de o parte ea

este foarte mică şi pe de altă parte curgerea este izotermă.

În figura 5.7 se reprezintă grafic ecuaţia energiei. Se remarcă aceleaşi linii ca în

reprezentarea grafică a ecuaţiei energiei pentru fluide ideale. Totuşi, spre deosebire de

aceasta, linia energetică nu coincide cu nivelul energetic, este continuu scăzătoare şi plasată

totdeauna sub nivelul energetic de la intrare. Semnificaţia termenilor similari cu cei din

ecuaţia energiei pentru un fluid ideal este aceeaşi.

În cazul aplicării ecuaţiei lui Bernoulli la un tub de curent intervine, ca şi în cazul

fluidelor ideale, coeficientul Coriolis:

. (5.39)

U.5.6.2. Rezistenţe hidraulice, compunerea pierderilor de sarcină

Pentru a aplica relaţia lui Bernoulli în calculele practice ale curenţilor de fluide reale,

vâscoase, este necesar să avem la dispoziţie metodele pentru stabilirea cantitativă a pierderilor

de sarcină, termenul hp.

Pierderile de energie pentru învingerea rezistenţelor hidraulice se compun din:

pierderi de energie locale, denumite după numele rezistenţei locale în care iau

naştere (ventil, robinet, cot, variaţie a secţiunii, etc.);

pierderi de energie proporţionale cu lungimea porţiunilor de curent numite

pierderi liniare.

Principiul compunerii pierderilor de sarcină constă în aceea că fiecare rezistenţă ia

naştere în mod complet şi independent de acţiunea rezistenţelor învecinate.

Conform acestui principiu, pierderea de sarcină totală este considerată ca suma

aritmetică a pierderilor de sarcină provocate de fiecare rezistenţă în parte. Astfel, se poate

scrie ecuaţia:

68

h h hp tot p lin p loc, , , , (5.40)

S-a convenit ca pierderile de sarcină să se raporteze la energia cinetică, adică se admite

că:

hv

gp 2

2, (5.41)

unde (litera grecească dzeta) este un coeficient de rezistenţă ce depinde de regimul de

curgere şi tipul rezistenţei.

Pentru rezistenţele locale se foloseşte coeficientul corespunzător, dependent de

natura rezistenţei locale (cot, ramificaţie, ventil etc.) şi de regimul de curgere.

Coeficientul de rezistenţă al pierderilor liniare este:

linh

l

d , (5.42)

în care l este lungimea conductei, dh este diametrul hidraulic echivalent al conductei, iar este

coeficientul pierderilor liniare (coeficientul lui Darçy).

Se defineşte raza hidraulică a unei conducte ca fiind raportul dintre aria secţiunii

drepte raportată la perimetrul umezit:

. (5.43)

Diametrul hidraulic echivalent este egal cu patru raze hidraulice, deci:

. (5.44)

În cazul unei conducte cilindrice cu diametrul d, diametrul hidraulic echivalent rezultă:

. (5.45)

În cazul unei conducte de formă dreptunghiulară cu laturile a şi b rezultă:

da b

a b

a b

a bh

4

2

2. (5.46)

69

Atât coeficientul pierderilor locale de sarcină, cât şi coeficientul pierderilor

liniare de sarcină depind de regimul de curgere.

U.5.7. Similitudinea

Scopul acestei teorii este de a aplica pe scară mare rezultatele obţinute pe un

model (machetă) realizat la o scară convenabil aleasă pentru ca măsurătorile să poată fi

efectuate cu precizie suficientă.

Se disting patru tipuri fundamentale de similitudine: statică, dinamică, termică, şi

termodinamică. Pentru mecanica fluidelor ne interesează similitudinea dinamică: mişcările în

cazul modelului şi al originalului sunt absolut identice din punct de vedere dinamic, dacă

ambele sunt similare în întregime din punct de vedere geometric, al desfăşurării în timp şi al

forţelor care acţionează.

Similitudinea geometrică presupune că modelul şi originalul (maşină, instalaţie,

construcţie sau un simplu fenomen de curgere) trebuie să aibă un raport constant al lungimilor

l de pe model şi lo de pe original. Raportul de proporţionalitate se numeşte scară

Similitudinea cinematică presupune că intervine şi scara timpului. Fizic, aceasta

înseamnă că fenomenele sunt similare din punct de vedere geometric şi al desfăşurării în timp.

Mărimile cinematice analoage trebuie să admită rapoarte constante care sunt scările acelor

mărimi. De exemplu, scara vitezelor liniare este:

Similitudinea dinamică presupune că pe lângă cele două tipuri de similitudine de mai

sus intervine şi scara forţelor.

Cu ajutorul acestor rapoarte se pot obţine diferite relaţii adimensionale între mărimile

semnificative ale unui fenomen pentru model şi original. Aceste rapoarte se numesc criterii

de similitudine.

Fig. 5.7. Reprezentarea grafică a ecuaţiei energiei pentru curgerea laminară a unui fluid vâscos

70

Aplicarea teoriei similitudinii se bazează pe o lege fundamentală enunţată de Newton:

fenomenele similare au criteriile de similitudine identice.

Cel mai des folosit criteriu de similitudine în mecanica fluidelor este criteriul

Reynolds.

Criteriul Reynolds arată asemănarea dintre forţele de inerţie şi forţele de frecare

vâscoasă şi se calculează cu expresia:

. (5.47)

Substituind raportul cu viscozitatea cinematică , se obţine o altă formă de

exprimare a criteriului Reynolds:

. (5.48)

În această ecuaţie l reprezintă dimensiunea caracteristică a fenomenului. Pentru

curgerea prin conducte sau canale, această dimensiune caracteristică este diametrul

hidraulic echivalent.

Similitudinea de tip Reynolds se utilizează atunci când efectul vâscozităţii are o

pondere însemnată. Astfel, la mişcările laminare permanente în conducte forţate (sub

presiune) se realizează o similitudine hidrodinamică foarte bună dacă există similitudine

geometrică, cinematică şi criteriul Re acelaşi.

U.5.8. Curgerea fluidelor vâscoase în regim laminar prin conducte forţate

În primul rând se va obţine legea de distribuţie a vitezei în secţiunea normală a unei

conducte circulare.

Se consideră o conductă circulară dreaptă, aşezată orizontal şi având raza R, în care are

loc mişcarea permanentă în regim laminar a unui fluid viscos newtonian şi incompresibil.

În ipoteza fluidelor ideale, în această conductă distribuţia de viteze pe secţiunea

normală ar fi uniformă, vitezele fiind egale în toate punctele secţiunii. Dacă se ia în

considerare viscozitatea, datorită adeziunii, se poate face ipoteza că viteza pe peretele

conductei este egală cu zero (o condiţie la limită), iar în axa conductei este maximă.

Se obţine viteza la raza r sub forma:

. (5.49)

71

unde p1 şi p2 sunt presiunile statice ale fluidului cu viscozitatea cinematică , la capetele

porţiunii de conductă având lungimea l.

În funcţie de aceasta, viteza într-un punct oarecare situat la raza r este:

, (5.50)

sau:

. (5.51)

Se observă că raportul dintre viteza într-un punct şi viteza maximă din aceeaşi secţiune

dreaptă a conductei circulare nu depinde de natura fluidului sau de diametrul conductei, ci

numai de raportul r/R, adică de poziţia relativă faţă de axa conductei.

Se demonstrează că viteza medie este media aritmetică dintre viteza maximă şi viteza

minimă care are valoarea zero):

, (5.52)

Coeficientul pierderilor liniare pentru regimul laminar de mişcare este dependent

numai de criteriul Reynolds.

. (5.53)

Relaţia se utilizează pentru apă sau aer în curgere laminară. Pentru ulei în conductele

flexibile ale instalaţiilor hidraulice se recomandă ca în calculele de proiectare să se utilizeze o

relaţie mai acoperitoare:

. (5.54)

Fig. 5.8. Modelul pentru determinarea distribuţiei vitezei într-o conductă circulară

72

U.5.9. Mişcarea turbulentă

Existenţa, din punct de vedere al structurii fizice a curgerii, a două tipuri de mişcări

(regimuri), laminare şi turbulente a fost pusă pentru prima oară în evidenţă de către fizicianul

englez O. Reynolds în anul 1883. Până la această dată, se considera că regimul de mişcare

laminar sau regimul Hagen-Poiseuille (după numele celor care au studiat-o pentru prima oară

mai amănunţit) este singurul gen de mişcare existent. Mişcarea turbulentă este cea mai

răspândită în natură şi în tehnică.

Printr-o serie de experienţe făcute cu diferite lichide, cu tuburi de diametre diferite şi

variind vitezele lichidelor, Reynolds a demonstrat că natura regimului de mişcare depinde de

viteza medie, diametru şi viscozitate.

Trecerea mişcării din regim laminar în regim turbulent depinde de valoarea numărului

Reynolds al mişcării:

. (5.55)

În subcapitolul 5.5 s-a dat şi semnificaţia fizică a acestui criteriu de similitudine. Când

acest număr întrece o anumită valoare "critică", care în cazul unei conducte cilindrice

circulare este , mişcarea trece din laminară în turbulentă. Aceasta reprezintă

valoarea critică inferioară sub care nu poate exista în mod normal mişcare turbulentă, dar

regimul laminar se poate menţine uneori şi pentru valori mai mari în instalaţii speciale, unde

se evită vibraţiile.

Mişcarea turbulentă este structural deosebită de mişcarea laminară prin aceea că:

nu se mai produce mişcarea în straturi paralele, iar traiectoriile particulelor se

încrucişează, se împletesc;

viteza într-un punct din spaţiul ocupat de fluidul în mişcare permanentă are un

caracter oscilant în jurul unei valori medii temporale (caracter pulsatoriu al vitezei);

pierderea de sarcină de la un punct la altul al unei conducte sau canal care

transportă fluidul este mult mai mare decât în mişcarea laminară, deci forţele de frecare

sunt mai mari.

