matematic a. bacalaureat nat˘ional. pro lul pedagogic · primul subiect subiectul i discut a...
TRANSCRIPT
Matematica. Bacalaureat National.Profilul Pedagogic
Valentin Bura
Primul subiect
Subiectul I discuta chestiuni legate de
- manipularea algebraica a unei expresii ce contine radacini patrate,ınmultiri si adunari,
- calculul (evaluarea) unei functii lineare,
- rezolvarea unei ecuatii ın multimea R a numerelor reale, prin aplicareaunei tehnici simple de rezolvare,
- calculul cu proportii, un rationament simplu ce implica derivarea uneiecuatii si rezolvarea acesteia,
- calculul in reper cartezian, ın care se rationeaza cu coordonate,
- rezolvarea triunghiului dreptunghic, ce presupune stapanirea unor for-mule simple.
4
Sinopsis
Aritmetica simpla. Calcul simbolic cu ınmultiri si adunari. Intelegereanotiunii de radacina patrata. Notiunea de patrat perfect, notiunea de numarprim. De exemplu
√20 =
√4× 5 = 2
√5, deci am ales sa exprimam 20 ca
20 = 4× 5, mai degraba decat 20 = 10× 2, care nu ar fi fost convenabil. Deasemenea, recunoastem ca 5 este numar prim, prin urmare nu are alti factori,prin urmare nu poate fi epxrimat ca alta ınmultire, asa ca expresia
√20 =√
4× 5 = 2√
5 a fost adusa la forma finala si nu mai poate fi simplificata.
Evaluarea unei functii. Pentru aceasta este necesara o ıntelegere de bazaa notiunii de functie. In prima instanta avem de aflat un numar simbolic ape care ıl aflam prin evaluarea functiei f(x) ın punctele x = 3 si x = 1, iarın a doua instanta, evaluam functia f(x) pentru x = a.
Rezolvarea unei ecuatii in multimea numerelor reale R. In prima fazaavem o ecuatie cu radicali, prin urmare este necesara eliminarea radicalilor,iar ın a doua faza obtinem o ecuatie de gradul doi ce se rezolva dupa metodastandard. Deci, avem o ecuatie de forma
√X = Y unde X, Y sunt doua
expresii simbolice mai complexe. Este necesara eliminarea radicalului dinpartea stanga a ecuatiei, prin ridicarea la patrat a ambelor parti ale ecuatiei,adica [
√X]2 = Y 2 ceea ce devine X = Y 2, o ecuatie de gradul doi pe care o
putem rezolva usor dupa formule.
Calcul simbolic cu proportii. O anumita magnitudine este redusa cu50% de doua ori, si rezulta o reducere totala pana la 25% din valoaea initiala.Rezulta ecuatia 1
4T = 100 pentru care trebuie sa calculam valoarea T .
Geometrie simpla. Desenarea unei figuri ın reper cartezian. Recunoastereacoordonatelor ın doua dimensiuni si deducerea unor relatii algebraice simpleın aceste coordonate.
Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Prin aceasta se ıntlege determi-narea magnitudinii unor laturi (segmente) necunoscute, avand ın vedere case cunosc magnitudinile altor laturi, sau unghiuri.
5
Manipulare algebraica. Factori. Numere prime. Radacinipatrate.
Aratati ca:
2√
3−√
20 +√
45−√
5 +√
4−√
12 = 2
Ce se cere
Se prezinta o expresie cu radicali, si se cere sa aratam ca aceasta expresieeste egala cu 2.
Strategie
Se exprima cantitatile de sub radicali ca produs de patrate perfecte.
Se scot factorii patrate perfecte de sub radicali.
Se simplifica expresia, si obtinem ceea ce trebuia demonstrat.
Rezolvare
2√
3−√
20+√
45−√
5+√
4−√
12 = 2√
3−√
4× 5+√
9× 5−√
5+2−√
4× 3 =
2√
3− 2√
5 + 3√
5−√
5 + 2− 2√
3 = 2√
3− 2√
3− 2√
5 + 3√
5−√
5 + 2 = 2
Concluzie
Am demonstrat ca expresia din partea dreapta a egalului este egala cu con-stanta 2.
Am folosit exprimarea ın factori patrate perfecte, extrageri de radacini patrate,si calcul algebraic.
6
Evaluarea unei functii lineare.
Se considera functia f(x) : R→ R definita astfel:
f(x) = x + 7
Calculati f(a) pentru a = f(3)− f(1).
Ce se cere
Se prezinta o functie lineara f(x) cu domeniu si codomeniu pe numerele reale,definita ca f(x) = x + 7.
Se cere evaluarea functiei f(x) ın punctul x = a, pentru a = f(3)− f(1).
Prin urmare, se cere de fapt evaluarea expresiei f(f(3)− f(1)).
Strategie
Evaluam f(3). Evaluam f(1).
Obtinem un rezultat numeric pentru a.
Evaluam f(a).
Rezolvare
f(3) = 3 + 7 = 10, si f(1) = 1 + 7 = 8.
In acelasi timp f(3)− f(1) = 10− 8 = 2.
Prin urmare, f(a) = 2, pentru a = f(3)− f(1) = (3 + 7)− (1 + 7) = 10− 8 = 2.
Concluzie
Am evaluat o functie f(x) = x + 7 ın punctele x1 = 3 si x2 = 1, am obtinutf(x1) = 10 si f(x2) = 8, apoi am evaluat din nou functia f(x) ın punctula = f(x1)− f(x2).
7
Radacini patrate. Ecuatii de gradul doi.
Sa se rezolve ın multimea numerelor reale R urmatoarea ecuatie:
√2x2 + 4x + 1 = x + 1
Ce se cere
Se cere rezolvarea unei ecuatii cu radicali.
Strategie
Metoda standard este ridicarea la patrat ın ambele parti ale egalitatii.
Rezolvare
Avem √2x2 + 4x + 1 = x + 1
Ridicam la patrat ın ambele parti.
2x2 + 4x + 1 = (x + 1)2
Evaluam (x + 1)2 dupa formula.
2x2 + 4x + 1 = x2 + 2x + 1
Trecem fiecare termen din partea dreapta ın partea stanga, cu semn schimbat.
2x2 + 4x + 1− x2 − 2x− 1 = 0
Simplificam.
x2 + 2x = 0
Factor comun x.
x(x + 2) = 0
Deducem radacinile x1 = 0 si x2 = −2. A doua radacina este obtinuta din ecuatia
x + 2 = 0.
Concluzie
Am rezolvat o ecuatie cu radicali, transformand ıntr-o ecuatie de gradul doi.Am rezolvat ecuatia de gradul doi prin metoda factorizarii.
8
Calcul cu fractii si proportii.
Dupa doua ieftiniri succesive cu cate 50%, un obiect costa 100 de lei.Sa se calculeze pretul initial al obiectului respectiv.
Ce se cere
Este necesar sa aflam o valoare initiala, stiind valoarea finala, dupa douaieftiniri consecutive cu cate 50%.
Strategie
Fixam simbolic valoarea initiala, scriem simbolic valoarea intermediara dupaprima ieftinire, si scriem simbolic valoarea finala dupa a doua ieftinire.
Obtinem o ecuatie ce poate fi rezolvata dupa metode standard.
Rezolvare
Fie valoarea initiala T .
Dupa prima ieftinire, obtinem T ′ = (1/2)T .
Dupa a doua ieftinire, obtinem T ′′ = (1/2)T ′.
Stim ca valoarea finala este de 100 de lei, ceea ce ınseamna T ′′ = 100.
Prin manipulare am obtinut T ′′ = (1/2)T ′ = (1/2)(1/2T ) = (1/4)T .
Prin urmare, (1/4)T = 100 si obtinem T = 400.
Concluzie
Pentru calcul cu reduceri proportionale este necesara exprimarea abstractaa unei cantitati. In acest exercitiu am folosit de asemenea un calcul ın douaetape.
Am exprimat totalul T , am calculat valoarea intermediara T ′ dupa primaieftinire, din care am extras valoarea finala T ′′ dupa a doua ieftinire.
Am obtinut o ecuatie lineara ı n necunoscuta T , pe care am rezolvat-o dupametode standard.
9
Calcul geometric ın repere carteziene.
In reperul cartezian xOy, avem punctele M(−2,−2), N(−2, 0), P (0,−4).Sa se deduca lungimea medianei din punctul M ın triunghiul 4MNP .
Ce se cere
Trebuie sa aflam lungimea unui segment.
Dupa cum specifica ıntrebarea, lucram ın coordonate carteziene xOy.
Acest fapt implica doua lucruri distincte.
A. Lucram ıntr-un spatiu bidimensional, adica ıntr-un plan, un spatiu cudoua dimensiuni, care poate fi o suprafata dreapta, sau pentru scopurilenoastre poate fi foaia pe care scriem.
B. Elemente primitive cu care vom lucra sunt, exact ca ın Geometria Eu-clidiana, puncte, numai ca aceste puncte au o locatie exacta, specificatanumeric.
Strategie
Este necesara schitarea figurii respective.
Deducem coordantele punctului de intersectie a medianei din M pe laturaNP , din definitia medianei.
Aplicam formula pentru distanta dintre doua puncte fixe.
10
Rezolvare
Stim ca mediana sectioneaza latura NP ın doua segmente egale. Prin urmarecoordonatele punctului de intersectie sunt Q(−2/2,−4/2).Obtinem punctul Q de intersectie a medianei cu latura MN , de coordonate Q(−1,−2).Cele doua puncte ale medianei sunt M(−2,−2) si Q(−1,−2).In general, cunoastem celebra formula Eulcidiana pentru distanta dintredoua puncte fixe, care este
d =√
((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Din formula pentru distanta Euclidiana, obtinem lungimea segmentului MQ, careeste
MQ =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 =√
(−2 + 1)2 + (−2 + 2)2 =√
(−1)2 = 1
Concluzie
S-a cerut lungimea unui segment de mediana, pentru care a fost necesar saaflam punctul de inetrsectie cu latura pe care o ınjumatateste. Am dedusaceste coordonate din definitia medianei. Cunoscand coordonatele celordoua extremitati ale segmentului, am aplicat formula distantei dintredoua puncte.
11
Rezolvarea triunghiului dreptunghic.
Se considera triunghiul dreptunghic 4ABC, cu unghiul dreptunghic A si culungimea segmentului BC = 10, si cu unghiul ]C = 30◦.Sa se deduca lungimea segmentului AB.
