ion ionescu maxime si minime geometrice
DESCRIPTION
Ion Ionescu maxime si minime geometriceTRANSCRIPT
Lci 0'
Nr, 9, .4, O. lihelJontl
Bl BLIOTECA SOCI EIATt I Dl i $ ' r l l NTl, ih^ r l , [ tA' l ' t ( : l 's t f ' tztct i t ) tN R.P.R.
Nr. I . Euyytr t l tusu lJ l rzr"h [ . t r r r r^r r r r r r r r r . r r . I r , I
Nr. L r i l . lv ldrcuseuic i , ) i r r t r r t ( rur , I r t , , ( i t .u l r l l ll imba rusri )
Nr. 3. rXr. N. Vorobizu -- Nurnerch: lui F il-rorrrrct:i(trad. din limba rrrs;i )
Nr. "{, P. S. Alexatdfou -- lnircrduceree irr trtrrr:rgrupur i lor ( t rad. d in l i r r rb;r rur , , r )
. Mctoda induc! ic i r r rnrcrrrrr I r , , .( i rad. d in i imba rrrsa )
-- Elementt' de calculrrlprobabilitrii i lor
( , r t l t r r i i ' r t r t r t r t ' r i t ' r ,
r \ r i i s i logirr i l r r r i ( t lar l . , l r ll i r t tb i r rusi i )
' Rezo[varca ecuat i i lor l l t r r r rnr( ' r lin l rogi ( t r : rd. r l i r r l imbrr l r rs i '
- ( lonier s i e l l r : r ' r r rh, :
' l laxint t 's i l l t in i r r rc gt tnnt : t r rc i .
- (,omeir:le ( tr:rd. din limb; rus;r L
Nr. 5, /., $. SonrinsAl
Nr'. fi. (jft. l,lit,rr'
Nt, l . l l . l rnct n
Nr". ,\ .4. ! . l lorutst't ' ir i
Nr,
Nr.
Nr.
r0.
I t .
12.
{), Sor:lel
lon tattescx
l". I. Ziphel
t_
f l tAtrrr t l l In l l l I
Al t t rF r . r l I l , ' l ( : l I) t STl lN)IN R. P,
TF
R.
IMEINIMEETPTC
b,itr\
PARTEA INTiI
GENERALITATI
$ t. lsToRlc
Problemele de maxirrr $i de nrinim in geometrie sint tot atit devechi ca gi geometria insrgi. Asemenea probleme s-au pus de multpentrd miiurarea $i imJiilirel pdminturilor de cultur5.
; Vr,:me indelungate, pentru a evalua ariile figurilor piminturi-lor cultivate, s-aJ miiurat numai plrimetrele cu pasul, ct funii $ap.ti ca lanlui, iar arille mai mari erau socotite dupd timpul incarc li se prtea fare ocolul pe jos sau cilare.
lns.rlele riurilor sau flu/iilor se mdsurau dupd timpul in careerau o:ohte cu brrca, iar cele din mAri, dupl timpul in care erat'ocolrte cu cordbiile. Pe atunci se credea cA uflui perimetru maimare ii corespunJe totdeauna o arie mai mare.
G.lometrii au ardtat de mult ci aceastA Direre este cu totulQreqita. Astfil un dreptunghi cu baza de l8 m gi cu irAltimca de2 m are perimetrul de 40 m Si aril de 3j m2, pe cind un petratcu latura de l0 rn are perimelrLrl tot de 40 m, insd aria lui estede l '0 m?. adi :a de douA or i $ i i rmatate ml i mare.
Asemenea conslateri au dus la aga-zisa prohlemu tt izoperi-metrelor, adi:5 la afllrea figurrlor care atl aria cea mai mare,dintre acelea care all acelagi perimetru. Unii istorici spun caPitagora (56? -470 i . e. n.) gi d iscipol i i lu i s-au ocupat cuastfel de chestirrni Si ce ei ar fi ajuns la concluzia ce, dintre toatefigu"ile plane cu acelasi perimetru, aria ces mai mare o arecercul, iar dintre toate corpurile cu aceeati suprafald totald exte-rioard, c,'I mai mare volum tl are sfera; si cd, pentru dcest tapt,pitagoricienii considerau cer:ul !i stera ca Jiguri frumoase, figuriperlecte.
Probleme de maxim $i minim se intilnesc in multe imprejurari:la constru:lii, in legiturtr ctr economiile de material $i de munce,Ia reCtr:erea coJtfl(i l[crlrilor gi fabricatelor, la trasiri de drumuri,cli ferate etc.
M. Cantor spune cd ,,ceo. dintti problemd tle nuxin ptc_are o cunoa;te rstoria matemoticilor este propozitia 27 din carteaVI u celebrelor .Elerrcnte. ale lui Euc[id '(315__255
i. e. n.).Enun{ul ei spune:
^ ,,,Dintre "tLtdte para.lc.lo L r atnt,le aplicate pe aceeaTi Llreoptd,
uvind lipsd figtui purulclo.4rutice asamenea';i situute osemeneecu. pafalelolrurtral_ r/cn.r.ls pt jwndtatea dreptei, ce! mei mareeste parulcIo.grarlu tllicLtt pc junfit(ttea dreitei Si osemenea cucel. c0rc lips,.'Ste" _. (v. E Lt c Iid, Elencnte traducere de V. Manan,vol. l, pau. lti0) !).
Mai tifziu, cu probletna izoperimetrelor s-a ocuDat matentati_cianul grec Zt t todor (secolul a l l i - lea i . e. n.) . El a cel tat saintoarci- lurnL'a (le la (-onvirrgcrea ca perimetrele esale inchid ariiegale. Lartra lu i s-a pierdut, dar Theon din Alexandr ia(.320-395) qi. P a pp u s (pe la anul 150 e. n.) ax restabilit 14dirr t re tc ' , r (ntc l ( Jrr i Zcrrodor.
Nrr sc $l ic intruci t a rc $i l Zenodor sa- i faca De grcct sanu mai misoarc locurile prin mdsurarea peritnetrrlor loi. F"jot esrecA,
-la noi irr tari, ideea aceasta a ranlas pina in secolitl trecut.
t\stfel, irtr-Lln ac1 de vinzare, din 16 apriiie 1g33, al epitrupieirrroqiei Tir 'grr l r r i Bir ladrr l r r i . pr i t r care se v indea un loc, se soure..,DCt't, l)c,ttrtr 1!i slittj irti ttto$ti, lot ntdsttrot intprtirtr".
. Chiar la sf i rEi tu ln i secolului a l XIX- lea, la l3 iu l ie tgg9, scgase$tc consernllat ln doc[n]cnte ca s-a masurat in acclilsi mod unloc al b iser ic i i Sf . Voevozi d in Bir lad, gasindu- i -se per imetrul dcl l4 st in j in i don tc$t i q i 2 palnrc.
' l 'c la anul 200 i .e. n. matemat ic ianul grec Apol lonius a{rfll lt unele probleme de maxim ii de minim. P a p p u s, in Cartea Vllln ,,Colectiunile" sale, se ocupe de probleme de izoperimetric
trcce, pentru prinra dati, la probleme de geometrie in spatriu.Lf cste cel dintii care s-a ocupat de problema celul?lor albinelor.lnse ilcomplet, reterindu-se numai la forma lor exagonale.
De atunci nu s-au mai tratat decit din cind in cind problencldzlete de maxim ii de minim, pini in secolul al XVII-lea, cindInatematicienii au inceput se caute utetode generale pentru dezle-g rea unor asemenea probleme.
Una dinlre c€le dintii metode generale a iosl datii de genialuluatcnrat ic ian Fcrmat (1608-1e65). El a conxnicat uretoda lu i .Itt 1639, matematicienilor contemporani P a sca I (1623-1662) Sif , loberval(1602-1675), pr in scr isor i in care spunea:
,,Existd o metodd pentru tt tlefurnina toate fclurik clc pro-hlenrc ditt geonetrla pland Si ttt spaliu, cu ujutorul cdreia eu.gdsesc ituettia de maxine fi de mininrc in orict' problentd, prin-tr-o ecualie tot otit de simpld, cu Si in unalizu ordinurd t\- Stntnenumdrtte probleme pe care eu nu le-oSi fi putul rczolttt .ftirtiac(astd tneto(lu, ca urtndtoorele douti:
1. lntr-o sferd dotd, sti se inscric c]ttul cLt supru.t'olti onu-otiti cuprinzitld si bazo.
2. Intr-o sferti dotd, sti st tnstrie tilindrulnnxitna, cuprinzind ;i cele doud baze".
, \ letoda lu i Fermat are la bazi pr incipiul
cu supr0Jotir
unlritor, carc
. ̂ ^- l r l is tc vofhi t L lc f r ro l . lc )a urrnaloarc: Se dA ( t i { . I , paral( io(r i t I ru.
.1 l ' ( r . i rnfart i r in jL l rn i l? l f pr in drcjpla GE- paralela r la lur i D,4. l ;n int Ccu IJ sr drrc( l lll r.ari]leli, crr .48, carc laie pe GB in K. prin Kduccnr ,l4N
Dentr[ e] era fundamental:,,Docd. o c(tntitate cautatd depinde dc o variabilti x si docd
.o valoare xra acestei vuriabile cuteipu de und vdori nuximt sau,ntinirne a cuntitalii cdutate, atunci (x, re) vu corespunde ocelciuSittulori, cu condilio de a presupurtc cd creStereu tteLlettnnittLttd. e esteinfinit de micd".
FerInat a apl icat netoda lu i $ i la probicme de f iz icA;astfel a sdsit legile reflexiei ;i ole reJracliti luminii, cd]ltind,linlpul minim in care o razi de lumini trecc dc la nn Dunct laaltrl, in acelasi mediu sau in nredii diferite.
La inceput, metoda lui Fermat nu a fost cousiderate rigu-roasa. Mai ales Descartes (1596-1650) a cr i t icafo; ea totu$is-a riispindit. In 1934, s-a gisit o scrisoare a lui Newton(1642-1727) in care spune ci el cuno$tea metoda lui FermatSi fara ea nrl ar fi putut ajunge la descoperirea calculului intini-
r l Pdn "analizi ordinari" se intelcg aici nrctodcle alAebrri clenrcntarc.
cind K dcscrie drcapla BCatia .lLti AMKH pleacd dc lanraxtm, cind K este in ( l si
6
pJral(l i cu ,4D. Din prralclo!:ranlulABIH am desprins astiet pa;atelo-gramul MBIK, care cste ;iscnrencaSi la fel alezat cu EBCC ijnrntutatirnli cd, ori care ar Ii K pc OR.paralelogramul r:itnas / ,{,// oslenrai nric decit.4,EGD. Euclid dcmon-Streeztr acest lucru in felul urntrtor:AEGD : AELH + HLGD ; AMKH =: AELH + EMKL. DaT EMKL_
S :!!!CN. caci din triunghiuri lc esatcEBO. ti CAB se scad. de o paric side atta, triunghiuri egale. RezultiEMKL < LICG:HLOD ii afirnrafia
. .. cltg dovedil6. Se observa cr, atuncifnfrc felufl le BC.li AQ alc paralelosrtr)rului di:1.\.atoarea zero. cind i. este in g. lrece prinlr-uIre\'rnc ta zero, cind K ajunge pe ,4D.
L-I
Af
Fig.
tezimal, pe care l-au dezvoltat el fi Le i b n iz (1646_lZtO)_N€wton _gi Leibniz au ddt. merod'e g", ,"r i t ,
-p"ni iu- ." ."olu"r" ,tuturor problemelor de maxim gi .migi_m, iare s-au completat apoicu metodele date de calculul varialiiloi.
Aceste metode noi au ficut .pe . matematicieni si pAriseascimetodele sintetice date de geometria elemeutara $i sa adoit€ metodeanalitiie, care duc, aoroaoe in mod- m:canic,'li giri;;"oio1dror,Totugi , metoda lui Ferrnat s-a rdspindi l 9 i ,_a' p. i te; i ionat cutimpul. Astiet, .in ttatia, M o n t t o r t e 1r oa+l izizii i.a'nliormatmetoda, scrii|d cA doue ordonare veclne cu aceea a maximului saui^Tltil{lli,:ilr egate. apropiind. apoi a.este orooiiaie
..gie pi,,ace se contun(ld cu cea a maximului sau a m,nirnului r.l_ -
Cu toate ce ill secolul al XVlll_lcr mltemltiJiJr;ii cunosteaumetode generalc pentnr dezleg rrea problemelor O" -aii*"
q'iiin,me;totuti unii dit)tre ei s-au jliors la'cercetarea a c.sto, - pr,,6i"tn" prlnmetodele qeonletriJi eleme[tare. printre ace$tia se nurllard R o o..aSir : rsorL ( ld87- lZ68) $i mai ale. j ' Si ,non'- f lu i t f ie r(1750- 1840,. Acesta din urrira a puUfi,at i,ianui i'ZS Z" o'.r.,. ,ocare.a^desL'ris tot ce se cun,)gtea in acest domeniu ai matcmanci_ror gl rn carc a dat teor i i g i problenre nr. i .
. . - ln secolul urntator, lacob Stciner ( l?96_1g63) a l inutla Univcrsitatea din Berlin un curs deJpre , pr'op,rietaiti-itaimttort^i ::.,.::!!:,.t"i-t?_!j-s:,,!t: , oy, ,lon.. di pe sfeia pi ,rio s,,,1i," va puD . 'at , In tnemoni t r imise Acaderniei dc $t i tnte din par is, pre_cum Si in articole apirute in revijte d; matinrati:i, ."r..i i i ir" Io;as,rpra problcmei izoperimetrelor. Ele au tratat chestiunii",-' irrrr:raipf ln mJtoda. strr tet ica, ,cu aj , l tor , r l cunoi l r r ) te lur geometr ice LInEte r?nrL,re. tu l . tuct i_d $i a dat crnci r lemonstra[ i i c letnextrrepropfletallf rundamcnlate cA ,,tercul eslc,Ji,,tre to rle ligurile nlqnecu acetagr ptnnetrrr. J ig
loarte. - aminuntit, Jvlatematicienii rom_ini_ inse s_au ocupat putln cuaceasta problema. lD afare de un art icol al lu i Vai i tet i iJ i . " .u
despre citeva chestiuni de maxim Si minirn in' Iesit;i "-u'triuu_ghiurite dreptunghice, aperur in 1888, qi altut at lii- Al d. ton_cn-lmescu, .aparut in lg9g, despre o metodtr alsebrictr elemen-rara pentru delerminarea maximelor $i minimelor, "singurul
studiuIr ' - -1Tp]o a, fosr aceta pubt icat in l9b2 de ceorg.- i i i " i . . ,rn care se rotosjsc metodele geometriei infinitezimale" peritro reror.varea- unet ptoDleme a lu i Fermat. anume de a se'gdsi Dunct tdin planul unui rri(nghi. penrru care suma Aisiiirletor 6i, ii prnila virfuri cste ninimi
s 2. DEF|NIT
. O ndrinu' care ramine neschimbatd, ueputind avea decil o:i5l.l- *.fg,il", :: :pon9. ce. este. c onstanid ; aica insi ea isi-poat"scnlmDa, rntrc trutnite lin tc, valoarea, se spune ci este variabilti.O asenrerrea vuriobild se spune ca este indipendiita-"ina"nr.rt"oprita de nimic sa ia orice' vatoarc aroitrirfr,
'iitiii- ti,nil'i,*r,".
Astiel, dacd valorile ei nu siut arbitrare, "i
a-.!inO __iopa ,,anumitd lege.- de cele ale altor rnerimi, cintitafi iiu-nudJe, senumeEte ualrablli ,dr:pr:nLlentti saa funclic. Astf;I, a;i;-;;;i cercvanaza proporltonal cu pitratul razei, coeficientul de proDorfionali_rare rno 1T. A$adar, raza estc o variabild independdnti, oe cindaria cercului este o variabitd dependentA O. rira
-iiu 'o?ncy.de razd.
.^_ _f.u,ltt,]*, depind uneori de o singuri variabila independenta,oar .pnr.oeplnde $i de mai multe. variabile. Astlel. orla unui drrpt_u.nghi (ttpinde d.c baza Si de .tndlfiryga tui, aici' esti"i' functiedt doud variabite ; v otu ntut unui par.at,:tipi pea' ii:piiitii iipina,tlt'. cclr:.trd dimcnsiuni ule lui, deci csti o funlie ,li trai iaria_bile intlcpcntlentc.
.- .__,f.lt-tro a :pune_ c4. o funcfie _depinde de mai multe variabite,rrL.oule ca acestea s]a tie cu totul independente unele de altele.Aga., de exemplu, aria cercului este_ funifie ae o ,inluia -*riunira,
!9ti s^,ar pirea ca ea depinde 9i de razl 9i ae Aii,ieiiu.' AceastaInrructr raza $l dlametrul nu sint independente una de alta, civariaza in acela$i timp, una liind funcfie'de cealaltd.. Sd_ ne oprin la cazul functiilor de o singuri variabile inde_pendentii. Cind valorile variabilei independente -cieir, ionJii oout".s(i crcdscd sau sd descredscdr); in cazul intii se zice ii' j,inc1ia
r) Excludem astfel. in cele ce urnlea2d, cazul care se poate intimpla,ca o i_unctie s{ pdsrreze citva rimp o uaroaritoniiinti]'J"ii "iiillir""i.iL **ea depinde fieqte in acest tino.