Se constată că în apropierea peretelui, amestecul încetează. Măsurători de precizie au

arătat existenţa certă a unui strat laminar în imediata vecinătate a peretelui. Grosimea stratului

laminar, , depinde de numărul Re, diametrul conductei, d şi coeficientul pierderilor liniare,

putând avea grosimi cuprinse între fracţiuni de milimetru şi fracţiuni de centimetru.

În mişcarea laminară a unui fluid, natura mişcării şi pierderile de sarcină nu depind de

proprietăţile suprafeţei interioare a pereţilor. Aceasta se vede din faptul că în regim laminar,

73

coeficientul pierderilor liniare este funcţie numai de numărul Re ( = 64/Re).

Proprietăţile suprafeţei interioare a pereţilor (rugozitatea pereţilor) depind de

materialul pereţilor şi felul în care au fost executaţi. Rugozitatea este înălţimea medie a

asperităţilor pereţilor care se notează cu k. Se mai defineşte rugozitatea relativă

(adimensională) exprimată prin următoarea relaţie:

. (5.56)

Astfel, din punct de vedere al naturii pereţilor, mişcările turbulente vor avea

caractere diferite, dependente de intensitatea amestecului turbulent şi se vor clasa în

mişcări turbulente netede, de tranziţie şi deplin dezvoltate (rugoase).

Ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide vâscoase în mişcare turbulentă, are aceeaşi formă cu

cea pentru mişcarea laminară. Pierderile hidraulice sunt însă mai mari deoarece apare un lucru

mecanic al forţelor de turbulenţă:

, (5.57)

Datorită procesului de schimb de cantitate de mişcare între straturile de fluid

învecinate, are loc o tendinţă de uniformizare a vitezelor pe secţiunea unei conducte sau canal,

la curgerea unui fluid în regim turbulent. Cu cât numărul Reynolds este mai mare, este

evident că mişcarea particulelor între straturi este mai intensă şi curba vitezelor mai aplatizată.

În practică s-a propus o distribuţie exponenţială a vitezelor, care depinde de numărul

Reynolds.

Pentru viteza medie se obţine ecuaţia:

vv

n nmed

2

1 2max . (5.58)

Din experienţe rezultă valorile lui n în funcţie de numărul Reynolds, acestea fiind

prezentate în tabelul 5.2.

Tabelul 5.2. Variaţia lui n în mişcarea turbulentăRe 4.103 2.3.104 1,1.105 1,1.106 3,2.106

n 1/6 1/6,6 1/7 1/8,8 1/10vmax/vmed 1,264 1,239 1,224 1,177 1,155vmed/vmax 0,791 0,807 0,817 0,8496 0,8658

74

De asemenea, în cazul regimului de curgere turbulent legea de distribuţie a vitezei în

secţiunea transversală a conductei circulare se poate determina cu relaţia lui Altşul [17]:

, (5.59)

unde este coeficientul pierderilor liniare de sarcină (al cărui calcul pentru regimul de

curgere turbulent va fi prezentat în capitolul următor), - viteza la raza curentă , iar d –

diametrul interior al conductei.

Viteza medie se obţine din relaţia de definiţie a ei:

, (5.60)

unde este debitul volumic. După integrare, rezultă în final:

. (5.61)


U.5.10.1. Să se aleagă răspunsurile corecte:

I. Linia de curent este:

A. tangentă la vectorul viteză al particulelor de fluid;

B. perpendiculară pe vectorul viteză al particulelor de fluid.

II. Debitul volumic respectiv debitul masic al fluidelor se măsoară în:

A. m3/s; kg/s;

B. m2/s; N/s;

C. kg/s; m3/s.

III. Debitul volumic (produsul dintre aria secţiunii de curgere înmulţită cu

viteza medie) este constant de-a lungul tubului de curent pentru:

A. fluid compresibil;

B. fluid incompresibil.

IV. Termenii ecuaţiei lui Bernoulli au semnificaţia:

A. energii specifice gravifice;

B. sarcini hidraulice.

V. Viteza periferică optimă a unei roţi de turbină Pelton este:

A. 1/2 din viteza jetului;

75

B. 1/4 din viteza jetului.

Răspunsuri: I A; II A; III B; IV A,B; V A.

5.10.2. Apa, având un debit de 2 l/s curge printr-o conductă cu diametrul

de 32 mm, urmată de o creştere de secţiune la diametrul de 40 mm. Să se

determine debitul masic şi vitezele de curgere a apei în cele două tronsoane.

Răspuns: qm = 2 kg/s; ; v2 = 1,592 m/s.

5.10.3. Cupele unei turbine cu acțiune dispuse pe rotor la un diametru

mediu de 600 mm au un unghi , iar turaţia rotorului este n = 375 rot/min.

Să se determine viteza optimă de ieşire a apei din injector şi randamentul teoretic

al turbinei la o viteză a apei de 18 m/s.

Răspuns: ; c = 23,56 m/s; 45 1, % .

5.10.4. Să se determine numărul Reynolds al mişcării aerului printr-o

conductă de ventilaţie cu secţiunea dreptunghiulară având dimensiunile de

180mm × 200mm, dacă debitul masic de fluid este qm = 0,8 kg/s. Se va considera

densitatea aerului de 1,14 kg/m3 şi coeficientul viscozităţii cinematice

m2/s.

Răspuns: Debitul volumic se obține prin împărțirea debitului masic la

densitate: Q = 0,702 m3/s; vmed = Q/A = 19,5 m/s; dh = 0,1895 m;

Re = 2,05.105.

5.10.5. Se determină viteza medie a apei şi a uleiului prin conducte cu

diametrul de 50 mm şi rezultă 2,2 m/s. Să se determine vitezele maxime ale celor

două fluide în axele acestor conducte. Se dau viscozităţile cinematice ale apei

1 = 1 cSt şi uleiului 2 = 52 cSt.

Răspuns: Re1 = 1,1 . 105, deci regim turbulent; din tabelul 5.2 prin

interpolare rezultă: vmax = 2,693 m/s;

Re2 = 2115, deci regim laminar, viteza maximă fiind dublul vitezei medii:

vmax = 4,4 m/s.

76

Unitatea de învăţare 6. Mişcarea permanentă în conducte sub

presiune

Cuprins

U.6.1. Introducere..........................................................................................................79


U.6.3 . Calculul pierderilor de sarcină locale în instalaţiile hidraulice.......................80

U.6.4. Calculul pierderilor de sarcină liniare în instalaţiile hidraulice.......................83

U.6.5. Caracteristica unei conducte..............................................................................88

U.6.6. Probleme tip şi metode de rezolvare...................................................................93


U.6.1. Introducere

Fluidele care circulă între diferitele zone ale maşinilor, utilajelor sau

instalaţiilor industriale sunt folosite pentru transportul căldurii, frigului, energiei

fluidice (în general sub formă de presiune) ş.a. În această unitate de învăţare se

prezintă algoritmii pentru calculul conductelor sub presiune prin care curg diverse

fluide. Se prezintă modul de calcul al pierderilor energetice la curgerea fluidelor

prin conducte forţate în diverse regimuri, relevând parametrii care le influenţează,

astfel încât proiectantul sau utilizatorul să poată minimiza consumul energetic

necesar antrenării fluidelor.



Calculeze pierderile locale de sarcină în conducte forţate;

Calculeze pierderile liniare de sarcină în conducte forţate;

Determine caracteristica unei conducte;

Determine caracteristica echivalentă a conductelor legate în serie şi

în paralel;

Rezolve problemele de exploatare ale unei conducte;

Efectueze un calcul simplu de proiectare al conductelor;

Efectueze un calculul simplu de verificare al conductelor.

77


U.6.3. Calculul pierderilor de sarcină locale în instalaţiile hidraulice

Pierderile locale de sarcină se realizează în secţiunile sau porţiunile foarte scurte de

conductă în care au loc modificări ale direcţiei, sensului sau vitezei de curgere a fluidului.

Valoarea pierderii locale de sarcină se poate calcula cu ajutorul formulei empirice determinată

de Weissbach:

hv

gp 2

2, (6.1)

unde este coeficientul pierderii locale de sarcină ce înmulţeşte energia cinetică specifică a

curgerii neperturbate.

Aşa cum s-a arătat mai înainte, aceste pierderi se produc datorită unei schimbări de

direcţie sau de secţiune care determină în mod preponderent disiparea de energie prin schimb

de cantitate de mişcare şi în mică măsură prin lucrul mecanic al forţelor de frecare vâscoasă.

Valorile acestui coeficient au fost stabilite pe cale experimentală pentru fiecare clasă

de modificări ale curgerii (coturi, diafragme, îngustări şi lărgiri de secţiune etc.), funcţie de

parametrii geometrici care le definesc. Cercetările au dovedit că depinde atât de natura

pereţilor conductei cât şi de numărul Reynolds al curgerii.

Pentru unele cazuri simple se poate determina coeficientul pierderii locale. Ca exemplu

se dă teorema Bellanger-Borda-Carnot aplicată la determinarea coeficientului pierderii locale

de sarcină pentru o lărgire bruscă a secţiunii de curgere. Relaţiile obţinute cu ajutorul acesteia

dau rezultate destul de apropiate de cele practice.

În cazul unei modificări a secţiunii de curgere se obişnuieşte ca pierderea de sarcină

exprimată cu o ecuaţie de tipul (6.1) să utilizeze ca energie cinetică de referinţă pe cea

corespunzătoare secţiunii minime, deci vitezei maxime.

Pentru o mai bună clarificare, coeficientului pierderii locale i se poate atribui un

indice, de exemplu în cazul creşterii secţiunii de curgere:

hv

gp 112

2, (6.2)

unde indicele "1" se referă la secţiunea amonte (de intrare). Se demonstrează că acest

coeficient este:

78

11

2

2

1

A

A. (6.3)

Se observă că s-a obţinut în final o relaţie funcţie numai de parametrii geometrici ai

creşterii de secţiune. Dacă lărgirea de secţiune este progresivă, mai intervine un coeficient de

atenuare k = 0,1...0,3.

