13

CAPITOLUL 1

PROPRIETILE FLUIDELOR

1.1. NOIUNI GENERALE

Mecanica fluidelor este o ramur a mecanicii mediilor continue. Mecanica mediilor contiinue studiaz fenomenele din universul fizic asociate corpurilor nzestrate cu structur de mediu continuu. Prin mediu continuu, se nelege acel corp, care supus unui proces infinit de divizare, conduce la pri care pstreaz ntocmai proprietile ntregului care le-a generat prin diviziune.

Materia, deci i corpurile fluide, are o structur discontinu fiind alctuit din atomi i molecule. Atunci cnd procesul de divizare ajunge n intimitatea acestora, prile rezultate (electroni, protoni, neutroni etc.), avnd dimensiuni foarte mici (raza nucleului unui atom are ordinul de

mrime 10-15 m), au proprieti diferite de cele ale corpurilor din care au fcut parte. Datorit faptului c mecanica fluidelor studiaz fenomene care se produc la scar macroscopic (adic se refer la poriuni de fluid cu dimensiuni mult mai mari dect cele ale atomului), se poate admite

ipoteza continuitii conform creia un fluid are o structur continu la orice nivel.

Corpurile fluide sunt acele medii, nzestrate cu proprietatea de a

se deforma n mod continuu i nelimitat, sub aciunea unor fore (orict de mici ar fi acestea), distribuite n mod uniform. Aceast proprietate poart numele de fluiditate. n clasa corpurilor fluide se disting dou subclase: lichide i gaze. Lichidele, fr a se opune la orice deformare, conform proprietii de fluiditate, sunt puin compresibile, adic, pentru a-i micora volumul, trebuie supuse la fore de compresiune mari. Aceasta se datoreaz eforturilor moleculare dezvoltate, care se opun la apropierea moleculelor.

14

Lichidele comprimate revin la volumul lor iniial ndat ce nceteaz comprimarea, comportndu-se din acest punct de vedere, ca nite corpuri perfect elastice, care au un volum bine determinat i iau forma vaselor n care sunt introduse.

Gazele sunt puternic compresibile, neavnd form i volum determinat. Datorit faptului c ele umplu n ntregime spaiul care le st la dispoziie, nu pot rmne n repaus dect n recipiente nchise. Spre deosebire de lichide, care la comprimare se comport perfect elastic, gazele au aceast proprietate att la comprimare ct i la destindere. Mecanica fluidelor, studiaz repausul i micarea corpurilor fluide, precum i interaciunea lor mecanic cu corpurile solide cu care vin n contact.

1.1.1. Modelul de fluid

Ca toate fenomenele fizice, miscarea unui fluid, este deosebit de

complex, motiv pentru care, considerarea simultan a tuturor factorilor care o influeneaz, ar duce la o formulare matematic deosebit de complex. De aceea, fenomenele reale sunt aproximate prin eliminarea factorilor mai puin importani i pstrarea numai a acelora cu rol determinant n desfurarea fenomenului. Aceast simplificare, permite crearea unor sisteme teoretice, numite modele. Complexitatea acestora a

evoluat odat cu a suportului matematic ce permite studiul lor. Astfel exist modelul de fluid ideal (perfect), de fluid vscos n micare laminar, de fluid vscos n micare turbulent, de fluid ne-newtonian (reologic), etc.

Toate modelele de fluid create, au la baz, ca aproximare necesar, ipoteza continuitii mediului fluid. Totui, fluidul nu poate fi considerat n orice condiii un mediu continuu. Criteriul fizic de stabilire

a continuitaii, este numrul lui Kundsen Ku=/L, unde este lungimea liberului parcurs molecular, adic distana medie (statistic) parcurs de

molecule ntre dou ciocniri consecutive (=10-7m), iar L este o

dimensiune a corpului. Cercetrile au artat c pentru u>0,1, fluidul poate fi considerat un mediu continuu. Aceast ipotez, este acceptat, deoarece fenomenele studiate n mecanica fluidelor, au un caracter

macroscopic. De aceea, se poate admite c un fluid are o structur continu la orice nivel. n baza acestei ipoteze se presupune c toate mrimile asociate fluidului (densitate, presiune, temperatur, vitez) sunt

15

SdF m

Dd (dm)

dS (dA)

dF s

D 'S '

Figura 1.1

funcii continue n tot domeniul ocupat de fluid. Un astfel de corp, care are i aceast proprietate, se numete mediu continuu deformabil. Se va numi element de fluid (sau particul fluid), cea mai mic poriune dintr-un domeniu de fluid, care poate fi analizat n condiiile meninerii ipotezei continuitii acesteia. Ea are dimensiuni infinitezimale i va fi reperat n spaiu prin poziia centrului su de mas.

1.1.2. Fore i eforturi unitare

Se consider un domeniu D, de fluid delimitat de restul fluidului,

sau de corpuri solide, cu care aceste se mrginete, de suprafaa nchis S (Figura 1.1).

Forele care se exercit asupra fluidului din domeniul D, se pot

clasifica intuitiv n fore exterioare i fore interioare. Cele din prima categorie sunt

datorate unor cauze exterioare

fluidului ce formeaz domeniul

D, iar cele din a doua,

interaciunii elementelor de

fluid din interiorul lui D. n

virtutea principiului actiunii i reaciunii, forele interioare au dou cte dou acelai suport, sunt egale ca valoare, dar au sensuri opuse. n consecin, ele formeaz un sistem echivalent cu zero, dar nu pot fi neglijate, deoarece lucrul lor mecanic nu este nul (domeniul de fluid fiind

deformabil lucrul mecanic al forelor interioare nu este nul). Forele care acioneaz asupra fluidului pot fi, de asemenea, de tip, la distan i de contact. Forele din prima categorie, reprezint aciunile la distan exercitate ntre elementele de fluid din interiorul sau

exteriorul domeniului D, sau de ctre alte cauze, exterioare fluidului.

Forele din a doua categorie, sunt datorate contactului direct ntre elementele de fluid, sau ntre acestea i alte corpuri. Pe baza consideraiilor exprimate, rezult c asupra fluidului din

domeniul D acioneaz patru tipuri de fore.

16

a) Forele exterioare la distan, reprezint aciunile la distan

datorate unor cauze exterioare fluidului din domeniul D. Se vor neglija

forele intermoleculare la distan (adic forele exercitate asupra

moleculelor de fluid din domeniul D de ctre molecule de fluid din

exteriorul domeniului), care fac parte din aceast categorie, deoarece acestea descresc ca intensitate cu distana.

Cele mai cunoscute fore exterioare la distan sunt forele de greutate i forele complementare ce apar n cazul raportrii micrii fluidului la un reper neinerial (aceste fore sunt proporionale cu masa dm, a particulei fluide asupra creia acioneaz, de aceea se vor numi fore masice).

Pentru un element de volum dV, de mas dm, fora masic se

poate exprima matematic n forma :

Vdf=dmf=Fd m

. (1.1)

Vectorul f

este un factor de proporionalitate (reprezint fora masic aplicat unitii de mas - dm=1) i se numete for masic

unitar. n mod uzual, se admite c ),( trff

= , unde r

este vectorul de

poziie al centrului de mas al elementului de fluid, iar t este timpul. Acest mod de analiz, confer relaiei (1.1) valabilitate, la nivelul ntregului univers material. n cazul particular al existenei elementului

de fluid pe suprafaa pmntului, atunci gf

, unde g

este acceleraia

gravitaional.

innd seama de faptul c domeniul D, are n componena sa o

infinitate de particule fluide, asupra crora acioneaz fore elementare

mFd

, fora masic ce acioneaz asupra ntregului domeniu se exprim cu

expresia:

D D

VdfFdF mm

(1.2)

b) Forele interioare la distan, se exercit ntre moleculele din

interiorul domeniului D. Aceste fore pot fi neglijate, deoarece

intensitatea lor descrete cu distana. c) Forele exterioare de contact, sunt datorate contactului fluidului

din interiorul domeniului D, cu cel din exteriorul lui, sau eventual cu

corpuri solide ce mrginesc fluidul, de-a lungul suprafeei S. Acestea sunt deci, forele care ar trebui aplicate pe suprafaa S, care delimiteaz

17

R

n

FS

S(A)

Figura 1.2

domeniul D, care s suplineasc interaciunile exterioare acestuia astfel

nct s nu-i modifice starea de repaus, sau de micare. Deoarece se admite c aceste fore se exercit chiar pe suprafaa S, se mai numesc i fore de suprafa. d) Forele interioare de contact, sunt datorate interaciunii

fluidului dintr-un domeniu D` D, cu cel exterior lui D `, dar inclus n

D (Figura 1.1). Ele sunt deci, de aceeai natur cu forele exterioare de

contact.

Forele de contact se pot evalua sistematic, prin introducerea noiunii de efort unitar.

Fie S un element al suprafeei S,

suficient de mic, de arie A, iar R, un punct aparinnd acestui element de suprafa (Figura 1.2). Forele de suprafa care

acioneaz asupra suprafeei elementare S, se reduc n punctul R, la o

rezultant SF

i la un cuplu de moment, M

.

Dac suprafaa S este de arie A (A 0), efectul cuplului de

moment M

este neglijabil n raport cu cel al forei SF

, astfel nct, se

poate considera c exist limita:

dA

Fd

A

Flimp ss

0An

, (1.3)

unde np

, se numete efort unitar, sau tensiune.

Posibilitatea nlocuirii efectului fluidului din exteriorul suprafeei S, prin eforturi unitare, constituie principiul eforturilor unitare, similar cu principiul forelor de legtur din mecanica solidului rigid. Ca atare, rezult c forele de contact, innd seama c suprafaa

S, care mrginete domeniul D, are o infinitate de elemente de arie

infinitezimale, asupra crora acioneaz forele elementare sFd

, se

exprim sub forma:

S

nS dApF

. (1.4)

18

C

A

OB

dF = fd

p dAx

z

y

x

p dA

p dAy

p dAz

i

jk

zm

x

y

n

hn

Figura 1.3

1.2. PROPRIETILE FIZICE ALE FLUIDELOR

1.2.1. Presiunea

Dac fluidul este n repaus, atunci fora elementar sFd

, este

normal la elementul de suprafa S, deoarece n caz contrar ar nsemna

c sF

are o component n planul tangent n R la S (Figura 1.2), ceea

ce ar provoca deplasarea particulelor de fluid situate n vecintatea punctului R, de-a lungul suprafeei, S. Acest lucru contravine ipotezei repausului fluidului.

Experimentele au artat c asupra unui corp solid care se afl n contact cu un fluid n repaus, se exercit ntotdeauna fore de

compresiune. Rezult deci c, fluidul din exteriorul domeniului D

exercit pe elementul de suprafa S, fora ss FnF

, unde n

, este

versorul normalei exterioare n R, la suprafaa, S. Din relaia (1.3.), rezult c:

,npp n unde :

dA

dF

A

Flimp ss

0A

(1.5)

(p este presiunea static, i reprezint de fapt o msur a efortului unitar

np

, cnd fluidul se afl n stare de repaus).

