Legea gravitatiei (atractiei) universale

Un punct material de masă m1 atrage orice alt punct material din univers de masă m2 cu o forţă

rF ˆ2

2112 r

mkm

k=6.67•10-11 Nm2/kg2

constanta atracţiei universale

m1 m2r̂

12Fr

m1 m212F

21F

1221 FF

r

Câmp gravitational

m1

P

r̂ gr

g = intensitatea câmpului graviational (acceleratia câmpului graviational

21

21 ˆ

r

kmg

r

km rg

Dacă se cunoaşte acceleraţia gravitaţională atunci forţa de atracţie dintre particula de masă m1 şi o altă particulă de masă m2 se poate

scrie astfel:

gF

212 mm1

m2r̂ gF

212 mr

rA

m1 m2r̂ )(rF

r

m2)( ArF

Energia potenţială a sistemului format de punctele materiale m1 şi

m2 este egală cu minus lucrul mecanic făcut de forţa gravitaţională

pentru a deplasa pe m2 dela distanta rA la distanta r faţă de m1

r

mkmEr

r

mkm

r

mkmdr

r

mkm)r(E)r(E

dr

mkm)r(E)r(E

d)(E)(E

21pA

A

2121r

r 221

App

r

r 221

App

B

AApBp

A

A

rr

rFrr

Energia potenţială a două puncte materiale aflate la distanţa r

dr

dEF

dr

dEFE

r

mkm pPp rrFrF ˆˆˆ

221

r

mkmECE

Cr

mkmE

drr

mkmdE

drr

mkmFdrdE

pp

p

p

p

21

21

221

221

0)(

)(

)(

m1 m2r̂ F

r

Forţa de gravitaţie Câmpul gravitaţional

rF ˆ2

2112 r

mkm

221

r

mkmF

pEF

r

mkmEp

21

rg ˆ2r

km

2r

kmg

r

km

g

φ =potenţialul câmpului gravitaţional

Forţa de atracţie dintre două sfere cu masa distribuită cu simetrie sferică (densitatea depinde doar de raza sferei)

rM m

r̂ F

rF ˆ2r

kMm

rM

r̂g

Intensitatea câmpului gravitaţional creat de o sferă cu distribuţie simetrică de masă în exteriorul sferei

rg ˆ2r

kM

Densitatea Pământului

RF

MP

m

Forţa de interacţiune dintre Pământ şi un punct material de masă m rF ˆR

kmM2

p

legea a II-a:

2

2

R

kMg

R

kmMmg

mm

P

p

Fga

Rg

MPRk

g

RVV

M

k

gRM P

P

Pp

4

3

3

4 32

33 /5)(/5.3)( cmgcalculatcmgroci

Interpretare: In interiorul Pământului există o zonă cu densitate mare

k=6.67•10-11 Nm2/kg2 R=6371 km

6000

5000

4000

3000

2000

1000

00 2 4 6 8 10 12 14

Mantaua sup.

Zona detranzitie

Mantaua inf.

Nucleul extern

Nucleul intern

Variaţia densităţii în interiorul Pământului

Variaţia acceleraţiei gravitaţionale cu altitudinea

R0g

MP

hgr – distanţa de la centrul Pamântului până la un punct având altitudinea h

R – raza Pământuluig0= acceleraţia gravitaţională la suprafaţa Pământuluig = acceleraţia gravitaţională la altitudinea h

hRr Expresia modulului lui g este:

20

202222

)1(

1

))/(1()(

R

kMg

Rh

gRhR

kM

hR

kM

r

kMg

P

ppp

Dacă h<<R atunci g ~ g0

Variaţia acceleraţiei gravifice cu latitudinea

Un observator aflat la suprafaţa Pământului se găseşte într-un sistem de referinţă neinerţial datorită rotaţiei acestuia în jurul axei N-S.

Acceleraţia centrifuga are expresia:

)cos(2 latRac

Acceleraţia centrifugă de inerţie are expresia:

cci aa

)cos(2 latRaa cic

r

vrarv c

22

Acceleraţia gravifică g (acceleraţia unui corp în cădere) la suprafaţa Pământului este dată de suma dintre acceleraţia gravitaţională (g0) şi acceleraţia centrifugă de inerţie (aci):

ciagg

0

Pământul sferă rigidă

Modulul acceleraţiei gravifice poate fi calculat cu teorema cosinusurilor:

s

radmsg

latRglatRgg

520

220

22420

1027.781.9

)(cos2)(cos

cazuri particulare:1. punct pe ecuator lat=0°

Rgg

ci

20

0

agg

2. punct la pol lat = 90°

0

0

0

0

ggci

ci

gga

agg

Rotatia unor corpuri elastice

Pământul fiind o structură elastică sub influenţa rotaţiei ia forma unui elipsoid de rotaţie, alungit la ecuator şi turtit la poli.

Acceleraţia gravifică este în orice punct perpendiculară pe tangenta dusă la elipsoid.In domeniul oceanic suprafaţa acestuia coincide, într-o primă aproximaţie, cu suprafaţa elipsoidului.

Direcţia ei reprezintă verticala locală (direcţia firului cu plumb).

Datorită formei de elipsoid latitudinea geocentrică nu coincide cu latitudinea geografică.

Consecinte:

62

31

2e

22

21en

1087.5

103024.5

ms780318.9g

))lat2(sin)lat(sin1(gg