De�nitia si legatura cu mor�smele a�neExemple

Grupul izometriilor si subgrupurile sale importanteDescompunerea unei izometrii in produse de simetrii ortogonale fata de hiperplane

Izometrii

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Izometrii

1 De�nitia si legatura cu mor�smele a�ne

2 Exemple

3 Grupul izometriilor si subgrupurile sale importante

4 Descompunerea unei izometrii in produse de simetrii ortogonale

fata de hiperplane

Spatii a�ne euclidiene

Consideram un spatiu a�n euclidian E =(E ,−→E ,Φ

), adica un

spatiu a�n real al carui spatiu liniar director este inzestrat cu un

produs scalar:

:−→E ×

−→E → R este o forma biliniara, simetrica, pozitiv

de�nita.

Folosind norma indusa de produsul scalar, ‖ · ‖:−→E → [0,∞),

‖ x̄ ‖=√< x̄ , x̄ >, ∀x̄ ∈

−→E , de�nim urmatoarea functie distanta

pe E :d(A,B) =‖

−→AB ‖, ∀A,B ∈ E .

Proprietatile functiei distanta

Functia distanta are urmatoarele proprietati:

(pozitiva de�nire) d(A,B) ≥ 0, ∀A,B ∈ E ;d(A,B) = 0⇔ A = B ;(simetria) d(A,B) = d(B,A), ∀A,B ∈ E ;(inegalitatea triunghiulara)

d(A,C ) + d(C ,B) ≥ d(A,B), ∀A,B,C ∈ E ; in plus,d(A,C ) + d(C ,B) = d(A,B)⇔ ∃α ∈ [0, 1] astfel incatC = αA + (1− α)B .

Daca punctul C este diferit de punctele A si B si veri�ca

d(A,C ) + d(C ,B) = d(A,B), spunem ca C este situat intre A siB si notam A− C − B .

Subspatii a�ne euclidiene

Fie E =(E ,−→E ,Φ

)un spatiu a�n euclidian si

E ′ =(E ′,−→E ′,Φ|E ′×E ′

)un subspatiu a�n al lui E . Atunci

restrictia produsului scalar la−→E ′ este tot un produs scalar, si

astfel E ′ devine un spatiu a�n euclidian. Spunem ca E ′ estesubspatiu a�n euclidian al lui E .

Fie E =(E ,−→E ,Φ

)un spatiu a�n euclidian de dimensiune

�nita si E1,E2 doua subspatii a�ne euclidiene ale sale. Spunemca E1 este perpendicular pe E2 daca−→E1 ⊥

−→E2 ⇔

(−→E1 ⊆

(−→E2

)⊥)∨(−→E2 ⊆

(−→E1

)⊥).

Daca−→E1 =

(−→E2

)⊥⇔−→E2 =

(−→E1

)⊥spunem ca cele doua

subspatii sunt normale. In acest caz spunem ca E1 are directia

normala−→E2 si E2 are directia normala

−→E1.

Intersectia a doua subspatii a�ne euclidiene normale este

formata dintr-un singur punct.

Fie E =(E ,−→E ,Φ

)un spatiu a�n euclidian, E1 un subspatiu

a. e. al sau si A ∈ E\E1. Atunci subspatiul a.e.

E2 = A +(−→E1

)⊥este unicul subspatiu a.e. al lui E ce trece

prin A si este normal lui E1. De aceea il numim subspatiul a.e.

normal prin A la E1.

Va invitam sa recapitulati:

ecuatiile unui subspatiu a.e. dat printr-un punct si directia sa

normala;

formula schimbarii de repere ortonormate;

distanta dintre doua subspatii a.e.;

unghiul dintre o dreapta a�na si un subspatiu a.e., unghiul

dintre doua hiperplane.

De�nitia izometriilor

De�nition

Fie E1 =(E1,−→E1,Φ1

)si E2 =

(E2,−→E2,Φ2

)doua spatii a�ne

euclidiene si d1 : E1 × E1 → R, d2 : E2 × E2 → R functiile distantecorespunzatoare. O aplicatie f : E1 → E2 se numeste izometriedaca

d1 (A,B) = d2 (f (A), f (B)) , ∀A,B ∈ E1.

Exercitiu Demonstrati, folosind de�nitia, ca orice translatie a unui

spatiu a�n euclidian este o izometrie.

Consecinta1 Orice izometrie intre doua spatii a�ne euclidiene este

o aplicatie injectiva.

Consecinta2 Urma−→f :−→E1 →

−→E2 a oricarei izometrii pastreaza

normele vectorilor: ‖ −→u ‖1=‖−→f (ū) ‖2, ∀ū ∈

−→E1.

Ultima consecinta ne sugereaza sa studiem legatura intre izometrii

si mor�smele a�ne cu aplicatia liniara asociata ortogonala.