Se poate formula urmtoarea propoziie: n orice fluid aflat n stare de repaus, intensitatea efortului unitar (presiunea static), nu depinde de direcie. Pentru a demonstra aceast propoziie se consider un element de fluid

infinitezimal de form tetraedric (figura 1.3). Asupra acestuia,

acioneaz ca fore exterioare, fora masic i forele de suprafa, asociate feelor tetraedrului. Starea de repaus a

19

acestuia, este asigurat dac suma forelor exterioare care acioneaz asupra sa, formeaz un sistem echivalent cu zero.

Fie p,p,p,p zyx , presiunile asociate suprafeelor: OBC, OAC,

OAB i ABC perpendiculare pe Ox, Oy, Oz i n

.

Relaia vectorial ce definete starea de echilibru, este:

0FdFd ms

, (1.6)

unde:

npdAkdApjdApidApFd zzyyxxs

. (1.7)

Proiectat pe axele sistemului de coordonate, relaia (1.6) conduce la sistemul:

,0dvf)kn(pdAdAp

;0dvf)jn(pdAdAp

;0dvf)in(pdAdAp

zzz

yyy

xxx

(1.8)

unde:

,dA)kn(dAdA

;dA)jn(dAdA

;dA)in(dAdA

z

y

x

(1.9)

a,b,g, reprezentnd cosinuii directori ai feelor tetraedrului, de volum:

hdA3

1dV , (1.10)

unde h, este nlimea tetraedrului, dus din vrful O. nlocuind relaiile (1.9) i (1.10), n (1.8), i simplificnd, se obine:

.03

hfpp

;03

hfpp

;03

hfpp

zz

yy

xx

(1.11)

20

p

1 atm 0

absoluta

0

p >0relativa

p

21

Tabelul 1.1

Denumirea Simbol Sistemul Echivalent n uniti SI ( sau alte uniti)

kilogram for pe metru ptrat

kgf/m2 MKfS 9,80665 N/m

2

barye barye CGS 0,1 N/m2; (1dyn/cm

2)

piez pz MTS 103 N/m

2; (1sn/m

2)*

bar bar - 105 N/m

2

atmosfer tehnic at - 9,80665 104 N/m2;(1kgf/cm2)

atmosfer fizic At sau atm - 1,01325 105 N/m2

atmosfer absolut ata sau at - n ata=(n+1)at

milimetru coloan de ap

mm H2O - 9,80665 N/m2; (1kgf/m

2)

milimetru coloan de mercur sau torr

mm Hg

sauTorr

- 1,33322 102 N/m

2

(1/760 At)

* 1sn (sten) =103 N

1.2.2. Temperatura

Experiena arat, c, energia mecanic consumat prin simpla frecare ntre dou corpuri, se regsete, n acestea, sub form de cldur, care, fiind una din formele n care se manifest energia n natur, se numete i energie caloric. Ea este n interdependen cu alte forme de energie: mecanic, chimic, nuclear, etc. Factorul care msoar intensitatea cldurii, gradul de nclzire sau rcire al unui corp, este temperatura.

Din punct de vedere practic, ntotdeauna, cldura se propag de la corpul cu temperatura mai nalt, spre corpul cu temperatura mai joas (independent de cantitatea de cldur pe care o posed corpurile), pn n momentul cnd cele dou corpuri ajung la temperaturi egale. Cldura se propag prin conductibilitate (conducie), cnd trece de la o particul la alta cu care este n contact, prin convecie (sau prin cureni), cnd trece de la un punct la altul al spaiului mpreun cu substana n micare (curent fluid), sau prin radiaie, cnd este adus prin raze emise, direct de la sursa cald. Temperatura unui corp, se determin n raport cu o temperatur de referin, care s-a ales punctul triplu al apei, adic temperatura la care

22

fazele, solid, lichid i de vapori ale apei pot coexista n stare de echilibru.

n S.I., unitatea de msur a temperaturii, este Kelvinul (K); 1K, reprezint 1/273,16 din temperatura punctului triplu al apei, notat cu

273,16K. Temperatura astfel msurat se noteaz cu T K i se numete temperatur absolut (T=0 este zero absolut). Pentru msurarea temperaturii, se utilizeaz i alte uniti de msur: grade Celsius [C], Reamuir [R], sau Fahrenheit []. ntre acestea se pot scrie relaiile

1 C=(1+273,15)K=4/3 R=(32+1 9/5) F (1.15)

Observaie: Gradul Celsius (C) reprezint 1/100 din intervalul determinat de temperatura de topire a gheii notat cu 0 C i temperatura de fierbere a apei, ambele la presiunea de o atmosfer fizic (760 mm Hg). Deoarece punctul triplu al apei este situat cu 0,01C peste punctul

de topire al gheii la presiunea de 1At, relaia (1.15) este evident. Legea propagrii cldurii, de la un perete plan la fluid, sau invers (aducia), se exprim prin formula lui Newton

,TTtAQ 21 (1.16)

care d expresia cantitii de cldur, Q, ce strbate peretele de arie A, n timpul t , tiut fiind c, diferena de temperatur dintre perete i fluid,

este T1T2. Factorul de proporionalitate , se numete coeficient de aducie. Cantitatea de cldur, Q, care se propag prin conductibilitate, strbtnd peretele plan de arie A i grosime b, n timpul t, cnd feele peretelui sunt nclzite la temperaturile T1 i T2, este dat de formula lui Fourier:

,b

TTtAQ 21

(1.17)

, fiind conductivitatea termic a peretelui. Propagarea cldurii de la un fluid mai cald ctre unul rece, desprite printr-un perete, se numete, de obicei, transmisie de cldur. Ea este format din aducie/conductibilitate(conducie)/aducie, fiind generat de relaiile (1.16) i (1.17).

1.2.3. Densitate, volum specific, greutate specific

23

Fie D, un domeniu de fluid de volum V, mas m i greutate

gF

. Dac D, tinde s se reduc la punctul RD, densitatea, , volumul

specific, v i greutatea specific, , a fluidelor se definesc cu relaiile:

.gd

dFFlim

;dm

d

mlim

1

;d

dmmlim

gg

0v

0v

0v

VV

VV

VV

(1.18)

n cazul unui fluid omogen, din punct de vedere al distribuiei

maselor, avnd masa, m i volumul, V, acesta are densitatea i greutatea

specific , dat de relaiile:

.

;

3

3

m

Ng

F

m

kgm

g

V

V (1.19)

Pentru cteva dintre fluidele uzuale, valorile lui , sunt date n tabelele 1.2 i 1.3

Tabelul 1.2*

Proprietatea

lichidului

Ap Toluen

Alcool

metilic

Alcool

Etilic

Mercur

Simbol U.M.

Densitate

0

Kg/m3 999,8 890 810 810 13595

kgfs2/m4 101,9 90 82 82 1385,8

Vscozitate

dinamic

1040 Ns/m4 17,91 7,70 8,16 17,70 16,98

kgfs/m2 1,826 0,785 0,832 1,804 1,731

B K 511,6 641,5 1283 2455 355,2

C K 149,4 -67 0 65 13

Vscozitate

cinematic 1060 m

2/s 1,791 0,871 1,01 2,20 0,125

* Indicele 0 arat c valorile respective din tabel corespund temperaturii

= 0C. Toate valorile corespund presiunii p=1at. Tabelul 1.3*

24

V

V

Vd

Vp1

2p

1

2

lichid

F

pp+dp

Figura 1.5.

Proprietatea

gazului

Aer Oxigen

O2

Azot

N2

Hidroge

n

H2

Bioxid

de

carbon-

CO2 Simbo

l

U.M.

Densitate 0

kg/m3 1,251 1,383 1,211 0,0871 1,913

kgfs/m4 0,1278 0,1413 0,1239 0,0087 0,1955

Vscozitate

dinamic

1060

Ns/m2 17,17 19,28 16,52 8,35 13,70

kgfs/m2 1,750 1,965 1,684 0,851 1,397

S K 123,6 138 103 83 274

Vscozitate

cinematic 1050

m2/s 1,373 1,394 1,364 9,587 0,716

Constanta

caracteristic

R

J/kgK 287,04 259,78 296,75 4124 188,88

m2/s2K 287,04 259,78 296,75 4124 188,88

Exponentul

adiabatic

- 1,402 1,399 1,400 1,409 1,301

Celeritate c0 m/s 332 315 337 1260 259

Indicele 0 arat c valorile respective din tabel corespund temperaturii

=0C. Toate valorile corespund presiunii p=1at.

1.2.4. Compresibilitatea

Experimental s-a constatat c lichidele supuse comprimrii i schimb volumul, ceea ce arat c ele sunt compresibile.

Se admite c un lichid de volum, V, este comprimat de o for, F, aciune care are drept rezultat, creerea unei presiuni, p, n masa

lichid dat (Figura 1.5). Fie dV, cantitatea cu care se micoreaz volumul V, corespunztor creterii cu valoarea dp a presiunii. Dependena schimbrii volumului cu presiunea, este dat de relaia:

dpV

dV , (1.20)

25

unde este coeficientul de compresibilitate volumic izoterm, iar semnul minus din relaie apare deoarece atunci cnd presiunea crete, volumul scade. Celelalte mrimi fizice care intervin n relaie sunt evideniate n figura 1.5. Integrnd relaia (1.20), se obine:

)(

00ppeVV

, (1.21)

relaie care exprim comprimarea lichidului de la V0 la V, cnd presiunea crete de la valoarea p0, la p. n cazul n care variaia presiunilor este relativ mic, ecuaia caracteristic (1.21) se poate pune sub o form mai simpl. Astfel, dac funcia exponenial se dezvolt n serie i se neglijeaz termenii care conin pe la puteri mai mari dect unu, se obine:

)(1 00 ppVV , (1.22) n care:

V0 este volumul iniial aflat la presiunea p0; V - volumul la presiunea p (p > p0);

Coeficientul de compresibilitate, , variaz de la un lichid la altul, valoarea lui fiind dat de relaia:

dp

dV

V

1 . (1.23)

Aceast relaie exprim i conine, totodat, i principiul pe baza cruia se poate determina experimental valoarea lui . Astfel, instalaia pentru msurtori trebuie n aa fel conceput, nct s se poat msura variaiile de volum pentru diferite creteri ale presiunii. Coeficientul de compresibilitate, , este o constant fizic a fiecrui lichid, dimensiunea lui fiind:

2

22

2

3

3

1

LMT

L

F

L

LF

L

L , (1.24)

putnd avea urmtoarele uniti de msur:

daN

cm

kgf

cm

kgf

m

N

m

dyna

cm 22222;,,, , (1.25)

corespunztor diferitelor sisteme de uniti de msur

26

1 2 3

4

56

7

8

9

Figura 1.6. Instalaia experimental

Dac fora care a comprimat masa lichid dat i nceteaz aciunea, volumul lichidului revine la valoarea iniial, ceea ce arat ca lichidele sunt, nu numai compresibile, ci i elastice. Aceast proprietate este definit printr-un alt coeficient, numit modul de elasticitate, notat cu i care este dat de relaia:

dV

dpV

1. (1.26)

Se observ c , are dimensiunea: 2L

F i se msoar n:

)(22 cm

dyna

m

N .

