matematic Ă aplicat Ă În economie anul i, semestrul i

UNIVERSITATEA „DANUBIUS“ DIN GALAŢI

DEPARTAMENTUL DE ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ SI FRECVENTA REDUSA

FACULTATEA DE ŞTIINŢE ECONOMICE

CĂTĂLIN ANGELO IOAN

Anul I, Semestrul I

MATEMATICĂ APLICATĂ ÎN ECONOMIE

Matematică aplicată în Economie 2

CUPRINS

1. Algebră liniară

Matrice şi determinanţi

Sisteme de ecuaţii liniare

Spaţii vectoriale reale

Aplicaţii liniare

Aplicaţii multiliniare. Forme pătratice. Vectori şi valori proprii

2. Analiză matematică

Spaţii topologice

Diferenţiabilitatea funcţiilor

Serii numerice. Serii de funcţii. Serii de puteri. Dezvoltarea în serie Taylor

Extremele funcţiilor

3. Ecuații diferențiale

Ecuații diferențiale – introducere

Tipuri principale de ecuații diferențiale de ordinul 1

Ecuații diferențiale de ordin superior

Ecuații diferențiale liniare de ordinul n

4. Programare liniară

Probleme economice ce conduc la modelul matematic al programării liniare

Algoritmul simplex primal

Dualitate în programarea liniară

Reoptimizare şi parametrizare în programarea liniară

Problema de transport

5. Matematici financiare

Dobânzi


Operaţiuni de scont

Plăţi eşalonate (rente)

Bibliografie (de elaborare a cursului)


INTRODUCERE Modulul intitulat Matematica aplicată în economie se studiază în anul I, semestrul I și vizează dobândirea de competențe în domeniul matematicii.

După ce se va învăța modulul, vor fi dobândite următoarele competențe generale:

• Cunoaşterea şi utilizarea adecvată a noţiunilor specifice disciplinei, explicarea şi interpretarea unor idei specifice acesteia, precum şi proiecte teoretice şi/sau practice de aplicare a noţiunilor specifice.

• Proiectarea şi evaluarea activităţilor practice specifice disciplinei; utilizarea unor metode, tehnici şi instrumente de investigare şi aplicare.

• Manifestarea unor atitudini pozitive şi responsabile faţă de domeniul ştiinţific în care se regăseşte disciplina, cultivarea unui mediu ştiinţific centrat pe valori şi relaţii democratice, valorificare optimă şi creativă a propriului potenţial în activităţile ştiinţifice, participarea la propria dezvoltare profesională.

Obiectivele cadru pe care le propun sunt următoarele:

• selectarea informaţiilor esenţiale din curs şi din bibliografie;

• formarea deprinderilor de calcul matematic în abordarea unor probleme economice complexe;

• dezvoltarea capacității de a modela o serie de obiecte economice.

Conținutul este structurat în următoarele unităţi de învăţare:

- Algebră liniară - Analiză matematică - Teoria probabilităţilor şi statistică matematică - Ecuații diferențiale - Programare liniară - Matematici financiare

În prima unitate de învăţare intitulată Algebră liniară se va regăsi operaționalizarea următoarelor obiective specifice:

- să folosești în mod practic instrumentarul matriceal;

- să modelezi realitatea economică prin mijlocirea aplicațiilor liniare și transformarea biunivocă între spațiile concrete și cele abstracte;

- să recapitulezi, reformulând metodele de calcul al determinanţilor, inversei şi rangului unei matrice şi rezolvând sistemele de ecuaţii liniare;

- să explici noţiunea de spaţiu vectorial ca generalizare a unor mulţimi studiate în anii anteriori;


- să operezi cu transportul de structuri de la aplicaţiile practice la cele teoretice şi invers;

- să utilizezi noţiunile de vector şi valoare proprie

după ce se va studia conținutul cursului şi se va parcurge bibliografia recomandată. Pentru aprofundare şi autoevaluare se propun exerciții şi teste adecvate.

După ce se va parcurge informația esențială, în a doua unitate de învăţare intitulată Analiză matematică se vor operaționaliza, odată cu cunoștințele oferite, noi obiective specifice:

- să explici noţiunea de spaţiu topologic;

- să definești diferenţiabilitatea funcţiilor;

- să descrii seriile numerice şi seriile de puteri;

- să determini extremele funcţiilor;

- să categorisești integralele improprii, duble şi triple

care vor permite să se aplice în probleme concrete de natură economică cunoștințele învățate. Ca să se poată evalua gradul de însușire a cunoștințelor, va fi rezolvată o lucrare de evaluare care după corectare va fi primită cu observațiile adecvate şi cu strategia corectă de învăţare pentru modulele următoare.

În a treia unitate de învăţare intitulată Teoria probabilităţilor şi statistică

matematică se va regăsi operaționalizarea următoarelor obiective specifice:

- să definești noțiunea de probablitate;

- să aplici schemele de probabilitate;

- să explici indicatorii numerici ai variabilelor aleatoare;

- să determini regresia liniară


După ce se parcurge informația esențială, în a patra unitate de învăţare intitulată Ecuații diferențiale se vor achiziționa, odată cu cunoștințele oferite, noi obiective specifice:

- să aplici corect noile concepte;

- să rezolvi principalele tipuri de ecuații diferențiale și sistemele de ecuații diferențiale de ordinul 1;

- să reduci ecuațiile diferențiale de ordin superior la ordine inferioare


În a cincea unitate de învăţare intitulată Programare liniară se va regăsi operaționalizarea următoarelor obiective specifice:


- să aplici corect algoritmul simplex;

- să interpretezi corect semnificația variabilelor duale;

- să modelezi rezolvând coprespunzător problemele de transport


După ce se va parcurge informația esențială, în a șasea unitate de învăţare intitulată Matematici financiare se vor achiziționa, odată cu cunoștințele oferite, noi obiective specifice:

- să aplici noţiunile de dobândă simplă şi compusă;

- să calculezi scadenţe și operaţiuni de scont;

- să detaliezi ratele de anuităţi și împrumuturi


Pentru o învăţare eficientă este nevoie de următorii pași obligatorii:

• Să se citească modulul cu maximă atenție; • Să se evidențieze informațiile esențiale cu culoare, să fie notate pe

hârtie, sau adnotate în spațiul alb rezervat; • Să se răspundă la întrebări şi să se rezolve exercițiile propuse; • Să se simuleze evaluarea finală, autopropunându-vă o temă şi

rezolvând-o fără să apelați la suportul scris; • Să se compare rezultatul cu suportul de curs şi să vă explicaţi de ce ați

eliminat (eventual) anumite secvențe; • În caz de rezultat nesatisfăcător să se reia întreg demersul de învăţare.

Se vor primi, după fiecare capitol parcurs, lucrări de verificare, cu cerinţe clare, care vor trebui rezolvate, imediat ce s-a primit prin intermediul platformei de învățământ sarcinile de rezolvat, în termen de maximum o săptămână; în acest fel vor fi îndeplinite obiectivele pe care le-am formulat. Se va răspunde în scris la aceste cerințe, folosindu-vă de suportul de curs şi de următoarele resurse suplimentare (autori, titluri, pagini). Veți fi evaluat după gradul în care ați reușit să operaționalizați competenţele. Se va ţine cont de acuratețea rezolvării, de modul de prezentare şi de promptitudinea răspunsului. Pentru neclarităţi şi informații suplimentare veți apela la tutorele indicat. 60% din notă va proveni din evaluarea continuă (cele două lucrări de verificare) şi 40% din evaluarea finală.

Cătălin Angelo Ioan Algebra liniară


1. ALGEBRĂ LINIARĂ

Matrice şi determinanţi

Sisteme de ecuaţii liniare

Spaţii vectoriale reale

Aplicaţii liniare

Aplicaţii multiliniare. Forme pătratice. Vectori şi valori proprii

Obiectivele unităţii de învăţare

Rezumat

Teste de autoevaluare

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare

Bibliografie minimală

Obiective specifice:

La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:

- să folosești în mod practic instrumentarul matriceal; - să modelezi realitatea economică prin mijlocirea aplicațiilor liniare și

transformarea biunivocă între spațiile concrete și cele abstracte; - să recapitulezi, reformulând metodele de calcul al determinanţilor,

inversei şi rangului unei matrice şi rezolvând sistemele de ecuaţii liniare;

- să explici noţiunea de spaţiu vectorial ca generalizare a unor mulţimi studiate în anii anteriori;

- să operezi cu transportul de structuri de la aplicaţiile practice la cele teoretice şi invers;

- să utilizezi noţiunile de vector şi valoare proprie.

Timp mediu estimat pentru studiu individual: 6 ore



1.1. Matrice și determinanți

1.1.1. Noțiuni introductive

Pentru început să notăm Nm={1,...,m}, m∈N*.

Definiţie

Se numeşte matrice de tipul m×n cu coeficienţi reali o funcţie A:Nm×Nn→R,

(i,j)→A(i,j)∈R.

Pentru ca operaţiile şi aplicaţiile matricelor să aibă o exprimare cât mai simplă vom conveni să aranjăm elementele unei matrice sub forma unui tablou:

A=

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

L

LLLL

L

L

sau prescurtat A= ( )n,...,1jm,...,1iija

== , A=(aij), i=1,...,m, j=1,...,n (notaţie preferată aici din

motive de redactare) sau simplu A=(aij) dacă domeniile de variaţie ale lui i şi j sunt subînţelese din context. Elementul (ai1 ai2 ... ain) reprezintă linia “i” a

matricei A, i=1,...,m, iar

mj

j2

j1

a

a

a

M coloana “j” a matricei A, j=1,...,n. O matrice

cu o linie şi n coloane se numeşte matrice linie, iar o matrice cu m linii şi o coloană se numeşte matrice coloană. O matrice cu acelaşi număr de linii şi coloane, m=n, se numeşte matrice pătratică. Numărul n se numeşte ordinul matricei.

Vom nota cu Mmn(R) mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane şi cu Mn(R) mulţimea matricelor pătratice de ordinul n.

Considerând o matrice A∈Mn(R), mulţimea ordonată (a11,a22,...,ann) se numeşte diagonala principală a matricei, iar mulţimea ordonată (a1n,a2 n-1,...an1) se numeşte diagonala secundară a matricei.

Definiţie

Se numeşte aplicaţie de transpunere aplicaţia f:Mmn(R)→Mnm(R), f(A)=At

unde At=(a'ij), i=1,...,n, j=1,...,m iar a'ij=aji ∀i=1,...,n, j=1,...,m, A=(aji), j=1,...,m, i=1,...,n fiind matricea dată. Matricea At se numeşte transpusa lui A.

Transpusa unei matrice se obţine prin schimbarea liniilor în coloane sau a coloanelor în linii. Operaţia de transpunere nu păstrează tipul matricelor decât în cazul celor pătratice.

Definiţie

Fie A,B∈Mmn(R), A=(aij), B=(bij). Se numeşte suma matricelor A şi B

matricea A+B=(cij)∈Mmn(R), cij=aij+bij ∀i=1,...,m, j=1,...,n.



Definiţie

Fie α∈R şi A∈Mmn(R), A=(aij). Se numeşte înmulţirea cu scalari a matricei

A cu α matricea αA=(cij)∈Mmn(R), cij=αaij ∀i=1,...,m, j=1,...,n.

Definiţie

Fie A∈Mmn(R), B∈Mnp(R), A=(aij), B=(bij). Se numeşte produsul matricelor

A şi B matricea AB=(cij)∈Mmp(R), cij=∑=

n

1kkjik ba ∀i=1,...,m, j=1,...,p.

Definiţie

Fie A∈Mn(R). Matricea A se numeşte inversabilă dacă ∃B∈Mn(R) astfel încât AB=BA=In.

Definiţie

Se numeşte permutare de m elemente (m≥1) o funcţie bijectivă σ:Nm→Nm.

Definiţie

Fie A∈Mn(R), A=(aij). Se numeşte determinantul lui A numărul:

det A= ∑∈σ

σσσεnS

)n(n)1(1 a...a)(

Definiţii

Fie o matrice A∈Mn(R), A=(aij). Fixăm liniile i1,...,ik şi coloanele j1,...,jk în matricea dată. Determinantul format cu elementele aflate la intersecţia liniilor şi coloanelor fixate se numeşte minor al matricei A şi se notează:

k1

k1

i...i

j...j∆ =

kk1k

k111

jiji

jiji

aa

aa

L

LLL

L

Determinantul obţinut prin eliminarea liniilor şi coloanelor fixate mai sus se

numeşte minor complementar lui k1

k1

i...ij...j∆ şi se notează k1

k1

i...ij...jδ . Numărul:

k1

k1

k1k1k1

k1

i...ij...j

j...ji...ii...ij...j )1( δ−=Γ +++++ se numeşte cofactorul sau complementul lui

k1

k1

i...ij...j∆ .

1.1.2. Rezultate esențiale în calculul determinanților

Teoremă (Binet-Cauchy)

Fie m,n∈N*, m≤n şi A∈Mmn(R), B∈Mnm(R). Atunci:

∑≤<<≤ nj...j1

j...jj...j

m1

m1

m1B detA det=AB det



Corolar

Fie A,B∈Mn(R). Atunci det AB=det A⋅det B.

Definiţie

Fie A∈Mmn(R), A=(aij). Fie p∈N* astfel încât 1≤p<m şi r∈N* astfel încât

1≤r<n. Definim patru matrice B∈Mpr(R), C∈Mp,n-r(R), D∈Mm-p,r(R), E∈Mm-

p,n-r(R) astfel:

=

=

=

=

++++

+

+

mn1m

n 1p1+r 1p

mr1m

r 1p1 1p

pn1r p

n11r 1

pr1p

r111

aa

aa

E ,

aa

aa

D

,

aa

aa

C ,

aa

aa

B

L

LLL

L

L

LLL

L

L

LLL

L

L

LLL

L

Se spune în acest caz că am partiţionat matricea A în blocurile B, C, D, E.

Vom scrie A=

ED

CB.

Propoziţie

Fie A∈Mn(R) şi B∈Mk(R), C∈Mn-k(R) unde k<n astfel încât A=

C0

0B. Are

loc atunci următoarea egalitate:

det A=det B⋅det C

Teoremă (Laplace)

Fie A∈Mn(R) şi i1,...,ik linii fixate în matrice. Atunci:

det A= ∑≤<<≤

Γ∆nj...j1

i...ij...j

i...ij...j

k1

k1

k1

k1

k1



1.1.3. Rangul unei matrice

Definiţie

Se numeşte rang al unei matrice, maximul ordinelor minorilor nenuli ai matricei date.

Definiţie

Se numesc transformări elementare ale unei matrice următoarele:

i) permutarea liniilor sau coloanelor;

ii) înmulţirea unei linii (coloane) cu un factor nenul;

iii) adunarea a două linii (coloane).

Propoziţie

Rangul unei matrice este invariant la transformări elementare.

Propoziţie

Fie A=

C0

0B. Atunci: rang A=rang B+rang C

Corolar

Fie A= .A rang=A rang Atunci .

A00

0A0

00Ak

1=ii

k

2

1

∑

L

LLLL

L

L

Sarcina de lucru 1

Aplicând teorema Laplace să se calculeze determinantul:

83402

34217

18453

10705

30102

−

−

−



Corolar

Fie A=

kk

k222

k11211

A00

AA0

AAA

L

LLLL

L

L

unde Aii, i=1,...,k-1 sunt matrice pătratice de

rang egal cu ordinul lor. Atunci: rang A=∑=

n

1kiiA rang .

Definiţii

O matrice de forma A=

kk

k222

k11211

A00

AA0

AAA

L

LLLL

L

L

unde Aii, i=1,...,k sunt matrice

pătratice se numeşte matrice superior cvasitriunghiulară. Transpusa unei matrice superior cvasitriunghiulare se numeşte matrice inferior cvasitriunghiulară. O matrice inferior (superior) cvasitriunghiulară cu

blocurile Aij=0 ∀i≠j=1,...,k se numeşte matrice cvasidiagonală. O matrice A în care blocurile Aij, i,j=1,...,k sunt matrice de ordin 1 se numeşte matrice superior triunghiulară, matrice inferior triunghiulară respectiv matrice diagonală. Dacă matricea Akk este nulă şi nu neapărat pătratică vom spune că A este matrice trapezoidală. Vom numi bloc diagonal principal (sau uneori bloc diagonal) un bloc al matricei care are diagonala principală inclusă în diagonala principală a matricei date.

Propoziţie

Determinantul unei matrice cvasidiagonale sau cvasitriunghiulare este egal cu produsul determinanţilor blocurilor diagonale principale.



1.1.4. Regula dreptunghiului

Fie deci A=(aij)∈Mmn(R). Fixăm două linii i şi j şi două coloane k şi p în matricea A astfel încât aik≠0. Avem deci:

Vom numi elementul aik≠0 pivot. Înmulţind linia i cu ik

jk

a

a− şi adunând-o la

linia j obţinem a'jk=0 unde notăm cu ' elementele transformate. Avem atunci

pentru un element oarecare ajp: a'jp=ik

jkipjpik

a

aaaa −. Regula de obţinere a lui a'jp

din ajp se numeşte regula dreptunghiului. Într-adevăr, împrumutând denumiri matriceale, construind dreptunghiul cu diagonala principală (în sensul de mai jos) determinată de pivot şi de elementul supus transformării, obţinem că noul element va fi dat de scăderea produsului elementelor de pe diagonala secundară din produsul celor de pe diagonala principală, rezultatul împărţindu-se la pivot. Cum pivotul este nenul, putem să mai facem o transformare elementară înmulţind linia i cu pivotul. În acest caz, avem: a'jp=aikajp-aipajk. Vom conveni să distingem regulile după cele două moduri de transformare numindu-le regula dreptunghiului cu împărţire la pivot, respectiv fără împărţire la pivot. Vom prefera însă regula dreptunghiului fără împărţire la

Sarcina de lucru 2

Să se determine rangul matricei: A=

−

300000

850000

624100

916500

698342

687321

.

=

LLLLL

LLL

LLLLL

LLL

LLLLL

jpjk

ipik

aa

aa

A

pivot

+ -

ele

mentu

l de

transfo

rmat



pivot din două motive: pe de o parte reduce numărul de calcule, iar pe de alta, reduce erorile de rotunjire ce apar în urma prelucrării cu mijloace de calcul. Din acest motiv, vom spune simplu regula dreptunghiului (specificând explicit faptul că este cu împărţire la pivot atunci când va fi cazul).

Pentru determinarea rangului lui A vom proceda astfel: dacă A=0 atunci rang A=0. Dacă A≠0 atunci ∃aij≠0. Dacă i,j≠1 atunci prin permutări de linii şi coloane se poate aduce acest element în colţul din stânga-sus al matricei. Putem deci presupune că a11≠0. Considerându-l pe a11 drept pivot şi aplicând regula dreptunghiului pentru liniile 2,...,m obţinem matricea A1∼A:

A1=

mn3m2m

n33332

n22322

n1131211

'a'a'a0

'a'a'a0

'a'a'a0

'a'a'a'a

L

LLLLL

L

L

L

Procesul se continuă apoi pentru sub-matricea obţinută din A1 prin eliminarea primei linii şi primei coloane obţinându-se în final o matrice Ak∼A (relaţia este tranzitivă):

Ak=

000

000

'a'a0

'a'a'a

knkk

n1k111

LL

LLLLL

LL

LL

LLLLL

LL

unde am notat tot cu ' elementele transformate fără a le confunda însă cu cele din A1. Ultimele linii pot evident lipsi în cazul în care k=m (să mai notăm aici

şi faptul că rang A≤min{m,n}). Conform corolarului 45, avem rang A=rang Ak=rang(a11)+...+ rang(akk)=k deci rangul este egal cu numărul pivoţilor.



1.1.5. Inversabilitatea matricelor

Teoremă Fie A∈Mn(R). A este inversabilă⇔det A≠0. Teoremă Dacă printr-o succesiune de transformări elementare asupra liniilor (coloanelor) unei matrice A se obţine matricea unitate I atunci considerând aceleaşi transformări aplicate matricii unitate I se obţine matricea inversă A-1. Teoremă

Fie matricea A=

43

21

AA

AA unde A∈Mn(R), A1∈Mk(R), A2∈Mk,n-k(R),

A3∈Mn-k,k(R), A4∈Mn-k,n-k(R), 1≤k≤n-1. Dacă matricele A1, A4, A1-A2A4-

1A3 şi A4-A3A1-1A2 sunt inversabile atunci A-1=

43

21

BB

BB unde: B1=(A1-

A2A4-1A3)

-1, B4=(A4-A3A1-1A2)

-1, B2= -A1-1A2B4 şi B3= -A4

-1A3B1.

Sarcina de lucru 3

Să se determine rangul matricei: A=

−−

−

−

353431

858350

624124

917643

698342

687321

folosind regula dreptunghiului.



1.2. Sisteme de ecuații liniare 1.2.1. Noțiuni introductive

Definiţii

Se numeşte sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute problema determinării numerelor reale xi∈R astfel încât:

=+++

=+++

mnmn22m11m

1nn1212111

bxa...xaxa

bxa...xaxa

L

unde aij∈R, bi∈R, i=1,...,m, j=1,...,n. Numerele reale aij se numesc coeficienţii sistemului, bi se numesc termenii liberi ai sistemului iar xi - necunoscutele

sau variabilele sistemului. Matricea A=(aij)∈Mmn(R) se numeşte matricea

sistemului, B=(bi)∈Mm1(R)-matricea termenilor liberi, iar X=(xi)∈Mn1(R)- matricea necunoscutelor. Definim, de asemenea, matricea Ae=(A,B) obţinută prin adăugarea lui B la dreapta matricei A. Matricea Ae se numeşte matricea extinsă a sistemului. Cu aceste notaţii, sistemul de mai sus se scrie şi sub forma AX=B. Dacă B=0 acesta se numeşte sistem omogen. O altă notaţie a unui sistem se obţine considerând vectorii coloană aj=(a1j a2j ... amj)

t, j=1,...,n ai

matricei A. Sistemul se va scrie atunci: Bxan

1jj

j =∑=

.

Sarcina de lucru 4

Să se inverseze matricea: A=

1274

2321

3435

4312

.



Definiţie

Considerând un sistem de ecuaţii AX=B se numeşte soluţie a sistemului un

vector X=(x1,...,xn)t∈Mn1(R) ce satisface egalitatea matriceală AX=B.

Definiţii

Un sistem care admite soluţie se numeşte sistem compatibil. Dacă soluţia este unică, atunci el se numeşte sistem compatibil determinat, în caz contrar, numindu-se sistem compatibil nedeterminat. Un sistem care nu are soluţie se numeşte sistem incompatibil.

Teoremă (Kronecker-Capelli)

Un sistem este compatibil dacă şi numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei sale extinse.

Definiţie

Fiind dat sistemul AX=B numim sistem omogen asociat, sistemul AX=0.

Propoziţie

Fie sistemul AX=B şi X0 o soluţie a sa. Atunci, orice soluţie este de forma X=X0+Y unde Y este soluţie a sistemului omogen asociat. Reciproc, pentru orice soluţie Y a sistemului omogen asociat rezultă că X=X0+Y este soluţie a sistemului dat.

Teoremă

Fie un sistem omogen AX=0, rang A=r≤n unde A∈Mn(R). Mulţimea soluţiilor sistemului are următoarele proprietăţi:

1) Dacă X1,X2 sunt soluţii atunci X1+X2 este soluţie;

2) Dacă X1 este soluţie şi α∈R atunci αX1 este soluţie;

3) Există n-r soluţii independente X1,...,Xn-r (în sensul că nu se poate obţine una ca o combinaţie liniară de celelalte - se va studia ulterior conceptul de combinaţie liniară) astfel încât orice soluţie X se poate scrie sub forma: X=α1X1+...+αn-rXn-r cu α1,...,αn-r∈R.



1.2.2. Metoda lui Gauss

Fie sistemul AX=B cu n ecuaţii şi n necunoscute, iar rang A=n. Fie matricea extinsă Ae. Ideea folosită aici este cea de la determinarea rangului unei matrice. Dacă Ae este supusă transformărilor elementare cu pivoţi numai din A atunci rangurile celor două matrice rămân invariante, compatibilitatea sistemului conservându-se. Ne propunem să analizăm efectul transformărilor elementare asupra soluţiilor sistemului. Astfel, la permutarea a două linii ale lui Ae efectul va fi de permutare a ecuaţiilor sistemului ceea ce evident nu alterează soluţiile. Amplificarea unei linii cu un factor nenul se transpune în amplificarea ecuaţiei respective, iar adunarea a două linii reprezintă adunarea ecuaţiilor corespunzătoare, niciuna din variante nemodificând soluţiile. Transformările elementare aplicate coloanelor modifică în general soluţiile, singurul efect minor apărând la permutarea coloanelor ceea ce duce la renumerotarea variabilelor. Aplicând deci regula dreptunghiului pe linii, sistemul capătă forma:

Sarcina de lucru 5

Să se studieze dacă sistemul:

=+

=+

=+

=+−+

75t2y

-23z4x

0t-3z5y-3x

2t7z3y5x2

este compatibil

determinat.



=

=++

=+++

nnnn

2nn2222

1nn1212111

bxa

bxa...xa

bxa...xaxa

L

cu aii≠0, i=1,...,n (deoarece rang A=n). Înlocuind succesiv soluţiile în ecuaţiile de deasupra obţinem:

−=−−−

=

=

+ 1,...,1nk ,a

xa...xabx

a

bx

kk

1k1+k knknkk

nn

nn

Exemplu: Să se studieze compatibilitatea, iar în caz afirmativ să se rezolve

prin metoda Gauss sistemul:

=++++

=+−+

=+++

3z)3a(ayx)1a(3

a2zy)1a(ax

az2yx)3a(

, a∈R.

Soluţie Vom nota la permutarea a două coloane a matricei extinse noua

ordine a necunoscutelor deasupra acesteia pentru ca în cazul compatibilităţii

să le putem recupera corect din sistem.

Avem: Ae=

++

−

+

3

a2

a

3aa3a3

11aa

213a

zy x

∼

++

−

+

3

a2

a

3a33aa

a11a

3a21

x zy

∼

−

+−

−−

+−−−

+

2

2

2

2

a3

a3a

a

a3a30

3aaa230

3a21

x zy

. Dacă a=3

2 atunci rezultă că:

rang Ae=rang A=3 iar sistemul devine:

14=17x

23=23x+21z

2=11x+6z+3y

de unde:

119

326y ,

119

23z ,

17

14=x −== . Dacă a≠

3

2 atunci:

Ae∼

+−+

+−

−

+−−−

+

9a15a3a

a3a

a

)1a(a00

3aaa230

3a21

x zy

23

2

2

2 de unde se obţine că a=0 sau

a=1⇒rang(Ae)=3≠2=rang(A) deci sistemul este incompatibil iar în caz



contrar este compatibil iar soluţia este: x=)1a(a

9a15a3a2

23

−

+−+,

z=)1a(a

18a45a15a18a82

234

−

−+−−, y=

)1a(a

9a54a36a29a162

234

−

+−++−.

1.2.3. Metoda descompunerii în blocuri

Fie sistemul AX=B cu n ecuaţii şi necunoscute iar rang A=n. Partiţionăm

matricea A în forma A=

43

21

AA

AA unde A∈Mn(R), A1∈Mk(R), A2∈Mk,n-k(R),

A3∈Mn-k,k(R), A4∈Mn-k,n-k(R), 1≤k≤n-1 iar matricele A1 şi A4-A3A1-1A2 sunt

inversabile. Notăm Y1=(x1,..., xk)t, Y2=(xk+1,...,xn)

t, B1=(b1,...,bk)t,

B2=(bk+1,...,bn)t. Sistemul se scrie sub forma:

=+

=+

22413

12211

BYAYA

BYAYA

Sarcina de lucru 6

Să se studieze compatibilitatea, iar în caz afirmativ să se rezolve prin metoda Gauss sistemul:

=+++

=−++

=++−

4z)3a2(ayx

a5z3y)1a2(x

a3zy2x)2a(

, a∈R.



Din prima ecuaţie rezultă Y1=A1-1B1-A1

-1A2Y2 şi înlocuind în a doua ecuaţie, obţinem: Y2=(A4-A3A1

-1A2)-1(B2-A3A1

-1B1). Revenind apoi la Y1 se obţine şi expresia acestuia: Y1=A1

-1B1-A1-1A2(A4-A3A1

-1A2)-1(B2-A3A1

-1B1).

Exemplu: Să se rezolve sistemul următor prin metoda descompunerii în

blocuri:

−=+−+

−=+−

=−−

=−+−

6t5z2y2x2

3tzx3

2t3yx2

1tzyx2

.

Soluţie Rescriem sistemul permutând liniile 2 şi 3 astfel încât matricea A1 să

fie inversabilă. Avem astfel: A1=

−

03

12, A2=

−

−

11

11, A3=

−

22

12, A4=

−

−

52

30, B1=

− 3

1, B2=

− 6

2. Avem acum A1

-1=

− 23

10

3

1,

(A4-A3A1-1

A2)-1

=

− 12

21

3

1, B2-A3A1

-1B1=

2

1 de unde Y2=

−3

43

5

, Y1=

2

0.

Prin urmare, x=0, y=2, z=3

5, t=-

3

4.

Sarcina de lucru 7

Să se studieze rezolve, prin metoda descompunerii în blocuri, sistemul:

=+

=+

=+

=+−+

75t2y

-23z4x

0t-3z5y-3x

2t7z3y5x2



1.3. Spații vectoriale reale 1.3.1. Definiție, reguli de calcul, subspații vectoriale

Definiţie

Fie câmpul numerelor reale R şi V o mulţime nevidă. V se numeşte spaţiu vectorial real dacă există o lege de compoziţie internă +:V×V→V şi o lege de compoziţie externă ⋅:R×V→V astfel încât:

1) (x+y)+z=x+(y+z) ∀x,y,z∈V;

2) ∃e∈V astfel încât ∀x∈V⇒e+x=x;

3) ∀x∈V⇒∃x'∈V astfel încât x'+x=e;

4) α(x+y)=αx+αy ∀α∈R ∀x,y∈V;

5) (α+β)x=αx+βx ∀α,β∈R ∀x∈V;

6) (αβ)x=α(βx) ∀α,β∈R ∀x∈V;

7) 1x≠0 ∀x∈V, x≠0.

Vom nota în cele ce urmează V/R faptul că V este spaţiu vectorial peste câmpul R sau, uneori, simplu V.

Propoziţie (reguli de calcul)

Fie V/R. Atunci:

a) (V,+) este grup cu elementul neutru 0 şi -x elementul opus lui x∈V;

b) α(x-y)=αx-αy ∀α∈R ∀x,y∈V;

c) (α-β)x=αx-βx ∀α,β∈R ∀x∈V;

d) ∑∑∑∑= ===

α=αn

1i

m

1jji

m

1jj

n

1ii yy ∀m,n∈N* ∀αi∈R, i=1,...,n ∀yj∈V, j=1,...,m;

e) α0=0 ∀α∈R;

f) 0x=0 ∀x∈V;

g) 1x=x ∀x∈V;

h) αx=0⇒α=0 sau x=0;

i) α(-x)=(-α)x=-αx ∀α∈R ∀x∈V;

j) (-α)(-x)=αx ∀α∈R ∀x∈V;

k) x+y=y+x ∀x,y∈V;

l) Fie σ∈Sn (grupul permutărilor de n elemente). Atunci: ∑∑=

σ=

=n

1i)i(

n

1ii xx

∀n∈N* ∀xi∈V, i=1,...,n.



Definiţie

Fie V/R şi U⊂V. U se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă operaţiile induse de pe V pe U conferă lui U o structură de spaţiu vectorial real. Vom nota U<V.

Definiţie

Fie V/R şi v1,...,vn∈V, α1,...,αn∈R, n∈N*. Vectorul v=α1v1+...+αnvn se numeşte combinaţie liniară a vectorilor vi, i=1,...,n.

Noţiunea de combinaţie liniară furnizează cea mai largă operaţie complexă care se poate efectua într-un spaţiu vectorial.

Teoremă

Fie V/R şi U⊂V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) U este subspaţiu vectorial al lui V;

2) ∀x,y∈U ∀α∈R⇒x+y∈U,αx∈U;

3) ∀α,β∈R ∀x,y∈U⇒αx+βy∈U;

4) ∀n∈N* ∀αi∈R ∀vi∈U, i=1,...,n⇒α1v1+...+αnvn∈U.

Propoziţie

Fie V/R şi v1,...,vn∈V, n∈N*. Atunci:

<v1,...,vn>= {α1v1+...+αnvnαi∈R, i=1,...,n}

este un subspaţiu vectorial al lui V şi este cel mai mic (în sensul incluziunii) subspaţiu care conţine pe v1,...,vn.

Definiţie

Numim <v1,...,vn> subspaţiul generat de sistemul de vectori {v1,...,vn}.

Propoziţie

Fie V/R şi U1,U2<V. Atunci U1∩U2<V.

Propoziţie

Fie V/R şi U1,U2<V. Atunci U1+U2={v+wv∈U1, w∈U2}<V.

Exemplu:

Fie în R3 mulţimile U1={(a+b,2a-b,a)a,b∈R} şi U2={(c+2d,2c+d,-3c-d)

c,d∈R}.

1) Să se arate că U1<R3 şi U2<R

3;

2) Să se determine U1∩U2;

3) Să se arate, folosind definiţia, că U1∩U2<R3.

Soluţie 1)Fie x=(a+b,2a-b,a)∈U1 şi y=(a'+b',2a'-b',a')∈U1 şi α,β∈R. Avem

αx+βy=α(a+b,2a-b,a)+β(a'+b',2a'-b',a')=(αa+αb,2αa-αb,αa)+



(βa'+βb',2βa'-βb',βa')=((αa+βa')+(αb+βb'),2(αa+βa')-(αb+βb'),

(αa+βa'))∈U1 deci U1<R3. Putem proceda însă mult mai simplu. Fie x∈U2.

Avem x=(c+2d,2c+d,-3c-d)=(c,2c,-3c)+(2d,d,-d)=c(1,2,-3)+d(2,1,-1). U2 este

deci un spaţiu vectorial generat de vectorii (1,2,-3) şi (2,1,-1). 2)Fie

x∈U1∩U2. Atunci ∃a,b,c,d∈R astfel încât x=(a+b,2a-b,a)=(c+2d,2c+d,-3c-d).