Ce se cere
Trebuie sa aflam lungimea unui segment ıntr-un triunghi dreptunghic.
Triunghiul ABC este dreptunghic ın A, prin urmare latura BC se numesteipotenuza, deoarece este opusa unghiului dreptunghic A.
Laturile AC,AB se numesc catete, si ın general vor fi mai mici in lungimedecat ipotenuza BC.
Strategie
Este necesara schitarea figurii respective.
Trebuie cunoscute urmatoarele relatii.
Teorema lui Pitagora Celebra teorema a lui Pitagora, care relationeazalungimea ipotenuzei cu lungimile catetelor.
BC2 = AC2 + BC2
In cuvinte: ın orice triunghi dreptunghic, patratul ipotenuzei este egal cusuma patratelor catetelor.
Suma unghiurilor ın orice triunghi In orice triunghi 4ABC avem
]A + ]B + ]C = 180◦
In cuvinte, ın orice triunghi, suma celor trei unghiuri este egala cu unghiulde o suta optzeci de grade.
Relatii simple ıntre unghiuri si laturi in triunghiul dreptunghicFormal, avem 4ABC cu ]A = 90◦ si ]B = 30◦, implica AC = (1/2)BC.
In cuvinte, ın triunghiul dreptughic, latura opusa unui unghi de treizeci degrade este jumatate din ipotenuza.
12
Figura 1.1: Functii Trigonometrice
Rezolvare
Prima metoda Prima metoda este un rationament formal.Masura ipotenuzei BC este BC = 10.Masura unghiului ]B este 180◦ − 90◦ − 30◦ = 60◦.Masura unghiului ]C este 30◦.
Intr-un triunghi dreptunghic, latura opusa unghiului de saizeci de gradeeste jumatate din ipotenuza.
Prin urmare avem relatia
AC = (1/2)BC = (1/2)× 10 = 5
Din formula lui Pitagora, avem
AB2 + AC2 = BC2 prin urmare avem AB2 = 102 − 52 = 100− 25 = 75
prin urmare avemAB =
√75 =
√25× 3 = 5
√3
A doua metoda Pentru a doua metoda este necesara memorarea tabelului dinfigura Fig. 1.Masura unghiului B este 180◦ − 90◦ − 30◦ = 60◦.Din formula pentru cosinus, stim ca
cos(B) =AB
BCprin urmare AB = BC × cos(B) = 10×
√3
2= 5√
3
Concluzie
Am dedus lungimea unei catete a unui triunghi dreptunghic, cunoscand un-ghiul dreptunghic, magnitudinea unui alt unghi, si masura ipotenuzei.Am dedus aceasta magnitudine folosind formule specifice triunghiului drept-unghic.
13
Al doilea subiect
Subiectul II discuta chestiuni legate de algebra legilor de compozitie, saucare folosesc legea de compozitie specificata pentru ıntrebari mai complexe.
Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie asociativa
x ◦ y = 2xy − 2x− 2y + 3
Intrebarile propuse se refera la:
- evaluarea compozitiei pentru numere date,
- aducerea unei expresii multiplicative ın forma aditiva, cu alte cuvinteeliminarea multiplicatiilor si aducerea expresiei la o forma de suma,
- intelegerea conceptului de element neutru dupa formula, si calcul alge-braic cu ınmultiri si adunari,
- intelegerea conceptului de lege de simetrie dupa formula, si calcul al-gebraic cu ınmultiri si adunari,
- rezolvarea unei ecuatii ın multimea numerelor reale R,
- rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor naturale N.
14
Sinopsis
Evaluarea compozitiei. Se cere evaluarea legii de compozitie, ceea ceınseamna de fapt ınlocuirea variabilelor x, y cu numere concrete. Prin ur-mare, atunci cand x = 2 si y = 2 va trebui sa rezolvam ın mod concret2 ◦ 2.
Calcul cu expresii simbolice. Se prezinta o alta ecuatie ın forma mul-tiplicativa, adica avand o forma ce foloseste ınmultiri a unor sume, si secere eliminarea acestor ınmultiri si aducerea ecuatiei la o forma aditiva, maisimpla, care este de fapt o suma de inmultiri.
Element neutru pentru compozitie. Se cere o demonstratie simpla,pentru care este nevoie de ıntelegerea notiunii de element neutru. Informal,un element neutru este un element care nu schimba ın niciun fel expresiadata atunci cand este folosit ın compozitie. Formal, x ◦ e = e ◦ x = x, a seciti x compus cu e este egal cu e compus cu x, este egal cu x. Elementulneutru este e, deoarece e nu modifica valoarea lui x atunci cand este compuscu x din ambele parti.
Lege de simetrie aplicata compozitiei. Se cere de asemenea o demonstratiesimpla, pentru care este nevoie de ıntelegerea notiunii de simetrie. Elementsimetric ınseamna de fapt ca 2◦ b = b◦2, si ın acest caz elementul b va fi nu-mit simetricul lui 2. Obtinem o ecuatie lineara din care deducem elementulb.
Ecuatie si manipulare algebraica. Folosind legea de compozitie, ajungemla rezolvarea unei ecuatii ın multimea numerelor reale R. Este necesar sacompunem doua elemente mai complexe, si anume x + 1 si x − 1, se obtineo ecuatie de gradul doi, care se poate rezolva dupa metoda standard.
Inecuatie si manipulare cantitativa. Folosind legea de compozitie, ajun-gem la rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor naturale N. Estenecesar sa compunem n si n + 1, obtinem o inecuatie pe care o rezolvamurmand rationamente standard.
15
Evaluarea compozitiei
Sa se calculeze 2 ◦ 2.
Ce se cere
Este necesara evaluarea compozitiei date pentru x = 2 si y = 2.
Strategie
Inlocuim x = 2 si y = 2 ın formula
2xy − 2x− 2y + 3
Rezolvare
2 ◦ 2 = 2× 2× 2− 2× 2− 2× 2 + 3 = 8− 4− 4 + 3 = 3
Concluzie
Am evaluat formula pentru legea de compozitie x◦y ın pentru x = 2 si y = 2.
16
Calcul algebraic simplu.
Sa se demonstreze ca
x ◦ y = 2(x− 1)(y − 1)− 1
Ce se cere
Este necesar sa aratam ca
2(x− 1)(y − 1)− 1 = 2xy − 2x− 2y + 3
Strategie
Trebuie sa efectuam ınmultirile din expresia 2(x − 1)(y − 1) − 1, care apoieste simplificata pentru a obtine rezultatul dorit.
Rezolvare
2(x− 1)(y − 1)− 1 = 2[x(y − 1)− (y − 1)]− 1 = 2(xy − x− y + 1)− 1
= 2xy − 2x− 2y + 4− 1 = 2xy − 2x− 2y + 3
Concluzie
Am aratat ca formula data pentru legea de compozitie x◦y poate fi exprimatasi ın forma
2(x− 1)(y − 1)− 1
17
Element neutru.
Sa se demonstreze ca e = 32
este element neutru pentru aceasta compozitie.
Ce se cere
Se cere demonstratia ca elementul neutru este e = 3/2.
In general compozitia cu un element neutru nu are niciun efect asupra ele-mentului cu care compunem.
Strategie
Trebuie cunoscuta formula definitorie pentru elementul neutru, care este
∀x ∈ R[x ◦ e = e ◦ x = x]
Spunem ca:
Pentru orice lege de compozitie, compunerea oricarui element cuun element neutru ın ambele parti, lasa elementul neschimbat.
Rezolvare
Verificam compozitia ın dreapta x ◦ (3/2) = 2 × x × (3/2) − 2x − 2(3/2) + 3 =3x− 2x + 3− 3 = x
Verificam compozitia ın stanga (3/2) ◦ x = 2 × (3/2) × x − 2(3/2) − 2x + 3 =3x− 3− 2x + 3 = x
Avem x ◦ (3/2) = (3/2) ◦ x = x
Concluzie
Am demonstrat ca elementul neutru pentru aceasta compozitie este e = 3/2.
18
Element simetric.
Sa se verifice daca elementul b = 54
este simetric pentru elementul 2, relativla aceasta compozitie.
Ce se cere
Se solicita o verificare, ceea ce ınseamna ın mod practic, un raspuns finalafirmativ, sau negativ.Raspunsul final trebuie sustinut cu o demonstratie.Acest lucru ınseamna ca trebuie sa aflam daca 2 ◦ 5
4= 5
4◦ 2 = 3
2
Strategie
Vorbim de fapt despre relatia
x ◦ b = b ◦ x = e
Spunem ca:
Pentru orice lege de compozitie si orice element, compunerea ele-mentului cu simetricul sau ın ambele parti are ca rezultat elementulneutru.
Rezolvare
Verificam compozitia ın dreapta
2 ◦ (5/4) = 2× 2× (5/4)− 2× 2− 2× (5/4) + 3 =
5− 4− (5/2) + 3 = 4− (5/2) =8− 5
2= 3/2 = e
Verificam compozitia ın stanga
(5/4) ◦ 2 = 2(5/4)× 2− 2× (5/4)− 2× 2 + 3 =
5− (5/2)− 4 + 3 = 4− (5/2) =8− 5
2= 3/2 = e
Concluzie
Am demonstrat ca elementul simetric relativ la aceasta compozitie pentruelementul 2, este elementul 5/4. Practic, aceasta ınseamna ca
2 ◦ (5/4) = (5/4) ◦ 2 = 3/2 = e
19
Manipulare algebraica. Ecuatii de gradul doi.
Sa se determine numerele x ∈ R pentru care avem (x + 1) ◦ (x− 1) = 1.
Ce se cere
Se cere sa
Strategie
Evaluam algebraic expresia din partea stanga a egalitatii
(x + 1) ◦ (x− 1) = 1
Obtinem o ecuatie de gradul doi sub forma de factori, din care deducem celedoua radacini.
Rezolvare
Avem(x + 1) ◦ (x− 1) = 2(x + 1)(x− 1)− 2(x + 1)− 2(x− 1) + 3
dezvoltam aceasta expresie
2(x+1)(x−1)−2(x+1)−2(x−1)+3 = 2(x2−1)−2x−2−2x+2+3 = 2x2−2−2x−2−2x+5
si obtinem2x2 − 2− 2x− 2− 2x + 5 = 2x2 − 4x + 1
Se cere (x + 1) ◦ (x− 1) = 1 ceea ce ınseamna 2x2 − 4x + 1 = 1, deci
2x2 − 4x = 0
si avem 2x(x−2) = 0. Din aceasta factorizare deducem x1 = 0, obtinut din ecuatia
2x = 0, sau x2 = 2, obtinut din ecuatia x− 2 = 0.