Compresibilitatea lichidelor fiind mult mai mic dect a gazelor, aceasta a fcut ca lichidele s fie considerate, uneori, fluide incompresibile. Lichidul incompresibil este un concept matematic, un

model, care poate fi folosit numai n studiul fenomenelor n care

elasticitatea este neglijabil. n realitate, toate lichidele sunt, mai mult sau mai puin, compresibile. Incompresibilitatea poate fi admis, numai dac aceast ipotez nu conduce la rezultate i concluzii eronate. De exemplu, propagarea sunetului printr-un mediu lichid, a undei de oc, sau transmisia sonic a energiei etc., sunt fenomene care exist tocmai datorit compresibilitaii lichidelor.

Pentru determinarea

experimental a coeficientului de compresibilitate, , a lichidelor, se folosete o pomp hidraulic cu piston, n care lichidul poate fi comprimat pn la o presiune de 800kg/cm

2.

Elementele componente ale

acestei pompe, sunt redate n

figura 1.6.

Pompa se compune dintr-un corp cilindric, l, cu perei groi, n interiorul cruia are loc comprimarea lichidului. Urmeaz apoi, n ordinea importanei, cilindrul 2, n care se deplaseaz pistonul 3, cu ajutorul cruia se realizeaz a for de presiune, care acioneaz asupra lichidului. Deplasarea pistonului, n sensul naintrii i retragerii, se obine printr-un urub cu profil ptrat, pus n micare manual, prin

27

rotirea manivelei, 4. Articulaia dintre tij i piston este astfel realizat, nct pistonul s aib numai micare de translaie nu i de rotaie. Pentru msurarea presiunii lichidului, se folosete manometrul metalic 6, care se afl montat pe cilindrul 1, ntre acestea aflndu-se robinetul 5.

Pe conductele care leag cei doi cilindri se afl montat rezervorul 7, n care se introduce lichidul supus msurtorilor. Alimentarea cu lichid, a celor doi cilindri de lucru, este asigurat prin intermediul unui ventil cu ac,8.

1.2.5. Ecuaia de stare

Dac D, este un domeniu de fluid de mas m, acesta constituie un

sistem material care are schimburi controlabile de cldur cu exteriorul. Sistemul material se caracterizeaz prin starea sa (situaie pe care o are la un anumit moment), definit la rndul ei, prin mrimi sau parametri de stare. Parametrii de stare, pot fi separai n dou grupe: - calitativi (presiune, temperatur, densitate.); - cantitativi (energie intern, entropie, etc.). Variaia acestora, determin strile viitoare ale sistemului. Dac sistemul trece dintr-o stare n alta, se spune c aceasta suport o transformare. n cazul unei transformri, se deosebesc o stare iniial, stri intermediare i o stare final. Strile iniial i final, sunt, n general, stri de echilibru (n care sistemul poate rmne un timp nedefinit). Parametrii de stare nu depind de transformrile intermediare, ci numai de situaia atins de sistem la momentul respectiv. Variaiile elementare ale parametrilor de stare, sunt difereniale totale exacte. Se admite c, pentru un fluid omogen n echilibru termodinamic, parametrii de stare calitativi ai fluidului sunt determinai, dac se cunosc doi dintre ei, ceea ce nseamn c, pentru fiecare stare de echilibru, exist o relaie de forma:

0T,,pf , (1.27)

numit ecuaia de stare a fluidului respectiv. innd seama de legea conservrii masei .constm V , n

locul densitii, , se poate folosi ca parametru calitativ, asociat unui

domeniu de fluid de mas, m i volumul acestuia V.

28

n continuare, se vor stabili formele ecuaiei de stare, separat pentru lichide i pentru gaze, considerndu-se evoluia fluidului de la

starea iniial (p0, V0, T0), la starea final (p, V, T).

1.2.5.1. Ecuaia de stare pentru lichide

La lichide, se constat experimental, c n cazul unei transformri izoterme (adic efectuat la temperatura constant T0,), la o variaie de

presiune p=p-p0, modificarea de volum V=V-V0 este proporional cu

V0 i p. Pentru a caracteriza cantitativ aceast proprietate se introduce

relaia:

0T0

00T

pp1

sau

pE

1p

VV

VVV

(1.28)

unde:

- T , este coeficientul de compresibilitate izoterm,

- T

1E

-modul de elasticitate.

Semnul (-) din relaia (1.28), arat c unei creteri a presiunii, i corespunde, ntotdeauna, o micorare a volumului i invers. Tot la lichide, s-a constatat experimental, c n cazul unei transformri izobare (adic efectuat la presiune constant p0), la o

variaie a temperaturii T= T T0, exist proporionalitate ntre variaia

de volum V=V V0 i aceea de temperatur, caracterizat cantitativ de

relaia:

Tv 0 V , (1.29)

sau

00 TT1 VV . (1.30)

unde este coeficient de dilatare volumic izobar. Pentru a trece de la starea iniial (p0, V0, T0), la starea final (p, V,

T), se poate efectua mai nti transformarea izoterm (p0, V0, T0) (p`,

V`, T0), apoi transformarea izobar (p, V

*, T0) (p, V, T).

innd seama de relaiile (1.28) i (1.29) se obine:

29

00T0 TT1pp1 VV (1.31)

Coeficienii T i , pentru lichide, au ordinul de mrime 10-10

m2/N, respectiv 10

-4 K

-1, motiv pentru care, n relaia (1.31), se poate

neglija termenul care conine produsul T, valoarea acestuia, fiind foarte mic, obindu-se astfel:

00T0 TTpp1 VV . (1.32)

innd seama de legea conservrii masei, din relaia (1.31), se obine:

100T0 TTpp1

. (1.33)

Dezvoltnd n serie relaia (1.32) i reinnd doar primii doi termeni, rezult:

00T0 TTpp1 . (1.34)

n tabelele 1.2 i 1.3, sunt date valorile coeficienilor T i pentru cteva fluide. Se poate observa c valorile acestora sunt mici. De aceea, pentru intervale uzuale de presiuni, lichidele pot fi considerate

practic incompresibile, deci V = const., ceea ce este similar cu = const

(lichidul are densitate constant). Compresibilitatea lichidelor trebuie luat n considerare n cazurile unde apar presiuni ridicate (lovitur de berbec, sonicitate, sisteme de acionare hidraulic). 1.2.5.2. Ecuaia de stare a gazelor

n cazul gazelor reale, aflate n condiii uzuale, se poate admite, cel puin ntr-o prim aproximaie, legile gazelor perfecte. Prin definiie, n cazul unei transformri izoterme a unei mase de gaz perfect, m, este

valabil legea lui Boyle-Mariotte (pV=const.). Tot prin definiie, n cazul

unei transformri izobare, este valabil legea lui Guy-Lussac (V/T=const.). Efectund nti transformarea izoterm, (p0, V0, T0) (p,

V`, T0), apoi transformarea izobar (p, V

`, T0) (p, V, T) se obine:

30

.TT

pp

deci;TT

;pp

0

00

0

*

*

00

VV

VV

VV

(1.35)

mprind ultima relaie cu m, rezult ecuaia de stare a gazelor perfecte:

,RTp

(1.36)

unde

00

0

T

pR

, (1.37)

R fiind constanta caracteristic (sau specific) a gazului considerat (pentru aer uscat, R=287,04 J/kgK = 287,04 m2/s2K). Alturi de ecuaia de stare (1.36), n mecanica fluidelor se utilizeaz i ecuaiile transformrilor simple ale gazelor perfecte:

- pentru transformarea izocor (efectuat la volum constant)- relaia:

= const; (1.38)

- pentru transformarea izoterm relaia:

.constp

(1.39)

-pentru transformarea adiabatic (efectuat fr schimb de cldur ntre gaz i exterior) relaia:

.constp

(1.40)

- pentru transformarea politropic (efectuat astfel nct cldura specific a gazului rmne constant)- relaia

.constp

n

(1.34)

Relaiile (1.38) i (1.39) sunt cazuri particulare ale ecuaiei de stare (1.36), ceea ce nu este cazul pentru relaiile (1.40) i (1.41). n schimb, relaia (1.33), este un caz particular al relaiei (1.34).

31

D

dF

S

dS

ds

n

Figura 1.7

Pentru a deduce relaia (1.41), se consider o mas de gaz, m,

care ocup un domeniu D, de volum, V0 i

limitat de suprafaa nchis, S (figura 1.7). n conformitate cu principiul nti al

termodinamicii, n cazul unei transformri,

ntre variaia, U, a energiei interne a gazului, cldura, Q, furnizat din exterior gazului i lucrul mecanic, L, efectuat de gaz, este

valabil relaia U= Q L. Notnd cu u,q i l, energia intern, cldura furnizat i lucrul mecanic efectuat, corespunztoare unitii de mas, m apoi considernd o transformare elementar, se poate scrie:

lqdu (1.42)

(simbolul , subliniaz faptul c q i l, nu sunt difereniale totale). Pe elementul de suprafa dS, de arie dA, gazul exercit fora

elementar dAnpFd

, unde n

, este versorul normalei la S. n timpul

unei transformri elementare, Fd

se deplaseaz cu ds, de-a lungul

normalei la S, efectund lucrul mecanic dsdApdsndAnp

.

Pentru ntreaga suprafa, S, lucrul mecanic este

S S

.pdApdsdApdsdAdspL V (1.43)

Introducnd volumul specific = 1/ = V/m (gazul este omogen),

rezult l = pdv, deci relaia (1.42), se mai scrie sub forma

Vpdqdu . (1.44)

Deoarece u i T, sunt funcii de doi parametrii de stare, de

exemplu de p i V, deci i de dp i dV, rezult:

,du

dpp

udu

pv

V

V (1.45)

VV

dT

dpp

TdT

pv

,

unde, indicii precizeaz mrimile presupuse constante, cnd se calculeaz derivatele pariale respective. n acest caz, relaia (1.44), devine:

32

.pddu

dpp

uq

pv

VVV

(1.46)

Se introduc: cldura specific la presiune constant, cp i cldura specific la volum constant, cv:

,dT

qc

p

p

.

dT

qc

v

v

(1.47)

Se poate da o alt form lui cv. Pentru aceasta, se consider o transformare izocor; atunci, din relaiile (1.45), (1.46) i (1.47) se obine

cv=(u/T)v. Pentru gazele perfecte, este valabil relaia u=u(T). Se consider valabil relaia, cv=du/dT. n acest caz, rezult:

.dTcdu v (1.48)

ntre cp i cv exist relaia lui Robert Mayer

cp cv = R. (1.49)

Fie c, cldura specific n cazul transformrii politropice, definit prin:

.dT

qc

(1.50)

nlocuind n relaia (1.44), expresia lui du dat de (1.48) i

expresia lui q, dat de (1.50), se obine:

0dTccpd v V . (1.51)

Din relaia (1.36), rezult:

.TdpdTRdp . (1.52)

Eliminnd pe T, ntre relaiile (1.36), (1.51) i (1.52), apoi innd seam de relaiile 0dd VV i (1.49), se obine:

,0d

np

dp

.

cc

ccn

v

p

(1.53)

Se admite c, cp=const i cv=const., ceea ce este valabil pentru gazele monoatomice, dar reprezint o aproximaie pentru gazele poliatomice. Considernd faptul c transformarea politropic este

33

definit prin c=const., n relaia (1.50) i integrnd ecuaia (1.53) cu n=const., rezult expresia relaiei (1.41). Dac se ine cont c ntr-o transformare adiabatic, exist relaia q=0 (c=0), atunci relaia (1.41) devine (1.40), unde =cp/cv.