IO
,tcdtoare, iar in al doilea se zice ca este descrescatoarc'iiia c.rctitui este o funclie crescdtoare de razi, iar - lungi-fii-coarde a cercului est-e o funclie descrescitoare- de.dis-
, Clnd o functie, dupa ce a crescut. incepe sa descreasce, seI cf ea a lrecut printt-un maximi dace' dimpotrlva' oupa ce
-cicicut
incepe se creasce, se zice ci ea a trecut P{t}tr+nAstief, Oica intr-un cerc de ftza r ducem o coardi p-er-nra pd un diametru, lungimea coardei e-stc {uncJie de dis-
i'l-'de lu ..nttot cercrlui: daci distanta cre$te, lungimearcode.
iT-?- rlia de' una dintre "extremitefle . diametrului; cind d
maxime Pentru d: r.
care are loc cind cl:30'.
r-de la iero pine la r, lungimea coardei cr€Ste de -la
zero'ibr,-
iu, clncl d continui s5' creasci de Ia r pini la.zr, lan-.iloaia.i descregte de la 2r pine la zero. Deci, coarda a avut
Alt exenrolu: sd duccm, prin virful A al unui triunghi echi-ri o Oreaita care sa faca iu latura ,48 unghiul o. -Ea
intilne$te\ BC in punctul M. Dlstant3 f444 este' evident' ionclls 9,e -1o ciert.'d. la 0" la 30', Ai14 dcscre$te: cind q continua sa
,i de'la 30' la 6O', AM cre5te. Aqadar. /4/tr{ trece printr-tln
In primul exemplu, functia (lungin)ea coardei) a pornit de^ la.cQ iniliald zcro $i a ajuns la ualoarco linqla zero' trectno
iti-o muriinrc intinith de llte valori' cuprinsc intr€.zero $i 2t'
ll doilea exemplu, valorile initiala $i tinala ale.functiel au colnc-lstat"ii
" i triing'triutoi. dar 'functia.a
- mai Iuat o. multime. devalori, reprezeritate dc numcrele (intinit de multe) cupnnsc
# u'o 'Desigur ci nu totdeauna valoarea linali a func{iei trcbuie sa
confund'e cu valoarea ei initiald, dupe cum se poate incredlnlatorul singur, luind alte exemple. Mai..important este :9 9qTY.l
i. tn 'orimut excmDlu, cind variabira d a crescut fera inlrertl-io*1ii i uiriut li' ea' lard i trer p,ere, fdrd sd facd salturiiiif
" tr.ci de'la o -valoare la ilta oecit dupa ce . a.lual
valorile intermediore dintre acestea) $i fdro a d''vem InII-tAir\ +irA , nrpqfe qrrr a descreste nelimitol\. De aceea zicemi (aai.a uta a cre$te sau a descregte ne[imitot). De. aceea zicem
aceasle funclie cste continud. Functia din al doilea exemplugi ea continuA.O defini{ie elementari dar riguroasi a continuititi i, care sa
. iooute ii usor inteleasii de incepitoiii in matematici, nu se cunoastcirf. Oe ace"a ire vom mul{umi cu exemple care sa ne..ar,ate ceitcbuie ce intelegem prin funclii tonlinuc lr prtn tunclu atscon-
l l
tinue. Pentrs inceput. aceasla este de ajuns. pe misurd, insa, ccnumerul $i adincimea cuno$tintelor noastre crejc, nofiunife' se'p;e :r _1.-13..r3i.pi": $i. obtincm pusibrtrtare a de a d:iini ,iir,".i* {, ,nninguros nottun' le dobrndi tc.
. Un exemplu caracterislic de fur.c[ic contil,116 este lcmperotur(taerului, variabila independcnti frjnd, tirnpul. ert" liro.i.'.f i",np"_ratura aerului depinde de tlmpul ta care o masurain i' -"o
uuavea o valoare la ora 5. o alia la. ora i, "ta."
E*o'uria, a"r, ,,furc(ie dc tirnp. Sd urmdrim cum. variazd aceasta fllnctiJ iI Je:urs,sa ziccm, dc 24 ore. pe cind variabiia- ",t.p.i,i."ii iiilrprii"r"r"neconteni f , de ta monrentul in i t ia l p ir a la 6; i ; ; ; i ' i " i i5 i , " ,
i t " rn-?:t11rro i p.'at..i, in qcnerai. sa crr"iasca slu .u J., .r."."ii,: ,,,u,Inrttc..Llri i11 linrpul iu care ea trece dc fu urfou.i,l ,i i,,ii.,"u,, f.cea.f inala. lnse, at i t c i l d crel te, cr t $ i c l l rd O..cr"St" , o. .a. tafrlnctic. \"riaza fari iurreruperi, tiira srhu,i qi faia i,i""ii,i ' ' i"t,,,ita,ca e jtc de-'i o functic corrlinui. Cara:tlrut 'ae
ccntii,iirat" r"'o,,or.ll.:l:.1-$ll'l1j rutr tc acest excnrpiu,
"rr"lr"ii,,i._al'i,jiu,,'ini.ruu,oL' tlnlp torrtc nrLc, temDerrtfir:i nu poate raria Jecit ior?i""-pu1, l,1T_9.i:1 illf::Tll,rl dc rinp devirre qi rnai nrjc ai iiir;c'';;;e'zrio,li"H,i: i',I!ff li,,(:';:l'"1"n:X:,n i*.."i.1j:.;ll,.l:.,;.':li ::lt; nl;'i;cont inr la, . q i anum:: I l ot . ice Juntt i . , cunt i i , i , , - - , t , ro '" ' r r r i , r r roii:iit:i.!::^i:!:!it:,r,tentt, c\tc fo.art,. r ita pi titr t( (jtrc zer,t v .i0_,l,i,,iiliiiriflf.tre o funcliei cste tte oscmenet yoorii'm:tiu sr
Dacd o fur tc l ie I e l lc cont i r i , e1 se nn:nei tc di ic, , t . | l5Pr intrc cxno$l int , . ie c ipdtat : in $:oata nl ld ie, qA j i ,n nur l ro i j3cxcmplc de f.1nctii, atit cortinuc, iit qt oi. ,o ,ii,,I;: "ri 'rti,i 'ri,,u';u,
ur l r r .ar l . rant ine o tunct ie c)nl inuA a cAl i var i l l i l i estc in ju; iarcul , r t I ' ic i t de muit ar crcpte arcul . In s:h,nrb, t i r l r . r tu ' i r ie, , , , r -
mchica a unui arc, care si ea esre o frnctir ;;,,G-Lrj ;; ,i.i] ",roacesta cre$tc, bunAoari, de Ia 0 Ia f rarliani, nu ntai este coutinu5
cind arclll cregte, de exenrplu tle fa j fa I radiani. In adcvjr, tn
llf$ xxolc Ox li Oir, numite axe de coordonate, simt perpendiculare.
fr lln Ox, numiti cxa absciselor, se iau segrnentele Oa' Qb''lrl,,,,, Oi, ale ceror masuri, numite orsclse, sint proporlionale cuvthlrllr variabllei indePen-thttlo, iar Pe Paralelele J
llttrr la Oy Prin Pmctelert , l r , ( ' , . . . , f se iau seg-
rrrurrluf " rI4" bB, A,...,-hH,
tlp cllror mdsuri, numitelttltltott, sint proporllo-l|nft! cu valorile corespun-tlto rc ale f[nctiei. Axa
valorii finale a tfinctiei.
ia tlf
Op, pc care pot ti aduse Fis.3Irhl lranslalie loate seg-frrrrrricfc aA, b8,.,. , seffi.iii ;; iiinLtii,. Daci numdrul absciselor alese qi al
riril,,riateloi corespdnzdtoare este suficient de m-are' putem- trasa cu
rfrxtufA exactitate, prin punctele A, B, C,"" H' -o curbi. numitd
iii,wiiria,- "^i"
id'ne dispensete de a mai calcula c€lelalte ordo-
iiiiil ia. lrtr.r, practic, eite $i imposibil si le calculim pe toate'
irnci irumarnt lor'este infinit Oe mare; qi si ne ajute a vedea feltll
cnnr variaza tun:tia.Existit apai.tte -t nre gistral iar(, inventate 9: l1-b-':t,,1:
200
dt' lni,care iniegistreazd autonat ti'ate va'orile $l traseaza dlagrame
nctlrru variatiiti a diterite trlrlctli carc sc intilnesc in fizica' in
i.riiii.a, i" -1-Ji.ina
ct:. Cititorul cunoa$te' dcsigur.' .termograrnele'Itarograntele, higrogramele etc., ca cxemple de astfel d: 11SI1T:i;ii;;i. J" aparaie i-nregistratoare. Cu ajutorul accslora-'-:" $t p"
ttai" ."io. ,prt" ,nt".io, despre continuitate, ne convingem u$or
i'i-*iiun." i" conllnuitatc a unei funclii corespunde unei curbe
ldiagrame) continue dc varialie a acc;tei iunclll'
Diagramelc ne arata cirld o Irlnctie cr(itc satt descrc$tc prilr
cre$terea sau descre$terea tlrdonateior' Asttel, daca in fig' -3-ir,, Oo, O;,..., O-I reprezintd tirnpuri' i1'^ 4t bB' tC,.','-' hH'
tenrpcraiurife corespuniatoare' curha . ABC '- H ^
*::.,u',? !::^\1,tt'niperaturilor pentr; duratade timp de la
" I.a /.t' lceasta
dlagrama
araii de exemplu, ce tcmperatura a crescut de la ora c la ora d
8i ca. aDoi. ea a descrescut pind la ora e, deci la ora d a avut
rirt maxim. Diaqrama inccpe din punctul '4' coresp-unzElor momen-
iurii lnitiaf al variabilei qi valorii iniliale a func[iei 9i se termine
in ounciul 11, corespunzetor rltitx[lri moment de observalie Si
accst caz, fLrnctia devine inliriti cind arcul trece prin vaktarea Iradiani, deci estc discontinue ori de cite
dentd prinrcgte valorilc dintre lirnire intrede I radiani.
In celc ce t:nneazdPentru a reprezenta
in difurite feluri, cel ntai
t2
or i var iahi la sa indepen-care se gase\ste gi valoarea
vom considera numai lunc{ii conlnue.grzfic varia{iile functiil( r se tac aiogronedes intrebuiritate friqd, cea dih fig. 3, in
N,\ l3
Privind diagTama din fig. 3 mai observAm ca, in unele buncte($i anume in B, D, F), ordonatele sint mai mad declt cele diripunctele imediat vecine de la stinga $i de la dreapta lor;.acqlqtanclia are -maxime.'
'De asemenea, se' yede. ci iri unele pmcle(anume in C, E, q, ordonatele sint mai mici decit cele din prhcteleimediat v.ecine de. Ia stinga gi de la dreapti lor; acolo'functiSprezinti cite an minim.
. . Abscisefe TU, d, dd,,.., Ol, corespunzatoare maxinetor!i minimelor, arati valorile corespunzitoare tle variabilei indepen.rdenle; in cazul in care fig. 3 este diagrama temperaturii, ele aratAorele la care temperatura a fost maxima sau minime.
Trebuie si se ia bine seama ca inlelesul matematic al cuvin_telor .maxim gi minim, aretat mai sus, si deosebepte ae iceta pecare il au aceste cuvinte in vorbirga obignuiti.
- In vorbirea obi$nuita, s-ar zice ce. temperatura minimi iores_punde punctului A gi ce temperatffa maximl ar corespunde punc_
tului fl, ceci ordonata aI- este .cea mai micd gi iE cea mai mare ;iar dac-i nu s-ar tine seama de temperaturil6 din jurul punctelor,4 $l f/, s-ar zice ce temperatura minimd corespunde purictului C$i cea maxima punctului D, in care gdsim ordoiata cei mai mrca!i cea mai mare din tot cuprinsul diagramei, pe clnd in vorbircamatematlca. am. spus cA temperaflfile minime corespund punctelorL,
-E, u. Sr cete manme corespund punctelor B, D, F, cici ele arrordonatele_.cele mai mici gi celb mai-mari fala de juncteli-inuecr_nate. atit din stinga, cit Si din dreapta lor. Cit deipre punctele ASl tt, rn vorbtrea matematici ele in nici un caz nu dot fi luatedrept puncte de minim sau de maxim, deoarece, fiind 'la' mlrgini,punctele _ d_in vecinitatea Ior, din _stinga pentru .A $i din dreaptapentru f1, lipsesc din diagrami gi nu putem gti cire ar fi formacurbei dincolo de ele. Punclul 1ll vom numi puitct inilial $i punctul/1 il vom nami punct final.
.ln matematici Si mai ales in gtiinlele tehnice, clnd vrem sddeosebim cel mai mare maxim sau cel mai mic minim de celelaltemaxime gi minime, le numim maximum maximorum (maximulmaximelor, in limba latini) $r minimum minimorum (minimul mini-melor): a$a sint punctele C gi D de pe diagrama din fig. 3. Acestea.srnt tocmai _punctele care, in vorbirea curenti, sint numite maximegi.minime, Ijneori li se mai spune, in limbaj Stiintific, maxiie Stmi nime absolute.
Fig. 4 r-!B' J
sint arce de curbe. Asemenea diagrame au -ordonatelesau descrescetoare necontenit, de la punctul Inllal plna
cel final.Alte ori (v. curbele din fig. 6) o functie poate sa aibi.unn-'Or. se nu aibe minim, "sau si aibtr 'miriim 9i str nu.aibtrii. [iU.t, il n. p.oponurn str lnscriem intr-un pf,trat dat' un:
Definilia dati maximelor gi minimelor unei funclii face cauneori se existe maxirne mai mici decit unele minime, cum este
Fig. 6 Fig. 7
cu aria maxime sau minimi. Pe laturile pltratului da| ABCD'
. Ele nu detdrmini maxime. Mini-se gisegte Iuind virfurile sale in
l5
l. Z) .a Ioer tr-A! - Bg:ee' :DD'. Se demonstreaze u$or ce,ra'A'EgD' este tot un petrat. Clnd A' se migci pe r48-de7
"itr. b, pattutul inscris 'pom€gte de la cel dat ABCD $i cir.t-da .atr" b, Detratul inscris pomegte de la cel dat /BCD $i cind
aiunse in Ii, el revine la ABCD. lnhe timp' aria sa descr€$e,.-^ ?.- -,-:- -i
.^^i ^r6a+a
p'rnnrale 4 si R ca nozitii ale lui
cazul in diagrama din fig. 3 cu maximul EE, carc este mai miciint punctele initiol gi
ariei pitratului A'B'
mijfoacele M, N, P gi e ate laludlor. petratului dat, ceci pozitiile-simetrice ate lui A, tirq de M a"termiriifiiraie ig;r..-- ""
. In fig, 8 sint date exemple de functii in care maximul si mioi_'mut se preztnta sub alte infe$giri, . care F$e nu se intilnesc lnmatematicile elemenrare; deasemenea, in fig, 5 sint aretatediagrame cu sdriluri, cu intre-ruperi $i cu ramuri infinite, decare nu ne ocuDdm aici,
Dace o flrnctie este con_t inua si . l tci npnlrrr f ipn+o.,.-loare a
$i dace pentru fiecare va-a variabilei indeoendenteloare a variabilei independente
corespunde clte o sinsure va-singure va-loare finittr
a descrescut, sau invers.
se aceasta ln seama cititorului.
au remas neschimbate.Putem deci sd mdrim o functie cugesim cA ne este de iolos,. firi ca
si-$i schimbe valorile care
abscidele lor au rimas neschimbate.
Fig. 8 to?re tinite pentru fun tie, dia_'t:l::
^ ::.. cea - din . rig. . :, rr.,nr*qff$l rTTt'"",;.T" r:*fi:g; 2. Docd o fundie se mdregte cu o cantitate c1nstanta'
ii t, ii -^i niiii tr' ii se mdr e si cu acee asi 9o'4t:l:. !o' -'.!
12 ^:!:::ytir;^?!rce,inhe-doui iaxime consecutive se atrd * rffi i'iriitiirl'iaiiri le corespund maximele ,i minimele flu se:si intre doue minime consecuiive se afli un maxim.
Daca in fig. 3 deplasim axa Ox paralel cu ea inseli, depar-o de curba- diagramei, toate ordonatele se maresc cu aceea$lt"t.. r*i-i"tti'curbei nu se schimbtr cu nimic, i?r abscisele
;;; ffi .;sT;eiimi. esttet, dupa mutarea, axei ^ o1' 131i19te
rinimit" s au mi'rit toate cu o aieeaqi cantitate, insa abscisele
,^^. t1-t.1.1intim . ce doud .figuri .geomehice se numesc egale.11",11 4.,n suprapunere, coincid- in tdatn inrinderea-'lor;
"e Ooua'n_guri prane, chiar cu forme diterite, sJ nume ii-'iiniiiirii a^a'au aceea$i orie .$i ce doue corpuri geometrice se nuneiciiiiiatentedacA aa acela$i volum,
^._ ̂ ^?gll figuri plane se numesc iLoperimetre daca,. fiind conv€xe,
1l ace.eq$i lungime de contur, adici aace sini-fturi -loi"ir,
",.aceea$i lungime a perimetn ui.
S 3. pRtNcrpu PENTRU cAstREA MAxtMELoR gr MtNtMELoR
*^,^_Illft" din princ-ipiile care sint folosite la dezlegarea Drobte_melor de maxim ;i de minim sint foarte simple gi p.Eieuialnr. ""si.-mai.fie nevoiei cind este vorba oe o iniliiie'-eiemen'ta ra inastfel de pfobleme, si insistlm asupra lor co adrnonrtirtii ,ieo.ourusau cu explicatii prea intinse. Este'mai de f;6;; ;;"tl;'lir""por,€a principiile si fie bine formutate gi ugor de irij.i,
-diirt"rla rcprezentate prin enunlrui sau cu dembnstratli prej iavante.-in-acesrsens dim aici princiiiile de care ne uorn ior,isi ,ii'oes.
' -"
^",,--l:- h cdut-area m.aximelor gi minimelor este bine si uneorrcmar necesar sd ne ddm seama dacd. funclio ite care i ceicetanare maxim sau minim.
i t6
o cantitate constontd,Drin aceasta variabila
ddu maximele Si mini-
Astfel, la cercetarea maximelor 9i minimelor, daci in expresiaei exiiti termeni constanti care se scad, ii putem
-supnma.peliei exiita termeni constanfi care se scad, ii putem..supnma.pe'si cercetim numai funclia astfel redusd' caci valorlle vanaDllelnendente- care determina maximele Si minimele' nu se scnlmDa.
3. Dacd o funclie se micgoreazd cu o contitate constantd,iiti ii minimari ei se miisoreazd cu. aceeagi cdntitate,,. dar
,iiiotitii independente 'care Ie determind nu se sehimbd.