Din sistemul:

−−=

+=−

+=+

dc3a

dc2ba2

d2cba

obţinem în final x=(-3c,0,-c), c∈R. Reciproc,

dacă x=(-3c,0,-c), c∈R, considerând a=-c, b=-2c⇒ x∈U1 iar dacă d=-

2c⇒x∈U2 deci x∈U1∩U2. Prin urmare U1∩U2={(-3c,0,-c) c∈R}. 3)Fie x=(-

3a,0,-a) şi y=(-3b,0,-b) vectori din U1∩U2. Pentru α,β∈R, arbitrari,

avem:αx+βy=(-3(αa+βb),0,-(αa+βb))∈U1∩U2 deci U1∩U2<R3.

Sarcina de lucru 8

Fie d∈R–fixat şi U={aX3+bX2+cX+da,b,c∈R}. Să se cerceteze dacă

U<R[X].



1.3.2. Sisteme de generatori, dependenţă liniară, baze

Definiţie

Fie V/R şi S={v1,...,vn}⊂V unde n∈N*. S se numeşte sistem (finit) de

generatori pentru V dacă ∀v∈V⇒∃α1,...,αn∈R astfel încât v=α1v1+...+αnvn. V se numeşte spaţiu vectorial finit generat şi vom scrie V=<v1,...,vn>.

Teoremă

Fie V/R şi S={v1,...,vn} un sistem de generatori al lui V. Fie T={w1,...,wn}⊂V

şi p≠q∈{1,...,n} astfel încât

+

+

≠≤≤

=

q=i daca dvcv

p;=i daca bvav

q;p,in,i1 daca v

w

qp

qp

i

i , i= n,1

unde a,b,c,d∈R, ad-bc≠0. În aceste condiţii, T este un sistem de generatori pentru V.

Definiţie

Două sisteme de vectori ai unui spaţiu vectorial se numesc sisteme echivalente de vectori dacă generează acelaşi subspaţiu.

Propoziţie

Două sisteme de vectori sunt echivalente dacă şi numai dacă vectorii din fiecare sistem sunt combinaţii liniare de vectorii celuilalt sistem.

Definiţie

Fie V/R şi S={v1,...,vn}⊂V, unde n∈N*. Sistemul de vectori S se numeşte

sistem liniar independent (finit) de vectori din V dacă ∀α1,...,αn∈R astfel

încât α1v1+...+αnvn=0⇒α1=0,...,αn=0. Vom scrie, pe scurt, ind S.

Definiţie

Fie V/R şi S={v1,...,vn}⊂V, unde n∈N*. Sistemul de vectori S se numeşte sistem liniar dependent (finit) de vectori din V dacă nu este liniar

independent, adică ∃α1,...,αn∈R, nu toţi nuli, astfel încât α1v1+...+αnvn=0. Vom scrie, pe scurt, dep S.

Propoziţie

Fie V/R şi S={v1,...,vn}⊂V. Atunci dep S⇔∃1≤k≤n, astfel încât vk=∑≠=

αn

ki1i

iiv .

Definiţie

Fie V/R. Un sistem de vectori din V se numeşte bază dacă este sistem de generatori şi sistem liniar independent.



Fie V/R şi B={v1,...,vn}⊂V o bază. Fie v∈V, arbitrar. Atunci ∃α1,...,αn∈R

astfel încât v=∑=

αn

1iiiv . Sistemul de scalari (α1,...,αn) fiind unic determinat de

vectorul v şi baza dată, poartă numele de coordonate ale vectorului v în baza

dată. Vom mai scrie şi vB=(α1,...,αn)t=

α

α

n

1

... unde αi, i=1,...,n sunt

coordonatele lui v în baza B. Dacă adoptăm o astfel de scriere condensată a unui vector, va trebui să considerăm baza ca fiind ordonată, în caz contrar, la o permutare a vectorilor bazei permutându-se şi coordonatele respective.

Fie acum V/R şi o bază B=={v1,...,vn}⊂V. Fie, de asemenea, vectorii v,w∈V,

v=∑=

αn

1iiiv , w=∑

=

βn

1iiiv , αi,βi∈R, i= n,1 . Avem: v+w= ∑∑

==

β+αn

1iii

n

1iii vv =

∑=

β+αn

1iiii v)( şi cum toate descompunerile sunt unice, rezultă că putem scrie

formal: (α1,...,αn)t+(β1,...,βn)

t=(α1+β1,...,αn+βn)t. Prin urmare, adunarea a doi

vectori se poate face adunându-i pe coordonate. Analog, pentru α∈R, arbitrar,

avem αv= ∑=

ααn

1iiiv = ∑

=

ααn

1iiiv , deci, formal: α(α1,...,αn)

t=(αα1,...,ααn)t, de

unde rezultă că înmulţirea unui vector cu un scalar se face pe coordonate.

Din aceste consideraţii, vedem că noţiunea de bază este fundamentală în studiul spaţiilor vectoriale, deoarece reduce operaţiile definitorii la operaţii algebrice între coordonate.

Teoremă

Orice spaţiu vectorial nenul admite o bază.

Teoremă

Dacă B este o bază a lui V/R, atunci orice altă bază B' a lui V/R are card B'=card B.

Definiţie

Fie V/R. Se numeşte dimensiunea lui V numărul vectorilor unei baze. Vom nota aceasta cu dim V.

Exemplu:

Să se arate că în spaţiul vectorial R3 sistemul de vectori v1=(1,2,3)

t,

v2=(3,4,2)t, v3=(1,1,-1)

t este sistem de generatori.



Soluţie Pentru ca vectorii daţi să constituie un sistem de generatori trebuie ca

rangul matricei A=

−123

142

131

să fie maxim adică det A≠0. Avem însă det

A=1 deci sistemul dat este de generatori.

1.4. Aplicații liniare 1.4.1. Noțiuni introductive. Comportarea aplicațiilor liniare la operațiile cu subspații

Definiţie

Fie V/R şi W/R. O aplicaţie f:V→W se numeşte morfism de spaţii vectoriale sau aplicaţie R-liniară sau, simplu, aplicaţie liniară dacă satisface următoarele axiome:

1) f(x+y)=f(x)+f(y) ∀x,y∈V-aditivitatea;

2) f(αx)=αf(x) ∀x∈V ∀α∈R-omogenitatea.

Propoziţie

Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci:

1) f(0)=0;

Sarcina de lucru 9

Fie în R4 vectorii v1=(1,0,1,2)t, v2=(2,1,0,3)t, v3=(1,4,α,2)t, v4=(5,1,3,2)t,

α∈R. Să se determine α∈R astfel încât sistemul de vectori {v1,v2,v3,v4} să fie un sistem de generatori pentru R4.



2) f(-v)=-f(v) ∀v∈V.

Propoziţie

Fie V/R, W/R şi f:V→W. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) f este aplicaţie liniară;

2) f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) ∀α,β∈R ∀x,y∈V;

3) ∑∑==

α=

α

n

1iii

n

1iii )v(fvf ∀αi∈R ∀vi∈V, i=1,...,n, n≥1.

Din propoziţia de mai sus, se observă, ca şi în cazul subspaţiilor vectoriale, cum verificarea faptului că a aplicaţie este sau nu liniară se reduce la o singură formulă. În aplicaţiile practice, vom folosi punctul 2) de mai sus, urmând ca, în cazul existenţei liniarităţii să aplicăm 3) pentru orice sistem de vectori. Practic, punctul 3) al propoziţiei afirmă faptul că o aplicaţie liniară duce orice combinaţie liniară de vectori în combinaţia liniară a imaginilor acestora.

Propoziţie

Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Dacă V'<V, W'<W atunci f(V')<W şi f-1(W')<V.

Corolar

Fie V/R, W/R, f∈L(V,W). În acest caz, imaginea aplicaţiei liniare Im f<W, iar

nucleul acesteia (kernel (engl.)=nucleu) Ker f={x∈V f(x)=0}<V.

Propoziţie

Fie V/R, W/R, f∈L(V,W). Atunci:

1) f este injectivă ⇔Ker f={0};

2) f este surjectivă ⇔Im f=W.

Definiţie

Fie V/R, W/R. f∈L(V,W) se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale dacă

∃g∈L(W,V) astfel încât f°g=1W, g°f=1V.

Propoziţie

Fie V/R şi V1,V2<V astfel încât V=V1⊕V2. Fie f∈L(V,W), injectivă. Atunci:

f(V1⊕V2)=f(V1)⊕f(V2).

Teoremă (fundamentală de izomorfism)

Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci V/Ker f≅Im f.

Corolar

Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci: dim V=dim Ker f+ dim Im f.

Corolar

Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci:

1) f este injectivă⇒dim V≤dim W;



2) f este surjectivă⇒dim V≥dim W;

3) f este bijectivă⇒dim V=dim W.

Propoziţie

Fie V/R, W/R, Z/R. Dacă f,g∈L(V,W) şi h∈L(W,Z) atunci f+g∈L(V,W),

αf∈L(V,W) ∀α∈R, h°g∈L(V,Z).

Teoremă

Fie V/R, W/R. Atunci: V≅W⇔dim V=dim W.

Corolar

Fie V/R, dim V=n. Avem V≅Rn.

Fie acum V/R cu o bază B={e1,...,en} şi W/R cu o bază B'={f1,...,fm}. Fie

T∈L(V,W). Avem ∀i=1,...,n⇒T(ei)∈W şi cum B' este bază în W rezultă că

T(ei) se descompune după ea. Avem deci T(ei)=∑=

m

1jjjifa , aji∈R, i=1,...,n,

j=1,...,m. Vom numi matricea ( )n,...,1im,...,1jjia

== matricea asociată aplicaţiei liniare T

în bazele B şi B'. Vom mai scrie şi [T]BB' de câte ori va fi necesar. Avem astfel:

[T]BB'=

↓↓↓

→

→

→

mn2m1m

n22221

n11211

f dupa componenta

...

f dupa componenta

f dupa componenta

a...aa

............

a...aa

a...aa

)e(T

)e(T

)e(T

m

2

1

n21

Fie v∈V. Atunci v=∑=

αn

1iiie cu αi∈R, i=1,...,n. Avem:

T(v)=T(∑=

αn

1iiie )=∑

=

αn

1iii )e(T = ∑ ∑∑∑

= ===

α=α

m

1jj

n

1iiji

m

1jjji

n

1ii fafa

Ţinând seama de convenţia de scriere a unui vector pe coloană avem

(T(v))B'=[T]BB'vB.

Exemplu:

Fie aplicaţia f:R3→R

3, f(x1,x2,x3)=(3x1-x2+x3,2x1+x2,-x1+x3).

1) Să se arate că f este operator liniar;

2) Să se determine Ker f şi Im f;

3) Să se stabilească dacă f este injectivă, surjectivă, bijectivă.



Soluţie 1) Se procedează ca la problema 1 obţinându-se [f]=

−

−

101

012

113

. 2)

Fie x=(x1,x2,x3)∈R3 astfel încât f(x)=0. Avem sistemul:

=+−

=+

=+−

0xx

0xx2

0xxx3

31

21

321

de

unde x1=x2=x3=0 deci x=0 şi Ker f={0}. Fie acum y=(y1,y2,y3)∈R3 şi ecuaţia

f(x)=y. Avem deci sistemul:

=+−

=+

=+−

331

221

1321

yxx

yxx2

yxxx3

care este compatibil

determinat de unde rezultă că ∃x∈R3 astfel încât f(x)=y. Prin urmare Im f=R

3.

3) Deoarece Ker f={0} rezultă f-injectivă iar faptul că Im f=R3 implică faptul

că f este surjectivă, deci, în final, f-bijectivă.

1.5. Aplicații multiliniare. Forme pătratice. Vectori și valori proprii 1.5.1. Aplicații multiliniare

Definiţie

Fie V1,...,Vn,W spaţii vectoriale peste R. O aplicaţie f:∏=

n

1iiV →W se numeşte

aplicaţie n-liniară (aplicaţie multiliniară) dacă este liniară în fiecare argument adică:

f(x1,...,xi-1,axi+byi,xi+1,...,xn)=af(x1,...,xi-1,xi,xi+1,...,xn)+bf(x1,...,xi-1,yi,xi+1,...,xn)

∀xk,yk∈Vk, k=1,...,n ∀a,b∈R ∀i=1,...,n.

Sarcina de lucru 10

Fie aplicaţia f:R3→R3, f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-4x3,2x1+x2,3x1+3x2-4x3). Să se determine Ker f şi Im f;



Propoziţie

Ln(V1,...,Vn;W) este un R-spaţiu vectorial împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari ale aplicaţiilor n-liniare.

Teoremă

Fie V/R, W/R, Z/R. Atunci: L2(V,W;Z)≅L(V,L (W,Z)).

Corolar

Fie V1/R,...,Vn/R,W/R. Atunci:

Ln(V1,...,Vn;W)≅L(V1,L(V2,...,L(Vn-1,L(Vn,W))...))

Teoremă

Fie V/R, W/R şi dim V=n, dim W=m. Atunci: dim L(V;W)=mn.

Corolar

Fie V1/R,...,Vn/R,W/R, dim Vi=di, i=1,...,n şi dim W=m. Atunci:

dim Ln(V1,...,Vn;W)=d1...dnm

Observaţie

Dacă W=R aplicaţiile n-liniare se numesc forme n-liniare. Pentru n=1 se numesc simplu forme liniare sau funcţionale liniare, iar pentru n=2-forme biliniare.

Corolar

Fie V/R. Atunci dim Ln(V;R)=dn unde dim V=d.

Fie acum V/R şi B={e1,...,em} o bază a lui V. Fie f∈Ln(V;R) o formă n-liniară.

Atunci ∀x∈V avem x=∑=

m

1ii

iex deci:

f(x1,...,xn)= ( ).e,...,efx...x...ex,...,exfm

1i

m

1iii

in

i1

m

1ii

in

m

1ii

i1

1 n

n1

n1

n

n

n

1

1

1 ∑ ∑∑∑= ===

=

Prin urmare, valoarea formei n-liniare este unic determinată de acţiunea ei

asupra bazei spaţiului vectorial. Notând ( )n1n1 i...iii ae,...,ef = ∈R, obţinem

forma generală a lui f:

f(x1,...,xn)=∑ ∑= =

m

1i

m

1i

in

i1i...i

1 n

n1

n1x...xa...

Reciproc, orice aplicaţie de forma de mai sus este n-liniară deoarece ∀a,b∈R

∀x,y∈V avem pentru componenta k (1≤k≤n):



=+=+ ∑ ∑∑= ==

m

1i

m

1i

in

ppi1i...i

m

1pn1

1 n

n1

n1x)...byax...(xa......)x,...byax,...,x(f

).x,...y,...,x(bf)x,...x,...,x(af

x...y...xa......bx...x...xa......a

n1n1

m

1i

m

1i

in

pi1i...i

m

1p

m

1i

m

1i

in

pi1i...i

m

1p 1 n

n1

n1

1 n

n1

n1

+

=+ ∑ ∑∑∑ ∑∑= === ==

Definiţie

Fie V/R, W/R şi f:Vn→W, n≥1. Considerând Sn-grupul permutărilor de n

elemente definim aplicaţia: σf:Vn→W: (σf)(x1,...,xn)=f(xσ(1),...,xσ(n)), σ∈Sn

Definiţie

O aplicaţie n-liniară f se numeşte aplicaţie simetrică dacă ∀σ∈Sn⇒σf=f.

Definiţie

O aplicaţie n-liniară f se numeşte aplicaţie alternată (aplicaţie antisimetrică)

dacă ∀σ∈Sn⇒σf=ε(σ)f (ε(σ) este signatura permutării σ).

Teoremă

O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este alternată dacă şi numai dacă:

f(x1,...,xi,...,xj,...,xn)=0 ∀xi∈V, i=1,...,n iar xi=xj, i≠j arbitrari.

Definiţie

Fie o aplicaţie n-liniară f:Vn→W. Definim aplicaţia de alternare:

Alt:Ln(V;W)→Ln(V;W), Alt(f)= ∑∈σ

σσεnS

f)(!n

1

Alt se numeşte operatorul de alternare.

Propoziţie

O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este alternată dacă şi numai dacă Alt(f)=f.

Corolar

Operatorul de alternare este involutiv adică Alt°Alt= Alt.

Definiţie

Fie o aplicaţie n-liniară f:Vn→W. Definim aplicaţia de simetrizare:

Sim:Ln(V;W)→Ln(V;W), Sim(f)= ∑∈σ

σnS

f!n

1

Sim se numeşte operatorul de simetrizare.

Propoziţie

O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este simetrică dacă şi numai dacă Sim(f)=f.

Corolar



Operatorul de simetrizare este involutiv adică Sim°Sim=Sim.

În continuare, vom studia câteva aspecte privind formele liniare.

Fie deci V/R, dim V=n. O formă liniară este deci o aplicaţie f∈L(V,R) astfel

încât dacă B={e1,...,en} este o bază a lui V/R atunci f(x)=∑=

n

1i

ii xa unde x=

∑=

n

1ii

iex , f(ei)=ai, i=1,...,n.

Deoarece L(V,R) este un spaţiu vectorial peste R, îl vom nota V* şi-l vom numi dualul spaţiului vectorial V/R. Elementele lui V* se numesc covectori. Din corolarul 10, rezultă că dim V*=dim V=n.

Să considerăm acum un sistem de forme liniare pe V: (ei)i=1,...,n unde ei:V→R,

ei(ej)=δij, i,j=1,...,n. Se verifică uşor că ei sunt forme liniare pe V. În plus, dacă:

=

== ∑∑

==

n

1jj

jiin

1jj

j exe)x(e avem exx =∑=

n

1jj

ij )e(ex .n,...,1i,xx in

1jij

j ==δ∑=

Propoziţie

Fie V/R şi B={e1,...,en} o bază a sa. Atunci B*={e1, ...,en} unde ei(ej)=δij, i,j=1,...,n este o bază a lui V*.

Observaţie

Baza B* se numeşte baza duală lui B.

Se pune acum în mod natural următoarea problemă: cum se schimbă bazele

duale în raport cu schimbările de baze din V. Fie deci B1={e1,...,en} şi

B2={f1,...,fn} două baze în V. Fie B1*={e1,...,en} şi B2

*={f1,...,fn} bazele duale.

Fie T∈V*. Atunci: ∑=

=n

1i

ii e)e(TT = ∑

=

n

1j

jj f)f(T . Avem: [ ] [ ]

2112 BBBB MTT = .

Dar:

[ ] [ ] [ ] tn1B

tn11BBB

tn1B )f,...,f(T)e,...,e(MT)e,...,e(T=T

22121== − de unde:

tn1tn11BB )f,...,f()e,...,e(M

21=− sau altfel: tn1

BBtn1 )f,...,f(M)e,...,e(

21= . Fie

acum: T(ei)=ξi, T(fj)=ωj. Avem deci: tn1n1 )e,...,e)(,...,(=T ξξ =

=ξξ tn1BBn1 )f,...,f(M),...,(

21

tn1n1 )f,...,f)(,...,( ωω de unde rezultă:

(ξ1,...,ξn)21BBM =(ω1, ...,ωn).

Prin urmare, la o transformare de bază în V, vectorii bazei lui V* se transformă după legea de schimbare a coordonatelor din V, iar componentele unui covector se transformă după legea de schimbare a bazei din V.



Exemplu:

Să arate că următoarea aplicaţie este formă liniară: f:R3→R, f(x,y,z)=4x-

5y+3z.

Soluţie f(a(x1,y1,z1)+b(x2,y2,z2))=4(ax1+bx2)-5(ay1+by2)+3(az1+bz2)=

a(4x1-5y1+3z1)+b(4x2-5y2+3z2)=af(x1,y1,z1)+bf(x2,y2,z2) deci f este liniară.

1.5.2. Forme biliniare. Forme pătratice

Vom studia acum câteva aspecte caracteristice privind formele biliniare.

Am văzut că expresia generală a unei forme biliniare într-o bază B={e1,...,en} a

lui V/R este: f(x,y)=∑=

n

1j,i

jiij yxa unde ∑

n

1=ii

iex=x , ∑n

1=jj

jey=y . Dacă vom

considera o altă bază B'={f1,...,fn} a lui V/R, se pune în mod natural problema determinării matricei formei în această nouă bază în funcţie de matricea din

vechea bază. Notând deci [f]B=(aij), este evident că o formă biliniară se poate

scrie f(x,y)=xBt[f]ByB sau ţinând seama de faptul că f(x,y)∈R, deci

transpunerea îl lasă invariant, f(x,y)=yBt[f]B

txB. Considerând matricea de

trecere MBB' de la baza B la B' avem în baza B': f(x,y)=xB't[f]B'yB'=(MBB'

-

1)txBt[f]B'MBB'

-1yB de unde, după identificare, avem: [f]B=

(MBB'-1)t[f]B'MBB'

-1 sau altfel [f]B'=MBB't[f]BMBB'.

Propoziţie

Orice formă biliniară f se poate scrie ca suma unei forme biliniare simetrice cu una alternată: f=Sim(f)+Alt(f).

Definiţie

Fie o formă biliniară f:V2→R. Se numeşte forma pătratică asociată lui f,

aplicaţia: H:V→R, H(x)=f(x,x) ∀x∈V.

Sarcina de lucru 11

Să arate că următoarea aplicaţie este formă liniară:

f:R3→R, f(x,y,z)=x-y+z.



Dându-se o formă omogenă de grad 2, adică o aplicaţie H:V→R,

H(αx)=α2H(x) ∀x∈V ∀α∈R definim: g(x,y)=2

1(H(x+y)-H(x)-H(y)) ∀x,y∈V.

Avem g(x,x)=H(x) ∀x∈V, deci g este formă biliniară simetrică, a cărei formă pătratică asociată este H. Vom numi g-forma polară a lui H.

Se observă că matricele formei pătratice şi a formei polare sunt identice.

Fie acum în V/R baza B={e1,...,en} şi x=∑=

n

1ii

iex ∈V. Fiind dată matricea

A=(aij), i,j=1,...,n a unei forme pătratice H, avem: H(x)=xtAx=∑=

n

1j,i

jiij xxa de

unde detaliat:

H(x)= 2nnn

2222

n1n1

2112

2111 )x(a...)x(axxa2...xxa2)x(a ++++++

La o schimbare de bază în V, avem aceeaşi formulă de transformare a matricei unei forme pătratice ca şi în cazul formelor biliniare. Simetria matricei se păstrează indiferent de baza lui V.

Forma polară a lui H este:

g(x,y)=2

1(H(x+y)-H(x)-H(y))=

−−++ ∑∑∑

===

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jjiiij yyaxxa)yx)(yx(a

2

1=

−−+++ ∑∑∑∑∑∑

======

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij yyaxxayyaxyayxaxxa

2

1=

+ ∑∑

==

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij xyayxa

2

1=

+∑

=

n

1j,i

jijiij yx)aa(

2

1=∑

=

n

1j,i

jiij yxa =

∑∑≠

==

+n

ji1j,i

jiij

n

1i

iiii yxayxa .

Prin urmare, forma polară lui H se poate obţine prin procedeul de dedublare care constă în următoarele transformări:

- Expresiile de forma aii(xi)2 se transformă în aiix

iyi;

- Expresiile de forma 2aijxixj se transformă în aij(x

iyj+xjyi) (∀i≠j).

Exemplu:

Fie aplicaţia f:R2×R

2→R, f(x,y)=x1y

1+x

1y

2-x

2y

2 unde x=(x

1,x

2), y=(y

1,y

2)∈R

2.

1) Să se arate că f este o formă biliniară;

2) Să se determine σf ∀σ∈S2;

3) Este forma f simetrică?



4) Este forma f alternată?

5) Să se determine Alt f;

6) Să se determine Sim f.

Soluţie 1)Faptul că f este formă biliniară se arată folosind definiția.

2)Permutările din S2 sunt: σ1=

21

21 şi σ2=

12

21. Avem σ1f=f deoarece σ1

este permutarea identică. De asemenea, σ2f se obţine prin permutarea

variabilelor x şi y deci: (σ2f)(x,y)=f(y,x)=y1x

1+ y

1x

2-y

2x

2.

3)f nu este simetrică deoarece σ2f≠f.

4)f nu este alternată deoarece σ2f≠-f.

5)Deoarece σ2 este o transpoziţie (deci ε(σ2)=-1) avem (Alt f)(x,y)=

2

1(σ1f-σ2f)(x,y)=

2

)x,y(f)y,x(f −=

2

1(x

1y

2-x

2y

1) ∀x,y∈R

2.

6)Analog cu 5) avem: (Sim f)(x,y)=2

1(σ1f+σ2f)(x,y)=

2

)x,y(f)y,x(f += x

1y

1-

x2y

2+

2

1(x

1y

2+x

2y

1).

Sarcina de lucru 12

Fie aplicaţia B:R2×R2→R, B(x,y)=x1y1-2x1y2+3x2y1-x2y2 unde x=(x1,x2),

y=(y1,y2)∈R2. 1) Să se arate că B este o formă biliniară; 2) Să se determine forma pătratică asociată H; 3) Să se determine forma polară f a lui H;



1.5.3. Vectori și valori proprii

Definiţie

Fie V/R. Un subspaţiu W<V se numeşte subspaţiu invariant al lui V faţă de

un endomorfism f:V→V dacă f(W)⊂W adică f(x)∈W ∀x∈W.

Fie f:V→V şi W<V, invariant prin f. Să considerăm o bază B'={e1,...,ek} a lui

W şi să o completăm până la o bază B={e1,...,ek, ek+1,...,en} a lui V. Avem deci

f(B')⊂W de unde f(ei)∈W, i=1,...,k. Fie deci: k,...,1i ,ea)e(fk

1jjjii ==∑

=

iar

∑=

=n

1jjjss ea)e(f , s=k+1,...,n. Matricea lui f în baza B este:

[f]B=

++

+

nn1+k n

n 1k1+k 1k

kn1+k kkk1k

n11k 1k111

aa00

aa00

aaaa

aaaa

LL

LLLLLL

LL

LL

LLLLLL

LL

Considerând spaţiul Z generat de vectorii {ek+1,...,en} avem V=W⊕Z. Dacă şi Z este invariant atunci matricea lui f este cvasidiagonală, adică:

[f]B=

++

nn1+k n

n 1k1+k 1k

kk1k

k111

aa00

aa00

00aa

00aa

LL

LLLLLL

LL

LL

LLLLLL

LL

Generalizarea este imediată în sensul că dacă V=V1⊕...⊕Vp iar V1,..., Vp sunt

invariate de f atunci matricea lui f în baza B1∪...∪Bp (Bi-bază a lui Vi, i=1,...,p) este cvasidiagonală.

Reamintim că operaţiile cu matrice cvasidiagonale se fac ca şi când blocurile diagonale sunt simple elemente. În particular, inversarea unui operator implică inversarea blocurilor. Evident, cu cât ele vor fi mai mici (în sensul dimensiunii

acestora) cu atât operaţiile vor fi mai simple. Vom încerca, deci, să determinăm cele mai mici subspaţii invariante ale unui operator. Subspaţiile de

dimensiune nulă sunt întotdeauna invariante deoarece f({0})={0}⊂{0} ştiind că unicul subspaţiu de dimensiune 0 este subspaţiul nul. Cum acesta oricum nu are o bază, el nu prezintă importanţă pentru studiul nostru. Ne vom continua deci discuţia relativ la subspaţiile invariante de dimensiune 1.

Fie deci W<V, dim W=1. Atunci, ∀w∈W, w≠0⇒B'={w} este bază a lui W. În

acest caz, f(B')⊂W implică faptul că ∃λW∈R astfel încât f(w)=λWw.



Definiţie

Fie V/R şi f∈L(V). Un vector v∈V-{0} se numeşte vector propriu pentru f

dacă ∃λ∈R astfel încât f(v)=λv. λ se numeşte valoare proprie a endomorfismului f.

Propoziţie

Orice vector propriu corespunde unei singure valori proprii.

Propoziţie

Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk∈R, k≥2, valori proprii distincte. Vectorii proprii v1,...,vk, corespunzători acestor valori proprii, sunt liniar independenţi.

Ne punem acum problema determinării concrete a vectorilor proprii. Cu toate că noţiunea de valoare proprie a apărut în procesul definirii vectorilor proprii, algoritmul de determinare a acestora va acţiona exact invers. Vom determina astfel, mai întâi valorile proprii şi apoi vectorii proprii respectivi.

Fie deci v≠0 un vector propriu al lui f∈L(V). Există atunci λ∈R astfel încât

f(v)=λv=λ1V(v) unde 1V este endomorfismul unitate al lui V. Avem deci: (f-

λ1V)(v)=0 de unde v∈Ker(f-λ1V) adică Ker(f-λ1V)≠{0}. Fie A=[f]B şi I=[1V]B

într-o bază oarecare B a lui V. Din cele de mai sus rezultă că rang(A-λI)<n

deci det(A-λI)=0.

Definiţie

Polinomul P(λ)=det(A-λI) se numeşte polinomul caracteristic al

endomorfismului f iar ecuaţia P(λ)=0 se numeşte ecuaţia caracteristică a endomorfismului f.

Propoziţie

Polinomul caracteristic este invariant la schimbări de bază.

Teoremă

Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk valori proprii distincte. Atunci există o bază B a lui V astfel încât:

[f]B=

λ

λ

λ

++

nn1+k n

n 1k1+k 1k

kn1+k kk

2n1+k 22

n11+k 11

cc000

cc000

bb00

bb00

bb00

LL

LLLLLLL

LL

LL

LLLLLLL

LL

LL

unde bij∈R, i=1,...,k, j=k+1,...,n şi cpr∈R, p=k+1,...,n, r=k+1,...,n.



Corolar

Dacă f are toate valorile proprii distincte, atunci există o bază a lui V în care matricea lui f are forma diagonală.

Teoremă

Fie f∈L(V) şi λ o valoare proprie a lui f. Fie mulţimea S(λ)={v∈Vf(v)=λv}. Atunci:

1) S(λ) este un subspaţiu vectorial al lui V invariant faţă de f;

2) Dacă d(λ)=dim S(λ) atunci d(λ)=n-rang(A-λI) unde A=[f]B, B-bază arbitrară;

3) Dacă m(λ) este ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ atunci

d(λ)≤m(λ).

Observaţie

S(λ) se numeşte subspaţiul propriu asociat lui λ.

Definiţie

Un endomorfism f∈L(V) se numeşte endomorfism diagonalizabil dacă există

o bază B a lui V în care [f]B este matrice diagonală.

Teoremă

Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk valori proprii distincte ale lui f. Endomorfismul f este

diagonalizabil dacă şi numai dacă d(λi)=m(λi), i=1,...,k. În baza B formată cu

vectorii proprii corespunzători valorilor proprii λ1,...,λk avem:

[f]B=

linii )(d

linii )(d

000

000

000

000

k

1

k

k

1

1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

M

LLL

LLLLLLL

LLL

LLLLLLL

LLL

LLLLLLL

LLL

Definiţie

Un endomorfism se numeşte endomorfism triangularizabil dacă există o bază în care matricea acestuia să fie (inferior sau superior) triunghiulară.

Teoremă

Un endomorfism f∈L(V) este triangularizabil dacă şi numai dacă polinomul său caracteristic se descompune în factori de gradul I (nu neapărat distincţi).



Definiţie

Fie un polinom P=anXn+...+a1X+a0∈R[X] şi o matrice A∈Mm(R). Vom numi

polinom de matrice expresia: P(A)=anAn+...+a1A+a0Im∈Mm(R).

Definiţie

O matrice A se spune că este de tip celulă Jordan dacă este de forma:

λ

λ

λ

λ

=λ

0000

000

010

001

)(A

LLLLL

L

L

L

Definiţie

O matrice A se spune că are forma canonică Jordan dacă este de forma:

λ

λ

=

)(A0

0)(A

A

k

1

L

LLL

L

unde λ1,...,λk∈R nu neapărat distincte iar A(λi), i=1,...,k sunt celule Jordan.

Teoremă (Hamilton-Cayley)

Fie f∈L(V), B o bază a lui V, A=[f]B şi P polinomul caracteristic al lui f. Atunci P(A)=0.

Definiţie

Fie f∈L(V). f se numeşte endomorfism nilpotent dacă ∃p∈N* astfel încât

fp(x)=0 ∀x∈V. p se numeşte indicele de nilpotenţă dacă este cel mai mic cu această proprietate.

Teoremă

Fie V/R, dim V=n. Dacă f∈L(V) este nilpotent, atunci există o bază a lui V astfel încât:

[f]B=

ε

ε

ε

−

00000

0000

0000

0000

1n

2

1

L

L

LLLLLL

L

L

unde εi∈{0,1}, i=1,...,n-1.

Propoziţie

Fie V/R, dim V=n, f∈L(V) şi fie P polinomul său caracteristic. Dacă R este

algebric închis iar P(λ)=(-1)n ( ) ( ) j1 mj

m1 ... λ−λλ−λ cu λ1≠...≠λj, m1+...+mj=n

notăm Vk=Ker(f-λk1V), k=1,...,j. În aceste condiţii:



1) Vk≠{0}, k=1,...,j;

2) Vk<V, k=1,...,j;

3) Vk este invariant faţă de f;

4) V=V1⊕...⊕Vj.

Teoremă

Fie f∈L(V) cu V/R, dim V=n şi R algebric închis. Atunci există o bază în V în care matricea lui f are forma canonică Jordan.

Teoremă

Fie f∈L(V) cu V/R, dim V=n şi R algebric închis. Dacă [f]B=

[ ]

[ ]

j

1

B

B

f0

0f

L

LLL

L

cu B şi Bk, k= j,1 astfel încât Bk o bază pentru care

[ ]kBVk1f λ− are forma din teorema 35, iar B=B1∪...∪Bj, atunci

∀P=anXn+...+a1X+a0∈R[X] avem: P([f]B)=

[ ]

[ ]

)f(P0

0)f(P

j

1

B

B

L

LLL

L

unde:

[ ]

λ

−

λλλ

−

λλλλ

=−

−

)(P000

)!2d(

)(P

!1

)('P)(P0

)!1d(

)(P

!2

)("P

!1

)('P)(P

)f(P

i

i

i)2d(

ii

i

i)1d(

iii

B

i

i

i

L

LLLLL

L

L

λi fiind valoarea proprie corespunzătoare blocului [ ]iBf iar di fiind ordinul lui

[ ]iBf , i=1,...,j.

Exemplu:

Să se determine vectorii şi valorile proprii ale operatorului liniar ce are

matricea: A=

−

−

−−

111

212

214

.