Mrimile n i se numesc exponentul politropic i respectiv, adiabatic.

Observaii. a) Relaiile (1.38) i (1.39) pot fi considerate cazuri particulare ale

relaiei (1.41) (cnd n, relaia (1.41) se reduce la relaia (1.38), iar cnd n=1, relaia (1.41) se reduce la relaia (1.39)).

b) Relaiile (1.38)...(1.41) sunt de forma

p (1.54)

Micarea unui fluid se numete barotrop dac, exist o relaie de forma (1.54); n caz contrar, micarea se numete baroclin.

1.2.6. Vscozitatea

1.2.6.1. Noiuni generale

Vscozitatea este proprietatea fluidelor aflate n micare, de a se opune deformaiilor acestora, cnd nu au loc modificri valorice ale volumului, prin dezvoltarea unor eforturi tangeniale. Faptul c eforturile tangeniale apar numai n timpul micrii, conduce la concluzia, c ele sunt de natur neelastic. Se va analiza acest fenomen, pe care germanii l numesc innere Reinbung , adic frecare intern, pentru micri relativ lente, micri caracteristice regimului de micare laminar. (vezi paragraful 1.2.7.). Prin prisma teoriei elasticitii, se demonstreaz c n jurul unui punct al unui mediu continuu, se pot evidenia dou situaii: a) dac aciunile componentelor normale ale eforturilor, dup trei direcii diferite (care pot fi axele unui sistem de referin tridimensional) sunt egale i de aceeai natur (traciuni sau compresiuni), nu exist eforturi tangeniale (aceast situaie este specific strii de repaus a fluidelor, sau a modelului de fluid perfect, pentru care se accept inexistena eforturilor tangeniale);

34

x, O

K

C

C''

BA''

A'

I

B'

y

Figura 1.8

b) dac exist eforturi tangeniale, eforturile normale dup cele trei direcii, difer ntre ele i nu pot fi toate egale cu zero (situaia este specific tuturor fluidelor reale aflate n micare, putndu-se considera c peste eforturile unitare normale, specifice strii de repaus, se suprapun eforturile tangeniale datorate proprietii de vscozitate, eforturile rezultate din aceast suprapunere, avnd o orientare oarecare fa de orientarea elementului de suprafa pe care se exercit). Vscozitatea, ca proprietate, manifestndu-se numai n timpul

micrii, este strns legat de vitezele de deformaie. Pentru o facil nelegere a mecanismului pe baza cruia se produc deformaiile particulelor fluide, independent de timp, se va analiza deformaia unui cub elementar, care se deformeaz dup planul Ozy, paralel cu dou din feele cubului. (Figura 1.8) Latura ptrat a cubului OABC (coninut n planul Ozy), dup o deformaie infinitezimal, va deveni paralelogramul OABC (n ipoteza c punctul O nu s-a modificat, sau a

revenit prin translaie n poziia iniial). Este evident existena unei deformaii unghiulare, unghiul drept

AOC devenind AOC. Valoarea cu care s-a micorat unghiul drept AOC este:

AOA + COC =OC

"CC

OA

"AA (1.55)*

Unghiul cu care suprafaa cubului elementar, deformat, ce conine latura AB s-a deplasat fa de suprafaa opus ( ce conine latura OC), este

IOA = OI

'IA = IOA + AOA = AOA + COC, (1.56)

adic, este egal cu deformaia unghiular dat de relaia (1.55). Acelai unghi de deformaie, se obine dac se etaloneaz unghiul cu care suprafaa cubului elementar, deformat, ce conine latura CB, s-a deplasat fa de suprafaa opus ( ce conine latura OA ):

* Relaia (1.55) este adevrat pentru variaii infinitezimale ale unghiului (cnd

tg).

35

KOC = OK

'KC = KOC + COC = AOA + COC (1.57)

n conformitate cu ipoteza lui Newton, efortul de vscozitate

(tangenial), este proporional cu deformaia unghiular n unitatea de timp, adic:

t

OC"CC

t

OA"AAlim

t

OI'IAlimzyyz , (1.58)

unde, , este coeficientul de proporionalitate, caracteristic fluidului, numit coeficient de vscozitate dinamic. Considernd dimensiunile elementare ale cubului de fluid, iar deformaia, infinitezimal, relaia (1.58) devine:

Oz

OV

Oy

OV yzyzzy , (1.59)

expresia din parantez, exprimnd gradientul de vitez, cu care se micoreaz unghiul diedru yOz, avnd muchia Ox. Dac deformaia particulei fluide, n loc s fie plan, este oarecare, relaia (1.59) rmne valabil, cu observaia c, deformaia trebuie considerat ca rezultnd din suprapunerea a trei deformaii plane, dup un triedru de referin. Expresiile eforturilor tangeniale, rezult prin permutri circulare:

.Ox

OV

Oz

OV

;Ox

OV

Oy

OV

zxzxxz

yxyxxy

(1.60)

n cazul particular, al unei micri plane (deformaia se produce dup o direcie), produs de deplasarea uniform a unei plci, C2, n planul su, paralel cu o alt placm C1, fix, ntre ele aflndu-se un fluid vscos, care ader la suprafeele plcilor cu care vine n contact (Figura 1.9). Direcia de deplasare este Ox. Repartiia vitezei dup o direcie normal la plci (axa Oy), se poate considera liniar, dac grosimea stratului de fluid este mic.

36

F

yd

y

v +dvxvx

x

1

2

2v

v

x

y

v = 01

C (A)

C

2

1

dvx

Figura 1.9

Placa C1, este

practic infinit i se afl n repaus

( 0v1

), iar placa,

C2, are aria, A, n

contact cu fluidul, se

mic cu viteza

constant 2v

, sub

aciunea forei, F

.

Conform principiului

aciunii i reaciunii, exist o for egal i de sens contrar celei care produce micarea plcii, C2, care se opune micrii, numit for de frecare vscoas, avnd expresia:

Fy

vAFf

, (1.61)

al crei modul are valoarea:

y

vAF xf

, (1.62)

unde vx=v2 v1 este viteza relativ a plcilor. Efortul tangenial, exercitat de placa, C2, pe suprafaa superioar a stratului de fluid aderent la C2, are valoarea:

y

v

A

F xf

. (1.63)

Admind c aceast relaie este valabil i ntre dou straturi de fluid, situate la distana, dy, ntre care exist o diferen de vitez, dvx, rezult relaia, cunoscut sub numele de ipoteza lui Newton:

y

v

dy

dv xx

. (1.64)

Fluidele care se comport conform ipotezei lui Newton, se numesc newtoniene. Aerul, apa i majoritatea fluidelor utilizate n tehnic, sunt newtoniene.

Coeficientul de vscozitate, , variaz puin cu presiunea, dar mult, cu temperatura. Vscozitatea lichidelor scade, pe cnd cea a gazelor

37

crete, odat cu creterea temperaturii. Practic, la orice presiune, pentru lichide, se poate folosii formula

lui Gutman-Simons:

0T

B

TC

B

0

e . (1.65)

unde: pentru ap constantele B i C au valorile B=511,6 K ; C=-149,4 K. Pentru gaze se poate utiliza formula lui Sutherland

TS

TS

T

T 02

3

00

(1.66)

unde: pentru aer S=123,6 K

n S.I., unitatea de msur pentru coeficientul de vscozitate dinamic, este:

sPam

sN2SI

(1.67)

Se mai utilizeaz ca i unitate de msur poise-ul. Exist relaiile dimensionale:

2

2msN1,0

cm

sdynaP1

(1.68)

Raportul ntre coeficientul de vscozitate dinamic i densitatea fluidului, se numete coeficient de vscozitate cinematic

(1.69)

n sistemul de uniti S.I., coeficientul de vscozitate cinematic se exprim n:

s

m2

SI (1.70)

Se mai ntrebuineaz frecvent ca unitate de msur Stokes-ul, cu simbolul St:

s

m10

s

cm1St1

24

2 (1.71)

38

fluid cu vscozitate structurala fluid Bingham

solid

elastic

fluid pseudoplasticfluid newtonian

fluid dilatant

fluid ideal

vy

x

Figura 1.10

Alturi de vscozitatea dinamic i cinematic se mai utilizeaz n practic aa numita vscozitate convenional. Aceasta se msoar prin timpul de curgere al unei cantiti de lichid n condiii bine precizate. Ea se exprim n grade Engler (E). Pentru conversia vscozitii convenionale, exprimate n grade Engler, n vscozitate cinematic, se utilizeaz relaia:

62

10E

31,6E31,7

s

m

(1.72)

Fluidele, a cror eforturi tangeniale depind i de ali factori dect deformaia unghiular, cum ar fi: isteria curgerii, viteza de deformaie, timp, etc., se numesc nenewtoniene.

n figura 1.10, se prezint comparativ i calitativ curbele

=

y

v x , pentru cteva fluide nenewtoniene.

Fluidele la care proprietatea de vscozitate se manifest dup ce

tensiunea depete un prag 0 (ncepe micarea), se numesc vsco-plastice. Aceasta se explic prin existena n fluidul n repaus, a unei

structuri capabile s reziste oricrei tensiuni 0. Dintre fluidele vsco-plastice cel mai simplu model este fluidul Bringham, care descrie bine

comportarea unor vopsele sau noroaie.

Comportarea fluidelor cu vscozitate structural i pseudo-plastice, este explicat prin orientarea particulelor fluide. Ca exemple de astfel de fluide, se pot

aminti: suspensiile cu

celuloz, crbune, etc.

Fluidele

dilatante reprezint o categorie de fluide cu

un coninut mare de faz solid (de exemplu: mortar).

Reologia, este

o tiin care studiaz curgerea i deformarea mediilor

continue n timp.

39

AB

v

Fr

0

G

A

B

P

Figura 1.11. Legea lui

Stokes

Un fluid a crui vscozitate se neglijeaz (ntr-o prim aproximaie), se numete fluid ideal.

1.2.6.2. Metode de determinare a vscozitii

Determinarea vscozitii lichidelor se poate face prin mai multe metode. Sunt, astfel, cunoscute metoda corpului cztor, metoda corpului rotitor, metoda corpului vibrant, metoda

corpului oscilant, metoda Engler, etc.