Concluzie
In acest exercitiu manipularea algebraica a formulei pentru legea de compozitierezulta ıntr-o ecuatie de gradul doi, care se rezolva dupa metoda factorilor.
20
Manipulare algebraica. Inecuatii. Manipulare cantita-tiva.
Sa se determine numerele n ∈ N pentru care n ◦ (n + 1) ≤ 5.
Ce se cere
Este necesara aducerea expresiei din partea stanga la forma de inecuatie.
Strategie
Se evalueaza compozitia pentru valoarea simbolica n, numar natural nenul.
Observam ca folosirea formulei demonstrata anterior ca echivalenta este maiconvenabila.
Se rezolva inecuatia obtinuta.
Rezolvare
Evaluam n ◦ (n + 1) folosind formula demonstrata anterior
x ◦ y = 2(x− 1)(y − 1)− 1
Deci avemn ◦ (n + 1) = 2(n− 1)(n + 1− 1)− 1
si avem ın final2n(n− 1)− 1
Consideram inecuatia 2n(n − 1) − 1 ≤ 5 care se transforma ın 2n(n − 1) ≤ 4 ceea ce
ınseamna n(n− 1) ≤ 2. Rezulta ca avem n = 1 sau n = 2, deoarece n nu poate fi negativ
sau zero.
Concluzie
Am aflat cele doua valori ale lui n pentru care n compus cu n + 1 rezultaıntr-o expresie ıntotdeauna mai mica decat o anumita valoare data.
21
Al treilea subiect
Subiectul III discuta chestiuni legate de algebra matricelor si de algebralineara.
Se considera matricele
A =
[1 4−3 −2
], B =
[5 −1−2 1
], I2 =
[1 00 1
].
Intrebarile se refera la
- calculul concret al unui determinant,
- calculul cu matrice, ce presupune ınmultiri, adunari, si scaderi,
- rezolvarea unui sistem de ecuatii lineare, dedus dintr-un calcul cu ma-trice,
- determinarea matricei inverse pentru o matrice data,
- rezolvarea unei ecuatii cu matrice,
- o demonstratie ce arata ca o expresie ce contine o variabila este ıntotdeaunapozitiva.
22
Sinopsis
Calculul unui Determinant. Se cere calcularea determinantului unei ma-trice cu dimensiuni 2× 2, care se poate calcula dupa formula standard.
Calculul cu Matrice Se cere sa se arate ca o ınmultire de matrice este egalacu o expresie ce presupune ınmultiri scalare si scaderi.
Rezolvarea unui Sistem Linear de Ecuatii. Dupa ınmultiri scalare,obtinem o egalitate ıntre doua matrice, prima continand variabile, iar a douafiind specificata numeric. Se obtine astfel un sistem de ecuatii lineare ce potfi rezolvate dupa metode standard.
Determinarea Matricei Inverse. Se cere determinarea matricei inversepentru o matrice data.
Ecuatie cu Matrice. Se prezinta o ecuatie cu matrice si se cere demonstratiaca matricea necunoscuta este inversabila.
Demonstratie. Se prezinta o expresie ın forma de ecuatie ce presupunecalcularea unei ınmultiri scalare, adunarea a douaa matrice, si evaluarea unuideterminant.
23
Calcul cu determinanti.
Sa se arate ca det(A) = 0.
Ce se cere
Calcularea determinantului unei matrice ın M2(R). Notatia M2(R) ne spuneca avem o matrice patrata, cu doua linii si doua coloane, avand componentenumere reale.
Strategie
In general pentru M ∈M2(R) cu M =
[A BC D
], avem formula
det(M) =
∣∣∣∣A BC D
∣∣∣∣ = AD −BC
Rezolvare ∣∣∣∣1 43 2
∣∣∣∣ = 1× (−2)− (−3)× 4 = −2 + 12 = 10
Concluzie
O aplicare a formulei pentru determinant.
24
Calcul cu matrice.
Sa se arate caB ·B = 6B − 3I2
Ce se cere
Se cere demonstratia unei identitati cu matrice.
Strategie
Calculam partea din stanga egalului si partea din dreapta egalului. Verificamca aceste doua expresii sunt identice.
Rezolvare
Evaluam partea stanga
B·B =
[5 −1−2 1
] [5 −1−2 1
]=
[5× 5 + (−1)× (−2) 5× (−1) + (−1)× 1(−2)× 5 + 1× (−2) (−2)× (−1) + 1× 1
]=
[27 −6−12 3
]Evaluam partea dreapta
6B − 3I2 = 6
[5 −1−2 1
]− 3
[1 00 1
]=
[30 −6−12 6
]−[3 00 3
]=
[27 −6−12 3
]Din moment ce aceste doua expresii sunt egale, am ajuns la rezultatul dorit.
Concluzie
Am demonstrat o egalitate algebrica folosind scaderi si ınmultiri scalare.
25
Calcul algebraic cu matrice.
Sa se determine numerele reale x, y ∈ R pentru care
xA + yB =
[7 7−8 −3
].
Ce se cere
Rezolvarea unei ecuatii cu matrice, ın doua necunoscute scalare x, y ∈ R.
Strategie
Simplificam algebraic partea din stanga egalului. Obtinem un sistem deecuatii ce poate fi rezolvat prin substitutie.
Rezolvare
xA+yB = x
[1 4−3 −2
]+y
[5 −1−2 1
]=
[x 4x−3x −2x
]+
[5y −y−3y −2y
]=
[x + 5y 4x− y−3x− 3y −2x− 2y
]Deci avem [
x + 5y 4x− y−3x− 3y −2x− 2y
]=
[7 7−8 −3
]ceea ce indica sitemul de ecuatii
x + 5y = 7
4x− y = 7
− 3x− 3y = −8
− 2x− 2y = −3.
Rezolvam prin substitutie x = 7 − 5y si avem 4(7 − 5y) − y = 7, adica 28 − 21y = 7,
ceea ce ınseamna 21y = 21 deci y = 1. Inlocuim ın expresia obtinuta pentru x, x =
7− 5y = 7− 5 = 2, deci x = 2.
Concluzie
Am rezolvat ecuatia cu matrice calculand partea din stanga egalului. Amobtinut un sistem de ecuatii pe care l-am rezolvat prin substitutie.
26
Inversa unei Matrice.
Sa se determine inversa matricei B.
Ce se cere
Strategie
O matrice este inversabila atunci cand determinantul nu este zero. In generalpentru o matrice inversabila M , si inversul acestei matrice M−1, avem relatia
M ·M−1 = M−1 ·M = I
Rezolvare
Avem B ·B−1 = I2, scriem simbolic B−1 =
[A BC D
]si avem
[5 −1−2 1
]·[A BC D
]=
[1 00 1
]obtinem identitatile
5A− C = 1
5B −D = 0
− 2A + C = 0
− 2B + D = 1.
Din nou prin substitutie obtinem C = 5A − 1 si D = 5B, ınlocuim ın celelalte iden-
titati −2A + 5A− 1 = 0 si −2B + 5B = 1.
Obtinem rezultatele A = 1/3, B = 1/3, C = 2/3, D = 5/3.
Prin urmare B−1 =
[1/3 1/32/3 5/3
]
Concluzie
Am calculat inversa unei matrice. Am exprimat simbolic aceasta inversa siam dedus-o din ecuatiile obtinute prin ınmultire cu matricea initiala.
27
Calcul algebraic cu matrice si determinanti.
Aratati ca matricea X ∈M(R) pentru care avem
A + X = B
este inversabila.
Ce se cere
Sa se arate ca o matrice, care trebuie dedusa din expresia data prin metodealgebraice, este inversabila.
Strategie
Evaluam partea din stanga egalului. Din egalitatea obtinuta deducem ma-tricea X, pe care o aratam inversabila prin calcularea determinantului.
Rezolvare
Scriem simbolic X =
[A BC D
]si avem
A + X =
[1 4−3 −2
]+
[A BC D
]=
[1 + A 4 + B−3 + C −2 + D
]
B =
[5 −1−2 1
]=
[1 + A 4 + B−3 + C −2 + D
]
Obtinem relatiileA = 4, B = −5, C = 1, D = 3
prin urmare
X =
[4 −51 3
]
si deoarece det(X) = 12 + 5 = 17 6= 0, matricea X este inversabila.
Concluzie
Am dedus matricea necunoscuta X din expresia A+X = B. Am demonstratinversabilitatea matricei X, aratand ca det(X) 6= 0.
28
Inecuatii. Rationament cantitativ.
Demonstrati ca det(A + aI2) > 0, pentru orice a ∈ R.
Ce se cere
Se cere sa se arate ca o expresie cu o necunoscuta evalueaza pozitiv, pentruorice valoare a necunoscutei respective.
Strategie
Evaluam A + aI2, calculam determinantul si utilizam un argument anali-tic pentru a arata ca acest determinant este pozitiv pentru orice valoare anecunoscutei a.
Rezolvare
Evaluam M = A + aI2.
M =
[1 4−3 −2
]+ a
[1 00 1
]=
[1 4−3 −2
]+
[a 00 a
]=
[1 + a 4−3 −2 + a
]det(M) = (1 + a)(−2 + a) + 12 = −2 + a− 2a + a2 + 12 = a2 − a + 10
Din moment ce 10 = 1/4 + 39/4 si a2 − a + 1/4 = (a− 1/2)2, observam ca
a2 − a + 10 = a2 − a + 1/4 + 39/4 = (a− 1/2)2 + 39/4
Avem (a− 1/2)2 > 0 si 39/4 > 0, prin urmare
(a− 1/2)2 + 39/4 = det(M) > 0
Concluzie
Am evaluat expresia A + aI2 si prin manipulare algebraica am aratat cadeterminantul acestei matrice este pozitiv pentru orice valoare a necunoscuteia.
29
Primul subiect
Subiectul I discuta chestiuni legate de
- manipularea algebraica a unei expresii ce contine radacini patrate,ınmultiri si adunari,
- calculul (evaluarea) unei functii lineare,
- rezolvarea unei ecuatii exponentiale ın multimea R a numerelor reale,prin aplicarea unei tehnici simple de rezolvare,
- calculul cu proportii, un rationament simplu ce implica derivarea uneiecuatii si rezolvarea acesteia,
- calculul in reper cartezian, ın care se rationeaza cu coordonate,
- rezolvarea triunghiului dreptunghic, ce presupune de aceasta data osimpla aplicare a proportiilor.