Theorem

O aplicatie f : E1 → E2 intre doua spatii a�ne euclidiene esteizometrie daca si numai daca f este mor�sm a�n cu aplicatia liniara

asociata−→f :−→E1 →

−→E2 ortogonala.

Proposition

Orice izometrie intre doua spatii a�ne eulidiene de dimensiune �nita

transforma subspatii a�ne in subspatii a�ne de aceeasi dimensiune.

Corolar O izometrie pastreaza relatia �a � intre� si raportul simplu a trei

puncte. Prin urmare orice izometrie transforma drepte a�ne in drepte

a�ne, semidrepte in semidrepte, segmente in segmente, plane in plane,

semiplane in semiplane, semispatii in semispatii.

De�nition

Numim �gura a unui spatiu a�n orice submultime nevida F ⊂ E . Doua�guri F1,F2 ⊂ E se numesc congruente daca exista o izometrief : E → E cu proprietatea f (F1) = F2. Notam F1 ≡ F2.

Relatia de congruenta pe multimea �gurilor unui spatiu a�n este o relatie

de echivalenta.

Exemple

Teorema de caracterizare a izometriilor ne ofera o serie de exemple,

pornind de la aplicatiile ortogonale cunoscute.

Orice translatie tū : E → E este o izometrie, deoarece estemor�sm a�n cu urma aplicatia identitate Id−→

Ecare evident este

aplicatie ortogonala. Translatiile nu au puncte �xe.

Exemple

De�nition

Fie En =(E ,−→E ,Φ

)un spatiu a�n euclidian si

E1 =(E1,−→E1,Φ|E1×E1

)un subspatiu a.e. al sau. Simetria lui E

fata de E1, paralela cu(−→E1

)⊥se numeste simetria ortogonala a lui

E fata de E1.

Simetria ortogonala a lui En fata de E1 are ca urma simetriaortogonala a spatiului liniar

−→E fata de

−→E1. Stim ca S−→E1

:−→E1 →

−→E1

este o aplicatie ortogonala, deci obtinem o izometrie.

Simetria ortogonala

Simetria ortogonala

Notam simetria ortogonala a spatiului a.e. E fata de E1 prinSE1 : E → E . Ea asociaza �ecarui punct P ∈ E punctul P ′,simetricul lui P fata de E1, obtinut astfel. Se considera E2subspatiul a�n normal prin P la E1 si {Q} = E2 ∩ E1. (Amdemonstrat in primul curs ca intersectia a doua subspatii a.e.

normale e formata dintr-un singur punct). Q se numeste proiectia

ortogonala a lui P pe E1.

Punctul P ′ ∈ E2 este unic determinat de conditia ca punctul Q sa�e mijlocul segmentului [PP ′].In cazul in care E1 este un hiperplan observam ca E1 este

hiperplanul mediator al segmentului [PP ′].

Aplicatia PrE1 : E → E1 ⊂ E ce asociaza �ecarui P proiectia saortogonala pe E1 se numeste proiectia ortogonala a lui E pe E1.Observam ca SE1 = 2PrE1 − IdE si ca toate punctele lui E1 sunt�xe pentru SE1 .Fie A ∈ E1 �xat arbitrar. Atunci

SE1(P) = A+S−→E1(−→AP), ∀P ∈ E ⇔

−−−−−−−−−→SE1(P)SE1(R) = S−→E1

(−→PR), ∀P,R ∈ E .

Simetria ortogonala

Rotatia in plan

Fie planul a�n euclidian orientat E2, Ω un punct din E siα ∈ (−π, π].

De�nition

Se numeste rotatie de centru Ω si unghi α aplicatia RΩ,α : E → Ede�nita astfel: RΩ,α(Ω) = Ω si pentru orice punct P ∈ E , P 6= Ω,RΩ,α(P) = P

′, unde P ′ este unic determinat de conditiile{d(Ω,P) = d(Ω,P ′),

]o(−→

ΩP,−−→ΩP ′

)= α.

Observam ca urma lui RΩ,α este rotatia geometrica de unghi α in

planul vectorial−→E , Rα :

−→E →

−→E si aceasta este o aplicatie

ortogonala.Singurul punct �x al unei rotatii este centrul sau (atunci candα 6= 0).

RΩ,α(P) = Ω+Rα(−→ΩP), ∀P ∈ E ⇔

−−−−−−−−−−−→RΩ,α(P)RΩ,α(S) = Rα(

−→PS), ∀P,S ∈ E .