O prim metod de determinare a vscoziti, are la baz legea lui Stokes, care stabilete rezistena ce o ntmpin un corp sferic omogen, de densitate 0, cnd cade, cu

vitez constant, ntr-un fluid de densitate , a crui vscozitate se dorete a fi determinat (Figura 1.11)

Asupra sferei acioneaz urmtoarele fore:

G

- greutatea sferei;

P

- fora arhimedic;

fF

- fora de frecare.

Echilibrul dinamic al sferei - innd seama de faptul c v

= ct

( a

= 0) este dat de relaia vectorial

0 PGFf

(1.73)

Fora de frecare pentru un corp de form sferic, cu raza R, a fost stabilit de Stokes i are valoarea:

Ep=6Rv (1.74)

n cazul unei bile, care are greutatea specific 0 i dislocuiete un volum de lichid de greutate specific , fora de greutate i arhimedic, se calculeaz cu relaiile:

G=0V = 0gV = g3

4R3; (1.75)

P=V = gV = g3

4R3. (1.76)

40

B

A

B

C

A

Figura 1.12. Aparatul Hppler

r

R

M

Figura 1.13.

innd seama de sensul fiecrei fore (vezi figura 1.11) i proiectnd relaia (1.73) dup o direcie vertical, se poate scrie:

6Rv+3

4R3g-

3

4R30g = 0 (1.78)

nregistrnd timpul n care bila strbate spaiul dintre dou puncte A i B, viteza uniform se poate calcula cu relaia:

t

ABv . (1.79)

nlocuind viteza n expresia (1.78), valoarea coeficientului de vscozitate este dat de expresia:

)(9

20

2 tRAB

g. (1.80)

Deoarece raza bilei, distana AB i acceleraia gravitaional sunt constante pentru acelai aparat, expresia (1.80) se mai poate pune sub forma:

=kt(0-) (1.81) unde:

k este o constant, care are valoarea:

2

9

2R

AB

gk ; (1.82)

t timpul de cdere al bilei ntre cele dou repere A i B; 0 - densitatea bilei;

41

R

M

Figura 1.14. Corp

rotitor conic

Figura 1.15. Aparatul Rheotest

- densitatea lichidului. Un exemplu, de aplicare a legii lui Stokes, este aparatul Hppler,

care are un domeniu de msurare destul de larg, putnd fi ntrebuinat pentru pcuri, uleiuri, gaze sau alte fluide transparente care au vscozitate ntre 10-1 105 CP. Figura 1.12, cuprinde un vscozimetru Hppler (A), un termostat (B)}i furtune de legtur (C).

O alt metod de determinare a vscozitii este acea a

corpului rotitor. Acesta poate fi un cilindru, sau un con. Principial, aceast metod este prezentat n figura 1.13, pentru cazul n care corpul rotitor este cilindric i n figura 1.14, n cazul n care acesta este conic. Metoda se bazeaz, n esen, pe determinarea eforturilor tangeniale pe care trebuie s le nving un corp, la rotirea sa printr-un lichid.

Posibilitatea pe care o ofer aceast metod, de citire a deformaiilor unghiulare, i conduce la un grad de precizie ridicat al

msurtorilor, n comparaie cu al celorlalte metode cunoscute. De asemenea, exist posibilitatea msurrii mrimilor reologice (tensiuni tangeniale de rupere, variaia n timp a vscozitii, etc.).

Un exemplu de aparat care funcioneaz pe acest principiu, este aparatul Rheotest, care este prezentat principial, n figura 1.15. El

este compus din

dou module distincte. Un prim

modul (1),

conine capul de antrenare (4), cutia

de viteze (9),

ansamblul

ncint-corp rotitor (5) i este legat de cel de-al

doilea modul (2),

42

h

Rezervor colorant

R1 AlimentarePreaplin

Rezervor nivel constant

Robinet reglareTub transparent

masurare

debit

Figura 1.16

a) curgere laminara

b) tranzitie

c) curgere turbulenta

Figura 1.17

care conine sursa de alimentare i partea de afiare a rezultatelor.

Avantajele pe care le prezint acest aparat sunt legate de posibilitatea studierii mrimilor reologice, determinarea precis a vscozitii lichidelor i a facilitii de a putea fi cuplat la un afiaj digital, sau un computer.

1.2.7. Regimul de micare al fluidelor

Rezultate experimentale importante, att pentru aspecte practice

ct i pentru definirea teoretic a structurii micrii fluidelor vscoase, au fost puse n eviden de ctre O. Reynolds, printr-o experien simpl,

reprezentat schematic n figura 1.16. Prin introducerea unui filament fin de lichid colorat n axa tubului

transparent, s-au exideniat i studiat, unele aspecte privitoare la

regimul de curgere.

Dac viteza de micare a fluidului prin conduct este mic, filamentul se ntinde neperturbat, n

lungul axului (Figura 1.17 a).

Aceast curgere staionar, fr amestec ntre straturi vecine, este

considerat curgere laminar,

43

deoarece este asemntoare alunecrii relative a unor plci subiri, aezate una peste alta, ca model al deplasrii fluidului n straturi vecine, paralele. Se poate aprecia, n acest caz, c straturile de fluid nu se ntreptrund, adic ntre ele nu se produce schimb de substan. La creterea vitezei de micare a fluidului, experiena cu filamentul ofer rezultate foarte diferite. Dup ce evolueaz neperturbat prin tub, pe msur ce se mreste viteza, filamentul ncepe s se onduleze, ca n final s umple printr-o pat de culoare, ntreaga conduct. (Figura 1.17 c). Aceast curgere nestaionar, cu amestec ntre straturile vecine, a fost numit turbulent. Caracteristic acestei micri, este faptul c ntre straturile adiacente de fluid, se produce un puternic schimb de substan. Viteza corespunztoare trecerii de la micarea laminar la micarea turbulent , se na numi vitez critic. Dac aceast modificare se face prin mrirea vitezei, valoarea vitezei critice se va nota cu vcr.s. Dac se trece de la micarea turbulent la micarea laminar (prin micorarea vitezei), aceasta are loc la o valoare a vitezei critice, care se va nota cu vcr.i.

S-a constatat experimental, c ntotdeauna vcr.svcr.i. Experimentele fcute de Reynolds, permit sintetizarea urmtoarelor concluzii:

- dac viteza de micare a fluidului vvcr.i, curgerea este laminar. (dac apare o perturbaie care distruge caracterul laminar al curgerii, ea revine la forma de curgere laminar, dup ncetarea perturbaiei, motiv pentru care, se numete micare laminar stabil),

- dac vcr.i v vcr.s sunt posibile att o micare laminar, ct i una turbulent (micarea laminar este ns instabil, deoarece dac apare o perturbaie care modific caracterul laminar al curgerii, aceasta nu se mai instaleaz dup ncetarea perturbaiei, micarea rmnnd turbulent),

- dac v vcr.s este posibil numai regimul de micare turbulent. Experienele efectuate au artat c forma laminar sau turbulent a micrii depinde de natura fluidului (densitate, vscozitatea dinamic ), de dimensiunile conductei, i de viteza de micare a fluidului. Aceste observaii au permis introducerea, de ctre O. Reynolds, a unei mrimi adimensionale (o msur adimensional a debitului):

dvdvRe (1.83)

44

CC

b)a)

Figura 1.18

care poart numele de criteriul sau numrul lui Reynolds. Pentru conducta de seciune, cilindric, constant, s-au calculat valorile criteriului Re pentru vitezele critice stabilite experimental,

rezultnd, pentru toate fluidele, nite valori unice, ale acestuia:

4000dv

Re

,2300dv

Re

s.crs.cr

i.cri.cr

(1.84)

Cu aceste valori ale numrului Re, care prezint utilitate practic, se delimiteaz teoretic, graniele ntre micarea laminar i micarea turbulent, Dac ns, intrarea n conduct este egalizat printr-un profil convergent, iar condiiile experimentale ale curgerii au perturbaii foarte mici (rugozitatea pereilor conductei, structura geometric a elementelor ce intr n construcia instalaiei) atunci se poate menine curgerea laminar pn la valori Re = 50.000. Pentru cazul particular al curgerii prin conducta circular, teoria elaborat de ctre diferii autori, sugereaz c nu exist o limit maxim pentru numrul Re, la care micarea laminar rmne posibil, cu condiia ca perturbaiile din curgere s fie minime. Apariia turbulenei incipiente, depinde de stabilitatea

curgerii laminare fa de perturbaiile impuse de condiiile limit, sau fa de cele provenite de la intrare. Curgerea devine

instabil, dac o perturbaie ctig energie mai rapid, dect o pierde prin disipare vscoas.

1.2.8. Tensiunea superficial

Numeroase experiene arat c, n cazul repausului, suprafaa de contact dintre un lichid i un alt fluid cu care lichidul nu se amestec are

45

S

M 1

r 0

M 2

F

R

Figura 1.19

SF

S

SF

S

Figura 1.20

aria minim posibil. De exemplu, pe un cadru metalic scos dintr-un amestec de ap i spun se formeaz o lam lichid (Figura 1.18). Un fir de a nglobat n lama lichid are forma unei curbe nchise oarecare C (Figura 1.18.a). Dac lama lichid este nepat ntr-un punct oarecare din interiorul lui C, se constat c C devine un cerc, adic lichidul ia forma care corespunde suprafaei sale minime (Figura 1.18.b). Tot astfel, o pictur de lichid aflat n repaus n interiorul altui lichid, de aceeai densitate cu primul dar cu care ne se amestec, are form sferic, ceea ce de asemenea corespunde ariei minime a suprafeei picturii. Asemenea fenomene pot fi

explicate n felul urmtor. Fie, de exemplu, un lichid care este n contact

cu un gaz (Figura 1.19). Asupra unei

molecule de lichid M, se exercit fore de coeziune, de ctre moleculele de lichid situate fa de M, la o distan mai mic dect raza sferei de aciune

molecular r0, (r010-6

mm). Forele de coeziune exercitate asupra unei molecule M1, din interiorul lichidului,

formeaz un sistem echivalent cu zero. n schimb, n cazul unei molecule M2, aflate la suprafaa liber a lichidului, forele de coeziune au

rezultanta 0R

, orientat ctre interiorul lichidului. Efectul tuturor acestor rezultante nenule, este o

tendin de contracie a suprafeei libere S, a lichidului. De asemenea, forele de

coeziune F

, tangente la suprafaa S, dau natere unor eforturi unitare n S.

