lucrarea-nr1.pdf

Metode Numerice Tema nr.I

Bare drepte solicitate axial

Pentru bara solicitat axial din figur se cere s se determine prin metoda elementelor finite:

a)deplasrile nodurilor; b)reaciunile barei i verificrile lor; c)eforturile din noduri i trasarea diagramei de fore axiale; e)rezultatele obinute prin calculul manual se vor verifica folosind un program de calcul(FEM1D,AXIS). Date numerice: l=2m A=(100+10n) mm2=190mm2 F=(10000+1000n)N=19000N q=5000N/m=5N/mm E=210000N/ mm2

03,0

t

7,19,1


2

Not Calculul manual pentru punctele a),b),c),d) se va conduce literal funcie de parametrii F,l i E*A,iar n final mrimile obinute se vor calcula i numeric pentru a se compara cu rezultatele de la punctul e).

Etape de calcul in Metoda Elementelor Finite 1)Stabilirea modelului structural discretizat cu numar finit de grade de libertate a)Discretizarea barei n m=4 tronsoane (elemente finite) interconectate n n=5 puncte nodale (noduri); numerotarea nodurilor si a elementelor finite. b)ntr-un sistem de axe general(global) XYZ,fiecrui nod i se acord cte un grad de libertate care corespunde deplasarii liniare a nodului dup axa X.Cu aceste deplasri se alctuiete vectorul deplasrilor nodale D i,n coresponden cu acesta vectorul forelor nodale concentrate n nodurile stucturii P :

1 1 1

2 2

3 3

4 4

55 5

01,7

D P HD P F

D D P PFD P

HD P

2)Analiza elementului finit pentru a obine modelul numeric elemental:

eeeee QSFdk Elementul finit unidimensional tip bar solicitat axial este raportat la sistemul de referin local XYZ,avnd n fiecare capt cte un grad de libertate.


3

eeee

e

eeeee

Fdkpl

pl

Q

lEA

kNN

SFuu

d

2

2

1111

2

1

2

1

Analiznd fiecare element finit avem:

e=1 llAASFdk

2,1111111

111

1 1 1 1 0,833 0,8331 1 1 1 0,833 0,8331,2

EA EA EAkl l l

00

12

11

2

11 QN

NS

uu

d

e=2 llAA

QSFdk

22

22222

1111

1111

1111

2

22 l

EAlEA

lEAk

2 22 2 23 3

2

2

qlu N

d S Qu N ql

e=3 llAA

SFdk8,09,1 33

3333

375,2375,2375,2375,2

1111

8,09,1

1111

3

33 l

EAlEA

lEAk

00

34

33

4

33 QN

NS

uu

d


4

e=4 llAASFdk

44

4444

9,1

9,19,19,19,1

11119,1

1111

4

44 l

EAlEA

lEAk

4 44 4 45 5

00

u Nd S Q

u N

3)Asamblarea elementelor finite pentru a obine modelul numeric structural a)Pe baza incidenei componentelor fiecrui vector mede ,.....,3,2,1 ,m componentele vectorului D se realizeaz expandarea relaiilor fizice elementale respective, la dimensiunile vectorului D : e e e ek D F S Q Expandarea se face prin adugarea de linii i coloane nule corespunztor gradelor de libertate care nu aparin elementului finit analizat:

1 2

1 2 3 4 5 1 2 3 4 50,833 0,833 0 0 0 0 0 0 0 01 10,833 0,833 0 0 0 0 1 1 0 02 2

0 0 0 0 0 0 1 1 0 03 30 0 0 0 0 0 0 0 0 04 40 0 0 0 0 0 0 0 0 05 5

EA EAk kl l

3 4

1 2 3 4 5 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 0 0 0 01 10 0 0 0 0 0 0 0 0 02 20 0 2,375 2,375 0 0 0 0 0 03 30 0 2,375 2,375 0 0 0 0 1,9 1,94 40 0 0 0 0 0 0 0 1,9 1,95 5

0 12 22 3

0 40 5

e

EA EAk kl l

qlQ ql


5

b)Sumarea relaiilor fizice elementale expandate pentru a obine relaia fizic structural: QPFDK unde:

1

1

1 2 3 4 50,833 0,833 0 0 0 10,833 1,833 1 0 0 20 1 3,375 2,375 0 30 0 2,375 4, 275 1,9 40 0 0 1,9 1,9 5

