limbajul bond graph

OCTAVIAN PSTRVANU

RADU IBNESCU

LIMBAJUL BOND-GRAPH N MODELAREA I SIMULAREA SISTEMELOR FIZICO-TEHNICE

Editura Gh. Asachi

2001

OCTAVIAN PSTRVANU

RADU IBNESCU

N MODELAREA I SIMULAREA SISTEMELOR FIZICO-TEHNICE

LIMBAJUL BOND-GRAPH

Editura Gh. ASACHI 2001

Refereni: Prof. dr. doc. ing. Alfred Braier Prof. dr. ing. Eugen Balaban Conf. dr. fiz. Mariana Istrate

ISBN: 973-8292-12-3

Octavian PSTRVANUUniversitatea Tehnic Gh. Asachi Iai Facultatea de Automatic i Calculatoare Bd. D. Mangeron 53A, 6600 Iai email: [email protected]

Radu IBNESCUUniversitatea Tehnic Gh. Asachi Iai Facultatea de Construcii de Maini Bd. D. Mangeron 63, 6600 Iai email: [email protected]

Tehnoredactare: Dana Serbeniuc

n amintirea lui EmilianDecebal

PrefaO component fundamental a activitii inginereti moderne (care n cvasitotalitate se bazeaz pe analiza i proiectarea asistate de calculator), o constituie construirea modelelor matematice capabile s surprind esena comportrilor fizice din universul tehnic explorat. Drept urmare, efortul investit pe plan internaional n ultimele decenii s-a axat pe dezvoltarea unor tehnici de modelare care s asigure o abordare sistemic n interpretarea fenomenelor fizice concrete, prin crearea unui cadru unificator pentru descrierile matematice. n acest context, la nceputul anilor '60 a aprut limbajul sau metoda bondgraph, propunnd, ca principiu fundamental pentru elaborarea modelelor, investigarea modului de procesare a energiei, ce se consider furnizat de una sau mai multe surse i transferat ctre toate componentele participante la funcionarea unui sistem fizic real. Viziunea de factur energetic introdus de metoda bondgraph a avut drept suport definirea unor prototipuri de comportare pentru toate elementele simple care alctuiesc structura de ansamblu a oricrui sistem, indiferent de natura fizic concret a acestor elemente. Astfel, activitatea de modelare cu specific tehnico-ingineresc a cptat o orientare riguroas, ce elimin arbitrarietatea soluiilor ad-hoc, prin tratarea unitar a transferului de energie i operarea, la nivel conceptual, cu clase de obiecte izomorfe ca manier de descriere a dinamicii. Izomorfismul amintit a avut n vedere caracterizarea prin parametri

II

concentrai a diverse fenomene fizice, pornind de la analogia dintre comportarea circuitelor electrice i a sistemelor mecanice de puncte materiale, pe care metoda bond-graph a generalizat-o spre a ncorpora aproximri finit dimensionale pentru dinamica unor sisteme cu parametri distribuii (cum ar fi, de exemplu, dinamica rigidelor, a fluidelor, sau a proceselor termice). Altminteri spus, s-au creat premise metodologice complete pentru ca dou persoane dispunnd de cunotine inginereti adecvate, care se ocup independent de aceeai problem de modelare i o abordeaz prin limbajul bond-graph, s ajung, n final, n posesia unor descrieri matematice finit dimensionale echivalente, dac nu chiar identice. n perioada ce a urmat i cu precdere dup 1980, limbajul bond-graph s-a impus n practica modelrii n diverse domenii ale ingineriei, fcnd, totodat, obiectul a numeroase extinderi, care i dovedesc totala compatibilitate cu instrumentele de modelare specializate, de tip intrare-stare-ieire, sau intrare-ieire, elaborate separat n sfera de interes a automaticii. n plus, reprezentrile grafice asociate bond-graph-urilor si aduc o contribuie major la antrenarea laturii intuitive a demersului cognitiv. Aceste aspecte au fost amplu investigate i comentate n numeroase articole i rapoarte de cercetare, la care se adaug i existena ctorva lucrri cu caracter monografic, publicate de edituri internaionale de mare prestigiu. Ideea de a scrie cartea de fa s-a nscut pe fondul absenei unui material n limba romn dedicat n exclusivitate modelrii pe principii fizice a sistemelor tehnico-inginereti, beneficiind de iniiativa celor doi autori de a plasa tratarea standard a limbajului bond-graph ntr-un cadru informaional mult mai generos, organizat pe opt capitole, dup cum urmeaz. Prima parte a lucrrii, recte Capitolele 1 i 2, ofer o scurt introducere n problematica modelrii, urmat de prezentarea detaliat a modelelor cauzale cu cea mai frecvent utilizare n descrierea matematic a dinamicii sistemelor. Partea a doua, alctuit din Capitolele 3 i 4, realizeaz o trecere n revist sistematizat a unor noiuni fundamentale din fizic, care, prin aducerea n prim plan a aspectelor energetice, permite formularea unor analogii comportamentale ntre diverse domenii ale fizicii. Partea a treia, constnd n Capitolele 5, 6 i 7, este dedicat limbajului bond-graph

III

n varianta standard, precum i unor extinderi remarcabile ale acestuia, expunerea fiind dirijat n sensul exploatrii acestui limbaj ca instrument ce asigur algoritmizarea operaiunilor de construire a diverse tipuri de modele cauzale. Partea a patra este compus din Capitolul 8 i se ocup de utilizarea modelelor n simulare, furniznd att elemente teoretice specifice rezolvrii numerice a ecuaiilor difereniale, ct i informaii de ordin practic, legate de exploatarea facilitilor software existente n mediul MATLAB-Simulink. ntregul material a fost de aa manier conceput nct s asigure o arie de adresabilitate ct mai larg n sfera cititorilor de formaie tehnico-tiinific, incluznd specialiti, cercettori, cadre didactice, studeni i doctoranzi din diverse domenii ale ingineriei. Dat fiind caracterul autonom al expunerii care ofer, ntr-un dozaj adecvat, toate informaiile de factur teoretic utilizate de construciile aplicative i studiile de caz, angajarea lecturii nu necesit, drept cunotine preliminare, dect capitolele de matematic i fizic uzual predate n nvmntul universitar tehnic, indiferent de profil. Totodat, modul de structurare al lucrrii discutat anterior nu oblig la parcurgerea integral a textului, permind o lectur selectiv, orientat n conformitate cu nivelul de pregtire i problematica de interes a fiecrui cititor n parte, ghidarea realizndu-se cu mult uurin pe seama cuprinsului anume elaborat cu un grad relevant de detaliere. n particular, lucrarea de fa (n totalitate, ori anumite poriuni ale ei) poate servi i drept suport pentru cursuri destinate studenilor din diverse profile tehnice sau pentru cursuri de perfecionare destinate absolvenilor, stilul de prezentare bazndu-se pe principiile instruirii graduale, cu acordarea unei ponderi importante exemplelor, aplicaiilor practice i utilizrii facilitilor software. Utilizarea crii ntr-un astfel de scop merit o ncurajare suplimentar deoarece studierea metodei bond-graph este actualmente inclus n planurile de nvmnt a numeroare universiti din Europa Occidental, S.U.A., Canada i Japonia. Rod al unei colaborri interdisciplinare de lung durat dintre dou cadre didactice ale Universitii Tehnice "Gh. Asachi" din Iai, i anume prof. dr. ing. Octavian Pstrvanu de la Catedra de automatic i informatic industrial i conf. dr. ing. Radu Ibnescu de la Catedra de mecanic teoretic, prezentul studiu

IV

monografic pune n valoare att viziunea proprie a autorilor, creat n urma consultrii unui vast material bibliografic, ct i experiena dobndit de acetia n domeniul modelrii i analizei asistate de calculator a dinamicii sistemelor. Cartea reflect totodat i preocuprile educaionale ale celor doi autori care au pregtit cursuri i edine de aplicaii dedicate utilizrii limbajului bond-graph n modelare i simulare pentru studenii facultilor de Automatic i Calculatore, respectiv Construcii de Maini ale Universitii Tehnice "Gh. Asachi" din Iai. Din scurta trecere n revist a elementelor definitorii pentru aceast lucrare nu poate fi omis faptul c software-ul Kalibond, care permite construirea i exploatarea bond-graph-urilor direct n mediul MATLAB, a fost obinut prin amabilitatea profesorului Peter Jrgl de la Universitatea de Tehnologie din Viena. n ncheiere, autorii doresc s i exprime gratitudinea fa de cei trei refereni, ale cror personaliti academice marcante au girat apariia acestei cri, precum i fa de colectivul Editurii "Gh. Asachi" care a inclus volumul n planul su editorial. Mulumiri deosebite sunt aduse colegei Dana Mihaela Serbeniuc pentru naltul profesionalism de care a dat dovad n tehnoredactarea manuscrisului. Publicarea crii s-a bucurat de suportul financiar al Consiliului Naional pentru Finaarea nvamntului Superior, prin intermediul proiectului LICAP ("Laborator de instruire n domeniul conducerii asistate de calculator a proceselor"). Septembrie 2001 Autorii