Fie o tietur rectilinie de lungime s, n suprafaa liber S. Marginile tieturii pot fi meninute n contact numai dac

li se aplic forele F;F

, situate n planul tangent la S i normale la

tietur (Figura 1.20). Lichidul fiind presupus omogen i izotrop, F

, nu

depinde de locul sau direcia tieturii. n fiecare punct al suprafeei libere S, se poate definii mrimea

ds

Fd

s

Flim

0s

(1.85)

46

ds1

ds1

ds2

ds 1

ds2

2r

r 1

P

dS

ds 2

p dA2

p dA1

Figura 1.21

numit tensiune superficial. Ca i F

, intensitatea

a lui

nu

depinde de punct sau direcie. Eforturi unitare analoage iau natere ntr-o membran elastic solicitat n mod uniform, aceasta putnd deci modela suprafaa liber a lichidului. Teorema lui Laplace.

n orice punct al suprafeei libere a unui lichid aflat n

repaus, diferena presiunilor exercitate pe feele suprafeei libere este egal cu dublul produsului dintre intensitatea

tensiunii superficiale i curbura medie a suprafeei.

ntr-adevr, fie dS un element al suprafeei libere S, avnd forma din figura 1.21, limitat de linii de curbur ale suprafeei S i cruia i aparine punctul curent P. Fie 21 dldldA , aria lui dS, iar r1

i r2, razele de curbur principale, ale suprafeei S, n punctul P. Pe laturile lui dS se exercit forele

21 dl;dl

. Intensitatea rezultantei

forelor exercitate pe ambele laturi de lungime dl1 este:

.r

dA

r

2dl

dl2sinds222

2

11 (1.86)

Analog, intensitatea rezultantei forelor exercitate pe ambele

laturi, de lungime dl2, este 1r

dA ; deci rezultanta tuturor forelor de

tensiune superficial exercitate asupra lui dS, are ca suport, normala n

punctul P, la suprafaa S, iar intensitatea dArr 1211 . Fora de presiune exercitat asupra lui dS, are ca suport, normala n P la S, iar

intensitatea ,dApp 21 unde p1 este presiunea de pe suprafaa concav a lui S, iar p2 este presiunea de pe faa convex a lui S. Considernd proieciile acestor fore pe direcia normalei n P la S, se obine pentru dS condiia de echilibru:

0dAr

1

r

1dApp

21

21

, (1.87)

47

23 31

12

2

3

1

Figura 1.22

12

31

23 1

2

3

1

2

3

23 31

12

a) b)

Figura 1.23

din care rezult relaia:

.r

1

r

1pp

21

21

(1.88)

Mrimea (r1-1

+r2-1)/2, este curbura medie a suprafeei S, n punctul P. Se

observ c p1p2.

Valoarea lui depinde de natura fluidelor aflate n contact i de temperatur (ea descrete la creterea temperaturii). La contactul dintre

un lichid i un gaz, pentru acelai lichid, valoarea lui variaz puin cu natura gazului. n sistemul SI, tensiunea superficial se msoar n N/m.

Pentru aer i ap, la 20C, =0,0726 N/m. Tensiunea superficial se manifest i la contactul dintre dou lichide nemiscibile (caz n care se numete tensiune interfacial), ca i la contactul dintre dou lichide i un gaz sau dintre un lichid, un gaz i un solid. De exemplu, fie o pictur dintr-un lichid 2 situat pe suprafaa unui alt lichid 1, ambele lichide fiind n contact cu un gaz 3 (Figura

1.22). Fie 312312 ,,

respectiv tensiunile superficiale corespunztoare

fluidelor 1 i 2, 2 i 3, 3 i 1. Condiia de repaus a liniei comune celor trei fluide este

.0312312

(1.89)

Dac 31 12 23 , repausul liniei comune nu este posibil. Astfel,

o pictur de ulei tinde s acopere complet suprafaa apei. Fie acum un lichid 1, un

gaz 2 i un solid 3 care au o linie de contact comun (Figura 1.23).Din condiia de repaus a liniei comune, rezult relaia

0cos 312312 ce

determin unghiul de racordare dintre lichidul 1 i solidul 3:

.cos12

3123

(1.90)

48

Figura 1.24

Dac ,311223 repausul liniei comune nu este posibil: lichidul ud

perfect suprafaa solid, adic tinde s o acopere complet. De exemplu, unele uleiuri ud perfect o suprafa de sticl. De obicei este ns ndeplinit relaia ,311223 adic repausul este posibil. Dac n plus

23>31, atunci cos>0, deci unghiul este ascuit (Figura 1.23.a): se spune c lichidul ud imperfect suprafaa solid. Este cazul apei aflate n contact cu o suprafa de sticl care nu este perfect curat. Dac

311223 i 3123 , repausul este posibil iar cos

49

mic a presiunii n raport cu pv, conduce la lichefierea brusc a ntregii mase de gaz, pe cnd o scdere foarte mic a presiunii n raport cu pv provoac gazeficarea complet.

Pentru explicarea mecanismului de apariie a fenomenului cavitaional s-au emis cteva ipoteze. n general, aceste ipoteze se

bazeaz pe diagrama de stare (Figura 1.24). Conform acesteia, pentru o

scdere a presiunii, sub valoarea presiunii de vaporizare, la o temperatur

constant, legturile intermoleculare se rup, avnd loc transformarea unei pri a lichidului n gaz, generndu-se astfel, un sistem bifazic, lichid-

gaz. Scderea n continuare a presiunii conduce la o cretere accentuat a

concentraiei, precum i a dezvoltrii bulelor de gaz n cadrul sistemului bifazic lichid-gaz. Aceste aspecte constituie factori

favorizani pentru apariia fenomenului cavitaional. Explicarea apariiei i dezvoltrii bulelor de gaz n volumul unui lichid, aflat n micare, numai pe baza diagramei de stare, este mult prea simplist, datorit faptului c aceasta nu ia n considerare mrimea forelor intermoleculare, (ele, avnd valori mari, nu pot fi

nvinse prin simpla modificare a presiunii). Apariia i dezvoltarea

bulelor cavitaionale, necesit prezena unor factori favorizani,

numii germeni cavitaionali. Cu privire la existena i apariia

acestora, exist cteva ipoteze consacrate.

O prim ipotez a fost prezentat de Frenkel i ia n consideraie

existena unor goluri n structura molecular a lichidului,

corespunztoare lipsei uneia sau a mai multor molecule. De asemenea, n

cadrul acestei ipoteze se ia n considerare existena germenilor

cavitaionali n jurul imperfeciunilor de reea, care pot apare i

datorit prezenei altor particule n structura molecular a lichidului. Aceast ipotez permite determinarea rezistenei la rupere a lichidului:

O a doua ipoteza, Temperley - Van der Waals (ipotez, care pare a

fi cea mai puin probabil), consider lichidul ca o substan omogen,

fr puncte slabe, la care ruperea structurii moleculare se face doar prin

nvingerea forelor de atracie intermoleculare.

O a treia ipotez este aceea a nucleaiei, care indic faptul c bulele de gaz apar n volumul lichidului fie n locurile n care apar

fluctuaii rapide ale densitii lichidului, sau a configuraiei

structurale la nivel molecular, fie n jurul unor corpuri solide. Fluctuaii

50

Figura 1.25

pot fi generate fie de variaia presiunii, fie de variaia densitii.

Microfisurile, crestturile, imperfeciunile de form, impuritile,

favorizeaz reinerea gazului nedizolvat n lichid, constituind germeni

cavitaionali. Modificarea parametrilor

lichidului, realizat n urma procesului

de curgere (scderea vitezei, respectiv

creterea presiunii), duce la lichefierea bulelor de gaz. Fenomenul are loc

brusc, fiind nsoit de prbuirea

pereilor bulelor de gaz i este cunoscut sub numele de implozie

cavitaional. Aceasta are loc dinspre peretele supus la o presiune mai mare,

spre peretele opus. Cercetrile din

ultimii ani, au pus n eviden faptul c o bul de gaz, n timpul

imploziei, formeaz un jet, care o strbate, avnd diametrul de ordinul 10-100 m i viteza de ordinul a 200 m/s i c este nsoit un puternic schimb de cldur ntre aceasta i lichid.

Impactul dintre jetul lichid i peretele bulei cavitaionale d

natere la unde acustice i la emisii de lumin. Acest fenomen poart

numele de sonoluminiscen (Figura 1.25). Emisia de lumin este un fenomen care are loc ntr-un timp deosebit de scurt (de ordinul

picosecundelor) i se produce, aa cum apare n imagine n mijlocul

bulei cavitaionale. Se produc, de asemenea, unde de presiune sunt de ordinul a 1000 MPa.

Datorit gradientului de presiune lng perei, jeturile lichide

caracteristice imploziei sunt orientate perpendicular pe suprafaa acestora, producnd distrugerea materialului. Distrugerea suprafeelor solide n apropierea crora are loc fenomenul de cavitaie, este favorizat i de faptul c asupra acestora acioneaz toi factorii

prezentai anterior.

Distrugerea materialelor supuse fenomenului cavitaional poate

avea loc fie ntr-o perioad scurt de timp, n cazul n care aciunea

factorilor distructivi este foarte intens (cazul n care curgerea are caracter

oscilant), sau pe o perioad mai lung de timp.

51

Figura 1.26.

Figura 1.27.

Figura 1.28.

n funcie de solicitrile la care materialul este supus se

ntlnesc cteva tipuri de corodare

cavitaional. Coroziunea de tip pitting,

se definete ca un caz extrem,

localizat pe suprafaa materialului (Figura 1.26). n acest caz,

cavitile de pe suprafaa materialului pot varia de la diametre

mici i adncimi mari, pn la simple denivelri.

Destul de des o mare parte a suprafeei rmne neatins, n timp

ce zona corodat de ctre cavitaie penetreaz adnc n grosimea peretelui. Cauzele producerii coroziunii pitting nu au fost determinate

cu precizie. Totui, majoritatea cercettorilor sunt de acord cu cele dou ipoteze emise:

- pe suprafaa incintei exist un strat pasiv superficial de lichid, care din punct de vedere electric are caracteristica unui catod. n cazul n

care acest strat pasiv este rupt de ctre jetul lichid ce apare n cadrul

cavitaiei, acesta acioneaz ca un anod. Fenomenul de electroliz care

are loc face ca dezvoltarea cavitilor din material s fie foarte agresiv.

- n volumul de lichid se gsesc o mulime de compui chimici, n diferite concentraii. Dintre acetia, ionii de clorid sunt

cunoscui ca ageni distructivi foarte puternici. Fenomenul de coroziune

pitting este favorizat de prezena acestor ioni. n general, coroziunea

cavitaional produs de ionii de

clorid prezint efecte puternic perturbatoare asupra procesului de

curgere care se observ dup o perioad de timp, relativ lung de funcionare (de ordinul anilor). Evoluia n timp a coroziunii

pitting este prezentat n figura 1.27.

Datorit temperaturilor mari,

concentrate pe o suprafa relativ mic,

52

Figura 1.29

Figura 1.30.

care se degaj n cadrul fenomenului de cavitaie, se formeaz oxizi pe

suprafaa incintei. Acetia, care pot fi prezeni nc din faza de

prelucrare a materialului, genereaz apariia microfisurilor n material.

Sub aciunea factorilor distructivi specifici cavitaiei, microfisurile se

mresc conducnd la apariia unor adevrate crevase. Acest tip de

coroziune cavitaional este cunoscut sub numele de coroziune

crevas (Figura 1.28) i se observ dup o perioad relativ scurt de timp (3-6 luni).