Soluţie Pentru ecuaţia caracteristică avem:

λ−−

−λ−

−−λ−

111

212

214

=0 de unde

λ3-6λ2

+11λ-6=0 cu λ1=1, λ2=2, λ3=3-valorile proprii. Pentru λ=1 obţinem



sistemul: (A-1⋅I)(x,y,z)t=0 adică:

=

−

−

−−

0

0

0

z

y

x

011

202

213

de unde z=y=x=α

deci vectorii proprii sunt de forma v=(α,α,α)t,α∈R-{0}. Pentru λ=2 obţinem

analog v=(α,0,α)t, α∈R-{0} iar pentru λ=3⇒v=(α,α,0)

t, α∈R-{0}.

1.5.4. Reducerea formelor pătratice la forma canonică

Fie V/R, dim V=n şi o formă pătratică H:V→R, H(x)=xtAx, A∈Mn(R)-simetrică. Ne propunem în această secţiune să determinăm o bază a lui V, în care matricea formei pătratice să aibă forma diagonală. În acest caz se spune că forma pătratică este adusă la forma normală. Dacă matricea formei pătratice în această nouă bază are pe diagonala principală numai 1 sau –1 spunem că forma este cea canonică.

Fie o bază B a lui V şi baza căutată B'. Dacă C este matricea de trecere MBB'

atunci A'=CtAC=

n

1

c0

0c

L

LLL

L

cu ci∈R, i=1,...,n. În această bază avem

H(x)=xtA'x=c1(x'1)2+... +cn(x'n)2 şi este evident că H are cel mai mic număr de termeni.

Metoda Gauss

Fie H(x)=∑=

n

1j,i

jiij xxa ≠0 unde x=(x1,...,xn)t. Avem două situaţii:

I. ∃i=1,...,n astfel încât aii≠0. După o eventuală renumerotare putem considera

a11≠0. În acest caz formăm un pătrat perfect care să includă termenii ce-l conţin pe x1. Astfel:

Sarcina de lucru 13

Să se determine vectorii şi valorile proprii ale operatorului liniar ce are

matricea: A=

−132

014

301

.



H(x)= [ ]2nn1

212

nn1

212

111

21211

11

)xa...xa()xa...xa(xa2)x(aa

1++++++ +E(x2,...,xn)=

11a

1(a11x

1+...+a1nxn)2+E(x2,...,xn).

Fie transformarea:

>

=++=

1i,x

;1i,xa...xay

i

nn1

111i

Avem atunci H(y)=11a

1(y1)2+E(y2,...,yn) unde E este o formă pătratică în

y2,...,yn.

II. ∀i=1,...,n avem aii=0. Cum H≠0⇒∃aij≠0. După o eventuală renumerotare

putem presupune că a12≠0. Fie transformarea:

>

=−

=+

=

2i,x

;2i,xx

;1i,xx

yi

21

21

i

Înlocuind în expresia lui H obţinem a'11≠0 deci ne reducem la cazul I.

Cum E este o formă pătratică în y2,...,yn reluăm consideraţiile anterioare. În final H va avea forma normală: H(x)=b1(z

1)2+...+bk(zk)2 unde x=(z1,...,zn)t în

noua bază. Cu transformarea de variabile:

>=

=

=

ki ,zv

;zbv

...

;zbv

ii

kk

k

11

1

forma H are forma canonică şi devine H(x)=ε1(v1)2+...+εk(v

k)2 unde

x=(v1,...,vn)t în această ultimă bază iar εp=sgn(bp)∈{-1,1}, p=1,...,k. Transformarea generală de coordonate se obţine din compunerea celor succesive de mai sus.

Metoda Jacobi

Teoremă

Fie H:V→R o formă pătratică reală şi B={e1,...,en} o bază a lui V/R. Fie A=(aij) matricea lui H în baza B. Fie, de asemenea:

Ai=

ii1i

i111

aa

aa

L

LLL

L

, i=1,...,n



Dacă ∆i=det Ai sunt nenuli atunci există o bază B'={f1,...,fn} obţinută din B cu o matrice de trecere triunghiulară în care forma normală a lui H este:

2n

n

1n22

2

121

1

)(...)()(1

)x(H ξ∆

∆++ξ

∆

∆+ξ

∆= −

iar x=(ξ1,...,ξn)t este expresia lui x în noua bază.

Definiţii

Fie V un spaţiu vectorial real.

• o formă pătratică H:V→R se numeşte formă pozitiv definită dacă H(x)>0 ∀x≠0.

• H se numeşte formă negativ definită dacă H(x)<0 ∀x≠0.

• H se numeşte formă semidefinită sau formă nedefinită dacă ∃x1,x2∈V astfel încât H(x1)H(x2)<0.

• H se numeşte formă pozitiv semidefinită dacă H(x)≥0 ∀x∈V şi ∃x0∈V-{0} astfel încât H(x0)=0.

• H se numeşte formă negativ semidefinită dacă H(x)≤0 ∀x∈V şi ∃x0∈V-{0} astfel încât H(x0)=0.

Teoremă (de inerţie, Sylvester)

Numărul coeficienţilor strict pozitivi, numărul coeficienţilor strict negativi şi rangul unei forme pătratice în expresia canonică (normală) nu depind de baza aleasă.

Definiţie

Diferenţa între numărul termenilor pozitivi şi cel al termenilor negativi din expresia canonică (normală) a unei forme pătratice se numeşte signatura formei pătratice respective.

Teoremă

Fie V un spaţiu vectorial real şi H:V→R o formă pătratică. Condiţia necesară

şi suficientă ca H să fie pozitiv definită este ca ∆i>0, i=1,...,n.

Corolar

Fie V un spaţiu vectorial real şi H:V→R o formă pătratică. Condiţia necesară

şi suficientă ca H să fie negativ definită este ca ∆i<0, i=impar, i=1,...,n şi ∆i>0, i=par, i=1,...,n.

Exemplu:

Să se aducă la forma normală, folosind metoda lui Gauss, forma pătratică:

H(x)=(x1)2-2x

1x

2+2x

1x

3-2x

1x

4+(x

2)2+2x

2x

3-4x

2x

4+(x

3)2-2(x

4)2, x= (x

1,x

2,x

3,x

4)∈

R4.



Soluţie Avem: H(x)=(x1)2-2(x

2-x

3+x

4)x

1+(x

2-x

3+x

4)2-3(x

4)2+4x

2x

3-6x

2x

4+

2x3x

4=(x

1-x

2+x

3-x

4)2-3((x

4)2+2(x

2-

3

1x

3)x

4+(x

2-

3

1x

3)2)+3(x

2)2+2x

2x

3+

3

1

(x3)2=(x

1-x

2+x

3-x

4)2-3(x

2+x

4-

3

1x

3)2+3(x

2+

3

1x

3)2. Prin urmare, cu ξ1

=x1-x

2+x

3-

x4, ξ2

=x2+ x

4-

3

1x

3, ξ3

=x2+

3

1x

3, ξ4

=x4 obţinem H(x)=(ξ1

)2-3(ξ2

)2+3(ξ3

)2.

Test de autoevaluare

I. Fie în R3 mulţimile U1={(a+b,2a-b,a)a,b∈R} şi U2={(c+2d,2c+d,-3c-d)

c,d∈R}. Să se determine U1∩U2.

II. . Fie aplicaţia f:R3→R3, f(x1,x2,x3)=(3x1-x2+x3,2x1+x2,-x1+x3).

1) Să se determine Ker f şi Im f;

2) Să se stabilească dacă f este injectivă, surjectivă, bijectivă.

Rezumat

Noţiunea de spaţiu vectorial generalizează dintr-un anumit punct de vedere categoriile matricelor, cea a polinoamelor, funcţiilor, mulţimilor numerice şi multe altele. Avantajul acestei noţiuni este acela că permite tratarea unitară a unor concepte, la prima vedere diferite, obţinând rezultate generalizatoare, dar, în acelaşi timp, permiţând noii structuri adaptarea la noi şi noi provocări ale practicii.

Noţiunea de “bază” este fundamentală şi ea permite simularea unui anumit proces economic (după transformarea matematică, eminamente necesară) printr-un altul mult mai simplu, reprezentat, de regulă, de spaţiul aritmetic n-dimensional.

Formele pătratice prezentate în ultima parte a modului au un rol bine conturat în geometria analitică, dar, în cazul de faţă, se vor dovedi esenţiale în studiul extremelor funcţiilor din modulul următor ceea ce va permite, în final, determinarea optimului unui proces economic arbitrar.

Sarcina de lucru 14

Să se arate că forma pătratică H(x)=3(x1)2+6(x2)2+3(x3)2-4x1x2-8x1x3-

4x2x3, x=(x1,x2,x3)∈R3 este semidefinită.



III. Fie operatorul T:R4→R4 a cărui matrice în baza canonică este:

A=

−−−

3021

0200

3021

3021

Să se determine valorile şi vectorii proprii ale lui T.

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testul de autoevaluare I. U1∩U2={(-3c,0,-c) c∈R}. Pentru această problemă primiți 3 puncte. II. Ker f={0} - 1 punct; Im f=R3 – 1 punct; f-injectivă – 1 punct; f – surjectivă – 1 punct; f – bijectivă – 1 punct. III. Pentru λ=0 avem: v=(-2a-3b,a,0,b)t, a,b∈R-{0} - 1 punct. Pentru λ=2 rezultă: v=(a,-a,b,a)t, a,b∈R-{0} - 1 punct.


Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994). Algebră liniară, geometrie

analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale. Bucureşti: Editura All.

Ioan C. A. (2004). Matematici aplicate în economie. Bucureşti: E.D.P.

Ioan C. A. (2006). Matematică – I. Galaţi: Ed. Sinteze.

Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981). Probleme de algebră. Bucureşti: E.D.P.

2. ANALIZĂ MATEMATICĂ

Spaţii topologice

Diferenţiabilitatea funcţiilor

Serii numerice. Serii de funcţii. Serii de puteri. Dezvoltarea

în serie Taylor

Extremele funcţiilor


Rezumat


Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de

autoevaluare




• să explici noţiunea de spaţiu topologic;

• să definești diferenţiabilitatea funcţiilor;

• să descrii seriile numerice şi seriile de puteri;

• să determini extremele funcţiilor;

• să categorisești integralele improprii, duble şi triple.


Cătălin Angelo Ioan Analiza Matematica


2.1. Spații topologice

2.1.1. Elemente de topologie

Definiţie

Fie Rn, n≥1 şi mulţimea T={D⊂Rn∀a=(a1,...,an)∈D⇒∃r>0 astfel încât

(a1-r,a1+r)×...×(an-r,an+r)⊂D}. Perechea (Rn,T) se numeşte spaţiu topologic, T

purtând numele de topologie reală pe Rn. O mulţime D∈T se numeşte mulţime deschisă.

Teoremă

Pe Rn au loc următoarele afirmaţii:

1) ∀(Di)i∈I⊂T ⇒UIi

iD∈

∈T, I-o mulţime oarecare de indecşi;

2) ∀(Di)i=1,...,m⊂T⇒Im

1iiD

=

∈T ∀m∈N*;

3) ∅,Rn∈T.

Definiţie

Fie Rn şi X⊂Rn. T'={D∩XD∈T} este o topologie pe X şi se numeşte topologia indusă de T pe X.

Definiţie

Fie Rn şi A⊂Rn. O mulţime V⊂R

n se numeşte vecinătate a lui A dacă ∃D∈T

astfel încât A⊂D⊂V. Dacă A={x}, x∈Rn, atunci V se numeşte vecinătate a

punctului x.

Propoziţie

Pe Rn o submulţime A⊂Rn este deschisă dacă şi numai dacă este vecinătate pentru orice punct al său.

Propoziţie

Mulţimea vecinătăţilor V(x) ale unui punct arbitrar x∈Rn are următoarele

proprietăţi:

1) V∈V(x)⇒x∈V;

2) V∈V(x), V⊂U⇒U∈V(x);

3) Vi∈V(x), i= n,1 ⇒In

1iiV

=

∈V(x);

4) V∈V(x)⇒∃U⊂V, U∈V(x) astfel încât U∈V(y) ∀y∈U.



Definiţie

Un punct a∈Rn se numeşte punct interior al unei submulţimi A⊂Rn dacă

A∈V(a)

Definiţie

Fie A⊂Rn. Mulţimea o

A =int A={a∈Rna este punct interior al lui A} se numeşte interiorul lui A.

Propoziţie

∀A⊂Rn avem: Uo

AD⊂∈

=TD

DA .

Definiţie

Un punct a∈Rn se numeşte punct aderent unei submulţimi A⊂R

n dacă

∀V∈V(a)⇒V∩A≠∅.

Definiţie

Fie A⊂Rn. Mulţimea A ={a∈Rna este punct aderent pentru A} se numeşte închiderea (aderenţa) lui A.

Definiţie

O submulţime F⊂Rn se numeşte mulţime închisă dacă Rn-F∈T.

Definiţie

Un punct a∈Rn se numeşte punct de acumulare al unei submulţimi A⊂R

n

dacă ∀V∈V(a)⇒(V-{a})∩A≠∅.

Definiţie

Fie A⊂Rn. Mulţimea A’={a∈Xa este punct de acumulare al lui A} se numeşte mulţimea derivată (derivata) a lui A.

Definiţie

Un punct a∈Rn se numeşte punct izolat al unei submulţimi A⊂Rn dacă nu este

punct de acumulare, adică dacă ∃V∈V(a)⇒(V-{a})∩A=∅.

Definiţie

Fie A⊂Rn. Mulţimea ∂A=Fr A= A ∩ CA se numeşte frontiera lui A.

Teoremă

Spaţiul topologic Rn este un spaţiu Hausdorff (spaţiu topologic separat) adică

∀x,y∈Rn, x≠y⇒∃U∈V(x), ∃V∈V(y) astfel încât U∩V=∅.



Definiţie

O mulţime C⊂Rn se numeşte compactă dacă ∀(Ui)i∈I⊂T astfel încât C⊂U

IiiU

∈

⇒∃J⊂I-finită astfel încât C⊂UJi

iU∈

, adică dacă din orice acoperire cu mulţimi

deschise a lui C se poate extrage o subacoperire finită a acesteia.

Definiţie

O mulţime C⊂Rn se numeşte mulţime relativ compactă dacă C este compactă.

Definiţie

O mulţime C⊂Rn se numeşte conexă dacă nu există D1,D2∈T astfel încât

C⊂D1∪D2, D1∩D2∩C=∅, D1∩C≠∅, D2∩C≠∅.

Exemplu:

Fie mulţimea A=(3,8]∪[9,12]∪{0,1,15}. Să se determine:

1) interiorul lui A;

2) aderenţa lui A;

3) derivata lui A;

4) frontiera lui A.

Soluţie 1)Avem o

A =(3,8)∪(9,12); 2) A =[3,8]∪[9,12]∪{0,1,15};

3)A’=[3,8]∪[9,12]; 4)∂A= A ∩ CA . Avem CA=(-∞,0)∪(0,1)∪(1,3]∪(8,9)∪

(12,15)∪(15,∞) de unde: CA =(-∞,0]∪[0,1]∪[1,3]∪[8,9]∪[12,15]∪[15,∞)=

(-∞,3]∪[8,9]∪[12,∞). Obţinem deci ∂A=([3,8]∪[9,12]∪{0,1,15})∩((-∞,3]∪

[8,9]∪[12,∞))={0,1,3,8,9,12, 15}.

Sarcina de lucru 1

Fie mulţimea A=(1,2]∪[4,8)∪{0,3}. Să se determine: 1) interiorul lui A; 2) aderenţa lui A; 3) derivata lui A; 4) frontiera lui A.



2.1.2. Șiruri în Rn

Definiţie

Numim şir pe spaţiul topologic Rn o funcţie f:N→Rn.

Definiţie

Fie un şir (an)⊂Rn. Spunem că (an) este şir convergent dacă ∃a∈Rn

astfel încât ∀V∈V(a)⇒∃nV∈N astfel încât an∈V ∀n≥nV. Elementul a∈Rn se numeşte limită a şirului (an) şi vom scrie:

a=∞→n

lim an

Teoremă

Limita unui şir convergent din Rn este unică.

Propoziţie

Fie A⊂Rn şi (an)⊂Rn un şir convergent. Dacă ∃n0∈N astfel încât an∈A ∀n≥n0

atunci lim an∈ A .

Propoziţie

Dacă A⊂Rn atunci ∀a∈ A ⇒ ∃(an)⊂A astfel încât lim an=a.

Propoziţie

Fie R cu topologia reală şi C⊂R. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) C este compactă;

2) ∀(an)⊂C⇒∃(kna )k∈N un subşir al lui (an) (restricţie a lui (an) la o

submulţime a lui N) şi a∈R astfel încât limkna =a;

3) C este închisă şi mărginită.

Teoremă

Şirul (am)=(am1,...,am

n)⊂Rn este convergent dacă şi numai dacă şirurile

(am1)⊂R,...,(am

n)⊂R sunt convergente şi în acest caz avem:

lim am=(lim am1,...,lim am

n)

Exemplu:

Să se calculeze limita următorului şir din R2:

1) an=

+−+

+−+

2nn5

5n,

2n3

5nn222

2

∀n≥1;

Soluţie lim an=lim

+−+

+−+

2nn5

5n,

2n3

5nn222

2

=



+−+

+−+

2nn5

5nlim,

2n3

5nn2lim

22

2

=

0,

3

2.

2.1.3. Spații metrice. Spații normate

Definiţie

Numim metrică (distanţă) pe Rn o funcţie d:Rn×Rn→R, (x,y)→d(x,y)

∀x,y∈Rn, astfel încât sunt satisfăcute următoarele axiome:

1) d(x,y)=0⇔x=y;

2) d(x,y)=d(y,x) ∀x,y∈Rn;

3) d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) ∀x,y,z∈Rn.

Definiţie

Considerând o metrică d pe Rn, vom numi perechea (Rn,d) spaţiu metric.

Definiţie

Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Mulţimea B(a,r)={x∈Rnd(a,x)≤r}, r≥0 se

numeşte bila închisă de centru a şi rază r. Mulţimea B(a,r)={x∈Rnd(a,x)<r}, r>0 se numeşte bila deschisă de centru a şi rază r.

Propoziţie

Un spaţiu metric (Rn,d) este spaţiu topologic.

Propoziţie

Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Atunci ∀a∈Rn ∀r>0⇒B(a,r) este o mulţime

deschisă, B(a,r) este o mulţime închisă iar )r,a(B)r,a(B = .

Propoziţie

Fie un spaţiu metric (Rn,d) şi (an)⊂Rn un şir convergent. Atunci lim an este unică.

Propoziţie

Fie un spaţiu metric (Rn,d) şi (an)⊂X. Atunci (an) este un şir convergent şi lim

an=a∈X dacă şi numai dacă ∀ε>0⇒ ∃nε∈N astfel încât d(an,a)<ε ∀n≥nε.

Sarcina de lucru 2

Să se calculeze limita şirului din R2: an=

++−

++−+

1n2n15

15n2,

7n2n3

5n2n3224

3

∀n≥1.



Definiţie

Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Un şir (an)⊂Rn se numeşte şir Cauchy (şir

fundamental) dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N astfel încât d(an,am)<ε ∀n,m≥nε.

Propoziţie

Fie (Rn,d) un spaţiu metric şi (an)⊂Rn un şir convergent. Atunci (an) este şir Cauchy.

Reciproc, nu este în general adevărat, deci se impune următoarea:

Definiţie

Un spaţiu metric (Rn,d) se numeşte spaţiu metric complet dacă orice şir Cauchy din Rn este convergent.

Definiţie

Fie un spaţiu metric (Rn,d). O mulţime A⊂Rn se numeşte mulţime mărginită

dacă ∃a∈Rn ∃r>0 astfel încât A⊂B(a,r).

Definiţie

Fie un spaţiu metric (Rn,d). Un şir (an)⊂Rn se numeşte şir mărginit dacă

mulţimea valorilor acestuia este mărginită.

Lemă (Cesàro)

Orice şir mărginit din Rn conţine un subşir convergent.

Definiţie

Numim normă pe Rn o funcţie ⋅:Rn→R, x→x ∀x∈Rn astfel încât sunt satisfăcute următoarele axiome:

1) x=0⇒x=0;

2) αx=α⋅x ∀x∈Rn ∀α∈R;

3) x+y≤x+y ∀x,y∈Rn.

Definiţie

Fiind dată o normă ⋅ pe Rn, perechea (Rn,⋅) se numeşte spaţiu vectorial

real n-dimensional normat (sau simplu spaţiu normat).

Definiţie

Un spaţiu normat complet se numeşte spaţiu Banach.

Exemplu:

Fie pe o mulţime X≠∅, metricile d şi d’ şi a,b∈R+, a2+b

2>0. Să se arate că

aplicaţia d”:X×X→R, d”(x,y)=ad(x,y)+bd’(x,y) ∀x,y∈R este o metrică pe X.

Soluţie Avem x=y⇒d”(x,x)=ad(x,x)+bd’(x,x)=0 şi reciproc, dacă d”(x,y)=

ad(x,y)+bd’(x,y)=0⇒cum a,b≥0 şi cel puţin unul este nenul rezultă că x=y. De



asemenea, d”(x,y)=ad(x,y)+bd’(x,y)=ad(y,x)+ bd’(y,x)=d”(y,x) ∀x,y∈X. Fie

acum x,y,z∈X, arbitrari. Avem d”(x,z)=ad(x,z)+bd’(x,z)≤a[d(x,y)+d(y,z)]+

b[d’(x,y)+ d’(y,z)]=[ad(x,y)+bd’(x,y)]+[ad(y,z)+bd’(y,z)]=d”(x,y)+d”(y,z).

2.1.4. Limite de funcții în Rn

Definiţie

O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm, n,m≥1 se numeşte funcţie vectorială reală de n variabile reale. Dacă m=1 vom spune pe scurt că f este funcţie de n variabile.

Definiţie

O aplicaţie f:A⊂Rn→R

m se spune că are limita y∈Rm într-un punct de

acumulare a∈A' dacă ∀V∈V(y)⇒ ∃U∈V(a) astfel încât:

f((U-{a})∩A)⊂V

Propoziţie

Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→Rm şi a∈A'. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) f are limita y∈Rm în a;

2) ∀(an)⊂A-{a} astfel încât lim an=a⇒lim f(an)=y;

3) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A-{a} şi d(x,a)<δε⇒ d(f(x),y)<ε.

4) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A-{a} şi ax − <δε⇒ y)x(f − <ε.

Corolar

Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→Rm şi a∈A'. Funcţia f nu are limită în punctul “a” dacă

∃(an),(bn)⊂A-{a} cu lim an=lim bn=a şi fie unul din şirurile (f(an)),(f(bn)) nu este convergent, fie sunt amândouă convergente, dar au limite diferite.

În cazul funcţiilor de mai multe variabile, se poate defini limita unei funcţii

după o direcţie astfel: fie f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Ecuaţia unei drepte ce trece prin “a” este:

Sarcina de lucru 3

Fie pe un spaţiu vectorial real X două norme ⋅’ şi ⋅”. Să se arate că a⋅’+b⋅”, a,b∈R+ este de asemenea o normă pe X.



λ+=

λ+=

nnn

111

vax

vax

L , λ∈R

unde v1,...,vn reprezintă parametrii directori ai dreptei (care dau “înclinarea”

dreptei faţă de axele de coordonate). Notând v=(v1,...,vn) putem scrie ecuaţia

dreptei succint sub forma: x=a+λv, λ∈R. Definim atunci limita unei funcţii

după direcţia dată de dreapta x=a+λv ca fiind:

0lim

→λf(a+λv)

Este evident că dacă o funcţie are limită într-un punct, atunci ea are limită după orice direcţie în acel punct. Reciproc, nu este adevărat.

Fie acum f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Să considerăm mulţimile

Ai={xi∈R(x1,...,xi,...,xn)∈A} şi să presupunem că ai∈Ai', i=1,...,n. Atunci

ii axlim

→f(x) depinde de variabilele x1,...,xi-1,xi+1,..., xn. Considerând apoi acelaşi

proces obţinem în final o valoare reală notatăax

lim→

σf(x)=nini1i1i axax

lim...lim→→

f(x)

unde σ=

n21 iii

n21

L

L∈Sn (grupul permutărilor de n elemente). Vom numi

aceasta limita iterată după permutarea σ a funcţiei f în punctul a. Are loc următoarea:

Propoziţie

Fie f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Dacă f are limită în “a” şi, în plus, ∃σ∈Sn

astfel încât ax

lim→

σf(x) există atunci ax

lim→

σf(x)= ax

lim→

f(x).

Exemplu:

Să se calculeze 22

33

)0,0()y,x( yx

yxlim

++

→.

Soluţie Conform teoriei generale, dacă funcţia are limită atunci orice limită

iterată dacă există este egală cu limita căutată. Prin urmare, vom încerca

calcularea unei limite iterate şi în cazul determinării acesteia vom arăta cu

definiţia limitei (globale) că aceasta este tocmai limita căutată. Avem deci:

22

33

0y0x yx

yxlimlim

++

→→=

2

3

0x x

xlim

→=0. Fie deci ε>0, arbitar şi δε=

2

ε>0. Avem:

22

33

yx

yx

++

=22

2

yx

xx

++

22

2

yx

yy

+ de unde 0

yx

yx22

33

−++

=22

33

yx

yx

++

=

=+

++

≤+

++ 22

2

22

2

22

2

22

2

yx

yy

yx

xx

yx

yy

yx

xx ≤

++

+ 22

2

22

2

yx

yy

yx

xx

≤+≤+=++

+++ 22

22

22

22

22

yx2yxyx

yxy

yx

yxx ε=

ε2

2 .



2.1.5. Continuitatea funcțiilor

Definiţie

O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie continuă în a∈A dacă

∀V∈V(f(a))⇒∃U∈V(a) astfel încât f(U∩A)⊂V.

Propoziţie

Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→Rm şi a∈A. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) f este continuă în a;

2) ∀(an)⊂A astfel încât lim an=a⇒lim f(an)=f(a);

3) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A şi d(x,a)<δε⇒ d(f(x),f(a))<ε.

4) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A şi ax − <δε⇒ )a(f)x(f − <ε.

Definiţie

O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie continuă pe A dacă este continuă

în orice punct a∈A.

Propoziţie

O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm este continuă în a∈A’∩A dacă şi numai dacă are

limită în a şi ax

lim→

f(x)=f(a).

Teoremă

Fie o aplicaţie f:Rn→Rm. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) f este continuă pe Rn;

2) ∀D-deschisă în Rm⇒f-1(D)-deschisă în Rm;

3) ∀E-închisă în Rm⇒f-1(E)-închisă în Rn.

Sarcina de lucru 4

Folosind definiţia limitei, să se arate că:2

1

y

xlim

2

)0,0()y,x(=

→



Definiţie

O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie uniform continuă pe A dacă

∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x,y∈A şi d(x,y)<δε⇒ d(f(x),f(y))<ε.

Propoziţie

O funcţie f:A⊂Rn→Rm uniform continuă pe A este continuă pe A.

Propoziţie

O funcţie f:A⊂Rn→Rm continuă pe mulţimea compactă A este uniform continuă pe A.

Definiţie

O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie lipschitziană pe A dacă ∃C>0

astfel încât d(f(x),f(y))≤C⋅d(x,y) ∀x,y∈A.

Propoziţie

O funcţie f:A⊂Rn→Rm lipschitziană pe A este uniform continuă pe A.

Propoziţie

Fie o aplicaţie liniară f:Rn→Rm. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) f este continuă pe Rn;

2) f este continuă în 0∈Rn;

3) ∃M>0 astfel încât )x(f ≤M x ∀x∈Rn.

Definiţie

O aplicaţie f:A⊂Rn→f(A)⊂R

m se numeşte homeomorfism dacă:

1) f este bijectivă;

2) f este continuă pe A şi f-1 este continuă pe f(A).

Exemplu:

Să se studieze continuitatea funcţiei f:R2→R,

≠

+−

=(0,0)=y)(x, daca 0

(0,0);y)(x, daca yx

yxxy

)y,x(f 22

22

Soluţie Pe R2-{(0,0)} funcţia este continuă deoarece ∀a,b∈R şi ∀(an), (bn)∈R

astfel încât lim an=a, lim bn=b rezultă lim f(an,bn)=f(a,b). Rămâne deci de

studiat continuitatea în (0,0). Fie ε>0. Alegem δε= ε2 . Avem deci f(x,y)-



f(0,0)=f(x,y=22

22

yx

yxxy

+−

=xy22

22

yx

yx

+

−≤xy

22

22

yx

yx

+

+=xy≤

2

1(x

2+y

2)≤

2

2ε=ε. Prin urmare, funcţia f este continuă în (0,0) deci este continuă pe R

2.

2.2. Diferențiabilitatea funcțiilor

2.2.1. Derivabilitatea după o direcție și cea parțială a funcțiilor

Vom considera în cele ce urmează funcţii de forma f:D⊂Rn→R, n≥1, D-

deschisă, (x1,...,xn)→f(x1,...,xn). Vom nota generic x=(x1,...,xn)∈ Rn.

Fie a∈D şi o dreaptă de parametri directori v=(v1,...,vn)∈Rn: x=a+λv, λ∈R.

Avem: v

vvax λ+= şi notând: vλ =α,

v

v=w, rezultă: α∈R şi w =1.

Putem scrie deci ecuaţia unei drepte sub forma d: x=a+αw, α∈R, w =1.

Deoarece a∈D⇒∃V∈V(a)∈Rn astfel încât a∈V⊂D. Vom alege V ca fiind o

bilă deschisă centrată în a. Fie deci r>0 astfel încât B(a,r)⊂D. Fie x∈D. Avem:

ax − = awa −α+ = wα = α ⋅ w = α . Dacă α∈(-r,r) atunci ax − <r

deci x∈B(a,r)⊂D. Definim acum funcţia: g:(-r,r)→R, g(α)=f(a+αw) ∀α∈(-r,r). Din cele de mai sus, rezultă că definiţia este corectă.

Definiţie

Funcţia f se numeşte aplicaţie derivabilă după direcţia w în a∈Rn dacă

funcţia: g:(-r,r)→R, g(α)=f(a+αw) este derivabilă în originea 0∈R. Vom numi

în acest caz numărul real dw

df(a)=g'(0)-derivata după direcţia w în punctul a

al lui f.

Pentru n=1 se obţine definiţia clasică a derivatei într-un punct.

Sarcina de lucru 5

Să se studieze continuitatea uniformă a funcţiei:

f:R2→R, f(x,y)=2(x+y)-sin x+cos y.



În Rn avem câteva direcţii “privilegiate” şi anume cele date de vectorii bazei canonice e1=(1,0,...,0),... ,en=(0,0,...,1).

Definiţie

Funcţia f se numeşte aplicaţie derivabilă parţial în punctul a, în raport cu

variabila xk, 1≤k≤n, dacă există derivata după direcţia ek adică dacă există:

t

)a,...,a,...,a(f)a,...,ta,...,a(flim)a('f)a(

x

f nk1nk1

0tx

kk

−+==

∂∂

→

Numărul real )a(x

f

k∂∂

sau notat uneori )a)(fx

(k∂

∂ sau )a('f

kx se numeşte

derivata parţială a lui f în punctul a în raport cu xk.

Definiţie

Vom spune că f este derivabilă parţial în raport cu xk pe D dacă este

derivabilă parţial în raport cu xk în orice punct a∈D.

Definiţie

Vom spune că f este derivabilă parţial pe D dacă este derivabilă parţial în

raport cu orice xk k= n,1 în orice punct a∈D.

Definiţie

Dacă f este derivabilă parţial în fiecare punct x∈V unde V∈V(a), a∈D-fixat şi

dacă la rândul lor derivatele parţiale kx

f

∂∂

, k= n,1 , sunt derivabile parţial în a,

vom spune că f este derivabilă parţial de ordinul 2 în a. Vom scrie:

)a(xx

f)a))(

x

f(

x(

kj

2

kj ∂∂∂

=∂∂

∂∂

∀j,k= n,1

şi vom spune că kj

2

xx

f

∂∂∂

(a) este derivata parţială de ordinul 2 a lui f în punctul

a în raport cu variabilele xj şi xk. Pentru j=k adoptăm notaţia:

)a(x

f)a))(

x

f(

x(

2k

2

kk ∂

∂=

∂∂

∂∂

∀k= n,1

Definiţie

Dacă f este derivabilă parţial de ordinul k, k≥1 în fiecare punct x∈V unde

V∈V(a), a∈D-fixat şi dacă la rândul lor derivatele parţiale de ordinul k:

k1 ii

k

x...x

f

∂∂∂

∀i1,...,ik∈{1,...,n} sunt derivabile parţial în a, vom spune că f este

derivabilă parţial de ordinul (k+1) în a. Vom scrie:



)a)(x...xx

f()a))(

x...x

f(

x(

k1k1 iii

1k

ii

k

i ∂∂∂∂

=∂∂

∂∂∂ +

În cazul mai multor variabile identice vom adopta notaţia:

)a)(x...x

f()a)(

x...x...x...x

f(

k

k

1

1

k1

k

kk

1

11

k1

ni

ni

n...n

orin

ii

orin

ii

n...n

∂∂

∂=

∂∂∂∂∂ ++

−−

++

4342143421

Teoremă (Schwarz)

Dacă f:D→R, D⊂Rn-deschisă admite derivate parţiale de ordinul 2 într-o

vecinătate V a lui a∈D şi dacă pentru 1≤i≠j≤n-fixaţi ji

2

xx

f

∂∂∂

este continuă în a,

atunci:

ij

2

xx

f

∂∂∂

(a)=ji

2

xx

f

∂∂∂

(a)

Exemplu:

Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul I şi II pentru funcţia f:R3→R,

f(x,y,z)=x2+e

xy+xyz

4 în punctul (x,y,z)∈R

3, verificându-se criteriul lui Schwarz

pe acest exemplu concret.

Soluţie Avem:

• x

f

∂∂

=2x+yexy

+yz4,

y

f

∂∂

=xexy

+xz4,

z

f

∂∂

=4xyz3;

• 2

2

x

f

∂∂

=x∂∂

(x

f

∂∂

)=x∂∂

(2x+yexy

+yz4)=2+y

2e

xy;

• yx

f2

∂∂∂

=x∂∂

(y

f

∂∂

)=x∂∂

(xexy

+xz4)=(xy+1)e

xy+z

4;

• xy

f2

∂∂∂

=y∂

∂(

x

f

∂∂

)=y∂

∂(2x+ye

xy+yz

4)=(xy+1)e

xy+z

4;

• zx

f2

∂∂∂

=x∂∂

(z

f

∂∂

)=x∂∂

(4xyz3)=4yz

3;

• xz

f2

∂∂∂

=z∂

∂(

x

f

∂∂

)=z∂

∂(2x+ye

xy+yz

4)=4yz

3;

• 2

2

y

f

∂∂

=y∂

∂(

y

f

∂∂

)=y∂

∂(xe

xy+xz

4)=x

2e

xy;

• zy

f2

∂∂∂

=y∂

∂(

z

f

∂∂

)=y∂

∂(4xyz

3)=4xz

3;



• yz

f2

∂∂∂

=z∂

∂(

y

f

∂∂

)=z∂

∂(xe

xy+xz

4)=4xz

3;

• 2

2

z

f

∂∂

=z∂

∂(

z

f

∂∂

)=z∂

∂(4xyz

3)=12xyz

2.