Rotatia in plan

Rotatia in spatiu

Intr-un spatiu a.e. trei dimensional orientat E3 se considera odreapta a�na orientata d si α ∈ (−π, π]. Consideram ā ∈

−→d

orientat pozitiv, nenul. De�nim rotatia in jurul dreptei d de

unghi α aplicatia Rd ,α : E → E de�nita prin

Rd ,α(A) = A, ∀A ∈ d , Rd ,α(P) = P ′, P /∈ d ,unde P ′ e unic determinat astfel: se considera π planul prin P

normal dreptei d si {Ω} = d ∩ π; �e b̄ =−→ΩP ∈ −→π si

c̄ = ā × b̄ ∈ −→π ; se orienteaza planul π astfel incat {b̄, c̄} este obaza pozitiva in −→π ; in π se aplica lui P rotatia de centru Ω si unghiorientat α, obtinandu-se astfel punctul P ′.

Urma rotatiei Rd ,α este rotatia geometrica a lui−→E in jurul lui ā, de

unghi orientat α, studiata in primul semestru Rā,α :−→E →

−→E .

RΩ,α(P) = Ω+Rā,α(−→ΩP), ∀P ∈ E ⇔

−−−−−−−−−−−→RΩ,α(P)RΩ,α(S) = Rā,α(

−→PS), ∀P,S ∈ E .

Se observa ca toate punctele �xe ale acestei izometrii sunt punctele

dreptei d , numita si axa de rotatie.

Rotatia in spatiu

Grupul izometriilor

Propozitie

O izometrie intre doua spatii a�ne de aceeasi dimensiune �nita este

o bijectie.

Deoarece multimea mor�smelor a�ne bijective ale unui spatiu a�n

are structura de grup, numit grupul a�n GA(E ), si multimeaaplicatiilor ortogonale ale spatiului liniar director

−→E are tot

structura de grup, O(−→E ), se obtine:

Theorem

Multimea izometriilor unui spatiu a�n euclidian �nit dimensional Enare structura de grup in raport cu compunerea functiilor. Notam

acest grup cu GI(En) sau Izo(En).

Reformuland, am obtinut ca multimea izometriilor unui spatiu a�n

euclidian �nit dimensional En este un subgrup al grupului a�n GA(En).Putem enunta un rezultat mai general, cand nu impunem ca dimensiunea

spatiului a�n sa �e �nita. Multimea izometriilor bijective ale unui spatiu

a�n este un subgrup al grupului a�n.

Grupul ortogonal

Amintim ca multimea aplicatiilor liniare ortogonale ale unui spatiu

liniar de dimensiune n, de exemplu−→E , formeaza un grup in raport

cu compunerea functiilor, grup pe care il vom nota O(−→E ).

Acest grup este izomorf cu grupul matricilor ortogonale de ordin n,

cu elemente reale, numit grupul ortogonal de ordin n.

O(n) ={A ∈Mn(R) | AAt = AtA = In

}.

Izomor�smul este functia ce asociaza �ecarei aplicatii ortogonale

matricea sa in raport cu o baza ortonormata �xata in−→E .

Grupul O(−→E ) are ca subgrup multimea rotatiilor SO(

−→E ) (a

aplicatiilor ortogonale de specia I), subgrup izomorf cu grupul

ortogonal special SO(n), unde

SO(n) = {A ∈ O(n) | detA = 1} .

De�nition

O izometrie f : E → E ce admite un punct �x Ω ∈ E ( f (Ω) = Ω)se numeste centro-izometrie de centru Ω. Mutimeacentro-izometriilor cu centrul Ω se noteaza cu GI(En,Ω).

De exemplu rotatia in plan este o centro-izometrie.

Proposition

Multimea centro-izometriilor GI(En,Ω) este un subgrup al luiGI(En), grup izomorf cu O(n).

Izomor�smul cautat este ξ : GI(En,Ω)→ O(−→E ), ξ(f ) =

−→f , deci

functia ce asociaza �ecarei izometrii urma sa.

Aceasta functie ne ofera un mor�sm de grupuri intre GI(En) siO(−→E ), mai exact, pentru orice izometrii f , g are loc

−−→f ◦ g =

−→f ◦ −→g . In plus compunerea a doua aplicatii ortogonale

este ortogonala. Daca dorim sa obtinem un izomor�sm de grupuri,

avem nevoie de conditia suplimentara f (Ω) = Ω.

Sa demonstram ca aplicatia ξ : GI(En,Ω)→ O(−→E ) , ξ(f ) =

−→f

este bijectie.

Fie g ∈ O(−→E ) arbitrara. Vom demonstra ca exista o unica izometrie

f ∈ GI(En,Ω) ce are ca aplicatie liniara asociata functia g .De�nim

f (A) = Ω + g(−→ΩA) ⇔

−−−−→Ωf (A) = g(

−→ΩA), ∀A ∈ E . (1)

Rezulta ca ∀A,B ∈ E are loc−−−−−−→f (A)f (B) =

−−−−→f (A)Ω +

−−−−→Ωf (B) = −g(

−→ΩA) + g(

−→ΩB) = g(

−→AB),

deoarece g e aplicatie liniara. Deci urma lui f este aplicatia liniara

g , de unde rezulta ca f e mor�sm a�n. Deoarece g e ortogonala

rezulta ca f este izometrie si, din modul in care a fost de�nita,

deducem ca f (Ω) = Ω.Unicitatea: �e h : E → E o alta aplicatie a�na cu Ω punct �x siaplicatie liniara asociata g . Fie P ∈ E arbitrar. Din−−−−−−→h(Ω)h(P) = g(

−→ΩP) si h(Ω) = Ω rezulta ca

h(P) = h(Ω +−→ΩP) = Ω + g(

−→ΩP) = f (P) din (1).