CUPRINSPrefa Cuprins................................................................................................................................ I .............................................................................................................................. V

Abstract and Contents ......................................................................................................XI Cap.1. Introducere n problematica modelrii .......................................................11.1. Concepte fundamentale i terminologie ................................................................1 1.1.1. Sistem i model ........................................................................................................2 1.1.2. Modelele matematice n analiza asistat de calculator..........................................3 1.1.3. Construcia i validarea modelelor...............................................................................3 1.1.4. Clasificarea modelelor matematice ............................................................................4 1.2. Modelarea bazat pe principiile fizicii.....................................................................6 1.2.1. Legi fizice i semnale .......................................................................................................6 1.2.2. Modele cauzale i acauzale..........................................................................................81.2.3. Transferul de energie i modelarea cauzal. Conceptul de surs ideal de

putere

9

2.1. Modele de tip proporional ......................................................................................12 2.1.1. Tranziia cauzal intrare-ieire ..............................................................................12 2.1.2. Comentarii asupra cauzalitii unui model de tip proporional ..........................12 2.2. Modele de tip integrator sau derivator ..................................................................14 2.2.1. Tranziia cauzal intrare-ieire pentru modele de tip integrator .........................14 2.2.2. Descrierea operaional asociat modelului de tip integrator ..........................16 2.2.3. Tranziia cauzal intrare-ieire pentru modele de tip derivator ..........................16 2.2.4. Descrierea operaional asociat modelului de tip derivator ...........................17 2.2.5. Comentarii asupra cauzalitii modelelor de tip integrator sau derivator.......... 18 2.3. Modele liniare de tip ecuaie diferenial de ordinul I, cu coeficieni constani 22 2.3.1. Tranziia cauzal intrare-ieire ..............................................................................23 2.3.2. Comportare de regim liber i de regim forat ......................................................25 2.3.3. Dinamica de regim forat pentru semnale de intrare standard .........................27 2.3.3.1. Rspunsul forat la semnal treapt .........................................................27

Cap. 2. Tipuri de modele cauzale i proprieti .................................................11

VI 2.3.3.2. Rspunsul forat la semnal sinusoidal......................................................31 2.3.3.3. Comentarii asupra unor aspecte comportamentale ale sistemelor puse n eviden de rspunsul forat ................................................................36 2.3.4. Dinamica de regim liber .......................................................................................37 2.3.5. Rspunsul complet pentru semnale de intrare standard ....................................38 2.3.6. Tratarea operaional cu ajutorul transformrii Laplace ....................................40 2.3.6.1. Rspunsul complet n tratarea operaional .........................................40 2.3.6.2. Rspunsul forat n tratarea operaional. Modelul de tip funcie de transfer 43

2.4. Modele liniare de tip intrare-stare-ieire ...............................................................44 2.4.1. Tranziia cauzal intrare-stare-ieire .....................................................................44 2.4.1.1. Modele intrare-stare-ieire de ordinul doi ...............................................44 2.4.1.2. Modele intrare-stare-ieire de ordinul n ..................................................45 2.4.2. Rspuns complet, rspuns liber i rspuns forat ..................................................48 2.4.3. Dinamica de regim liber .......................................................................................51 2.4.4. Dinamica de regim forat pentru semnale de intrare standard .........................54 2.4.4.1. Semnale de intrare standard .................................................................54 2.4.4.2. Tratarea operaional a transferului intrare-stare-ieire .........................54 2.4.4.3. Rspunsul forat la semnale de intrare polinomiale ...............................56 2.4.4.4. Rspunsul forat la semnale de intrare sinusoidale ................................61 2.5. Extinderi ale modelelor liniare intrare-stare-ieire ...............................................66 2.5.1. Sisteme cu mai multe intrri i/sau mai multe ieiri (Sisteme multivariabile) ........66 2.5.2. Reprezentri intrare-stare-ieire n form implicit (Modele de tip descriptor) ..68 2.6. Modele neliniare intrare-stare-ieire ......................................................................72 2.6.1. Reprezentri neliniare de stare ............................................................................72 2.6.2. Liniarizarea reprezentrilor neliniare de stare. Modele liniare n mici variaii ......75 2.6.3. Reprezentri neliniare de stare n form implicit ...............................................80 2.7. Modele de tip diagram bloc .................................................................................82 2.7.1. Diagrame bloc cu blocuri descrise n domeniul timp..........................................82 2.7.2. Diagrame bloc cu blocuri descrise n domeniul complex ..................................89 2.8. Modele variante n timp............................................................................................91 2.9. Noiuni privind stabilitate sistemelor .......................................................................93 2.9.1. Problematica stabilitii interne ............................................................................94 2.9.1.1. Definirea conceptelor fundamentale ....................................................94 2.9.1.2. Criterii utilizate n cazul reprezentrilor de stare liniare ........................101 2.9.1.3. Criterii utilizate n cazul reprezentrilor de stare neliniare ....................103 2.9.2. Problematica stabilitii externe.........................................................................105 2.9.2.1. Conceptul de stabilitate extern .......................................................105 2.9.2.2. Criteriu de stabilitate extern n cazul reprezentrilor liniare ...............107 2.9.3. Criteriul Hurwitz privind poziia rdcinilor unui polinom n planul complex .....109

VII

Cap. 3. Trecere n revist sistematizat a unor relaii fundamentale

3.1. Circuite electrice......................................................................................................115 3.2. Sisteme mecanice ...................................................................................................122 3.2.1. Sisteme mecanice n micare de translaie .......................................................122 3.2.2. Sisteme mecanice n micare de rotaie ...........................................................130 3.3. Fluide necompresibile .............................................................................................138 3.4. Sisteme termice ........................................................................................................147 3.4.1. Prezentarea de principiu a sistemelor termice bazate pe entropie .................147 3.4.2. Prezentarea sistemelor termice bazate pe cantitatea de cldur ..................148 3.5. Transferul puterii ntre subsisteme de natur fizic diferit ...............................154 3.5.1. Elemente de tip transformator ...........................................................................1543.5.1.1. Exemplu de transformare a parametrilor puterii ntre un sistem mecanic n micare de translaie i un sistem hidraulic .....................154 3.5.1.2. Exemplu de transformare a parametrilor puterii mecanice ai micrii de translaie n parametrii puterii mecanice ai micrii de rotaie .................................................................................................155 3.5.2. Elemente de tip girator .......................................................................................156 3.5.2.1. Exemplu de transformare a parametrilor puterii ntre un sistem electric iunul mecanic n micare de translaie ...............................156 3.5.2.2. Exemplu de transformare ntre parametrii puterii micrii de translaie i cei corespunztori micrii mecanice de rotaie prin intermediul unui girator .......................................................................157

din fizic ...............................................................................................................113

Cap. 4. Analogii ntre diverse domenii ale fizicii ..............................................161

4.1. Studiu comparativ al mrimilor (variabilelor) specifice diferitelor domenii ale fizicii 161 4.2. Studiul comparativ al elementelor cu aciuni tipice n procesarea energiei1644.2.1. Elemente ce realizeaz acumularea de tip inerial (inductiv) a energiei (elemente I) 164 4.2.2. Elemente ce realizeaz acumularea de tip capacitiv a energiei (elemente C)164 4.2.3. Elemente ce realizeaz disiparea energiei (elemente R) .................................169 4.2.4. Elemente care funcioneaz ca surse ideale de putere (elemente Se i Sf).....169 4.2.5. Elemente ce conserv energia realiznd transferul puterii dup principiul transformatorului (elemente TF) .........................................................................173 4.2.6. Elemente ce conserv energia realiznd transferul puterii dup principiul giratorului (elemente GY) ................................................................................173

4.3. Studiul comparativ al modalitilor tipice de conectare (jonciuni) ..............173 4.3.1. Conectarea elementelor ce posed aceeai variabil de tip (e) (Jonciuni J0)176 4.3.2. Conectarea elementelor ce posed aceeai variabil de tip (f) (Jonciuni J1)176

VIII

4.4. Prezentare sintetic a exprimrilor cauzale ale legilor fizicii...........................176 4.5 Exemple de sisteme fizice ilustrnd analogii comportamentale .....................180 4.5.1. Sisteme coninnd elemente Se, R, C conectate prin J1 ..................................180 4.5.2. Sisteme coninnd elemente Se, R, I conectate prin J1 ....................................185 4.5.3. Sisteme coninnd elemente Se, R, I, C conectate prin J1................................188

Cap. 5. Modelarea fizic a proceselor cu ajutorul limbajului bond-graph 195

5.1. Concepte specifice limbajului bond-graph .......................................................196 5.1.1. Elemente standard pentru procesarea energiei utilizate n metoda bond-graph196 5.1.2. Bonduri (Legturi ntre elementele standard) ....................................................197 5.1.3. Porturi ..................................................................................................................199 5.2. Construcia bond-graph-ului .................................................................................199 5.2.1. Construcia bond-graph-ului acauzal ...............................................................199 5.2.1.1. Cazul sistemelor electrice, hidraulice i termice...................................2105.2.1.2. Cazul sistemelor mecanice cu elemente n micare de translaie sau de rotaie.............................................................................................215 5.2.1.3. Reguli de simplificare a bond-graph-urilor acauzale...........................218 5.2.2. Construcia bond-graph-ului cauzal ..................................................................221