2.2.2. Diferențiabilitatea funcțiilor

Definiţie

Fie f:D⊂Rn→R

m, D-deschisă şi a∈D. f se numeşte aplicaţie diferenţiabilă în

a dacă ∃T∈L(Rn,Rm) astfel încât

f(x)=f(a)+T(x-a)+ω(x) ax − ∀x∈D

unde ω:D-{a}→Rm satisface ax

lim→

ω(x)=0. Dacă f este diferenţiabilă în orice

punct din D vom spune că f este diferenţiabilă pe D.

Teoremă

Fie o aplicaţie f=(f1,...,fm):D⊂Rn→Rm, D-deschisă şi a∈D. Aplicaţia f este diferenţiabilă în a dacă şi numai dacă aplicaţiile f1,...,fm sunt diferenţiabile în a. În acest caz:

df(a)=(df1(a),...,dfm(a))

Teoremă

Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă.

1) Dacă f este diferenţiabilă în a∈D atunci f este continuă în a;

2) Dacă f este diferenţiabilă în a∈D atunci ∀w∈Rn, w =1 există derivata

după direcţia w în a şi avem dw

df(a)=df(a)(w). În particular, există

Sarcina de lucru 6

Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul I ale funcţiei de mai jos în

punctul indicat: f:R3→R, f(x,y,z)=arctgyz

x 2

în punctul (1,1,1).



derivatele parţiale de ordinul I şi avem kx

f

∂∂

(a)=df(a)(ek), k= n,1 , unde ek

sunt vectorii bazei canonice din Rn;

3) Dacă f∈C1(D) atunci f este diferenţiabilă pe D.

Considerând acum diferenţialele dxi ale variabilelor xi, i=1,...,n după exemplul 3.c, avem:

Teoremă

Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct a∈D. Atunci:

∑= ∂

∂=

n

1ii

i

)a(dx)a(x

f)a(df

Definiţie

Fie o aplicaţie f=(f1,...,fm):D⊂Rn→R

m, D-deschisă şi a∈D. Matricea Jf(a) definită prin:

Jf(a)=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

)a(x

f)a(

x

f

)a(x

f)a(

x

f

n

m

1

m

n

1

1

1

L

LLL

L

se numeşte matricea jacobiană a lui f în punctul a. Dacă m=n vom numi det(Jf(a)) jacobianul sau determinantul funcţional al lui f în a. Vom mai nota:

det(Jf(a))=)x,...,x(D

)f,...,f(D

n1

n1 (a)

Propoziţie

Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă în a∈D. Atunci ∀w=(w1,...,wn)∈R

n

cu w =1 funcţia f are derivată după direcţia w şi

)a(x

fw...)a(

x

fw)a(

dw

df

n

n

1

1 ∂∂

++∂∂

=

Definiţie

Vom defini diferenţiala de ordin m a funcţiei f prin egalitatea:

fdxx

fd

mn

1ii

i

m

∂∂

= ∑=

unde suma din paranteză se dezvoltă formal cu ajutorul formulei generalizate a m-nomului şi apoi se aplică derivatele parţiale lui f.



Definiţie

Matricea formei pătratice d2f într-un punct a∈D se numeşte hessiana lui f în a şi avem:

Hf(a)=

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

)a(x

f)a(

xx

f

)a(xx

f)a(

x

f

2n

2

1n

2

n1

2

21

2

L

LLL

L

Definiţie

Fie o aplicaţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, f∈C1(D) şi a∈D. Numim gradientul

lui f în a∈D:

(grad f)(a)=(∇f)(a)=

∂∂

∂∂

)a(x

f),...,a(

x

f

n1

∈Rn

Exemplu:

Să se determine diferenţiala de ordinul I a funcţiei f:R3→R, f(x,y,z)=4xy+e

xz-

5zex în punctul (1,1,1).

Soluţie Avem: df(1,1,1)=x

f

∂∂

(1,1,1)dx+y

f

∂∂

(1,1,1)dy+z

f

∂∂

(1,1,1)dz=

(4-4e)dx+4dy-4edz.

Sarcina de lucru 7

Fie funcţiile f:R3→R2, f(x,y,z)=(x2,yz) şi g:R2→R, g(u,v)=u3+euv. Să se

calculeze derivatele parţiale ale funcţiei g°f în punctul (x,y,z)∈R3.



2.3. Serii numerice. Serii de funcții. Serii de puteri. Dezvoltarea în serie

Taylor

2.3.1. Serii numerice

În această secţiune vom considera, până la menţiuni contrare, că toate şirurile sunt indexate după N.

Definiţie

Fie un şir (an)⊂R şi şirul (Sn)⊂R definit prin Sn= ∑=

n

0ina , n≥0. Numim serie

numerică de termen general an perechea de şiruri ((an),(Sn)). Vom numi şirul (Sn) şirul sumelor parţiale ale seriei.

Definiţie

O serie ∑∞

=0nna se numeşte serie convergentă dacă şirul sumelor parţiale (Sn)

este convergent. O serie se numeşte serie divergentă dacă nu este convergentă.

Definiţie

Dacă seria ∑∞

=0nna este convergentă numim lim Sn-suma seriei şi o vom nota

∑∞

=0nna .

Propoziţie

Fie o serie ∑∞

= 0nna şi m∈N, fixat. Considerând şirul bn=am+n ∀n≥0 seriile ∑

∞

=0nna

şi ∑∞

=0nnb au aceeaşi natură.

Teoremă (Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy)

O serie ∑∞

= 0nna este convergentă dacă şi numai dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N astfel încât:

an+1+...+an+m<ε ∀n≥nε ∀m≥1

Corolar

Dacă o serie ∑∞

=0nna este convergentă atunci lim an=0.

Propoziţie

Fie seriile ∑∞

=0nna , ∑

∞

=0nnb şi α,β∈R*. Atunci:



1) Seria ∑∞

=

α0n

na are aceeaşi natură cu seria ∑∞

=0nna , iar dacă ∑

∞

=0nna este

convergentă are loc egalitatea ∑∞

=

α0n

na =α∑∞

=0nna ;

2) Dacă seriile ∑∞

=0nna şi ∑

∞

=0nnb sunt convergente atunci şi ∑

∞

=

β+α0n

nn )ba(

este convergentă şi are loc egalitatea: ∑∞

=

β+α0n

nn )ba( =α∑∞

=0nna +β∑

∞

=0nnb .

Definiţie

O serie ∑∞

=0nna se numeşte serie absolut convergentă dacă seria ∑

∞

=0nna este

convergentă. O serie convergentă care nu este absolut convergentă se numeşte serie semiconvergentă.

Propoziţie

O serie ∑∞

=0nna absolut convergentă este convergentă.

Definiţie

O serie ∑∞

=0nna se numeşte serie necondiţionat convergentă (serie comutativ

convergentă) dacă ∀σ:N→N o aplicaţie bijectivă (permutare a mulţimii

numerelor naturale) seria ∑∞

=σ

0n)n(a este convergentă.

Teoremă (Criteriul I de comparaţie)

Fie ∑∞

=0nna şi ∑

∞

=0nnb două serii cu termeni pozitivi. Dacă an≤bn ∀n≥0 atunci:

1) ∑∞

=0nnb este convergentă⇒∑

∞

=0nna este convergentă şi ∑

∞

=0nna ≤∑

∞

=0nnb ;

2) ∑∞

=0nna este divergentă⇒∑

∞

=0nnb este divergentă.

Teoremă (Criteriul II de comparaţie)

Fie ∑∞

=0nna şi ∑

∞

=0nnb două serii cu termeni strict pozitivi. Dacă lim

n

n

b

a există şi

este nenulă şi finită atunci seriile au aceeaşi natură.



Teoremă (Criteriul III de comparaţie)

Fie ∑∞

=0nna şi ∑

∞

=0nnb două serii cu termeni strict pozitivi. Dacă

n

1n

n

1n

b

b

a

a ++ ≤

∀n≥0 atunci:

1) ∑∞

=0nnb este convergentă⇒∑

∞

=0nna este convergentă;

2) ∑∞

=0nna este divergentă⇒∑

∞

=0nnb este divergentă.

Corolar

Fie ∑∞

=0nna o serie cu termeni strict pozitivi.

1) Dacă ∃r∈(0,1) astfel încât ra

a

n

1n ≤+ ∀n≥0 atunci seria este convergentă;

2) Dacă ∃r∈[1,∞) astfel încât ra

a

n

1n ≥+ ∀n≥0 atunci seria este divergentă.

Teoremă (Criteriul raportului al lui D'Alembert)

Fie ∑∞

=0nna o serie cu termeni nenuli. Dacă L=lim∑

∞

=0nna există atunci:

1) L<1⇒∑∞

=0nna este absolut convergentă;

2) L>1⇒ ∑∞

=0nna este divergentă.

Teoremă (Criteriul radical al lui Cauchy)

Fie ∑∞

=0nna o serie numerică cu elemente nenule. Dacă L=lim n

na există

atunci:

1) L<1⇒∑∞


2) L>1⇒ ∑∞

=0nna este divergentă.



Teoremă (Criteriul Raabe-Duhamel)

Fie ∑∞

=0nna o serie numerică cu elemente nenule. Dacă L=lim n

−

+

1a

a

1n

n există

atunci:

1) L>1⇒∑∞


2) L<1 iar seria este numerică cu termeni strict pozitivi⇒∑∞

=0nna este

divergentă.

Teoremă (Criteriul Abel-Dirichlet)

Fie (an) şi (bn) două şiruri de numere reale având proprietăţile:

1) lim an=0;

2) ∑∞

=+ −

0nn1n aa este convergentă;

3) Dacă Sn=∑=

n

0iib atunci M= n

0nSsup

≥<∞.

În aceste condiţii seria ∑∞

=0nnnba este convergentă.

Teoremă (Leibniz)

Fie (an) un şir de numere reale convergent monoton la 0. Atunci seria alternată

∑∞

=

−0n

nn a)1( este convergentă.

Exemplu:

Să se studieze convergenţa seriei: ∑∞

1=nnn

!n.

Soluţie Aplicăm criteriul D’Alembert şi obţinem lim

n

1n

n

!n)1n(

)!1n(++

+

=limn

n

)1n(

n

+=

limn

n

1n

1

+

=e

1<1 deci seria este convergentă.



2.3.2. Șiruri și serii de funcții

Definiţie

Fie D⊂R. Se numeşte şir de funcţii pe D o aplicaţie n∈N→(fn)∈RD.

Definiţie

Fie (fn) un şir de funcţii fn:D⊂R→R, n≥0. Vom spune că (fn) este şir de funcţii

punctual convergent pe D dacă ∀a∈D⇒∃ba∈R astfel încât ∀ε>0⇒ ∃nε,a∈N

cu proprietatea că fn(a)-ba<ε ∀n≥nε,a.

Definiţie

Fie (fn) un şir de funcţii fn:D⊂R→R, n≥0. Vom spune că (fn) este şir de funcţii

uniform convergent pe D către o funcţie f:D→R dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N cu

proprietatea că fn(a)-f(a)<ε ∀n≥nε ∀a∈D.

Propoziţie

Fie (fn) un şir uniform convergent de funcţii continue fn:[a,b]→R. Atunci f=lim

fn este continuă pe [a,b].

Teoremă

Fie (fn) un şir uniform convergent de funcţii continue fn:[a,b]→R. Atunci:

1) lim ∫b

a

n dx)x(f = ∫b

a

n dx)x(flim ;

2) Dacă fn∈C1([a,b]) şi ∃g:[a,b]→R astfel încât fn'

UC

→ g atunci f=lim fn este

derivabilă pe [a,b] şi (lim fn)'=lim f'n.

Definiţie

Fie un şir de funcţii mărginite fn:[a,b]→R, n≥0. Considerând şirul de funcţii

(Sn) unde Sn(x)=∑=

n

0kk )x(f ∀x∈[a,b], n≥0 perechea de şiruri de funcţii

Sarcina de lucru 8

Să se studieze convergenţa seriei: ∑∞

1=nn)n (lnn

1.



((fn),(Sn)) se numeşte serie de funcţii pe [a,b]. Vom numi (Sn) şir al sumelor

parţiale ale seriei de funcţii. Vom nota o serie de funcţii simbolic: ∑∞

=0nnf .

Definiţie

Fie o serie de funcţii ∑∞

=0nnf . Numim mulţime de convergenţă a seriei

mulţimea C={x∈[a,b]∑∞

=0nn )x(f este convergentă}.

Definiţie

Considerând mulţimea de convergenţă C putem defini funcţia f:C→R, f(x)=

∑∞

=0nn )x(f . Funcţia f se numeşte suma seriei de funcţii iar ∑

∞

= 0nnf se numeşte

serie punctual convergentă pe C. Dacă în plus şirul sumelor parţiale (Sn)

converge uniform la f pe C spunem că ∑∞

= 0nnf este serie uniform convergentă

pe C.

Teoremă

Fie ∑∞

= 0nnf o serie uniform convergentă pe [a,b] de funcţii continue şi f suma

seriei. Atunci:

1) f este continuă pe [a,b];

2) ∫ ∑

∞

=

b

a 0nn dx)x(f =∑∫

∞

=0n

b

a

n dx)x(f ;

3) Dacă fn∈C1([a,b]), n≥0 iar ∑

∞

=0nn 'f este uniform convergentă pe [a,b]

atunci f este derivabilă pe [a,b] şi ∑∑∞

=

∞

=

=

0nn

0nn 'f'f .

Teoremă (Weierstrass)

Fie o serie de funcţii ∑∞

=0nnf şi o serie numerică convergentă ∑

∞

=0nna astfel încât

fn(x)≤an ∀x∈[a,b] ∀n≥1. Atunci seria ∑∞

=0nnf este uniform convergentă pe

[a,b].



2.3.3. Serii de puteri

Definiţie

Fie (an)⊂R. Se numeşte serie de puteri centrată în x0∈R seria de funcţii

∑∞

=

−0n

n0n )xx(a . Numerele reale an se numesc coeficienţii seriei de puteri.

Dacă x0=0 vom spune că seria ∑∞

=0n

nn xa este centrată în origine.

Lemă (Abel)

Fie seria de puteri ∑∞

=0n

nn xa şi r∈R* astfel încât şirul (anr

n) este mărginit.

Atunci:

1) ∀x∈(-r,r) seria ∑∞

=0n

nn xa este absolut convergentă;

2) ∀0<r'<r seria ∑∞

=0n

nn xa este uniform convergentă pe intervalul compact

[-r',r'].

Definiţie

Fie ∑∞

=0n

nn xa o serie de puteri. Numărul real

R=sup{r∈R+(anrn) este mărginit}

se numeşte raza de convergenţă a seriei.

Teoremă

Fie ∑∞

=0n

nn xa o serie de puteri şi R raza sa de convergenţă. Atunci:

1) Dacă R∈(0,∞) atunci seria ∑∞

=0n

nn xa este absolut convergentă ∀x∈(-R,R)

şi divergentă pentru x∈(-∞,R)∪(R,∞). Seria este uniform convergentă pe

orice interval [-r,r],0<r<R;

2) Dacă R=0 atunci seria ∑∞

=0n

nn xa este convergentă (absolut) numai pentru

x=0;

3) Dacă R=∞ atunci seria ∑∞

=0n

nn xa este absolut convergentă pe R. Seria este

uniform convergentă pe orice interval [-r,r],r>0.



Teoremă (Cauchy-Hadamard)

Fie seria de puteri ∑∞

=0n

nn xa . Atunci:

R=n

nalim

1

unde vom considera 01

=∞

şi ∞=0

1.

Teoremă

Fie ∑∞

=0n

nn xa o serie de puteri cu raza de convergenţă R şi fie

f:(-R,R)→R, f(x)=∑∞

=0n

nn xa ∀x∈(-R,R). Atunci:

1) Seria ∑∞

=

−

1n

1nn xna are raza de convergenţă R;

2) f este indefinit derivabilă pe (-R,R);

3) f'(x)=∑∞

=

−

1n

1nn xna ∀x∈(-R,R);

4) ∀a,b∈(-R,R)⇒ ∫b

a

dx)x(f =∑∞

= +0n

nn x1n

a.

Exemplu:

Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:

∑∞

−1=n

nn x)1(

Soluţie Fie D mulţimea de convergenţă a seriilor. 1)Avem R=1

1

(-1)lim

1

n n=

=1 de unde D⊃(-1,1). Pentru x=1 avem seria ∑∞

1=n

n(-1) pentru care şirul

sumelor parţiale este Sn= −

par=n daca 0

impar=n daca 1. Cum (Sn) nu este convergent,

rezultă că seria ∑∞

1=n

n(-1) este divergentă. Pentru x=-1 avem seria ∑∞

1=n

1 pentru

care şirul sumelor parţiale este Sn=n iar lim Sn=∞ deci din nou seria este

divergentă. Prin urmare, D=(-1,1).



2.3.4. Dezvoltarea în serie Taylor

Definiţie

Fie f:(a,b)→R, derivabilă de ordinul n+1, n≥1 pe (a,b). Numim polinomul

Taylor de grad n asociat funcţiei f în punctul x0:

Tn= n0

0)n(

00

0 )xX(!n

)x(f...)xX(

!1

)x('f)x(f −++−+

Observaţie

Definind restul de ordin n ca fiind Rn(x)=f(x)-Tn(x) ∀x∈(a,b) avem

f(x)=Tn(x)+Rn(x) ∀x∈(a,b) sau detaliat:

f(x)= n0

0)n(

00

0 )xx(!n

)x(f...)xx(

!1

)x('f)x(f −++−+ +Rn(x) ∀x∈(a,b)

numită formula lui Taylor de ordinul n.

Fie I=[x,x0] dacă x<x0 şi I=[x0,x] dacă x0<x. Fie funcţia h:I→R definită prin:

−−

−−

+−= ∑∑=

+

+

=

k0

n

0k

)k(

1n0

1nk

n

0k

)k(

)xx(!k

)t(f)x(f

)xx(

)tx()tx(

!k

)t(f)t(h

Avem acum h(x0)=h(x)=f(x). Din faptul că f este derivabilă de ordinul n+1 pe

(a,b)⊃I rezultă că h este derivabilă pe o

I şi continuă pe I. Aplicând teorema lui

Rolle rezultă că ∃ξ∈o

I (deci x<ξ<x0 sau x0<ξ<x) astfel încât h’(ξ)=0. Calculând h' rezultă:

Rn(x)= 1n0

)1n(

)xx()!1n(

)(f ++

−+

ξ-restul lui Lagrange

iar formula lui Taylor cu restul lui Lagrange este:

Sarcina de lucru 9

Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri: ( )∑∞

−1=n

nnx1n



f(x)= n0

0)n(

00

0 )xx(!n

)x(f...)xx(

!1

)x('f)x(f −++−+ + 1n

0

)1n(

)xx()!1n(

)(f ++

−+

ξ

∀x∈(a,b), ξ∈(x0,x) (sau (x,x0)).

Se pot determina şi alte variante ale restului Rn având astfel:

Rn(x)= 1pnp0

)1n(

)x()xx(p!n

)(f +−+

ξ−−ξ

,p≥1-restul lui Schlömlich

de indice p iar formula lui Taylor cu restul lui Schlömlich este:

f(x)= n0

0)n(

00

0 )xx(!n

)x(f...)xx(

!1

)x('f)x(f −++−+ +

1pnp0

)1n(

)x()xx(p!n

)(f +−+

ξ−−ξ

∀p≥1 ∀x∈(a,b), ξ∈(x0,x) (sau (x,x0)).

Se observă că pentru p=n+1 se obţine restul lui Lagrange. De asemenea, pentru p=1 în formula restului lui Schlömlich avem:

Rn(x)= n0

)1n(

)x)(xx(!n

)(fξ−−

ξ+

-restul lui Cauchy

iar formula lui Taylor cu restul lui Cauchy este:

f(x)= n0

0)n(

00

0 )xx(!n

)x(f...)xx(

!1

)x('f)x(f −++−+ + n

0

)1n(

)x)(xx(!n

)(fξ−−

ξ+

∀x∈(a,b), ξ∈(x0,x) (sau (x,x0)).

Dacă 0∈(a,b) atunci din formula lui Taylor cu restul lui Lagrange aplicată în x0=0 avem formula lui Mac Laurin:

1n)1n(

n)n(

2 x)!1n(

)(fx

!n

)0(f...x

!2

)0("fx

!1

)0('f)0(f)x(f +

+

+ξ

+++++=

∀x∈(a,b), ξ∈(0,x) (sau (x,0)).

Teoremă (Formula lui Taylor)

Fie x0∈Rn şi r>0. Fie de asemenea o funcţie f:B(x0,r)→R, derivabilă de n+1-ori

pe B(x0,r). Atunci ∀x∈ B(x0,r)⇒∃α∈(0,1) astfel încât:

∑

∑

∑∑

=

+

=

==

+

++

+−−α+α−

∂∂∂

+

+−−∂∂

∂+

+−−∂∂

∂+−

∂∂

+=

m

1i,...,i

i0

ii0

i0ii

1n

m

1i,...,i

i0

ii0

i0ii

n

m

1j,i

j0

ji0

i0ji

2m

1i

i0

i0i0

1n1

1n1n11

1n1

n1

nn11

n1

)xx)...(xx)(xx)1((x...x

f

)!1n(

1

)xx)...(xx)(x(x...x

f

!n

1

...)xx)(xx)(x(xx

f

2

1)xx)(x(

x

f)x(f)x(f

∀x=(x1,...,xm)∈B(x0,r)⊂Rm iar x0=(x01,...,x0

m)∈Rm, α∈(0,1).



Teoremă (de dezvoltare în serie Taylor)

Fie f:(a,b)→R, f∈C∞((a,b)) astfel încât ∃M>0 cu f(n)(x)≤M ∀n∈N ∀x∈(a,b).

Seria Taylor:

n0

0n

0)n(

)xx(!n

)x(f−∑

∞

=

asociată lui f într-un punct x0∈(a,b) este uniform convergentă pe orice interval compact din (a,b) şi

f(x)= n0

0n

0)n(

)xx(!n

)x(f−∑

∞

=

∀x∈(a,b)

Exemplu:

Să se dezvolte în serie Mac Laurin funcţia: f(x)=sin x, x∈R.

Soluţie sin x= ...!7

x

!5

x

!3

xxx

)!1n2(

)1( 7531n2

0=n

n

+−+−=+

− +∞

∑

2.4. Extremele funcțiilor

2.4.1. Extreme locale. Funcții implicite

Definiţie

Fie D⊂Rn, deschisă şi f:D⊂Rn→R. Se numeşte punct de maxim local (punct

de minim local) un punct a∈D astfel încât ∃V∈V(a) cu proprietatea că

f(x)≤f(a) (f(x)≥f(a)) ∀x∈V∩D. f(a)∈R se numeşte maxim local (minim local) al funcţiei f.

Definiţie

Fie D⊂Rn, deschisă şi o funcţie f:D⊂R

n→R. Numim punct de maxim (punct

de minim) un punct a∈D astfel încât f(x)≤f(a) (f(x)≥f(a)) ∀x∈D. f(a)∈R se numeşte maxim (minim) al funcţiei f.

Sarcina de lucru 10

Să se dezvolte în serie Mac Laurin funcţia: f(x)=ex, x∈R.



Observaţie

Vom spune, atunci când nu ne interesează explicit natura unui punct din definiţie, că “a” este punct de extrem (global) iar f(a)-extrem (global).

Observaţie

Un punct de maxim local (global) al funcţiei f este punct de minim local (global) pentru funcţia -f. Un punct de minim local (global) al funcţiei f este punct de maxim local (global) pentru funcţia –f.

Definiţie

Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct a∈D. Spunem că “a” este un punct critic (punct staţionar) al lui f dacă df(a)=0.

Teoremă (Fermat)

Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct de extrem

local a∈D al lui f. Atunci df(a)=0 (a este punct critic al lui f).

Corolar

Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct de extrem

local a∈D al lui f. Atunci ix

f

∂∂

(a)=0,i=1,...,n.

Teoremă

Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă de ordinul 2 într-un punct

critic a∈D al lui f. Punctul “a” este un maxim local dacă forma pătratică d2f(a) este negativ definită. Punctul “a” este un minim local dacă forma pătratică d2f(a) este pozitiv definită.

Teoremă (a funcţiilor implicite, Goursat)

Fie o funcţie f=(f1,...,fn):D⊂Rm+n→Rn, D-deschisă, n≥1, m≥0,

(x1,...,xm,y1,...,yn)→(f1(x1,...,xm,y1,...,yn),...,fn(x1,...,xm,y1,...,yn)) şi

c=(a1,...,am,b1,...,bn)∈D Dacă: f(c)=0; fi∈C1(D), i= n,1 ;

)y,...,y(D

)f,...,f(D

n1

n1 (c)≠0 atunci:

∃W=U×V∈V(c) astfel încât U⊂Rm,V⊂Rn şi ϕ=(ϕ1,...,ϕn):U→V astfel încât

bi=ϕi(a1,...,am), i= n,1 iar fk(x1,...,xm,ϕ1(x1,...,xm),...,ϕn(x1,..., xm))=0, k= n,1 ,

∀(x1,...,xm)∈U; ϕk∈C1(U),k= n,1 , iar:

)y,...,y(D

)f,...,f(D)y,...,y,x,y,...,y(D

)f,...,f(D

x

n1

n1

n1ki1k1

n1

i

k +−−=∂∂ϕ

, k= n,1 ,i= m,1 ;



Dacă funcţiile fi∈Cs(D), i= n,1 , s≥1 atunci şi funcţiile ϕi∈C

s(U), i= n,1 .

Corolar

Fie o funcţie f=(f1,...,fn):D⊂Rn→Rn, D-deschisă, n≥1 şi a=(a1,...,an)∈D. Dacă:

fi∈C1(D), i= n,1 şi

)x,...,x(D

)f,...,f(D

n1

n1 (a)≠0 (f este transformare regulată) atunci:

1) ∃U∈V(a) astfel încât fU:U→f(U) este bijectivă;

2) Considerând aplicaţia inversă f-1:f(U)→U avem f-1k∈C

1(f(U)), k= n,1 , iar:

)a()x,...,x(D

)f,...,f(D1

))a(f()y,...,y(D

)f,...,f(D

n1

n1n1

1n

11 =

−−

Definiţie

Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, i=1,...,m, m,n≥1. Spunem că funcţiile fi, i=1,...,m sunt în dependenţă funcţională (sau că sunt dependente funcţional)

dacă ∃Φ:E⊂Rm→R astfel încât Φ(f1(x1,...,xn),...,fm(x1,...,xn))=0 ∀(x1,...,xn)∈D. Funcţiile fi, i=1,...,m sunt în independenţă funcţională (sau independente

funcţional) dacă nu sunt dependente funcţional.

Teoremă

Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C

1(D), i=1,...,m, 1≤m≤n. Funcţiile fi, i=1,...,m sunt dependente funcţional dacă şi numai dacă diferenţialele dfi, i=1,...,m sunt liniar dependente în spaţiul vectorial L(Rn,R).

Corolar

Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C1(D), i=1,..., m, 1≤m≤n. Funcţiile fi,

i=1,...,m sunt independente funcţional dacă şi numai dacă diferenţialele dfi, i=1,...,m sunt liniar independente în spaţiul vectorial L(Rn,R).

Corolar

Fie funcţiile fi:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C1(D), i=1,..., m, 1≤m≤ n. Funcţiile

fi, i=1,...,m sunt independente funcţional dacă şi numai dacă rangul matricei jacobiene a funcţiilor fi, i=1,...,m este m.

Teoremă (Lagrange)

Fie o funcţie f:D⊂Rn+m→R, D-deschisă, m,n≥1 şi legăturile gk:D→R, gk(x1,...,xn,y1,..., ym)=0, k=1,...,m, diferenţiabile pe D. Dacă un punct

(a1,...,an,b1,...,bm)∈D este un punct de extrem local astfel încât

gk(a1,...,an,b1,...,bm)=0, k=1,...,m şi dacă )y,...,y(D

)g,...,g(D

m1

m1 (a1,...,an,b1,...,bm)≠0



atunci există λ1,...,λm∈R şi funcţia Φ:D→R, Φ=f+λ1g1+...+λmgm astfel încât

ix∂Φ∂

(a1,...,an,b1,...,bm)=0, i=1,...,n, jy∂

Φ∂(a1,...,an,b1,...,bm)=0, j=1,...,m.

Observaţie

Metoda expusă mai sus se numeşte metoda multiplicatorilor lui Lagrange iar

numerele λi, i=1,...,m se numesc multiplicatorii lui Lagrange.

Exemplu:

Să se determine punctele de extrem ale funcţiei:

(a) f:R2→R, f(x,y)=x3+y

3-3xy+2

Soluţie Punctele critice se determină rezolvând sistemul:

=−=∂∂

=−=∂∂

0x3y3y

f

;0y3x3x

f

2

2

de unde

==

xy

;yx2

2

. Avem deci x,y≥0 iar din x4-

x=0⇒x1=y1=0, x2=y2=1. Punctele critice sunt deci A(0,0) şi B(1,1). Avem

însă y6y

f ,3

yx

f ,x6

x

f2

22

2

2

=∂∂

−=∂∂

∂=

∂∂

de unde d2f(a,b)(u,v)=6au

2-6uv+

6bv2. Matricea formei pătratice este:

6b3-

3-6a de unde ∆1=6a, ∆2= 36ab-

9. Dacă a=b=0 avem d2f(a,b)(u,v)=-6uv şi cu ajutorul metodei lui Gauss,

obţinem în urma transformării u’=u+v, v’=u-v: d2f(0,0)(u’,v’)=-

)'v'u(2

3 22 − -formă pătratică semidefinită. Prin urmare, punctul A(0,0) nu

este de extrem fiind punct şa. Pentru a=b=1 avem acum ∆1=6, ∆2=27 şi

cum ambii sunt pozitivi rezultă că forma pătratică este pozitiv definită deci

punctul B(1,1) este punct de minim local. Minimul local al funcţiei este

f(1,1)=1.



T

Rezumat

Noţiunile de mulţime deschisă şi mulţime închisă sunt fundamentale în construcţia obiectelor specifice analizei matematice. De asemenea, punctul de acumulare este fundamental în definirea limitei unei funcţii, iar ulterior în definiţia diferenţiabilităţii acesteia. Noţiunile de derivată după o direcţie şi cea particulară a derivatei parţiale aduc conceptul de “viteză” a unui proces, de multe ori mai importantă decât procesul în sine.

Seriile numerice reprezintă o extensie a sumelor finite, aplicabile în calcule iterative de dimensiuni mari. De asemenea, seriile de funcţii şi cele de puteri în special, permit “simularea” unei funcţii printr-un “polinom de grad infinit” ceea ce înlesneşte ulterior calculul unor mărimi, de multe ori dificile, cum ar fi diferenţialele sau integralele.

Extremele funcţiilor îşi găsesc o aplicare firească la optimizarea proceselor economice general,e ce nu permit, de exemplu, aplicarea unor algoritmi

specifici (vezi mai târziu algoritmul Simplex).

Sarcina de lucru 11

Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f(x,y)=xy cu legătura dată de g(x,y)=x+y-1=0.




I. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul II ale funcţiei de mai jos în

punctul indicat: f:R3→R, f(x,y,z)=exysin yz în punctul (1,π,1).

II. Să se studieze convergenţa seriei: ∑∞

+1=n3n1

1.

III. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:

∑∞

++

1=n

n

2x

nn

nn.

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testul de

autoevaluare

I. 2

2

x

f

∂∂

(1,π,1)=0 – 1 punct; yx

f2

∂∂∂

(1,π,1)=-π πe – 1 punct;

zx

f2

∂∂∂

(1,π,1)=-π2 πe – 1 punct;

2

2

y

f

∂∂

(1,π,1)=-2 πe – 1 punct;

zy

f2

∂∂∂

(1,π,1)=-(π+1) πe – 1 punct;

2

2

z

f

∂∂

(1,π,1)=0 – 1 punct.

II. Seria este convergentă – 2 puncte.

III. Domeniul de convergenţă este: D=[-1,1) - 2 puncte.


Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994), Algebră liniară, geometrie

analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale, Bucureşti, Editura All

Ioan C. A. (2004), Matematici aplicate în economie, Bucureşti, E.D.P.

Ioan C. A. (2006), Matematică – I, Galaţi, Ed. Sinteze

Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981), Probleme de algebră, Bucureşti, E.D.P.

3. ECUAȚII DIFERENȚIALE

Ecuații diferențiale – introducere

Tipuri principale de ecuații diferențiale de ordinul 1

Ecuații diferențiale de ordin superior

Ecuații diferențiale liniare de ordinul n

Obiectivele unităţii de

Rezumat



autoevaluare




• să aplici corect noile concepte;

• să rezolvi principalele tipuri de ecuații diferențiale și sistemele de ecuații diferențiale de ordinul 1;

• să reduci ecuațiile diferențiale de ordin superior la ordine inferioare.


Cătălin Angelo Ioan Ecuații Diferențiale


3.1. Ecuații diferențiale – introducere

Definiţii

Fie o funcţie continuă F:D⊂Rn+2→R, n≥1. Se numeşte ecuaţie diferenţială

problema determinării unei funcţii y:I⊂R→R, I-interval, y∈Cn(I) astfel încât

(x,y(x),y'(x),...,y(n)(x))∈D ∀x∈I şi F(x,y(x),y'(x),...,y(n)(x))=0 ∀x∈I. Numărul “n” se numeşte ordinul ecuaţiei diferenţiale. Funcţia y se numeşte soluţie a

ecuaţiei diferenţiale iar graficul acesteia se numeşte curbă integrală a ecuaţiei diferenţiale. Procesul de determinare a curbelor integrale se numeşte integrarea ecuaţiei diferenţiale.

Observaţie

Vom nota în general o ecuaţie diferenţială sub forma: F(x,y,y',...,y(n))=0 presupunând implicit că funcţia necunoscută y este de clasă C n pe domeniul ei de definiţie.

Observaţie

Din teoria generală a curbelor rezultă că o curbă integrală se poate reprezenta

fie în formă explicită y=y(x), x∈I, fie în formă implicită G(x,y)=0, fie

parametric x=x(t), y=y(t), t∈J⊂R.