Daci in fig. 3 deplasim axa Ox paralel cu ea insesi' apro-o ai curli diagrimei, toate ordonatele se mic$oreaze. cu. opi .antiture, lorrfia cur6ei nu.se. sctimbi in.e,9o-nlT19' jg
;r"i;;;;t aieleagi marimi. Astlel, dupe mutarea axei.ox.'si
minimele s-au mic$orat toate cu o aceea$t cantllate'
. Uneori. acest lucru este evident, aSa cl nu, e nevoie -de
nicl
cercetare prealabili cluterii directe .1 Taxityol, s1l-.1lgt#lt';.i"';;i"?.s;;; unor pozilii particular e ale elementelor figu-.'.i'oo"t" a'.tioperi usir dici existtr ul maxim sau un minim'ia -"piii,iiii num.iice CifC :a. ne arate +91r-h!-11^-Tl'll
;i;btil*--;"bilei independente, funclia a crescut $i
I -. axime ii minime geometrice
' Putem deci sd mic\ordnt o lunclie cu o cantitate constdttt(i,daci gtrsim ce ne este de folos, firi ca prin aceasta variabilaindependenti si-gi schimbe valorile care dau maximele gi tnini-mele,
Acesi principiu ne permite si suprimim dintr-o functie totitermenii constanti, cind cautim nraximele $i minimefe, $i se studienrnumai restul, cici valorilo astfel gisitc pentru variabila indepcn-deti r;min neschimbate chiar dace cfrba coboari. in oarte sau irrtotal, sub axa Ox.
La aplicarea accstui principiu, ca Si a altor rnetode de simpli-ficare a funcfiilor in vederea u$urdrii calculului naximclor gi mini-melor, o dati aflate valorile variabilei indepcndente care conducla valori maxime sau mirrime ale functiei, vom calcula aceste dirrurma valori cu functia datd. iar nu cu-cele reduse.
4. Docd o funclie se innultcfte (sau sL' imparte) cu t)consta.ntd, naximcle $i ntini rclc sc innultesc (:;au it intpart) crtaceea$i constantd, tlor valorile variabilei care le determind nu srschimbd.
La constructia diagrarnci din fig. 3, ant spus cA luam ordo-natele proportionale cu valorile functiei. lnmullirea (sau impir{irca)tuturor ordonatelor cn un acelagi numdr schimbi infAtitarea dia-gramei. Pentru fiecare abscisi ob{inem o ordonatd mdrit5 sau nric-$orata in acelaqi raport. Insi ,rrdonatcle mai rnari, sau mai mlcr.fafi de vccinele lor, ramin, in lloua diagrami, tot mai mari saLrrnai nlici fafi de vecinele lor.
Innrul{irea (sau impartirea) ordonatelor cu un acelagi nunrairre deternrinl si ludm de fipt, in noua diagrami, un nou roporlinlre valorile functiilor gi'nririmile ordoiatelor corespunzetoarc,sau - cum se spune la reprezentirile grafice - duc la o schimbared-e scard
-pell.tra construc{ia ordonatelor. Astfel, daci diagrama dir:
tig. 3 a fost construiti misurind temperaturile cu scari Rdaumursi am vrea si facem o alte diagranrtr pentru scara Celsius, anrinmulti ordonatele diagramei din fig. 3 .u S:1,25, pentru aavea diagrama corespunzitoare scirii iermometrice celei noi. Pritrasemenea schimbdri de sciri nu se modifici cu nimic temDeraturilcaflate la diferite ore, aga ci temperaturile maxime gi ,rniirime di'ramlndou, diagramele le vom gisi la aceleagi ore, insi in noua dia-grami maximeie gi minimele se gisesc inmultite cu 1,25.
Astfel, cind cdutem maximele gi minimele unei functii careeste.un produs de factori variabili cu factori constanli, li putenrsuprima pe acestia din urmd; de asemenea, cind funclia e-ste ofractie al ctrrei numitor are factori conslanli ce inmulfesc intreq
Itt
Duteln ldsa dd o parte aceEli Iactori' ceci' prin aceste
;1" -i;";{i"i date, 'valorile variabilci indcpeudente' care
*i*int.ii 'i nrinimele, nu se schinlba'
, 5, Dacd se ridicd ta pdtrat o functie P:it[vt)'. c^t pdtr'at
n iiii- io, ninim peitru acele;Fi vu.lo.ii -ale
vuridbilci puliru';;';;;;rii; dutu tsit' maxinui sau nininn'
e..tt to.ru este evidcnt caci a.ridica la eltril l:::r!:-vi]:ii:to"&;:";#;;.;; " r'ir"""r'
i': o'uguT1-^'.::., l'':1"^,?*"o n1"'il-ti- .uru si reprezinte dria patratului colts]ryit
-,P!.. f it-tyi"l:i'iri:j['i? i?il':' ;;;; i"iu'ii" "
maresc' $is( rnidso'eazalaturile sc ntlcsnreaza'f,*io'u' ".".1,
." poate aplica gi la ctrlrtrri $i ll nric:.41Ji.f.i
,e;.'Niti""" "."pam ai:i de cxponenrii -frocliontrti srL-r ne{ot't'r'
rtunci lucrrtrile se Pot sclllnlha'il'*ri, 'tt=.r"t,tl ci dace lunctia are $i valori tle{;ltivc'.atullci
.iL n"gatiu" d<vitt - pritt riclicare la, l:!!:-l:...1"::' ;,,',"y',:til""Jf 'll-'1,i),i,i'
"r,i o nii "i,'iil i' i devin mirtimc' de . tclul ceiui
iii.'s. 'cir'ii ]i"i te poate incredinJa u,sor de acest lucrtr' alu-
?,i"?;:"::,1;:;i!;'0"!;::]i'i:.:i:;';;;;':-'i"ili,?';,i,:," i:#L:ii:{;';ProOu*ut Oitttr" n fulrclie $i.inversa ei este l' deci cin(l ullul' i""Sti
o"i factoli cre-sie. cclelalt, destrcste S:^:"t*,:ltYl "li:i#'"'.'l i.'"i, ';;;;;: ;iii;i' a'J uatoure' iea -mai nrica: .cind
ilst" ;;;;,.;;it.' celarart q'i."19,1:'i3 iP'.:P.'l'11:;T d' 0lil'"iiii "";-i
t;ade catre 0, celalalt creqte nemarginit'
iiio.rit.o lu ctiilor cu inversele lor este uneori dc mare folosi- ga"irea ta*iinelor $i minimelor'
7l Oaca o functi( cste suntu (sau plolr|u"!!) ':.d::i-{::,',':!:i,' 'ci maximutt sou nitinul
6i variabilt ' indepenlentc, atur.t'i, .ri,,,n (sau piortusut) nnximelor i?': ':!i.:.!::1":..:it.i:,'i1ri'"it"tit,',"',in[a-iriitio nu are toc ltlltru dr'(e!$i
ie a variobilti inLlcqi'nd(nte.
;n "i, :r *61kil*:i[f ;:"[ *, j b e-ii trift? 11*tr-zl t l r i [rs- ] ' 1x-41:i . Se vede ca prima are maximul
tfro *:2,'i"r'u dou-a are rndxinrul l5 pentru x:4- {lliTl:
rxirqT li strit"$ti'lt?"fr *ii tfir ;.wl
de un grafic corcsptlllzitor.
.'i "uri'ut.
t"*iti ce are loc pentrit x:3'
, Un alt.exemplu nlai caracteristic pentru taptul ca asemeneao-esconpuneri nu sint permise: se presupunem ci pe o dreaptA /48(fig. 9) se cere a se gtrsi punctul C, a$a ca proausul ,aC--X.AC sa
r---t--------fie maxim. Factorul -1C
este cel maimare la ualoorea sa finald cind C estein B; AC devine atunci .4Bl De ase-
Fis. 9 menea, factorul .BC este cel mai mare Iavatoarea sa iniliald, cind C este ln.A qi
cind 8e .devine
tot Ai.- produsul celor doua valori, cea initiati arui a-gi cea finatd a tai Ee, este ,4d. D;;.b;,i"i,ir1r,t"*.adice nu au loc pentru aceeaQi pozitie a lui C. De aceea ar tigre$it si conchidem cl AB2 ar fi maximul produsului ExAC,produs care este clar - dupa figure _ ca nu fioaie iiinge'i6"astavaloare. De fapt - dupi bum vom ar{ta mai tirziu (vl tioremaXll) - maximul prodnsului este numai .nl.ad qi el are loc cind Ceste la mijlocul O al lai AA.
^. ,.8. Ltuti. o.fitncfic st' poalc daslate in dift,rrnlu (rcsDectivctlut) o .dr)uu Juntlii, atunti putct gdsi maximui ei ctiutindt.n o x I m.u I. d ( s(' o z ut ul ui (t e spe ctiv n u nd rdt or u I ui ) g i ni n i m u I scd z d _rtorutur
- (n,Wcctiv nunitoruluil.5i. Jdc.ind diferinla (respKtiv citul)ror, aato et( corcspund accleiagi valori a variabit;i iideoenaemt,.HcnIru tntnt,n( se va lua mininul descdzutului cu nnxiinul scd_zdtorului (rrspectiv minimul nwndrdtorului cu ntaxiiui
-iumito_rutut) St :c-vo Iace diferenta (respectiv citul) lor, tlacd elc cores_puna 0tctuafl valori a variabilei indancndente.
^^^,-,9j.e naximele Ei.rninimele celoi doui parti nu corespundaceteragr valori a variabilei indcpendente, acest principiu devrneinaplicabil.
9. Dupi ce s-au gasit condiliile in care se ive$te ttn maximsau un minim, si nu socotim problema rezolvati, ci iri dctermindntupresiilc mdrimilor corespunzdtoare nnximelor Si minimelor, cwn$.i ole arcstora, dirt urnfi, tn funcfie dt rtotela problemei. Acestlucru nu este fAcut peste tot, in cele ce urnleazi, fiind uneori ldsatin seama cititorului pentru a se scurta expunerea.
. .19. In apropiutu .maximului Si mininului und f nclii,uarrufuk ac(sleia sint nici fald dc celc alr variobilci iidepen_acnrc-
Aceasta se vede din urmirirea diagramelor ca aceea dintig.3 Si ludm gi un exemplu numeric, fiornind ae ti
-ieo..raurmatoare (care se reduce, in fond, tot la teorema XII):
Ai
Fie aceaste sume egale cu l0 m. Aria maximtr o are petratullatura de 5 m gi anume: 5X5:25 mz. Si mirim baza cu l0o/u
rtr micAordm lneltimea tot cu 100/0, adici se ludm un dreptunghidlmensiunile de 5,5 m $i 4,5 m. Aria acestuia este 5,5x4,5:
24,75 m2, adici cu 0,25 rn2 mai putin, ceea ce lnseamni o varia-de numai l0/o la arie. Daci lulm cre$terea lungimii gi redu-
Dar:d suma rclor douo dimensiurti ale urtui tlrcptungliiconstantd, oria lui este maximd cind bazo estc egald cu
iniltimii de zo)l,t- in loc de 100/o - dreptunghiul va avea: de 6m gi de 4 nr, iar ar ia de 24m2, adic l cu 1mz mai
; reducerea de arie - de data aceasta - este de 40/0.Aceaste proprietate a maximelor gi minirnelor are o mare
ortanfe in calculele practice, deoarece deseori valorile varia-lor care determini maximele $i nlinimele, sint numete irationale'care nu se fac ugor calculele numerice, Atunci stabilim valoarea
sau a minimelor luind pentru variabilele indep€ndenteapropiate - sau chiar numere rotunde mai indepirtate - de
exacte irationale.
apoi baza maximi cu iniltimea maxime.
S 4. CITEVA TEOREME PENTRU GASIREAMAXIMELOR SI MINIMELOR
Acest principiu se aplici numai la diagrame care au maximeleminimele de felul celor din fig. 3, adice cu variatii mici aleDnatei in vecinatatea maximelor gi minimelor; pentru cazffi ded de variatii, ca de exemplu cele din fig. 8, principiul acestase mai poate aplica. Se poate atunci ca funclia se aibe variatiireoezi chiar decit ale variabilei indeDendente.
ll. Dacd o functie depinde de mai multe variabile indepen-,te $i dacd efectele variuliilor acestora nu se \mestecd in nicitel unele cu oltele, atunci putem sd ne ocupdm separat deare variabild tn parte.
Aga, de exemplu, daci baza unui dreptunghi depinde numaiuna din variabile, iar inellimea de o alti variabila, atunci maxi-ariei dreptunghiului se va gesi luind maximul dat bazei der variabili $i maximul dat ineltimii de cealalttr variabiE $i
Pentru cercetarea problemelor de maxime $i de minime, sesc deseori proprietiti geometrice elementare, care stabilesclitili lntre elementele figurilor. Vom reaminti enunturile unora
' teoremele acestea, ale ctrror demonstr4ii slnt indeobgte
cunoscute Si vom enunta altele, mai putin cunoscute, cirora lcvom da Si d€monstratiile.
Teorema l. O laturd oarecare a triunghiului este mui miattlectt suma celorlalte doud.
. Unii.geometri iau.ca_ definitie a liniei dreptc proprietatea cadrumut cet mot scurt tte lu un punct Iu altul cste linia dreapt()tare une;le acele douu puncte.
Cel dintii care s-a {olosit de aceasta proprietate ca definitiea fost se pare A r h im e d e. El spune ci
',Dintre liniile corc au
acelea$i..extremitdNi, cea mai scurtti este dreapta'. Dupi el s-auluat apoi _9i alli geometri, ca de exemplu Legi nclre(l?52-1833)in. vestitele ld
"Elemente de Geometrie^, -in care dii definitia:
"Linia dreapti este cel mai scurt drum de la un Dunct la altul...llustrul matematician grec Euclid, in celebrele sale ,EIe-
me.nte", da alte detinitie liiiei drepte gi anume : ,,Linia driaptdeste aceeo care este situatd in mod egal fald de punctele aflatepe ea",
... In acest caz, ca $i i caz[l altor defini{ii clate ulterior dealF geometfl, teorema enflntati mai inainte trebuie demonstrati.
ln Elementele lui Euclid, teorema aceasta se seseste subforma propozi{iei a 20-a, din cartea I, care este enunTati'astfel :. , ,ln orice triunghi, doud laturit) Iudte oricum siii mai mari
declt cea rdmasd" -, Aceasia dupi ce, mai inainte, in propozilia l6-a, se dddusereorema:
. "In orice triunghi, prelungind una dintrc taturi, unghiulextern este mai mare decit fiecorc dintre unghiurile internc $iopuse'.
Iati o demonstralie simpld a propoziliei a20-a a lui Eucl.id:Sd luinr triunghiul ABC (lig.l0) 9i si-i ducenr 6isectoarea AA'.Unghiurile AtAB gi A'AC iiind egale, dupi prooozitia l6-a a
lui E u c I i d rezultd ctl unghiul:AA'C estimai maie decii unshiut CAA,.Dupd teorema cii la un unghi rnai mare se opune o laturi mai marea triunghiului, rezulti cd AC>A,C. Se arati Ia fel \i cd AB>-ABdeci, adunind aceste doua inegatitd{i, rezulti (,4C1-A&>EC .
_ _Teorema ll. DalcA nrutdm un virf al triunghiului tn nrc-riorul austuia, noul triwtghi ore peritnetrul mai itic Si unghiuldin acel virf mai mare. -
Fie ABC triunghiul dat (fig. ll).$i.A'BC- cel ohtinut InutindA in A'. in in'ieriorul hiunghiului .ABC. Avem:
AB +-Ac > A'-B + Tc si 2' >?.- t
AAFig. l0 Fig. I I
Demolstralia se face u$or, prelungind buneoara pe 8A'pinelatura AC.Ca generalizare, avem urmaloarea teorema:
parte a curbei.
trece aDoi la curbe, ca limitclinii polisonale. Asttel. in fig. l2''|fal' AC:DEB este mai lung ca
Fig' l2
IB.
mai scurld decit oblica.bacd picioarele a doud. oblice sint egol depdftdte de picio-
perpendicularei , atunci oblicele sint egale' $ reqproc'' I)intre doud oblice, mai lungd e.ste. ac.eea aI cdrei picior
22
I) Cu intelesul de sumd a acestor doud laturi. nii Aepartat de piciorul perpendicularet'
.,2
Dacd douu ublice sinl dr octeasi parle u perpL,ntlicutarci $tpiciorul uneia este Io o ttendrtare driti irit"ii'i:ii't"iti'n,;!: tj:,i : :, t p e r p c n d i c u t a re i,' o t u n ci u tt tgi iit
- ii ii r;' ;; ;;';;; ;, t
" rd$r obtrca ntat scurtd este mai nnre decit ungniul' tlfniri'iotice.
* t"lf{!r fig. t3, imare eE -=-Bf- $i BC:2 BE, avem:
1L-^r: Ar:>48, , .L,>AE 9i . t BAE :C_4t pr imcte propre-mII enuntate aici sint indeobFte cunoscutc; Ltltinla se poatJ-siaUiti:$o:-dlce ducem prin E o phrareti ro aC, pinilini "t"#" p" lrin 14 Qi daci observim cd, in triunqhiul AlViE, -\M.,>AM. '
punctele arcului se gesesc intre tangenta $i coardd. Rezulta ca depar--tarea lor de coarde este nrai mici decit sageata.
FiK. 16 Fig. l7
Teorema Ylll. Distanltle cca ntui rnicd Si L'ea ntui ntare delu un punct dut la utt putltt de pt LIt nrc, se.gdse.sc pe drealttot:arc unette putctul tlttt cu rcttrul.
Fie O cercul qi A punctul dat. Ducem drlapta .4O care taiecercul in -8 Si A' (fig. l7J. Se aratd u$or c4,48 este distan{a mi-nimd $i AB' cea maxinA de la .4 la un punct al ccrcLrlui, Iie cd Aeste exterior, fic ce este int€rior cercului, dar in ambele cazari lastiuga lui O pe dreapta A0 din ligura noastrd. Daci A este pecerc, distanta nrinimi este nul,, iar cea maxima este chiar diame-trul cercului. DacA punctul ,4 este in centrul cercului, problema nuadmite nici maxim, nici nlininr, caci toate distantele de la punct lacerc sint egale cu raza acestuia. In acest caz, func(ia (distanla dcla.4 la un punct al cercului) este constant,.