5.3. Construcia modelelor bazat pe bond-graph-uri fr cauzalitate derivativ224 5.3.1. Construcia unui model intrare-stare-ieire ........................................................224 5.3.2. Construcia unui model tip diagram bloc ......................................................238 5.4. Exemple ilustrative de modelare n cazul bond-graph-urilor fr cauzalitate derivativ...................................................................................................................240 5.5. Construirea modelelor bazat pe bond-graph-uri coninnd cauzalitate derivativ 272

Cap. 6. Extinderi ale limbajului bond-graph ......................................................285

6.1. Elemente controlate (modulate) n limbajul bond-graph ................................285 6.1.1. Bond-uri active....................................................................................................286 6.1.2. Elemente uniport controlate ..............................................................................286 6.1.2.1. Elemente ineriale controlate ...............................................................286 6.1.2.2. Elemente capacitive controlate ..........................................................287 6.1.2.3. Elemente rezistive controlate ................................................................287 6.1.2.4. Surse controlate ....................................................................................287 6.1.3. Elemente diport controlate ................................................................................288 6.1.3.1. Transformatoare controlate ..................................................................288 6.1.3.2. Giratoare controlate .............................................................................288 6.1.4. Exemple ..............................................................................................................288 6.2. Cmpuri multiport ....................................................................................................302 6.2.1. Cmpuri C ..........................................................................................................303 6.2.2. Cmpuri I ............................................................................................................306 6.2.3. Cmpuri mixte IC ................................................................................................309 6.2.4. Cmpuri R ...........................................................................................................309

IX 6.2.5. Exemple ..............................................................................................................311

6.3. Structuri tip jonciune i sisteme multiport............................................................313 6.3.1. Definirea conceptelor ........................................................................................313 6.3.2. Sisteme multiport cu cauzalitate integral ........................................................313 6.3.3. Sisteme multiport cu cauzalitate mixt ..............................................................314 6.3.4. Exemple ..............................................................................................................316 6.4. Comutatoare i sisteme hibride.............................................................................318 6.4.1. Modelarea comutatoarelor ca elemente rezistive controlate .........................318 6.4.2. Modelarea comutatoarelor ca surse ideale de putere nul ............................320 6.4.3. Exemple ..............................................................................................................322

Cap. 7. Studii de caz - Modelarea unor sisteme din diverse

7.1. Incint nclzit cu radiator ...................................................................................329 7.2. Servomotor hidraulic ...............................................................................................332 7.3. Pomp cu piston ......................................................................................................336 7.4. Punte Wheatstone ....................................................................................................338 7.5. Termometru ...............................................................................................................339 7.6. Manipulator cu dou grade de libertate.............................................................340 7.7. Absorbitor dinamic cu amortizare vscoas......................................................347 7.8. Sistem de reglare .....................................................................................................351 7.9. Motor de curent continuu cu excitaie separat ...............................................353 7.10. Convertor de putere rezonant .............................................................................358

domenii tehnice ................................................................................................329

Cap. 8. Utilizarea modelelor n simularea numeric ......................................365

8.1. Elemente fundamentale ale calculului n virgul flotant................................366 8.1.1. Surse de erori n rezolvarea numeric a problemelor........................................366 8.1.2. Aritmetica n virgul mobil (flotant) ...............................................................367 8.1.3. Condiionarea problemelor ...............................................................................375 8.1.4. Performanele algoritmilor numerici ...................................................................376 8.2. Simularea bazat pe integrarea numeric a sistemelor de ecuaii difereniale379 8.2.1. Aspecte generale privind precizia metodelor de integrare numeric.............380 8.2.2. Criterii de clasificare a algoritmilor de integrare numeric...............................381 8.2.3. Metode de integrare directe .............................................................................383 8.2.3.1. Algoritmi de tip Taylor............................................................................384 8.2.3.2. Algoritmi de tip Runge-Kutta.................................................................385 8.2.3.3. Metode directe cu pas adaptiv ...........................................................388 8.2.4. Metode de integrare indirecte ..........................................................................390 8.2.4.1. Algoritmi indireci cu pas constant .......................................................390 8.2.4.2. Algoritmi de tip Adams .........................................................................391 8.2.4.3. Algoritmi indireci cu pas adaptiv.........................................................396 8.2.4.4. Metode de startare pentru algoritmi de integrare multipas ................396 8.2.4.5. Stabilitatea algoritmilor de integrare multipas .....................................396 8.2.5. Metode de tip Richardson (Metode de extrapolare) .......................................397

X 8.2.6. Metode de tip Gear pentru ecuaii stiff .............................................................397 8.2.7. Alegerea metodei de integrare utilizat n simulare .........................................399

8.3. Utilizarea mediului MATLAB n simularea sistemelor descrise prin reprezentri intrare stare ieire ..........................................................................400 8.3.1. Caracteristici generale ale mediului ..................................................................401 8.3.1.1. Lansarea n execuie i interfaarea cu sistemul de operare ...............401 8.3.1.2. Help "on-line" .........................................................................................402 8.3.1.3. Variabile i spaiul de lucru ...................................................................402 8.3.1.4. Fiiere program ......................................................................................403 8.3.1.5. Faciliti de control logic ......................................................................403 8.3.2. Vectori i matrice ................................................................................................407 8.3.2.1. Introducerea i referirea masivelor .......................................................407 8.3.2.2. Operatori aritmetici i funcii pentru lucrul cu masive ..........................409 8.3.3. Reprezentri grafice 2-D ....................................................................................411 8.3.4. Funcii destinate integrrii numerice ..................................................................414 8.3.4.1. Funcii ce utilizeaz descrierea de tip reprezentare intrare-stare-ieire414 8.3.4.2. Funcii ce utilizeaz descrierea de tip sistem de ecuaii difereniale ..417 8.4. Utilizarea mediului SIMULINK n simularea sistemelor descrise prin scheme bloc 428 8.4.1. Lansarea simulatorului SIMULINK.........................................................................428 8.4.2. Construcia modelului de simulare sub form de schem bloc .......................429 8.4.3. Surse de semnale i blocuri de vizualizare pentru un model SIMULINK .............430 8.4.4. Salvarea, ncrcarea i actualizarea modelelor SIMULINK ................................430 8.4.5. Execuia simulrii .................................................................................................431 8.5. Construirea automat a modelelor n mediul MATLAB folosind software-ul KALIBOND ..................................................................................................................435 8.5.1. Apelarea software-ului KALIBOND .....................................................................436 8.5.2. Meniul File ...........................................................................................................437 8.5.3. Meniul Drawmode-on / Drawmode-off .............................................................437 8.5.4. Meniul Actions ....................................................................................................438 8.5.5. Meniul Options ....................................................................................................439 8.5.6. Meniul Zoom .......................................................................................................440

Anexe

...........................................................................................................................443 Anexa I - Transformarea Laplace.................................................................................443 Anexa II - Conversia numerelor ntregi din reprezentare binar n reprezentare hexazecimal .................................................................................................447 Anexa III - Comenzi MATLAB uzuale ............................................................................448

Index i dicionar romn-englez ..............................................................................455

Bibliografie ...........................................................................................................................451

BOND-GRAPH

LANGUAGE

IN

MODELING

AND

SIMULATION OF PHYSICAL TECHNICAL SYSTEMS Abstract and ContentsDuring the last decades, a large body of work has been invested for developing modeling techniques able to ensure a systematic approach to the interpretation of physical phenomena, by creating a unified framework for mathematical descriptions. Within this context, the bond-graph method appeared in the early sixties, relying on the fundamental principle of energy processing and on a series of behavioral prototypes existing in different areas of Physics, such that a rigorous orientation could be given to the construction of lumped parameter models in Engineering. At the conceptual level, the method operates with classes of objects isomorphic as dynamics, regardless of their concrete physical nature, fact which permits avoiding arbitrariness in the usage of physical laws for model building. In the middle eighties, the bond-graph language was already recognized as a standard tool, compatible with the causal models (input-output and input-state-output) exploited in various fields of Engineering and open to further developments. Therefore this book is not limited to a simple presentation of the bond-graph language, but it founds the exposure on a very generous background, laid out so as to cover important knowledge belonging to several closely related domains, as resulting from the Contents:

Preface ......................................................................................................................................... I Contents (in Romanian) .................................................................................................... V Abstract and contents (in English) ..............................................................................XI Cap.1. Introduction to modeling problems .............................................................11.1. Fundamental concepts and terminology ................................................................1 1.1.1. System and model ..................................................................................................2 1.1.2. Mathematical models in computer-aided analysis...............................................3 1.1.3. Model construction and validation........................................................................3 1.1.4. Classification of mathematical models .................................................................4 1.2. Modeling based on physical principles...................................................................6 1.2.1. Physical laws and signals ........................................................................................6