31
Sinopsis
Aritmetica simpla. Calcul simbolic cu ınmultiri si adunari. Intelegereanotiunii de radacina patrata. Notiunea de patrat perfect, notiunea de numarprim. De exemplu
√20 =
√4× 5 = 2
√5, deci am ales sa exprimam 20 ca
20 = 4× 5, mai degraba decat 20 = 10× 2, care nu ar fi fost convenabil. Deasemenea, recunoastem ca 5 este numar prim, prin urmare nu are alti factori,prin urmare nu poate fi epxrimat ca alta ınmultire, asa ca expresia
√20 =√
4× 5 = 2√
5 a fost adusa la forma finala si nu mai poate fi simplificata.
Evaluarea unei functii. Pentru aceasta este necesara o ıntelegere de bazaa notiunii de functie. In prima instanta avem f(0) = 0 ceea ce trebuierecunoscut ca a− 2 = 0. Deducerea parametrului a devine usoara.
Rezolvarea unei ecuatii in multimea numerelor reale R. In primafaza avem o ecuatie cu radacina cubica, prin urmare este necesara eliminarearadicalilor, iar ın a doua faza obtinem o ecuatie simpla ce se rezolva dupametoda standard. Este necesara verificarea radacinilor la final.
Calcul simbolic cu proportii. O anumita magnitudine este redusa cu50% de doua ori, si rezulta o reducere totala pana la 25% din valoaea initiala.Rezulta ecuatia 1
4T = 100 pentru care trebuie sa calculam valoarea T .
Geometrie simpla. Desenarea unei figuri ın reper cartezian. Recunoastereacoordonatelor ın doua dimensiuni si deducerea unor relatii algebraice simpleın aceste coordonate.
Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Prin aceasta se ıntlege determi-narea magnitudinii unor laturi (segmente) necunoscute, avand ın vedere case cunosc magnitudinile altor laturi, sau unghiuri.
32
Manipulare algebraica. Factori. Numere prime. Radacinipatrate.
Aratati ca:
2(3−√
5) +√
20 = 6
Ce se cere
Se prezinta o expresie cu radicali, si se cere sa aratam ca aceasta expresieeste egala cu 6.
Strategie
Se exprima cantitatile de sub radicali ca produs de patrate perfecte.
Se scot factorii patrate perfecte de sub radicali.
Se simplifica expresia, si obtinem ceea ce trebuia demonstrat.
Rezolvare
2(3−√
5) +√
20 = 6− 2√
5 +√
4× 5 = 6− 2√
5 + 2√
5 = 6
Concluzie
Am demonstrat ca expresia din partea dreapta a egalului este egala cu con-stanta 6.
33
Evaluarea unei functii.
Se considera functia f(x) : R→ R definita astfel:
f(x) = 2x2 + a− 2
Determinati numarul real a pentru care f(0) = 0.
Ce se cere
Se prezinta o functie cu parametru si se cere valoarea numerica a parame-trului, cunoscandu-se evaluarea functiei ıntr-un punct dat.
Strategie
Evaluam functia pentru valoarea x = 0, obtinem valoarea parametrului a.
Rezolvare
f(0) = 0 deci avem a− 2 = 0 deci a = 2
Concluzie
Am gasit valoarea parametrului a considerand evaluarea functiei ın punctulx = 0.
34
Radacini patrate. Ecuatii de gradul doi.
Sa se rezolve ın multimea numerelor reale R urmatoarea ecuatie:
3√
7− x = 1
Ce se cere
Se cere rezolvarea unei ecuatii cu radacina cubica.
Strategie
Metoda standard este eliminarea radicalului prin ridicare la cub, de ambeleparti ale egalului.
Rezolvare
3√
7− x = 1
7− x = 1
x = 6
Din moment ce 3√
7− 6 = 1, x = 1 este valoarea cautata.
Concluzie
Am rezolvat o ecuatie cu radacina cubica, prin ridicare la cub. Am verificatsolutia obtinuta.
35
Calcul cu fractii si proportii.
Dupa doua ieftiniri succesive cu cate 50%, un tricou costa 10 de lei.Sa se calculeze pretul initial al tricoului.
Ce se cere
Este necesar sa aflam o valoare initiala, stiind valoarea finala, dupa douaieftiniri consecutive cu cate 50%.
Strategie
Fixam simbolic valoarea initiala, scriem simbolic valoarea intermediara dupaprima ieftinire, si scriem simbolic valoarea finala dupa a doua ieftinire.
Obtinem o ecuatie ce poate fi rezolvata dupa metode standard.
Rezolvare
Fie valoarea initiala T .
Dupa prima ieftinire, avem T ′ = 1/2T .
Dupa a doua ieftinire, avem T ′′ = 1/2T ′.
Deci avem T ′′ = 1/2T ′ = 1/4T = 10, deci T = 40.
Concluzie
Pentru calcul cu reduceri proportionale este necesara exprimarea abstractaa unei cantitati. In acest exercitiu am folosit de asemenea un calcul ın douaetape.
Am exprimat totalul T , am calculat valoarea intermediara T ′ dupa primaieftinire, din care am extras valoarea finala T ′′ dupa a doua ieftinire.
Am obtinut o ecuatie lineara ın necunoscuta T , pe care am rezolvat-o dupametode standard.
36
Calcul geometric ın repere carteziene.
In reperul cartezian xOy, avem punctele M(2, 3), N(0, 3).Sa se calculeze lungimea segmentului MN .
Ce se cere
Este necesar sa aflam lungimea unui segment, cunoscand coordonatele extre-mitatilor sale.
Strategie
Se recomanda schitarea figurii respective. Folosim formula pentru distantaEuclidiana dintre doua puncte.
Rezolvare
D =√
(y1 − y2)2 + (x1 − x2)2 =√
4 = 2
Concluzie
S-a cerut lungimea unui segment, am aflat aceasta lungime folosind formulapentru distanta dintre doua puncte ın plan.
37
Rezolvarea triunghiului dreptunghic.
Se considera triunghiul dreptunghic 4ABC, cu unghiul dreptunghic A si culungimea segmentului BC = 15, si cu sinC = 3/5.Sa se deduca lungimea segmentului AB.
Ce se cere
Este necesar sa aflam lungimea unui segment ıntr-un triunghi dreptunghic.Cunoastem lungimea ipotenuzei si valoarea sinusului unui unghi.
Strategie
Folosim sinusul unghiului si definitia sinusului, “cateta opusa, supra ipote-nuza”.
Rezolvare
sin(C) = AB/BC
AB/BC = 3/5
AB = (3/5)BC = 3× 3 = 9
Concluzie
Am dedus lungimea unei catete folosind valoarea pentru sinusul unui unghi,si lungimea ipotenuzei.
38
Al doilea subiect
Subiectul II discuta chestiuni legate de algebra legilor de compozitie, saucare folosesc legea de compozitie specificata pentru ıntrebari mai complexe.
Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie asociativa
x ◦ y = x + y − 3
Intrebarile propuse se refera la:
- evaluarea compozitiei pentru numere date,
- intelegerea conceptului de asociativitate dupa formula, si calcul alge-braic cu ınmultiri si adunari,
- intelegerea conceptului de element neutru dupa formula, si calcul alge-braic cu ınmultiri si adunari,
- manipularea algebraica a compozitiei pentru demonstrarea unor for-mule simple,
- rezolvarea unei ecuatii cu exponent ın multimea numerelor reale R,
- rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor naturale N.
39
Sinopsis
Evaluarea compozitiei. Se cere evaluarea legii de compozitie, ceea ceınseamna de fapt ınlocuirea variabilelor x, y cu numere concrete. Prin ur-mare, atunci cand x = 3 si y = −4 va trebui sa rezolvam ın mod concretx ◦ y.
Calcul cu expresii simbolice. Se cere demonstrarea asociativitatii acesteicompozitii, pentru care este necesara stapanirea acestui concept.
Element neutru pentru compozitie. Se cere o verificatie simpla, pentrucare este nevoie de ıntelegerea notiunii de element neutru.
Calcul abstract cu compozitia data. Se cere de asemenea o demonstratiesimpla, pentru care este nevoie de manipularea algebraica a compozitiei.
Ecuatie si manipulare algebraica. Folosind legea de compozitie, ajungemla rezolvarea unei ecuatii cu exponent ın multimea numerelor reale R.
Inecuatie si manipulare cantitativa. Folosind legea de compozitie, ajun-gem la rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor naturale N.
40
Evaluarea compozitiei.
Aratati ca 3 ◦ −4 = −4.
Ce se cere
Este necesara evaluarea compozitiei date pentru x = 3 si y = −4.
Strategie
Inlocuim x = 3 si y = −4 ın formula
x + y − 3
Rezolvare
x ◦ y = x + y − 3 = 3− 4− 3 = −4
Concluzie
Am evaluat formula pentru legea de compozitie x◦y pentru x = 3 si y = −4.
41
Calcul algebraic. Asociativitate.
Aratati ca legea de compozitie ◦ este asociativa.
Ce se cere
Este necesara demonstratia asociativitatii, dupa metoda standard.
Strategie
Trebuie sa aratam asociativitatea, ceea ce ınseamna sa aratam ca
∀x, y, z[x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z
]
Rezolvare
(x ◦ y) ◦ z = (x + y − 3) ◦ z = x + y − 3 + z − 3 = x + y + z − 6
x ◦ (y ◦ z) = x ◦ (y + z − 3) = x + y + z − 3− 3 = x + y + z − 6
Concluzie
Am aratat ca legea de compozitie este asociativa prin evaluarea compozitieia trei elemente, ın cele doua moduri posibile.
42
Element neutru.
Verificati daca e = 3 este elementul neutru al acestei legi de compozitie.
Ce se cere
Se cere verificarea faptului ca elementul neutru este e = 3.
In general compozitia cu un element neutru nu are niciun efect asupra ele-mentului cu care compunem.
Strategie
Trebuie cunoscuta formula definitorie pentru elementul neutru, care este
∀x ∈ R[x ◦ e = e ◦ x = x]
Rezolvare
x ◦ 3 = x + 3− 3 = x
3 ◦ x = 3 + x− 3 = x
�
Concluzie
Am verificat ca e = 3 este ıntr-adevar element neutru al acestei compozitii.
43
Calcul algebraic.