În continuare se vor prezenta câteva cazuri particulare, relaţii de calcul şi tabele cu

date experimentale. În tabelele 6.1 şi 6.2 se prezintă valori determinate experimental pentru

coeficientul pierderii locale de sacină în cazul unei măriri bruşte a secţiunii de trecere a

fluidului.

Tab. 6.1. Coeficientul pierderii locale la creşterea bruscă a secţiunii de curgere în

funcţie de raportul diametrelor

d1/d2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,91 0,98 0,92 0,83 0,71 0,56 0,41 0,28 0,13 0,04

Tab. 6.2. Coeficientul pierderii locale la creşterea bruscă a secţiunii de curgere în

funcţie de raportul ariilor

A1/A2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,81 0,81 0,64 0,49 0,36 0,25 0,16 0,1 0,04

În cazul în care o conductă debuşează într-un rezervor se poate considera că şi

rezultă coeficientul pierderii locale de sarcină .

Pentru o îngustare de secţiune se foloseşte aceeaşi formulă, însă pierderea de sarcină

se va raporta la energia cinetică din aval, unde aria secţiunii este A2. De asemenea, din

experienţe rezultă că trebuie să se introducă un coeficient de atenuare k = 0,5...0,6. Deci

pierderea de sarcină este:

hA

A

v

gp

0 5 0 6 1

22

1

222

, ... , , (6.4)

de unde rezultă coeficientul pierderii locale:

22

1

2

0 5 0 6 1

, ... ,

A

A. (6.5)

În cazul unei intrări a fluidului dintr-un rezervor într-o conductă se poate considera că

şi rezultă coeficientul pierderii locale . Dacă muchiile sunt rotunjite, atunci

coeficientul pierderii locale scade foarte mult.

79

În tabelele 6.3 şi 6.4 se prezintă valori experimentale ale coeficientului pierderii locale

de sarcină pentru o reducere bruscă secţiunii de curgere.

Tab. 6.3. Coeficientul pierderii locale de sarcină la reducerea bruscă a secţiunii

de curgere în funcţie de raportul diametrelor

d2/d1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,92 0,46 0,45 0,42 0,4 0,36 0,28 0,19 0,1 0,04

Tab. 6.4. Coeficientul pierderii locale de sarcină la reducerea bruscă a secţiunii de

curgere în funcţie de raportul ariilor secţiunilor de curgere

A2/A1 0,01 0,1 0,2 0,4 0,6 0,82 0,5 0,47 0,42 0,33 0,25 0,15

Pentru o mărire continuă de secţiune (difuzor), coeficientul pierderii locale depinde de

raportul ariilor secţiunilor extreme şi de unghiul de evazare. Tabelul 6.5 prezintă câteva

valori. Se atrage atenţia că în prima coloană se prezintă raportul diametrelor. Valoarea

maximă a unghiului la care vâna de fluid nu se desprinde de peretele ţevii este de 7...8o.

Tab. 6.5. Coeficientul pierderii locale de sarcină pentru un difuzor în funcţie de

raportul diametrelor şi de unghiul de evazare.

d2/d1 4...8 o 12 o 16 0 20 o 24 0

1,2 0,04 0,07 0,09 0,12 0,151,4 0,1 0,2 0,3 0,4 0,51,6 0,3 0,5 0,7 1,0 1,41,8 0,7 1,2 1,5 2,1 2,92,0 1,3 2,0 2,6 3,6 5,2

Pentru o reducere continuă de secţiune (confuzor), în tabelul 6.6 se prezintă valori ale

coeficientului de rezistenţă în funcţie de raportul ariilor secţiunilor şi unghiul confuzorului.

Tab. 6.6. Coeficientul pierderii locale de sarcină pentru un confuzor

în funcţie de raportul ariilor secţiunilor şi unghiului confuzoruluiA2/A1 3o 5o 10o 15...40o

0,64 0,072 0,067 0,054 0,0500,45 0,076 0,064 0,052 0,0500,39 0,098 0,070 0,051 0,046

80

0,25 0,100 0,071 0,047 0,0440,16 0,108 0,084 0,048 0,044

În tabelul 6.7 se prezintă coeficientul de rezistenţă locală pentru unele armături

standard folosite în instalaţii.

Tab. 6.7. Coeficientul pierderii locale de sarcină pentru armături din instalaţii

Denumirea rezistenţei locale Cot standard la 45 o 0,3Cot standard la 45 o cu rază mare 0,2Cot standard la 90 o 0,74Cot standard la 90 o cu rază medie 0,6Cot standard la 90 o cu rază mare 0,46Cot la 90 o (de colţ) 1,3Întoarcere la 180 o cu rază mică 1,7Întoarcere la 180 o cu rază medie 1,2Contor de debit cu diafragmă 8,0Ventil normal de trecere complet deschis 12Piesă T standard, în flux drept (cu derivaţia închisă) 0,4Piesă T standard, folosită drept cot, cu ieşirea din derivaţie 1,3Piesă T standard, folosit drept cot, cu intrarea în derivaţie 1,5Piesă T standard, cu rază mare, folosită drept cot, cu ieşirea din derivaţie

0,5

Trebuie menţionat faptul că în practică, îndeosebi în cazul ventilelor, se constată

coeficienţi ai pierderilor locale mai mari decât cei standard prezentaţi în tabele.

U.6.4. Calculul pierderilor de sarcină liniare în instalaţiile hidraulice

Pierderile de sarcină liniare reprezintă partea din energia hidraulică a fluidului pe care

acesta o pierde de-a lungul traseului parcurs de el şi a cărei valoare este, evident,

proporţională cu lungimea traseului parcurs.

Expresia de calcul a pierderilor de sarcină liniare este dată de:

hl

d

v

gp 2

2, (6.6)

unde este coeficientul pierderilor de sarcină liniare, l - lungimea conductei, iar d - diametrul

hidraulic echivalent. Formula de mai sus a fost utilizată pentru prima oară de Darçy (1857) şi

apoi de Weissbach, fiind actualmente cunoscută sub numele acestor doi savanţi.

Necunoscuta din această relaţie este coeficientul pierderilor liniare care prin

efectuarea unor numeroase experienţe s-a constatat că în cazul general este funcţie atât de

81

natura pereţilor conductei (rugozitatea relativă kr), cât şi de regimul de curgere (numărul Re):

kr ,Re . (6.7)

O contribuţie însemnată în domeniul sintetizării şi clasificării numeroaselor rezultate

obţinute în studiul variaţiei coeficientului a adus-o, prin construcţia diagramei care îi poartă

numele, J. Nikuradse. Diagrama cuprinde reprezentarea grafică a lui în funcţie de Re

(coordonate logaritmice) pentru regim laminar, regim turbulent în conducte netede hidraulic şi

regim turbulent în conducte cu rugozitate artificială.

Totuşi, rugozităţile tehnice nu au o distribuţie uniformă ca acelea pe care le-a realizat

artificial Nikuradze prin lipirea unor particule solide cu dimensiuni strict determinate pe

pereţii conductelor experimentate. În continuare se va studia reprezentarea folosind

rugozităţile tehnice denumită diagrama Colebrook - White (fig. 6.1). În literatura de

specialitate, îndeosebi americană, se mai foloseşte diagrama Moody foarte apropiată de

aceasta.

În cazul regimului laminar (Re<2320), s-a dedus pe cale teoretică relaţia lui Hagen -

Poiseuille – Stokes pentru coeficientul pierderilor de sarcină liniare:

. (6.8)

În reprezentarea din figura 6.1 în coordonate logaritmice, este o dreaptă. Pentru Re =

2320 se obţine .

S-a arătat experimental că în regimul de curgere laminar, este o funcţie liniară de

viteză, deci de criteriul Reynolds.

Aceasta rezultă şi teoretic foarte simplu prin înlocuirea lui în ecuaţia (6.6):

. (6.9)

82

Pentru conducte netede hidraulic, până la Re = 105 se poate folosi formula lui Blasius:

1

100

0 31644 0 25Re

,

Re , . (6.10)

Pentru Re = 2320 se obţine = 0,0456. Această valoare se compară cu cea dată de

formula pentru regim laminar, = 0,02758 şi se constată un salt foarte mare datorită

turbulenţei.

Dacă se introduce ecuaţia (6.10) în formula lui Darçy (6.6) se obţine pentru regimul

turbulent neted dependenţa pierderilor de sarcină de viteză la puterea 1,75:

. (6.11)

O formulă mai corectă, pentru a fost dată de Prandtl-Kármán şi

verificată de Nikuradse:

, (6.12)

sau:

. (6.13)

Fig. 6.1. Diagrama Colebrook-White

83

Se observă că ecuaţia este implicită, deci se porneşte calculul de la o valoare iniţială,

eventual dată de ecuaţia lui Blasius, sau, mai simplu, extrasă din diagrama prezentată în figura

6.1. Funcţia este puternic convergentă, astfel încât se ajunge rapid la rezultat.

În diagramă ecuaţia (6.12) se reprezintă sub forma unei curbe descrescătoare.

Dacă influenţa rugozităţii este importantă, dar nu exclusivă (ceea ce fizic înseamnă

că grosimea stratului limită este puţin mai mică, dar de acelaşi ordin de mărime cu rugozitatea

absolută), se foloseşte pentru conducte formula Colebrook - White:

12

3 71

2 51

lg,

,

Re

k

d . (6.14)

Se observă că ecuaţia este de asemenea implicită, dar coeficientul pierderii liniare este

atât funcţie de numărul Reynolds cât şi de rugozitatea relativă. În diagramă se reprezintă sub

forma unor curbe aşezate deasupra curbei regimului turbulent neted.