XII 1.2.2. Causal and acausal models ..................................................................................8 1.2.3. Energy transfer and causal modeling. Concept of ideal power-source ..............9

Chap. 2. Types of causal models and properties ...............................................11

2.1. Proportional models...................................................................................................12 2.1.1. Input-output causal transition ..............................................................................12 2.1.2. Comments on the causality of proportional models ...........................................12 2.2. Integration versus derivative models .....................................................................14 2.2.1. Input-output causal transition for integration models .........................................14 2.2.2. Laplace-transform description for integration models ........................................16 2.2.3. Input-output causal transition for derivative models ...........................................16 2.2.4. Laplace-transform description for derivative models ..........................................17 2.2.5. Comments on the causality of integration and derivative models ....................18 2.3. Linear models defined by first order differential equations with constant coefficients 22 2.3.1. Input-output causal transition ..............................................................................23 2.3.2. Free and forced dynamics ...................................................................................25 2.3.3. Forced response for standard input signals .........................................................27 2.3.3.1. Forced response for step input ...............................................................27 2.3.3.2. Forced response for harmonic input.......................................................312.3.3.3. Comments on some behavioral aspects highlighted by the forced response ................................................................................................36 2.3.4. Free response ........................................................................................................37 2.3.5. Complete response for standard input signals ....................................................38 2.3.6. Operation approach based on Laplace transform ............................................40 2.3.6.1. Complete response in operation approach ..........................................40 2.3.6.2. Forced response in operation approach. Transfer-function model ......43

2.4. Linear models defined by state-space representations .....................................44 2.4.1. Input-output causal transition ..............................................................................44 2.4.1.1. State-space models of the second order .............................................44 2.4.1.2. State-space models of the n-th order ....................................................45 2.4.2. Complete response, free response and forced response ...................................48 2.4.3. Free dynamics ......................................................................................................51 2.4.4. Forced dynamics for standard input signals ........................................................54 2.4.4.1. Standard input signals .............................................................................54 2.4.4.2. Laplace-transform approach to input-state-output transition ..............54 2.4.4.3. Forced response for polynomial inputs ...................................................56 2.4.4.4. Forced response for harmonic inputs .....................................................61 2.5. Extensions of state-space linear models ...............................................................66 2.5.1. Multi-input and/or multi-output systems (Multivariable systems) .........................66 2.5.2. State-space representations in implicit form (Descriptor-type models) ..............68 2.6. Nonlinear state-space models ................................................................................72 2.6.1. Nonlinear state representations ...........................................................................72

XIII 2.6.2. Linearization of nonlinear state representations. Linear models in small variations75 2.6.3. Nonlinear state representations in implicit form...................................................80

2.7. Block-diagram models .............................................................................................82 2.7.1. Block diagrams in time domain ............................................................................82 2.7.2. Block diagrams in complex domain ....................................................................89 2.8. Time-variant models ..................................................................................................91 2.9. Basic concepts in system stability...........................................................................93 2.9.1. Internal (asymptotic) stability ...............................................................................94 2.9.1.1. Fundamentals ..........................................................................................94 2.9.1.2. Conditions for internal stability of linear systems...................................101 2.9.1.3. Conditions for internal stability of nonlinear systems ............................103 2.9.2. External (bounded input - bounded output) stability ........................................105 2.9.2.1. Concept of external stability.................................................................105 2.9.2.2. Condition for external stability of linear systems ...................................107 2.9.3. Hurwitz theorem on root location for polynomials .............................................109

Chap. 3. Systematical overview of some fundamental laws in Physics . 113

3.1. Electrical circuits ......................................................................................................115 3.2. Mechanical systems................................................................................................122 3.2.1. Mechanical translation.......................................................................................122 3.2.2. Mechanical rotation ...........................................................................................130 3.3. Incompressible fluids ...............................................................................................138 3.4. Thermal systems .......................................................................................................147 3.4.1. Brief presentation based on the entropy concept ............................................147 3.4.2. Approach based on the heat energy ...............................................................148 3.5. Power transfer between subsystems of different physical nature ...................154 3.5.1. Transformers ........................................................................................................1543.5.1.1. An example of power parameter transformation between mechanical translation and hydraulics ...................................................................154 3.5.1.2. An example of power parameter transformation between mechanical translation and mechanical rotation .................................................155 3.5.2. Gyrators...............................................................................................................156 3.5.2.1. An example of power parameter transformation between electrical circuits and mechanical translation ...................................................156 3.5.2.2. An example of power parameter transformation between mechanical translation and mechanical rotation ..................................................157

Chap. 4. Analogies between various physical domains ................................161

4.1. Comparative study of the variables used in various physical domains ........161 4.2. Comparative study of the elements with typical actions in energy processing164 4.2.1. Storing elements of inertial (inductive) type (I elements) ..................................164 4.2.2. Storing elements of capacitive type (C elements)............................................164 4.2.3. Dissipative (resistive) elements (R elements) ......................................................169 4.2.4. Ideal power sources (Se and Sf elements) ..........................................................169

XIV 4.2.5. Energy conserving elements via transformer law (TF elements)........................173 4.2.6. Energy conserving elements via gyrator law (GY elements) ............................173

4.3. Comparative study of typical connections between elements (junctions) ..173 4.3.1. Connecting elements with a common (e)-type variable (J0 junctions) ...........176 4.3.2. Connecting elements with a common (f)-type variable (J1 junctions) ............176 4.4. Comments on the causal formulation of physical laws ....................................176 4.5. Examples of physical systems illustrating behavioral analogies.....................180 4.5.1. Systems containing Se, R, C elements connected by J1 ...................................180 4.5.2. Systems containing Se, R, I elements connected by J1 .....................................185 4.5.3. Systems containing Se, R, I, C elements connected by J1.................................188

Chap. 5. Physical modeling of processes by the bond-graph language 195

5.1. Specific concepts of the bond-graph language ...............................................196 5.1.1. Standard elements in energy processing used by the bond-graph method ...196 5.1.2. Bonds...................................................................................................................197 5.1.3. Ports .....................................................................................................................199 5.2. Bond-graph construction........................................................................................199 5.2.1. Acausal bond-graph construction .....................................................................199 5.2.1.1. Case of electrical, hydraulic and thermal systems ..............................210 5.2.1.2. Case of mechanical translation and mechanical rotation .................215 5.2.1.3. Simplifications in acausal bond graphs ................................................218 5.2.2. Causal bond-graph construction.......................................................................221 5.3. Model construction based on bond graphs without derivative causality .....224 5.3.1. Construction of a state-space model ................................................................224 5.3.2. Construction of a block diagram model ...........................................................238 5.4. Illustrative examples for model construction based on bond graphs without derivative causality................................................................................................240 5.5. Model construction based on bond graphs with derivative causality...........272 6.1. Controlled (modulated) elements in the bond-graph language....................285 6.1.1. Active bonds.......................................................................................................286 6.1.2. Controlled one-port elements ............................................................................286 6.1.2.1. Controlled inductive elements .............................................................286 6.1.2.2. Controlled capacitive elements ...........................................................287 6.1.2.3. Controlled resistive elements ................................................................287 6.1.2.4. Controlled sources ................................................................................287 6.1.3. Controlled two-port elements ............................................................................288 6.1.3.1. Controlled transformers .........................................................................288 6.1.3.2. Controlled gyrators................................................................................288 6.1.4. Examples .............................................................................................................288 6.2. Multiport fields...........................................................................................................302 6.2.1. C fields ................................................................................................................303 6.2.2. I fields ..................................................................................................................306

Chap. 6. Extensions of the bond-graph language ..........................................285

XV 6.2.3. IC mixed fields .....................................................................................................309 6.2.4. R fields .................................................................................................................309 6.2.5. Examples .............................................................................................................311

6.3. Junction structures and multiport systems ...........................................................313 6.3.1. Defining concepts ..............................................................................................313 6.3.2. Multiport systems with integral causality ............................................................313 6.3.3. Multiport systems with mixed causality...............................................................314 6.3.4. Examples .............................................................................................................316 6.4. Switches and hybrid systems .................................................................................318 6.4.1. Switch modeling as controlled resistive elements .............................................318 6.4.2. Switch modeling as ideal sources of null power ................................................320 6.4.3. Examples .............................................................................................................322

Chap. 7. Case studies - Modeling systems belonging to various7.1. Radiator-heated tank ..............................................................................................329 7.2. Hydraulic servomotor ..............................................................................................332 7.3. Pump with piston ......................................................................................................336 7.4. Wheatstone bridge ..................................................................................................338 7.5. Thermometer .............................................................................................................339 7.6. Two-degrees of freedom manipulator .................................................................340 7.7. Dynamic absorber with viscous dumping ...........................................................347 7.8. Control system ..........................................................................................................351 7.9. D.C. motor with separately excited field .............................................................353 7.10. Resonant power converter ...................................................................................358

technical domains ........................................................................................329

Chap. 8. Model usage in numerical simulation .................................................365

8.1. Fundaments of floating point computation .........................................................366 8.1.1. Sources of errors in computer-based problem resolution..................................366 8.1.2. Floating point arithmetic ....................................................................................367 8.1.3. Problem conditioning .........................................................................................375 8.1.4. Performance of numerical algorithms ...............................................................376 8.2. Simulation based on numerical integration of differential equation systems379 8.2.1. General aspects regarding the accuracy of numerical integration methods.380 8.2.2. Classification of algorithms for numerical integration .......................................381 8.2.3. Single-step methods ...........................................................................................383 8.2.3.1. Taylor algorithms....................................................................................384 8.2.3.2. Runge-Kutta algorithms.........................................................................385 8.2.3.3. Step-size adaptive control ....................................................................388 8.2.4. Multi step methods .............................................................................................390 8.2.4.1. Algorithms with constant stepsize .........................................................390 8.2.4.2. Adams-type algorithms .........................................................................391 8.2.4.3. Algorithms with adaptive stepsize ........................................................396

XVI 8.2.4.4. Starting methods for multistep algorithms ............................................396 8.2.4.5. Stability of multi-step algorithms............................................................396 8.2.5. Richardson-type methods (Extrapolation methods)..........................................397 8.2.6. Gear-type methods for stiff equations ...............................................................397 8.2.7. Choice of the integration method used in simulation .......................................399

8.3.

