Şiruri

Natura este o carte scrisă în limbaj matematic (Leonardo Da Vinci)

Definiţie

termenii șirului

indicele fiecărui

termen al şirului arată locul pe care-l

ocupă acesta în succesiune şi se numeşte rang

termenul cu indicele n se

numeşte termen general

Observație

Un şir de numere reale nu este o mulţime de numere reale!

• Într-un şir elementele se pot repeta, pe când într-o mulţime elementele sunt distincte

• Ordinea elementelor unei mulţimi nu este esenţială, pe când pentru un şir, este foarte importantă

Moduri de definire a unui şir de numere reale

Şirul lui Fibonacci

În Cartea abacului (1202), Leonardo Fibonacci propune următoarea problemă:

„Un om a pus o pereche de iepuri într-un loc înconjurat din toate părţile de un zid. Câte perechi de iepuri pot fi produse

de această pereche într-un an, dacă presupunem că fiecare

pereche dă naştere în fiecare lună la o nouă pereche, care

începând cu a doua lună începe să se reproducă?” se obţine

şirul 1,1,2,3,5,8,... în care xn+1 = xn + xn-1

Şirul lui Fibonacci 1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

5 + 3 = 8

8 + 5 = 13

13 + 8 = 21

21 + 13 = 34

...

1, 1,

2,

3,

5,

8, 13, 21, 34, 55,

...,

Şirul lui Fibonacci în artă

MANZIN LAJURA – Dispută în Parlamentul ucrainian

• În muzică, șirul Fibonacci se utilizează deseori pentru realizarea

acordajelor.

• Se crede că lucrarea Muzică pentru instrumente de coarde, percuţie şi

celestă, a lui Bèla Bártok a fost structurată utilizând șirul Fibonacci.

Şirul lui Fibonacci în muzică

O altă formă de manifestare a șirului lui

Fibonacci în muzică se referă la organizarea

materialului sonor.

Raportată la numărul de semitonuri de exemplu,

această serie numerică corespunde următoarelor

intervale muzicale: 2 semitonuri – secundă

mare; 3 semitonuri – terţă mică; 5 semitonuri –

cvartă perfectă; 8 semitonuri – sextă mică; 13

semitonuri – octavă mărită; etc. Pornind de la aceste

intervale se pot realiza diverse scări muzicale sau

alte tipuri de structuri sonore care pot fi imaginate

drept o expresie muzicală a șirului lui Fibonacci.

CONCLUZIE

Şirurile apar în numeroase domenii ale vieții reale, în desen,

muzică sau în probleme de ştiinţă, pornind de la fizica clasică,

chimie, matematică, până la cele mai moderne domenii ale

cunoaşterii: sinergetica, teoria fractalilor, teoria haosului, în

calculatoarele neuronale şi automatele celulare; sunt utilizate

în generatorii pseudoaleatori de numere, precum şi în diverse

procedee şi metode de optimizare.