Datorit temperaturilor foarte mari

care se dagaj n cadrul fenomenului

cavitaional, la nivelul suprafeelor pe care are loc implozia bulelor, are loc topirea

materialului, urmat de precipitarea

compuilor din structura metalului din care

este confecionat incinta. Acest fenomen

face ca la nivel intermolecular s apar zone de discontinuitate ale sulfurilor (Figura

1.29), n care predomin prezena

carburilor i care este asociat fenomenelor

perturbatorii, tipic cavitaionale. Acesta

poart numele de coroziune intergranular, sau atac intergranular (IGA). n general,

cavitaia intergranular se manifest analog coroziunii de tip pitting, motiv pentru care uneori, este tratat ca un caz particular al

acesteia.

Temperaturile mari degajate n

procesul cavitaional asociate cu

prezena hidrogenului duc la apariia coroziunii de tip hidrogen atac .

Explicaia acestui fenomen este legat de infiltrarea hidrogenului n structura

molecular a metalului, urmat, la temperaturi mari de fenomenul de

decarburare. Prezena hidrogenului n structura metalului are loc

datorit tratamentul utilizat. Suprapunerea tensiunilor interne ale materialului cu efectele

distructive ale cavitaiei (unde de presiune), duce la apariia corodrii

53

de tip SCC (Stress Corossion Cracking) (Figura 1.30). n acest caz,

cavitaia poate produce distrugerea total a aparatului. Aceast

distrugere este insidioas, imprvizibil, putnd avea loc dup o perioad

lung de funcionare, fiind greu de determinat i prevenit.

Direciile de cercetare sunt orientate, datorit dezvoltrii

tehnologice din ultima perioad, n vederea studierii, n intimitatea sa, a

procesului cavitaional.

Noile metode, i dezvoltatea aparaturii de cercetare n ultimii

ani, permit studierea micrii fluidului, precum i vitezei, presiunii,

temperaturii, regimului de curgere, corespunztor fiecrei particule. Acest

fapt permite interpretarea corect a fenomenului de sonoluminiscen, a

zgomotelor, precum i determinarea exact a cmpurilor de vitez, presiune i temperatur.

n ultimul timp, se utilizeaz tot mai frecvent, procedee de studiu bazate pe analiza de imagine, care folosesc generatoare de

lumin stroboscopic sau fascicule laser. Un alt procedeu, const n utilizarea emisiei acustice n

diagnosticarea cavitaiei care este asociat unui analizor FFT (Fast Fourier), pentru analiza frecvenial a fenomenului.

n esen, emisia acustic constituie o clas de fenomene prin care se genereaz unde elastice, rezultate prin eliberarea brusc de energie din sursele locale ale unui material. Ea este rspndit n diagnoza funcionrii diferitelor maini. Consecinele acestei emisii din timpul deformrii au fost asociate proceselor de alunecare la limitele granulelor materialului solid.

Emisia acustic, ca semnal, se poate disocia n dou componente: o component de amplitudine mare i, frecven joas i o alt component, de amplitudine mic i frecven mare.

Se cunoate c mrimea granulelor i distribuia incluziunilor n material influeneaz fenomenul de emisie acustic.

Datorit faptului c emisia acustic se manifest sub forma unor unde de suprafa, se cere a fi msurat cu ajutorul unor senzori corespunztori. Cei mai rspndii senzori de emisie acustic se bazeaz pe conversia oscilaiilor mecanice n oscilaii electrice, adic pe efectul piezo, asigurnd proporionalitatea ntre ncrcarea cu sarcin a unui material i semnalul electric pe care-l genereaz. Aceast proporionalitate este cu att mai necesar cu

54

ct fenomenul de emisie acustic se situeaz mult peste domeniul de audiofrecven, deci n domeniul megahertzilor.

O problem major care apare la folosirea emisiei acustice ca tehnic de diagnoz a unui proces, este aceea a prelucrrii semnalelor, n vederea stabilirii unor criterii relevante pentru starea unui

corp. n funcie de exigenele care se impun la studierea strii unui sistem, se poate folosi metoda RMS, pentru cazul unor exigene sczute n diagnoz (nu se obin informaii privitoare la coninutul frecvenial al undelor analizate) sau analizoarele frecveniale, care utilizeaz, fie un filtru de band, fie analiza Fourier, care permite localizarea surselor de oscilaii.

n cazul hidraulicii, fenomenul de emisie ascustic a nceput s fie utilizat n ultimii ani pentru diagnosticarea strii de uzur a pompelor, dar i n scopul diagnozei cavitaiei n aparatura hidraulic.

1.3. APLICAII

Aplicaia 1.1

Se consider un lichid compresibil a crui ecuaie este de forma (fluid barotrop):

bpa (1.191)

Se cunoate c lichidul are densitatea 1 la presiunea atmosferic

p0, iar coeficientul de compresibilitate volumic izoterm 1 pentru o

cretere a presiunii de la p0 la 2p0, sau mai general, coeficientul de

compresibilitate are valoarea n pentru o cretere a presiunii de la np0 la

(n+1)p0. S se determine valorile constantelor a i b.

Soluie. Pentru cazul particular al presiunii egal cu presiunea atmosferic, ecuaia fizic este de forma:

0bpa . (1.192)

Pe de alt parte, relaia (1.195) se poate scrie n forma:

55

00

0 pp

V

VV. (1.193)

Prin definiia dat coeficientului , i considernd pentru presiune ca unitate de msur, chiar presiunea atmosferic, pentru o cretere de presiune de la np la (n+1)p0 volumele lichidului se modific de la Vn la Vn+1, adic relaia (1.196) devine:

n

n

1nn

V

VV, (1.194)

sau innd seama de legea conservrii masei, se obine relaia dintre densiti:

n

1n

n1n

, (1.195)

sau:

n

n1n

1

(1.196)

Pentru presiunile np0 i (n+1)p0 ecuaia fizic (1.196) permite scrierea relaiilor:

01n0n

p1nba

bnpa

. (1.197)

Cu aceste valori, relaia (1.199) devine:

n

0

01

pbnap1nba

. (1.198)

Relaia (1.198), mpreun cu relaia (1.192) formeaz un sistem de ecuaii ale crui soluii sunt:

.1

1

;1

11

0

1

1

pb

n

na

n

n

n

n

. (1.199)

Particulariznd, dac 0 este coeficientul de compresibilitate pentru creterea presiunii, de la starea de vid la presiune atmosferic (n=0), se obine:

56

.1

;1

0

01

01

pb

a

(1.200)

Dac 1 este coeficientul de compresibilitate pentru creterea

presiunii de la presiunea atmosferic p0 la 2p0 (n=1) se obine:

.1

1

;1

21

01

11

1

11

pb

a

(1.201)

Se observ c legea formulat conduce la coeficienii, care depind

de condiiile particulare (presiunea) n care s-a determinat coeficientul .

Invers, rezult c pentru anumite valori adoptate pentru a i b,

coeficientulo de compresibilitate, este funcie de presiune. ntr-adevr din relaia (1.198) rezult:

00

np1nba

pb

. (1.202)

Din relaia (1.202) rezult clar, c valoarea coeficientului , se micoreaz cu creterea presiunii.

Problema poate fi ns abordat i dac se cunoate valoarea

densitaii lichidului msurat i starea de vid (0=0). n acest caz ecuaiile (1.198) i (1.192) formeaz un sistem care conduce la soluii mai simple:

.

1

11

;

0

0

0

pnb

a

n

n

. (1.203)

care pentru czul particular n=0, devin:

.1

1

;

00

0

0

0

pb

a

. (1.204)

n fine, oricare ar fi n pentru care s-a msurat coeficientul de

compresibilitate volumic izoterm n, care este foarte mic n comparaie

cu unitatea, se poate neglija termenul (n+1)n, ceea ce conduce pentru soluiile (1.203) la forma simpl:

57

.1

;

0

0

0

pb

a

n

(1.205)

Cu aceste valori ecuaia fizic (1.191) ia forma:

0

0

n00m mpp

1 , (1.206)

sau

n0m m1 , (1.207)

unde m reprezint numrul de unitai de msur a presiunii (n cazul de fa presiunea atmosferic) la care se cere determinarea densitaii. De

altfel, oricare ar fi natura dependenei =f(p), pentru ca relaia (1.207) s rmn o lege de variaie liniar, trebuie ca m i n s nu difere mult ntre ele.

Aplicaia 1.2

Lagrul de susinere al unui hidroagregat vertical are o pelicul de

ulei de grosime =0,1 mm ntre gulerul arborelui de diametru D=300 mm i baz (Figura 1.31). Diametrul arborelui fiind d=150 mm, se cere puterea consumat pentru nvingerea rezistenei vscoase a uleiului din

pelicul. Vscozitatea dinamic a uleiului este 2

3

m

skgf10566,0

.

Turaia arborelui, n=500 rot/min.

Soluie

Tensiunea tangenial, dn

dv , se

poate scrie

rv, deoarece

grosimea peliculei de ulei este foarte mic. Fora elementar de vscozitate capt expresia:

D

d

dr

r

Figura 1.31

58

drr2r

drr2dF

, (1.208)

iar momentul total fa de axa de rotaie al forelor de vscozitate:

drr2

dFrM2D

2d

32D

2d

(1.209)

44 dD32

M

. (1.210)

Puterea disipat are expresia:

9003275327575

442344

2

dDndD

MP .

.W115CP1532,0

109003275

15,03,050010566,0P

4

44233

Aplicaia 1.3

ntr-o conduct de oel cu diametrul interior D=100 mm, grosime

=2 mm, lungime L=100 m, n care se gsete ap, un piston rexecut o micare de oscilaie (Figura 1.32). n ipoteza peretelui condiuctei perfect rigid, s se determine, cunoscnd coeficientul de compresibilitate

izoterm al apei, =5,3010-10 Pa-1, viteza de propagare a undelor elastice longitudinale din fluid (viteza sunetului) provocate de micarea pistonului i frecvena de oscilaie a acestuia, astfel nct conducta s fie strbtut de o singur und incident. Ce valoare va avea viteza sunetului, dac conducta se consider deformabil, modulul de

elasticitate al oelului fiind E=2,11011 Pa?

Soluie

59

Datorit micrii pistonului n conduct, apare o perturbaie sub forma unei unde de presiune, care produce o zon de compresiune n fluid.

Fie c

viteza de propagare a acestei unde cnd elementul de fluid

ntr n zona de compresiune, el este comprimat i decelerat, variaia vitezei c

fiind negativ. Aplicnd legea a doua a dinamicii fluidului

care intr n zona de compresiune, rezult:

eF

z

cmF

, (1.211)

unde:

m este masa fluidului definit de relaia: Atcm , (1.212)

unde A, este aria seciunii transversale a conductei

- densitatea fluidului nainte de zona de compresiune.