Aratati ca (a + 1010) ◦ (1010− a) = 1010 ◦ 1010
Ce se cere
Se solicita demonstratia unei proprietati ale acestei compozitii.
Strategie
Evaluam pornind din stanga egalului, si derivam partea din dreapta.
Rezolvare
Efectuam compozitia
(a + 1010) ◦ (1010− a) = (a + 1010) + (1010− a)− 3
= 1010 + 1010− 3 = (1010) ◦ (1010)
Concluzie
Am demonstrat o relatie specifica acestei compozitii, cu un numar ales arbi-trar.
Putem constata ca, ın general
(a + b) ◦ (b− a) = b ◦ b
44
Manipulare algebraica. Ecuatii exponentiale.
Determinati numarul real x pentru care 9x = 3x ◦ 9.
Ce se cere
Se cere determinarea unui numar real pentru care compozitia data evalueazaın felul prezentat.
Strategie
Dupa evaluarea compozitiei, obtinem o ecuatie cu exponenti, pe care o re-zolvam prin substitutie.
Rezolvare
Avem
9x = 3x ◦ 9
9x = 3x + 6
32x = 3x + 6
t2 − t− 6 = 0 pentru t = 3x
∆ = b2 − 4ac = 1 + 24 = 25 = 52
t1,2 =1± 5
2
t1 = −2, t2 = 3
3x nu poate fi − 2, deci 3x = 3 deci x = 1.
Concluzie
In acest exercitiu manipularea algebraica a formulei pentru legea de compozitierezulta ıntr-o ecuatie exponentiala. Am rezolvat aceasta ecuatie prin substitutie.
45
Manipulare algebraica. Inecuatii.
Determinati numerele naturale n pentru care n ◦ (n + 1) ≤ 2.
Ce se cere
Este necesara aducerea expresiei din partea stanga la forma de inecuatie.
Strategie
Se evalueaza compozitia pentru valoarea simbolica n, numar natural.
Se rezolva inecuatia obtinuta.
Rezolvare
n ◦ (n + 1) = n + n + 1− 3 = 2n− 2
dar 2n− 2 ≤ 2 ınseamna n ≤ 2
Dar n ∈ N deci n = 0, n = 1, sau n = 2
Concluzie
Am aflat cele trei valori ale lui n care verifica relatia prezentata.
46
Al treilea subiect
Subiectul III discuta chestiuni legate de algebra matricelor si de algebralineara.
Se considera matricele
M =
[1 32 4
], I2 =
[1 00 1
], A(a) = aI2 + M.
Intrebarile se refera la
- calculul concret al unui determinant,
- calculul cu matrice, ce presupune adunari, si rationament cu parame-tru,
- demonstrarea unei relatii ıntre matrice,
- determinarea matricei inverse pentru o matrice data,
- determinarea unui parametru, dintr-o relatie cu matrice,
- determinarea unui parametru ce face ca determinantul unei matrice saevalueze sub o anumita valoare.
47
Sinopsis
Calculul unui Determinant. Se cere calcularea determinantului unei ma-trice cu dimensiuni 2× 2, care se poate calcula dupa formula standard.
Calculul cu Matrice Se cere sa se arate ca o ınmultire de matrice este egalacu o expresie ce presupune ınmultiri scalare si scaderi.
Aflarea unei proprietati a unei matrice. Dupa ınmultiri scalare siadunari, si dupa ınlocuirea unui parametru cu valoare concreta, deducemsuma elementelor matricei date.
Relatie cu Matrice. Se prezinta o relatie cu matrice ce se cere demonstrata.
Determinarea Matricei Inverse. Se prezinta o alta matrice si se ceredemonstrarea ca este matrice inversa pentru matricea data initial.
Determinarea unui parametru. Se prezinta o expresie ın forma de ega-litate ce contine matrice. Se cere determinarea concreta a unui parametru.
48
Calcul cu determinanti.
Sa se arate ca det(M) = −2.
Ce se cere
Calcularea determinantului unei matrice ın M2(R).
Strategie
In general pentru M ∈M2(R) cu M =
[A BC D
], avem formula
det(M) =
∣∣∣∣A BC D
∣∣∣∣ = AD −BC
Rezolvare
det(M) =
∣∣∣∣1 32 4
∣∣∣∣ = 4− 6 = −2
Concluzie
O aplicare a formulei pentru determinant.
49
Calcul cu matrice.
Calculati suma elementelor matricei A(2017).
Ce se cere
Se cere ın primul rand aflarea matricei A(2017), apoi adunarea elementelorsale.
Strategie
Calculam matricea prin adunare si ınmultire scalara. Efectuam adunarile.
Rezolvare
Evaluam A(a).
A(a) =
[a 00 a
]+
[1 32 4
]=
[a + 1 3
2 a + 4
]
Deci avem
A(2017) =
[2018 3
2 2021
]
Adunam si obtinem2018 + 3 + 2 + 2021 = 4044
Concluzie
Am dedus matricea A(a) din definitie si am adunat elementele acestei ma-trice.
50
Calcul algebraic cu matrice.
Aratati caM ·M = 5M + 2I2
Ce se cere
Este necesar sa demonstram o relatie ce leaga matricele M, I2.
Strategie
Evaluam partea din stanga, apoi partea dreapta egalului.
Rezolvare
M ·M =
[1 32 4
] [1 32 4
]=
[7 1510 22
]
5M + 2I2 = 5
[1 32 4
]+ 2
[1 00 1
]
5M + 2I2 =
[5 1510 20
]+
[2 00 2
]=
[7 1510 22
]
Concluzie
Am demonstrat ca patratul matricei M este o anumita relatie de M si iden-titatea I2.
51
Inversa unei Matrice.
Aratati ca inversa matricei A(1) este matricea[5/4 −3/4−1/2 1/2
]
Ce se cere
Este necesar sa demonstram ca matricea data este inversa matricei A(1).
Strategie
Este suficient sa ınmultim matricea A(1) cu matricea data.
Rezolvare
A(1) ·[
5/4 −3/4−1/2 1/2
]=
[2 32 5
] [5/4 −3/4−1/2 1/2
]=
[5/2− 3/2 −3/2 + 3/25/2− 5/2 −3/2 + 5/2
]=
[1 00 1
]
Concluzie
Am aratat ca o matrice data este inversa matricei A(1).
52
Calcul algebraic cu matrice.
Determinati numerele reale a pentru care
A(a) · A(a) = A(a2) + M ·M
Ce se cere
Este necesara aflarea parametrului a, din egalitatea prezentata.
Strategie
Manipulam algebraic partea din stanga si partea din dreapta egalului. Obtinemegalitatea a doua matrice, din care extragem valoarea pentru a.
Rezolvare
A(a) = aI2 + M deci A(a) ·A(a) = (aI2 + M)(aI2 + M)
A(a) ·A(a) = a2I2 + M ·M + 2aM = a2I2 + M ·M + 2aM
dar avem a2I2 + M ·M + 2aM = A(a2) + M ·M
deci a2I2 + 2aM = A(a2)
[a2 + 1 3
2 a2 + 4
]=
[a2 + 2a 6a
4a a2 + 8a
]a = 1/2 verifica aceasta relatie
Concluzie
Am dedus valoarea parametrului a din egalitatea a doua matrice.
53
Inecuatii.
Determinati numarul natural m pentru care det(A(m)) < 4.
Ce se cere
Se cere sa aflam valoarea parametrica pentru care determinantul matricei Aevalueaza numeric sub patru.
Strategie
Evaluam
Rezolvare
det(A(m)) = (m + 1)(m + 4)− 6
(m + 1)(m + 4)− 6 < 4
m2 + 5m− 6 < 0
∆ = b2 − 4ac = 25 + 24 = 49 = 72
m1,2 =−5± 7
2
m1 = −6,m2 = 1
Dar m ∈ N, si valoarea naturala dintre cele doua radacini este una pentru care ecuatiaeste negativa, deci m = 0.
Concluzie
Am aflat valoarea parametrului m pentru care determinantul matricei A(m)evalueaza sub patru.
54
Primul subiect
Subiectul I discuta chestiuni legate de
- manipularea algebraica a unei expresii ce contine radacini patrate,ınmultiri si adunari,
- calculul (evaluarea) unei functii lineare,
- rezolvarea unei ecuatii exponentiale ın multimea R a numerelor reale,prin aplicarea unei tehnici simple de rezolvare,
- calculul cu proportii, un rationament simplu ce implica derivarea uneiecuatii si rezolvarea acesteia,
- calculul in reper cartezian, ın care se rationeaza cu coordonate,
- rezolvarea triunghiului dreptunghic, ce presupune de aceasta data osimpla aplicare a proportiilor.
56
Sinopsis
Aritmetica simpla. Calcul concret cu fractii. Se cere sa se arate ca oexpresie este identica cu o fractie data.
Evaluarea unei functii. Se cere sa se arate ca o expresie evalueaza lapatru, indiferent de valoarea unui parametru dat.
Rezolvarea unei ecuatii in multimea numerelor reale R. Este necesararezolvarea unei ecuatii exponentiale.
Calcul simbolic cu proportii. O anumita magnitudine este crescuta dedoua ori. Se cere pretul final, dupa cele doua scumpiri.
Geometrie simpla. Desenarea unei figuri ın reper cartezian. Recunoastereacoordonatelor ın doua dimensiuni si deducerea coordonatelor unui punct sim-teric cu altul.
Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Este necesara aflarea ariei, cu-noscandu-se coordonatele extremitatilor.
57
Calcul cu fractii.
Aratati ca: ((1
3
)2+ 3)÷ 28
9= 1
Ce se cere
Este necesar sa aratam ca expresia este egala cu 1.
Strategie
Ridicam la patrat si aducem la numitor comun.
Rezolvare
((1
3
)2+ 3)
=((1
9
)+ 3)
=((1
9
)+ (
27
9))
=28
9
In acelasi timp, avem ratia lui 28/9 la sine ınsusi ca fiind egala cu 1.
Concluzie
Am adus o expresie ın forma unei fractii.
58
Evaluarea unei functii cu parametru.
Aratati ca f(1)− f(−1) = 4, pentru orice numar real m, unde f : R→ R cuf(x) = 2x + m.
Ce se cere
Aratam ca expresia data este constanta.
Strategie
Este suficienta evaluarea functiei ın valorile date, urmata de o adunare.
Rezolvare
f(1)− f(−1) = 2 + m + 2−m = 2 + 2 = 4
Concluzie
Am aratat ca expresia evalueaza constant.
59
Ecuatii exponentiale. Ecuatii de gradul doi.