MATLAB environment in system simulation based on state-space representations ........................................................................................................400 8.3.1. General characteristics of the environment ......................................................401 8.3.1.1. Starting MATLAB and the interface with the operating system ...........401 8.3.1.2. On-line help ...........................................................................................402 8.3.1.3. Variables and workspace .....................................................................402 8.3.1.4. M files .....................................................................................................403 8.3.1.5. Flow control ...........................................................................................403 8.3.2. Vectors and matrices .........................................................................................407 8.3.2.1. Working with matrices ...........................................................................407 8.3.2.2. Arithmetical operations and matrix functions ......................................409 8.3.3. 2-D graphical representations ............................................................................411 8.3.4. Functions for numerical integration....................................................................414 8.3.4.1. Functions using the state-space representation ..................................414 8.3.4.2. Functions using differential equation systems ......................................417 8.4. SIMULINK environment in system simulation based on block diagrams........428 8.4.1. Starting SIMULINK ................................................................................................428 8.4.2. Construction of the simulation model in a block diagram form .......................429 8.4.3. Signal sources and visualization blocks for a SIMULINK model ..........................430 8.4.4. Saving, loading and updating SIMULINK models ...............................................430 8.4.5. Simulation running ..............................................................................................431 8.5. Automatic model construction in MATLAB using KALIBOND ............................435 8.5.1. Starting KALIBOND ..............................................................................................436 8.5.2. File menu .............................................................................................................437 8.5.3. Drawmode-on / Drawmode-off menu ..............................................................437 8.5.4. Actions menu ......................................................................................................438 8.5.5. Options menu .....................................................................................................439 8.5.6. Zoom menu .........................................................................................................440

Appendices ......................................................................................... 443Appendix I - Laplace transform ....................................................................................443 Appendix II - Integer number conversion from binary to hexadecimal representation .................................................................................................447 Appendix III - Frequently used MATLAB commands.................................................448

References ...........................................................................................................................451 Index and Romanian-English dictionary...............................................................455

1.

Introducere n problematica modelrii

Modelarea constituie o activitate indispensabil pentru conceperea i exploatarea eficient a echipamentelor i tehnologiilor specifice diferitelor ramuri ale ingineriei. Modelele elaborate n acest scop fac apel, cu precdere, la un limbaj matematic riguros i caut s pun n valoare aplicabilitatea legilor fizicii pentru a surprinde ct mai precis esena fenomenelor. Atenia acordat n prezent modelrii este potenat de facilitile mediilor software dezvoltate n ultimul deceniu, care permit operarea cu modele tot mai complexe, n condiiile unei precizii ridicate a calculelor i a creterii continue a vitezei de lucru. n acest context, efortul investit recent n perfecionarea tehnicilor de modelare a fost dirijat (pe lng alte direcii) i ctre explorarea legturilor dintre interpretarea cauzal a fenomenelor (care se bucur de o ndelungat tradiie, creat n cadrul tiinei sistemelor) i modul n care este transferat i procesat energia (ca suport nemijlocit al funcionrii echipamentelor). Investigarea acestor legturi a contribuit la fundamentarea, n termeni algoritmici, a metodei bond-graph de construire a modelelor, care se bazeaz pe o sistematizare a legilor fizicii (rezultat din analogii comportamentale) i este capabil s reduc drastic arbitrarietatea descrierilor (tipic soluiilor ad-hoc, practicate frecvent n modelare). Expunerea materialului din acest capitol introductiv este structurat pe dou seciuni dup cum urmeaz: 1.1. Concepte fundamentale i terminologie. 1.2. Modelarea bazat pe principiile fizicii.

1.1. Concepte fundamentale i terminologieAvnd o utilizare larg n limbajul cotidian, substantivul model i restrnge sfera noional n cazul preocuprilor tehnico-inginereti, concentrndu-se pe adecvana descrierii modului n care se comport diverse entiti fizice. Din aceast adecvan decurge nsui interesul prezentat de activitatea de modelare pentru practic, deoarece numeroase constatri privind detaliile de funcionare sau soluiile de proiectare pot fi formulate pe baza modelului (ca substitut comportamental al entitii fizice concrete). Paragrafele coninute n seciunea curent i propun punctarea elementelor definitorii n construcia de modele, urmnd ca aceste elemente s fie rafinate, prin abordri de

2

Octavian Pstrvanu, Radu Ibnescu LIMBAJUL BOND-GRAPH

profunzime, pe parcursul ntregului text al lucrrii. Accentul este pus pe specificitatea modelelor de factur matematic, care, prin coninutul lor informaional (att calitativ ct i cantitativ) se dovedesc cele mai performante descrieri pentru investigaiile din domeniul ingineriei i al tiinelor exacte.

1.1.1. Sistem i modelPrin conceptul de sistem vom nelege un obiect fizic (o colecie de obiecte fizice care interacioneaz) ale crui (cror) proprieti intenionm sa le studiem. O serie din aceste proprieti pot fi investigate prin intermediul experienelor efectuate asupra sistemelor; aceast manier de studiu a caracterizat, pe parcursul timpului, dezvoltarea tiinelor naturii, n general. Exist totui anumite limitri, destul de severe, pentru cunoaterea strict empiric (bazat numai pe organizarea i desfurarea experienelor). Dac ne referim numai la experienele costisitoare din punct de vedere financiar, sau la acelea ce comport aciuni, manevre periculoase, posibil distructive, este suficient a ne crea o imagine elocvent privind limitrile cunoaterii strict empirice. n fine, experienele sunt imposibil de efectuat asupra unor sisteme care nu exist nc, aflndu-se doar n faza de proiect i necesitnd analiza unor proprieti. n toate situaiile amintite anterior, cnd cunoaterea bazat pe experiene nu este posibil, pentru investigarea proprietilor unui sistem se face apel la un model al acestuia. n general vorbind, modelul unui sistem ne permite s rspundem la ntrebri legate de comportarea sistemului, fr a trebui s efectum experiene. Cunoaterea uman face apel la mai multe tipuri de modele, pe care le vom trece n revist succint n cele ce urmeaz. Angrenarea individului n ansamblul social al vieii cotidiene se realizeaz pe baza unor modele mentale care ofer individului premise pentru interaciunea cu ali indivizi (de exemplu, cunoaterea modului de a reaciona a diferitor persoane, n anumite situaii) sau pentru utilizarea unor obiecte (de exemplu, cunoaterea modului n care rspund la comenzi unele vehicule). Comportarea unui sistem n diferite condiii poate fi descris n cuvinte, cu ajutorul unui model verbal (de exemplu, formularea unor principii de funcionare a unui vehicul cruia i se aplic anumite comenzi). Trebuie remarcat distincia dintre un model mental i unul verbal (de exemplu, o persoan poate cunoate pentru sine modul de utilizare a unui vehicul, fr a formula n cuvinte principiile de funcionare pe care se bazeaz cunoaterea proprie). Un model mental poate fi transformat ntr-un model verbal dac informaiile coninute de ctre modelul mental sunt exprimate sub form de uniti sintactice coerente (propoziii, fraze). Calitatea unui model mental nu este automat transmis i modelului verbal, n sensul c o serie de informaii disponibile n modelul mental nu se regsesc n cel verbal (de exemplu, o persoan tie foarte bine s manevreze un vehicul, dar nu este capabil s furnizeze toate cunotinele sale sub forma unor principii de utilizare care s serveasc i altor persoane). Un model verbal poate fi formalizat sub forma unor reguli If, then sau If, then, else (formalizare ce este exploatat n prezent de ctre diferite domenii ale inteligenei artificiale).