Teorema lX. Distanlelc maximi $i nirinui Lle Ia un punctul unui cerc lo un punct ol oltui cerc, sint pc dreapta coreune$te rcntrele celor tlottd cr:rcuri, dacti ccrcurile nu se taie.
Asttel, dacd cercurile 0 qi O' (fiu. l8) au razelc r gi /' $idistan{a centrelor r/, iar daci dreapta OO'taie cercurile in .4,/J 9ir9, A', atunci distanta mininli cste FB' -,1 r - r' , iar disranta maxi-mi este 44': ri +r+ r".
SI presupunern ci cercul O se miqcd spre centrul O' qi cir<r'. Cind cercurile ajung tangente exterior, atunci I sc confundtcu rY $i distanta minimd este nuld. Distan{a maximi cste, in acestcaz, AA' :2 (r I- rt).
Cind cercurile sint secante, distanla minima estc tot nul-5, eaavind loc in prnctele M Si Mt de intersec{ie ale celordoue cercuri(fig. l9), iar distanta Inaximd este tol A7:d. rt /.
Cind cercurile sint tangente interior, distanla minimd este deasemenea nulA, in punctul de tangente, iar distanta maxima ,4Areste cil diametrul 2r' al cercului cel mare.
Fig. t3 Fig. I4
,r I Teorema V. Distanla cea- ntoi scurttf irtre dttuu punttt.tuate pe duua paralele csic tungimeo unei perpein-aiculil' i,iii
"tr.. Astfel, in fig. 14. perpendic ulara AA.pe dreptefe paralcle D qi D,, csre rnar
scurtd decit oblica ltb'.
, Teorema Yl. Dintre rlotru courde.ere unut rcr(. ccu nui lungit rste nioltroprotd de ccnlru.
. Coanla, cea nai lunga cste diq_metrut cercului-
Astfel, in cercul O cu dian,etrul ,48(f ig. l5) , unde coardele CD si r t scaf l i
_ la distan{ele u/ qi Ol cte cenrru a$a caOI>OJ, avem: AB>EF gi EFl
-D..-.., l:ol9lnl Yll. Distanla cea ma: ntore de Ia un punct att:Iut 9lc de cerc pina la coarda subtntinsti este sdgiidi)rcurui(fis. I6).S.igeatd este distanta dintrc coarda ,4g li tangenta la cerc,paralela cu ea. In afard d'e punctut o" co,.taci' ii'i?ii""t"i ,ou,"
u
Fic. 15
It
"='=:,j::::i:t{j#T#;,.j:?:"',}i#_^iy,rninimies,e..,"olln''l['i!*,*1,.,',Tif1.",i,j,i"q-;kl*,ijf :,gTA,*l;gg
Fig' 18 Fi,. ' t9
Teorema X. t-lnshiul ACB inscris [ntr-un ccrr est(: noi' #i {' o{ f io " f,ii,", :;^rk &S' ? i!, - :j r r :, t ." r i ia"' i i i -',.t,,i" i i ̂ o i,.","9.":"*i'1n,".;i;;r"oili:"!,:;^:,;,::":;Zi:i'[[i!,i*^,,^,^dccrc urrgntun Jv. tig. 20).
. Teorema Xl. Dacd intru a r i u z u u n ghi ii t ";i
r;;' ; r."';,; : " ̂ .':.!!: g n i se d a u. d o u i r u t u r i s i
cctc doud roturi;si;i ;e;;;rl,,r,r,X|!i,^o o are triunshiur in carc
. s 5. RECIPROCITATEA MAXTMULUI 9l A lvrNlmuLul
Unor teoreme sau probleme de maxirh sau de minim le cores-altele, respectiv de minim sau de maxim, iiind reciproce aledintii. A$a, de exemplu, teoremei de aritmetici (v. mai departe,
Fic.20Fig. 2l
AB. Avem C,A:
T"1X,Ti;,?T;"i""u...i..,l,iiiigiili.i1l..ilio,i,Xi*l;"i',1i;***date drept catete.
iTJ.;:f1,",1 i,"_1(j:g.2rr,cu raturire date aB ei 42, care'pleacd din virful ,,1 gi rrc'oi' -'' uate Alt 9i 4c, care
unshiului- I.tr*o^ iFt ,,^ ungn, oarecare. Fie CT illAlFmea tui_
- v^.2wr, uupa leorema IV- lni$mea cea mai mare p" a-raa ofl:Xlii"T"SiTChwt ,ABC este 1..A, tn care caz si erir oo --+^
ungbiului._Durem rc, : rc, perpendiculari:c^>LrJ, dupa teorema IV- Iniltirnca ̂ .,
pemai
Soremele XII li Xtll) :Produsul a doi factori, a cdror sumd este constanta, este
fiuxlm ctnd factorii stnt egali'li corespunde reciproca:
. Suma a doud numere, al cdror protlus este coflstant, estefilnimd cind pdrlile ei sint egale., Aceeaqi teorema, puse sub lorma geometrica:
Pdtratul este dreptunghiul care, ctt un perimetru dat, areatla cea mai mare,
are reclproca:Dintre dreptunghiurile eclivalente, pdtratul ore perinEtrul
minim.Unii mai numesc asemcnea propozitii reciproce, propozitii
,lnverse.Putenr lua reciprocele ca propozitii directe $i pe cele directe
ca reciproce sau inverse ale lor gi atunci Ia o teoremd sau o pro-blemi de minim in propozi{ia direct, corespunde una de maxim inpropozitir reciprocd srll inversd.
Un alt exemplu. Problemei directe de cautare a unui millim:Dintre toate triunghiurile echivalente, care are perimetrul
minim?ii corespunde reciproca de cdutare a ullui maxim:
Dintrc toote triunghiurile izoperimetre, care are arid nta-imd?
lnci un exentplu. Propozi(ia directi:Dintre toate Jigurile izoperimetre, cercul are aria muximd,
are ca propozitie reciproce:D[ntre toate figurile echivalente, cercul dre conturul minim.
Reciprocele se pot irata independent de propoziliile directe;gtrsirn astfel demonstratii $i studii foarte interesante, dupi cum vomvedea in exemplele pe care le vom da mai departe. Ele instr se potdeduce $i din propozitiile directe. Sd aretim, pentru exemplul intiide mai sus, cum se poate deduce reciproca din teorema directe.Conform ipotezei reciprocei, trebuie si avem P:a
^d:bxc.Notim: S:2a qi S':D*c. Trebuie si dovedim c, S')S. DacI
har \a
0l / o '
Fig. tg
.26
, avind laturile
lt .,:" O: Iactorii neegali b ,i c, a caror suin, este S,, luim fac_
:":" iur.t, * v * * s, cu aceea$i sumi 8,, sesim produsul
(i S'/ care, pohivit teoremei directe, trebuie si fie mai mare
t7t, ':',,:r":*- (* t) cu alte cuvinte, "u.' (1s)'>
-\Z o
) , ceca ce confirmi ci S')E, intructt Sr $i .S sintnunere aritmetice (pozitive).
^. ,_Rafionamente analoge se pot face. pentru mai toate reciDrocelesr, de aceea, la multe reEiprocd uorn -
ai-i,,_ j;'':::.:::.:,.,",p1 -f ;#:i;i1,:f ;l'J,"fi;H?fi i,.""#*:e"":T":",llf ll!;11.$.1
PARTEA A DOUA
GEOMETRIA PLANA
METODE DE REZOLVARE. PROBLEME
cind metodele analitice duc deseori Ia solutii lungi gi obosi-
Pentru dezlegarea problemelor de maxim gi de minim pe caleScometrice elementartr, nu se pot da reguli $i metode aga de gene-$le ti de precise cum se intilnesc ln algebre Si mai ales ln ana-llztr. In schimb, metodele geometriei elemenlare dezvolti puterea deobservafie, intuitia geometrictr gi alte facultiti prelioase, iar solu-Slle pe care le de geometria elementare unor probleme de maximfl de minim sint uneori foarte simple sau de o lrumusete deosebittr,
Metodele geometrice sint cu atit mai simple 9i duc la solulii$r atit mai frumoase cu cit ele se aleg mai potrivite cu particu-lrrtttrlile fiecirei probleme, pe cind matodele analitice cele maitolositoare sint cele care dezleagi problemele aproape mecanic,dupi tipare generale.' Pentru a gdsi maximele gi minimele pe cale geometrici,lransformem problema propusi in alta mai simple, care si netnlesneasctr si gdsim mai ugor soluJia ctrutati, sau care se ne duca lao pfoprietate sau la o teoremi cunoscute. Deseori slntem nevoitill lacem mai multe transformtrri, plne se putem ajunge la o formif8u la o problemA a cerei solutie sl apartr imediat, in baza unorpflncipii, teoreme sau probleme cunoscute de mai tnainte.
Vom arita mai intii mijloacele date de geometrie fi apoiFetode mai generale care ar permit3 minuirea formulelor pentru a0une functiile - ale ctrror maxime gi minime le ceutem - sub formenal u$or de studiat, sau care ddc de-a dreptul Ia principii saulcor€me cunoscute, sau Ia o alti problemtr deja cunoscute.
S 1. METoDA DIRECTT{
a
. Se spune ci o problemi se hateaztr direct cind, pulindfunclia sub o anumite formi, putem sd vedem ugor cum variazi
1::i^ fil:!i: aJunci ctnd variabira sa independent{ hece prin dite,nrele el valon.
", ,,-ll"l1:l.J...care se pot rezolva pe aceaste cate sint pupn(Sl olntre cele mai simDle. Sint insi gi problcme care nrr sc portrata_ decit numai direit pentru a le gi.i'sorolii
-eiii"'r iiirt"
"c"t.probleme care nu condui ta func(ii c"ontinue, ;i" ;;;; u".iu1ii "ase poatd studia cu inlesnire. Sc di ca un exemplu proiiltn t.
. . La aceasta metodl, singura dificlltatc este de a pune funcliacareia ii cautdm maxirrrul s^au minimul sub tor,r"- iui. G'lre'arut.repede-, -firi.
calcule sau aplicarea de teorii "ro-i.oi.,n!.
.o,variazA functia _ cind variazi variabila sa inaepcna.,,ia. -Spie'l tacemai clar sensul celor aritate aci, s-a ales p,iottiiia"2."* -
*
,, .Culoalt:rel de teoreme, constructii gi formule de seometrieesre. roane- totosltoare pentru a dezlega repede unele chitiuni demaxim gi de minint pe cale geomehidi g.'problema J). ---'--
Problema l. Fiinct date tr puncte raspirtrlite oricunt pe unplan, sd se construiascd cercul ntinim core sLi ntr lose tn'afardnici un punct dat.
. . DacA se dau- trei puncte unite intre ele care lormcazi qrrlriunghi asculitunghi,
-ccrcul c,utat este _ evidcrri _'."i"oi .ir_cumscris. triunghiului. Dace triunghiul este obtuzunelli. ".i"ut "aut
tare ca diametru latura opusii unqhilrlui obtuz.
ii' Se pot intimPla-d-oud, T"'lin, in p fdrd a lesa in afar6,, l. Aiungem cu centrul u2 P.rui'p"i,ii"o"i' Ceicui
"u oiani"ttul '4r3 este atunci cel^ceulat'
;iih*'*;""t1*:;'u'*l'l'ofa'bf ;,',lixi'?"1lbii$i,tit""giii, i.'r"of
'tui li.iut.u* rezolvd nroblema : in adevar'
;:lk','rl:r,t]:$"'t:ff I'l'tq!:"''""'iil,{llil"iib;;; He "ii"-un
triunghi optuzr"rrghi' atunci apropiem.ei.utoi
"it.u.t"ris de latura cea Inaimarc' tl 11tt'n-99--t^":
t;:i ;;,:; iungJ-meaiatoarei -acesteia. In cazul cind ajungem
iiur Toi aC iare a ldsa in afara cercului nici un puncl dat'
l"'ai"t*t"t BC rezolvit problema; in cazul colltrar'. contl-
t*lt*',ii:,a:fi fip*Ti'i,ffi ,*$ii';ii$:'tlfi
care sa treace prin A Si I qi care sint din ce in ce mai'
ln afara cercului nici un alt virt r)'
Este sulicient a gisi exprcsia raportului
Fig. 23
l l j j j ' l l l | r i ; D. ! l
l l i l , l rotcce
Problema 2' Raportul celor doud metliane 'ale cotetelor'
itiiiii-i"Jrc pturihi podte avel ltn dxi slu utr n nirt ?
i;i;il;ghi"i /CE ffis. 23) in care ;1-90' iar nru'.liancle sint
9i Ce' , sr punem.AC--D $i A^B:c ' . . IDaci se dau mai
oarecare astfel ca * ,e un numdrligon convexici un punctI . poligonuluiere neputindcuprindi pe
ln punctligonuluineputindrindi pe
dintre ele unn un poligonafare nici ul
interiorul polir parte, ele n'e sA le cuDri
dintrerunlafari
puncie, alegem rr - sd formdnrl sa nu lase in, Punctele din irputem ISsa la ogora cercul caree.
multeunindu"
dzle
\m:, \ to
\ \/ l t i rt lml, /A
flte punciedu-le - stcarc sa nldat. Punclle putemmic$ora ctoate.
I-udm apoi un centru oarecare O(iig. 22) gi un cerc cu o raz, destul den-rale -ca sA cuprind5 toate virfurileA, B, C,..., K, L. -Raza
acestui cerc o
ca fLrnclie dc o variabil5 $i a-i tlrmiri
varialia. Pentru aceasJa, observam ca
scriet . 12
TRz-tz, ( ; ) - +(b2,.4c2) l/ , \ l I
ee,2 : b2 = u_) : i tc,r na't ,
( 'EB'\r : b"+!l l _q_ _.!2b'_ - +- ' : , .
' De aici se vede ctr raportul medianelor (Iunclia) cre$te sau
necontenit, in acela$itimp cu raportul f, (variabila in-
).
i-P"ohu d""{uirqi.ea demon.stratiei' ar mai trebui ardtat ca obtinem
'li*litil**li,l';i;t,l::,tl#{F:#'T','iI*'Bf ca'cumam
din irlaocare
___--.,/ reducem apoi treptat, pin5 cind cercullrece prin unul diu punctele date, deexenrplu prin ,4. Ducein dreapta OA ne
Fig.22 care lualn un centru O,, indpre .4, d'in. care_descriem cercul tiecini prin A-MicEorim. necorrtenit distan(a D,,4, pini cind acest cerc trece orrn-1l-.1t:rlt'l....ounct, de exemplu b. oi" i.uriti'p-iii"'^'i"i o,,oucem perpendiculara Orp pe ,48. pe O-rp, insprc p, ludnr unalt centru O". pe care ' il iniqcam de la' Ci, ,:;-r'pr. b' si'?u._*
i l I l III
30 3t
Pentru f, :0, gisim ca valoare initiali a raporturui E : I .Cind raportut catetelor creste
^nelimitat, raportur ,.ai.1"11, ...'9,"Si tind_e catre valoarea finali z.
nici nl?#i?la. cum se vede, raportut medianelor nu are nici maxim,
. Probfema 3, Ce pozilie trebuie sa aibd punctul p pentru-ca.triunThiu.r_sdu poaar fdla de ii tiiuiiii fri|"iei ,li "naarla maximd ?
,. Se. nume_gte triunghi podar al unui punct p din planul hi_ilg.li:Lyi_1fc, triungli"iur care .are .virturir'e in pi"ioir"'r"*plrp"n_orcurarelor duse din p pe laturile AB, BC, C,q ite iriu,iehi"tui.Dactr O este centrut cercutui &*"-,i *ri, lJi ',qii8i"h
*_1i::_1 q':tl"q O? si I raza cercului inscris in acel[i'triungrrt,auncr se poate demonstra cI raportul aint ei.i" tnunffiiutuipooargi a triunghiutui ,4BC este V, i" cazul cind p .-r," in int _norul
^cercului circumscris, sau pe acest cerc.
_-^", _:l.noa$tel"3 acestui raport este .suficientA pentru a dezlegap,..ooj.Tg noastre. de rnaxim. Ra.portut .st" .r, ,[ii-'rri lnJ., "u:]l 1.:1". mai mic I el este maxih cind d:0. ,iiunc p'.iin.ro.cu u. Aria maximtr o are deci^triunghiul poai. -ii-'"eni",fui'
".r_culLli circumscris triunghiului AdL.
Nu trebuie sa credem insi ci la functiile cu variatie sime-n-ar mai putea .exista $i alte maxime . sau. minime.. atara de
'aJ pu i*u 'de siriretrie a-diagramei. Cititoml poate figura. ugor
Iame simetrice care se prezinte mai multe maxime sau mmlme,;i;d;t- in acest caz - ele sint simetric a$ezate fata deitioirot soo minimul dat de axa de simetrie este unic numai
cazul cind func{ia este mereu crescetoare de o parte a axei !idescrescatoare de cealalta parte.Consideratirle de simetrie sint folositoare $i pentru a nc araliltrebuie sA- cautem solutia problemei. Penhu aceasta este nc-
cercetarea cu gtill a figurilor.