Sa se rezolve ın multimea numerelor reale R urmatoarea ecuatie:
2x2+3 = 24x
Ce se cere
Rezolvam o ecuatie cu exponent.
Strategie
Luam logaritm ın ambele parti pentru a obtine o ecuatie de gradul doi.
Rezolvare
2x2+3 = 24x
x2 + 3 = 4x
x2 − 4x + 3 = 0
∆ = b2 − 4ac = 16− 12 = 4 = 22
x1,2 =4± 2
2
x1 = 1, x2 = 3
Concluzie
Am identificat ambele radacini pentru ecuatia data.
60
Calcul cu fractii si proportii.
Pretul unui obiect este de 1200 lei. Calculati pretul obiectului dupa douascumpiri succesive cu cate 5%.
Ce se cere
Calcul simplu cu proportii.
Strategie
Evaluam scumpirile ın doua etape.
Rezolvare
T = 1200
T ′ = T × 0, 05 + T
T ′′ = T ′ × 0, 05 + T ′
T ′′ = (T × 0, 05 + T )× 0, 05 + T × 0, 05 + T
T ′′ = T × 0, 0025 + T × 0, 05 + T × 0, 05 + T
T ′′ = 3 + 60 + 60 + 1200 = 1323
Concluzie
Am rezolvat o problema simpla cu proportii.
61
Calcul geometric ın repere carteziene.
In reperul cartezian xOy, avem punctele A(2, 6), B(2, 3).Determinati distanta de la punctul O la punctul C, care este simetricul luiA fata de punctul B.
Ce se cere
Se cere aflarea coordonatelor unui punct simetric cu alt punct relatic cu altreilea punct, si aflarea distantei de la origine la punctul aflat.
Strategie
Este necesara schitarea figurii ın plan cartezian. Folosim formulele pentrusimetrie si distanta Euclidiana.
Rezolvare
XC −XB = XB −XA deci XC = 4− 2 = 2
YC − YB = YB − YA deci YC = 6− 6 = 0
obtinem C(2,0)
avem distanta de la origine D =√
22 = 2
Concluzie
Am aflat coordonatele punctului simetric lui A fata de punctul B, si distantade la origine la acest punct.
62
Rezolvarea triunghiului dreptunghic.
Sa se afle aria triunghiului 4ABC, stiind ca ]B = 45◦ si AB = AC = 4.
Ce se cere
Este necesar sa aflam aria unui triunghi, care de obicei va fi egala cu produsullungimii unei laturi si al ınaltimii perpendiculare pe latura respectiva.
Strategie
Demonstram ca triunghiul 4ABC este dreptunghic ın A, si astfel aria va fiegala cu jumatate din produsul catetelor AB si AC.
Rezolvare
AB = AC ınseamna ]B = ]C = 45◦
prin urmare ]A = 90◦
deci A(4ABC) =1
2×AB ×AC = 16/2 = 8
Concluzie
Am aflat aria, folosind faptul ca triunghiul este dreptunghic, un fapt pe carel-am demonstrat aici.
63
Al doilea subiect
Subiectul II discuta chestiuni legate de algebra legilor de compozitie, saucare folosesc legea de compozitie specificata pentru ıntrebari mai complexe.
Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie asociativa
x ◦ y = x + y − 2017
Intrebarile propuse se refera la:
- evaluarea compozitiei pentru numere date,
- intelegerea conceptului de asociativitate dupa formula, si calcul alge-braic cu ınmultiri si adunari,
- demonstratia unei relatii ce foloseste compozitia,
- rezolvarea unei ecuatii cu exponent ın multimea numerelor reale R,
- rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor naturale N.
- demonstrarea faptului ca o compozitie evalueaza ın N.
64
Sinopsis
Evaluarea compozitiei. Se cere evaluarea legii de compozitie, ceea ceınseamna de fapt ınlocuirea variabilelor x, y cu numere concrete.
Calcul algebraic. Se cere demonstrarea asociativitatii acestei compozitii,pentru care este necesara stapanirea acestui concept.
Calcul algebraic. Se cere demonstrarea unei relatii ce foloseste compozitiadata.
Ecuatie si manipulare algebraica. Folosind legea de compozitie, ajungemla rezolvarea unei ecuatii cu exponent ın multimea numerelor reale R.
Inecuatie si manipulare cantitativa. Folosind legea de compozitie, ajun-gem la rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor naturale N.
Calcul algebraic. Se cere sa se arate ca o compozitie data evalueaza ıntr-unnumar natural. Acest lucru nu este evident, din motivul prezentei radicalilor.
65
Evaluarea compozitiei.
Aratati ca 2000 ◦ 17 = 0.
Ce se cere
Este necesara evaluarea compozitiei pentru valori date.
Strategie
O simpla ınlocuire a valorilor date ın formula compozitiei.
Rezolvare
2000 ◦ 17 = 2000 + 17− 2017 = 0
Concluzie
Am evaluat compozitia pentru valorile x = 2000 si y = 17.
66
Calcul algebraic. Asociativitate.
Aratati ca legea de compozitie ◦ este asociativa.
Ce se cere
Este necesara demonstratia asociativitatii, dupa metoda standard.
Strategie
Trebuie sa aratam asociativitatea, ceea ce ınseamna sa aratam ca
∀x, y, z[x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z
]
Rezolvare
(x ◦ y) ◦ z = (x + y − 2017) ◦ z = x + y − 2017 + z − 2017 = x + y + z − 4034
x ◦ (y ◦ z) = x ◦ (y + z − 2017) = x + y + z − 2017− 2017 = x + y + z − 4034
Concluzie
Am aratat ca legea de compozitie este asociativa prin evaluarea compozitieia trei elemente, ın cele doua moduri posibile.
67
Calcul algebraic.
Demonstrati ca a ◦ (a + 2017) = (a + 1009) ◦ (a + 1008), pentru orice numarreal a.
Ce se cere
Se cere demonstratia egalitatii dintre doua expresii ce folosesc compozitiadata.
Strategie
Evaluam partea din stanga identitatii, apoi partea din dreapta. Rezultateleobtinute vor fi identice.
Rezolvare
a ◦ (a + 2017) = a + a + 2017− 2017 = 2a
(a + 1009) ◦ (a + 1008) = a + 1009 + a + 1008− 2017 = 2a + 2017− 2017 = 2a
Concluzie
Am demonstrat egalitatea a doua expresii cu parametru care folosesc compozitiadata.
68
Calcul algebraic. Ecuatii exponentiale.
Determinati numarul real x pentru care 4x ◦ 2x = −2011.
Ce se cere
Se prezinta o compozitie cu exponenti necunoscuti. Se solicita aflarea varia-bilei necunoscute.
Strategie
Evaluam compozitia. Obtinem o ecuatie exponentiala pe care o rezolvamprin substitutie, ca ecuatie de gradul doi.
Rezolvare
Efectuam compozitia
4x ◦ 2x = 4x + 2x − 2017 = 22x + 2x − 2017
ceea ce este t2 − t− 2017 pentru t = 2x
deci t2 + t− 2017 = −2011 adica t2 + t− 6 = 0
∆ = b2 − 4ac = 1 + 24 = 25 = 52
si avem t1,2 =−1± 5
2
t1 = 2, t2 = −3.
dar t > 0 din moment ce t = 2x deci 2 = 2x deci x = 1.
Concluzie
Am rezolvat de fapt o ecuatie exponentiala. Am tratat aceasta ecuatie caecuatie de gradul doi, folosind tehnica substitutiei.
69
Manipulare algebraica. Inecuatii.
Determinati cel mai mare numar natural n pentru care n ◦ n ≤ n.
Ce se cere
Se cere determinarea unui numar pentru care compozitia prezinta proprieta-tea data.
Strategie
Dupa evaluarea compozitiei, rezolvam inecuatia obtinuta.
Rezolvare
n ◦ n = n + n− 2017 = 2n− 2017
2n− 2017 ≤ n deci n− 2017 ≤ 0 deci n ≤ 2017
n = 2017
Concluzie
In acest exercitiu am rezolvat de fapt o inecuatie, identificand cea mai marevaloare numerica naturala pentru care relatia prezentata este verificata.
70
Manipulare algebraica.
Aratati ca numarul 23−√5◦ 2
3+√5
este ıntreg.
Ce se cere
Este necesar sa aratam ca o compozitie ce contine radicali evalueaza ınmultimea numerelor ıntregi.
Strategie
Se evalueaza compozitia, si se elimina radicalii, prin scadere.
Rezolvare
2
3−√
5◦ 2
3 +√
5=
2
3−√
5+
2
3 +√
5− 2017
2
3−√
5+
2
3 +√
5− 2017 =
2(3 +√
5)
(3−√
5)(3 +√
5)+
2(3−√
5)
(3−√
5)(3 +√
5)− 2017
2(3 +√
5)
(3−√
5)(3 +√
5)+
2(3−√
5)
(3−√
5)(3 +√
5)− 2017 =
6 + 2√
5 + 6− 2√
5
9− 5− 2017
6 + 2√
5 + 6− 2√
5
9− 5− 2017 =
12
4− 2017 = 2− 2017 = −2014
Concluzie
Am aratat ca expresia data evalueaza ıntr-un numar ıntreg.
71
Al treilea subiect
Subiectul III discuta chestiuni legate de algebra matricelor si de algebralineara.
Se considera matricele
A =
[1 22 2
], I2 =
[1 00 1
].
Intrebarile se refera la
- calculul concret al unui determinant,
- demonstrarea faptului ca o matrice este inversa alteia,
- demonstrarea unei relatii ıntre matrice,
- determinarea unui numar real ce verifica o relatie,
- determinarea unui parametru, cunoscand o relatie,
- determinarea unor parametri, cunoscand o relatie.
72
Sinopsis
Calculul unui Determinant. Se cere calcularea determinantului unei ma-trice cu dimensiuni 2× 2, care se poate calcula dupa formula standard.
Calculul cu Matrice Se cere sa se arate ca o matrice specificata este inversamatricei date.
Demonstrarea unei identitati. Se cere o demonstratie a unei identitaticu matrice.
Relatie cu Matrice. Se cere aflarea unui numar real care verifica o relatie.
Determinarea unui parametru. Se prezinta o expresie ın forma de ega-litate ce contine matrice. Se cere determinarea concreta a unui parametru.
Determinarea unor parametri. Se prezinta o expresie ce contine matricesi se cere determinarea unor necunoscute.
73
Calculul determinantului.