Limita de la care regimul neted hidraulic se înlocuieşte cu regimul semirugos este

recomandat a fi dat pentru conducte industriale de invariantul Reynolds:

Re lim'

15k

d. (6.15)

Dacă influenţa rugozităţii este foarte importantă (ceea ce fizic înseamnă că grosimea

stratului limită este cu mult mai mică decât rugozitatea absolută) se foloseşte relaţia Prandtl -

Nikuradse:

. (6.16)

sau:

, (6.17)

rezultând pentru coeficientul pierderilor liniare o relaţie mai simplă:

. (6.18)

În ecuaţie nu mai intervine numărul Reynolds, determinarea coeficientului pierderilor

liniare făcându-se foarte simplu. În diagramă, reprezentarea ecuaţiei pentru diferite valori ale

lui k/d este sub forma unor drepte orizontale.

84

Dacă se introduce ecuaţia (6.18) în formula lui Darçy (6.6) se obţine că în regimul

turbulent rugos pierderile de sarcină sunt proporţionale cu viteza la puterea a doua:

hk d

v

gvp

1

23 71

22

22

lg,

const. (6.19)

Se observă că ecuaţia Colebrook - White (6.14) se obţine din însumarea membrului

drept al ecuaţiilor (6.13) şi (6.18). Cu ajutorul ei s-a putut trasa întreaga zonă turbulentă (fig.

6.1) deoarece în domeniul rugos termenul provenit din ecuaţia (6.18) este mult mai mare

decât celălalt.

Pentru rugozitatea neomogenă a conductelor industriale, valoarea limită a numărului

Reynolds pentru care intră în vigoare legea pătratică a rezistenţei, cu o precizie de până la

3...4%, se poate considera:

Relim''

560kd

. (6.20)

În diagrama Colebrook - White, sunt reprezentate curbele având rugozitatea relativă

k

dconst. Acestea încep prin a fi tangente la curba Prandtl - Nikuradze a regimului neted

hidraulic, apoi capătă forma curbă (Colebrook - White) şi în final devin drepte paralele cu axa

absciselor în regimul rugos hidraulic. Frontiera celor două domenii se află pe curba de

rectificare von Kármán a cărei ecuaţie este:

Re k

d200 . (6.21)

Se observă că în ecuaţie intră atât Re cât şi k/d, iar ecuaţia este implicită. Ea se aplică

după determinarea coeficientului pierderilor liniare pentru verificarea veridicităţii domeniului

ales.

Totuşi, pentru conducte tehnologice se recomandă algoritmul prezentat mai sus, limita

dintre domeniile prepătratic (semirugos) şi pătratic (rugos) fiind dată de numărul Re"lim (6.20).

Cu ajutorul acestui algoritm se pot construi proceduri sau funcţii pentru calculul coeficientului

pierderilor de sarcină liniare utilizabile în programe de calcul.

Pentru determinarea coeficientului pierderilor liniare de sarcină cu ajutorul

calculatorului electronic se mai recomandă folosirea relaţiei lui Wood valabilă pentru:

Re > 104 şi :

, (6.22)

85

unde:

; (6.23)

; (6.24)

. (6.25)

Pentru conductele de apă cu diverse destinaţii, rugozitatea absolută k are valorile din

tabelul 6.8.

Tab. 6.8. Rugozitatea absolută pentru diverse conducte

Destinaţia conductei Starea conductei k [mm]Conducte de alimentare cu apă Noi

Care sunt în exploatareVechiCu cruste foarte mariDin materiale plastice

0,15...0,30,4...0,45

2...3Până la 6,50,03...0,05

Conducte pentru transportul lichidelor slab corosiveIdem, puternic corosive

-0,81,5

Conductele reţelelor termice - 0,5Conducte de condensat - 1

U.6.5. Caracteristica unei conducte

Caracteristica unei conducte este reprezentarea grafică a pierderii de sarcină în

funcţie de debitul vehiculat prin conductă.

În subcapitolul de faţă se va considera o curgere în regim staţionar a unui fluid

incompresibil prin conducte forţate.

Pierderea de sarcină pe o conductă de diametru constant care conţine m singularităţi

(rezistenţe hidraulice locale) este dată de formula:

hl

d

v

gp jj

m

1

2

2. (6.26)

Din ecuaţia de continuitate se obţine viteza în funcţie de debitul volumic:

vQ

A , (6.27)

apoi se înlocuieşte în ecuaţia (6.23):

86

hl

d gAQp j

j

m

12

21

2. (6.28)

Dacă se presupune regimul de curgere pătratic (turbulent rugos), coeficienţii de

pierderi pot fi consideraţi constanţi, iar termenii din paranteză sunt constanţi, astfel încât

ecuaţia caracteristică a conductei poate fi pusă sub forma:

(6.29)

Coeficientul M se numeşte modulul de rezistenţă al conductei sau rezistenţa

specifică deoarece reprezintă suprasarcina necesară pentru a învinge rezistenţele în conductă

în cazul unui debit unitar.

Se remarcă faptul că pierderea de sarcină este proporţională cu pătratul debitului

volumic.

Conducta este un consumator de energie hidraulică, energie care se disipă sub formă

de căldură. Se comportă deci ca un rezistor, ecuaţia (6.25) putând fi asimilată relaţiei de calcul

a puterii disipate de un rezistor ( ), cu deosebirea că în locul intensităţii curentului

intervine pătratul debitului, iar în locul rezistenţei electrice, modulul de rezistenţă .

Sarcina statică a sistemului sub presiune este diferenţa înălţimilor piezometrice între

ieşire (2) şi intrare (1), în esenţă diferenţa energiilor potenţiale specifice între aceste puncte:

H zp

gz

p

gs

2

21

1

. (6.30)

Considerând conducta (având un fluid în curgere staţionară) ca un sistem privit din

punct de vedere energetic, excedentul de energie (sarcină) al sistemului (egal cu energia ieşită

din sistem minus energia intrată) la care se adaugă pierderile de energie (sarcină) trebuie să

fie egal cu energia (sarcina) dată din exterior conductei. Aceasta se defineşte ca fiind sarcina

conductei. Altfel spus, sarcina conductei, Hc este energia specifică pe care conducta ar trebui

să o primească din exterior pentru a asigura trecerea unui anumit debit de fluid şi se defineşte

prin relaţia:

H Hv

g

v

gM Qc s

2 22

1 12

2

2 2. (6.31)

Folosind ca parametru debitul volumic, ecuaţia de mai sus devine:

H HA A g

M Qc s

2

22

1

12

21

2, (6.32)

sau:

87

H H K Qc s 2 . (6.33)

De obicei, energia cinetică a fluidului în punctele 1 şi 2 este cu mult mai mică decât

sarcina statică şi se poate considera că M = K.

Reprezentarea grafică a funcţiei de mai sus este o parabolă cu vârful plasat la abscisa 0

şi ordonata Hs, aceasta din urmă putând fi pozitivă sau negativă. Această curbă, denumită

caracteristica conductei după cum s-a precizat mai înainte, permite soluţionarea

grafoanalitică a numeroase probleme de exploatare şi chiar de proiectare. O maşină

generatoare (pompă, ventilator etc.) poate transmite energie fluidului din conductă. Astfel,

intersecţia caracteristicii conductei H f Qc cu caracteristica de sarcină a unei pompe,

H f Qp determină punctul de funcţionare dat de valoarea sarcinii şi debitului la care va

funcţiona pompa şi - în acelaşi timp - reţeaua.

În absenţa unui generator de energie hidraulică, sarcina transmisă conductei este zero.

Deci, în cazul unei conducte care face comunicaţia între două rezervoare, fără a primi

energie din exterior, punctul de funcţionare se obţine prin intersecţia caracteristicii cu dreapta

de nivel 0, H = 0.

Dacă sarcina statică este pozitivă, atunci sistemul nu va asigura o curgere în sensul

considerat de la 1 la 2 decât printr-un aport energetic din exterior.

Dacă rezervorul 1 se ridică mai mult deasupra rezervorului 2, în condiţiile în care

conducta nu-şi schimbă caracteristicile geometrice, sarcina statică a conductei devine mai

mică, vârful parabolei se deplasează mai jos, iar punctul de funcţionare se stabileşte la un

debit mai mare.

Se consideră o conductă scurtă cuprinzând m rezistenţe locale. Se foloseşte ecuaţia

(6.29), iar în calculul modulului de rezistenţă M se recomandă a se ţine seama atât de

rezistenţele locale, cât şi de cele liniare.

Problema se poate rezolva grafic sau analitic, eventual folosind calculatorul electronic.

În cazul în care conducta este alimentată dintr-un rezervor, energia cinetică la intrare

Fig. 6.2. Caracteristica unei conducte

88

este zero, iar ecuaţia (6.28) devine:

. (6.34)

Pentru o conductă care face legătura între două rezervoare şi energia cinetică la ieşire

este zero, se obţine K = M:

, (6.35)

unde modulul de rezistenţă este dat de relaţia:

. (6.36)

La conductele lungi simple se pot neglija atât pierderile de sarcină locale, cât şi

termenii cinetici, astfel încât se poate aplica relaţia (6.31), în care:

. (6.37)

Se consideră n conducte înseriate, fiecare cuprinzând mi rezistenţe locale. Debitul

prin fiecare tronson este acelaşi, iar pierderile de sarcină sunt:

h M Q M Qp i i i i, 2 2 (6.38)

unde modulul de rezistenţă al fiecărui tronson este dat de relaţia:

Ml

d gAi ii

ij

j i

mi

12

1

2. (6.39)

Pierderea de sarcină a sistemului de n conducte înseriate se obţine prin însumarea

pierderilor de sarcină ale tronsoanelor:

h M Q M Qp i ii

n

i

n

2

1

2

1. (6.40)

Pentru întreg sistemul de conducte înseriate există ecuaţia:

h M Qp serie 2 . (6.41)

Comparând ecuaţia de mai sus cu ecuaţia (5.36) se observă că modulul de rezistenţă

echivalent al sistemului de conducte înseriate este suma modulelor de rezistenţă ale

conductelor care îl compun:

M Mserie ii

n

1. (6.42)

89

Se consideră n conducte în paralel, fiecare cuprinzând mi rezistenţe locale.