Definiţie

O ecuaţie diferenţială F(x,y,y',...,y(n))=0 se spune că are forma normală dacă ea se poate rezolva în raport cu y(n) deci dacă există o funcţie continuă f astfel încât y(n)=f(x,y,y',...,y(n-1)).

Definiţie

O soluţie a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n ce depinde de n constante arbitrare se numeşte soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale. Orice soluţie ce se obţine din particularizarea constantelor se numeşte soluţie particulară a

ecuaţiei diferenţiale. O soluţie a unei ecuaţii care nu se obţine din soluţia generală se numeşte soluţie singulară a ecuaţiei diferenţiale.

Observaţie

Considerând o familie de funcţii de clasă Cn ce depinde de n constante arbitrare y=f(x,C1,...,Cn) prin derivare succesivă obţinem y(k)=f(k)(x,C1,..., Cn), k=1,...,n. Prin eliminarea constantelor, se obţine o ecuaţie diferenţială de ordinul n: F(x,y,y',...,y(n))=0 a cărei soluţie generală este familia dată. De asemenea, trebuie menţionat că orice combinaţie de constante arbitrare, se poate înlocui cu o altă constantă dacă acestea nu mai apar şi în alte combinaţii din cadrul soluţiei. Vom proceda la astfel de redenumiri fără a mai avertiza cititorul de fiecare dată.



Problema Cauchy a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n

Problema Cauchy a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n este următoarea:

Să se determine soluţia ecuaţiei diferenţiale y(n)=f(x,y,y',...,y(n-1)) astfel încât:

y(x0)=y0, y'(x0)=y01,...,y(n-1)(x0)=y0

n-1 unde: x0,y0,y01,...,y0

n-1∈R, date.

Condiţiile de mai sus se numesc condiţii iniţiale ale ecuaţiei diferenţiale.

Vom studia în cele ce urmează ecuaţii diferenţiale de ordinul I: y'=f(x,y).

Teoremă (Peano)

Fie ecuaţia diferenţială de ordinul I: y'=f(x,y). Dacă:

1) f este continuă pe J=[x0-a,x0+a]×[y0-b,y0+b], a,b>0;

2) f este lipschitziană pe J în raport cu y adică ∃L>0 astfel încât f(x,y1)-f(x,y2)≤ Ly1-y2 ∀(x,y1),(x,y2)∈J

atunci problema Cauchy y(x0)=y0 are soluţie unică ϕ:[x0-h,x0+h]→R unde

h=min

M

b,a iar M∈R astfel încât f(x,y)≤M ∀(x,y)∈J.

Observaţie

Condiţia ca f să fie lipschiziană este destul de dificil de verificat. Dacă însă f

este derivabilă parţial în raport cu y şi y

f

∂

∂ este continuă pe J rezultă că f este

lipschitziană în raport cu y.

Observaţie

Metoda aproximaţiilor succesive din demonstraţia teoremei lui Peano permite determinarea aproximativă a soluţiei atunci când nu avem la dispoziţie metode “exacte” de determinare a ei. Nu vom face demonstraţia în detaliu, aceasta necesitând cunoştinţe suplimentare de analiză matematică, urmărind doar ideea acesteia. Se construieşte astfel un şir de aproximaţii succesive ale soluţiei

yk(x)=y0+ ∫ −

x

x

1k

0

dx))x(y,x(f ,k≥1, iar y0(x)=y0, x∈[x0-h,x0+h] care se

demonstrează că este uniform convergent la soluţia ecuaţiei diferenţiale ce satisface problema Cauchy. Funcţia yk se numeşte aproximaţia de ordin k a soluţiei problemei Cauchy.

Observaţie

Dacă rezolvarea unei ecuaţii se face prin integrări succesive se spune că aceasta este o ecuaţie rezolvabilă prin cuadraturi.



3.2. Tipuri principale de ecuații diferențiale de ordinul 1

I. Ecuaţii cu variabile separabile

O ecuaţie se numeşte ecuaţie cu variabile separabile dacă este de forma:

y'=f(x)g(y)

unde f:(a,b)⊂R→R şi g:(c,d)⊂R→R sunt continue, neidentic nule. Vom

presupune că g(y)≠0 ∀y∈(c,d). Pentru rezolvarea ecuaţiei o vom scrie sub

forma: dx

dy=f(x)g(y). Avem deci

)y(g

dy=f(x)dx. Funcţiile f şi

g

1 fiind continue

admit primitive. Fie deci F şi G primitive ale funcţiilor f respectiv g

1.

Integrând în ambii membri ai ecuaţiei obţinem: G(y)+C1=F(x)+C2 cu C1,C2∈R constante arbitrare. Notând C2-C1=C obţinem G(y)=F(x)+C-curba integrală sub

formă implicită a ecuaţiei. Dacă ∃y0∈(c,d) astfel încât g(y0)=0 atunci ecuaţia devine y'=0 de unde y=y0 este o soluţie a ecuaţiei. Dacă aceasta ar fi o soluţie

particulară atunci ar rezulta că ∃C∈R astfel încât G(y0)-C=F(x) ceea ce este o contradicţie cu faptul că x fiind variabil implică F=constantă. Dar în acest caz f=F'=0 ceea ce contrazice ipoteza iniţială. Prin urmare, soluţia y=y0 este soluţie singulară a ecuaţiei.

II. Ecuaţii omogene şi reductibile la ecuaţii omogene

Pentru început să ne reamintim definiţia funcţiei omogene: O funcţie

f:D⊂R2→R se numeşte omogenă de grad r∈R dacă f(tx.ty)=trf(x,y) ∀(x,y)∈D

∀t∈R astfel încât (tx,ty)∈D. O funcţie de forma (x,y)→f(x

y), x≠0, este evident

omogenă de grad 0.

Se numeşte ecuaţie omogenă o ecuaţie de forma:

y'=f(x

y)

unde x≠0 iar f este continuă. Rezolvarea acestui tip de ecuaţie se face cu

substituţia u=x

y. Avem deci y=ux de unde cum u=u(x) avem y’=u’x+u.

Înlocuind în ecuaţie, obţinem: u'=(f(u)-u)x

1 care este o ecuaţie cu variabile

separabile. Dacă acum f(u)≠u avem u)u(f

du

−=

x

dx. Fie F(u) o primitivă

oarecare. Avem deci F(u)=lnx+C. Revenind la substituţia făcută avem F(x

y

)=lnx+C-soluţia generală a ecuaţiei omogene. Dacă există u0 astfel încât



f(u0)=u0 ecuaţia devine u'=0 deci u=u0 de unde: y=xu0. Înlocuind în soluţia

generală, obţinem: F(u0)=lnx+C de unde rezultă x=constant ceea ce este evident o contradicţie. Prin urmare, soluţia y=xu0 este singulară.

Să considerăm acum ecuaţii de forma:

y'=f

++++

geydx

cbyax

unde a,b,c,d,e,g∈R, f-continuă. Fie sistemul:

=++=++

0geydx

0cbyax

Dacă ed

ba≠0 atunci sistemul are soluţie unică. Fie aceasta (x0,y0). Vom face

pentru început substituţia x=u+x0, y=v+y0 unde v=y-y0= y(x)-y0=y(u+x0)-y0 este funcţie de u. Avem dx=du şi dy=dv deci ecuaţia devine:

du

dv=

dx

dy=

++++

geydx

cbyaxf =

−+−−+−

)yy(e)xx(d

)yy(b)xx(af

00

00 =

+

+=

++

u

ved

u

vba

fevdu

bvauf

Ecuaţia a devenit omogenă în u şi v. Cu noua schimbare de variabilă z=u

v

avem v=zu de unde după înlocuire: z'u+z=g(z) unde g(z)=

++

ezd

bzaf .

Procedând ca în cazul anterior avem z'=(g(z)-z)u

1. Dacă g(z)≠z ecuaţia devine

z)z(g

dz

−=

u

du, u≠0. Fie F(z)= ∫ − z)z(g

dz. Obţinem deci F(z)=lnu+C.

Revenind la substituţiile făcute avem soluţia generală sub forma:

−−

0

0

xx

yyF

=lnx-x0+C. Dacă ∃z0 astfel încât g(z0)=z0 ecuaţia are soluţia z=z0 şi revenind la substituţii rezultă: y-y0=(x-x0)u0-soluţie singulară a ecuaţiei date.

Dacă ed

ba=0 atunci ∃λ∈R astfel încât a=dλ, b=eλ. Ecuaţia iniţială devine:

y'=

++++λg)eydx(

c)eydx(f . Facem schimbarea de variabilă z=dx+ey de unde

z'=d+ey'. Dacă e≠0 ecuaţia devine:

++λ

=−

gz

czf

e

d'z care este o ecuaţie cu



variabile separabile. Dacă e=0 ecuaţia devine y'=

++λgdx

cdxf care este din nou

o ecuaţie cu variabile separabile.

III. Ecuaţii liniare

O ecuaţie se numeşte ecuaţie liniară dacă este de forma:

y'=f(x)y+g(x)

unde f,g:(a,b)⊂R→R sunt continue. Dacă g=0 ecuaţia liniară se numeşte ecuaţie liniară omogenă (din punct de vedere al ecuaţiei şi nu al funcţiilor).

Dacă g≠0 vom mai spune că ecuaţia este neomogenă.

O ecuaţie liniară omogenă y'=f(x)y este cu variabile separabile şi deci avem:

y

dy=f(x)dx. Considerând o primitivă F(x)= ∫ dx)x(f a lui f obţinem prin

integrare în ambele părţi: lny=F(x)+C1 de unde y=CeF(x) unde C= 1Ce >0. Renunţând la condiţia de pozitivitate a lui C obţinem soluţia generală a ecuaţiei liniare omogene: y=CeF(x). În cazul problemei Cauchy y(x0)=y0 avem y=y0

∫x

0x

dt)t(f

e .

Rezolvarea ecuaţiei neomogene constă în două etape. Se formează mai întâi ecuaţia liniară omogenă asociată ecuaţiei date: y'=f(x)y de unde y=CeF(x). În continuare se aplică metoda variaţiei constantelor care constă în considerarea lui C ca funcţie necunoscută de x şi impunerea ca funcţia y=C(x)eF(x) să fie soluţie a ecuaţiei liniare. Avem deci C'(x)eF(x)+C(x)F'(x)eF(x)=f(x)C(x)eF(x)+g(x). Dar F'(x)=f(x) deci după simplificare obţinem: C'(x)eF(x)=g(x) sau altfel C'(x)=g(x)e-F(x). Integrând,

obţinem: C(x)= ∫ dxe)x(g )x(F_ +C deci soluţia generală este: y=eF(x) ∫ g(x)e-

F(x)dx+CeF(x).

IV. Ecuaţii Bernoulli

O ecuaţie se numeşte ecuaţie Bernoulli dacă este de forma:

y'=f(x)y+g(x)yp

unde f,g:(a,b)⊂R→R sunt continue şi neidentic nule iar p∈R. Dacă p=0 ecuaţia este liniară neomogenă iar dacă p=1 ecuaţia devine y'=(f(x)+g(x))y care este liniară omogenă. Aceste tipuri de ecuaţii fiind deja studiate, vom considera

p∈R-{0,1}.

Rezolvarea ecuaţiei constă mai întâi în împărţirea acesteia la yp, y≠0. Avem

deci: )x(gy)x(fy

'y p1p

+= − . Cu schimbarea de variabilă u=y1-p avem u=u(x)⇒



u’=(1-p)y-py’⇒p1

'u

y

'yp −

= . Ecuaţia devine: u'=(1-p)f(x)u+(1-p)g(x) care fiind

o ecuaţie liniară se tratează ca la C. Dacă y=0 atunci se observă că pentru p>0 se mai obţine o soluţie a problemei.

V. Ecuaţii Riccati

O ecuaţie se numeşte ecuaţie Riccati dacă este de forma:

y'=f(x)y2+g(x)y+h(x)

unde f,g,h:(a,b)⊂R→R sunt continue. Vom presupune că f nu este identic nulă pe (a,b) în caz contrar ecuaţia y'=g(x)y+h(x) fiind liniară şi tratându-se ca la punctul C şi de asemenea h nu este identic nulă pe (a,b), ecuaţia devenind în acest caz de tip Bernoulli, tratându-se ca la punctul D.

Spre deosebire de tipurile anterioare, ecuaţiile Riccati nu sunt integrabile prin cuadraturi. Ecuaţiile Riccati se pot rezolva însă în condiţii suplimentare. Dacă prin alte metode se obţine o soluţie particulară y1 a ecuaţiei, aceasta devine integrabilă. Fie deci y1'=f(x)y1

2+g(x)y1+h(x) şi substituţia u=y-y1 deci y=u+y1. Avem deci:

(u+y1)'=f(x)(u+y1)2+g(x)(u+y1)+h(x) de unde u'+y1'=f(x)u2+2f(x)y1u+f(x)y1

2+ g(x)u+g(x)y1+h(x). Ţinând seama de faptul că y1 este soluţie a ecuaţiei rezultă u'=f(x)u2+(2f(x)y1+g(x))u care este de tip Bernoulli. Aceasta prin substituţia z=u-1 se reduce la o ecuaţie liniară. Prin urmare, efectuând într-o ecuaţie

Riccati substituţia y=y1+z

1 se obţine o ecuaţie liniară în z care în urma

rezolvării şi revenirea la substituţii ne furnizează soluţia generală a ecuaţiei date.

Dacă într-o ecuaţie Riccati sunt cunoscute două soluţii diferite y1 şi y2 atunci

prin substituţia: 1u

yuyy

yy

yyu 12

2

1

−−

=⇔−−

= se obţine:

(y1-y2)u'=[y1'+y2'-2f(x)y1y2-g(x)(y1+y2)-2h(x)]u

care este o ecuaţie cu variabile separabile.

Dacă într-o ecuaţie Riccati sunt cunoscute trei soluţii diferite y1, y2 şi y3 atunci ecuaţia este complet rezolvată în virtutea faptului că pentru patru soluţii

y1,y2,y3,y biraportul 2

1

23

13

yy

yy:

yy

yy

−−

−−

este constant.

VI. Ecuaţii Lagrange

O ecuaţie se numeşte ecuaţie Lagrange dacă este de forma:

y=xf(y')+g(y')



unde f,g:(a,b)⊂R→R sunt de clasă C1 pe (a,b).

Rezolvarea acestei ecuaţii începe prin substituţia y'=p (p fiind evident funcţie de x). Ecuaţia devine deci y=xf(p)+g(p). Derivând în raport cu x obţinem:

p=f(p)+ xf'(p)dx

dp+g'(p)

dx

dp de unde:

dx

dp[xf'(p)+g'(p)]=p-f(p). Dacă f(p)≠p

atunci considerând x=x(p) şi p ca variabilă independentă rezultă:

)p(fp

)p('gx

)p(fp

)p('f

dp

dx

−+

−=

care este o ecuaţie liniară în x. Să notăm soluţia acestei ecuaţii x=x(p,c), c∈R. Înlocuind în expresia lui y rezultă y=x(p,c)f(p)+g(p) şi deci am obţinut

ecuaţiile parametrice ale soluţiei. Dacă ∃p0 astfel încât f(p0)=p0 avem dx

dp=0 de

unde p=p0 şi înlocuind în expresia lui y obţinem y=p0x+g(p0)-soluţia singulară a ecuaţiei.

VII. Ecuaţii Clairaut

O ecuaţie se numeşte ecuaţie Clairaut dacă este de forma:

y=xy'+g(y')

unde g:(a,b)⊂R→R este de clasă C1 pe (a,b). Ecuaţia Clairaut se obţine din ecuaţia Lagrange pentru f=1(a,b).

Urmând aceleaşi etape ca la ecuaţia Lagrange obţinem: dx

dp[x+g'(p)]=0. Avem

deci p=C-constantă de unde y=Cx+g(C) este soluţia generală a ecuaţiei şi x=-g'(p) de unde y=-pg'(p)+g(p) care constituie soluţia singulară a acesteia.

Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia liniară: xy'+2y=x4.

Soluţie Ecuaţia se mai poate scrie sub forma: y’=-x

2y+x3. Ecuaţia omogenă

ataşată este y’=-x

2y de unde

2x

Cy

x

dx2

y

dy=⇒−= . Aplicăm metoda variaţiei

constantelor şi considerăm y= 2x

C(x). Introducând în ecuaţie, avem:

32

'

2x

x

C(x)

x

2

x

C(x)+−=

de unde C’(x)= x5 deci C(x)=

6

xdxx

65 =∫ +C iar

soluţia generală este: y=2

4

x

C

6

x+ .



3.3. Ecuații diferențiale de ordin superior

Vom studia în această secţiune câteva aspecte privind ecuaţiile diferenţiale de ordin mai mare decât 1. Fie deci ecuaţia diferenţială:

y(n)=f(x,y,y',...,y(n-1)), n≥1

unde f este o funcţie continuă. Am văzut în paragraful precedent problema Cauchy asociată unei astfel de ecuaţii. Avem de asemenea:

Teoremă (Peano)

Fie ecuaţia diferenţială de ordinul n: y(n)=f(x,y,y',...,y(n-1)). Dacă:

1) f este continuă pe J=[x0-a,x0+a]×[y0-b0,y0+b0]×...×[y0n-1-bn-1,y0

n-1+bn-1], a,bi>0, i=0,...,n-1;

2) f este lipschitziană pe J în raport cu y,y',...,y(n-1)

atunci problema Cauchy are soluţie unică ϕ:[x0-h,x0+h]→R, h>0 astfel încât

ϕ(x0)=y0, ϕ'(x0)=y01,..., ϕ(n-1)(x0)=y0

n-1.

Observaţie

Condiţia ca f să fie lipschiziană este destul de dificil de verificat. Dacă însă f

este derivabilă parţial în raport cu y(k) şi )k(y

f

∂∂

, k=0,...,n-1 este continuă pe J

rezultă că f este lipschitziană în raport cu y(k).

Vom studia acum câteva tipuri de ecuaţii diferenţiale de ordin superior care prin substituţii convenabile fie se pot rezolva prin cuadraturi, fie li se reduce ordinul, facilitând uneori rezolvarea acestora.

Sarcina de lucru 1

Să se rezolve ecuaţia Bernoulli: xy'= -y-x5y3ex.



I. Ecuaţii de forma y(n)

=f(x)

Dacă f este continuă pe (a,b)⊂R integrăm succesiv şi obţinem:

y(n-1)= ∫x

x 0

dx)x(f +Cn-1, y(n-2)= ∫ ∫

x

x

x

x0 0

dx)x(fdx +Cn-1(x-x0)+Cn-2 şi în final:

y= ∫ ∫ ∫x

x

x

x

x

x0 0 0

dx)x(f...dxdx +∑−

=

−1n

0k

k0

k !k

)xx(C

Soluţia y astfel obţinută satisface problema Cauchy: y(x0)=C0,..., y(n-1)(x0)= Cn-1.

II. Ecuaţii de forma F(x,y(k)

,...,y(n)

)=0, k>1

Cu schimbarea de variabilă u=y(k) obţinem ecuaţia F(x,u,u',...,u(n-k))=0. Dacă obţinem o soluţie u=u(x,C1,...,Cn-k) a acesteia revenind la substituţie avem y(k)=u(x,C1,...,Cn-k) care se integrează ca la A.

III. Ecuaţii de forma F(x,y(n)

)=0

Cu schimbarea de variabilă u=y(n) obţinem ecuaţia F(x,u)=0.

Dacă ecuaţia se poate rezolva, fie u=f(x). Revenind la substituţie avem y(n)=f(x) deci ecuaţia este de tip A.

Dacă se poate determina o parametrizare pentru F(u,v)=0, u=u(t), v=v(t) atunci x=u(t), y(n)=v(t). Dar dy(n-1)=y(n)dx=v(t)u'(t)dt. Integrând, rezultă y(n-1)=

∫ dt)t('u)t(v +C1. Continuând în acelaşi mod rezultă în final y=y(t,C1,...,Cn) şi

împreună cu x=x(t) rezultă soluţia parametrică a ecuaţiei.

IV. Ecuaţii de forma F(y(k)

,y(n)

)=0, k=n-2, n-1

Să presupunem că F(u,v)=0 admite o reprezentare parametrică u=u(t), v=v(t). Atunci y(k)=u(t), y(n)=v(t). Avem două cazuri:

• k=n-1 Avem dy(n-1)=y(n)dx=v(t)dx. Dar y(n-1)=u(t) de unde u'(t)dt=v(t)dx şi

din ecuaţia cu variabile separabile obţinută rezultă x= ∫ )t(v

dt)t('u şi y(n-

1)=u(t). Integrând succesiv în a doua relaţie se obţine soluţia sub formă parametrică.

• k=n-2 Avem dy(n-1)=y(n)dx şi dy(n-2)=y(n-1)dx. Înmulţind cele două egalităţi rezultă: y(n-1)dy(n-1)=y(n)dy(n-2)=v(t)u'(t)dt. Prin urmare (y(n-1))2=2

∫ dt)t('u)t(v +C. Cu y(n-1) astfel obţinut şi cu y(n-2)=u(t) obţinem cazul

anterior.



V. Ecuaţii de forma F(y,y',...,y(n)

)=0

Facem substituţia y'=p unde p=p(y). Avem deci dx

dy=p de unde:

'ppdy

dpp

dx

dy

dy

dp

dx

dp"y ==== ,

dx

)'pp(d

dx

"dy'''y == =

dx

dy

dy

)'pp(d=p[(p’)2+pp”]

etc. Obţinem deci în final F(y,p,p',...,p(n-1))=0-ecuaţie diferenţială de ordinul n-

1. Considerând o soluţie a acesteia p=p(y,C1,...,Cn-1) avem dx

dy=p(y,C1,...,Cn-1)-

ecuaţie diferenţială de ordinul I.

VI. Ecuaţii de forma F(x,y,y',...,y(n)

)=0 omogene în y,y',...,y(n)

Dacă gradul de omogenitate este q facem substituţia y'=yz. Avem deci y”=y'z+yz'=yz2+yz'=y(z2+z') şi continuând analog obţinem y(k)= fk(z,z',...,z(k-1))y, k=1,...,n. Înlocuind în ecuaţie obţinem yqG(x,z,z',...,z(n-1))=0 de unde avem soluţia singulară y=0 şi G(x,z,z',...,z(n-1))=0-ecuaţie diferenţială de ordinul n-1.

Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia: yy”=(y')2.

Soluţie Fie y'=p(y). Avem y”=pp' de unde p(p'y-p)=0⇒p=0 deci y'=0⇒y=C1 şi p'y=p de unde p=Cy. Revenind la substituţie, obţinem y'=Cy de unde y=DeCx. Soluţia y=C1 se obţine din aceasta pentru C=0, D=C1. Soluţia

generală este deci: y=DeCx, C,D∈R.

3.4. Ecuații diferențiale liniare de ordinul n

Definiţie

Se numeşte ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n o ecuaţie de forma:

bn(x)y(n)+bn-1(x)y(n-1)+...+b1(x)y'+b0(x)y=g(x)

unde bi,g:(a,b)→R, i=0,...,n sunt funcţii continue iar bn nu se anulează pe (a,b).

Sarcina de lucru 2

Să se rezolve ecuaţia: (1+x2)y”+(y')2+1=0.



O ecuaţie în care g=0 se numeşte ecuaţie diferenţială liniară şi omogenă de

ordinul n.

Observaţie

Deoarece bn≠0 considerând funcţiile ai,f:(a,b)→R, )x(b

)x(b)x(a

n

ii = ,

)x(b

)x(g)x(f

n

= ,i=0,..., n-1 rezultă că o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n se

poate scrie sub forma:

y(n)+an-1(x)y(n-1)+...+a1(x)y'+a0(x)y=f(x)

Observaţie

Introducând operatorul diferenţial:

)x(adx

d)x(a...

dx

d)x(a

dx

dL 011n

1n

1nn

n

++++= −

−

−

rezultă că o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n se poate scrie şi sub forma L(y)=f(x) iar cea omogenă sub forma L(y)=0.

Propoziţie

Operatorul diferenţial L este liniar pe spaţiul vectorial al funcţiilor de clasă C n.

Propoziţie

Mulţimea soluţiilor unei ecuaţii diferenţiale liniare şi omogene de ordinul n este un spaţiu vectorial real.

Observaţie

Din propoziţie, rezultă în particular că dacă y1,...,yk sunt soluţii ale unei ecuaţii

omogene rezultă că y=C1y1+...+Ckyk este de asemenea soluţie ∀C1,...,Ck∈R.

Observaţie

Putem extinde definiţia operatorului diferenţial L la funcţii complexe, astfel:

L(g+ih)=L(g)+iL(h) ∀g,h funcţii reale de clasă Cn iar i2=-1 este unitatea imaginară. Rezultă de aici că dacă ecuaţia omogenă L(y)=0 are soluţia complexă g+ih atunci g şi h sunt de asemenea soluţii ale acesteia.

Propoziţie

Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n: L(y)=f(x). Dacă y1 este soluţie a ecuaţiei L(y1)=f(x) atunci soluţia generală a ei este de forma y=z+y1 unde z este soluţia generală a ecuaţiei omogene ataşate L(y)=0.

Observaţie

Din propoziţie, rezultă că pentru determinarea soluţiei generale a unei ecuaţii liniare trebuie studiate două aspecte: determinarea soluţiei generale a ecuaţiei omogene ataşate şi determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei date.



Definiţie

Fiind date funcţiile yi:(a,b)→R, i=1,...,n,yi∈Cn-1((a,b)) se numeşte matrice

wronskiană matricea:

W(x)=

−−− )x(y)x(y)x(y

)x('y)x('y)x('y

)x(y)x(y)x(y

)1n(n

)1n(2

)1n(1

n21

n21

L

LLLL

L

L

şi wronskian w(x)=det W(x).

Teoremă (Abel-Liouville)

Fie y1,...,yn soluţii ale ecuaţiei diferenţiale liniare şi omogene de ordinul n:

y(n)+an-1(x)y(n-1)+...+a1(x)y'+a0(x)y=0, x∈(a,b)

Atunci ∀x0,x∈(a,b) are loc formula:

w(x)=w(x0)∫ −−x

0x

1n dx)x(a

e

Corolar

w(x)=0 ∀x∈(a,b)⇔∃x0∈(a,b) astfel încât w(x0)=0.

Observaţie

Din corolar, rezultă, de asemenea, că dacă ∃x0∈(a,b) astfel încât

w(x0)≠0⇒w(x)≠0 ∀x∈(a,b). Într-adevăr, dacă ∃x1∈(a,b) astfel încât

w(x1)=0⇒ w(x)=0 ∀x∈(a,b) de unde se intră în contradicţie cu existenţa lui

x0∈(a,b).

Teoremă

Fie y1,...,yn soluţii ale ecuaţiei diferenţiale liniare şi omogene de ordinul n:

y(n)+an-1(x)y(n-1)+...+a1(x)y'+a0(x)y=0, x∈(a,b)

Atunci y1,...,yn sunt liniar independente dacă şi numai dacă w(x)≠0 ∀x∈(a,b).

Definiţie

Numim sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei diferenţiale omogene:

y(n)+an-1(x)y(n-1)+...+a1(x)y'+a0(x)y=0,x∈(a,b)

n soluţii liniar independente: y1,...,yn.

Problema determinării unui sistem fundamental de soluţii este în general o problemă dificilă. Dacă ecuaţia are coeficienţi neconstanţi atunci se încearcă mai întâi determinarea unor soluţii particulare. Dacă u este o soluţie a ecuaţiei

L(y)=0 prin substituţia y=u ∫ dx)x(z ordinul acesteia se reduce cu o unitate. Pe

de altă parte, o soluţie particulară a ecuaţiei se mai poate determina astfel: dacă

f(x)=f1(x)+...+fp(x), x∈(a,b), p≥2 atunci considerând o soluţie particulară ui a



ecuaţiei L(y)=fi(x), i=1,...,p rezultă că u=u1+...up este soluţie a ecuaţiei L(y)=f(x) deoarece L(u1+...+up)=L(u1)+...+L(up)= f1(x)+...+fp(x)=f(x).

Oricum, pentru rezolvarea completă a unei ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n este nevoie de determinarea unui sistem fundamental de soluţii ale

ecuaţiei omogene ataşate {y1,...,yn}. Dacă am reuşit determinarea unui astfel de sistem, atunci pentru determinarea soluţiei generale a ecuaţiei putem aplica metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange. Aceasta constă în scrierea soluţiei sub forma y=C1(x)y1(x)+...+Cn(x)yn(x) unde funcţiilor Ci li se impun condiţiile:

0)x(y)x('Cn

1i

)p(ii =∑

=

, p=0,...,n-2.

Derivând de n-1 ori pe y obţinem din condiţiile de mai sus:

y(p)=∑=

n

1i

)p(ii )x(y)x(C , p=1,...,n-1

y(n)= ∑∑=

−

=

+n

1i

)1n(ii

n

1i

)n(ii )x(y)x('C)x(y)x(C

Înlocuind în ecuaţia L(y)=f(x) obţinem:

)x(f)x(y)x('C)y(L)x(Cn

1i

)1n(ii

n

1iii =+∑∑

=

−

=

Dar L(yi)=0, i=1,...,n şi deci condiţiile impuse funcţiilor Ci se scriu:

W(x)

=

)x(f

0

0

)x('C

)x('C

)x('C

n

2

1

LL

Sistemul astfel obţinut are determinantul nenul şi deci are soluţie unică. Fie

deci Ci'(x)=zi(x). Obţinem, după integrare: Ci(x)= ∫ dx)x(zi + ki, ki∈R, i=1,...,n.

Prin urmare, soluţia generală este:

y= [ ]∑ ∫=

+n

1iiii )x(ykdx)x(z

Vom discuta în cele ce urmează ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu

coeficienţi constanţi. Vom nota deci ai∈R, i=0,...,n-1 coeficienţii ecuaţiei şi avem:

y(n)+an-1y(n-1)+...+a1y'+a0y=f(x), x∈(a,b)

Este evident că toată discuţia generală de până acum este aplicabilă şi acestor ecuaţii.



Vom determina în cele ce urmează un sistem fundamental de soluţii. Pentru

aceasta, vom căuta soluţii de forma: y=erx, r∈C. Înlocuind în ecuaţie, obţinem:

L(erx)=erx(rn+an-1rn-1+...+a1r+a0)=0

Cum erx>0 rezultă P(r)=0 unde P(r)=rn+an-1rn-1+...+a1r+a0 este polinomul

caracteristic al ecuaţiei diferenţiale. Ecuaţia

rn+an-1rn-1+...+a1r+a0=0

se numeşte ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale. Prin urmare, dacă r este o rădăcină a ecuaţiei caracteristice atunci y=erx este o soluţie a ecuaţiei

diferenţiale omogene. Dacă r∉R atunci r=Re(r)+i⋅Im(r) (Re(r)-partea reală a lui r iar Im(r)-partea imaginară a lui r) şi conform formulei lui Euler:

ea+ib=ea(cos b+i sin b) ∀a,b∈R avem din observaţia 4 că y=eRe(r)xcos Im(r)x şi y=eRe(r)xsin Im(r)x sunt soluţii ale ecuaţiei diferenţiale omogene.

Lemă

1) Fie r1,...,rk∈C - k numere complexe diferite şi P1,...,Pk∈R[X]. Atunci funcţiile:

xrk

xr1

k1 eP,...,eP

sunt liniar independente.

2) Fie r∈R şi P1,...,Pk∈R[X] de grade diferite. Atunci funcţiile:

rxk

rx1 eP,...,eP


3) Fie α,β∈R şi P1,...,Pk∈R[X] de grade diferite, Q1,...,Qs∈R[X] de grade diferite. Atunci funcţiile:

x sineQx,..., sineQx, cosePx,..., coseP xs

x1

xk

x1 ββββ αααα


Propoziţie

Fie ecuaţia diferenţială liniară şi omogenă de ordinul n: L(y)=0 şi P polinomul caracteristic al ecuaţiei. Atunci pentru orice funcţie f de clasă Cn avem:

L(erxf(x))=erx[P(r)f(x)+ )x(f!n

)r(P...)x('f

!1

)r('P )n()n(

++ ]

Dacă r este o rădăcină multiplă de ordin k≥0 a ecuaţiei caracteristice avem P(r)=P'(r)=...=P(k-1)(r)=0 de unde conform propoziţiei 18, avem:

L(erxf(x))=erx[ )x(f!n

)r(P...)x(f

!k

)r(P )n()n(

)k()k(

++ ]

Considerând acum f(x)=1, x, x2,...,xk-1 se obţine că L(xterx)=0, t=0,...,k-1. Prin urmare, avem soluţiile:



erx,xerx,...,xk-1erx

Din lemă, rezultă că funcţiile sunt liniar independente.

Dacă r=α+iβ∉R este o rădăcină multiplă de ordin k≥0 atunci din faptul

că erxf(x)=f(x)eαxcosβx+i⋅f(x)eαxsinβx rezultă conform observaţiei 7 soluţiile:

eαxcos βx, xeαxcos βx,...,xk-1eαxcos βx,

eαxsin βx, xeαxsin βx,...,xk-1eαxsin βx

Din lemă, rezultă că funcţiile sunt liniar independente.

Putem concluziona toate acestea în următoarea:

Teoremă

Fie ecuaţia diferenţială liniară şi omogenă de ordinul n:

y(n)+an-1y(n-1)+...+a1y'+a0y=0

Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcinile reale ri multiplă de ordin ki, i=1,...,p

şi rădăcinile complexe rj=αj±iβj multiplă de ordin tj, j=1,...,q atunci soluţia generală a ecuaţiei este:

∑∑∑=

α

=

α

=

β+β+=q

1jj

xj

q

1jj

xj

p

1i

xri x sine)x(Rx cose)x(Qe)x(Py jji

unde Pi,Qj,Rj∈R[X], grad Pi=ki-1, grad Qj=tj-1, grad Rj=tj-1, i=1,...,p, j=1,...,q.