Sa se calculeze det(A).
Ce se cere
Calcularea determinantului unei matrice din M2(R).
Strategie
In general pentru M ∈M2(R) cu M =
[A BC D
], avem formula
det(M) =
∣∣∣∣A BC D
∣∣∣∣ = AD −BC
Rezolvare
det(A) =
∣∣∣∣1 22 2
∣∣∣∣ = 2− 2× 2 = 2− 4 = −2
Concluzie
O aplicare a formulei pentru determinant.
74
Matricea inversa.
Demonstrati ca inversa matricei A este matricea[−1 11 −1/2
]
Ce se cere
Se cere sa se demonstreze ca matricea data este inversa matricei A.
Strategie
Este suficient sa multiplicam cele doua matrice, pentru a obtine matriceaidentitate I2.
Rezolvare [1 22 2
]·[−1 11 −1/2
]=
[−1 + 2 1− 1−2 + 2 2− 1
]=
[1 00 1
]= I2
Concluzie
Am demonstrat ca matricea data este inversa matricei A, prin simpla ınmultirea celor doua matrice.
75
Calcul algebraic cu matrice.
Aratati caA · A− 3A = 2I2
Ce se cere
Este necesar sa demonstram o relatie ce leaga matricele A, I2.
Strategie
Evaluam partea din stanga, si o exprimam ın functie de matricea identitate.
Rezolvare
A ·A− 3A =
[1 22 2
]·[1 22 2
]− 3
[1 22 2
]
A ·A− 3A =
[5 66 8
]−[3 66 6
]
A ·A− 3A =
[2 00 2
]= 2
[1 00 1
]= 2I2
Concluzie
Am demonstrat ca o expresie ce contine o multiplicatie si o scadere poate fiexprimata ın functie de matricea identitate.
76
Calcul cu Determinanti. Ecuatii de gradul doi.
Determinati numerele reale x pentru care det(A− xI2) = 2.
Ce se cere
Este necesar sa aflam valorile necunoscutei care verifica expresia data.
Strategie
Evaluam determinantul. Obtinem o ecuatie de gradul doi, pe care o rezolvamdupa metoda standard.
Rezolvare
A− xI2 =
[1 22 2
]− x
[1 00 1
]=
[1− x 2
2 2− x
]
det(A− xI2) =
∣∣∣∣1− x 22 2− x
∣∣∣∣ = (1− x)(2− x)− 4
deci (1− x)(2− x)− 4 = 2 deci (1− x)(2− x)− 6 = 0
avem 2− x− 2x + x2 − 6 = 0 deci x2 − 3x− 4 = 0
∆ = b2 − 4ac = 9 + 16 = 25 = 52
x1,2 =3± 5
2
x1 = −1, x2 = 4.
Concluzie
Am identificat valorile necunoscutei pentru care expresia data se verifica.
77
Calcul algebraic cu matrice.
Determinati numarul real a pentru care
A · A · A = aA + 6I2
Ce se cere
Este necesara aflarea parametrului a, din egalitatea prezentata.
Strategie
Manipulam algebraic relatia data, prin expresiile derivate anterior.
Rezolvare
A ·A ·A = A · (A ·A) = A · (2I2 + 3A) = 2A + 3A ·A
A ·A ·A = 2A + 3(2I2 + 3A) = 11A + 6I2
prin urmare a = 11.
Concluzie
Am dedus valoarea parametrului a din egalitatea a doua matrice.
78
Inecuatii.
Determinati numerele reale p si q pentru care A ·X = X · A, unde
X =
[2 1p q
]
Ce se cere
Se cere sa se determine parametrii p, q care verifica relatia data.
Strategie
Efectuam ınmultirile de matrice, si comparam elementele matricelor obtinute.
Rezolvare
A ·X =
[1 22 2
]·[2 1p q
]=
[2 + 2p 1 + 2q4 + 2p 2 + 2q
]
X ·A =
[2 1p q
]·[1 22 2
]=
[4 6
p + 2q 2p + 2q
]
deci avem p = 1, q = 5/2 si matricea X =
[2 11 5/2
]
Concluzie
Am aflat valoarea parametrilor matricei X care verifica comutativitatea luiX cu A.
79
Primul subiect
Subiectul I discuta chestiuni legate de
- manipularea algebraica a unei expresii ce contine radacini patrate,ınmultiri si adunari,
- calculul (evaluarea) unei functii lineare,
- rezolvarea unei ecuatii exponentiale ın multimea R a numerelor reale,prin aplicarea unei tehnici simple de rezolvare,
- calculul cu proportii, un rationament simplu ce implica derivarea uneiecuatii si rezolvarea acesteia,
- calculul in reper cartezian, ın care se rationeaza cu coordonate,
- rezolvarea triunghiului dreptunghic, ce presupune de aceasta data osimpla aplicare a proportiilor.
81
Sinopsis
Aritmetica simpla. Calcul cu fractii.
Inecuatii. Rezolvarea unei inecuatii simple.
Rezolvarea unei ecuatii exponentiale. Avem de a face cu eliminareaexponentului prin aplicarea logaritmului. Obtinem o ecuatie de gradul doi.
Calcul cu proportii. Aplicarea regulii de trei simpla.
Geometrie simpla. Aflarea ariei unui triunghi prin formula lui Heron.
Trigonometrie simpla. Demonstrarea unei relatii cu valori numerice con-crete.
82
Calcul cu fractii.
Aratati ca:
1
10+
1
100+
1
1000= 0, 111
Ce se cere
Un calcul simplu cu fractii.
Strategie
O simpla exprimare a fractiilor date ın forma de zecimale.
Rezolvare
0, 1 + 0, 01 + 0, 001 = 0, 111
Concluzie
Am calculat suma a trei fractii.
83
Rezolvarea unei inecuatii simple.
Determinati valorile reale ale lui x pentru care f(x) ≥ g(x) unde f : R→ Rcu f(x) = 2x− 1, si g : R→ R cu g(x) = x + 1.
Ce se cere
Problema prezentata ca o inegalitate de functii, rezulta de fapt ıntr-o inecuatiesimpla.
Strategie
Manipulam algebraic inecuatia si obtinem un interval pentru variabila.
Rezolvare
2x− 1 ≥ x + 1
2x− x ≥ 1 + 1
x ≥ 2
x ∈ [2,∞)
Concluzie
Am determinat intervalul pentru variabila care satisface inecuatia derivata.
84
Ecuatii exponentiale. Ecuatii de gradul doi.
Sa se rezolve ın multimea numerelor reale R urmatoarea ecuatie:
2x2
= 24x−3
Ce se cere
Rezolvarea unei ecuatii exponentiale.
Strategie
Luam logaritm ın ambele parti, obtinem o ecuatie de gradul doi.
Rezolvare
2x2
= 24x−3
luam logaritm ın ambele parti si avem x2 = 4x− 3
x2 − 4x + 3 = 0
∆ = b2 − 4ac = 16− 12 = 4 = 22
x1,2 =4± 2
2
x1 = 1, x2 = 3.
Concluzie
Am gasit solutiile pentru aceasta ecuatie exponentiala.
85
Calcul cu fractii si proportii.
O firma foloseste 5000 lei pentru publicitate, suma care reprezinta 5% dinprofitul anual al firmei. Calculati profitul anual al firmei.
Ce se cere
Se cere totalul unei sume, cunoscandu-se o fractie din aceasta suma si pro-centajul corespunzator cu fractia respectiva.
Strategie
Metoda de “trei simpla”. Daca o valoare corespunde cu o fractie dintr-untotal, atunci totalul respectiv este valoarea ımpartita la fractie.
Rezolvare
T ′ = 5000 = 0, 05T
T = 5000÷ 0, 05
T = 100.000
Concluzie
Am aplicat celebra metoda de trei simpla, prin care se afla necunoscute dinrelatii ce presupun fractii sau procentaje.
86
Calcul geometric ın repere carteziene.
In reperul cartezian xOy, avem punctele A(4, 0), B(8, 3), C(0, 3).Calculati aria triunghiului 4ABC.
Ce se cere
Este necesar sa aflam aria unui triunghi cunoscand coordonatele extremitatilor.
Strategie
Deducem lungimile celor trei laturi. Aplicam formula lui Heron, prin careavem
S =AB + BC + AC
2si A(4ABC) =
√S(S − AB)(S − AC)(S −BC)
Rezolvare
AB =√
(8− 4)2 + (3− 0)2 =√
16 + 9 =√
25 = 5
AC =√
(4− 0)2 + (0− 3)2 =√
16 + 9 =√
25 = 5
BC =√
(8− 0)2 + (3− 3)2 =√
64 = 8
S =AB + BC + AC
2= 18/2 = 9
A =√S(S −AB)(S −AC)(S −BC) =
√9(9− 5)(9− 5)(9− 8) = 3× 4 = 12
Concluzie
Am aplicat formula lui Heron pentru aflarea ariei unui triunghi, cand secunosc lungimile laturilor.
87
Trigonometrie.
Aratati ca2 sin2(30◦) + 2 cos2(60◦) = 1
Ce se cere
Se cere demonstrarea unei identitati trigonometrice cu unghiuri specificate.
Strategie
Evaluam sinusul si cosinusul pentru valorile specificate. Identitatea se trans-forma ıntr-o relatie algebraica ce se evalueaza numeric.
Rezolvare
avem sin 30◦ = 1/2 si cos 60◦ = 1/2
deci avem 2× (1/2)2 + 2× (1/2)2 = 2/4 + 2/4 = 4/4 = 1
Concluzie
Am demonstrat ca expresia cu functii trigonometrice data evalueaza conformcerintelor.
88
Al doilea subiect
Subiectul II discuta chestiuni legate de algebra legilor de compozitie, saucare folosesc legea de compozitie specificata pentru ıntrebari mai complexe.
Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie asociativa
x ◦ y = xy + +3x + 3y + 6
Intrebarile propuse se refera la:
- evaluarea compozitiei pentru numere date,
- demonstrarea unei relatii pentru aceasta compozitie,
- demonstrarea faptului ca orice compozitie cu elementul minus trei re-zulta ın absorbtie,
- intelegerea conceptului de element neutru dupa formula, si calcul alge-braic cu ınmultiri si adunari,
- rationament cu absorbtia demonstrata mai sus,
- rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor reale R.
89
Sinopsis
Evaluarea compozitiei. Se cere evaluarea legii de compozitie, ceea ceınseamna de fapt ınlocuirea variabilelor x, y cu numere concrete. Prin ur-mare, atunci cand x = 0 si y = −3 va trebui sa rezolvam ın mod concretx ◦ y.