Proposition

Pentru �ecare Ω ∈ E , orice izometrie a lui E se descompune in modunic in produsul dintre o centro-izometrie de centru Ω si otranslatie.

Prin produsul a doua izometrii intelegem de fapt compunerea lor.

Fie f ∈ GI(En). Stim ca orice mor�sm a�n se poate scrie ca sicompunerea dintre o aplicatie a�na cu punctul �x Ω si o translatie.Mai exact

f = t−−−−→Ωf (Ω)

◦ g , unde g = t−−−−→f (Ω)Ω

◦ f , g(Ω) = Ω.

Deoarece f e izometrie si orice translatie este o izometrie, rezulta

ca g este izometrie.

Unicitate: presupunem ca ∃ū, v̄ ∈−→E si ∃g , h ∈ GI(En,Ω) astfel

incat f = tu ◦ g = tv ◦ h. Rezulta ca−−−−→Ωf (Ω) =

−−−−−−−→Ω(tū(g(Ω)) =

−−−−−→Ω(tū(Ω) = ū. Analog

−−−−→Ωf (Ω) = v̄ , deci

ū = v̄ . Rezulta imediat ca g = h.

Deplasari

Un alt subgrup important al grupului izometriilor este grupul

deplasarilor.

De�nition

Se numeste deplasare (miscare) o izometrie cu aplicatia liniara

asociata o aplicatie ortogonala de specia I:−→f ∈ SO(

−→E ).

Se numeste antideplasare o izometrie cu aplicatia liniara asociata o

aplicatie ortogonala de specia a II-a.

Notam multimea deplasarilor cu D(En).

Translatiile si rotatiile (in planul E2 si spatiul E3) sunt deplasari, catsi simetria ortogonala fata de o dreapta a�na in E3. Simetriaortogonala fata de un hiperplan este o antideplasare.

Proposition

Multimea deplasarilor unui spatiu a�n este un subgrup al grupului

izometriilor.

Multimea deplasarilor cu un punct �x este un subgrup al lui D(En),izomorf cu SO(

−→E ).

Reamintim ca geometria euclidiana se ocupa de studiul

proprietatilor �gurilor spatiilor a�ne euclidiene invariante la actiunea

grupului izometriilor.

Ecuatiile unei izometrii

Theorem

Fie En un spatiu a�n euclidian n dimensional si o aplicatief : E → E. O conditie necesara si su�cienta pentru ca f sa �e oizometrie este existenta unui reper ortonormat

R = {O; ē1, ē2, · · · , ēn} astfel incat pentru un punct P cucoordonatele (x1, x2, · · · , xn) in reperul R, coordonatele(y1, y2, · · · , yn) ale lui f (P) in acelasi reper sa �e de forma:

y i =n∑

j=1

aijxj + bi , i ∈ 1, n, si

n∑k=1

aki akj = δij . (2)

Reformulam (2) in scriere matriciala:

Y = AX + B, A ∈ O(n),unde

X =

x1

x2

· · ·xn

, Y =

y1

y2

· · ·yn

, B =

b1

b2

· · ·bn

, A = (aij) ∈ O(n).

Descompunerea unei izometrii in produs de simetrii

Theorem

Orice izometrie a unui spatiu a�n euclidian n-dimensional se poate

descompune in produs de cel mult n + 1 simetrii ortogonale fata dehiperplane.

De exemplu, orice translatie tū : E → E se poate scrie ca produsula doua simetrii ortogonale fata de doua hiperplane paralele

H1 ‖ H2, cu ū ∈(−→H1

)⊥si reciproc.

Particularizam acest rezultat pentru o translatie in plan.

tū = Sd2 ◦ Sd1 , ū ⊥−→d , ‖ ū ‖= 2d(d1, d2).

Orice rotatie de centru Ω si unghi α in plan este produsul dintredoua simetrii ortogonale fata de doua drepte concurente in Ω sireciproc.

RΩ,α = Sd2 ◦ Sd1 , d1 ∩ d2 = {Ω} , α = 2]o (d1, d2) .

Definitia si legatura cu morfismele afineExempleGrupul izometriilor si subgrupurile sale importanteDescompunerea unei izometrii in produse de simetrii ortogonale fata de hiperplane