Reamintim citeva propozilii geometrice crnoscute'Doue puncte slnt sim€trice faF de un punct, care.se nume$tct de simetrie, cind acesta se giseqte la miilocul distantei din-le doutr puncte (tig. 25).DouS puncte sint simetrice fata de o dreapti' care,"ll'n:!:"
a1- iin[ttir, cind aceasta cste 'perpendiculare pe dreapta caft'
e celc dotli puncte gi trece prin mijloctll distantei dintre elc26).
s 2. SIMETRTA
\|
i
" ,.I4ijlocul cel mai simplu de a gesi maxime gi minime alelunctiilor este de a vedea daci nu cu]rva tunclia - plezinta 'simetrie
in felul cum variazd. ln acest caz, diagrama fuir.tili 'iie'o -axa
a.rurrr vdnaza. rn acest caz, diagrama functiei are o ax5 desimetrie, ca in fig.24. Atunci functia,care a crescut pine la axa de sinie_
)! 4 | q trie,.va descre$te de acolo inainte/ l \ - I i I sau rnvers gi deci axa de simetr iei i i, l\ | /i corespunde anai maxim sau minim.i I i i\fi . Un exemplu de tuncfie cu va-+; '
l.' i .z nalre simetricd a fost aria betratului
o ----io- 0
A'
Fis.26
DouA puncte sint simehice fatd de un plan, care se nllnle$tiJde siietrie. cind acesta este perpendicular pe dreapta care: cele doui Duncte, la mijlocul distanlei dintre ele \hg. 27)'
Fig.27
b d n , " inscris inh_un pdtrat Oat' ffig. ij.Fi!:.u 1,",i1it1,3n"':,3ij11lg115ite'91ni
Fi'{ 25
: sfera are o infinitate.
rts. a virful A, s_a aflat in puncte iimetrice.de a99-ea. am si conchis c5 an"'xf.*ll,,lllll3ix'. g,:,'1i:lil.#f ;:se afrr rn M, bazrndtrarc oe faptul;t;; il;.;;;iii"Jiitjilp o,s-a deplasat de la A la li, deci a crescut dupi ac."i.-'
"'
- MAxlmc sl mioime geomelrfce 33
* p":,T:I[f"iffiiili#.lili,d:,-L1.celru de simetrie o (rig' 28)
;?;"i#""iffi l-J##:iii",l',ii' "i'9ii'ln'n #03""'tol,':i;'1,): cercul O, precum si tongenta BB' limitatd la AT si A7l. lnI caz triunghiul ABB' are aria maximd sauminind ? (tig.30).
^__. Jl ":1.. expuse precedent.aln avut mar multe exemDle itl
:19 simjtlia. ne-a ajutat sa vedem uqor existenli uiiui -r"u*i, .,,,,mrnim. Astfel, figura formata dinlr_un'cerc si "ii
p"ii"i ,i"."u "_rt
Figura fiind simetricA in raport cu bisectoarea A1 a unghiu-L4 ?, maximul gi minimul ariei corespund cazurilor cind BB'perpendiculara pe bisectoare. Avem un maxim cind tangentadush intre / $i"cerc (BFt\ - deoarece pine la aceasta pozi-
a tangentei aria tritlnghiului a crescut pentru ca, dupa aceasta,- si descreascl - 9i unminim cind tangentacste duse dincolo decerc, (BrB:rl.
Problema 4, Dintr-un parct A se du( tangentele AT si AT'
. Fis. 30
Problema 5. Sri se ducd intr-unsituate la distdnta d una de alta,
lor sd fie maximd.i Fi" a"t cercul o, in care ducem coardele FB 9i CT ta dis-
datd d:TR (lig. 3l ). Duce m diametrul TKIOT" -perpendi-pe direclia coaldelor. Si presupunem ci punctul K palgqrgg
,rt ta de sinretrie dreapta cire d;i;' ;;;.il ';;
l ;il ffillT'.::iiT;'J,ifl;,.lrll.u,;li,'iju:,.;,;,;l;F+_. ;:,i1 !IX.J:i,.$: JL#,l,:llJi ,xfT"#ij/l I tul cu centrut. Daca in'sa ;;;"i;i';;i";;"
+l ;&"{.'iyl""".J"Ti:'"1fli;?,,,.%:":;t:.J,:_.; :il:iil:,j',1"#Tf,$li.'ii.:.*",,1i'#i:lliconstantd _gi egald cu rara, deci---n,i- ,,,aiexistd maxinre 91 mininre ale ei.
^,_ , flgltq tormatd din doue cercuri exterioare are ca axi dc:::l:t'1"^._lj"i" centretor si de aceea airti,ji"i" ,**ire "ii iiintnl;Intre doua puncte de De aceleacea linie ffis. il1.
' P! oLt'c cercurr trebuie si se giseasci pe
Ori de cite ori o figurA variabilapoare_ avea pozitii simetrice in raport cuo axi, putenr si ne folosim aceastaaxioe stmerte, cAci ea determina nlaxime$i minime.
De exemplu, sA presupunem ca Jecerc tri.unghiul dreptunghi ti aria maxi_mat duttre toote triungliurile cara auaceeafl tpotenuzd (fig. 29).
Fie ABC unul dintre aceste triunghiurl _Locul geometric :rliirJului siu este cercul clescris pe ipotenuza B? ca diametru. Fie01, mediatoarea seg_nlentului -AC.
ni6 de aceasla ai."oie r"rra *a^xe, triunshiului ,4BC ii corespund;" il-;tut -;;r;i;il'7,i1. r"rerfl acesra, se vede ce triunghiul isoscet B/C ;i;- i;u;fiiul .,aria. maxime deoarece el se aJld
^neconteni-;trc. l;u;'liiunghiuriegate, -dar
cu arii mai mici decit , I;i t/c,'-;rr;l?. "#erlr.nmaxime-
Un_ al .doilea triunghi maxim am putea construi de cealaltaparte a lrli BC.
Fig. 2S
Fig.3l
cerc Llouti coarde para-astfel ca swna lttngimi-
Clnd K este in T, avem eD:O 9i deci suma s:AE+CD
apia TTt, ie la T spre T'. Din cavza simetriei, este su{icient
urmirim ce se petrece pinA cind K ajunge la distanla f de Ialrul O al cercului.
de.'O, dirr cauza sinrehiei. ._1T1,_f iu: in ordilre inverse, va_ro-nte pe care lc_a primit mai, rnalnte. .S netria nc arati atuncrca s este naxim cind paralelele sint simeiiice.- tu.iii".i., ""o.trul Oat cercului (AE:Ctr.Dar atunci, Oa:dK:t 9i s:aZ=
-4V oAaoti ==qtli-t, 'r - -cautat- v lz l -2V4P-d'?. Accsta cste maxirr :ul
-^^^^l: * compare aceasl.i solulie, simpla gi intuitivA cu calcute,eneccsare, spre a ciuta, crr ajutorul a..iuut.ior.
..*r*i]nui ."#..i*i
:v r-_x! 2 y' 12 _lx L. d)2,undi r este distan{a variabili 0/.
. - Figura prcsupune d.-r . Ci ,ndr l - . r , eypunslsn sc schimbipuFn, insd concluzi i le rdmin accteaSr.
^ Problema 6. .Se drj un trnohi eb a-^^ ^ .--
formeazd in arci'uifni",;, i::..::{h:' sc d.uc(. o secantu carc
o -*"iiit^ill,,i,r{i,,f,i,,",f,iemdotd.)cindperi_
liniei dreDte de a ii druntul cel mai scurt intre doui puncte. Iniceasti nietodi iundamcntali se cauli sa se reducd problema lagisirea celui mai scurt drun dintre doue puncte cunoscute !i {ixe'
Dacd problema se r€duce la gisirea unor penmetre- minime'se poate ciirta sa se laca studiul pe pe4i de perilnetru, indepen-
flente unele de altele.Metoda nu este proprie pentru ciutarea (le maxime; ea se
Doate intretruillta insa Si pentru astfel de problenre, reducindn-leia qdsirea minimelor prin studiul inverselor funcliilor in cauzi' a$a6urii s-a aratat in princiPiLll 6.; lati aci citeva problene dezlegate prin aceaste metoda.
; Con.struim trjunghiul isoscel cu ariil/l\ li,lj. t1s, _s21, Et. va .avea un perinie tru 7.
"1 l\t :"",Jt$tf un alt.triunghi 'qsc"cu--icleasi
,,:M* iii.qrU, :Jtr;;[i,"x i?.",J"!./,, ' | \\ el aria I
o,/ I \,, 1o1sr11"1ig ul,?5''Ti'1',';""TiJ'
Jl"ll'."fll:/ t, \ [qif'3'jl-,:];il: ;: "*:,,ni:i'",*';cind cele dbu, sim"+,i^; -::;:5'"'-;:i
Fig 3z ;*.fjlL#,iJt"jl'i.r-2q,,'f,lii,,ii:.,"Ului dat.
ltara pe bisectoarea ,41 a unghiu_
Problema 7. Care este drumul cel mai scurt de Ia unta altul, tttingtn(l o dreaptd t{otd?
Fic A si B cele doui punclc clate' DD' dreapla datA $i Crl dreoiei DD', care se alla si pe drunul cdutat Este €vi-
ci porliLrnile aC Et -nC
ale drumuhti trebuie sd fie segrnentede dreapti.
-. ^^-Triunghiuril e ABC, AB,C,, AB.C,,, avi\d unghiul .4 comunir aceea$i arie, avem : TEz: lR.n ry : aA ) nji"'i",ui,"'
"ur";:""r3;p,* sa construim ugoi triunghiurire -""rriui.lintJ.,!i,"p"
""rs 3. PRoPRIETATILE LINIEI DREPTE
,,.,r." l,.nl*_:?olvar,ea. geometrici ,a, problernelor. de nlininr Drivi_::1,_" ,,,r. ,,on9t.ml,. metoda fundament"d Si
"i*pii,. ;; ;;.
";" ,
nesc roate celetatte metode, elte . aceef - a;-^T*i"r".i'?,"ir.Jrj"fi?Jj
36
0,0
I " iA.34
2) A si B iint de aceea;i parte a lui DD' (tig. 3\.ln acest caz, aducenr probler a. la cazul precedent astfel:
n rir"triiot b' 'ul lrti B fa{i ae DD', ducind pt'rPendiculara 88'DDt pe care o taie in P 5i lulnd PB : PB. Triunghiuril:
ae BCP gi B'CP aa citetete BP3'P egale 9i cateta CP
deci sint egale gi .avem- -B;d:
BC. - Adurii{d^.aceste dis-
; ;;;''.;;illi".;-aio,'ruiacal.te egal cu ACB. Deci, in
1trj
li
loc de a cauta minimul lui lC4 putem ciuta minimul lui lCB,. Anrajuns astlel la cazul precedent. De aici avem urmitoarea solutie:unim unul din punctele date cu simetricul celuilalt fatii de dreaptaDD'. Punctul de intilnire cu DD' este punctul C:ciuiat.
Egafitatea tliunghiurilor BCP $i B'CP ne duce gi la egali-tatea unghiurilor BCD' $i B'CD'. Cun acesta din urma este egalca ACD ca opuse la virf, reiese ci ,4C ;i BC fac unghiuri egalecu DD'.
Daci in C ducem o perpendiculara CE pe DD', se formeazAunghiurile drcpte .DCt ti D'CE. Unghiurile ,,4C8 9i BCE sintegale, cdci complementele lor ACD gi BCD' slnt egale. Rezultacd bisectoarea unghiului format de pdrlile AC Si CB ale aru-nului este perpendiculard pe dreapta datd DD'.
Problema refl|xiei luminii este legati de.aceaste problemdgeometrictr. Se ajunge la legea fizici a reflexiei luminii punlndcond{ia ca lumina, care pleacd de la un focar luninos A, suajungd la ochiul observatorulul in B in timpul cel mai scurt,dupd ce s-a reflectat pe oglinda DD'. In acest caz, se spune cAunghiul .4CE este unghiul de incidenld pi ci' BCE este unghiulde reflexie, a|a ce putem spune ci punctul 'C este acela pentrucarc unghiul de incidentd este egal cu unghiul de reflexie.
Aceasti problemi geometrici o gtrsim deseori date cu enun-turi practice, ca de exemplu:
Ce drum trebuie se ia un celerel care vrea si meargi pe ocimpie de Ia un loc la altul, trecind pe la un rlu rectiliniu dinapfopiere, ca si-$i adape calul, aga ca tot drumul si se faci intimpul cel mai scurt ?
Dacl DD'reprezinti o bandtr a unui biliard gi daci lovimcu tacnl o bile in directia centrului ei, pentru a merge de la unpunct ,4 Ia un punct B atingind banda, se geseste ctr punctul deatingere al bandei este punctul C determinat mai sus.
Problema 8, Se dri un triunghi Si y cere punctul dinplanul lui, pentiu core suma distanfelor
'la virfurile iriunghiului
este minimd,Problema aceasta a fost pusi de Fermat matematicienilor
de pe vremea lui $i a lost rezolvald,.prin geometria elementari,de c i t re Bonaventura Caval ier i (1598-1647).
Se vede mai lntii cA problema nu comporttr un maximdeoarece - indepirtlnd punctul ln afara triunghiului - distantelede la el plni la virluri pot cregte nemirginit. Existenta unui minimeste evidentr, deoarece, punind punctul ceutat, pe, rind, in .lieceredin vlrfuri, suma cerutd Be'.reduce-la suma lungimilor a cite doui
38
rtr*:t:[-r'sr*|j$i#$4*i6'g:ifg"i*rr'trn r'":f3 61f ;, ":, ::::'::,:'::;Lr.:"J'ilT ;#s,l"l;+: *:,:ld- 9*f 'nitlrt[#r#i3 .t"'rt :i ffi ;ii11q 1i*i{ir t, .:,'"I mai rnare decrr cea ""t" - -
:t*:tSa unei laturi, de exenr-
,:'B'iLmti.5''"U"12 -., ;-.-.,.-,,.u*pe AD' uu!ew'" -ts + (frt ',-Nr,Cr>
ti"A +frA+-u8'v u'c -- M'A \ A
+TE +K> AE+TC,
Rezulta ca t$l qll!o:t""]:'^rl,"i A la cele trei virfuri "Uo.t:'
{:"["1;:"i*:i tifi,ii' # ;, o" o,atura ",,lTllf"Tll"il;, 1iilt t ir-riiiit; l kiui6, lffi;qltl;'Pqf.i\if,,'f.i':i :il,x'ifi:i'fi-h"cii {Jii'ita ;a'N va ri
4
Fi g. 35
IFig.36
ififfiri'i"ia"'Jin c Pe AB'
chiurile BMA'$i CMA' sint egale 9i deci suplimentele lot AMll3i CMa sint ee'ale. Tot astfel, tMB' $i AMB ttind egale, supli-inentete lor BMT qi AMB sint egale. Deci: .+ AMB : -:. BMC '
-4. CMA:120, -intrucit suma acestor trei unghiuri este de 360"-
I)e aici hagem urmetoarea concluzie:Punctul dintr-un triunghi Pentr
cdre suma distantelor la virfui esteninimd e;te acela din care laturileftiunghiului se vdd sub acelasi unghi,dc 120'.
Construclia acestui punct se poatchce utor. Pe latffile triunghiului qi dcaceeasi Darte cu triunghitll dcscrienrtrei s'eemente de cerc ca-pabilc de 120",care sevor intilni toate in purctrl ciutat Fi,t. 3tlM ({ig. 38)r).
Dacd fiecare dintre cele trei unghiuri ale triunghiultti este tnaimlc decit 120', atunci cele trei arce de cerc se intilnesc in inte-dorul triunghiului.: Daci un unghi, de exernplu A, este de 120", atunci arcul decerc descris pe BJ 9i capabil de 120'tre:e prin A.qi are accstpu*i^.*T11, :1,11*19-..gib1:.._de^.120' si descrise pe AB $ibe AC. Punctul M se conlundi atunci cu A.
i- Daca unghiul A este mai mare- decit 120', atunci .arcul .deogrc descris p; aC Si capabil de 120'cste exterior triunghiului $i-Drin urmare - si pun:tul M se atld in afara triunghiului' deci nu
nqi.,lprtil:. ",,":lg, ^9.^'::ii:-p,'^:^.j,i.l:r"^"'^i::i"sl#t"bli""ff,llll;qhiuri'Oe'cite 120', ci arcetor'des:rise pe acele laturi 9i capabilcto unehiuri de 60" (suplimentul lui 120'). Un asemenea punct Mdu mal corespunde problemei noastre, situalie care se vede 9i din
ctr, in acert iaz, potrivit celor aretate mai sus' la b), avent+ -[B + nc > ls + A=d, deci i]t nu mai poate da o suma
Care este, in acest caz (A> 120), solutia problemei ?' Vom ardta ce punctul A d{ suma minimi, dovedind cd' daca
un punct oarecare M in interi')rul triunghiului sau pe una dinavim u I +
-tilB + M C > A B -r -AC2r.
- '; Ce efe trebuie sa se lntllneasct toate trei in. acela$i, pu!^cJ" M, re-fnfA iri moo necesar din faptul ce slnt arce capabile -d-e--cite
120'Qi dinibrema c, suma unghiurilor din jurul unui punct eale de JtrU-' . ..-l:--.-tr *iluait tazul clnd 'li
ar fi ln ai?rr triunghiului, datorlttr conchr-itttor
"tLl;rii" tji
"ui, ta ar, rt gi c), care slnt valabile pentru orice Yalorr
alo unghi,rrilor triunghiulqi, deci Qi cind .A > 120'.
4,1
. Daci unghiul .{ este drept, N sc confunda cu ,4, si dac,i esrrDDtuz ^y'
este atara din triunghi. Dupd cum amaratat la -c1,
virful ,loa o suma a dlstanletor mai mice decit N. Minimul coresDundcatuncea punctului ,4 9i surna minimi se reduce la AB + AC,' dr/pa
cum se va vedba imediat.Din cele de mai sus
rezulta justetea afirmaticice punctul ceutat nu poatrfi in alara triunshiului.
Sd presupunem acunrca punctul ciutat 44 s_arafla la distanfa ,4,44: cde virful _4, deci ci s_argdsi pe un cerc cu centnrlin 4 f icu raza a {v. f ig.37rr t .Problema se reduc"e in ;r
f gasi pe acest cerc Dunc_'tul M pentru care sunrirTa + uC este minime-
Fig. 17
l
iJ,'ffi'l: minime atuncea cin<t dreapta Ai::i. i",J."..;.::";rTf,iji
lntr-adevdr, lie M, un alt,t}',:J,'Jlff ,",*:l"A;1,:'*Atl;'jt|gil?,n,*"*:riy'P.+ M'c;'u'e= urc, acoaiece ,r4' ;;;.