0 012 500022 50003

0 040 05

m

ee

m

ee

EAK kl

qlQ Q ql

4)Introducerea condiiilor la limit (de rezemare) ale structurii a)Rearanjarea relaiei fizice structurale pentru a pune n eviden necunoscutele problemei

2

3

4

11

55

22 203 3

1,74 41 15 5

nn n nr r n n nnn nr n n n

rn rr r r r rn n rr r r r r

n

r

K D K D P Q DK K D P QK K D P Q K D K D P Q P

D F qlD q

DD D P F Q

DHDHD

22 3

0 41050

2 3 4 1 51,833 1 0 0,833 0 21 3,375 2,375 0 0 30 2,375 4, 275 0 1,9 40,833 0 0 0,833 0 10 0 1,9 0 1,9 5

n

r

nn nr

rn rr

lQ

Q

K K EAKlK K


6

b)Condiiile de rezemare pentru reazeme fixedeplasri blocate

1

5

4.100 4.2

nn n n n nr

rn n r r

K D P Q FDD

D K D P Q

5)Rezolvarea sistemului de ecuaii matriceale i determinarea deplasrilor i reaciunilor structurii a)deplasrile nodale ale structurii(din relaia 4.1)

2

3

4

1

1,833 1 0 2 19000 5000 240001 3,375 2,375 0 2 0 5000 5000 [ ]0 2,375 4,275 1,7 0 32300 0 32300

nn n n n n

n nn n n n

K D P Q F

D F qlEA D ql Nl

FD

D K P Q K

1n nF

1

2

3

4

1,833 1 0 24000 0.65920001 3,375 2,375 5000 0.005 [ ]

210000 1900 2,375 4, 275 32300 0.376

n

uD u mm

u

b)Reaciunile structurii(din relaia 4.2)

1

5

0.6590,833 0 0 -10951.506

0.005 [ ]0 0 1,9 14251.506

0.376

rn n r r r rn n rK D P Q P K D Q

H EA NH l

6)Determinarea eforturilor i a tensiunilor

1 1 1 1

1 11 1

2 2

1

0.833 0.833 0 0 -10951.5210000 190 [ ]0.833 0.833 0.659 0 10951.52000

e e e e

ee

e

Eforturile S k d QNTensiunileA

e S k d Q

N uEA k Q NN ul


7

2 2 2 2

2 22 2

3 3

2

1 1 0.659 5000 8049.295210000 190 [ ]1 1 0.0049 5000 -18049.2952000

e S k d Q

N uEA k Q NN ul

3 3 3 3

3 33 3

4 4

3

2.375 2.375 0.0049 0 18047.518210000 190 [ ]2.375 2.375 0.376 0 -18047.5182000

e S k d Q

N uEA k Q NN ul

4 4 4 4

4 44 4

5 5

4

1.9 1.9 0.376 0 -14252.28210000 190 [ ]1.9 1.9 0 0 14252.282000

e S k d Q

N uEA k Q NN ul

Eforturile i tensiunile structurii:

21 1

22 2

23 3

1: 1.095150639288654e+004 N 57.63950733098177 N/mm

2 : -1.304849360711347e+004 N -68.67628214270246 N/mm

3: -1.804849360711347e+004 N -49.99582716651929 N/mm

mediu mediu

Tronsonul NTronsonul NTronsonul N

2

4 44 : 1.425150639288653e+004 N 39.47785704400701N/mmTronsonul N


8

Diagrama de fora axial

Verificarea prin programul de calcul automat FEM1D NE NL ND 4 3 2 ELEM# AREA E ALPHA TEMP_RISE 1 .1900E+03 .2100E+06 .0000E+00 .0000E+00 2 .1900E+03 .2100E+06 .0000E+00 .0000E+00 3 .3610E+03 .2100E+06 .0000E+00 .0000E+00 4 .3610E+03 .2100E+06 .0000E+00 .0000E+00 NODE# COORDINATE 1 .0000E+00 2 .2400E+04 3 .4400E+04 4 .6000E+04 5 .8000E+04 NODE# SPECIFIED DISPLACEMENT 1 .0000E+00 5 .0000E+00 NODE# APPLIED LOAD 2 .2400E+05 3 .5000E+04 4 -.3230E+05 NODE# DISPLACEMENT 1 .6588E-04 2 .6588E+00 3 .4822E-02 4 -.3761E+00 5 -.8573E-04 ELEM# STRESS 1 .5764E+02 2 -.6867E+02 3 -.4999E+02 4 .3948E+02 NODE# REACTION FORCE 1 -.1095E+05 5 .1425E+05

lucrarea-nr1.pdf

Documents