Pierderile de sarcină ale unui tronson sunt aceleaşi cu ale sistemului de conducte în

paralel:

h M Q hp i i i p, 2 . (6.43)

Debitul total este suma debitelor conductelor componente:

Q Qii

n

1. (6.44)

Din ecuaţia (5.39) se obţine debitul volumic al fiecărui tronson, care se introduce în

ecuaţia (5.40), obţinându-se:

Qh

M

p

ii

n

1. (6.45)

Debitul sistemului de n conducte în paralel privit ca o conductă echivalentă este:

Qh

M

p . (6.46)

Egalând cele două debite de mai sus se obţine:

1 1

1M Mii

n

. (6.47)

De aici se poate obţine modulul de rezistenţă echivalent al sistemului format din n

conducte în paralel:

M

Mii

n

1

1

1

2. (6.48)

Se observă că ecuaţia nu este identică cu cea pentru legarea rezistoarelor electrice în

paralel.

U.6.6. Probleme tip şi metode de rezolvare

Probleme de exploatare

a) Se cunosc: debitul, Q; diametrul conductei, d; rugozitatea absolută, k;

configuraţia traseului şi rezistenţele hidraulice locale şi se cere pierderea de sarcină hp.

1. Se utilizează ecuaţia (6.25).

2. Se determină viteza din ecuaţia de continuitate:

90

, (6.49)

apoi numărul Reynolds:

. (6.50)

3. Pentru determinarea coeficientului pierderilor liniare de sarcină se alege ecuaţia

adecvată.

4. În continuare se pot determina şi coeficienţii pierderilor locale.

5. Se calculează modulul de rezistenţă şi pierderea de sarcină.

b) Se cunosc: diametrul conductei, d; rugozitatea absolută k; configuraţia traseului

şi rezistenţele hidraulice locale; sarcina statică prin cotele şi presiunile în punctele 1 şi 2 şi

se cere debitul Q.

Problema se poate soluţiona prin aproximaţii succesive după cum urmează.

1. Se admite un regim hidraulic rugos.

2 Se calculează cu formula Prandtl - Nikuradse şi coeficienţii pierderilor locale cu

relaţiile corespunzătoare.

3. Se determină modulul de rezistenţă.

4. Se rezolvă analitic ecuaţia , rezultând:

QH

A A gM

s

2

22

1

12

12

. (6.51)

5. Cu valoarea debitului rezultat din această ecuaţie se calculează viteza medie în

conductă.

6. Se calculează numărul Reynolds şi se verifică dacă regimul de curgere este cel

turbulent rugos presupus la început:

Re k

d200 . (6.52)

7. Dacă nu, atunci se recalculează coeficienţii pierderilor liniare şi locale.

8. Se recalculează modulul de rezistenţă.

9. Se rezolvă din nou ecuaţia .

10. Se reia calculul până când eroarea între două valori succesive ale debitului este sub

o valoare impusă.

91

Un rezultat corect se poate obţine şi dacă se trasează grafic caracteristica

conductei prin puncte având Q cunoscut (valori rotunde). Pentru obţinerea sarcinilor

conductei corespunzătoare acestor puncte se efectuează calculele care urmează pentru fiecare

dintre aceste puncte.

1. Se calculează viteza din ecuaţia de continuitate.

2. Se calculează numărul Reynolds.

3. Se calculează coeficienţii pierderilor hidraulice liniare şi locale.

4. Se calculează modulul de rezistenţă.

5. Se determină sarcina pentru aceste puncte.

6. Se trasează grafic prin puncte caracteristica H f Qc .

7. Se determină debitul prin intersecţia caracteristicii H f Qc cu nivelul Hc = 0.

Probleme de proiectare

a) Se cunosc: debitul, Q; sarcina statică, Hs<0; rugozitatea absolută, k, configuraţia

traseului şi rezistenţele hidraulice locale şi se cere diametrul conductei, d.

Problema se rezolvă prin aproximaţii succesive.

1. Se admite în primul rând o valoare economică pentru viteză. Tabelul 6.9 prezintă

vitezele recomandate pentru diverse fluide. Astfel, în cazul conductelor pentru lichide se ia o

valoare cuprinsă în intervalul 1...3 m/s, iar pentru gaze şi vapori în intervalul 10....20...50 m/s.

2. Se calculează apoi diametrul interior:

dQ

v

4

, (6.53)

3. Se adoptă o valoare standardizată a diametrului.

Tab. 6.9. Vitezele recomandate la curgerea fluidelor în conducte forţate

Caracteristicile conductei v [m/s]Conducte de aspiraţie în pompe 0,5..1,5Conducte de refulare din pompe 1,5...2Reţele de distribuţie a apei:

conducte principale de transport conducte secundare conducte magistrale

1...20,5...0,71,5...3

Conducte pentru ţiţei: conducte de aspiraţie pentru ţiţei

greu conducte de presiune pentru ţiţei

greu

0,5...0,81...1,5

1,2...1,6

92

conducte pentru ţiţei uşorConducte pentru ulei de ungere:

conducte de ducere (ulei sub presiune)

conducte de întoarcere (scurgere)

1,5...2<1

Conducte principale de motorină 1...2Conducte de benzină:

conducte de aspiraţie conducte de presiune

0,5...0,81...1,5

Conducte de abur 30...40Conducte de aer pentru compresoare

aspiraţie refulare

16...2025...30

Conducte de aer pentru ventilatoare: la aspiraţie la refulare

10...1212...16

Conducte (canale) pentru ventilaţie: de aerisire de absorbţie praf, rumeguş, nisip etc

6...914...18

4. Se recalculează viteza din ecuaţia (6.45)

5. Se calculează criteriul Reynolds din ecuaţia (6.46).

6. Cu ajutorul lor, cunoscând materialul conductei, deci rugozitatea, se determină

modulul de rezistenţă al conductei şi pierderea de sarcină a conductei cu ecuaţia (6.25).

7. Dacă sarcina rezultată este mai mare decât -Hs dată prin tema de proiectare, se ia un

diametru mai mare din standardul pentru conducte şi invers, un diametru mai mic dacă sarcina

este mai mică, apoi se reface calculul până la obţinerea celei mai apropiate valori a sarcinii.

b) Se cunosc: debitul, Q, rugozitatea absolută, k, configuraţia traseului şi

rezistenţele hidraulice locale şi se cere diametrul economic al conductei, d.

În principiu, transportul unui anumit debit pe conducta forţată se poate face la viteze

mari, folosind diametre mici, având cheltuieli mici de investiţie şi cheltuieli de exploatare

mari, sau la viteze mici, cu investiţii mari şi cheltuieli de exploatare mici. Diametrul este

economic dacă între cele două situaţii se realizează un compromis, în aşa fel ca suma

cheltuielilor anuale să fie minimă. O rezolvare analitică este dată de formula lui Pavel ([16],

vol. 3, p.35).

Totuşi, se recomandă o rezolvare numerică pe calculator în care se ţine seama de

actualizarea cheltuielilor de investiţie, determinând mai multe diametre de conducte şi

pierderi de sarcină şi utilizând algoritmul prezentat mai sus, apoi se realizează calculul

economic (costurile) pentru fiecare variantă în parte. Se alege varianta optimă ţinând seama

eventual şi de aspectele financiare ale investiţiei (dobânzi, evoluţia estimată a preţului

93

energiei etc.).

De asemenea, se poate adopta o variantă grafoanalitică.

Este necesar să se menţioneze faptul că problema calculului diametrului economic se

pune îndeosebi în cazul conductelor lungi, al conductelor magistrale de transport gaze, lichide

petroliere, sau a celor de alimentare cu apă a localităţilor.


U.6.7.1. Printr-o conductă orizontală cu diametrul d = 32 mm şi lungimea

l = 10 m curge ulei cu un debit Q = 2 l/s. Conducta are un robinet complet

deschis cu un coeficient al pierderii locale = 18. Viscozitatea cinematică a

uleiului este = 45.10-6 m2/s, iar densitatea = 800 kg/m3. Să se determine

pierderile de sarcină şi căderea de presiune în conductă.

Răspuns: v = 2,487m/s; Re = 1768 (regim laminar de curgere); = 0,044;

hp,lin=4,33m; hp,loc=5,67m; hp,tot=10m;

.

U.6.7.2. Prin conducta din problema de mai sus, având rugozitatea

absolută k = 0,3mm, curge apă cu acelaşi debit. Viscozitatea cinematică a apei

este = 1,02.10-6 m2/s, iar densitatea, = 1000 kg/m3. Să se determine pierderile

de sarcină şi căderea de presiune.

Răspuns: v = 2,487m/s; Re=7,8.104; k/d=9,3.10-3; Re'lim= 1600;

Re"lim=5,97.104 (regim turbulent rugos); =0,037; hp,lin=3,65m; hp,loc=5,67m; hp,tot=

9,32m; p ghp tot , , ,0 91 10 0 915 Pa bar .

U.6.7.3. Conducta de la problema U.6.7.2. se racordează la două

rezervoare plasate la o diferenţă de nivel de 15m. Să se determine debitul de fluid

care curge prin conductă. Se va ţine seama că mai intervin: coeficientul pierderii

locale la intrarea în conductă =0,5 şi la ieşirea din conductă =1, deci în total,

suma coeficienţilor pierderilor locale este =19,5.

Răspuns: ; Hs=-15m;

H Qc 15 2 45 106 2, ; Debitul se obţine pentru H = 0; Q = 2,47.10-3m3/s.

94

U.6.7.4. La conducta din problema U.6.7.3. se adaugă încă o conductă

identică în seria cu aceasta, sau una în paralel. Să se determine debitul vehiculat

prin sistemele de conducte în aceste cazuri.

Răspuns: Ms =2.M=4,9.106 s2m-5; M

M

p

1

20 61 102

6, s m2 5

;

Qs= 1,75.10-3m3/s; Qp=4,95.10-3m3/s.