Calcul algebraic. Se cere demonstrarea faptului ca o formula este echiva-lenta cu formula pentru aceasta compozitie.
Demonstrarea unei absorbtii. Se cere sa se arate ca orice compozitie cuelementul −3 rezulta ın elementul −3.
Element neutru pentru compozitie. Se cere o verificare simpla, pentrucare este nevoie de ıntelegerea notiunii de element neutru.
Evaluarea unei compozitii cu foarte multi termeni. Folosind absorbtiademonstrata mai sus, evaluam o compozitie cu peste doua mii de termeni.
Inecuatie si manipulare cantitativa. Folosind legea de compozitie, ajun-gem la rezolvarea unei inecuatii ın multimea numerelor reale R.
90
Evaluarea compozitiei.
Aratati ca 0 ◦ −3 = −3.
Ce se cere
Evaluarea compozitiei cu numere concrete.
Strategie
O simpla ınlocuire ın formula pentru compozitie.
Rezolvare
0 ◦ −3 = −9 + 6 = −3
Concluzie
Am evaluat compozitia pentru numere date.
91
Calcul algebraic.
Aratati ca x ◦ y = (x + 3)(y + 3)− 3, pentru orice numere reale x, y.
Ce se cere
Este necesara demonstratia unei relatii care exprima compozitia data.
Strategie
Trebuie sa aratam ca relatia data caracterizeaza compozitia. Este suficientsa rearanjam relatia data ın forma explicita.
Rezolvare
(x + 3)(y + 3)− 3 = xy + 3x + 3y + 9− 3 = xy + 3x + 3y + 6
Concluzie
Am aratat ca legea de compozitie este exprimata si prin relatia data.
92
Calcul algebraic.
Aratati ca −3 ◦ x = −3, oricare ar fi numarul real x.
Ce se cere
Se cere verificarea unei forme de absorbtie legata de compozitia cu minustrei.
Strategie
Evaluam simbolic compozitia cu minus trei. Obtinem minus trei.
Rezolvare
−3 ◦ x = −3x + 3x− 9 + 6 = −3
Concluzie
Am verificat ca, sub aceasta compozitie, elementul minus trei absoarbe oriceelement cu care este compus.
93
Element Neutru.
Verificati daca e = −2 este elementul neutru al compozitiei.
Ce se cere
Se solicita o verificare a unui potential element neutru.
Strategie
Compunem cu minus doi ın ambele parti.
Rezolvare
x ◦ −2 = −2x + 3x− 6 + 6 = x
−2 ◦ x = −2x− 6 + 3x + 6 = x
Concluzie
Am verificat ca minus doi este element neutru.
94
Manipulare algebraica.
Calculati compozitia
(−2106) ◦ (−2015) ◦ · · · ◦ (−3)
Ce se cere
Se cere determinarea unei compozitii cu numere concrete.
Strategie
Folosim direct fenomenul de absorbtie observat la compozitia cu minus trei.
Rezolvare
Datorita absorbtiei prin compunerea cu minus trei, avem:
(−2106) ◦ (−2015) ◦ · · · ◦ (−3) = ((−2106) ◦ (−2015) ◦ · · · ◦ (−4)) ◦ (−3) = −3
Concluzie
In acest exercitiu am dedus evaluarea unei compozitii.
95
Manipulare algebraica. Inecuatii.
Rezolvati ın multimea numerelor reale ecuatia
x ◦ x ◦ x = 5
Ce se cere
Se cere rezolvarea unei ecuatii ce foloseste aceasta compozitie.
Strategie
Derivam o ecuatie cubica din evaluarea compozitiei date.
Rezolvare
x ◦ x ◦ x = (x ◦ x) ◦ x = (x2 + 6x + 6) ◦ x = x(x2 + 6x + 6) + (x2 + 6x + 6) + 3x + 6
x ◦ x ◦ x = x3 + 6x2 + 6x + x2 + 6x + 6 + 3x + 6 = x3 + 7x2 + 15x + 12
x ◦ x ◦ x = (x + 3)3 − 3
Avem (x + 3)3 − 3 = 5
(x + 3)3 = 8 deci x = −1.
Concluzie
Am identificat valorile necunoscutei care verifica ecuatia data.
96
Al treilea subiect
Subiectul III discuta chestiuni legate de algebra matricelor si de algebralineara.
Se considera matricele
A =
[5 22 1
], I2 =
[1 00 1
].
Intrebarile se refera la
- calculul concret al unui determinant,
- calculul concret cu matrice,
- calcularea unei variabile dintr-o relatie cu determinanti,
- demonstratia ca determinantul unei matrice este non-negativ,
- determinarea matricei inverse pentru o matrice data,
- determinarea unei familii de matrice care satisface o relatie data.
97
Sinopsis
Calculul unui Determinant. Se cere calcularea determinantului unei ma-trice cu dimensiuni 2× 2, care se poate calcula dupa formula standard.
Calculul cu Matrice Se cere sa se arate ca minusul matricei identitate esteegala cu o expresie ce presupune ınmultiri scalare si scaderi.
Calcul cu determinanti. Se cere determinarea unei variabile care, ınmultitacu matricea data rezulta ıntr-un determinant care evalueaza la patru.
Calcul cu determinanti. Se cere o demonstratie ca determinantul uneimatrice exprimate ın functie de matricele acestui exercitiu este pozitiv sauzero.
Determinarea Matricei Inverse. Se prezinta o alta matrice si se cerecalcularea inversei.
Rationament algebraic complex. Se prezinta o matrice exprimata sim-bolic, se cunoaste faptul ca determinantul evalueaza la opt. Se cere determi-narea matricei respective.
98
Calculul determinantului.
Aratati ca det(A) = 1.
Ce se cere
Calcularea determinantului unei matrice
Strategie
In general pentru M ∈M2(R) cu M =
[A BC D
], avem formula
det(M) =
∣∣∣∣A BC D
∣∣∣∣ = AD −BC
Rezolvare
det(A) =
∣∣∣∣5 22 1
∣∣∣∣ = 5− 4 = 1
Concluzie
O aplicare a formulei pentru determinant.
99
Calcul algebraic cu Matrice.
Aratati caA2 − 6A = −I2
Ce se cere
Se cere demonstratia unei egalitati ıntre doua matrice.
Strategie
Calculam diferenta din stanga egalului, prin calcul algebraic o transformamın matricea ceruta.
Rezolvare
A2 = A ·A =
[5 22 1
]·[5 22 1
]
A2 =
[29 1212 5
]
A2 − 6A =
[29 1212 5
]−[30 1212 6
]
A2 − 6A =
[−1 00 −1
]= −I2
Concluzie
Am demonstrat relatia prezentata, care leaga matricele A, I2.
100
Calcul cu determinanti.
Determinati numerele reale x pentru care det(xA) = 4.
Ce se cere
Este necesar sa determinam valorile necunoscutei care verifica faptul ca de-terminantul specificat evalueaza la valoarea patru.
Strategie
Calculam determinantul. Obtinem o ecuatie simpla de gradul doi, pe care orezolvam.
Rezolvare
xA = x
[5 22 1
]=
[5x 2x2x x
]
det(xA) = 5x2 − 4x2 = x2
deci x2 = 4 deci avem x = ±2
Concluzie
Am aflat valorile necunoscutei care verifica relatia data.
101
Calcul cu Determinanti.
Aratati ca det(A2− 6A+ aI2) ≥ 0, pentru orice numar real a, si A2 = A ·A.
Ce se cere
Este necesar sa demonstram ca un determinant cu parametru evalueaza ınN∗.
Strategie
Calculam determinantul specificat, si ıl scriem ca patrat perfect.
Rezolvare
A2 =
[29 1212 5
]
6A = 6
[5 22 1
]=
[30 1212 6
]
aI2 =
[a 00 a
]
A2 − 6A + aI2 =
[a− 1 0
0 a− 1
]
det(A2 − 6A + aI2) = (a− 1)(6− a)
avem (a− 1)2 ≥ 0
Concluzie
Am aratat ca expresia ceruta este ıntotdeauna mai mare sau egala cu zero,indiferent de valoarea parametrului.
102
Matrice inversa.
Determinati inversa matricei B, unde B = A + I2.
Ce se cere
Este necesara aflarea matricei inverse pentru matricea B. Inmultirea cu omatrice inversa rezulta ın matricea identitate.
Strategie
Calculam algebraic prin ınmultire. Deducem relatii simultane pe care lerezolvam.
Rezolvare
B = A + I2 =
[5 22 1
]+
[1 00 1
]=
[6 22 2
]
Fie B−1 =
[a bc d
]
Deci avem B−1 ·B = I2 deci
[a bc d
]·[6 22 2
]=
[1 00 1
]
ceea ce rezulta ın relatiile simultane
6a + 2b = 1
2a + 2b = 0
6c + 2d = 0
2c + 2d = 1
Deci a = −b si atunci a = 1/4, b = −1/4. In acelasi timp avem c = (−1/3)d , si atuncic = 1/4, d = 3/4.
Deci B−1 =
[1/4 −1/4−1/4 3/4
]
Concluzie
Am dedus matricea inversa matricei B.
103
Ecuatii. Rationament algebraic complex.
Determinati matricele de forma
X =
[a bb a
]ın M2(Z) stiind ca det(X) = 8.
Ce se cere
Se cere sa aflam concret matricele care verifica relatia data.
Strategie
Calculam determinantul si obtinem ecuatii simultane pe care le rezolvam.
Rezolvare ∣∣∣∣a bb a
∣∣∣∣ = a2 − b2 = (a− b)(a + b)
(a− b)(a + b) = 8
Factorizarile lui 8 ın Z sunt 2× 4, 1× 8, −2×−4, −1×−8.
Obtinem simultan a − b = 2, a + b = 4, deci a = 3, b = 1. Sau, prin comutativitatea = 1, b = 3.
Sau obtinem simultan a − b = 1, a + b = 8, deci a = 7/2, b = 9/2, care nu convine. Ingeneral solutiile derivate din aceasta factorizare nu vor conveni, datorita fractiilor.
Mai obtinem simultan a−b = −2, a+b = −4, deci a = 3, b = −1, si a−b = −4, a+b = −2,deci a = −3, b = 1.
Acest rationament rezulta ın identificarea a patru matrice posibile.
Concluzie
Am dedus forma celor patru matrice care verifica relatia data.
104