3

Un alt tip de model l constituie modelul fizic sau macheta, care i propune s reduc la o anumit scar caracteristicile unui sistem dat (de exemplu, macheta unei cldiri, a unui vehicul etc). Dezvoltarea, de-a lungul timpului, a tiinelor fizico-tehnice s-a bazat pe modelul matematic care exprim sub form de relaii matematice legturile existente ntre diferite mrimi sau cantiti ce prezint interes pentru funcionarea sistemului (de exemplu, legile studiate de ctre anumite domenii ale fizicii). Complexitatea unui model matematic este dictat, n general, de acurateea (precizia) dorit n descrierea comportrii sistemului, n sensul c un model simplu neglijeaz sau idealizeaz anumite aspecte ale comportrii. Pe parcursul acestei cri vom utiliza numai modele matematice, motiv pentru care se va renuna frecvent la atributul matematice, neexistnd pericolul crerii de confuzii n exprimare. De asemenea, ca terminologie, vom folosi n anumite situaii substantivul proces drept sinonim al substantivului sistem n sensul de obiect fizic (sau colecie de obiecte fizice) precizat la nceputul acestui paragraf.

1.1.2. Modele matematice n analiza asistat de calculatorModelul matematic al unui sistem poate fi exploatat prin intermediul unor prelucrri analitice care conduc la formulri sau expresii noi (de exemplu, rezolvarea unor ecuaii algebrice sau a unor ecuaii difereniale). Dar prelucrrile analitice nu sunt ntotdeauna posibile i, n atare situaii, se apeleaz la metode specifice calculului numeric. Aceste metode sunt, n general, uor de utilizat ntr-unul din multiplele limbaje sau medii de programare disponibile, n prezent, pe diverse calculatoare. Astfel, investigarea unor proprieti ale sistemului studiat revine la rezolvarea numeric a unor probleme, procedeele de investigare de atare natur fiind referite n totalitatea lor sub denumirea de analiz asistat de calculator. Dintre acestea un rol important este deinut de tehnicile de simulare numeric. Precizm faptul c termenul simulare poate avea o semnificaie mai larg (de exemplu, simularea unor defeciuni pe un anumit echipament) i de aceea sa adugat atributul numeric. Totui, n contextele unde nu exist pericol de confuzii, se poate renuna la acest atribut, subnelegndu-se c activitatea de simulare se desfoar cu ajutorul calculatorului. Prin intermediul simulrii numerice, se pot desfura experiene sau experimente de simulare care nu necesit nici un fel de manipulare fizic a sistemului concret studiat. Astfel, experimentele de simulare nltur limitrile experienelor practice, cu aciune nemijlocit asupra sistemului fizic, despre care s-a vorbit n paragraful anterior. Trebuie ns subliniat faptul c informaiile furnizate de experimentele de simulare depind de calitatea modelului matematic utilizat, adic de fidelitatea cu care acest model surprinde elementele specifice comportrii reale. Din acest motiv, problema construciei unor modele performante, ct mai precise, deine o poziie cheie n dezvoltarea actual a tiinelor fizico-tehnice.

4


1.1.3. Construcia i validarea modelelorExist dou modaliti fundamentale de abordare a construciei unui model matematic pentru un sistem fizic dat: 1. Modelarea bazat pe principii fizice, care face apel la legile constitutive sau de conservare cunoscute din fizic, aplicate adecvat subsistemelor ce compun sistemul n cauz. 2. Identificarea sau modelarea bazat pe date experimentale, care const n alegerea unui model ce se potrivete ct mai bine datelor experimentale, conform unui anumit criteriu. Discutnd la nivel general, cele dou proceduri enunate anterior trebuie privite ca exploatnd informaii comportamentale despre sistemul fizic studiat. Prima procedur presupune accesul n detaliu la structura sistemului, n timp ce a doua face uz de rezultatele concrete ale unor experimente. Mai trebuie subliniat faptul c exist unele situaii cnd sistemul studiat are o structur complex, greu de investigat conform primei proceduri, motiv pentru care procedura a doua rmne singura cale practic de abordare a construciei unui model. ntr-o astfel de tratare a problematicii modelrii, sistemul fizic este privit ca o cutie neagr (eng. black box), fr interesul de a deconspira interiorul cutiei, preocuprile axndu-se numai pe gsirea unei exprimri matematice a relaiei cauz efect. Din punctul de vedere istoric al dezvoltrii cunoaterii umane, legile fizicii (care astzi se prezint sub forma unor adevruri incontestabile, cu o exprimare matematic ferm) au fost iniial formulate ca probleme de identificare, necesitnd un numr mare de observaii experimentale (de exemplu, stabilirea legturii dintre curentul electric ce parcurge un conductor i diferena de potenial dintre extremitile conductorului). Dup cum am semnalat deja n paragraful anterior, utilizarea eficient a unui model (de exemplu, pentru simulare numeric) este condiionat de calitatea modelului, adic de posibilitatea reproducerii cu ajutorul modelului a comportrii sistemului real. Cu ct o atare reproducere se realizeaz n termeni mai fideli, cu att se poate acorda o mai mare ncredere raionamentelor i observaiilor bazate pe substituirea sistemului fizic cu modelul su. Este totodat important s se neleag c un model bun nseamn o bun aproximare a realitii, aproximare exploatabil sub raport fizico-tehnic, dar care nu poate substitui integral realitatea nsi, datorit unor limitri inerente ale modelului. Aceste limitri definesc un domeniu de validitate al modelului, adic un set de ipoteze asupra contextului experimental n care proprietile concrete evideniate de sistemul fizic sunt n bun concordan cu constatrile obinute prin intermediul modelului. Pentru o serie de legi ale fizicii, domeniul de validitate este mai restrictiv (de exemplu, legile din hidraulic bazate pe ipoteza curgerii laminare), iar pentru altele este suficient de larg (de exemplu, legile mecanicii clasice pot fi aplicate pentru foarte multe situaii fr a fi nevoie s apelm la legile mecanicii relativiste). De asemenea, mai merit de remarcat faptul c, uzual, pentru domenii de validitate restrnse se pot construi modele simple, n timp ce pentru domenii de validitate extinse este necesar utilizarea unor modele mai complicate (din care, modelele simple pot fi obinute drept cazuri particulare corespunztoare anumitor restricionri pentru domeniul de validitate).


5

1.1.4. Clasificarea modelelor matematiceModelele matematice pot fi grupate n clase pe baza unor caracteristici care se refer la descrierea realizat de model pentru comportarea corect a sistemului. n paragraful curent vom prezenta numai cteva modaliti de clasificare i anume acelea necesare pentru parcurgerea lucrrii de fa. Aceste modaliti de clasificare induc o terminologie specific, ce permite diferenierea unor tipuri fundamentale de modele, cu ajutorul perechilor de antonime detaliate mai jos: 1. Modele deterministe modele stohastice Un model determinist furnizeaz o relaie (relaii) ntre mrimile utilizate pentru descrierea matematic. Un model stohastic furnizeaz o relaie (relaii) ntre caracterizri de tip probabilistic ale mrimilor utilizate pentru descrierea matematic. Altfel spus, un model determinist se bazeaz pe ipoteza totalei certitudini n cunoaterea mrimilor, n timp ce un model stohastic permite existena incertitudinilor n cunoaterea mrimilor. Subliniem faptul c incertitudinile nu se refer la ncrederea n corectitudinea sau validitatea modelului, ci la maniera n care pot fi cunoscute anumite mrimi. 2. Modele statice modele dinamice Un model static furnizeaz o relaie (relaii) ntre valorile instantanee al mrimilor utilizate pentru descrierea matematic. Un model dinamic furnizeaz o relaie (relaii) ntre valori instantanee i valori anterioare ale mrimilor utilizate pentru descrierea matematic. n general, modelele statice sunt exprimate prin ecuaii algebrice (de exemplu, relaia dintre tensiunea la extremitile unui conductor i curentul care circul prin conductorul respectiv), iar modelele dinamice sunt exprimate prin ecuaii difereniale, integrale sau integrodifereniale (de exemplu, relaia dintre tensiunea la bornele unui condensator i curentul care circul prin condensatorul respectiv). 3. Modele liniare modele neliniare Un model liniar furnizeaz o relaie (relaii) de tip liniar ntre mrimile utilizate pentru descrierea matematic. Un model neliniar furnizeaz o relaie (relaii) de tip neliniar ntre mrimile utilizate pentru descrierea matematic. 4. Modele invariante n timp modele variante n timp Un model invariant n timp furnizeaz o relaie (relaii) ntre mrimile utilizate pentru descrierea matematic, n care toi coeficienii au valori constante n timp. Un model variant n timp furnizeaz o relaie (relaii) ntre mrimile utilizate pentru descrierea matematic, n care unul sau mai muli coeficieni i modific valoarea dependent de timp (de exemplu, relaiile dintre tensiunea la bornele unui rezistor i curentul care circul prin acesta, n condiiile modificrii n timp a rezistenei electrice a rezistorului datorit creterii temperaturii). 5. Modele cu parametrii concentrai modele cu parametrii distribuii Un model cu parametrii concentrai furnizeaz o relaie (relaii) ntre mrimile utilizate pentru descrierea matematic, n care toate funciile utilizate depind de o singur variabil independent, care, n contextul acestei lucrri, are semnificaie temporal. Uzual, astfel de modele sunt formulate cu ajutorul ecuaiilor difereniale ordinare sau a sistemelor de ecuaii difereniale ordinare (de exemplu, ecuaiile dinamicii punctului material). Un