Considerând acum o ecuaţie liniară neomogenă cu coeficienţi constanţi L(y)=f(x) am văzut că pentru determinarea soluţiei generale mai este necesară o soluţie particulară a acesteia. În general, se poate aplica metoda variaţiei constantelor dar în fapt aceasta este destul de laborioasă. În unele cazuri particulare se poate proceda mai simplu şi anume:

♦ dacă f(x)=P(x) cu P∈R[X], grad(P)=p atunci:

a) dacă a0≠0 ecuaţia are o soluţie particulară un polinom de grad p care se determină prin identificarea coeficienţilor la înlocuirea în ecuaţie;

b) dacă a0=a1=...=ak-1=0 ecuaţia are o soluţie particulară de forma xkQ(x) unde Q este un polinom de grad p care se determină prin identificarea coeficienţilor la înlocuirea în ecuaţie;

♦ dacă f(x)=etxQ(x) cu Q∈R[X], grad(Q)=p atunci:

a) dacă t nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice avem o soluţie particulară de forma etxR(x) cu R∈R[X], grad(R)=p;

b) dacă t este o rădăcină de ordin k a ecuaţiei caracteristice avem o soluţie particulară de forma xketxR(x) cu R∈R[X], grad(R)=p;

♦ dacă f(x)=etxQ(x)cos sx sau f(x)=etxQ(x)sin sx cu Q∈R[X], grad(Q)=p şi s≠0 atunci:

a) dacă t+is nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice avem o soluţie de forma etx[R(x)cos sx+S(x)sin sx] cu grad R=grad S=p;



b) dacă t+is este rădăcină de ordin k a ecuaţiei caracteristice avem o soluţie de forma xketx[R(x)cos sx+ S(x)sin sx] cu grad R=grad S=p.

c) Exemplu:

Să se rezolve ecuaţia diferenţială de ordinul n liniară: y”-4y'+4y=x2.

Soluţie Ecuaţia caracteristică este r2-4r+4=0 cu rădăcinile r1=r2=2. Prin urmare, soluţia ecuaţiei omogene ataşate este: y=(Ax+B)e2x. Vom căuta o soluţie particulară de forma y1=ax2+bx+c. Înlocuind în ecuaţie avem

4ax2+(4b-8a)x+(4c-4b+2a)=x2 de unde:8

3x

2

1x

4

1y 2

1 ++= . Soluţia generală

este y=(Ax+B)e2x+ x2

1x

4

1 2 + +8

3.


I. Să se rezolve ecuaţia omogenă: xy'-y+x x

y

e =0.

II. Să se rezolve ecuaţia Lagrange: y=(1+y')x+(y')2.

Rezumat

În cadrul proceselor economice, de o importanță aparte sunt acele fenomene ce au caracter dinamic. Acestea pot fi rezolvate, uneori, satisfăcător, cu ajutorul ecuațiilor diferențiale.

Am văzut mai sus, diverse tehnici și metode de rezolvare a principalelor tipuri de ecuații de ordinul 1, a celor de ordinul n și a celor liniare.

Sarcina de lucru 3

Să se rezolve ecuaţia diferenţială de ordinul n liniară: y”-2y'+y=2x2+3.



Răspuns şi comentarii la întrebările din testul de autoevaluare

I. lnx- x

y

e−

=C, C∈R – 5 puncte

II. x=Ce-p-2p+2 şi y=(1+p)(Ce-p-2p+2)+p2. Pentru răspuns corect, primiți

5 puncte.


Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994), Algebră liniară, geometrie analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale, Bucureşti, Editura All




4. PROGRAMARE LINIARĂ

Probleme economice ce conduc la modelul matematic al

programării liniare

Algoritmul simplex primal

Dualitate în programarea liniară

Reoptimizare şi parametrizare în programarea liniară



Rezumat



autoevaluare




• să aplici corect algoritmul simplex;

• să interpretezi corect semnificația variabilelor duale;

• să modelezi rezolvând corespunzător problemele de transport.


Cătălin Angelo Ioan Programare Liniară


4.1. Probleme economice ce conduc la modelul matematic al programării

liniare

Utilizarea optimă a capacităţii maşinilor

Să considerăm o uzină care produce cu ajutorul a m maşini identice n produse distincte. Maşinile au capacităţi de producţie limitate. Ne punem în mod natural problema utilizării optime a acestora. Pentru aceasta să notăm cu aij procentul din capacitatea maşinii i pentru producerea unei unităţi din produsul j în perioada necesară pentru producerea unei unităţi de produs. De asemenea, să notăm cu xj numărul unităţilor de produs j fabricate în cursul acestei perioade. Considerând de asemenea şi cj beneficiile pe unitatea de produs, obţinem că restricţiile problemei se pun sub forma:

=≥

=≤∑

∑

=

n,1j ,0x

m,1i ,1xa

xc max

j

n

1j

jij

n

1=j

jj

Problema regimului alimentar

Fie un număr de n alimente disponibile A1,...,An şi C1,...,Cm componentele caracteristice ale acestora (vitamine, substanţe minerale, proteine, calorii etc.). Să notăm cu aij cantitatea de Ci aflată într-o unitate de măsură a lui Aj. Matricea A=(aij) se numeşte matrice de nutriţie. Dacă vom considera x1,...,xn cantităţile de alimente corespunzătoare lui A1,...,An, pentru o perioadă de timp şi pentru un anumit număr de persoane, problema se pune în sensul minimizării cheltuielilor necesare pentru o alimentaţie optimă. Fie deci b1,...,bm cantităţile minime de caracteristică Ci pentru o alimentaţie sănătoasă şi c1,...,cn costul pe unitatea de produs Ai. Problema devine:

=≥

=≥∑

∑

=

n,1j ,0x

m,1i ,bxa

xc min

j

i

n

1j

jij

n

1=j

jj


Să considerăm m depozite şi n centre de desfacere. Ne propunem determinarea unei strategii de transport pentru distribuirea unui produs care se află în cantitatea ai în depozitul i şi este cerut în cantitatea bj la centrul de desfacere j. Fie xij cantitatea ce va fi transportată de la depozitul i la centrul j şi cij preţul transportului unei unităţi de produs de la depozitul i la centrul j (presupus independent de cantitatea transportată pe ruta respectivă). Vom presupune de



asemenea că toată cantitatea de marfă din depozite va fi expediată şi că toate cerinţele centrelor vor fi satisfăcute. Pentru aceasta va fi necesar ca

∑∑==

=n

1jj

m

1ii ba . Cerinţele problemei se scriu sub forma:

==≥

==

==

∑

∑

∑∑

=

=

= =

n,1j ,m,1i ,0x

n,1j ,bx

m,1i ,ax

xc min

ij

j

m

1i

ij

i

n

1j

ij

m

1i

n

1j

ijij

4.2. Algorimul simplex primal

Din exemplele prezentate mai sus, se poate formula problema generală a

programării liniare. Aceasta este:

≤≥

≤++++++++

≤++++++++

=++++++++

=++++++++

≥++++++++

≥++++++++

++++++++

++

+

+

+

+

++

+

+++

+

++++

+

+

+

+

++

+

+++

+

++++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

arbitrari x,..., x,0 x ,..., x,0 x ,...,x

bxa...xaxa...xaxa...xa

...



...



...


xc...xcxc...xcxc...xc min(max)

n1pp1kk1m

nmn

1p1p,m

pmp

1k1k,m

kmk

11m

1rn

n,1r1p

1p,1rp

p,1r1k

1k,1rk

k,1r1

1,1r

rn

rn1p

1p,rp

rp1k

1k,rk

rk1

1r

1qn

n,1q1p

1p,1qp

p,1q1k

1k,1qk

k,1q1

1,1q

qn

qn1p

1p,qp

qp1k

1k,qk

qk1

1q

1n

n11p

1p,1p

p11k

1k,1k

k11

11

nn

1p1p

pp

1k1k

kk

11

Notând acum:

c1=

k

1

c

...

c∈M1k(R), c2=

+

p

1k

c

...

c∈M1,p-k(R), c3=

+

n

1p

c

...

c∈M1,n-p(R),

x1=

k

1

x

...

x∈Mk1(R), x2=

+

p

1k

x

...

x∈Mp-k,1(R), x3=

+

n

1p

x

...

x∈Mn-p,1(R),

b1=

q

1

b

...

b∈Mq1(R), b2=

+

r

1q

b

...

b∈Mr-q,1(R), b3=

+

m

1r

b

...

b∈Mm-r,1(R),



A11=

qk1q

k111

a...a

.........

a...a∈Mqk(R), A12=

+

+

qp1k,q

p11k,1

a...a

.........

a...a∈Mq,p-k(R),

A13=

+

+

qn1p,q

n11p,1

a...a

.........

a...a∈Mq,n-p(R), A21=

++

rk1r

k,1q1,1q

a...a

.........

a...a∈Mr-q,k(R),

A22=

+

+++

rp1k,r

p,1q1k,1q

a...a

.........

a...a∈Mr-q,p-k(R),A23=

+

+++

rn1p,r

n,1q1p,1q

a...a

.........

a...a∈Mr-q,n-p(R),

A31=

++

mk1m

k,1r1,1r

a...a

.........

a...a∈Mm-r,k(R), A32=

+

+++

mp1k,m

p,1r1k,1r

a...a

.........

a...a∈Mm-r,p-k(R),

A33=

+

+++

mn1p,m

n,1r1p,1r

a...a

.........

a...a∈Mm-r,n-p(R)

obţinem forma generală a problemei de programare liniară (scrisă matriceal):

≤≥

≤++

=++

≥++

++

arbitrar x,0 x,0x

bxAxAxA

bxAxAxA

bxAxAxA

xcxcxc min(max)

3213

333

232

131

23

232

221

21

13

132

121

11

3t3

2t2

1t1

inegalităţile matriceale fiind înţelese pe componente, iar cit reprezintă

transpunerea vectorului coloană ci, i=1,2,3. Funcţia c1tx1+c2

tx2+c3tx3 se

numeşte funcţie obiectiv, relaţiile de forma:

ai1x1+...+aikx

k+ai,k+1xk+1+...+aipx

p+ai,p+1xp+1+...+ainx

n R bi

unde R este una din relaţiile ≥, =, ≤ se numesc restricţii ale problemei, iar ultimele, condiţii asupra variabilelor.

O soluţie a problemei de programare liniară se numeşte program optim al acesteia.

Definiţie

O problemă de programare liniară în care toate restricţiile sunt ecuaţii, iar toate variabilele sunt nenegative se spune că are forma standard.

Din definiţie, obţinem că expresia unui astfel de program este:



≥

=

0x

bAx

xc (max) min t

unde: c=

n

1

c

...

c∈M1n(R),x=

n

1

x

...

x∈Mn1(R),b=

m

1

b

...

b∈Mm1(R),A=

mn1m

n111

a...a

.........

a...a

∈Mmn(R)

Definiţie

O problemă de programare liniară se spune că are forma canonică dacă are una din următoarele forme:

≥

≥

0x

bAx

xc min t

sau

≥

≤

0x

bAx

xcmax t

Din definiţiile de mai sus se creează impresia că programele sub forma standard sau cea canonică sunt mai restrictive decât cele în forma generală. Nu este însă adevărat acest lucru, orice program scris sub una din forme putând fi adus cu transformările de mai jos în oricare altă formă. Aceste transformări sunt:

• folosind faptul că min f(x)=-max(-f(x)) şi max f(x)=-min(-f(x)) orice problemă de minimizare (maximizare) se transformă într-una de maximizare (minimizare).

• sensul unei inegalităţi, prin înmulţirea cu –1, se schimbă în cel contrar;

• fiind dată o inecuaţie de forma: ai1x1+...+aikx


p+

ai,p+1xp+1+...+ainx

n≤bi, adunând o variabilă ecart, yi≥0 ea se transformă într-o ecuaţie: ai1x

1+...+aikxk+ai,k+1x

k+1+...+aipxp+ai,p+1 x

p+1+...+ainxn+yi=bi;

• fiind dată o inecuaţie de forma: ai1x1+...+aikx

k+ai,k+1xk+1+...+

aipxp+ai,p+1x

p+1+...+ainxn≥bi, scăzând o variabilă ecart, yi≥0 ea se

transformă într-o ecuaţie: ai1x1+...+aikx


p+ai,p+1

xp+1+...+ainxn-yi=bi;

• orice ecuaţie ai1x1+...+aikx



n=bi se transformă în două inecuaţii:

ai1x1+...+aikx



n≥bi,

ai1x1+...+aikx



n≤bi

• variabilă nepozitivă x≤0 se transformă prin substituţia x=-x' într-o variabilă nenegativă şi reciproc;

• variabilă arbitrară x, prin substituţia x=x'-x”, x',x”≥0, se înlocuieşte cu diferenţa a două variabile nenegative;



Problemele de programare liniară au o interpretare geometrică interesantă. Vom exemplifica aceasta pentru cazul a două variabile (cazul general impunând definiţii şi noţiuni suplimentare care ar încărca inutil expunerea).

Fie o problemă de programare liniară în forma standard:

≥

=

0x

bAx

xc min t

în care matricea A∈Mmn(R), m<n, rang(A)=m. Vom nota cu ai=(ai1,...,ain), i=1,...,m, vectorul corespunzător liniei i şi cu aj=(a1j,...,amj)

t vectorul corespunzător coloanei j.

Observaţie

Un sistem Ax=b, A∈Mmn(R), se poate prezenta într-una din următoarele situaţii:

a) m>n (numărul de ecuaţii este mai mare decât cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A este cel mult egal cu n (obs.1). Dacă rang(A)=n atunci din ecuaţiile ce furnizează rangul se determină valorile unice ale variabilelor x1,...,xn. În acest caz, există, de asemenea, două situaţii:

(1) dacă valorile acestora satisfac şi celelalte ecuaţii ale sistemului rezultă că acesta este compatibil determinat. În acest caz, problema de programare liniară devine banală, funcţia obiectiv fiind determinată prin simpla introducere a valorilor x1,...,xn în expresia c1x

1+...+cnxn;

(2) dacă valorile acestora nu satisfac cel puţin una din celelalte ecuaţii ale sistemului rezultă că acesta este incompatibil şi problema este încheiată (domeniul restricţiilor fiind vid).

b) m=n (numărul de ecuaţii este egal cu cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A este cel mult egal cu m=n (obs.1). Dacă rang(A)=n atunci sistemul este compatibil determinat şi se procedează ca mai sus.

c) m<n (numărul de ecuaţii este mai mic decât cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A este cel mult egal cu m (obs.1). Dacă rang(A)=m atunci din coloanele ce furnizează rangul (corespunzătoare variabilelor principale), se obţine expresia acestora în funcţie de variabilele secundare. Sistemul fiind nedeterminat rezultă o infinitate

(∞n-m) de soluţii, care induc o serie de dificultăţi suplimentare. Pe de o parte, valorile arbitrare ale variabilelor secundare trebuie alese astfel încât să fie satisfăcută condiţia de pozitivitate a tuturor variabilelor (problemă practic imposibilă în cazul general), iar pe de altă parte, după înlocuirea în funcţia obiectiv a valorilor variabilelor aceasta trebuie



optimizată. Chiar dacă aici dispunem de instrumentarul specific furnizat de analiza matematică, problema nu poate fi rezolvată acceptabil deoarece condiţiile de pozitivitate conduc la o situaţie asemănătoare cu cea de la început, schimbându-se practic doar variabilele.

Din observaţia 6, rezultă că este necesar ca să considerăm m<n, iar, pe de altă parte, condiţia rang(A)=m reprezintă faptul că vectorii ai sunt liniar independenţi (în caz contrar, eliminându-se condiţiile suplimentare; această situaţie apare în practică atunci când informaţiile provin din mai multe compartimente ale unei firme în care atribuţiile se intersectează).

Definiţie

Un vector x=(x1,...,xn)t se numeşte soluţie de bază a problemei de programare liniară dacă:

(1) x satisface sistemul Ax=b;

(2) coloanele matricei A care corespund elementelor nenule ale lui x sunt liniar independente.

Definiţie

O soluţie a sistemului Ax=b se numeşte admisibilă (program) dacă toate componentele ei sunt nenegative.

Definiţie

O soluţie de bază, admisibilă se numeşte nedegenerată dacă are toate componentele nenule şi degenerată în caz contrar.

Definiţie

O matrice pătrată nesingulară formată cu m coloane ale matricei A se numeşte bază iar componentele vectorului x corespunzătoare coloanelor ce formează baza se numesc variabile de bază (bazice). Componentele lui x ce nu sunt bazice se numesc variabile nebazice.

Vom nota cu B o matrice de bază a lui A, cu xB vectorul coloană format cu variabilele bazice, cu S matricea formată cu acele coloane ce nu sunt în B şi cu xS vectorul coloană format cu variabilele nebazice. Sistemul Ax=b se poate scrie deci sub forma:

BxB+SxS=b

Cum B este inversabilă, obţinem:

xB=B-1b-B-1SxS

O soluţie de bază se poate obţine pentru xS=0 deci xB=B-1b.

Teoremă

Dacă o problemă de programare liniară are un program atunci ea are cel puţin un program de bază.

Teoremă



Dacă o problemă de programare liniară are un program optim atunci ea are un program optim de bază.

După aceste consideraţii, o metodă de rezolvare a problemelor de programare liniară ar putea consta în următoarele etape:

1) se determină toate matricele inversabile B din A;

2) pentru fiecare din aceste matrice se calculează B-1b şi se cercetează dacă toate componentele vectorului obţinut sunt nenegative;

3) pentru fiecare din vectorii punctul anterior se calculează cx şi reţin acelea pentru care se obţine minimul (maximul) acesteia.

Această metodă, elaborată de G.M. Dantzig în anul 1955, are la bază o metodă principial simplă, dar foarte eficientă. Se pleacă cu o bază iniţială şi apoi se înlocuieşte una din coloanele acesteia cu o alta (deci implicit o variabilă de bază schimbă rolul cu una secundară) astfel încât noua matrice să rămână de bază dar soluţia să se apropie de soluţia optimă. Prin această metodă se pot determina toate situaţiile posibile (probleme fără soluţii, optim infinit etc.).

Fie problema de programare liniară:

(1)

≥

=

0x

bAx

cx min

Să presupunem acum că soluţia de bază xB=B-1b este admisibilă adică xB≥0. O

bază B ce verifică o astfel de condiţie se numeşte bază primal admisibilă. Vom nota cu B mulţimea indicilor j care au proprietatea că {aj}⊂B şi cu S

mulţimea complementară de indici j pentru care {aj}⊂S. Notând de asemenea B

x =B-1b, Bjy =B-1aj obţinem, din relaţia: xB=B-1b-B-1SxS.

(2) xB=B

x -∑∈Sj

jBj xy

Din definiţia lui B-1 se observă că dacă aj este coloana i în matricea B atunci,

cu notaţia ei=(δik)k=1,...,m avem yjB=ei. Pe componente, relaţia (2) se scrie

(3) ∑∈

−=Sj

jB iB i xxx Bijy ∀i∈B

Considerând acum cB=(ci)i∈B şi cS=(cj)j∈S funcţia obiectiv se poate scrie sub forma:

(4) z=ctx=cBtxB+cS

txS

sau altfel:

(5) z=cBt Bx -(cB

tB-1S-cSt)xS



Notând acum B

z =cBt Bx şi ∑

∈

==Bi

Bij

Bj

tB

Bj yycz ic ∀j=1,...,n, relaţia (5) se

poate scrie şi sub forma:

(6) z=B

z -∑∈

−Sj

jj x)cB

j(z

Teoremă

Dacă B este o bază primal admisibilă şi pentru orice j∈S avem zjB-cj≤0 atunci

programul de bază corespunzător bazei B (xB=B-1b, xS=0) este un program optim pentru problema (1).

Teoremă

Dacă pentru o bază primal admisibilă B au loc următoarele condiţii:

1) ∃k∈S astfel încât Bkz -ck>0;

2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat

atunci programul de bază corespunzător lui B nu este optim.

Teoremă



2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat;

3) yik≤0 ∀i∈B

atunci problema (1) are optimul infinit.

Teoremă



2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat;

3) ∃i∈B astfel încât yik>0

atunci valoarea maximă pe care o putem atribui lui k0x astfel încât x' să rămână

program este dată de:

(8) Bsk

B s

Bik

B i

i0y y

x

y

xmin

ik

=

∈>B

Observaţie

Dacă în teoremă atribuim lui k0x valoarea dată de (8) atunci noul program

rămâne soluţie de bază. Aceasta corespunde unei baze B' care se obţine din B



prin înlocuirea coloanei as cu coloana ak. Pentru aceasta, să observăm că din (2) rezultă xs=0. Prin urmare, obţinem o nouă soluţie de bază formată din xi,

i∈B-{s} şi xk. Baza B' corespunzătoare acesteia se obţine din B prin înlocuirea

coloanei as cu ak. Din faptul că ysk≠0 rezultă că vectorii coloană ai lui B' sunt liniar independenţi.

Observaţie

Din faptul că z=B

z -( Bkz -ck)

k0x rezultă că în baza B’, valoarea funcţiei obiectiv

devine:

(9) sk

s

kBk

B'B

y

x)cz(zz −−=

Dacă există mai mulţi indici k cu proprietatea zk-ck>0 atunci, pentru a obţine cea mai mică valoare a funcţiei obiectiv, ar trebui ales acel indice k pentru care cantitatea ce se scade în (9) să fie maximă. Pentru simplificarea lucrurilor, se alege în practică acel indice ce maximizează expresia zj

B-cj.

Lemă (a substituţiei)

Fie B∈Mm(R) o matrice inversabilă şi C∈Mm(R) matricea obţinută din B prin

înlocuirea coloanei k cu un vector nenul a∈Mm1(R). Considerând vectorul d=B-1a=(di)i=1,...,m atunci:

• C este inversabilă dacă şi numai dacă dk≠0;

• Dacă dk≠0 atunci C-1=Ik(d)B-1 unde: Ik(d)=

−

−

−

−

+

−

100d

d0...0

.....................

0...1d

d0...0

0...0d

10...0

0...0d

d1...0

.....................

0...0d

d0...1

k coloana

k

m

k

1k

k

k

1k

k

1

.

Observaţie

Din lema substituţiei se observă că matricea Ik(d) se obţine prin înlocuirea coloanei k a matricei unitate cu vectorul coloană respectiv. Determinarea matricei C-1 se poate face, ţinând seama de formulele de mai sus, mai simplu



astfel: se scrie matricea B-1=(eij) şi se adaugă în dreapta ei vectorul coloană d.

Vom numi elementul dk≠0 – pivot.

Elementul corespondent al lui C-1 se determină astfel: elementele de pe linia pivotului se împart la pivot, iar celelalte elemente (de exemplu e1j) se transformă astfel: se construieşte dreptunghiul a cărui diagonală se sprijină pe pivot şi elementul de transformat. Se înmulţesc elementele situate pe această diagonală (“principală”) şi se scade produsului elementelor de pe cealaltă diagonală (“secundară”). Rezultatul se împarte la pivot. Prin urmare, dacă C-

1=(fij) avem:

(10) fij=k

ikjkij

d

dede −, i∈{1,...,m}-{k}, j∈{1,...,m}

(11) fkj=k

kj

d

e, j∈{1,...,m}

Observaţie

La înlocuirea variabilei xs cu xk, deci a coloanei s din bază cu coloana k, noile cantităţi rezultate devin, conform lemei substituţiei (s-au notat cu două bare elementele după transformare):

• Bsk

Bik

sBBsk

B iB i

y

yxyxx

−= ∀i∈B-{s}, iar pentru i=k:

Bsk

B skB

y

xx = ;

• Bsk

Bsj

Bik

Bsk

Bij

B

ij y

yyyyy

−= ∀i∈B-{s},

Bsk

Bsj

B

sj y

yy = ;

• Bsk

kBk

sBBsk

BB

y

)cz(xyzz

−−= ;

• Bsk

Bsjk

Bk

Bskj

Bj

j

B

jy

y)cz(y)cz(cz

−−−=− ∀j∈S-{k}, k

B

k cz − =0.

Din cele expuse mai sus, obţinem algoritmul simplex care constă în:

1) Se determină o bază primal admisibilă B (metodă ce va fi expusă ulterior);

2) Se construieşte tabelul simplex astfel:

V.B. V.V.B. x1

... xj

... xn

... ... ... ... ... ... ... ...



ci xi B i

x yi1

B ... yijB ... yin

B

... ... ... ... ... ... ... ...

cp xp B p

x yp1

B ... ypjB ... ypn

B

... ... ... ... ... ... ... ...

z Bz

z1B-c1 ... zj

B-cj ... znB-cn

c1 ... cj ... cn

3) Completarea tabelului simplex se face în următoarele etape:

3.1) Pe prima linie se trec numele tuturor variabilelor problemei (inclusiv a celor ecart);

3.2) În coloana V.B. (variabile de bază) se introduc numele variabilelor de bază determinate la punctul 1);

3.3) În coloana V.V.B. (valorile variabilelor de bază) se introduc valorile

determinate pe baza relaţiei B

x =B-1b;

3.4) Coloanele x1,...,xj,...,xn se completează cu valorile date de B-1aj, j=1,...,n;

3.5) În stânga tabelului se trec coeficienţii funcţiei obiectiv corespunzători variabilelor de bază;

3.6) În subsolul tabelului se trec coeficienţii funcţiei obiectiv corespunzători tuturor variabilelor;

3.7) Penultima linie se completează astfel:

3.7.1) B

z =∑∈Bi

Bijyic adică se înmulţesc valorile primei coloane cu valorile

coloanei V.V.B. şi se adună rezultatele (produsul scalar al vectorilor din aceste coloane);

3.7.2) jBj cz − =∑

∈Bi

Bijyic -cj ∀j=1,...,n adică se înmulţesc valorile primei

coloane cu valorile coloanei xj şi se adună rezultatele scăzându-se la final valoarea din ultima linie;

3.8) O completare rapidă a coloanelor variabilelor de bază se face astfel: în dreptul liniei şi coloanei unei variabile de bază se înscrie valoarea 1 în restul coloanei completând cu 0 (inclusiv la zj

B-cj).

4) Dacă ∀j=1,...,n avem zjB-cj≤0 atunci programul de bază xB=

Bx , xS=0 este

optim. STOP.

5) Dacă există indici j astfel încât să avem zjB-cj>0 atunci:

5.1) dacă pentru un indice j pentru care zjB-cj>0 avem yij

B≤0 ∀i=1,...,m atunci conform teoremei 13 problema are optim infinit. STOP.



5.2) dacă ∀j=1,...,n astfel încât zjB-cj>0⇒∃i=1,...,m astfel încât yij

B>0 atunci se determină acel indice j pentru care se obţine maximul expresiei zj

B-cj. Dacă există mai mulţi indici cu această proprietate, se alege unul dintre aceştia (de regulă primul). În acest caz, vectorul coloană ak intră în bază, variabila xk devenind variabilă de bază;

6) Pentru j determinat la 5.2.) se determină variabila ce părăseşte baza cu

ajutorul relaţiei: Bpj

B p

Bij

B i

i0y y

x

y

xmin

ij

=

∈

>

B

. Dacă minimul este atins pentru mai

mulţi indici, se alege unul dintre aceştia. Variabila xp părăseşte baza devenind variabilă secundară;

7) Se înlocuieşte în baza B vectorul ap cu aj determinându-se noua bază B' şi se recalculează cantităţile de la punctul 3) în noua bază, astfel:

7.1) Se construieşte scheletul tabelului simplex, în care nu se mai trec coeficienţii funcţiei obiectiv;

7.2) În coloana V.B. se înlocuieşte numele variabilei xp cu xj;

7.3) Se marchează (eventual prin încercuire) în vechiul tabel elementul ypjB

care se numeşte pivot;

7.4) Coloanele actualelor variabile de bază se completează ca la punctul 3.8);

7.5) Linia pivotului se împarte la pivot;

7.6) Restul elementelor din noul tabel, se obţin cu ajutorul regulii

dreptunghiului care constă în următoarea formulă de transformare:

Bpj

Bps

Bij

Bpj

BisB

is y

yyyyy

−= ∀i=1,...,m+1 ∀s=0,...,n, unde am notat pentru extensia

formulei: sBs

Bs,1m czy −=+ ∀s=1,...,n,

BB0,1m zy =+ şi

B iB0i xy = ∀i=1,...,m.

8) Se reia algoritmul de la punctul 4) până la determinarea soluţiei.

Problema care se pune acum este determinarea unui program de bază iniţial. Un mod de a face acest lucru este dat de metoda celor două faze care constă în:

yisB y

ijB

+

element de transformat

pivot

-y

psB y

pjB



1) Se transformă toate restricţiile în ecuaţii Ax=b cu b≥0 (eventual prin înmulţire cu (-1));

2) Se identifică acele variabile care apar numai într-una dintre restricţii şi are coeficient pozitiv. În caz favorabil, se împarte ecuaţia respectivă la acest coeficient;

3) Se adaugă la fiecare ecuaţie care nu apare la punctul 2) câte o variabilă artificială obţinând vectorul xa=(x1,a,...,xk,a)t obţinând egalitatea: Ax+I(k)xa=b unde I(k) reprezintă matricea obţinută din cea nulă prin plasarea, pe diagonala principală, de elemente egale cu 1 în liniile corespunzătoare variabilelor artificiale iar b este noul vector al termenilor liberi (după eventualele înmulţiri cu (–1) sau împărţiri la coeficienţi ai restricţiilor). Se recomandă ca indicii variabilelor artificiale să fie daţi în acord cu numerele de linie ale ecuaţiilor corespondente;

4) Se rezolvă apoi problema de programare liniară:

≥≥

=+

++

0 x,0x

bx)k(IAx

)x...xmin(

a

a

a ka 1

.

Din cauza variabilelor izolate şi a celor auxiliare, baza iniţială va fi matricea unitate Im.

5) Completarea primului tabel simplex se va face astfel:

5.1) Pe prima linie se trec numele tuturor variabilelor problemei (inclusiv a celor auxiliare);

5.2) În coloana V.B. se introduc numele variabilelor de bază adică a celor izolate şi a celor auxiliare;

5.3) În coloana V.V.B. se introduc valorile determinate pe baza relaţiei B

x=I-1b=b deci se copie vectorul termenilor liberi;

5.4) Coloanele x1,...,xj,...,xn se completează cu valorile date de I-1aj=aj, j=1,...,n deci cu coloanele coeficienţilor variabilelor respective;

5.5) În prima coloană se trec coeficienţii noii funcţii obiectiv corespunzători variabilelor de bază (1 în dreptul variabilelor auxiliare şi 0 în rest);

5.6) În ultima linie se trec noii coeficienţi ai funcţiei obiectiv corespunzători tuturor variabilelor;

5.7) Penultima linie se completează astfel:

5.7.1) B

z =∑∈Bi

Bijyic adică se înmulţesc valorile primei coloane cu valorile

coloanei V.V.B. şi se adună rezultatele;



5.7.2) jBj cz − =∑

∈Bi

Bijyic -cj ∀j=1,...,n adică se înmulţesc valorile primei

coloane cu valorile coloanei xj şi se adună rezultatele scăzându-se la final valoarea din ultima linie;

5.8) O completare rapidă a coloanelor variabilelor de bază se face astfel: în dreptul liniei şi coloanei unei variabile de bază se înscrie valoarea 1 în restul coloanei completând cu 0 (inclusiv la zj

B-cj).

6) Se aplică algoritmul simplex până la final. Trebuie remarcat că nu se poate obţine la această fază optim infinit deoarece funcţia obiectiv fiind min(x1

a+...+xk a)≥ 0 nu se poate ajunge la -∞ printr-o creştere corespunzătoare a unei variabile;

7) În final, avem următoarele situaţii:

7.1) Dacă min(x1 a+...+xk a)>0 rezultă că problema iniţială nu are programe. Într-adevăr, această valoare optimă implică faptul că există j=1,...,k astfel încât xj a>0. În acest caz, restricţia j din problema iniţială şi din cea auxiliară sunt incompatibile (implicând după scădere xj a=0-contradicţie);

7.2) Dacă min(x1 a+...+xk a)=0 atunci, cum xi a=0 ∀i=1,..., k rezultă că problema iniţială are programe. Avem însă două situaţii:

7.2.1) toate variabilele auxiliare au ieşit din bază. În acest caz, baza obţinută la problema auxiliară este bază pentru problema iniţială;

7.2.2) au rămas variabile auxiliare în bază, fiind evident nule. În acest caz, avem din nou două situaţii:

7.2.2.1) dacă pe linia corespunzătoare unei variabile auxiliare, există un element nenul în dreptul unei variabile neauxiliare, se face transformarea cu pivotul respectiv;

7.2.2.2) dacă pe linia corespunzătoare unei variabile auxiliare, toate elementele din dreptul coloanelor variabilelor neauxiliare sunt nule, atunci ecuaţia căreia i s-a ataşat variabila auxiliară este o consecinţă a celorlalte ecuaţii (cazul când rangul matricei A nu era m). În acest caz, linia respectivă a tabelului simplex se elimină, împreună cu variabila auxiliară respectivă.

8) Se trece la a doua fază prin recalcularea tabelului simplex pentru problema iniţială. Astfel:

8.1) Se copie ultimul tabel, mai puţin ultima linie a acestuia;

8.2) Se recalculează ultima linie în raport cu coeficienţii funcţiei obiectiv iniţiale c1,...,cn.

9) Se rezolvă problema cu ajutorul algoritmului simplex.

Observaţie



La finalul primei faze, dacă toate variabilele auxiliare au ieşit din bază atunci

toate cantităţile jBj cz − din dreptul variabilelor iniţiale sunt nule.

Observaţie

Dacă în final nu este nevoie de determinarea lui B-1 atunci, la prima fază, pe măsura ieşirii variabilelor auxiliare din bază acestea se pot elimina din tabel prin tăierea coloanei respective. Dacă variabilele auxiliare nu au fost eliminate din tabelele simplex, la a doua fază, ele nu se mai iau în considerare, la determinarea variabilelor ce intră sau ies din bază. Coloanele respective vor fi calculate cu aceeaşi regulă a dreptunghiului, mai puţin ultimul element care se va înlocui printr-un simbol (o linioară, un asterisc etc.).

Observaţie

Dacă variabilele auxiliare nu au fost eliminate din tabelele simplex, la sfârşitul algoritmului, în coloanele corespunzătoare primelor variabile de bază (inclusiv cele izolate) de la prima fază, se va afla B-1.

Observaţie

Dacă problema de programare liniară este degenerată, obţinându-se în final soluţii optime care au componente de bază nule, atunci prin investigarea liniei corespunzătoare unei astfel de variabile, ea se poate scoate din bază şi înlocui cu o alta (evident prin satisfacerea condiţiilor specifice). În acest caz, din

formula: sk

s

kBk

B'B

y

x)cz(zz −−= cum

sx =0 rezultă că soluţia obţinută rămâne

optimă. Procedând în acest mod până la efectuarea tuturor schimbărilor posibile se obţine soluţia optimă sub forma unei combinaţii convexe de variabilele respective (combinaţie liniară cu parametri pozitivi şi a căror sumă

este 1). Analog se procedează dacă există cantităţi )cz( jBj − nule cu j∈S.

