MATLAB 1

LABORATOR 2

Grafice ın Matlab

Sintaxa generala pentru grafice ın plan este

plot(X1, Y 1, LineSpec, ...)

−reprezinta ın plan perechile (x, y) din cei doi vectori X1, Y 1 de aceeasi dimensiune

−comanda LineSpec adauga caracteristici n plus cu privire la tipul linilor,culoare,

stilul, etc.

−Stilul linilor poate fi: linie continua ′−′, linie ıntrerupta ′ − −′, linie punctata

′ :′,linie punct ′ − .′

−Marker type poate fi: ′+′,′ ◦′,′ ∗′

Sintaxa generala pentru grafice ın spatiu este

plot3(X1, Y 1, Z1, LineSpec, ...)

−reprezinta ın spatiu (x, y, z) din vectorii X1, Y 1, Z1 de aceeasi dimensiune

−comanda LineSpec adauga caracteristici n plus cu privire la tipul linilor,culoare,

etc.

Sintaxa generala pentru lungimea axelor este

axis([xmin x max ymin ymax zmin zmax])

Sintaxa generala pentru etichetarea axelor este

xlabel(′text′)

ylabel(′text′)

zlabel(′text′)

Exemplul 1. Sa se reprezinte grafic ın acelasi sistem de coordonate functiile:

f(x) = sin 2x; g(x) =x+ 2

x2 + 1. Functia fsa se figureze cu culoarea rosie si cu linie

punctata iar g cu verde si cu linie ıntrerupta.

MATLAB 2

Consideram x pe intervalul [−2π, 2π] si folosim secventa:

x=-2*pi:2*pi;

f = sin(2 ∗ x);

g = (x+ 2)./(x.ˆ2 + 1);

plot(x, f,′ : r′, x, g,′−− g′)

xlabel(′x′);ylabel(′y′),ntaisedefineste functia ıntr-un fisier

Matlab are si comenzi specifice pentru grafice de functii definite pe intervale spec-

ificate.

Sintaxa generala pentru grafice este

fplot(′function′, limits, LineSpec)

′function′- trebuie sa fie numele unei functii continute intr-un fisier cu acelasi nume

sau o functie predefinita, precum ’cos(x)

,’log(x)’

Exemplul 2. Sa se reprezinte grafic functia

f(x) = x2 +√

2x cosx+ 1

pe intervalul [−5, 5] .

Intai se defineste functia ıntr-un fisier mac.m

function f = mac(x)

f = x.ˆ2 + sqrt(2 ∗ x). ∗ cos(x) + 1

Apoi ın fisierul de comanda scriem

fplot(′mac′, [−5, 5])

care va produce graficul functiei f.

Exercitiul 1. Sa se reprezinte grafic ın acelasi sistem de coordonate functiile

h(x) =sinx

xsi g(x) = 2 + x+ x2 . Functia h sa se figureze cu culoarea albastra si cu

linie continua iar g cu verde si cu linie ıntrerupta.

MATLAB 3

Rezolvarea ecuatiilor polinomiale

In Matlab, solutia ecuatiei polinomiale se gaseste definind mai ıntai vectorul v ce

contine coeficientii polinomului v : si apoi folosind comanda

”roots” : r = roots(v).

Exemplul 1. Gasiti solutiile ecuatiei polinomiale

x3 + 3x2 − 6x− 8 = 0

Pentru exemplul nostru scriem la cursor :

>> v = [1, 3,−6,−8]; roots(v)

Observatie : Numarul de elemente ale vectorului v asociat unei ecuatii polinomiale

de ordin n este ıntotdeauna n+1. Daca termenul ce contine puterea , nu apare ın

ecuatie, vectorul v corespunzator va contine 0 ın loc de . De exemplu, ecuatiei

x3 + 2x+ 5 = 0

ıi va corespunde vectorul v = [1,0,2,5].

Exercitiu 1 : Rezolvati ecuatiile :

x4 + 2x3 − 5x+ 2 = 0

x3 + 2x+ 3 = 0

Pentru evaluarea unui polinom P (x) intr-un punct x se foloseste sintaxa

polyval (P, [x])

Exemplul 2. Sa calculeze valorile polinomului P (x) = x4 + 3x3 − 4x2 − 2x+ 7 in

punctele x = 3, x = 2, x = 11.

MATLAB 4

Solutie.

P = [1, 3,−4,−2, 7]

polyval(P, [3, 2, 11])

Pentru determinarea coeficientiilor polinomului a carui radacini sunt

componentele vectorului r , se utilizeaza sintaxa

poly(r)

Exemplul 3. Sa se determine coeficientii polinomului P (x) a carui radacini sunt

x = 3, x = 5, x = 11.

Solutie.

r = [3, 5, 11]

poly(r)

Pentru determinarea coeficientiilor polinomului caracteristic al unei ma-

trici A, se utilizeaza sintaxa

poly(A)

Radaciniile acestui polinom sunt valorile proprii ale matricii A.

Pentru determinarea valorilor proprii ale unei matrici A, se utilizeaza

sintaxa

eig(A)

Exercitiu 2. Sa se determine polinomul caracteristic si valorile proprii ale matricii

A =

2 0 1

1 2 4

−1 0 2

.

MATLAB 5

Rezolvarea numerica a ecuatiilor neliniare

Calculul unei solutii aproximative a ecuatiei f(x) = 0, unde f este o funcaie

neliniara.

Exemplul 2: Calculati o solutie aproximativa a ecuatiei

ex + xˆ2− 10 = 0

Rezolvare : In Matlab definim functia ce caracterizeaza ecuatia ın cadrul unui fitierului

de tip m-file f2.m :

function y = f2(x)

y = exp(x) + x.ˆ2− 10

Pentru a realiza un tablou de valori pe intervalul [-5,5] al acestei functii construim

mai ıntai o diviziune de pas 1 a acestui interval : xx=-5:1:5

In continuare aplicam functia f2 fiecarui punct al diviziunii xx, obtinand diviziunea

yy:

yy=f2(xx)

Graficul corespunzator este :

plot(xx,yy,’o’)

Pentru ne face o imagine de ansamblu putem de asemenea reprezenta grafic functia:

fplot(’f2’, [-5,5])

Intervalul pe care se face reprezentarea grafica se alege dupa caz, de la problema

la problema, astfel ıncat sa surprinda valorile aproximative ale radacinilor cautate.

Pentru problema data graficul arata ca exista doua radacini, una ın jurul valorii - 3

iar cealalta ın jurul valorii 2. Vom folosi ın continuare comanda fzero, care gaseste o

radacina aproximativa a ecuatiei folosind o metoda de tip Newton, si deci are nevoie

de un punct de pornire pentru a construi sirul de aproximatii succesive ce converge

la solutie. Vom alege ca punct de pornire pe rand valorile - 3 ai 2, obtinand solutiile

MATLAB 6

cautate . Scriem asadar la cursor :

> > fzero(′f2′,−3)

> > fzero(′f2′, 2)

Exercitiu : Rezolvati ecuatia g(x) = 0 pentru fiecare dintre functiile de mai jos :

x2 + ex − 2√x2 + 1 = 0

x4 + sinx− 2 = 0

x4 + ex −√x2 + 2− 10 = 0

Raspuns. 2.1974, - 2.1974; -1.3124, 1.0335; -1.8685, 1.6298.