6


model cu parametrii distribuii furnizeaz o relaie (relaii) ntre mrimile utilizate pentru descrierea matematic, n care cel puin o parte din funciile utilizate depind (pe lng variabila independent cu semnificaie temporal) de una sau mai multe variabile independente, de regul cu semnificaie spaial. Uzual, astfel de modele sunt formulate cu ajutorul ecuaiilor difereniale cu derivate pariale sau a sistemelor de ecuaii difereniale cu derivate pariale (de exemplu, ecuaia propagrii cldurii ntr-un corp omogen i izotrop). n specificarea tipului unui model matematic se pot folosi unul sau mai muli termeni din perechile de antonime prezentate anterior (evident cte un singur termen, din fiecare pereche). Astfel se poate vorbi despre modele statice liniare i modele statice neliniare, modele dinamice liniare i modele dinamice neliniare, modele dinamice liniare invariante n timp i modele dinamice liniare variante n timp etc. Facem precizarea c n exprimarea curent, dac nu exist pericolul unor confuzii, unii termeni pot lipsi, fiind subnelei din contextul discuiei. De pild, dac ne plasm ntr-un cadru determinist pentru construcia de modele, atunci pentru toate tipurile de modele menionate n fraza de mai sus vom nelege c sunt deterministe.

1.2. Modelarea bazat pe principiile fiziciiEdificiul legitilor fizice, attea cte sunt n prezent dezvluite cunoaterii umane, este cldit pe principiul fundamental al conservrii energiei, care, totodat, pune la dispoziie numeroase relaii derivate din acest principiu (nu toate echivalente cu principiul nsui) care sunt frecvent preferate (datorit simplitii de manevrare) n elaborarea modelelor. Seciunea de fa i propune o discuie introductiv, cu caracter general, asupra modelrii bazate pe relaii fizice, punnd accentul pe necesitatea asigurrii, ntr-o manier riguroas, a compatibilitii dintre principiul conservrii energiei i uurina de construcie i manipulare a modelului (destinat fie investigaiilor analitice, fie prelucrrilor numerice prin simulare). Aceast discuie motiveaz atenia acordat, n Capitolul 2, studierii unor tipuri de modele, considerate de referin pentru tiinele tehnico-inginereti, precum i focalizarea Capitolelor 3 - 7 pe aprofundarea legilor fizicii printr-o abordare unificatoare, capabil s evidenieze multiple analogii ntre diverse domenii.

1.2.1. Legi fizice i semnalen modelare, noiunea de semnal posed un coninut semantic larg, echivalent termenilor mrime sau variabil, care sunt utilizai n descrierea funcionrii unui sistem (indiferent de natura fizic concret a acestuia). Din punct de vedere matematic, n aceast lucrare, orice semnal trebuie privit ca o funcie f(t) : RR, n care argumentul (variabila independent) t are semnificaie temporal, permind, astfel, exprimarea modului n care o anumit cantitate (cu neles fizic) se modific n timp. Aadar, utiliznd termenul de semnal, ne putem referi la evoluia n timp a oricrei mrimi fizice, cum ar fi, de exemplu:


7

temperatura dintr-o incint, viteza unui mobil, volumul de fluid dintr-un rezervor, tensiunea la bornele unui rezistor electric etc. n funcie de complexitatea sistemului studiat, nu toate semnalele sunt accesibile msurtorilor sau nregistrrilor, dar imposibilitatea accesului practic la aceste semnale nu nseamn inexistena lor ca entiti ce corespund, la nivel conceptual, caracterizrii de mai sus. Cu alte cuvinte, chiar dac construcia obiectului nu permite efectuarea de msurtori n structura intern, ne putem imagina c, ntr-o alt variant constructiv (cu aceeai funcionalitate), msurtorile ar deveni posibile cu un echipament adecvat, adic am putea obine descrieri de tipul f(t). n studierea dinamicii unui sistem, exist dou categorii de semnale care sunt nemijlocit accesibile msurrii sau nregistrrii, datorit rolului pe care l dein n comportarea sistemului: - semnale de intrare (semnale cauz, sau, simplu, intrri) care provin din universul exterior sistemului i acioneaz asupra acestuia; - semnale de ieire (semnale efect, sau, simplu, ieiri) care sunt furnizate de sistem ctre universul exterior acestuia. Construcia modelelor prin identificare (prezentat sumar n paragraful 1.1.3) utilizeaz date experimentale coninnd rezultatele msurtorilor efectuate numai asupra intrrilor i ieirilor. n schimb, modelarea bazat pe principiile fizicii (prezentat sumar n paragraful 1.1.3) realizeaz legturi ntre intrri i ieiri prin intermediul unor relaii analitice care includ i semnalele interne din structura sistemului. Toate semnalele implicate n elaborarea modelului nu trebuie cunoscute experimental, dar informaiile de factur cantitativ (valori numerice) provin, de aceast dat, de la parametrii constructivi ai sistemului. n condiiile cnd pentru parametrii constructivi nu sunt disponibile valori numerice concrete, modelul obinut realizeaz doar o descriere calitativ a comportrii sistemului. O atare descriere este valabil pentru o clas larg de obiecte, cu principii de funcionare identice, dar cu valori diferite pentru parametrii constructivi ce caracterizeaz elementele componente. Relaiile analitice exprimnd legturile dintre semnale sunt, de fapt, relaii din diverse domenii ale fizicii aplicate adecvat n contextul problemei de modelare. ntrebuinarea concret i eficient a acestor legi depinde de experiena i profunzimea abordrii dovedit de cel ce construiete modelul. Din nefericire, nu exist algoritmi sau reete detaliate care s ghideze modul de aplicare a legilor fizicii, garantnd calitatea modelului obinut. n literatur sunt semnalate erori frecvente care se comit n elaborarea modelelor (de exemplu tipul de erori comentate n (Cellier et al., 1996)). Dintre acestea, cea mai periculoas (prin nsi sorgintea ei) o constituie utilizarea unor consecine sau forme derivate ale legilor fundamentale din fizic, care conduc la o tratare doar parial sau incomplet a interconexiunilor dintre semnale. Edificatoare n acest sens sunt situaiile generate prin ignorarea principiului conservrii energiei (care este universal valabil n toate domeniile fizicii) i folosirea unor relaii ntre diferite semnale care nu sunt echivalente cu principiul menionat (decurg din acesta, fr ca satisfacerea lor s asigure realizarea bilanului energetic). Dei nedorite, astfel de abordri defectuoase apar suficient de des, datorndu-se, n principal, urmtoarelor trei motive:

8


-

-

-

Semnalele ce pot fi individualizate n funcionarea sistemului sunt aparent uor de manevrat prin intermediul unor relaii simple, a cror legturi (ca i provenien) cu substratul energetic se pierd uzual din vedere; Exploatarea direct a conservrii energiei este, n general laborioas, iar abilitile dobndite pe parcursul studierii diverselor capitole din fizic nu creeaz un punct de vedere global, unitar, la care s se apeleze comod n practic; Pornind de la concepia sistemic care descrie realitile fizice prin asigurarea unei cauzaliti n propagarea semnalelor, de la cauze ctre efecte, stabilirea lanului cauzal complet (de la semnalele de intrare pn la semnalele de ieire) poate prezenta inadvertene, datorate unor elemente componente ale obiectului pentru care rolurile de cauze i respectiv de efecte se desemneaz eronat.

1.2.2. Modele cauzale i acauzalen tiinele tehnico-inginereti, activitatea de modelare s-a bazat, de-a lungul timpului, pe modele cauzale, care descriu comportarea sistemului printr-o legtur ntre dou categorii de semnale: semnale de intrare (privite drept funcii a cror dependen de timp poate fi precizat analitic, ntruct sunt furnizate din exterior ctre sistem) i semnale de ieire (privite drept funcii a cror dependen de timp nu este cunoscut analitic, deoarece sunt produse de sistem, ca rezultat al stimulilor prezentai la intrare). Un astfel de model permite determinarea dependenei de timp a semnalelor de ieire fie prin calcul analitic, fie prin procedee numerice (fcndu-se apel la simularea ntr-un mediu software adecvat). Un avantaj care este intens exploatat la modelele cauzale l constituie posibilitatea conectrii mai multor modele de acest tip, pe baza constatrii c ieirea unuia dintre modele constituie intrarea pentru un alt model, sau chiar pentru mai multe modele. Conectrile de modele cauzale dau posibilitatea conceperii unor structuri modulare complexe, crora li se pot asocia reprezentri grafice denumite scheme sau diagrame bloc, deoarece sunt alctuite din blocuri cauzale, asociate modulelor. Avnd n vedere larga rspndire a modelelor cauzale, n studiile teoretice, precum i n cele bazate pe simulare, tiinele inginereti opereaz, actualmente, cu cteva tipuri de descrieri matematice a tranziiei intrare-ieire, acceptate drept standarde pentru activitile de analiz i proiectare. Din acest motiv, capitolul urmtor este dedicat n totalitate prezentrii tipurilor de modele cauzale cu utilizarea cea mai frecvent, ilustrnd prin exemple i aplicarea lor n practic. Dup cum am semnalat deja la finele paragrafului anterior, n construcia de modele cauzale, compuse din blocuri (submodule) cauzale, pot interveni erori n atribuirea rolurilor de intrare, respectiv ieire pentru anumite semnale ce servesc conectrilor de blocuri (submodule). Atare erori provin uzual din faptul c legile fizicii sunt, n general, descrieri sau modele acauzale, care leag relaional dou sau mai multe mrimi (semnale), fr nici o precizare privind cauzalitatea. Transformarea unei descrieri acauzale ntr-un model cauzal (prin asignarea semnificaiilor de cauz i efect pentru semnalele implicate n acea descriere) devine o problem mai delicat atunci cnd se ine cont de bilanul energetic care asigur funcionarea