Observaţie

Dacă funcţia obiectiv este de minim şi toţi coeficienţii acesteia sunt pozitivi

atunci nu putem avea optim infinit (deoarece min≥0). Analog, dacă funcţia obiectiv este de maxim şi toţi coeficienţii acesteia sunt negativi atunci nu

putem avea optim infinit (deoarece max≤0).

a) Exemplu:

Să se rezolve problema de programare liniară:



≥

=−+−

=−+−

−≥+−

=+−+

−−+

0x,x,x,x

11xx9x4x

3xx5x2x

1xxx3

5xxx3x2

x6xx2 xmax

4321

4321

4321

321

4321

4321

Soluţie Aducem problema la forma standard:

≥

=−+−

=−+−

−=−+−

=+−+

++−−

0y,x,x,x,x

11xx9x4x

3xx5x2x

1yxxx3

5xxx3x2

x6xx2x- min

14321

4321

4321

1321

4321

4321

Cum a doua restricţie are termenul liber negativ, aceasta va fi amplificată cu –1:

≥

=−+−

=−+−

=+−+−

=+−+

++−−

0y,x,x,x,x

11xx9x4x

3xx5x2x

1yxxx3

5xxx3x2

x6xx2x- min

14321

4321

4321

1321

4321

4321

Singura variabilă izolată fiind y1, vom introduce variabile auxiliare corespunzătoare primei, celei de-a treia respectiv a patra restricţii. Avem deci:

≥

=+−+−

=+−+−

=+−+−

=++−+

++

0x,x,x,y,x,x,x,x

11xxx9x4x

3xxx5x2x

1yxxx3

5xxxx3x2

xx xmin

a 4a 3a 114321

a 44321

a 34321

1321

a 14321

a 4a 3a 1

Succesiunea tabelelor simplex este următoarea:

VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 x1 a x3 a x4 a

1 x1 a 5 2 3 -1 1 0 1 0 0

0 y1 1 -3 1 -1 0 1 0 0 0

1 x3 a 3 1 -2 5 -1 0 0 1 0



1 x4 a 11 4 -1 9 -1 0 0 0 1

z 19 7 0 13 -1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1

VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 x1 a x4 a

x1 a 28/5 11/5 13/5 0 4/5 0 1 0

y1 8/5 -14/5 3/5 0 -1/5 1 0 0

x3 3/5 1/5 -2/5 1 -1/5 0 0 0

x4 a 28/5 11/5 13/5 0 4/5 0 0 1

z 56/5 22/5 26/5 0 8/5 0 0 0



VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 x4 a

x2 28/13 11/13 1 0 4/13 0 0

y1 4/13 -45/13 0 0 -5/13 1 0

x3 19/13 7/13 0 1 -1/13 0 0

x4 a 0 0 0 0 0 0 1

z 0 0 0 0 0 0 0

Cum cantităţile zjB-cj sunt acum toate nepozitive, rezultă că prima fază este

încheiată. Funcţia obiectiv este nulă dar variabila x4 a nu a ieşit din bază. Cum toţi coeficienţii variabilelor neauxiliare sunt nuli, rezultă că aceasta nu poate fi înlocuită cu o altă variabilă. În acest caz, este cunoscut faptul că ecuaţia respectivă (la noi a patra) este consecinţă a celorlalte ecuaţii şi deci va putea fi eliminată. Într-adevăr, ecuaţia a patra se obţine din ecuaţia întâi adunată la ecuaţia a treia înmulţită cu 2.

Tabelul simplex pentru problema iniţială devine:

VB VVB x1 x2 x3 x4 y1

-2 x2 28/13 11/13 1 0 4/13 0

0 y1 4/13 -45/13 0 0 -5/13 1

1 x3 19/13 7/13 0 1 -1/13 0

z -37/13 -2/13 0 0 -87/13 0

-1 -2 1 6 0

Soluţia optimă este deci: x1=0, x2=13

28, x3=

13

19, x4=0 iar maximul funcţiei

obiectiv este: -(-13

37)=

13

37.



4.3. Dualitate în programarea liniară

Definiţie

Fie problema generală de minim a programării liniare:

(P1)

≤≥

≤++

=++

≥++

++

arbitrar x,0 x,0x

bxAxAxA

bxAxAxA

bxAxAxA

xcxcxc min

3213

333

232

131

23

232

221

21

13

132

121

11

33

22

11

Se numeşte problemă duală a acesteia problema:

(D1)

≤≥

=++

≥++

≤++

++

0u ,arbitrar u ,0u

cuAuAuA

cuAuAuA

cuAuAuA

ububub max

321

t3

3t33

2t23

1t13

t2

3t32

2t22

1t12

t1

3t31

2t21

1t11

3t3

2t2

1t1

Definiţie

Fie problema generală de maxim a programării liniare:

Sarcina de lucru 1


≤≥

≥−

≤+−

≥+−

−

arbitrar x ,0x ,0x

20xx2

2xx

4xxx

x2x max

321

21

31

321

21



(P2)

≤≥

≤++

=++

≥++

++

arbitrar x,0 x,0x

bxAxAxA

bxAxAxA

bxAxAxA

xcxcxc max

3213

333

232

131

23

232

221

21

13

132

121

11

33

22

11

Se numeşte problemă duală a acesteia problema:

(D2)

≥≤

=++

≤++

≥++

++

0u ,arbitrar u ,0u

cuAuAuA

cuAuAuA

cuAuAuA

ububub min

321

t3

3t33

2t23

1t13

t2

3t32

2t22

1t12

t1

3t31

2t21

1t11

3t3

2t2

1t1

Observaţie

Problemele (P1) şi (P2) se mai numesc şi probleme primale. Este evident că duala problemei duale este cea primală.

Observaţie

Problema duală se obţine din cea primală astfel:

1) problemele de minimizare (maximizare) se transformă în probleme de maximizare (minimizare);

2) termenii liberi ai lui (P) devin coeficienţii funcţiei obiectiv în (D);

3) coeficienţii funcţiei obiectiv din (P) devin termeni liberi în (D);

4) matricea coeficienţilor din (D) este transpusa matricei coeficienţilor din (P);

5) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor concordante în (P)

(adică restricţii de forma ≥ în probleme de minimizare şi de forma ≤ în probleme de maximizare) sunt nenegative;

6) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor neconcordante în (P)

(adică restricţii de forma ≤ în probleme de minimizare şi de forma ≥ în probleme de maximizare) sunt nepozitive;

7) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor de tip ecuaţii în (P) sunt arbitrare;

8) variabilelor din (P) nenegative le corespund restricţii în (D) concordante;

9) variabilelor din (P) nepozitive le corespund restricţii în (D) neconcordante;

10) variabilelor din (P) arbitrare le corespund restricţii în (D) de tip ecuaţii.

Să considerăm acum problema de programare liniară în forma standard:



(1)

≥

=

0x

bAx

xc min t

şi duala acesteia:

(2)

≤

arbitraru

cuA

ub maxt

t

Definiţie

O bază B a lui A astfel încât: cBB-1A-c≤0 ( jBj cz − ≤0 ∀j=1,...,n) se numeşte

bază dual admisibilă. O soluţie x a problemei primale ce corespunde unei baze dual admisibile se numeşte soluţie dual admisibilă.

Fie acum cuplul de probleme duale:

(3)

≥

≥

0x

bAx

xc min t

(4)

≥

≤

0u

cuA

ub maxt

t

Observaţie

Se arată că dacă avem o bază primal şi dual admisibilă B atunci avem programul optim pentru problema (1): xB=B-1b, xS=0 şi programul optim al problemei (2): uB

t=cBtB-1. Pentru aceste două programe funcţiile obiectiv au

valori egale. Într-adevăr, uBtaj=cB

tB-1aj=zjB≤cj de unde rezultă că uB

t este soluţie a problemei duale. Pe de altă parte, dacă x este o soluţie a problemei primale

(3), iar u a problemei duale (4), avem: Ax≥b şi cum u≥0⇒utAx≥utb. Pe de altă

parte: Atu≤c şi cum x≥0⇒xtAtu≤xtc şi cum cantităţile sunt scalari, rezultă după

transpunere: utAx≤ctx. Obţinem deci că ctx≥utb=btu. Să considerăm acum o

soluţie x a problemei primale şi o soluţie u a celei duale astfel încât ct x =bt u .

Dacă x nu ar fi program optim al problemei primale, atunci ar exista x* astfel

încât ctx*<ct x . Dar atunci ctx*<bt u , iar din cele de mai sus avem: ctx*≥bt u deci

contradicţie. Prin urmare, x este program optim al problemei primale. Analog,

dacă u nu ar fi program optim al problemei duale, atunci ar exista u* astfel

încât btu*>bt u . Dar atunci btu*>ct x , iar din cele de mai sus avem: btu*≤ct x

deci contradicţie. Prin urmare, u este program optim al problemei duale. În

final, cum valoarea optimă a funcţiei obiectiv este B

z =btuB=uBtb=cB

tB-1b=cBtxB



rezultă că funcţiile obiectiv ale problemelor primală respectiv duală au valori egale.

În aplicarea algoritmului simplex primal se porneşte de la o bază primal admisibilă şi în urma înlocuirii succesive a vectorilor din bază se obţine, în final, o bază dual admisibilă.

Algoritmul simplex dual constă în procesul invers. Se porneşte cu o bază dual admisibilă şi după un sistem de calcul oarecum asemănător, se obţine în final o bază primal admisibilă.

În cele ce urmează, vom considera perechea de probleme duale:

(P)

≥

=

0x

bAx

xc min t

, (D)

≤

arbitraru

cuA

ub maxt

t

Teoremă (fundamentală a dualităţii)

Fie problemele duale (P) şi (D).

1) Dacă ambele probleme au programe atunci ele au programe optime şi valorile funcţiilor obiectiv coincid;

2) Dacă una din probleme are programe, iar cealaltă nu, atunci cea care are programe are optim infinit.

Teoremă

Fie B o bază dual admisibilă astfel încât:

1) ∃k∈B astfel încât kB

x <0;

2) ykjB≥0 ∀j∈S

În acest caz, problema primală nu are programe.

Teoremă

Fie B o bază dual admisibilă astfel încât:

1) ∀k∈B astfel încât kB

x <0 ⇒ ∃j∈{1,...,n} astfel încât ykjB<0;

2) Fie pentru k∈B, s∈S astfel încât Bks

sBs

Bkd

dBd

0y y

cz

y

czmin

Bkd

−=

−

<

.

În acest caz, înlocuind în baza B coloana k cu coloana s, valoarea funcţiei obiectiv a problemei duale este mai mare sau egală cu cea anterioară.

Din cele de mai sus se pot enunţa acum:

Etapele de aplicare a algoritmului simplex dual

Fie x o soluţie dual admisibilă.

1) Fie J={jx j<0};



2) Dacă J=∅ atunci x este soluţie optimă. STOP.

3) Dacă J≠∅ atunci:

3.1) Dacă ∃j∈J astfel încât componentele de rang j ale vectorilor coloană din A ce nu fac parte din bază sunt pozitive atunci problema primală nu are soluţie. STOP.

3.2) Dacă ∀j∈J componentele de rang j ale vectorilor coloană din A ce nu

fac parte din bază au şi valori negative atunci fie Jj

min∈

x j= xk şi

kp

pp

kj

jj

0yJj y

cz

y

czmin

kj

−=

−

<∈

. Vectorul care va părăsi baza va fi ak iar cel care va

intra în bază va fi ap;

4) După transformarea cu pivotul ykp se revine la pasul 1.

Cu ajutorul observaţiei, rezultă că la finalul algoritmului simplex dual suntem în măsură să cunoaştem soluţia problemei primale.

Ca şi la algoritmul simplex primal se pune problema determinării unei baze dual admisibile. Pentru a face acest lucru vom proceda astfel:

1) Dacă problema este sub formă canonică:

≥

≥

0x

bAx

xc min t

ea se transformă în

≥

−≤

0x

bAx-

xc min t

. Introducând variabilele ecart, acestea formează o bază a

problemei. Dacă în plus, toţi coeficienţii funcţiei obiectiv sunt pozitivi, atunci acestea formează o bază dual admisibilă.

2) Dacă punctul 1) nu are loc (orice problemă poate fi adusă la una din formele de mai sus, însă numărul restricţiilor creşte foarte mult ceea ce este inadmisibil – de exemplu la transformarea egalităţilor în inegalităţi, numărul restricţiilor se dublează), atunci se adaugă o restricţie

suplimentară: xn+1+∑∈Si

ix =M unde în prealabil s-a determinat o bază B, iar

S reprezintă indicii restului coloanelor lui A. Numărul M este ales suficient de mare. Problema care se obţine are următoarea formă:

(5)

≥≥

=

=+

+

∈

+ ∑

0 x,0x

bAx

Mxx

xc min

1n

Ii

i1n

t

3) Se determină apoi k∈S astfel încât să avem ( ) kBki

Bi

iczczmax −=−

∈S.



4) Considerând baza B’ obţinută din B prin înlocuirea coloanei lui xn+1 cu coloana lui xk se obţine o bază dual admisibilă.

5) În final, există mai multe situaţii:

5.1) Dacă problema (5) nu are programe, atunci nici problema (P) nu are programe;

5.2) Dacă problema (5) are programe atunci există trei variante:

5.2.1) xn+1 rămâne în baza optimă şi atunci restul variabilelor constituie soluţia optimă;

5.2.2) xn+1 nu rămâne în baza optimă, dar valoarea optimă a funcţiei

obiectiv depinde de M. În acest caz, pentru M→∞ rezultă că problema iniţială are optim infinit;

5.2.3) xn+1 nu rămâne în baza optimă, iar valoarea optimă a funcţiei obiectiv nu depinde de M. În acest caz, se poate obţine soluţia optimă, descrescându-l pe M până în momentul în care una din variabilele de bază ce este funcţie de M devine nulă.

Observaţie

Din cauza dificultăţilor de aplicare în determinarea unei baze iniţiale dual admisibile, nu vom aplica acest algoritm decât în cadrul problemelor de reoptimizare pe care le vom studia mai jos.

Observaţie

Problema duală are o interpretare imediată. Dacă în problema primală x are o anumită semnificaţie, din faptul că funcţiile obiectiv ale celor două probleme coincid la optim, rezultă că:

i

i

mm

11

i

nn

11 u

b

)ub...ub(

b

)xc...xc(=

∂

++∂=

∂

++∂, i=1,...,m

Aceasta înseamnă că la modificarea cu o unitate a termenului liber bi (ce poate avea semnificaţie de resursă arbitrară) valoarea funcţiei obiectiv creşte cu cea a variabilei duale ataşate restricţiei “i”. Prin urmare, mărimea valorilor variabilelor duale, dau un indiciu asupra “sensibilităţii” unor restricţii ale problemei primale.

b) Exemplu:

c) Fie problema de programare liniară:

≥≤

≤++

−≥−+−

−=++

−+

0x arbitrar, x ,0x

5x5x2x3

5x8x5x

1xxx3

xx32x max

321

321

321

321

321



Să se scrie problema duală.

Soluţie Avem:

≥≤

≥+−

=++

≤+−

+−

0u ,0u ,arbitrar u

0u5u8u

0u2u5u

0u3uu3

u5u5u- min

321

321

321

321

321

4.4. Reoptimizare și parametrizare în programarea liniară

Modificarea termenilor liberi

Să presupunem că termenii liberi ai problemei iniţiale:

≥

=

0x

bAx

cx min

se modifică în sensul că b se înlocuieşte cu vectorul b’. Din modul de completare a tabelului simplex, am văzut că acesta influenţează numai coloana V.V.B. în care apare vectorul B-1b. Prin urmare, vom modifica ultimul tabel simplex, astfel:

1) toate coloanele tabelului în afara celei a V.V.B. rămân neschimbate;

Sarcina de lucru 2

Să se scrie problema duală problemei de programare liniară:

≤≥

≥−

≤+−

≥+−

−

arbitrar x ,0x ,0x

20xx2

2xx

4xxx

x2x max

321

21

31

321

21



2) coloana V.V.B. devine B-1b’;

3) funcţia obiectiv se recalculează în funcţie de valorile obţinute la 2).

Cum ultima linie a tabelului rămâne neschimbată rezultă că baza B este dual admisibilă, deci se aplică în continuare algoritmul simplex dual.

Modificarea coeficienţilor funcţiei obiectiv

Să presupunem că vectorul coeficienţilor funcţiei obiectiv devine c’. Acesta modifică numai ultima linie a tabelului simplex, care va fi calculată corespunzător. Evident baza rămâne primal admisibilă deci se continuă cu algoritmul simplex primal.

Introducerea unei variabile suplimentare

Să presupunem acum că introducem o variabilă suplimentară xn+1. În acest caz se ataşează tabelului o coloană suplimentară corespunzătoare variabilei nou introduse.

Cum am obţinut deja o bază primal admisibilă, rezultă că avem două situaţii:

1) dacă zn+1B-cn+1≤0 atunci soluţia optimă rămâne neschimbată;

2) dacă zn+1B-cn+1>0 atunci se aplică agoritmul simplex primal.

Modificarea coeficienţilor unei variabile

Să presupunem că vectorul coeficienţilor unei variabile xi se modifică astfel încât ai se schimbă în a’i. Din modul de completare a tabelului simplex, s-a văzut că vectorul ai nu influenţează decât coloana corespunzătoare lui xi. Problema care apare însă este dacă variabila xi era variabilă de bază sau nu.

4.1) Dacă variabila xi nu face parte din bază atunci se recalculează coloana xi cu formula B-1a’i şi cantitatea zi

B-ci aferentă. Se aplică apoi, dacă este cazul, algoritmul simplex primal.

4.2) Dacă variabila xi face parte din bază atunci, pentru simplificare, recomandăm reîntoarcerea la ultimul tabel simplex care nu conţinea variabila xi în bază şi aplicarea punctului 4.1).

O altă metodă, aplicabilă îndeosebi situaţiei în care nu sunt cunoscute bazele succesive, constă şi în introducerea unei variabile auxiliare xn+1 având drept coeficienţi componentele vectorului a’ iar xi să fie considerată drept variabilă artificială. Problema se reduce la cea a introducerii unei noi variabile (vezi 3)). Aplicând metoda celor două faze cu funcţia obiectiv min (xi) şi eliminând această variabilă se obţine soluţia optimă.

Parametrizare în programarea liniară



Problema parametrizării constă în determinarea comportării soluţiei optime atunci când unele din componentele problemei (termeni liberi, coeficienţi ai funcţiei obiectiv, coeficienţi ai variabilelor) depind de parametri.

Problema parametrizării se soluţionează, principial, destul de simplu. Astfel se dă o valoare arbitrară parametrului (de exemplu 0) şi se rezolvă problema. La final, se modifică componenta respectivă după metodele reoptimizării. Evident că în funcţie de valorile parametrului se va obţine o soluţie optimă sau alta.

d) Exemplu:

Fie problema de programare liniară:

≥

≤+−−

≥+

=++

+

0x,x,x,x

1xxx

4xx

6xxx

x xmin

4321

321

42

321

41

1) Să se rezolve problema de programare liniară cu ajutorul algoritmului simplex primal;

2) Să se determine B-1 inversa matricei de bază;

3) Să se determine soluţia optimă a problemei duale.

4) Să se determine soluţia optimă a problemei dacă termenii liberi se

înlocuiesc cu b’=

0

0

1

şi să se interpreteze noua valoare a funcţiei obiectiv

în funcţie de variabilele duale determinate la punctul 3).

5) Să se determine soluţia optimă a problemei dacă funcţia obiectiv devine min x2+x3-2x4;

6) Să se determine soluţia optimă a problemei:

≥

≤+−−

≥+

=+++

+

0x,x,x,x,x

1xxx

4xx

6xxxx

x xmin

54321

321

42

5321

41

;

7) Să se determine soluţia optimă a problemei:



≥

≤+−−

≥+

=++

+

0x,x,x,x

1xxx2

4xx

6xxx2

x xmin

4321

321

42

321

41

Soluţie 1) Forma standard este:

≥

=++−−

=−+

=++

+

0y,y,x,x,x,x

1yxxx

4yxx

6xxx

x xmin

214321

2321

142

321

41

Variabilele x4 şi y2 fiind izolate, introducem o variabilă auxiliară x1 a. Avem deci:

≥

=++−−

=−+

=+++

0x,y,y,x,x,x,x

1yxxx

4yxx

6xxxx

xmin

a 1214321

2321

142

a 1321

a 1

Tabelele simplex devin:

VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x1 a

1 x1 a 6 1 1 1 0 0 0 1

0 x4 4 0 1 0 1 -1 0 0

0 y2 1 -1 -1 1 0 0 1 0

z 6 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1


x1 6 1 1 1 0 0 0 1

x4 4 0 1 0 1 -1 0 0

y2 7 0 0 2 0 0 1 1

z 0 0 0 0 0 0 0 -1

Am obţinut deci baza {x1,x4,y2}. Trecem la faza a doua şi obţinem:


1 x1 6 1 1 1 0 0 0 1



1 x4 4 0 1 0 1 -1 0 0

0 y2 7 0 0 2 0 0 1 1

z 10 0 2 1 0 -1 0 -

1 0 0 1 0 0




x1 2 1 0 1 -1 1 0 1

x2 4 0 1 0 1 -1 0 0

y2 7 0 0 2 0 0 1 1

z 2 0 0 1 -2 1 0 -


x3 2 1 0 1 -1 1 0 1

x2 4 0 1 0 1 -1 0 0

y2 3 -2 0 0 2 -2 1 -1

z 0 -1 0 0 -1 0 0 -

Soluţia optimă este deci: x1=0, x2=4, x3=2, x4=0, iar valoarea optimă a funcţiei obiectiv este 0.

2) Avem B-1=

−

−

121

010

011

obţinută din coloanele lui x1 a, x4 şi y2 din

ultimul tabel.

3) Avem ( )321 uuu = ( )000

−

−

121

010

011

= ( )000

4) Avem B-1b’=

−

−

121

010

011

0

0

1

=

−1

0

1

. Din ultimul tabel simplex,

rezultă:

VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2

x3 1 1 0 1 -1 1 0

x2 0 0 1 0 1 -1 0

y2 -1 -2 0 0 2 -2 1

z 0 -1 0 0 -1 0 0

Soluţia nu mai este primal admisibilă, dar a rămas dual admisibilă. Vom aplica deci algoritmul simplex dual. Avem deci:




x3 1/2 0 0 1 0 0 1/2

x2 1/2 1 1 0 0 0 -1/2

y1 1/2 1 0 0 -1 1 -1/2

z 0 -1 0 0 -1 0 0

Soluţia optimă a devenit deci: x1=0, x2=2

1, x3=

2

1, x4=0 valoarea optimă a

funcţiei obiectiv fiind egală cu 0. De la punctul 3) se observă că variabilele duale fiind toate nule, rezultă că termenii liberi ai restricţiilor problemei iniţiale nu pot influenţa valoarea optimă a funcţiei obiectiv.

5) Ultimul tabel simplex devine:


1 x3 2 1 0 1 -1 1 0

1 x2 4 0 1 0 1 -1 0

0 y2 3 -2 0 0 2 -2 1

z 6 1 0 0 2 0 0

0 1 1 -2 0 0

Obţinem mai departe:


x3 7/2 0 0 1 0 0 1/2

x2 5/2 1 1 0 0 0 -1/2

x4 3/2 -1 0 0 1 -1 1/2

z 3 3 0 0 0 -2 1


x3 7/2 0 0 1 0 0 1/2

x1 5/2 1 1 0 0 0 -1/2

x4 4 0 1 0 1 -1 0

z -9/2 0 -3 0 0 -2 5/2




y2 7 0 0 2 0 0 1

x1 6 1 1 1 0 0 0

x4 4 0 1 0 1 -1 0

z -22 0 -3 -5 0 -2 0

Soluţia optimă a devenit deci: x1=6, x2=0, x3=0, x4=4 valoarea optimă a funcţiei obiectiv fiind egală cu -22.

6) Problema formulată se obţine din cea iniţială prin adăugarea unei variabile suplimentare x5 la prima restricţie. Avem deci:

B-1

0

0

1

=

−

−

121

010

011

0

0

1

=

−1

0

1

de unde:

VB VVB x1 x2 x3 x4 y1 y2 x5

x3 2 1 0 1 -1 1 0 1

x2 4 0 1 0 1 -1 0 0

y2 3 -2 0 0 2 -2 1 -1

z 0 -1 0 0 -1 0 0 0

Se observă că soluţia optimă rămâne aceeaşi: x1=0, x2=4, x3=2, x4=0, valoarea optimă a funcţiei obiectiv fiind 0.

7) Problema formulată se obţine din cea iniţială prin modificarea coeficienţilor variabilei x1 care nu face parte din bază. Avem deci:

B-1a1=

−

−

121

010

011

− 2

0

2

=

− 4

0

2

.

Din ultimul tabel simplex, rezultă:


x3 2 2 0 1 -1 1 0 1

x2 4 0 1 0 1 -1 0 0

y2 3 -4 0 0 2 -2 1 -1

z 0 -1 0 0 -1 0 0 -

Se observă că soluţia optimă rămâne aceeaşi: x1=0, x2=4, x3=2, x4=0, valoarea optimă a funcţiei obiectiv fiind 0.



4.5. Problema de transport

Am văzut la prezentarea problemelor de programare liniară că problema de transport în forma standard are următoarea expresie:

==≥

==

==

∑

∑

∑∑

=

=

= =

n,1j ,m,1i ,0x

n,1j ,bx

m,1i ,ax

xc min

ij

j

m

1i

ij

i

n

1j

ij

m

1i

n

1j

ijij

unde ∑∑==

=n

1jj

m

1ii ba , ai,bj≥0.

În legătură cu această problemă avem câteva situaţii concrete care se reduc însă la problema de mai sus.

Sarcina de lucru 3


≥

−=−

≤−

α+≥+

+

0x,x

2x3x

2xx2

1xx

x32x min

21

21

21

21

21



Problema de transport cu cerere excedentară

==≥

=≤

==

∑

∑

∑∑

=

=

= =

n,1j ,m,1i ,0x

n,1j ,bx

m,1i ,ax

xc min

ij

j

m

1i

ij

i

n

1j

ij

m

1i

n

1j

ijij

unde ∑∑==

≤n

1jj

m

1ii ba , ai,bj≥0.

Prin introducerea variabilelor ecart se poate aduce problema la forma standard. Valorile variabilelor ecart vor fi interpretate ca diferenţă între cantitatea cerută de beneficiar şi cea trimisă efectiv. Considerând un depozit fictiv cu disponibil

de resurse: am+1= ∑∑==

−m

1ii

n

1jj ab obţinem condiţia suplimentară:

1m

n

1j

j,1m ax +

=

+ =∑ . Costurile asociate transporturilor fictive vor fi interpretate

după caz fie ca penalităţi stabilite prin contracte cu beneficiarii pentru neonorarea cererilor fie vor fi luate nule în situaţia în care nu există astfel de contracte.

Problema de transport cu ofertă excedentară

==≥

==

=≤

∑

∑

∑∑

=

=

= =

n,1j ,m,1i ,0x

n,1j ,bx

m,1i ,ax

xc min

ij

j

m

1i

ij

i

n

1j

ij

m

1i

n

1j

ijij

unde ∑∑==

≥n

1jj

m

1ii ba , ai,bj≥0.

Prin introducerea variabilelor ecart se poate aduce problema la forma standard. Valorile variabilelor ecart vor fi interpretate ca diferenţă între cantitatea oferită de furnizor şi cea trimisă efectiv. Considerând un beneficiar

fictiv cu cerere de resurse: bn+1= ∑∑==

−n

1jj

m

1ii ba obţinem condiţia suplimentară:

1n

m

1i

1n,i bx +

=

+ =∑ . Costurile asociate transporturilor fictive vor fi interpretate

după caz fie ca fiind costuri de stocare fie vor fi luate nule.



Algoritmul de transport

1) Se construieşte tabelul:

c11 c12 ... c1n a1

c21 c22 ... c2n a2

... ... ... ... ...

cm1 cm2 ... cmn am

b1 b2 ... bn

Într-un tabel vom numi celulă o pereche de numere (i,j) aflată la intersecţia liniei i cu coloana j din tabel şi ciclu o secvenţă ordonată de celule de forma: (i1,j1), (i1,j2), (i2,j2), (i2,j3),...,(ik,jk), (ik,j1).

2) Se obţine o soluţie iniţială de bază astfel:

2.1) se dă unei variabile de bază oarecare xij valoarea x’ij=min{ai,bj};

2.2) se înlocuiesc ai şi bj prin ai-x’ij,respectiv bj-x’ij şi se suprimă linia i dacă x’ij=ai sau coloana j dacă x’ij=bj (în situaţia în care ai=bj alegându-se una dintre variante);

2.3) în tabelul simplificat astfel se repetă operaţiile anterioare până când se determină soluţia de bază.

2.4) alegerea lui xij se poate face în mai multe moduri:

2.4.1) metoda colţului de Nord-Vest (G.M.Dantzig): alegerea se face în celula din prima linie şi coloană a tabelului redus;

2.4.2) metoda costului minim (H.S.Houthakker): alegerea se face din celula în care este cea mai mică valoare cij.

3) Dacă notăm cu I mulţimea celulelor (i,j) corespunzătoare variabilelor de

bază, se rezolvă sistemul: ui+vj=cij, (i,j)∈I prin alegerea arbitrară a unei valori iniţiale pentru una din variabilele ui sau vj. Soluţiile ui' şi vj' se scriu

pe marginea tabelului şi se calculează expresiile dij=ui'+vj'-cij pentru (i,j)∉I. Avem două situaţii:

3.1) dacă dij≤0 pentru orice (i,j)∉I rezultă că soluţia (xij) este optimă;

3.2) dacă ∃(i,j)∈I astfel încât dij>0 se calculează dab= { }ijI)j,i(

dmax∉

şi se

determină ciclul format de celula (a,b) cu alte celule ce corespund variabilelor bazice.

4) Se stabileşte o orientare de parcurs în ciclu şi se marchează celulele ce ocupă un rang par (celula (a,b) având numărul 1). Fie xcd variabila şi x’cd valoarea cea mai mică dintre celulele marcate.

5) Se scade această valoare din valorile variabilelor aflate în celule marcate şi se adună la celulele din ciclu ce au rămas nemarcate.



6) Noua soluţie de bază este formată din variabila xab=x’cd şi vechile variabile bazice din care se va exclude xcd.

7) Se repetă operaţiunile anterioare până când toate cantităţile dij devin nepozitive în care caz se obţine soluţia optimă.

e) Exemplu:

Să se rezolve problema de transport căreia îi corespunde tabelul de mai jos:

8 3 5 2 10

4 1 6 7 15

1 9 4 3 25

5 10 20 15

Soluţie Vom căuta pentru început o soluţie de bază prin metoda colţului de

NV. Fie deci x11=min{10,5}=5. După eliminarea primei coloane şi înlocuirea lui a1 cu 10-5 obţinem tabelul redus:

8 3 5 2 5

4 1 6 7 15

1 9 4 3 25

0 10 20 15

Avem aici x12=min{5,10}=5 deci:

8 3 5 2 0

4 1 6 7 15

1 9 4 3 25

0 5 20 15

Mai departe x22=min{5,15}=5 şi

8 3 5 2 0

4 1 6 7 10

1 9 4 3 25

0 0 20 15

Avem acum x23=min{10,20}=10

8 3 5 2 0

4 1 6 7 0



1 9 4 3 25

0 0 10 15

x33=min{10,25}=10

8 3 5 2 0

4 1 6 7 0

1 9 4 3 15

0 0 0 15

x34=min{15,15}=15

8 3 5 2 0

4 1 6 7 0

1 9 4 3 0

0 0 0 0

deci am obţinut o soluţie de bază. Vom scrie soluţia în tabel şi acesta va arăta astfel:

v1 v2 v3 v4

u1 8

5

3

5

5 2 10

u2 4 1

5

6

10

7 15

u3 1 9 4

10

3

15

25

5 10 20 15

Rezolvăm sistemul:

=+

=+

=+

=+

=+

=+

3vu

4vu

6vu

1vu

3vu

8vu

43

33

32

22

21

11



de unde cu soluţia iniţială u1=0 obţinem v1=8, v2=3, u2=-2, v3=8, u3=-4, v4=7. Scriem acum în colţul din stânga sus al celulelor nebazice cantităţile dij=ui+vj-cij şi obţinem tabelul:

8 3 8 7

0 8

5

3

5

5

3

2

5

10

-2 4

2

1

5

6

10

7

-2

15

-4 1

3

9

-10

4

10

3

15

25

5 10 20 15

Cantitatea d14=5 este cea mai mare dintre valorile pozitive ale lui dij. Ciclul format plecând de la celula (1,4) este marcat în tabel cu săgeţi.

Se observă din graful prezentat în figură modul de determinare a ciclului: (1,4)-(3,4)-(3,3)-(2,3)-(2,2)-(1,2)-(1,4). Celulele scrise îngroşat sunt cele de ordin par (în practică celulele se marchează cu un asterisc). Variabila de valoare minimă este x12=5. Obţinem acum tabelul:

v1 v2 v3 v4

u1 8

5

3 5 2

5

10

u2 4 1

10

6

5

7 15

u3 1 9 4

15

3

10

25

5 10 20 15



Rezolvăm sistemul:

=+

=+

=+

=+

=+

=+

3vu

4vu

6vu

1vu

2vu

8vu

43

33

32

22

41

11

de unde cu soluţia iniţială u1=0 obţinem v1=8, v4=2, u3=1, v3=3, u2=3, v2=-2. Avem acum:

8 -2 3 2

0 8

5

3

-5

5

-2

2

5

10

3 4

7

1

10

6

5

7

-2

15

1 1

8

9

-10

4

15

3

10

25

5 10 20 15

Valoarea 8 este maximul cantităţilor dij iar ciclul este marcat pe tabel. Valoarea minimă a lui xij din celulele îngroşate este 5. Obţinem deci tabelul:

v1 v2 v3 v4

u1 8 3 5 2

10

10

u2 4 1

10

6

5

7 15

u3 1

5

9 4

15

3

5

25

5 10 20 15

Rezolvăm sistemul:



=+

=+

=+

=+

=+

=+

3vu

4vu

1vu

6vu

1vu

2vu

43

33

13

32

22

41



de unde cu soluţia iniţială u1=0 obţinem v4=2, u3=1, v3=3, u2=3, v2=-2, v1=0. Avem în final:

0 2 3 2

0 8

-8

3

-5

5

-2

2

10

10

3 4

-1

1

10

6

5

7

-2

15

1 1

5

9

-10

4

15

3

5

25

5 10 20 15

Cum toate cantităţile dij sunt negative rezultă că am obţinut soluţia optimă a problemei şi anume x14=10, x22=10, x23=5, x31=5, x33=15, x34=5 celelalte fiind nule iar valoarea minimă a cheltuielilor de transport este

10⋅2+10⋅1+5⋅6+5⋅1+15⋅4+ 5⋅3=140.