U.6.7.5. Alimentarea cu apă a unei staţii de spălare a autoturismelor este

compusă dintr-o conductă cu lungimea de 40 m şi rugozitatea absolută

echivalentă k = 0,1 mm şi un recipient cu pernă de aer. Debitul prin conductă este

Q = 4 l / s (litri pe secundă).

Să se determine:

a. diametrul conductei de apă;

b. viteza apei în conductă;

c. numărul Reynolds al curgerii;

d. coeficientul pierderilor liniare ;

e. pierderile liniare de sarcină [m col. apă]

Coeficientul viscozităţi cinematice a apei este = 1,1.10-6 m2/s.

Răspuns:Dacă se alege d=60 mm se obţin: v =1,415 m/s; Re = 7,72.104;

kr=1,67.10-3; regim prepătratic: ; .

U.6.7.6. O pompă de combustibil diesel umple un rezervor cu volumul de

85 l (litri) în timp de 4 minute şi 30 secunde. Conducta de refulare (flexibilă) are

o lungime de 2 m şi o rugozitate absolută echivalentă k = 0,1 mm.

Să se determine:

a. debitul de combustibil, Q [m3/s];

b. diametrul conductei de refulare dacă se recomandă o viteză a

combustibilului de 1,0...2,0 m/s

c. viteza de curgere a benzinei în conducta de refulare proiectată;

d. numărul Reynolds al curgerii;

e. coeficientul pierderilor liniare,;

f. pierderile liniare de sarcină [m col fluid].

Se dă coeficientul viscozităţii cinematice a motorinei: = 1,7 . 10-6 m2/s.

Răspuns: Debitul volumic este: Q = 3,148.10-4 m3/s; dacă se alege d =15

95

mm se obţin: v =1,781 m/s; Re = 1,571.104; kr=6,7.10-3; regim prepătratic:

; .

U.6.7.7. Într-un radiator pentru motorul unui autoturism, apa circulă între

două bazine legate prin 50 tuburi plate din alamă a căror secţiune transversală

poate fi aproximată cu un dreptunghi cu laturile a = 3 mm şi b = 14 mm şi

lungimea l = 400 mm. Rugozitatea absolută echivalentă poate fi considerată ca

fiind: k = 0,02 mm. Debitul de apă care circulă prin cele 50 de tuburi în paralel

este Q = 120 l/min (litri pe minut).

Să se determine:

a. debitul de apă care circulă printr-un singur tub;

b. viteza medie a apei în tuburi;

c. numărul Reynolds al curgerii;

d. coeficientul pierderilor liniare ;

e. pierderile liniare de sarcină [m col. apă].

Coeficientul viscozităţi cinematice a apei este = 0,326.10-6 m2/s.

Răspuns: Debitul volumic este: Q = 2.10-3 m3/s; aria secţiunii de curgere:

A = 2,1.10-3 m3/s; diametrul hidraulic echivalent dh = 4,94.10-3.

Se obţin: v =0,952 m/s; Re = 1,443.104; kr = 4,05.10-3; regim prepătratic

; .

U.6.7.8. Un motor hidrostatic rotativ montat pe o macara are cilindreea

(volumul teoretic de lichid vehiculat la o rotaţie): q = 40 cm3/rot, turaţia n = 1200

rot/min şi randamentul volumic v = 0,95. Lungimea conductelor care leagă

pompa de motorul hidrostatic rotativ este l = 5 m.

Să se determine:

a. debitul de ulei furnizat de pompă necesar pentru antrenarea motorului;

b. diametrul conductelor de ulei dacă viteza recomandată este de 1...1,5 m/s;

c. viteza uleiului în conducte;


e. coeficientul pierderilor liniare ;

f. pierderile liniare de sarcină [m col. fluid]

Coeficientul viscozităţi cinematice a uleiului este = 45.10-6 m2/s.

Răspuns: Debitul volumic este: Q = 8,42.10-4 m3/s;

96

Se obţine d = 0,0327...0,0267m. Dacă se alege diametrul d = 0,03.10-3 m, se

obţin: v = 1,191m/s; Re = 794; regim laminar; ; .

U.6.7.9. Un motor hidrostatic liniar (cilindru de forţă) montat pe o

autoutilitară are un diametru D = 40 mm şi randamentul volumic v = 0,96.

Viteza pistonului este vp = 10 cm/s. Lungimea conductelor care leagă pompa de

motorul hidrostatic liniar este l = 4m.

Să se determine:

a. debitul de ulei furnizat de pompă;

b. diametrul conductelor de ulei dacă viteza recomandată este de 1..2 m/s;

c. viteza uleiului în conducte;


e. coeficientul pierderilor liniare ;

f. pierderile liniare de sarcină [m col. fluid]

Coeficientul viscozităţi cinematice a uleiului este = 40.10-6 m2/s.

Răspuns: Debitul volumic este: Q = 1,309.10-4 m3/s; se obţine diametrul

d = 0,0129...0,0091 m/s; dacă se alege d =10 mm se obţin: v =1,667 m/s;

Re = 417; regim laminar: ; col. fluid.

U.6.7.10. Pentru ventilarea garajelor mici se recomandă un număr de

10...15 schimburi de aer pe oră. Conducta de ventilare principală are o lungime

de 20m şi secţiunea pătrată, fiind realizată din tablă cu rugozitatea absolută

k=0,05 mm. Se va considera coeficientul viscozităţii cinematice = 16,6 . 10-6

m2/s. Pentru un garaj cu volumul de 300 m3, să se determine:

a. debitul de aer pentru ventilare, Q [m3/s];

b. latura secţiunii pătrate a conductei de ventilare;

c. viteza aerului în conducta de ventilaţie aleasă;


e. coeficientul pierderilor liniare, ;

f. pierderea liniară de sarcină [m col. aer].

Viteza recomandată pentru aer în conducte de aspiraţie a ventilatoarelor

este de 10...12 m/s. Latura standardizată a secţiunii pătrate [mm]: 100, 125, 160,

200, 250, 315, 400, 500, 630.

Răspuns: Debitul de aer: Q = 300x(10...15)/3600 = 0,833...1,25 m3/s.

97

Latura este: 0,2886...0,322. Se alege latura de 0,315 m. La o viteză v = 11 m/s se

obțin: debitul Q = 1,091 m3/s; diametrul hidraulic echivalent dh = 0,315 m,

Re = 2,087.10-5; kr = 1,587.10-4; ; hp = 6,52 m coloană de aer.

98

Unitatea de învăţare 7. Aparate pentru măsurarea parametrilor

hidrodinamici bazate pe ecuaţia lui Bernoulli

Cuprins

U.7.1. Introducere........................................................................................................100

U.7.2. Competenţele unităţii de învăţare.....................................................................100

U.7.3. Parametrii frânaţi ai fluidelor..........................................................................101

U.7.4. Principiul măsurării vitezei cu ajutorul tubului Pitot-Prandtl.........................102

U.7.5. Determinarea debitului folosind sonda de viteză.............................................103

U.7.6. Dispozitive standardizate pentru măsurarea debitului prin restricţia secţiunii de

curgere....................................................................................................................................104

U.7.7. Alte dispozitive pentru măsurarea debitului prin restricţia secţiunii de curgere

.................................................................................................................................................106

U.7.8. Test de autoevaluare a cunoştinţelor................................................................108

U.7.1. Introducere

Pentru controlul parametrilor hidrodinamici în instalaţiile aferente

unor maşini sau utilaje este necesară măsurarea lor cât mai corectă. În multe cazuri

este necesară numai simpla detectare a existenţei curgerii cu un debit minim,

valoare de la care se pot desfăşura unele procese sau atingerea unei valori maxime

de la care pot să apară anumite dificultăţi în funcţionarea unei instalaţii. De

exemplu, un debit de apă de răcire a motorului situat sub o valoare minimă poate

semnala o defecţiune. Un debit mic al instalaţiei de ventilaţie într-un atelier de

reparaţii auto în care funcţionează motoare cu ardere internă poate conduce la

accidente. Un încălzitor de apă instant folosind un combustibil porneşte automat

după detectarea existenţei consumului de apă începând de la o valoare minimă a

debitului. Unitatea de învăţare prezintă principiul de măsurare a vitezei în fluide cu

ajutorul sondei Pitot-Prandtl şi măsurarea debitului cu ajutorul aparatelor cu

restricţie a secţiunii de curgere standardizate şi nestandardizate.



99

Cunoască principiul constructiv al tubului Pitot-Prandtl;

Ştie să utilizeze relaţia pentru determinarea vitezei cu tubul Pitot-

Prandtl;

Ştie să utilizeze sonda de presiune totală (tubul Pitot);

Cunoască principiile constructive ale diafragmei, ajutajului şi

venturimetrului şi recomandări pentru utilizare lor;

Cunoască modul de calcul al debitului folosind ecuaţia

standardizată pentru determinarea debitului prin strangularea secţiunii de curgere;

Cunoască modul de folosire al unor dispozitive improvizate pentru

determinarea aproximativă a debitului în instalaţii.


U.7.3. Parametrii frânaţi ai fluidelor

Se presupune un corp solid aflat într-un fluid. Între acestea se presupune că există o

mişcare relativă staţionară (fig. 7.1).

Dacă se ia în consideraţie o linie de curent orizontală şi se aplică ecuaţia energiei între

un punct aflat la o oarecare distanţă în faţa corpului şi un punct aflat pe suprafaţa corpului,

astfel încât tangenta în acel punct la suprafaţa corpului să fie perpendiculară pe linia de curent

respectivă se obţine:

. (7.1)

În punctul aflat pe suprafaţa corpului solid viteza este zero, iar presiunea se

numeşte presiune frânată, notată cu p*. Punctul se numeşte punct de impact, sau punct de

stagnare.

Din această ecuaţie se obţine presiunea frânată sub forma:

Fig. 7.1. Modelul pentru obţinerea parametrilor frânaţi

100

. (7.2)

Primul termen al presiunii frânate este format din presiunea statică a fluidului, iar al

doilea termen este presiunea dinamică. Prin urmare, presiunea frânată este presiunea totală a

fluidului.