-;;- inr*;oirr i.,un_
dil:{.1ffii,Tv,it\:!!':rle!;i;{,f ,\{!r;n:lmai scurt de la B la C, intilni
"-,,i1,':ir;1#*.##..;fr gi"ffl# ji:Ho';,T"'",'J;,."Problema noastra a auu.nit ,"uii"uiilai.ri" ,
"r" rif ,:; rr,:::f;'fr,1'o!1fi,i,' unui triunshi ABC un nunct M.
unghiutri format de ,rtrun, ,tf;,|!.' BM' cM sd fie biiectoare a
Fie A' , 8, , C,, i l terJcct i i l.uraru,ir.ic'c;,'ff iii"s:'lj;r."il1,"".1,31;,f#;..,#,r..:!Ti:,J t_:"-:,.1.:' d.e.a pr€su.pune pllbl:q1 fgzolvqrr.., tD_ loral seu in p.rre.pentru a ?.n?liza apoi figura obtinutiium se rric. - aoi""u i?ii,iii,"Jffii,ll',",'."::*.fr":llt.fii'i:,..*..,il."". o,o,
' , M a toat ales in?fara tr iunghiuluj, -d€gi-Stim c, ?sifel de DuDcte nut''l'r'lrlir[,liJ,l;,?.Tii,t""'H.1,1X':t1i'rl':ii'e'iil'bii'lliiJi"fi't,li"ru"
40
Lisen cititorul str sc incrediuteze singur ctr afirmatia noastraeste evident valabila dactr M se alld pe una din laturile ,48 gi .4C.
Daci ludn un punct rVl in interiorul triunghiului ,48C sau pclatura BC Si ducem cercul cu diametrul Ail4, se pot intimpla ur-nrtrtoarele cazrrri:, l) Acest cerc mai taie o lature a unghiului ,4 in Q gi prelun-girea celeilalte in R (lig. 39, d).
2) Cercul este langent in ,1 la
McM', avlnd unghiul din c .de 60"' e:re- echilateral ' ii deci-'el'4r =' Itc'
r"triui cru'B" esii noua pozille a lui cMB-dupa rotirea aceslura oe, u'-'iTi"1l?liii ciir a" i.iJnoua pozitle a lui cMB dupa rotirea aceslura oe.
i;;r r4*-b = 'M'B' ni-MA+ rtB +-Mc =frn + urti' + M8" Dar suna-AM+
i rV,ti:*--b; ""i"
mtnimtr_ctnd. M $i .l14' sint pc .dreapta ,4R', .ceci B" 'lrco'i l i i t id inO"p"":""l, de M si f ix', f i ind virlui tr iuDghiului echilatcral c(tn-
pe BC.
ii":;i#;l",ff"txK,ll'i.',.",1i'.',i,i3t'?,T15ll';,,?"lfi:fll'll"i"Ti:Ti* i;una din laturile unghiului(la ,4C, de exemplu).
3) Cercul taie peABin Q qi pe .4C in R(tis. 39, r).
In primele doud ca-zuri putem scrie: iV7 +)- I\IB > AB- i MC:,-AC1 aeoarece rt[Z I RZ> .4 C,.-t. MRC : 90'). Adunindaceste inegaliteli, rezultiMA + MB + MC>' AB1,
ln cazul al trei-lea, si notim cu .4'mijlocul arcului Q/R gi
si observim ce lvIA 2-qA' + .4?, deoarece arc Q,4R{ t20', deciarc QAt: arc A'R 160', de unde penlru coarde rezulti QA':: A'R < raza cercului. Apoi, avem
-U'+ TR . Qa * lR,
deoarece - dace punctul I se migci pe arcul Q,4R - simetriane arattr ci suma IQ * 7F esle maxime atunci cind A coincidecu A'. In detinitiv, rezulti ca nn1 2
-aA + nn. Pe de alte parte,
este evident ca tvIB S BQ (caci BQ1Q1a) 9i rV-C i Fe (deoareceFe l-nRl.
Adunind ultimele trei inegalite$, obtinern tUti -' *tB t+ Me > AB +
-AC (deoarece Aa . -QB:TB 9i ,aC +ttc':acl.
Observalie. Prnctul din planul lriunghiului ABC ale cAtui distante dcvlrfurile triunghiului au o 8umtr minim, se mai poate obtiie qi pe alttr cale,care constitule o noud solutle.a prottlemei.
Fie M un punct oarecare din planul trlunghiului. Rotim triunghlul BCM(fig. 40) de 60' itr jurul lui C. A\'em CB" = eB, Ci[ = b7. Triuagtriul isos-
acestuia triunghiurile cchllalerale BCE, cAl $i A8O ql 9-u.citrg"dr:fn'i]"aif, c'o.
'iiiin"' otept" sint concurente in punclul cautal (ns' 4r''"6ir-1iu
*rurt"rorui rtrmine Ql ln acest .caz u-'""M t T::.::,t^' ̂ -t'*,*iliffi ;-;il:-;"i "*ut"iiiu' sd stabileasc' u$or cd solutiile.obiinute
""r""ii'Jiiai"ii'hri"ra. et po"i" oe aictenCi arala c'' daci Dunctul M
#ioti-ior"ti. pioblemel. acista verificf relatia:
Fig. , l t ) Fig. 4l
Fis. 3C
(Atr + IiM +cM',t2 = Fa2 + uc2 +cA2 +nS"'t t.
S este aria lriunghiului A6C'
Punctul i14 determinat in aceaste problema "9
bry,T,iq" l::lt^:il;;;';;i;.
';il ci unil l-ai numit al cincited .punct
ii'i'riiii'ii "tii,- "ii punclut rlri F e r m a t' !1 -li':g glTl
'".i' il[ni.',ia' i,iri' 4. -t u i". t. celelalte puncte i'pollTtg-:lll'nef6'"ii.iiiit"? circumscris $i inscris' ccfitrdl de greltate.(punc-ilHiil;';;Aiillor) ii orrocentrul (punctul de intilnire a
42
r) Se tine seand cl MA rsle dianretrul cercului (N. Red, E. T.).
, . ^^),C!.k Ll.o^ud
^puncte datc A Si B sint de uceea$i parte u:uL -.u.u \tlg. 42), Si, arlt'am cd, in acest caz, punctul C'este laintilnirea dreptei AB ca DD'. Si ludm rn alt-princt Ct fe
-Ob, ql
sa-l unim_cr1 ,4 $i cu B. presr:punem iC'>9C,. h triunqhid,4aC,.o latal}' AB este mai mare decit diferen{a Ae,_Ee, i celor.tattcdoui. lnsi AB:[C-BC. Deci, in cazul cind [C,SBC,, avent-41:
-BC> A7, *8C,. Demonstra{ia este analogi p"ntrLr ca"r,iSC',-'{C' $i deci punctul ciutat este C.
Un cilitor vrea si mearge de la un sat A la altul 8' peste
;ilt.;-;;t" iste un drtim pe care el avea si meargr o dis-
data. Care este calea pe. care o va urma 1
b) Purtctele A ;i B sintde o parte Si de alta o lul DD'( f iu.43).
t
Fig. 42 Fig. 43
_ln acest caz, aducem problerna la cazul precedent, inlocuindpo .6' cu simetricul siiu B, iatd de dreapta DD'. DreaDta AB! taiepe DP' in punctul ciutat C. Demonsiralia este alilo.qi iazuluiprecedcnt.
, .Problema ,10. Se ttau douu puncte A Si B, de o parte Srde alta a unei drepta DD gi sc cerc lunginiea iea mai'scurtd'aurrui drunt care merge de la AIa un punct ltl de pe DD', dc aiti,.o disltnld data MN pe DDt, SidinNIaB(I ig.44). '
Ducem IC paralel, egal gi{e^999!aEi sens cu .rVlN. F"iguraACNM, avind, doui laturi oariiele$i egalc, *este un paralilogramgi deci .4I4: CN. DrumlJ AMNB.'
Fig.45
Probtema 12. Sri sc inscrfu intr'un triunghi dat triunghiul
punctur c. riind rix, problema ." ,.ii." ilT?1.t'lifl,flri "!i,nf,tJ,i.;qe ra L la 6, care evident ce este dreapta CB (teorema I)..Aceaste dreaptd taie pe DD' in N, iar paralela dusi piin,n ta CIVtaie pa DDt-in i14. Diumul cilalu't este AMNB.,. Acestei probleme i s-au dat mai muite enunfuri practice. Iati,oe exemptu, unul din aceste enunturi.
4
iar din patrulaterul inscriptibil. Bl,lC, rezultd. cil -, ,BatA, :..j BIA,.A$adar, -+AlB,:+BIA'.' Anatog se stabilegte cd -sBttC:4C,tB$ ce 4CJA':4AtC,.Adunind ultimele trei eqalitili qi.finind seama ce suma unghiu_rilor din jurut tui .f es(e Ae 5'00.,'gal;iil '
- ,AI6t + 4.6,19 t4CtA,:.4.8tA,.1-.4C,tB ior11g, _,"U".
Rezultii ce linia AIA, este .dreapti $i _ cum /,4, este per_lg$Tjfl,
pe BC .- dreapta ArA'[ii"'" r"aitir. '"'tri*gr,ioroi
La fel se vede ci si lntiile BIBt.qi-C1C, sitrt drepte gi ceacesrea sint inetFmi are iriungrriurui-aab.'6""i'i;i";;;iJi-,nr.ri"caut lt, . cu . perirnatrul urinim, "are
. ca_ virfuri pi"iuir.iE" inafgrifo.triunghiului dat, adicd esle iriunghiu!,rfr. if !."rt"ir. "'-'
S 4, PROPRIETATILE PERPENDICULARELOR 9I OBLICELOR
.. Pentru dezlegarea problcmelor de ninin, se incearcd uneorlsa se reduce problerna li cd utarea . distantei a; h ",i
pir.t r" ,dreapte, sau ta ceutaiea oblicei celei InJ.."it" fo'u.!!i'"r'.rp n"servim de teorema lV.Iate citeva problemc in care se foloseste aceaste metoda.
. Problema 13. Care cste dis'tanfa maximd $i care este dis_Wrriri^6 tle lo un punct ol unui cierc'-aii, -ia -
o""ii.captri
Dac{ nu ne ocuDim de minime de . genul celor din tig. g,atunci - in cazul clrid dreapta taie cercul'_ profl"ra-nu'"orn_
Fis' l7
p-r.j-e,ln,lljniTliar-puncletedeinr"rs"cii".In care distantele sintnule,, le vom consi_dera puncte inifiale. De asemenea, dacaoreapta este t?.ngentt la cerc, punctul dcconract da o distante initiale nuli.,. ^ ,-D"g.a dreapta. ru taie cercul(fig.42),qlce.m dp centrul O al cerculur perDen_otcutara UA pe dreapta dat{ DD.-Ea taiecercul in B $i c. Dista rta 9.4 este ninimufcaumt, lar C,{ este maximul.
ll"lS,:"* *S _9":tq tangentele in B $i c ia c"rc, a""rte"ij"l_t1^".'".9 :l !f si o1ii1n9 ?e' r."_ ;' p;" Ji J,i,l# Ii .1?"r",la dreapta DD, este .rpri"ra i"t
" ,Sb ;i ?C,i
Problema 14. Sc dd in triungli-ABC s.i.carc se poute roti in iurul punctulut L' rte A'nunctelo'r A si B pe dieapta A'B' ' Corl-eie maximul suniei celo' tloud proirc'
tante A'Ai $i -Bg ?Fie / mijlocul lui '48 9i /' Pro-
iectia fui I pe a-u' (lig. 48) Avent
[r : -l tTfr + nEl. Ducem dreaPta C/'In triinshiuf dreptunghi Cll' in carc
io6tenuzi Cl este fixi iar calela II'
o dredptd iAtCR'
$i B' Proiectiilr
Fig. 4t3
variazi, perpendiculara 1/'este mai scurtd;;.tt-;biiJA'deci maximul .lui //' este C/ lteorema /vl A^gadar'
suma Droiectantelor este maxlme clnd dreapta A'B' este perpen-
ai.oi*f p. mediana dustr din virful C'
Problema 15. Se ddtriunghiul -ABC $i un punct M care st'
^ ior i i t AC-Cind surna ME-IvICt cste minind?
-^" ^. .--*i; .4 mijlocul lui 1le (fig-49)' Avem: MB2-t ll+2b!t:
+2MA'", oricare ar li pozilia lui M pe AC r)' Cunr BA': ; BC
este constant, reiese ctr trebuie sA facenr pe A'M minin pentru ca
suma ain partea intiia se fie minimA' Deci, M trebuie pus ill pici('-
iii"p.tp.nhi.otr.ei duse din '4' pc 'lC'
8'
r l ( .5rJ
Problema 16. Se dd un triunghi dreptunghic 'i
se. .cere n
", ea"i\;*iiiri piipiirq7a apa."ca sunia putrdtetor distantetorIuila cele doud catete ss frc mtt ma'
-l Oa**, relatie estq tocmai teorema intiia a redianei, aplicat' in
irurshiil aMc (N. Red. E. T.).
Fi , . { .49
\
. ̂ .Fie tvl-g fi ,44J-, (fig. 50) distanlele de ta M .1a catetete lB,-4C. In hiunghiut drepruighic M&Ci avem nAt'l-n-Ci': ne,,.lnsa figura AB'MC' este uir dreptunghi 9i a."i aD_iU. f.urrui"9::i si q:urdT minimul lui .47,. pu;ctui A fii;d fix, ;;z;lta capuuctul ,44 tr€buie sa fie cit nrar aproape de /, deci el va fi chiarpiciorut r,ly'' at inetlimii duse din A. p"
.dC-tt*1..ira.til."" ,,
Probfema 17. Se duu doud tlrepte fixe D Si D,, pe D unpunct fix A pi pe D, un punct not:ii M. (Inde tretiie' iai punr,-/ttl M ostfel ca, M, liinc! pra.fie minii ? r, rieclia lui M pe D, raltortul
ffi sA
. . fr,t.i,u,gtrtrl MM'A (tig. 5l) avem Mfu,._!A (teorema lV).
<leci ffi.- L Rezultd ci maxinrul raportului 4,_ sarr m jnirnul ra_
portului invers #fr, "^ ti ,tins cind
tvtA
:!l^:!,V, deci.cind,/4 ajulse in 6,, peperpendtculara dusd irr ,4 pe"D.r1
A
Fi! i .51
. . . . ,_, . Prgbl" ln3 18. Se claa punc.tdc A, i I $ l sr cerc si s( .ducdpnntrc ele o, dretptd DD', dsra acpasto drcaptu sd ti, *o!{ila'oriXma.dista.nlclor
de Ia A $i R
, Observin mai intii ce, daci deplasam dreapta DD, (tig. 52)
L:ril:l^:",.:3 inse$i, suma s:AA, ,EE,,,o .. .ir,i,nna, i"irr"""cu crr.se.Junge$te una din aceste distante, ; -;iil
;; .ioi."_X'ar.ta.
pite11 deci, presupune Ca j,D;'1ii*-p.ii"f "ili1ilil,r r"ilB. . . ttog, AA' : EE : l. ti nrobtema se reduce la studierea vana_riei tui AA,.
^^.^ Este .evident ce Af -0 cind DD' trece prin .4 5i g. Acesta€ste un minin, dcoarece, rotind dreapta bb; i,i"i*.'ri'rfr' l '.'ois,
4li
'lanla ni' cre;te. lnsi AA'ztrl ("orema IV), deci maximul lui ,44'este ,47 9i are loc atrnci cl"d DD este perpendi:ulartr pe AB.
Problema 19. Se dau doud drepte OA, OB, pe core+se mi$cd
doud puncte A si B cu vitezele constonte AV:u $i BW:w. Secere iozitia puictelor A Si B cind distanla dintre ele este minimd.. Fie ,,4 9i B pozili le punctelor Ia un
.,moment dat (fig. 53).
Reprezenttrm grafic vitezele AV:u 1i BW:w, Iuate in sensuldeplasarii punitelor respeclive. Sd presupunem ctr, in timpul-mig-ciiii punctelor A 9i A, planul pe care sint a$ezate dreptele O,4 si
OB se migci cu viteza w':w, insd ln sens contrar mi9cerii punc'tului B. Atunci, punctul I rimlne de;Iapt nemigcat, iar punctul A, sub'acfiunea vitezelor ., gi lrt, se migci'dupa rezultanta,4R a acestor iutelil Rezultd ci punctul / se mi$'A pedreap a ,4R, dacl lui B i-am anulatmi$carea a$a cum am spus.
I Punclul ,4 va fi la cea mai.mici distanti de B, atunci cind el Fis. s36e va gasi' in piciorul P al per-pendi:ularei duse din I pe directiaiezultantei .4R. Deci, distdn{a minimi dintre A li I este egaltr cu
1 FA Ducem PA' paralell cu OB pini ce taie pe OA in A' Si HR
I paraleli cu BP, pind ce taie pe OB in R'. Atunci latura A'B aI paralelogramului A'B BP este egale cu FP 9i deci cu distantai minime dintre. ,4 $i B.I Ratin" se mai aritem ci, daci A aiunge in .4' in timpul. t. B aiunse in 8' in timpul l':f, deoarece numai in acest caz A'' gi .B' iint" poziliile ciutaie. Tr unghiurile AA|P $i AVR sint ase-imenea, deoarece laturile ,rte qi yR sint paralele, Aceste tri-
, urghiuri ne dau :-i'[,_4L
*^,, 4tr, _ pAi ""o
]4::!L: decit,:t.+- : :ij- SaU -:i:: : -:-: SaU -- : - : OeCr I' :4.'AVRVotuDtu
, Probfema 20. Se dau rloud puncte fixe A, B Si o dlegpta:,lixd DD'. Cirut este minimd sumti pdtratelor distonlelor de la un
'-punct C al lui DD' Ia A Si la I ?Se vede cd problema nu comportd nici un maxim'
| - l4nxilrc ti miDime geomelrlc€ 49
I
,. l* / rnijlocul lul A-9. Dupi o leorema cunoscutA, Drir.rn, r,ia niediana unui triunghi, avem (fig. 4g): --""---rq! Pr'|!