9

obiectului real. n asemenea situaii, universul exterior furnizeaz sistemului, n fiecare moment, o anumit putere (energie pe unitatea de timp), care poate fi exprimat n toate domeniile fizicii, ca produs a dou semnale pereche, dup cum urmeaz: n electricitate tensiune i curent, n mecanica micrii liniare for i vitez, n mecanica micrii de rotaie moment al cuplului i vitez unghiular, n fluidic presiune i debit, n cldur temperatur i flux al entropiei. Cu alte cuvinte, cauza este puterea nsi, adic produsul ambelor semnale, iar pericolul unei abordri superficiale const n a desemna drept cauz doar un singur semnal, fr a nelege exact rolul celui de-al doilea din perechea caracteristic domeniului respectiv. Poziia cea mai recent adoptat de comunitatea tiinific internaional fa de modelarea bazat pe principiile fizice, vizeaz tocmai eliminarea neajunsurilor semnalate anterior cu privire la utilizarea modelelor cauzale. Se poate vorbi, n mare, de existena a dou soluii, ambele exploatnd, ntr-o prim faz a construirii modelului, descrierile acauzale. Prima soluie conduce n final la un model cauzal standard (de tipul celor semnalate la nceputul acestui paragraf), compus din blocuri (submodele) acauzale, care este construit n deplin concordan cu principiul conservrii energiei, i poate face obiectul prelucrrilor att analitice, ct i numerice (prin simulare). A doua soluie a fost conceput anume pentru prelucrri numerice i constituie suportul simulatoarelor de ultima or, realizate ca medii de programare orientat pe obiecte; blocurile (submodelele) sunt descrise i conectate n manier acauzal, revenind n sarcina simulatorului (transparent pentru utilizator) s asigure cauzalitatea n momentul efecturii calculelor aferente unui bloc sau grup de blocuri (Cellier et al., 1996). Pe parcursul capitolelor viitoare vom prezenta detaliat prima din cele dou soluii, care prezint avantajul compatibilitii totale cu cadrul tradiional al modelrii, bazat pe descrieri cauzale, dar creeaz i o viziune de ansamblu n abordarea profund a fenomenelor fizice.

1.2.3. Transferul de energie i modelarea cauzal. Conceptul de surs ideal de putereConform celor discutate n paragraful anterior, transferul de energie (putere) dinspre universul exterior ctre sistem este cel care asigur funcionarea sistemului, adic ambele semnale pereche, ce definesc prin produsul lor puterea ntr-un domeniu al fizicii, contribuie la realizarea dinamicii sistemului. Astfel sistemul trebuie privit ca fiind conectat la o surs de putere, iar nelegerea deplin a modului cum se transfer puterea de la surs ctre sistem constituie premisa cheie n modelarea cauzal. n toate domeniile fizicii, n bun concordan cu exploatarea normal a unei surse reale de putere, se poate considera c aceasta furnizeaz sistemului puterea necesar funcionrii, impunnd sistemului unul din cele dou semnale pereche (adic intrare pentru sistem), iar cellalt semnal pereche rezultnd din consumul concret de putere al sistemului (adic ieire pentru sistem). De exemplu, funcionarea oricrui echipament electrocasnic se caracterizeaz prin aceea ca reeaua electric (sursa de putere) impune o tensiune alternativ

10


de 220V echipamentului (aadar cauz), iar curentul este rezultatul consumului de putere de ctre echipament (aadar efect): zecimi de amperi pentru un bec de veioz, n jur de un amper pentru o plit de gtit, civa amperi pentru un radiator etc. n exemplul considerat, reeaua electric funcioneaz ca o surs ideal de tensiune, atributul ideal referindu-se la faptul c reeaua este capabil s furnizeze, la o tensiune alternativ de 220V, orice curent (implicit orice putere) solicitat de un echipament electro-casnic. Evident, aceast comportare desemnat drept ideal se limiteaz practic, la o gam de cureni pn n 10-15 A, corespunztoare consumului de putere al tuturor echipamentelor electrocasnice aflate n funciune la un moment dat ntr-un apartament, valoarea maxim a curentului fiind controlat printr-o siguran de protecie (cu rolul de a decupla alimentarea cu energie electric atunci cnd se depete acea valoare maxim a curentului). Constatm aadar c lund n considerare ansamblul format din sursa ideal de tensiune i un echipament electrocasnic, funcionarea acestuia din urm poate fi descris printr-un model cauzal, avnd, drept intrare, tensiunea impus de surs i drept ieire, curentul necesitat de exploatarea normal a echipamentului. Observaiile din exemplul anterior cu privire la modul n care un sistem primete, de la o surs, puterea necesar funcionrii sunt general valabile astfel nct, n toate domeniile fizicii putem vorbi de surse ideale cum ar fi: surse ideale de for, surse ideale de cuplu, surse ideale de presiune, surse ideale de temperatur etc. Aadar, avnd drept baz transferul de energie, construcia de modele poate fi abordat riguros, n manier cauzal, utiliznd metoda bond-graph prezentat n lucrarea de fa. Metoda pornete de la descrierea transferului de putere dintre o surs ideal (sau mai multe surse ideale) i un sistem, iar apoi propag cauzalitatea impus de tipul sursei (surselor), din aproape n aproape, pentru fiecare element component, innd seama de principiul conservrii energiei i de specificul comportrii elementelor constitutive. Aceast specificitate comportamental are tot fundament energetic, i anume modul n care se utilizeaz puterea (disipare, acumulare sau transformare). Totodat fundamentul energetic face ca specificitatea comportamental s poat fi tratat unificat, pentru toate domeniile de interes, evideniind o serie de analogii n exprimarea legilor fizicii care asigur rigurozitatea de fond a metodei bond-graph.

2.U

Tipuri de modele cauzale i proprieti

Obiectivul acestui capitol const n prezentarea gradual ca nivel de complexitate a unor tipuri de modele cauzale cu utilizare frecvent n practic. Nu se vor lua n discuie, datorit formulrilor matematice mai complicate, modelele stohastice i modele cu parametri distribuii (a se vedea clasificarea din paragraful 1.1.4. al capitolului precedent). Modul de tratare urmrete ca principiu general de expunere generalizarea noiunilor discutate n etape anterioare, de aa manier nct cititorul s realizeze cu uurin extinderea capacitii de modelare survenit n urma creterii gradului de complexitate a descrierii matematice. Pentru modelele liniare invariante n timp sunt formulate att descrieri in domeniul timp, ct i n domeniul complex, folosind metoda operaional a transformatei Laplace (care se bucur de o utilizare frecvent n diverse domenii conexe ingineriei electrice). Exemplele practice nsoesc prezentarea fiecrui tip de model pentru a-i ilustra utilitatea, dar i pentru a crea un fundament de sorginte intuitiv n demersul cognitiv propriu-zis. Atragem atenia c n acest capitol accentul este pus pe tipologia i proprietile modelelor, fr a ne ocupa de tehnicile de construcie a acestor modele (care sunt abordate sistematic in capitolele 5, 6, 7, dup o consolidare a cunotinelor de fizic pe parcursul capitolelor 3 i 4). Tot n scopul explorrii dinamicii modelate de diverse tipuri de descrieri matematice, a fost introdus o ultim seciune dedicat problematicii stabilitii. Comentarii privind tipurile de modele studiate n acest capitol i proprietile lor pot fi gsite in numeroase manuale sau monografii din aria automaticii, care prin excelen, este un domeniu de activitate inginereasc preocupat de descrierea riguroas a realitii fizico-tehnice. Precizm, totui, c organizarea prezentului capitol nu este specific lucrrilor de automatic ce, n general, urmresc nu numai modelarea proceselor, dar i utilizarea respectivelor modele n proiectarea unor strategii de conducere (aspect care nu intr n sfera de interes a acestei cri). De aceea structurarea materialului pe seciuni a urmrit planul de mai jos, orientat, n exclusivitate, pe nelegerea ct mai detaliat a caracteristicilor comportamentale proprii fiecrei clase de modele: 2.1. Modele de tip proporional. 2.2. Modele de tip integrator sau derivator. 2.3. Modele liniare de tip ecuaie diferenial de ordinul I, cu coeficieni constani. 2.4.

limbajul bond graph

Documents