U.7.4. Principiul măsurării vitezei cu ajutorul tubului Pitot-Prandtl

Tubul Pitôt-Prandtl se compune din două tuburi concentrice care pot măsura presiunea

prin intermediul deschiderilor de la capete şi serveşte la măsurarea vitezei în interiorul unui

fluid în mişcare (fig. 7.2).

Sonda având capătul de formă emisferică (pentru curgerile subsonice), se introduce cu

tubul în lungul direcţiei curgerii fluidului astfel încât orificiul central aflat în capătul tubului

să reprezinte un punct de impact. Astfel, prin acest orificiu se va transmite presiunea totală.

Orificiul, sau orificiile laterale vor fi spălate tangenţial de curentul de fluid astfel încât prin ele

se va transmite presiunea statică. Atât orificiul central cât şi cele laterale sunt continuate

independent în interiorul sondei cu tuburi prin care se transmite presiunea totală şi respectiv

presiunea statică spre un aparat de măsură a presiunii diferenţiale. Este evident că în timpul

măsurării fluidul din instalaţie pătrunde în aceste tuburi şi staţionează, fără a curge,

transmiţând presiunea conform principiului lui Pascal.

Fig. 7.2. Schema de montaj a tubului Pitôt-Prandtl

101

Pentru fluide incompresibile, din ecuaţia (7.2) se obţine presiunea diferenţială pe care

o măsoară acest aparat:

p pv

* 2

2. (7.3)

Se observă că presiunea diferenţială este chiar presiunea dinamică, astfel încât din

ecuaţia de mai sus se obţine:

v

p p pdin

2 2*

. (7.4)

Standardul pentru măsurarea vitezei cu acest dispozitiv recomandă formula:

vp

Fdin

2

(Ma), (7.5)

unde este un coeficient de etalonare al sondei, iar F(Ma) este o funcţie de numărul Mach,

care ţine deci seama de compresibilitatea fluidului. Se aplică la viteze mari în cazul fluidelor

compresibile. În cazul fluidelor incompresibile, F(Ma) = 1.

Este important să se menţioneze că diametrul sondei trebuie să fie cel mult a zecea

parte din diametrul conductei în care se introduce, astfel încât raportul dintre aria

transversală a tubului şi aria conductei să fie mai mic decât 0,01, iar eroarea relativă a

perturbării introduse să fie mai mică decât 1%.

U.7.5. Determinarea debitului folosind sonda de viteză

Debitul se poate determina prin explorarea câmpului de viteze pe secţiunea curentului.

Este necesar ca liniile de curent să fie paralele.

Determinarea debitului în cazul conductelor circulare se poate face şi prin împărţirea

secţiunii conductei în zone concentrice de arii egale. Viteza medie rezultă foarte simplu ca

medie aritmetică:

v

v A

A

v A

nA

v

nmedA

i ii

n

i

ii

n

d1 1 . (7.6)

102

Determinarea vitezei maxime se poate face şi cu ajutorul unei sonde de presiune totală

plasată la ieşirea fluidului dintr-o conductă. Figura 7.3 prezintă schiţa montajului unei astfel

de sonde pe o conductă de ventilaţie. Astfel, presiunea statică (relativă) este egală cu zero,

deci presiunea totală coincide cu presiunea dinamică.

Viteza maximă fiind cunoscută, se poate determina debitul fără a avea pretenţia unui

calcul foarte precis, folosind legea de distribuţie dată de relaţia 5.58 cu exponentul n dat în

tabelul 5.2 p.75. Interpolarea se poate face direct în tabel, folosind valorile raportului

.

O altă posibilitate de determinare a debitului este folosirea sondei Pitot amplasată în

axa unui un tronson rectiliniu de conductă. Se poate utiliza metoda de mai sus sau o

distribuţie de viteze dată de relaţia Altşul (5.59) şi un raport dat de relaţia 5.61. Se

observă că în relaţie intră coeficientul pierderilor liniare de sarcină.

Trebuie menţionat faptul că pentru rezultate corespunzătoare sonda de tip Pitot sau

Pitot-Prandtl se amplasează numai pe tronsoane rectilinii de conducte cu lungimi suficiente

pentru ca profilul vitezei să fie axial-simetric. Aceste lungimi sunt în jur de 20...25 diametre.

U.7.6. Dispozitive standardizate pentru măsurarea debitului prin restricţia

secţiunii de curgere

Această clasă de instrumente de măsură a debitului este una dintre cele mai frecvent

utilizate în practică şi cuprinde diafragmele, ajutajele şi venturimetrele prezentate în figura

7.4. La trecerea fluidului printr-un asemenea instrument apare o diferenţă de presiune ca

urmare a variaţiei de viteză cauzată de variaţia de secţiune. Această diferenţă de presiune se

este dependentă de debit şi se poate măsura cu ajutorul unui aparat de măsură care conţine un

manometru diferenţial ce va afişa direct debitul.

Fig. 7.3. Sonda de presiune totală (tubul Pitot)

103

Metoda se aplică pentru conducte de secţiune circulară având diametre mai mari de

50mm aşezate orizontal şi cuprinzând porţiuni rectilinii fără rezistenţe locale în aval (distanţa

de minim 5...10 diametre de conductă faţă de dispozitiv) şi amonte (distanţa de minim 20...25

diametre de conductă faţă de dispozitiv) necesare pentru realizarea unei curgeri stabilizate cu

simetrie axială.

STAS 7347-83 alcătuit în conformitate cu normele internaţionale ISO, reglementează

modul de folosire a acestor dispozitive. Se notează cu D diametrul conductei şi cu d -

diametrul orificiului diafragmei.

Ecuaţiile pentru debitul volumic şi masic recomandate prin STAS 7347-83 sunt:

Qd

p p

2

1 24

2; (7.7)

Qd

p pm

2

1 242 . (7.8)

Ecuaţiile sunt valabile şi în cazul celorlalte dispozitive: ajutajul şi venturimetrul.

Deosebirea este că acestea din urmă dau o cădere de presiune remanentă mai mică, deci

introduc pierderi de sarcină mai mici. Din această cauză, în principiu, precizia lor este mai

mică.

Coeficientul se numeşte coeficient de debit. Este funcţie de raportul diametrelor

şi de numărul Reynolds al curgerii stabilizate în conductă, fiind dat în standardul amintit

prin valori tabelate obţinute experimental prin măsurări de mare acurateţe. Nu se acceptă

extrapolarea valorilor în afara domeniului dat.

Fig. 7.4. Schema de montaj a dispozitivelor de măsurare a debitului prin strangularea secţiunii de curgere

104

Coeficientul se numeşte coeficient de detentă conform standardului, se aplică

numai fluidelor compresibile şi este funcţie de exponentul adiabatic al gazului. Pentru

fluide incompresibile este 1.

U.7.7. Alte dispozitive pentru măsurarea debitului prin restricţia secţiunii de

curgere

Practic, orice rezistenţă hidrodinamică având o geometrie fixă introdusă în curgerea

unui fluid poate constitui un dispozitiv pentru măsurarea debitului. Precizia nu mai este cea

dată prin standardul pentru dispozitivele de mai sus, dar metoda poate fi mult mai ieftină.

Pentru o precizie mai bună se recomandă o etalonare a dispozitivelor prin determinarea

practică a curbei de etalonare (debit în funcţie de presiunea diferenţială).

În cazul general, relaţia pentru determinarea vitezei într-una dintre secţiunile

rezistenţei hidrodinamice se obţine prin aplicarea ecuaţiei lui Bernoulli între secţiunile unde

se află prizele de presiune statică (ţinând seama de rezistenţele locale şi liniare dacă este

cazul) şi ecuaţia de continuitate. Din rezolvarea acestui sistem de două ecuaţii cu două

necunoscute şi anume vitezele în cele două secţiuni se obţine una dintre viteze.

De exemplu, pentru un ajutaj convergent (confuzor) montat la ieşirea unui fluid

dintr-o instalaţie (de exemplu de ventilaţie - fig. 7.5), debitul volumic rezultă din relaţia:

Qd

d

D

p p

a

2

4 1 24

1

1

2

, (7.9)

unde coeficientul de rezistenţă locală al ajutajului este a .

Fig.7.5. Ajutaj convergent montat la ieşirea aerului dintr-o instalaţie de ventilaţie

105

Dacă se foloseşte pentru măsurarea presiunii un manometru diferenţial cu tub U

conform figurii 7.5, capătul din dreapta al acestuia va fi liber în atmosferă deoarece presiunea

.

În figura 7.6 este prezentat un confuzor montat pe o conductă. Aceeaşi relaţie (7.9)

este valabilă şi pentru acest caz.

Fig. 7.6. Confuzor montat pe o conductă

Se are în vedere faptul că în cazul acestor metode este necesar ca în amonte de

confuzor să existe o porţiune rectilinie de conductă având lungimea de cel puţin (15...20) D,

iar pentru cazul din figura 7.6 şi o porţiune rectilinie în aval, având lungimea de cel puţin

(5...10) D. Pentru o precizie mai bună este necesar ca la aplicarea ecuaţiei lui Bernoulli să se

ia în consideraţie pierderile liniare de sarcină pe porţiunile de conductă dintre prizele de

presiune şi rezistenţa locală.

O altă variantă este folosirea unui cot. Datorită unei distribuţii nesimetrice a presiunii

fluidului la ieşirea din cot se recomandă amplasarea cel puţin a prizei aval la o anumită

distanţă (5...10D).

În figura 7.7 se sugerează o metodă pentru determinarea debitului bazată pe

determinarea depresiunii p2 care apare la montarea unui ajutaj pe racordul de aspiraţie

(din mediul ambiant) al unui ventilator centrifugal.