AC, ;Efz:2p,2772.
l.T {;"-:"stant .- deoarece .,1 $i / sint tixe _ reiesq ca
::j,j" ,f . _t- oL . esre _mlnimd cind. mediana e/ este minimtr, ueL.r
:f11.. u.,. piciorutT at perpenjicutarci pe DD, ausi" C.i,i l. f,,
l::ilfiril'gili 1/ a triunghiuhi At'B este pu.pundi.urrrr p,,
^ ^ Probldma 21. Se dau tlouu puncte /ixe A,B $i utt tert, tt.se-,intreabd, pentru care puncte 'dc pr-rrr, 'ri*L' -iaiiotrt.,
dtstanlelor de Ia ele pind ia a fr 6 eslc noximi sau minimo.. . _.9 liind un punct nrobil pg gercut d1t, i{ C, fiind mijlo:.rtlai AB (tig. 54), avem: .48 + AC7:ZAO2 + Zeei. Cor-;u
"r,.con"stanl,.suma A-E+ Se, estemaximasau minimi cind distanta C(,,ff 'U'i'"34 ili"'H",il1.3.1fl id. f l'l'qli c o ii *'i'i!' tliJ' r o''este in c", iar minimur .ina C.Jt'jt)iri%maximul
are loc crnd c
.. . qrgb_lgma 22. Cart este punctul p Llin interiorul trian-ghiului ABC, pentru eare sumtriutryhiului este minimd?
a pdtratelor distanlelor Ia vtrluritt
Si descriem cercul cu centrul in A $i cu raza /p, De caresa o presupunem cunoscuti. Rimine ca EF, +co, sa fie ;innn,
Fig.54
(fig. 55). Dupi probie-ma precedeng, .P tre_buie se. fie pe mediarurAA' . 'lot astfel, se cle*rnonstreaza ci P he-buie si fie $i pe media-nele 86' $i CC' ; prinurmare, pDnctul ciutatesle punctul G de in-tilnire a medianelortri-unghiului. Acesta se mainumeqte gi punctul lui
lac
Fig. 55
.:f,,r.,ci:lt ce acoro este centrur gy ,r!rl!,J,^, iori'""d*.ffiiunrf r numesc g centroid. nentru a-i t ."- o;iri.# irilfiiil..ude consideratii de mecanice.'
5U
ln natematici $i in aplicatiile lor praclice -este
ne.v-oie sa sc
;ce uneori distanta minima de Ia un punct la. o curDa oarecare'
Aemonstreara ci iceasti distanld este minirne cind ea seoarl pe normala') dusA din punct la curbe' in regtunea dc
ne ocupam.ln mod practic, normala unui punct.. dat, . c.are . lI. ael,lil:
ei, se Doaie ob{ine c,r ajutorul unei oglinzi mici, subtiri, pe carcisctrm iansent la curbd pi tr cind dreapta care unefte punctulci: r-unctuT de contact se refleclS in oglindd pe ec insasi'
$ 5. PROPRIETATILE COARDELOR
Unele Drobleme de maxim ii de minim se pot aduce Ia stu-mdrimil6r coardelor cercului. Teoremele VI 9i Vll ne pot servl
dezlegarea problemelor pe aceasti cale.
Problema 23, Dintre toate coardcle unui cerc, care st.pot
:, piinir-nn puttct ddt, carc este coartla maximti sau minimd)
Fie O cercul li.A punctul dat.Dacd I este atari din cerc, atunci coardele cele mai ntici se
luc la ounctele de contact I 9i r' ale tangentelor duse din '4cercul'O. Acestea sint, de fapt' marimile initiala li finala ale
iar nu minine ale ei. ln acest caz, simetria ne arate ceI comporta un maxim cind coarda.trece prin centrul. cer-
gi ia tunlirn." ei maximi este tocmai diametrul cercului'
Daci punctul A este pe cerc, v-alorile initiali. $i finali alet"i tint'nut., pentru tangenta duse prin '4. Valoarea coardeimaxime pentm diametrul dLrs prin A. tDaci ounctul ,4 este in interiorul cercului
56t. ordblema comDorttr un minim, iar maxi-lurigimii coardei este tot diametrul cerculul
rntru i eisi .inimul, ducem prin .A o coardi BC'din O
'ierpendiculan OI pe.4B. Perpendicu-OJ este mai scurta declt oblica OA, saumult egale cu aceasta' Coarda cea mai Fig. 56
va fi, deci. coarda RI perpendiculare p^e 91' deoareceestc coarda cea mai deptrrtattr de cercul O' dintre cele care
prin A.
l) O dreada 8e nume$te normalt la o curbd intr-un punct atulci cindestc perpendicutari pe tangetta la cutb,, in acel punci'
5l
. . P1.a punctul A este i[ O, problema nu comporti nici maxinrnici minim, deoarece toate coardete f,ur;p;i,*i;; il;illiji""ri,"t rrni.Problema 24. prin interseclia a doud cercuri sd se ducuo secantd d. cdrei pzrtiune din iiteriorut cerciritir'silte"-naxf mrisau minimd.
,Fie,O gi O, centrele ce.lor.du^ua cercuri (tig. S7), A Qi /1,prnctele lor.de intilnire, iar B $l C intersecfiile secantei duse prxlI, cu cele doui cercuri. Notam' cu I qi ii ,i1oac"i.' iJ.ra.fo,8.4
Ji Cj [)isranta // cste jumatate ain aL qi ..t. ,r*ira' oOr,icu tJL. IJuccm OH pcrpendicular i pe O' l , . Se vede $or cA t)H_tt ,$i deci este deslul sa cdutim maximul lrri DH.
In triunghiul OO'H, dreptunghic in .F1, cateta Ol/ estc rnarsj!!!a decit ipotenuza A6'. V aloarea naximi a lui Ol1 este deciOO', cind. Oi se va confunda cu OD,, adica atunci cind secanrali_I^
p:i.ll.l? cr .tinia. centretor. .\4aximut ".rot
.ii" ooniJ,rJunl",dlnlre centrelu celor doua cercuri.
Fig. 58
-"r ?iixtl".llTt'i fJii"J.;:s Tlllllll. c'ind 'are .pozitia AA"
Daca I uri m o airi ;;oi' i,";;i;"i,ll"'.ll',,1,,."111,,,o"1..,",.'lll,celilalt capAt al ei estc inliuntrul unuia din cercuri.
^^ ,Probiema nlai comporti Ei a.lte cazuri O".it ..f din fig. 57,ca,,de.exemplu, atunci clnd cercul mare acoperi ceJ ,ui.'nlur.p.qfe qil cel nic, etc. Studiut arestor cazuri istJ ti.rt 'i,i'..rru
cititorului.Problema 25. Sri sc circumscric unui triunghi (jat urttriunehi qsenrcnea cu utt triunghi (tat ;i iiiii )ri,:,,Eiirtiiir,r.
, Fia ABC tr iunglr iLrt dar $i .4'B'C, iul . i r i r i i r ie. '5i).";", , ,aungtriurile egale cu iltc rriunghiutui ,lri 7 d,a;.' io"'"#,'alHc,treblie sa fie asemenea.
5253
Construim pc AB, BC, C4 in atara triunghiului dat ABC. segLnentele de cere- capabile de unghiurile ,41, 81, C'. Ducem
secanta .A'.8' prin C qi unim pe B'cu A $i pe 4' cu 8. Acestc
{ secante se taie in C' pe segmentul de cerc descris pc AC, deoarecc| \a\ ,1 'I A ' :Ar,8:Br $i t rebuie se avem C':Cr ca f i ind ambele supl i -f rnentare sumei celorlate doua. Dllpe cele aritate in problema pre-I cedenti, faturile A3,
-tl 'C' li C'l 'sint maxime atunci cind sint
paralele cu liniile cJntrelor cercllrilor respcctive. RAmine de aratatci, daci una din laturi indepiine$te aceasti conditte, aiunci oindeplinesc $i celelalte doua, ceea ce cititorul poate verilica cLlulurintd qi sirlqLlr.
Problema 2i. Sri se circtuttscrieghiul drepl ngltic al lsoscrl rnaxirn.
Fie ABC lriunghiul dat qi DiTcel ceutat, unghilrl , fi ind drept, iarunghiurite E qi F- de citc 45' (lig.59).
Punctul , se afld pe cercul cudiametrul iB, iar E pe segmentul decerc capabil de unghiul de 45', con-struit pe AC. Dupi cuir s-a vazrt incele doue probleme precedente, D|- tre-buie si fie paralclS cu liuia centreloracestor doue cercuri. Unind D cu B giE ct1 C, oblinem triullghinl ciutat.
unui lriurtglti Llat tiun-
Problema 27. Sd se circuntscrie unui triurtglti dot trrun-ghiul echihtcrut ntaxint.
Aceastd probleni estc un caz particular al problemei 25, cindtriunghiul .4,BjC, este echilateral. Arcele de cerc descrise trebuiesi tle capabile de unghiuri de 60'.
Problema 28, Se dau trei puncte .fixe A,R,B| $i LIn punctinobil M, todtc pe ceru O. Cure este pozilia lui M pentru carssuma BU+B M-AM este maximd sau ninimd? Cazul parti-cular cind AB:AE.
Ducem clreptele AB, AB' , AII, BM, B' M (lig. 60). Pe prelungireahri BM, luim MC: B'.w qi unim C cu F. Triunghiul MC B' ii\ndfsoscel, unghiul B|CM este jumetatea unghiului BMB'. Cind Mdescrie ceriul O, unghiul BMB' rlLmine constant, deci punctul Cdescrie un cerc O', care trece prin B gi B'. Centrul O' al acestuicerc este pe cercul O, Ia departiri egale de B Qi B', deoarecetrebuie sd'fie pe mediatoarea coardei ?8, iar cirtd j14 se afli la
Fi, . { .59
intersectia mediatoarei cu cercul, conform construcliei, MC:il{ME deci rlf coincide cu O,.
.. Lulm pe .8C lungimqa BD:-IU Si punctul p pe cercul u,fa distanle egale de A 9i 8, pc care-l unim ca A,'M, B. D. Tri-unghiurile BPD gi APM sint egale, circi AV:-Bp, iar BD:eu
prin construclie ;i 4 PBD =.: 4 PAM, avind aceeasrmasff{. Din egalitatea aces-tor triunghiuri rezulta egali-tatea cercului Oo, circumscrislui BPD, cu cercul O, cir-cumscris lui APi14 qi simetriecu el fate de coarda fixA Bp,iar locul geometric al punc-tului D, cind M se misctr nr
." cercul O, este cercul bo.'Din iele ardtate oinA
aicr retese cdL DC=BC-BD=- eM + g M- AM,fi ca estede ajuns sa giisim maximul
aceste cercuri. Am ajuns din
sau minimul lui DC, adicaal coardei mobile duse prirlinterseclia .B a cercurilorO, pi O, $i cuprinsA intrc
ruoLr la problema 24._ Construclia este urmAtoarea: ducem mediatoarele coardelorAA, BB', carc laie cercul dat O rcspectiv in p Sr O,. Luam sime_tricul O" al lui O fati de BP. Coarda BM, pllaieta
"o UO,, n"
dd pozilia.lai,M co:espunzitoare maximului ciutat, iar coarda'8M,,perpendiculard pe 8P, ne va da in M,pozi\ia lui'M pentru mini_mul acelcea$i cxpresii.
_ DacA^A?:AR, se gdse$tc ci M este diametral opus tui .4rn cercul U Fi ce M' se confuude cu A.Probtema 29. Sri se tnscrie intr-un triunghi dat triunghiul
cu perimetrul-minin osemenea cu un alt triunihi dot.Fi9 AQC prirnut triurrghi dat Si A,BC, trifrrehiut cdutat. ase_
menea triunghiului dat AtACt. Circumscriem triunghiiilui ,4,9C, tflun_gnrul maxim ,428rC'r, asemcnea ct ABC, a$a cum s_'a 'arhtat laproorema zb. ln virtutea DrinciDiului reciprocitetii, trianghiul A"B|C.
fiind.maxim,. ,4,.8_,C, este- triunghiul millim asemenea iu.el i-nsirgi-inscris in ArBrCr, pe laturile BT. eA, lB luam punctele A,, B, C,,
54
se imparte acele laturi in aceleali rapoarte in care At,Bt,(r,laturile BrCr, C2A2, AzBz ale triunghiului .4282Cr. Triunghiuleste triunghiul minim ceutat r).
Problema 30. Pentru d insemna o foaie dreptunghiularoABCD dintr-o carte, un cititor o tndoaie dupd o linie dreaptdaare uneste un punct M de Pe margi-nea de sus AB a foii cu un punct Nde pe marginea ei de jos. Cotoruleddi este AD. Sd se aleagd punctele -M Si N astfel tr, dupd indoirea pe 6r.linia MN, coltul B al Joii sd iasd citmai afard din carte (fig. 6l).' Problema are doui variabile: po-zitiile punctelor M 9i N pe marginileAB si CD ale foii. Sh presupunem deo-camdate punctul N lix. Indoind foaiardupi linia dreaptd MN, punctul I vineln B', simetricul lui B fatd de MN, giavem : 8W: BN. Oricare ar Ii punc-tul M, luat pe dreapta AB, virhtl B,.dupi indoire, se va a;eza pe arcul decerc cu centrul in punctul N li cu raza.N8. Acestarc taie din nou pe AB in 8,.
t t lcFig. 6l
'Cea mai mare departare de la un punctal arcului dc cerc BBB, la coarda sa 88, estc segeata PQ,a ca-rei prelurgire trece prin centrul N Si estc perpendiculara pecoarda BBt. i s.:l$.ih
Deci, pentru o pozifie oarecare a punctului N, dreapta Nlf'duDa care trebuic si indoirll foaia de hirtie pentru ca B se iasacit mai afari din carte, cste biscctoarea unghiului BNP, iar maxi-
, :mul lui N-Q este egal cu.\[J. Daci variem pozilia punctului N pc
DC, lungimea iVB cregte cind N se apropie de D gi are lungimea.cea mai ntare cind N sc coniunde cu D. Culn NQ * N8, punctulQva ieii cit mai in afare cind iV;;B va fi cit mai nare, deci cind Ncoincide cu D.
De aici rezultl ci linia dc indoire ceutati este bisectoareaurrghiuf ui BDA. Col{ul B al foii va ie$i alari din carte cu BD- Be ,care este maximnl ciutat.
, r) Se va folosi omotctia pefltru infclegerea nrai u$oari a constructiei'execulate {N. Red. E. T.).
J5
8' 0-r--}.---
S 6. PROPRIETATIE UNCHIURTLOR $T ALE ARCELOR.
- Cu ajutorul inegalitaiilor dintre., ur rghiurile unei figuri sau atfrXl:l.:'#'fi: ;:Tllf,.'ti:"'*fli'"' iiil;iii,iir#,""J'fii',1,or",
*S-*,lii****5*tr#[tr-iilffi,,,,:!::2'iq:r,|l;,'i,:,,f;'::';;,u!,,,"u1i;1!l!,,!f :,r,.,*,,<r'g.sifl f*.-"ff "iii:J;,?,"^t:l;til.,.x":",{:Jlitla
. , deorrece al t fe l solut ia ar l i
stinqa, acest unghi descreste pine cind C ajunge'in / 9i cind'ul ii inge minimul sau, zero,.ii_ de aici inainte,q.$: p.t11_",9
liuiee in C,, simetricul- tui C {ale de L ln continuarei&ae.'. ProUema admite a$adar, in general' doua maxime
;l un minim,Uneori se dau acestei probleme enunturi practice, de exemplu:
ttr se siseascl din ce punct al unui drum drept-un caEtor.vcde unooJ cf? tai mare, sau b cladire cit mai lunga' Se cere altcori se[- eai.u.,i punctul din care, privind o statuie alezate pe un soclu'rl ii se oarl cit mai inalta etc.
Problema 32' Se dau doud puncte A, B 5i -o-.dreaptd DD"'
treAn-a otitie ele.'Se cere sd se 'gdreascd pe DU un punct C,astiet cit unghiurlle BCD si ACD sd oibd diJerenla maxtma'
Fie .R simetricul lui B fate de DD' (fig. 63) $i P intersectialui 88' cu DD'. BC 9i I'C sint sintetrice fatd de DD' gi avem
?K\\ \ ) ,urui ,DuPd der in i r ia rnaxi-
+K-')/, liltt: it,:;'!11ru,',',",fl\/ €f,,3,"1:,,!,, )Xtf.iiiFiii
Ftg. 62 scriptib.i,l. Dace ludr un pun"t
o' banala: prn.tot .iui"t ii ticnt.tr t, iar unghiul maxim.ar t t de I90".
{BCD' :<E CD. Rezulti de aiciegalitatea unghiurilor^lor suplimtn-6re aBCD gt+ B'CD.
Prin urmare. in locul diferenteicerrrte (< BCD - < rlCD) Putemsi luem diferenta ( 48'CD-4ACD). 0-Dar aceasti diierenti gglg 4. ACB'.Se vede ci am ajuns, astfel, laDroblema af l i r i i Pe DD'a Punc-.iutui C din care distanta .46' s{ sevadA sub un unghi cit se Poate demare, adictr la problema ,precedentd.Punctrl ceutat este punctul de contact aldus prin punctele ,4 9i B'.
I o.e ^Dp' intre C; Ei'L.", eicare se inscrie patrulaterul. ur qhi,,r rntJj11.
itt Lrkrio'ur cercului ?nghiurtte AL,tt $i ;a;; ;;;";;ij;1;,^::
va rr mai mare derit un-gisirea ur or u.ir r o. inii,'i;;;"'" ^''
La sa nu mai fie ctr Dutrr)l,ieducii ra un-pun.t' ;; ;;i;;ilJl:l""liii;:gXIl,.^93'.J'ebuie sa se. . De aici, totul'a'r -o]:I,,i ' i"Ptd uu sa llc tangerrli la cercinc.
lX" "1,:T,:. ! !,.,- ir;;.;; ^ ; i,T:l*#fi .,2" *, j' .1, .::# J, ffi il jquBrt|ur /tLt' esle maxtm.
Determinarca punctului C. se .poate face- ohservind cii, dinasemanarea triunghiurilor tAC g tCi, _", lir:nx#luui., ie
;T'.fiii1,fl::'errica intre a ei Id g ." .u poat"'co;;;igr"-ln cazul cind dreaota AB este paralrltr ct DD,, se deduceimediat -a p-un:tul.de contact C ecte pe meaiatoarea segmentului ,._d-U dtrcufie simpli ne arat;spre dre aph,' ",si;i,i ;eB';.3.i1uil"1;:,i"11df J: fl,:;r,h?rg
Fig. 63
cercului tangent la DD
Problema !Xi. Se dri un cerc Si un segnent de dreaptdexterior. Care sini punctele de pe cerc din care segnentul sevede sub un unghi maxim sau tnintm /
Fie O cercul dat gi AF segmentul dat (fig 64)' Prin '4 $i ̂ B'aoc"r
".r.orii"-fi' ql'd", tangente exterior 9i Interior cu cercul O,
Dunctele de cuntact tiind C' fi C". Vom dovedi ca' dinlre toate6un"i"i" a. p.