Rezumat

Problemele de programare liniară apar în procesele de modelare matematică. Agoritmul Simplex oferă o cale relativ rapidă de rezolvare a acestora, spre deosebire de situaţia determinării extremelor funcţiilor ce poate conduce la rezolvarea unui sistem de ecuaţii neliniare.

Algoritmul simplex dual apare, de regulă, în situaţia reoptimizării şi/sau parametrizării unei probleme de programare liniară, conducând la obţinerea, de la o soluţie preexistentă, a soluţiei problemei transformate.

Problema de transport este deosebit de utilă în situaţia alocării unor rute de transport în situaţia în care cheltuielile de transport sunt suportate de către o singură firmă.



I. Să se rezolve problema de programare liniară:

≥

=++

=+−+−

=++−

+

0x,x,x,x

6x2x4x

2xxx5x

3xxxx2

x xmin

4321

421

4321

4321

31


Problema iniţială nu are soluţie – 10 puncte.


Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994), Algebră liniară, geometrie analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale, Bucureşti, Editura All




5. MATEMATICI FINANCIARE

Dobânzi

Operaţiuni de scont

Plăţi eşalonate (rente)


Rezumat


Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare




• să aplici noţiunile de dobândă simplă şi compusă;

• să calculezi scadenţe și operaţiuni de scont;

• să detaliezi ratele de anuităţi și împrumuturi.


Cătălin Angelo Ioan Matematici Financiare


5.1. Dobânzi

Definiţii

Dobânda este noţiunea de bază cu care se operează în calculele financiare. Ea reprezintă un surplus monetar care se adaugă unei sume plasate sau împrumutate.

Dobânda unitară reprezintă dobânda furnizată de 1 u.m. pe timp de un an şi va fi notată convenţional cu i.

Dobânda procentuală reprezintă dobânda unitară pentru 100 u.m. şi vom conveni să o notăm cu d.

Avem deci:

d=100⋅i

Definiţie

Dobânda simplă reprezintă dobânda calculată asupra aceleiaşi sume de bani pe toată durata împrumutului.

Fie S suma depusă sau împrumutată şi t numărul de ani de împrumut. Dacă D este dobânda simplă, avem:

D=S100

dt=

100

Sdt=Sit

Uneori se practică împrumuturi sau depuneri pe perioade mai mici de un an.

Fie deci n numărul de părţi egale în care se împarte un an şi k numărul de părţi pentru care se calculează dobânda. Avem:

D=n100

Sdk=

n

Sik

Suma totală la sfârşitul perioadei de t ani este:

St=S+D=S+100

Sdt=S

+

100

dt1 =S(1+it)

Reciproc, pentru a obţine suma St după t ani va trebui plasată la începutul perioadei de depunere suma:

S=

100

dt1

St

+

=it1

St

+

Fie acum S1,...,Sn sume plasate pe termenele t1,...,tn cu aceeaşi dobândă d. Problema care se pune este de a înlocui aceste sume şi durate printr-o sumă unică S şi o durată unică t astfel încât suma dobânzilor să fie aceeaşi cu cea furnizată de suma S pe durata t. Avem: S1it1+...+Snitn=Sit de unde:



t=S

tSn

1iii∑

=

numită scadenţă comună (dacă se cunoaşte suma depusă) şi:

t=

∑

∑

=

=

n

1ii

n

1iii

S

tS

numită scadenţă medie dacă S=∑=

n

1iiS .

Să considerăm acum sumele S1,...,Sn depuse pe duratele t1,...,tn cu dobânzile d1,...,dn. Ne propunem să determinăm dobânda medie d pentru care aceste sume plasate pe aceleaşi durate să furnizeze aceeaşi dobândă totală. Avem:

∑∑==

=n

1i

iin

1i

iii

100

dtS

100

tdS

de unde:

d=

∑

∑

=

=

n

1iii

n

1iiii

tS

tdS

numită dobânda medie.

Definiţie

Dobânda compusă este dobânda obţinută în urma adăugării dobânzii simple la suma plasată iniţial în scopul producerii unei noi dobânzi.

Dacă i este dobânda unitară, vom numi:

u=1+i - factorul de fructificare

Avem astfel: S1=S+Si=S(1+i), S2=S1+S1i=S1(1+i)= S(1+i)2. Să presupunem că după n ani avem: Sn=S(1+i)n. Avem: Sn+1=Sn+Sni=Sn(1+i)= S(1+i)n+1 deci prin inducţie matematică rezultă:

Sn=S(1+i)n=Sun ∀n≥0

Dobânda compusă este:

D=Sn-S=S[(1+i)n-1]=S(un-1)

Să studiem acum cazul în care n∉N. În această situaţie se poate proceda în două moduri:

1) Se foloseşte formula generală a dobânzii compuse pentru numărul întreg de perioade de timp şi se aplică formula dobânzii simple pentru partea fracţionară, soluţie numită soluţia raţională.



2) Se foloseşte formula generală a dobânzii compuse atât pentru partea întreagă cât şi pentru partea fracţionară, soluţie numită soluţia comercială.

Să studiem acum fiecare din cele două cazuri:

1) Fie t=n+m

k durata de depunere în care n reprezintă numărul de ani, m-

numărul de perioade de timp egale ale unui an şi k numărul de perioade pe

care s-a plasat împrumutul. Avem după n ani: Sn=S(1+i)n iar în restul de m

k

ani avem dobânda simplă la Sn: D=Sni m

k. Obţinem deci:

St=Sn+D=S(1+i)n+S(1+i)nim

k=S(1+i)n(1+i

m

k)

2) În acest caz funcţia S:[0,∞)→R, S(t)=S(1+i)t ∀t∈[0,∞) fiind continuă pe tot domeniul de definiţie, avem:

St=S m

kn

)i1(+

+ =S m

kn

u+

=Sun m

k

u

În problema dobânzilor compuse, de o importanţă foarte mare este perioada la care se calculează procentul de dobândă. Fie deci dn procentul de dobândă pentru o perioadă de n unităţi de timp şi dm procentul de dobândă pentru o perioadă de m unităţi de timp. Dobânzile se numesc proporţionale dacă ele produc acelaşi efect în cazul dobânzilor simple. Avem deci pentru o perioadă de mn unităţi de timp dnm dobânda produsă în primul caz şi dmn în cel de-al doilea. Prin urmare: dnm=dmn de unde:

m

n

d

d

m

n =

Observaţie

Dobânda corespunzătoare unei perioade de o lună se numeşte dobândă mensuală, pentru o perioadă de trei luni: dobândă trimestrială, pentru şase luni: dobândă semestrială iar pentru o perioadă de un an: dobândă anuală.

Astfel, o dobândă anuală de 100% este proporţională cu una semestrială de 50% şi cu una trimestrială de 25%.

În cazul dobânzilor compuse, dobânzile proporţionale nu produc acelaşi efect. Astfel, dacă d1 este dobânda mensuală iar d12 este dobânda anuală avem după

un an: 12

1d

100

d1SS

1

+= ,

+=

100

d1SS 12

d12. Cum

12

1

d

d

12

1 = rezultă d12=12d1

de unde:

12

11d

100

d1S

100

d121SS

12

+≤

+=



unde am folosit inegalitatea lui Bernoulli: (1+a)x≥1+xa ∀x≥1 ∀a>-1.

În general, fie dn procentul de dobândă pentru o perioadă de n unităţi de timp şi

dm procentul de dobândă pentru o perioadă de m unităţi de timp. Dacă [m,n]

este cel mai mic multiplu comun al numerelor m şi n, avem după [ ]

n

n,m

perioade Sn=

[ ]

n

n,m

n

100

d1S

+ iar după

[ ]m

n,m perioade de timp:Sm=

[ ]

m

n,m

m

100

d1S

+ . Deoarece

m

n

d

d

m

n = rezultă dm=n

md n . Obţinem deci Sm=

[ ]

m

n,m

n

n

m

100

d1S

+ . Fie

n

m=α. Atunci:

Sm=

[ ]

m

n

n

n,m

n

100

d1S

α+ =

[ ]

α

α+

1

n

n,m

n

100

d1S . Dacă acum m≥n rezultă α≥1 deci,

cu inegalitatea Bernoulli: Snα=

[ ]α

+

n

n,m

n

100

d1S ≥

[ ]

n

n,m

n

100

d1S

α+ =Sm

α. De aici:

Sn≥Sm. Am obţinut deci următorul rezultat:

Propoziţie

Două dobânzi proporţionale produc efecte inverse în raport cu numărul de luni la care se calculează.

Definiţie

Două dobânzi se numesc echivalente dacă ele conduc la aceeaşi sumă finală în cazul dobânzii compuse.

Astfel în cazul general de mai sus, avem:

[ ]

n

n,m

n

100

d1S

+ =

[ ]

m

n,m

m

100

d1S

+ de

unde:

m

n

100

d1

+ =

n

m

100

d1

+

sau altfel:

1100

d1

100

dn

m

nm −

+=

În cazul particular n=1 şi m=12 (cu convenţia xx1= ∀x∈R) rezultă:

1100

d1

100

d12

112 −

+=



Fie acum o sumă S plasată cu dobânda d pe an în două perioade egale. După

primul semestru, vom avea suma S1=S

+

200

d1 , iar după a doua: S2=S

2

200

d1

+ . Dobânda rezultată va fi deci: D=

S

SS2 −=

2

200

d1

+ -1=

2

2

200

d

200

d2 + de unde:

d’=100D=d+400

d2

Astfel, pentru d=50% obţinem: d’=56,25%.

Definiţie

Dobânda d se numeşte dobândă nominală iar d’ se numeşte dobândă reală sau efectivă.

Fie deci acum n perioade de timp în care împărţim un an şi d: dobânda

nominală iar d’: dobânda efectivă. Avem: S1=Sn

n100

d1

+ =S

+

100

'd1 de

unde:

d’=100

−

+ 1

n100

d1

n

care reprezintă dobânda efectivă în funcţie de dobânda nominală.

De asemenea, din aceeaşi formulă, avem:

d=100n

−+ 1

100

'd1n

care reprezintă dobânda nominală în funcţie de cea efectivă.

Exemplu:

Fie o dobândă trimestrială de 15%. Să se calculeze dobânda echivalentă mensuală, cea semestrială şi cea anuală.

Soluţie Pentru dobânda mensuală avem n=3 şi m=1. Din formula:

1100

d1

100

dn

m

nm −

+= ⇒ 1

100

d1

100

d3 31 −

+= =4,77% Pentru dobânda

semestrială avem n=3 şi m=6. Rezultă deci 1100

d1

100

d3

6

36 −

+= =32,25%.



Pentru dobânda anuală avem n=3 şi m=12. Rezultă deci

1100

d1

100

d3

12

312 −

+= =74,90%.

5.2. Operațiuni de scont

Definiţie

Scontul reprezintă operaţiunea de cumpărare de către o bancă comercială a unei poliţe înainte de termenul limită de scadenţă a acesteia în schimbul unui comision. De asemenea, scontul mai reprezintă şi diminuarea unor datorii atunci când acestea se achită în avans (de exemplu atunci când în cazul unui credit, debitorul achită o rată mai mare decât cea prevăzută).

Scontul simplu

Fie suma S0 împrumutată cu dobânda d pe o perioadă de n ani (luni) de la creditorul C1. La momentul n1<n, creditorul C1 doreşte încasarea sumei Sf pe care trebuia să o primească la sfârşitul celor n ani adică Sf=S0(1+nd). În acest caz, el se adresează băncii C2 care îi va rambursa suma din care va scădea o taxă T. Aceasta, va prelua poliţa şi îi va da creditorului C1 suma Sf-T. La momentul de timp n1 poliţa iniţială are o valoare S1 – numită valoare finală la scontare, iar suma de plecare după reţinerea comisionului - Ssc se va numi valoare scontată. Diferenţa S=Sf-Ssc se numeşte taxă de scont (sau simplu, scont).

Să presupunem că banca C2 aplică o dobândă simplă valorii scontate. Fie aceasta „s”. În perioada de scontare, C2 va obţine suma:

Sf=Ssc(1+s(n-n1))

de unde rezultă că scontul este: Ss=Sf-Ssc=Sf-)nn(s1

S

1

f

−+=

)nn(s1

)nn(sS

1

1f

−+

−=

Sarcina de lucru 1

Fie o dobândă trimestrială de 15%. Să se calculeze dobânda reală corespunzătoare dobânzii nominale date.



)nn(s1

)nn(s)nd1(S

1

10

−+

−+ - numit scont simplu (sau scont simplu raţional).

Relaţia se mai poate scrie şi sub forma:

Ss=( )

21

211f

)nn(s1

)nn(s1)nn(sS

−−

−−−=

21

2

21

2f1f

)nn(s1

)nn(sS)nn(sS

−−

−−− şi cum s2 este foarte

mic se poate considera că s2(n-n1)2≈0 de unde: Sc= )nn(sS 1f − =

)nn(s)nd1(S 10 −+ - numit scont simplu comercial. Dacă vom calcula

diferenţa Sc-Ss= )nn(sS 1f − -)nn(s1

)nn(sS

1

1f

−+

−=

)nn(s1

)nn(sS)nn(sS)nn(sS

1

1f2

12

f1f

−+

−−−+−=

)nn(s1

)nn(sS

1

21

2f

−+

−>0 observăm că

scontul comercial este mai mare decât cel simplu, avantajând, în mod evident, creditorul C2.

Din relaţiile de mai sus, rezultă imediat că valoarea scontată este:

• Ssc=Sf-Ss=Sf-)nn(s1

)nn(sS

1

1f

−+

−=

)nn(s1

S

1

f

−+=

)nn(s1

)nd1(S

1

0

−+

+ în cazul scontului

simplu şi

• Ssc=Sf-Ss=Sf- )nn(sS 1f − = ( ))nn(s1S 1f −− = ( ))nn(s1)nd1(S 10 −−+ în

cazul scontului comercial.

Se observă că în cazul scontului comercial, durata de scontare n-n1 trebuie să

satisfacă condiţia 1-s(n-n1)>0 adică: n-n1<s

1 altfel obţinând o valoare

nepozitivă pentru valoarea scontată (imposibil din punct de vedere practic).

Revenind acum, după n1 ani avem S1=S0(1+n1d) şi Sf=S0(1+nd).

Din formulele de mai sus deducem:

• Ssc=)nn(s1

S

1

f

−+=

)nn(s1

)nd1(S

1

0

−+

+=

( ))nn(s1)dn1(

)nd1(S

11

1

−++


simplu şi

• Ssc= ( ))nn(s1S 1f −− = ( ))nn(s1)nd1(S 10 −−+ =( )

dn1

)nn(s1)nd1(S

1

11

+

−−+ în

cazul scontului comercial

Prin urmare avem:



• Ssc-S1=( ))nn(s1)dn1(

)nd1(S

11

1

−++

+-S1=

( )

( ))nn(s1)dn1(

)nn(s1)dn1()nd1(S

11

111

−++

−++−+=

( ))nn(s1)dn1(

)dsnsd)(nn(S

11

111

−++

−−−

în cazul scontului simplu şi

• Ssc-S1=( )

dn1

)nn(s1)nd1(S

1

11

+

−−+-S1=

( )

dn1

dn1)nn(s1)nd1(S

1

111

+

−−−−+=

dn1

)ndssd)(nn(S

1

11

+

−−− în cazul scontului comercial.

Pentru a avea deci Ssc<S1 va trebui ca:

• s>dn1

d

1+ în cazul scontului simplu şi

• s>nd1

d

+ în cazul scontului comercial.

Scontul compus

Fie suma S0 împrumutată cu dobânda d pe o perioadă de n ani (luni) de la creditorul C1. La momentul n1<n, creditorul C1 doreşte încasarea sumei Sf pe care trebuia să o primească la sfârşitul celor n ani adică Sf=S0(1+d)n. În acest caz, el se adresează băncii C2 care îi va rambursa suma din care va scădea o taxă T. Aceasta, va prelua poliţa şi îi va da creditorului C1 suma Sf-T. La momentul de timp n1 poliţa iniţială are o valoare S1 –valoarea finală la scontare, iar suma de plecare după reţinerea comisionului - Ssc este valoarea scontată. Notăm, de asemenea, S=Sf-Ssc - taxa de scont.

Să presupunem acum că banca C2 aplică o dobândă compusă valorii scontate. Fie aceasta „s”. În perioada de scontare, C2 va obţine suma

Sf=Ssc ( ) 1nns1 −+

de unde rezultă că scontul este: Ss=Sf-Ssc=Sf-( ) 1nn

f

s1

S−

+=

( )( )( ) 1

1

nn

nnf

s1

1s1S−

−

+

−+=

( )( )( ) 1

1

nn

nnn0

s1

1s1)d1(S−

−

+

−++. Dacă notăm u=

s1

1

+ - numit factor de scont,

obţinem: Sr= ( )1nnf u1S −

− = ( )1nnn0 u1)d1(S −

−+ - numit scont compus (sau

scont compus raţional).

Considerând dezvoltarea binomială:

( ) ...s2

)1m(mms1s1 2m

+−

++=+ rezultă că relaţia de mai sus devine (după

neglijarea puterilor≥2):



Sc=( )( )( ) 1

1

nn

nnf

s1

1s1S−

−

+

−+=

( )

+−

− 1nnfs1

11S =

+−−−

+−+

−

...s2

)1nn)(nn(s)nn(1

11S

2111

f =

−+−

s)nn(1

11S

1f =

s)nn(1

s)nn(S

1

1f

−+

−=

s)nn(1

s)nn()d1(S

1

1n

0−+

−+ - numit scont compus comercial.

Se observă că scontul compus comercial are acceaşi valoare ca şi scontul simplu raţional.

Din relaţiile de mai sus, rezultă imediat că valoarea scontată este:

• Ssc=Sf-Sr=Sf- ( )1nnf u1S −

− = 1nnf uS − = 1nnn

0 u)d1(S −+ în cazul scontului

compus raţional şi

• Ssc=Sf-Sc=Sf-)nn(s1

)nn(sS

1

1f

−+

−=

)nn(s1

S

1

f

−+=

)nn(s1

)d1(S

1

n0

−+


compus comercial.

Revenind acum, după n1 ani avem S1=S0 ( ) 1nd1+ şi Sf=S0(1+d)n.

Din formulele de mai sus deducem:

• Ssc= 1nnn0 u)d1(S −

+ = 11 nnnn1 u)d1(S −−

+ în cazul scontului raţional şi

• Ssc=)nn(s1

)d1(S

1

n0

−+

+=

)nn(s1

)d1(S

1

nn1

1

−+

+−

în cazul scontului comercial

Exemplu:

O poliţă cu valoarea iniţială de 1000 euro şi dobândă anuală simplă de 12% este scadentă peste 18 luni. După un an de la emitere, posesorul poliţei o prezintă pe aceasta la scontare simplă cu dobânda de 15%. Să se determine

i) valoarea finală la scontare;

ii) valoarea scontată în cazurile scontului simplu şi al celui comercial;

iii) valoarea taxei de scont în cazurile scontului simplu şi al celui comercial.

Soluţie i) Avem S1=1000⋅

⋅+

12

12,0121 =1120 euro.



ii) În cazul scontului simplu, avem: Ssc=

12

15,061

12

12,0181

1000⋅+

⋅+

⋅ =1000⋅1,098=

1098 euro, iar în cazul celui comercial: Ssc=

⋅−⋅+⋅

12

15,061)

12

12,0181(1000

=1000⋅1,092=1092 euro.

iii) În cazul scontului simplu, avem: Ss=6

12

15,01

612

15,0

12

12,0181

1000⋅+

⋅⋅

⋅+

⋅ =

1000⋅0,082=82 euro,iar în cazul celui comercial:

Sc= 612

15,0

12

12,01811000 ⋅⋅

⋅+⋅ =1000⋅0,088=88 euro.

5.3. Plăți eșalonate (rente)

Definiţii

Prin plată eşalonată sau rentă se înţelege o sumă de bani plătită la intervale de timp egale. Dacă plata este anuală se numeşte anuitate, dacă este semestrială: semestrialitate, trimestrială: trimestrialitate iar lunară: mensualitate.

Rentele se pot face fie în vederea constituirii unor sume numite plăţi de plasament sau plăţi de fructificare, fie pentru rambursarea unor datorii către

Sarcina de lucru 2

O poliţă cu valoarea iniţială de 1000 euro şi dobândă compusă de 1% pe lună este scadentă peste 18 luni. După un an de la emitere, posesorul poliţei o prezintă pe aceasta la scontare compusă cu dobânda de 15%. Să se determine

i) valoarea finală la scontare; ii) valoarea scontată în cazurile scontului raţional şi al celui comercial.



diverşi creditori în care caz se numesc plăţi de rambursare sau de amortizare.

Plăţile efectuate la începutul perioadei se numesc anticipate iar cele de la sfârşitul perioadei posticipate.

Plăţile mai pot fi temporare atunci când numărul lor este finit, perpetue dacă numărul acestora este infinit şi viagere dacă numărul acestora este finit dar limitat de viaţa persoanei.

De asemenea, plăţile mai pot fi constante sau variabile.

Mensualități. Anuități

Toate rezultatele prezentate în continuare sunt valabile atât pentru mensualităţi, cât şi pentru anuităţi (cu simpla înlocuire a termenului de lună cu cel de an şi a dobânzilor corespunzătoare).

I. Valoarea finală a unui şir de mensualităţi temporare

Fie o perioadă de n luni, dobânzile unitare i1,i2,...,in corespunzătoare lunilor 1,2,...,n şi A1,A2,...,An mensualităţile acestor perioade. Fie, de asemenea, S

valoarea finală a acestui şir de mensualităţi şi ε∈[0,1] fracţiunea din an la care se plăteşte mensualitatea. Vom nota cu uk=1+ik – factorul de fructificare

corespunzător dobânzii ik, k= n,1 .

Avem:

(1) S=A1u11-εu2u3...un+A2u2

1-εu3...un+...+Apup1-εup+1...un+...+Anun

1-ε

În condiţiile mensualităţilor constante, avem: A1=A2=...=An=A de unde:

(2) S=A(u11-εu2u3...un+u2

1-εu3...un+...+up1-εup+1...un+...+un

1-ε)

Dacă dobânzile şi mensualităţile sunt constante, avem şi u1=u2=...=un=u de unde:

(3) S=A(un-ε+un-ε-1+...+un-ε-p+...+u1-ε)=Au1-ε

i

1u n−

Pentru mensualităţi anticipate, avem ε=0 de unde:

(4) S=Aui

1u n−

iar pentru posticipate, ε=1:

(5) S=Ai

1u n−

A 1

i 1 i 2

ε0 1 2

ε

A 2. . . . . .

i p i p + 1

p - 1 p + 1pε ε

A p A p + 1

i n

nn - 1ε

A n



Dacă dobânzile au o tendinţă de variaţie de r% lunar (r>0 – creştere, r<0 –

descreştere), atunci avem up+1=up⋅(1+100

r), p= 1n,0 − de unde:

(6) up=u1⋅(1+100

r)p-1, p= n,1

Să notăm pentru simplificare 1+100

r=s.

Din (1) şi (6) rezultă:

S= ε−−−

=

−ε−−+∑ 11n

1n

1n

1p

1n1

p1

11p1p )su(Asu...su)su(A =

)1)(1n(11n

1n

1p

)1n(...p)1)(1p(1pn1p suAsuA ε−−ε−

−

=

−+++ε−−ε−+−+∑ =

∑=

ε+−−−

−−ε−

− n

1p

2

)22p)(1p(

)1p(1p

n1

2

n)1n(

suAus = ∑=

ε+−

ε−+−ε+

− n

1p2

)23p(p

p1

p1n1

12

n)1n(

su

Aus =

∑=

ε+−

ε−+ε+

+− n

1p2

)23p(p

p1

p1n1

2

)1n)(2n(

su

Aus .

Avem deci:

(7) S= ∑=

ε+−

ε−+ε+

+− n

1p2

)23p(p

p1

p1n1

2

)1n)(2n(

su

Aus

Dacă mensualităţile sunt constante, avem: A1=A2=...=An=A de unde:

(8) S= ∑=

ε+−

ε−+ε+

+− n

1p2

)23p(p

p1

1n1

2

)1n)(2n(

su

1uAs


(9) S= ∑=

−

+

+− n

1p2

)3p(p

p1

1n1

2

)1n)(2n(

su

1uAs


(10) S= ∑=

−

− n

1p2

)1p(pp1

n1

2

n)1n(

su

1uAs

În cazul constituirii depozitului la k luni de la data formulării problemei, în toate formulele mai sus-menţionate se consideră în loc de n valoarea n-k.

Dacă vom considera r=0 avem s=1 şi formulele (9) şi (10) devin (4), respectiv (5).



II. Valoarea actuală a unui şir de mensualităţi temporare

Ne interesează acum problema inversă. Pentru constituirea unui şir de mensualităţi ce urmează a fi încasate după o perioadă de k luni de la constituire timp de n luni, care este suma ce trebuie depusă la momentul iniţial ?

Fie vk=ku

1 - factorul de actualizare corespunzător lui uk, k= n,1 .

Avem: 1-vk=1-ku

1=

k

k

u

1u −=

k

k

u

i=ivk. Pentru constituirea sumei S avem

S=Sk+1+Sk+2+...+ Sn unde Sp reprezintă depozitul iniţial constituit pentru

retragerea mensualităţii Ap. Suma iniţială Sp produce până la momentul p+ε o

sumă totală Ap=Spu1u2...up-1upε de unde: Sp= ε

− p1p21

p

uu...uu

A=Apv1v2...vp-1vp

ε.

Obţinem deci:

(11) S= ∑+=

ε

−

n

1kpp1p21p vv...vvA

În condiţiile mensualităţilor constante, avem: Ak+1=...=An=A de unde:

(12) S=A ∑+=

ε

−

n

1kpp1p21 vv...vv

Dacă dobânzile şi mensualităţile sunt constante, avem şi u1=u2=...=un=u de unde:

(13) S=i

v1Av

1v

1vAvvA

kn1k

knk

n

1kp

1p−

−ε+

−

ε+

+=

ε+− −=

−

−=∑


(14) S=i

v1Av

kn1k

−

− −


(15) S=i

v1Av

knk

−−

În cazul plăţilor imediate, avem k=0 şi este normal ca să presupunem că plata

este posticipată (deci ε=1) şi suma ce trebuie constituită este:

(16) S=i

v1A

n−

Dacă plata mensualităţilor va fi perpetuă, obţinem din formulele (15) şi (16)

trecând la limită pentru n→∞:



(15’) S=i

Avk

respectiv:

(16’) S=i

A

Dacă dobânzile au o tendinţă de variaţie de r% lunar (r>0 – creştere, r<0 –

descreştere), atunci avem up=u1⋅sp-1, p= n,1 de unde: vp=v1s

1-p. Din formula

(11) rezultă:

(17) S= ∑∑+=

ε+−−

ε+−

+=

ε−−−=

n

1kp2

)22p)(1p(

1p1

p

n

1kp

p11

p21

111p

s

vA)sv(sv...svvA

Dacă mensualităţile sunt constante, avem: Ak+1=...=An=A de unde:

(18) S= ∑+=

ε+−−

ε+−n

1kp2

)22p)(1p(

1p1

s

vA


(19) S= ∑+=

−−

−n

1kp2

)2p)(1p(

1p1

s

vA


(20) S= ∑+=

−

n

1kp2

p)1p(

p1

s

vA

Împrumuturi

Definiţie

Împrumutul reprezintă o sumă de bani primită în schimbul rambursării ei prin anuităţi (mensualităţi) constante formate din rata curentă (constantă sau nu) numită amortisment şi dobânda asupra restului de plată.

Fie deci S suma împrumutată, S1,...,Sn anuităţile succesive, A1,...,An amortismentele succesive, R0,...,Rn resturile de plată după fiecare rată, i1,...,in dobânzile unitare ale împrumutului (în condiţiile unei economii inflaţioniste, dobânzile pot varia chiar lunar) şi n numărul de ani (perioade de timp) pentru rambursare.

Pentru organizarea calculelor, vom întocmi un tabel de forma:

Momentul de timp

Anuitatea Suma rămasă de plată

0 - R0=S



1 S1=A1+R0i1 R1=R0-A1

2 S2=A2+R1i2 R2=R1-A2

... ... ...

k Sk=Ak+Rk-1ik Rk=Rk-1-Ak

k+1 Sk+1=Ak+1+Rkik+

1 Rk+1=Rk-Ak+1

... ... ...

n Sn=An+Rn-1in Rn=Rn-1-An=0

Avem în mod evident S=A1+...+An. De asemenea:

Sk+1-Sk=Ak+1-Ak+Rkik+1-Rk-1ik=Ak+1-Ak+Rk-1ik+1-Akik+1-Rk-1ik=

Ak+1-Ak(1+ik+1)+Rk-1(ik+1-ik)

Rk=Rk-1-Ak=Rk-2-(Ak-1+Ak)=...=S-(A1+...+Ak), k=1,...,n

Dacă amortismentele sunt constante: A1=...=An=n

S atunci: Rk=S-k

n

S= S

n

kn −

de unde:

Sk+1-Sk=n

S-

n

S(1+ik+1)+S

n

1kn +−(ik+1-ik)= S

n

i)1kn(i)kn( k1k +−−−+

Dacă dobânda este constantă i, avem: Sk+1-Sk=-Sn

i deci anuităţile formează o

progresie aritmetică descrescătoare cu raţia -Sn

i.

Dacă anuităţile sunt constante, avem S1=...=Sn de unde:

Ak+1=Ak(1+ik+1)-Rk-1(ik+1-ik)

Dacă dobânda este constantă i avem: Ak+1=Ak(1+i) de unde:

Ak=A1(1+i)k-1

deci amortismentele formează o progresie geometrică cu raţia 1+i.

În cazul anuităţilor constante avem:

[ ]

∑ ∑∑∑

∑ ∑

∑∑

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

−

=

−

=

−−−

=

−+−−++

=

−

−−++

=−−++==

n

2k

2k

1pp1kk

n

2k1kk

n

2kk1k1

n

2k1kk

2k

1ppk1k1

n

2k1kk2kk1k1

n

1kk

A)ii()ii(S)i1(AA

)ii(AS)i1(AA

)ii(R)i1(AAAS



Dacă dobânda este constantă “i” avem: S= ∑=

− ++n

2kk1k1 )i1(AA şi cum

An=A1(1+i)n-1 rezultă: S=A1i

1)i1( n−+

sau altfel: A1=S1)i1(

in

−+.

Suma totală de plată după p anuităţi este:

Stot=∑=

p

1kkS =∑

=

−+

p

1kk1kk )iRA( =∑

=

P

1kkA +∑

=

−

p

1kk1k iR =∑

=

P

1kkA +Si1+

∑ ∑=

−

=

−

p

2kk

1k

1rr iAS =S∑

=

p

1kki +

A1+∑ ∑=

−

=

−

p

2k

1k

1rkrk iAA .

Dacă amortismentele sunt egale, avem:

Stot=S∑=

p

1kki +

n

S+∑ ∑

=

−

=

−

p

2k

1k

1rki

n

S

n

S=S

+−+∑

=

p

1kki

n

1kn

n

p

Dacă dobânzile sunt constante şi egale cu i, avem:

Stot=S

+−+∑

=

p

1k

in

1kn

n

p=S

−+ ∑∑

−

==

pn

1k

n

1k

kkn

i

n

p=

S

+−−−

++

2

)1pn)(pn(

2

)1n(n

n

i

n

p=

n2

S[2p+i(2np-p2+p)].

La sfârşitul perioadei de plată avem (pentru p=n):

Sfinală=S

++

2

1ni1

Suma rămasă de plată după plata a p anuităţi se constituie ca diferenţă între suma totală de plată la sfârşitul perioadei şi cea totală după anuitatea p.

Exemplu:

O persoană împrumută de la o bancă suma de 9.000 lei pe o perioadă de 3 ani cu dobândă anuală de 50%. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, să se întocmească graficul de plată.

Soluţie Avem S=9.000, n=3, i=100

50=0,5. Graficul de plată este următorul:

Momentul de timp Anuitatea Suma rămasă de plată

0 - 9.000

1 7.500 6.000



2 6.000 3.000

3 4.500 0




I. O persoană depune la bancă suma de 1.000 lei cu dobândă compusă de 50% pe an. Ce sumă va avea persoana după 3 ani şi 7 luni în cazul în care se aplică pentru fracţiunea de an soluţia raţională ? Care este dobânda corespunzătoare întregii perioade?

Rezumat

Problemele de matematici financiare se regăsesc, de regulă, în actvitatea bancară sau în cea a caselor de asigurări, pensii etc.

Metodele de calcul al dobânzilor (simplă sau compusă) se întrepătrund în practica economică fiind adaptate sau adaptabile necesităţilor şi exigenţelor firmei.

Calculul anuităţilor (mensualităţilor) apare pregnant astăzi, fiind util oricărui cetăţean, nu numai economiştilor, pentru determinarea valorii finale a unui depozit depus regulat sau a determinării unei rate de rambursare periodică sau nu.

Modul de calcul al împrumuturilor este deosebit de util în orice societate ce practică un astfel de sistem de cumpărare.

Sarcina de lucru 3

O persoană împrumută de la o bancă suma de 18.000 lei pe o perioadă de 10 ani cu dobândă anuală de 60%. Datorită unei inflaţii galopante, în primele 4 luni dobânda creşte cu 110% lunar. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, lunare, să se întocmească graficul de plată pentru primele 4 luni.



II. O persoană doreşte să constituie un depozit de bani astfel încât după o perioadă de 20 ani să poată retrage timp nelimitat suma de 2000 lei anual. Dacă dobânda anuală este de 50% iar depunerea se face la începutul fiecărui an, care este suma pe care trebuie să o depună la acest moment?


I. Dobânda D=St-S= 3.359 lei.– 5 puncte. II. S= 1.04 lei – 5 puncte.


Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M. (1994). Algebră liniară, geometrie analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale. Bucureşti: Editura All.

Ioan C. A. (2004). Matematici aplicate în economie. Bucureşti: E.D.P.

Ioan C. A. (2006). Matematică – I. Galaţi: Ed. Sinteze.

Ion D.I., Niţă C., Radu N., Popescu D. (1981). Probleme de algebră. Bucureşti: E.D.P.

matematic Ă aplicat Ă În economie anul i, semestrul i

Documents