Depresiunea se poate măsura cu un tub piezometric vertical, aşa cum se arată în

figură, sau înclinat - dacă depresiunea este mică - iar pentru ajutajul convergent având o

rază de curbură mare se poate considera un coeficient = 0,05.

Aplicând teorema energiei între un punct aflat înaintea ventilatorului, în mediul

ambiant (având viteza 0 şi presiunea relativă 0) şi punctul de intrare în ventilator, se obţine

debitul volumic sub forma:

106

. (7.12)

Depresiunea p2 rezultă din ecuaţia hidrostaticii pentru planul suprafeţei libere a

lichidului din vas:

p g hlp2 , (7.13)

iar dacă tubul este înclinat, făcând un unghi faţă de planul orizontal:

p g llp2 sin , (7.14)

unde l este lungimea zonei cu lichid piezometric din tubul înclinat.


U.7.8.1. Viteza din axul unei conducte cu diametrul D = 276 mm prin care curge

aer cu densitatea = 1,14 kg/m3 se determină cu ajutorul unui tub Pitôt-Prandtl.

Se măsoară o presiune dinamică pd = 57 Pa. Să se determine viteza, debitul

volumic şi debitul masic dacă se ia în considerare un raport v vmed max ,0 82.

Răspuns: vmax 10m s; vmed 8 2, m s; Q = 0,491 m3/s; qm = 0,559 kg/s.

U.7.8.2. În conducta de mai sus se montează o diafragmă cu diametrul orificiului

de 200 mm. Presiunea diferenţială măsurată între prizele diafragmei este p =

451 Pa. Să se determine debitul volumic şi debitul masic dacă se consideră un

coeficient de debit = 0,5556.

Fig. 7.7. Ajutaj montat la racordul de aspiraţie al unui ventilator

107

Răspuns: Q = 0,491 m3/s; qm = 0,559 kg/s.

U.7.8.3. În axa unei conducte de ventilaţie cu diametrul D = 150 mm, la ieşirea

aerului în atmosferă (densitatea = 1,125 kg/m3), se montează o sondă Pitot,

determinându-se presiunea totală: ptot=90Pa. Să se determine viteza maximă şi

debitul volumic de aer, dac[ sxe d[ raportul: (v vmed max ,0 82).

Răspuns: vmax = 12,65 m/s; Q = 0,224 m3/s.

U.7.8.4. Pe o conductă cu diametrul interior, D = 50 mm folosită pentru

alimentarea cu păcură ( = 998 kg/m3) a unui cazan energetic s-a montat, în

vederea măsurării debitului, un ajutaj având coeficientul de debit = 0,54 şi

diametrul minim d = 32 mm. Să se determine debitul masic de păcură dacă

presiunea diferenţială este p = 2 kPa.

Răspuns: qm = 1,607 kg/s.

U.7.8.5. Pentru determinarea debitului apei de răcire de la o staţie de

compresoare, s-a montat un confuzor la ieşirea apei în mediul ambiant. Diametrul

interior al conductei este de 100 mm, diametrul de ieşire al confuzorului este d =

64 mm, iar coeficientul de rezistenţă hidraulică al confuzorului este = 0,06. Să

se determine debitul apei de răcire, ştiind că aceasta are densitatea = 970 kg/m3,

iar suprapresiunea măsurată în amonte de ajutaj este p = 8,4 kPa

Răspuns: Q = 14,2.10-3 m3/s; qm = 13,77 kg/s.

U.7.8.6. Pe racordul de aspiraţie (diametrul d = 200 mm) al unui ventilator axial

se aplică un ajutaj convergent având coeficientul de rezistenţă locală =0,05. Să

se determine debitul volumic de aer vehiculat dacă un tub piezometric înclinat, cu

alcool ( = 800 kg/m3), care are un unghi de 15o faţă de planul orizontal indică l =

100 mm. Densitatea aerului este = 1,15 kg/m3.

Răspuns: Q = 0,576 m3/s.

U.7.8.7. Pentru determinarea debitului de aer dintr-o conductă de ventilaţie cu

diametrul d1 = 300 mm se ataşează, la ieşirea din aceasta, o reducţie la diametrul

d2 = 200 mm având un coeficient de rezistenţă locală = 0,132. Presiunea aerului

este p = 940 mbar, temperatura t = 19oC, iar căderea de presiune pe reducţie este

p = p1-p2 = 1570 Pa. Să se calculeze viteza aerului, debitul volumic şi debitul

masic de aer.

108

U.7.8.8. Pentru determinarea debitului unui ventilator centrifugal aferent unei

instalaţii de ventilaţie a unui garaj, i se ataşează pe racordul de aspiraţie având

diametrul d = 200 mm, un ajutaj conic convergent cu coeficientul de rezistenţă

locală = 0,108. Depresiunea creată în racordul de aspiraţie este p2-p1 = -550Pa,

iar densitatea aerului este = 1,155 kg/m3. Să se calculeze viteza aerului în

racordul de aspiraţie, debitul volumic şi debitul masic de aer.

U.7.8.9. Un cot al unei conducte forţate cu diametrul de 150 mm, aşezată în plan

orizontal, este folosit pentru determinarea aproximativă a debitului de apă

fierbinte care curge prin ea. Pentru aceasta se determină o cădere de presiune p1-

p2 = 2000 Pa, unde priza de presiune 1 se află imediat la intrarea apei în cot, iar

priza 2, la 0,75 m după cot. Se consideră un coeficient de rezistenţă locală al

cotului = 0,65 şi un coeficient al pierderilor liniare . Să se calculeze

viteza apei, debitul volumic şi debitul masic de apă. Densitatea apei se va

considera = 987 kg/m3.

109

Bibliografie

1. Benche, V. Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Universitatea din Braşov, 1978.

2. Benche, V., Todicescu, Al., Turzo, G., Crăciun, O., Ivănoiu, M. Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Îndrumar de laborator. Universitatea din Braşov, 1987.

3. Benche, V., Ivănoiu, M. Elemente aplicative la cursul de mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Universitatea din Braşov, 1982.

4. Benche, V. - coordonator. Mecanica fluidelor şi maşini hidropneumatice. Culegere de probleme. Universitatea din Braşov, 1989.

5. Benche, V., Mureşan, M., Şerbănoiu, N., Crăciun, O. Curs general de maşini hidraulice şi termice. Universitatea din Braşov, 1980.

6. Carafoli, E., Constantinescu, V. N. Dinamica fluidelor incompresibile. Editura Academiei, Bucureşti, 1981.

7. Florea, J., Seteanu, I., Zidaru, Gh., Panaitescu, V. Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Probleme. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.

8. Fetcu, D., Ungureanu, V. Tuburi termice. Ed.Lux Libris, Braşov, 1999.

9. Giurconiu, M., Mirel, I., Retezan, A., Sârbu, I. Hidraulica construcţiilor şi instalaţiilor hidroedilitare. Editura Facla, Timişoara, 1989.

10. Iamandi, C., Petrescu, V., Damian, R., Sandu, L., Anton, A. Hidraulica instalaţiilor, vol.1. Editura Tehnică, Bucureşti, 1994.

11. Idelcik, I. E. Îndrumător pentru calculul rezistenţelor hidraulice. Editura Tehnică, Bucureşti, 1984.

12. Ionescu, D. Gh., Matei, P., Ancuşa, V., Todicescu, A., Buculei, M. Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.

13. Kreith, F. ş.a. Handbook of thermal engineering. CRC Press, 2000.

14. Moţit, H.M., Ciocârlea-Vasilescu, A. Debitmetrie industrială. Editura Tehnică, Bucureşti, 1988.

15. Opruţa, D., Vaida, L., Giurgea, C. Statica şi cinematica fluidelor - curs universitar. Editura Todesco, Cluj-Napoca, 2000.

16. Pavel, D., Hâncu, S., Burchiu, V., Cucoaneş, V., Giuşcă, I. Utilaje hidromecanice pentru sisteme de îmbunătăţiri funciare. Staţii de pompare. Editura Ceres, Bucureşti, 1974.

17. Pop, M. G., Leca, A., Prisecaru, I., Neaga, C., Zidaru, Gh., Muşatescu, V., Isbăşoiu, E. C. Îndrumar. Tabele, nomograme şi formule termotehnice.. Editura Tehnică, Bucureşti, 1987.

18. Postelnicu, A. Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Culegere de probleme.

19. Postelnicu, A. coord. Mecanica fluidelor şi maşini hidropneumatice. Îndrumar de laborator. Universitatea "Transilvania" din Braşov, 2003.

20. Roman, P., Isbăşoiu, E. C., Bălan, C. Probleme speciale de hidromecanică. Editura Tehnică, Bucureşti, 1987 .

21. Şova, V., Şova, M., Mureşan, M., Şerbănoiu, N., Hoffmann, V., Băcanu, Gh., Ungureanu, V., Fetcu, D., Boian, I. Lucrări practice de termotehnică. Universitatea din

110

Braşov, 1987.

22. Şova, V., Şova, M., Şova, D. Termotehnică, maşini şi maşini termice. Baze teoretice, probleme. Universitatea "Transilvania" din Braşov, 1998.

23. Todicescu, Al. Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1974.

24. Todicescu, A. Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Partea I-a. Universitatea din Braşov, 1968.

25. Todicescu, A., Benche,V. Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Partea a II-a. Universitatea din Braşov, 1973.

26. Todicescu, A., Postelnicu, A. Mecanica fluidelor, maşini şi acţionări hidro-pneumatice. Componenete de acţionări hidropneumatice. Universitatea Transilvania, Braşov, 1991.

27. Todicescu, A., Benche, V., Turzo, G. Anexe la cursul de mecanica fluidelor. Institutul Politehnic Braşov, 1969.

28. Turzo, G. Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Universitatea din Braşov, 1981.

29. Ungureanu, V. B. Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice. Universitatea "Transilvania" din Braşov, 1997.

30. Ungureanu, V.B. Mecanica fluidelor. Editura Universităţii "Transilvania" din Braşov, 2000.

111

mecanica fluidelor me ifr structura ui

Documents