Proiectnd relaia vectorial pe axa conductei, se obine:

t

ctAcpAApp (1.213)

sau

cc

pc2

. (1.214)

Evaluarea cantitativ a compresibilitaii izoterme a unui fluid se

face cu ajutorul coeficientului de compresibilitate volumic sau a modulului de elasticitate dat de expresiile:

c cp p

zona de

compresiunep+p piston

Lct(c+c)t

D

Figura 1.32

60

1;

p

1

p

1 V

V, (1.215)

unde V este variaia de volum n zona comprimat.

Avnd n vedere c n ipoteza fcut seciunea conductei se pstreaz constant, rezult:

c

c

V

V (1.216)

Din expresia modulului de elasticitate (1.215) i relaia (1.216), rezult relaia de calcul a vitezei de propagare a undelor de presiune (de exemplu, propagarea sunetului prin mediul fluid care se explic prin considerarea proprietii de compresibilitate) cunoscut sub numele de formula lui Newton:

d

dpc (1.217)

Cu 29 mN1088,11

i 3mkg1000 , rezult:

smc 137110

1088,13

9

Timpul n care unda parcurge lungimea conductei este

s073,0c

Lt , deci frecvena de oscilaie a pistonului este:

Hz13t

1

n realitate, conducta se deformeaz datorit undei de presiune, iar formula de calcul a celeitii devine:

sm140,1

002,0

100,0

101,2

1088,11

1371

d

D

E1

c

11

9

Rezult deci c viteza de propagare a undei de presiune este cu att mai mic, cu ct materialul conductei este mai puin rigid. (de

61

d

h

L

Figura 1.33

exemplu n cazul conductelor din cauciuc celeritatea are valoarea de 20

m/s).

Aplicaia 1.4

Arborele unei turbine verticale de diametru d=150 mm (Figura

1.33) are un lagr de ghidaj cu un joc h=0,1 mm i lungimea l=30 cm. Uleiul care umple jocul dintre arbore

i lagr are la temperatura de

funcionare egal cu 50C coeficientul

cinematic de vscozitate =6210-6

m2/s i greutate specific =895

kgf/m3. S se afle puterea consumat

pentru nvingerea forelor de vscozitate n lagr la turaia sincron a arborelui de 500 rot/min.

Soluie. Arborele are viteza unghiular, si viteza periferic u, egale cu:

,30

n .

60

nd

2

du

(1.218)

Efortul tangenial de vscozitate pe mantaua arborelui este

h

u . (1.219)

Fora total de vscozitate este dlh

udlF .

Rezult puterea disipat pentru nvingerea rezistenei vscoase:

)CP(h36075

lnd

360

dn

h75

dldl

h

u

75

u

75

FuP

233

222

iar n sistemul MKfS:

2

36

m

skgf10566,0

81,9

102,6895

g

62

W1150CP565,1

101,036075

30,050015,010566,0p

3

2333

Aplicaia 1.5

S se determine presiunea la care apare cavitaia n rotorul unei

pompe centrifuge, dac temperatura apei este de 40C.

Soluie. Fenomenul de cavitaie apare atunci cnd n rotor presiunea

minim scade pn la valoarea presiunii de vaporizare a apei,

corespunztoare temperaturii de lucru. Pentru temperatura de 40C,

presiunea de vaporizare a apei este m752,0py

. Pentru evitarea

cavitaiei se impune

vpp

rezult la limit,

at0752,0Hgmm27,55OHm752,0p 2 .

Aplicaia 1.6

Pentru studiul micrii de filtraie a apei ctre un dren se

Nivelul natural al apei subterane

Curba de

depresie

h

Strat impermeabil

R

h

a

a bFigura 1.34

63

realizeaz un model analogic Hele-Shaw (Figura 1.34a) prevzut cu dou plci din sticl, paralele, situate la distana de a=1 mm (Figura 1.34b). Cunoscnd unghiul de racordare dintre syprafaa liber a apei i placa de

sticl =10, tensiunea superficial =0,0755 N/m i greutatea specific

a apei =9810 N/m3, s se determine nlimea h cu care se ridic suprafaa liber a apei ntre cele dou plci.

Soluie.

Suprafaa liber a apei dintre cele dou plci poate fi aproximat printr-o poriune din suprafaa unui cilindru circular drept (figura b)

deci razele de curbur principale ale suprafeei au valorile R1= i

cos2

aRR 2 . Diferena de presiune p dintre cele dou pri ale

suprafeei libere este dat de formula lui Laplace,

a

cos2

R

1

R

1

R

1p

21

(1.220)

Pe de alt parte, dac se noteaz cu h nlimea medie a coloanei

de lichid, se poate exprima p cu ajutorul legii hidrostaticii

hp (1.221)

Din compararea relaiilor (1.220) i (1.221), rezult:

m015,01019810

10cos0755,02

a

cos2h

3

.

Aplicaia 1.7

Un amestec cu compoziia masic de 30% hidrogen i 70% azot cntrete G=15 N i are presiunea p=1,5 at. S se determine masele gazelor componente i presiunile lor pariale. S se determine masele gazelor componente i presiunile lor pariale.

64

Soluie.

Legile lui Dalton pentru un amestec de dou gaze au expresiile:

ppp,TM

mp,T

M

mp 21

2

22

1

11 VV (1.222)

unde p1 i p2 sunt presiunile pariale ale componentelor, de mase m1 i m2 la temperatura T.

Din datele problemei se obin relaiile de calcul pentru mase,

kg53,181,9

15

g

Gmm 21 i

7

3

m

m

2

1 ,

iar din formulele (1) cele pentru presiuni,

67

3

2

28

m

m

M

M

p

p

2

1

1

2

2

1 i .mN1081,95,1pp 2421

Rezult masele gazelor componente:

.kg070,1459,081,9

15m

g

Gm

,kg459,053,110

3

g

G

10

3m

12

1

i presiunile corespunztoare

.at215,0m

N10105,210261,11081,95,1ppp

at286,1m

N10261,11081,95,1

7

6p

7

6p

2

454

12

2

54

1

65

B

A

a

a b c

Figura 2.1

CAPITOLUL 2 SINOPTIC DE ANALIZ VECTORIAL I TENSORIAL

2.1. VECTORI, SPAIUL EUCLIDIAN TRIDIMENSIONAL

2.1.1. Definiie, reprezentare geometric

Noiunea de vector se formeaz printr-un proces natural de abstractizare, legat de fenomene ale realitii n care intervin mrimile vectoriale: deplasarea ntr-o anumit direcie, ridicarea unor greuti, aciunea unor fore asupra corpurilor etc.

Un vector, se caracterizeaz prin modul, direcie i sens, iar imaginea sa grafic, este un segment orientat (Figura

2.1.a).

Punctele A i B, reprezint originea, respectiv extremitatea vectorului, notat

simbolic cu a

, iar a

reprezint mrimea, sau modulul vectorului.

Doi vectori cu aceeai direcie pot avea acelai sens (Figura 2.1.b) sau sensuri opuse (Figura 2.1.c).

Doi vectori care au aceeai direcie, acelai sens i aceeai

mrime, se numesc echipoleni i se noteaz a

~ b

. Se observ c relaia de echipolen este:

- reflexiv, adic a

~ a

;

- simetric, adic dac a

~ b

rezult, b

~ a

;

- transitiv, adic dac a

~ b

i b

~ c

rezult, a

~ c

.

Mulimea vectorilor echipoleni, se numete vector liber. Aceast mulime, este bine determinat, atunci cnd se d un reprezentant al mulimii respective, oricare alt vector aflndu-se pe o dreapt paralel cu segmentul AB (Figura 2.1.a) i avnd originea ntr-un punct arbitrar. n fizic noiunea de vector este folosit n mai multe moduri:

66

a

b s=a+b

Figura 2.3.

a) viteza unui punct se reprezint printr-un vector legat cu originea n acel punct;

b) fora aplicat unui corp material se reprezint printr-un vector alunector (se poate schimba originea, pstrnd suportul, fr ca efectul forei s se schimbe);

c) translaia unui corp solid se reprezint printr-un vector liber, deoarece ea reprezint micarea unui corp n care toate punctele sale au ca traiectorii vectori paraleli, egali n mrime, de acelai sens.

2.1.2. Operaii care se definesc n mulimea vectorilor

2.1.2.1. Adunarea vectorilor

Suma a doi vectori a

i b

, este un vector, bas

, obinut

astfel: se consider un reprezentant

ABal vectorului a

i un reprezentant

BC al vectorului b

care are originea

n extremitatea vectorului a

(Figura

2.2).

Dac vectorii nu au aceeai

direcie, construcia vectorului sum, se poate face i cu ajutorul regulii

paralelogramului (Figura 2.3).

Adunarea vectorilor are urmtoarele proprieti:

- este comutativ

abba

(2.1) - este asociativ

cbacba (2.2)

- exist element neutru la adunare notat 0

i :

a0a

(2.3)

- pentru fiecare vector a

, exist un vector 1a

astfel nct

0aa 1

(2.4)

a

b

a

bs=a+b

Figura 2.2

67

a

b

a+b

ca+b+cb+c

Figura 2.4

Vectorul 1a

are aceeai mrime i direcie cu a

, dar sens

opus.

2.1.2.2. nmulirea cu un scalar

Produsul am , unde m este

un numr real care se numete

scalar, este un vector b

, avnd

direcia lui a

; acelai sens cu a

,

dac m > 0 i sens opus dac m< 0

(dac m = 0, b

devine vectorul

nul); mrimea lui b

este .am

Se pot evidenia urmtoarele proprieti:

- 1 a

= a

(2.5)

- (mn) a

= m(n a

) (2.6)

- (m+n) a

= m a

+n a

(2.7)

- m ( ba

)=m a

+m b

(2.8)

Mulimea vectorilor din plan, n care s-a definit adunarea vectorilor i nmulirea vectorului cu un scalar, formeaz un spaiu

vectorial.

Produsul aa

1i

, este un vector de mrime 1, cu aceeai

direcie i acelai sens cu a

. Cu aceast notaie, mulimea vectorilor

care au direcia lui a

(deci a lui i

), este format din vectorii v

i

ixv

, unde x. Se poate face acum urmtoarea observaie: orice vector din planul

determinat de doi vectori ( 21 u,u

) poate fi scris n mod unic sub forma:

21 unumu

(2.9)

Dac pentru 1u

i 2u

se iau vectorii unitari i

i j

atunci:

jyixv

(2.10)

n spaiu se poate scrie:

kzjyixv

(2.11)

68

a

b

b' a

b

b'

Figura 2.5

unde k,j,i

sunt versorii axelor unui sistem de coordonate cu originea n

O i avnd axele Ox, Oy i Oz.

Exprimarea analitic a vectorilor 1v

i 2v

unde:

kzjyixv

kzjyixv

2222

1111

(2.12)

conduce la:

kzzjyyixxvv 21212121

(2.13)

kmzjmyimxvm 1111

(2.14)

2.1.2.3. Produsul scalar

Fie doi vectori a

i b

,coplanari i fie b

, proiecia ortogonal a

vectorului b

pe dreapta suport a vectorului a

. Produsul scalar al

vectorilor a

i b

, este un numr real, avnd ca modul mrimea lui a

nmuli