""rcul O, C' qi bo sint punctele din care '48 se vede
!"u-o""tti"t t.t mai tire $i cel mai 'mic' ln adever, oricare alt
ounct I de De cercul O are virful unghiului /CB in inleriorul cer-6utui O" ii ieci 4Ac B> 4AC'8 (v.-teorema X). Pe de altiparte' 'iiiiit unehiului ,4Ca este aiartr din'cercul O' gi deci {'4CB estemai mic lecit unghiul .4C'8.
905'
,r,"."r,?':,*T;ill"1f . j.';dili.xl?i,i,il,ll,i11hebuiesevalorilor maxime pi minime cautate ale functiei, dam dinainte tunc-tiei o anunrita valoare, Dupi ce ciutem valorile variabilei pentruiare functia devine eqali cu aceasti valoare, facem o disculie din'care si si vadl care- sint limitele pine la care pot varia valorileDe care le putem atribui {unctiei pentru ca problema se admitaiolutii. adice Dentru ca Droblema si fie posibiltr. De aici gesimcare'sint valoiile maxime Ei minime ale func{iei, precum 9i valorilecorespunzetoare ale variabilei independente.'Prin aceaste metodl se rezolvi de obicei problemele demaxim gi de minim in algebra elementara, dar principiul metodeieste aplicabil !i studiului geometric pentru multe probleme. Exem-plele urnretoare arat6 cum putem lolosi aceast, metodi in geo-metrie.
Pfobema l}5. Se dri unarcdecercsi se cere sd se gdseascd ptcl un punct astfcl ca suma distanlelor de la el pind Ia extremi-tdtile arcului de cerc sd. fic naximd,
Prin simetrie probletna se rezolvatoarte u$or; aici insd vom arata cumse aplici metoda generale de mai sus.
Sd lnlocuinr, ln enuntul Problemei,maximul ciutat cu o valoare data s,adica sa ctrutam pe arcul ,48 punctul C,astfel ca se avem Fc+bt:s 1tig. oo1.Prelungim pe ,1C dincolo de C cuCD=-
-ea li ducem dreptele CB 9i BD.Triunghiul BCD fiind isoscel, avent
4CBD:4CDB, 4ACB:a:CBD++CDB: AlPg: )!98 .
Dar unehiul ,ACB este constant, fiind inscris in arcul da! Jeci giunghiul",4D.B este cunoscut Si constant gi, prin urmare, vtrlul luise gAse$te De seqmentul de cerc descris pe ,18 9i capabil de jumi-tate-a unghiillui /t8. Construiln acest segment de cerc dup, metodacunoscutd; centrul lui este in mijlocul / al arcului lB.
Din construclia flcute rezulti ce AD: AC+CD: AC+C8:s.Descrienr un arc de cerc cu raza s si cu centrul in .4 care taie seg-mentul construit in punctul D cA[tat. Problema mai are in general'o solu{ie, deoarece arcul descris din A cs ruza s mai taie segmen-tul de cerc $i in punctul D.
Si discutlm acum aceaste probleme. Este evident ce trebuiesd ne dem s>,48, fiindce in triunghiul ,48C, o laturi /B este maimice declt suma celorlalte doue. Punctele D $i ,' existd numaidaci cercul cu centrul ,4 5i cu raz:r .s.'.48 taie segmentul de cerc,
.0Fig. e+
Fir'. 65
'WruWmf,;,W'uii:'w".,..?rl:,l,:;:#fi ,,i:,"*rti*r;#,*#:",*?,ili,:,1*Jllil,'gll;gig",;'r;:l_? j;ii""*r;i;i;i ;H; ?T, H:1. 1T.*i
i9",:..!,1.:,1,",' = :a : rr tE xk : t uffii_,;;.
;;iil{i.,1{.';i',frtfr :llTff ;fiiffi,,ifl*ff;:i"i*,fo. " JTSl:illl ld#, !:i#.'"01?l;"13.?,","1T;,11" oil:f ,",1;*i,,:i _,{;"xi
_ Fig. 66
";$1tt'$-tiTtSb?I"'J illlT:.,_?lf#"lji. T:ii::lg,^q'-11ar pentru a gasitunctiiror, esie ii iir"".'"iiii T,[[L# *l; _maximele $i mininrele
arLa rn care, in loculr) Cercul din sfinga n-a mai fost figurai,
5859
*"r, 9_"9 ,raza sa. nu este n ai rnare decit diametrul AIM al cercu_lul dus anterior. Ac€sr diametru este, a$adar, maxinlut--iui i,'tui iicorespunde. pe arcul de cerc dal, pu'ciul /.'tnsi"j,U;i: o:lMB,oecr 9r complementrle tor aIB,4 9i < re,, siniigJe.'aion"T.u.n1AI:BI $i deci punc.ul / impar.te arcrl AB r" 0""'j piiii-"gir..
Problema 36. Sri se inscrie intr,_un..cerc ddt un triunghiisoscel,.astfel ca^surna bazei gi a ir.dUimii ia- tii"*"r,ir:ii,,,_ ::?
c-€r:ut y cu raza r qi tri,rnehiul isoscel ABC inscris in el(tig. 67). Existenta undi maxim oentru 1rC + ;/1i po,,t" ,trUifi. r. t i astfel: Slr. mi$ciirn pe BC iaralel cu el; :_..-. . . "-: , , , ,r :d, lr pc DL lJaralet cu el
; Insu$I.. Ci,rd BC trecc prin .4, suma
/ s :8C-r- aI - 0; cind BC trece prin O,avem s = .BC+. A/:2r . r:3r; cind BCtrece prin .4r, punctul diametrar oousfui / , a ' ,ent s-- BC* - l
-OL2r....._^ Cind / parcurge nza AO, atunci6L creite, ,4/ cre$tJ $i deci s cre$le-
Fis. 67
Sunra s pornegtr ire ti varo .rei iiiili.'dzJro $i dcvinr) 3r cind / este in O: Deai:i i[ainle, .BC scade pulin, ceci el trecePtill,,ll"*i.rll sav 2r, iar // cregtesenslD , dect s mai conlinud citva a
:r:!te. Da.r el ajunge la 2r cind / vire in .4;, i.c "'i'li".ut
p.in_tr-un maxim lnaiLrte ca 1si ajungii in a'.Si presupunem acum cd ne ddrn un anumit s $i ce vrem sa
construim triunghiul isoscel ,48C, care str aibe FC+ ri1:s, pre_lgqir, pq AAt ptni in D, aga ca_se avenr :D:EC. Ou:.m i,, ,atangenta la cerc. Dreptele DB si DC taie aceaste t"ne.nii' in Esi F.'
Aseminarea triunghiurilor BCD gi EFD ne de -!9_ - EF
Dar BC: Dt, deci EF: AD: Ar + ID: 6C + AI:". il,n #rr",TE:LT: js. De aici, rezulte urmatoarea construclie:
Pe un diametru AOA, al ,cerculai ludm fD _ s ; pe tangenta
in .4 la cerc laem aE:AF- { s gi unim punctele .E gi F cu D.Aceple, {rgOte taie cercul ln punctele B $i C, capetele bazei tri_unghiutui isoscet ceurat al carui virf
"rtu in 7l Cr.ulr.r""rnll
"r*o solutie, deoarece DE si DF nai i"i"- "1,",,i
'.t ' r"";-':l ;'".da" ;i'*igh'i,rl-l;,
nai taie cercul $ in 4 9i cr 9i ne
60
Pentru ca problema str fie posibile, irebuie ca dreptele D8'9iDF si taie cer:il, deoarece altfel I $i C nu mai exijta. Pentruaceasta s nu trebuie sa depa9easca maximul siu, care corespundecazuf ui cind DE gi DF si rt tangente la cerc r). ,4lz^este riun-ghid ceutat. ln aiest caz, dislanla OK de la centrul O la DE 1ibF aiunge s{ fie cit raza r a cercului.
Triunghiurile dreptunghice OKD gi AED au unghiul din D
comun $i deci slnt asemenea. Avem -{ - -lut ' D^, OD: ED-OD DE.
-Ao:s-r ;Te: t l r ; Drz-eE'+aff- {+ ' i +sz:5s-, deci- -ra rI?
FE: !:!. De aici, deducem cd uK:(s-rl:o" ' Conditia de po-
sibifitate a problemei este deci 1r-r1l! zr: deci s ''(l+r/5)rsa s 2-3,236.,. r.
S 8. APLICAREA TEOREMELOR PRIVITOARE LA VARIABILELEALE CAROR SUME SAU PRODUSE SINT CONSTANTE
Vom da citeva teoreme, privitoare la functii cu doue sau maimulte variabile, avind suma sau produsul acestor variabile constant,precum gi alte teoreme in legetura cu ele Unele din ace.ite teoreme.iint orodrii Dentru a cruta maxime, altele pentru a cauta minime:dar irin invirsarea f,:ncliilor le putem aplica gi pe pdmele la mi-nime, iar pe cele din urma la naxime'
Teorema Xll. Produsul a doud variabile' d coror sumaeste constantd, este mtxim cinC factorii sint egali, sau - ddcdnu pot fi egdli - ctnd diferenld lor esle minimd
Fie un segmcnt de dreapte 48, care reprezinte suma a doifactori A? gi S-e 1fig. 63). Pe AB ca diam€tru descriem un semi-
cerc gi in c ridicim perpendiculara cD' Unim D cu A gi cu B'
ln triunghiul dreptunghi ADB avcn Ac\ ST* C7.'Proausutdin partea lntiia va fi maxim atunti cind CD va li cel mai mareposibil. Unim D cu centrul O al cercului $i avern CD l OD' Deci
maximul lui CD este DD-, adicA raza cercului, valoare care sepoate atinge lulnd pe C in O gi pe D in E, pe perpendiculara
r) Este util sd 8e observe ctr aceste tangente sint paralele cu dreptele
DE Ei DF, cdci atunqi cind variazl s, catetele AD qi AF variazl gi ele daln mod prolottional
6l
dusa in O pe AB. Dar atanci, AO-.BV:,r!-.48. Agadar factt,rri
"*"':::"r:.::1,._y,l:ll,,o"r este atunci d!_2 : o e, : I e e ;"o.i:::i::011"
mersecu c pini ta o, atunci nu oirir-.it:i:3',111. g: o,*"rrg prin apropierea_d"' o i""glr.rii'#lll? j,:.,,, "Y,'I.-T T : 4 -F sij o - ee _ o n'.
^iffi. ;;;:*1911' - jb:".:ir ct O.a:oZ", ."*, n.'.arjn.^-zbC..
; g1-, j.;^?":.i " E :l,ti'", ni, o a,tl ;,,",."i1',ill#';;i,Lt9,Ji,?"..,:l,ca,,rronremiiami-tJ-ii,;"Ji;:iil'f,ff :",:$l,""ol
:i,rll1-l"i C,. dimetricur loi Lr1a1a oe O.f.* r:1",'l^:f:.*:
I'l F sa se vadi ci egaritatea rac_torilor- nu este rotaearina foii_bilE._, Si ne propune, p;.di;,umndtoare:
girile lui A8, la dreapta sau la stinga, adicl atunqi cind diametrul
tC'se roteqte tn Surut lui O' iegind din unghiul '4O8'
Poirivit teoremei Xll, daca suma a doi factori variabili.x $i y
este consianta c, produsul xy este maxim cind x:y $i atunr x/--
: l. 62. Uneori, pentru aplicarea unor astfel oe teorcme' este nevoie
de I preqitire a expresiilor cdrora le ceutAm maximul' Astfel'
iinit" o "fini.ioasi 'aplicare a teoremei XII, este bine sa punem
!*oi"ti" "i..i"
il ctruiim maximul, sub forma r(c-r-)' care ne
iiilfi; il; f;A"ri6; x si c-x este constanta c $i ce produsul'
devine maxim pentru x:c-r' adicA pentru r=- -, '
Dactr am avea de studiat variatia functiilor mx (c-r) sau
x f.-ni), in care m $i n sint constante. in prilnul .caz am suprlma
i":i;i; 'i".'i'i"liipi,i al $i ne-am pronun!:a imediat c5 maxinul
are loc pentru x:! Si ca el este egal ca mfl
' 1n.al doilea caz'
lnmullim tunctia cu constanta n qi ea devine nx (c-nx)' proous
care este maxim pcntru 1a=' c, sau x: fil valoarca maximului
c:tunctiei date la inceput este i;
r)'
AceastA leoreml se aplici $i in cazuri nlai compiicate' Un
asemenea caz avem, spre exempiu,'atunci cind- lunctia se p,rezinti;;"r;'; hx+n\ (;-ox\. Atunci, impir$m lunctia cu mq $r ne,,,n i;;""fi;;;'<i:qil. elunii, rmpargm tunclia cu mq $i ne
a.tne a" studiat produsut (t * l,) { | -t) "utt
are ca sume a. Problema 37. Se d(t un cerc O Si o coardd AB. princentrul cercului se duce un, o o, a o ;ri' i i' o. b, r' ",, i i,i lf fi* :, ":,:r:; T ; : f :;,' ; : ;; :" ::,prorlus e'DxeD si yie maxim?
Unrrn 4 Si I cu centrul O (fig. 69) $i notem ctj r ra?Acercutui. Dacd diametrut COC, se gis"egte in 'ungfriui' i OA ,ef
taieco_arda" intr-un punct D intre .4 gi B.. Avem eb+ClO:-eC:Zr.suma tactorilor este constanta. Maximul proau.urii"u, iui, ro.cind diferen{a tor O-O_aD:|OD.va ti ,cit ',nai
mrcr. f"" ii"""f,cea mai. mica dc la centrul cercutut ta un punct al unei coarde esteperpendicutara dusa din cenrru pe "orraej
o.i, aiir"iiii iiutat,care face ca produsul
-OXCtl
sa fie maxim, .* Otl O*"-dicutar,_ p-e, 18. produsul F-E * FE nu ,.. tr.torii .".1i. ' ' "''Daca punctul C coincide cu ,a, punciui'D'"ste-'ii ef in e qiCD:0, deci produsul esle nul deoarece ,ru on t."to.''nui ^la.lugit,:_ll_d c este in .8. In aceste
"^uriOD-_tiJz..''pio"*rCrD > CD cregte nemerginit cind D se A.pertea"a au -U'0.
Or.,*_62
factorilor constanta { + f' Maximut- r ln , t l
: Pd -x. sau cind , : i l i - , )
are loc atunci cind r- + :
q - ' ' ae 'cautat maximul lui xlF -xt'Si presuPunem ca avem-
tn tocui dcestei functii putem (v' principiul 5) sa studiem. petratul
; ;+-;;t;re eite'_maxil cind rlctorii sint egali' deci cind
x2: c2- x2 sau x--C# .
Prin miiloace ales-e de la caz la caz fi uneori prin--inverseri'
out.- .ao."''.ipt..ii -;;tt"l
de c-o.mplicate ia forma simpli x (c-x)
ii i. port" astfdl folosi teorema Xll'--ll
T*tu cele ardtate alcl slnt vatabile pentru cazul clnd cei doi factori
p* oevenj"iiiri-b-itft drur re pogte_coqori,li,""T1i[",1i,i"*",',i,l"lf ;ft::i?"fritrtoare dln cazul cind lrebule sa neziio. i tactoritor' dac, ei nu por fl egali'
63.
.:1f""il1il?-1ft|"H,ll*a.'i,llili"ffi i:1r"ffi .1,.:x,l:":i:.T;Teorema Xlll. Suma n;;"nti;i'&ii!i;m"i:i;:ri::!tf!:'x[:::!ii!'":-
"r, uj"fl tto secanta mobitl ACC,,
"u.. u ,juo;n"fliJ*
Ducem prin,4 ;r"d;au, care taie cercui ir
C gi C,. Se gtic
Fig. 70
ci avem
ll]_*_::": pe.Io ca f7ff)diametru. Coaraa Tt iacestui cerc descregtJcind / se
td : AO " fr ; oV : l'-: p "
B P' D P" : A' P' x E P " "' nsp' c .u
:-:Tp:-O'tt:..',
deoarece dreptele L.Si L' sint. parale^le^' ^Deci
il""tGrl lit ptit.i-dr."pti ate'egaiitalilbr de mai lus sint egale'
Sumele factorilor slnt insi -nn, TE ' N 8""' Cea
-mai mic5
dintreloate este A& Atunci, triunghiul ABC este isos:el 9i avem
€gafitatea tactorilor TO Si BO.=
Observalte. Teorema lezulttr u$or $i dln analiza urmdtoarei identitdli
( a +bf :la-b\z +4 ab'
Peltru ca membrul lntli sd lie minim' tretruie.ca Si T"Tlt! 1l-9til*ie fie minim, dar acest memDru
"oniioJ"ii;iruiul 4ab' cdnstant prin lpotezd:
iai a, u""i,'.a (d-b)2 trebuie si fie cel putin Qi el mi m 8au nul:
o -h:0: a=b.
Teorema XlY. Produsut de trei factori a cdror ̂sumd este
,"r'tirtX,'iiii iii*ii tii,i i'i trei loitori sint esdti tntre ei'Aceasta este o generalizare a teoremei Xll'
Reorezenttrm suma prin segmentul de dreaptl AB (lig' 72\'
Sa {Ssimpe acest segment doue puntte
C gi D, astiel ca segmentele AC' CD ) - i - in.---V
si DB se reprezinte cei trei factori al -
Ia."*t"a* ;f czl . -oa se rie Fis' 72
maxim.""-"'^Se pr.roponem ca am licut acest lucru 9i ci a-C este intiiul
factor;a;at. Punctul D trebuie str lie ales pe eE asttel ca pro-
a?-"i eD.frrr ii" t"*it deoarece, dactr am lua un alt punct D
;;-'"; -CD;r-DB2CDz@, atunci - inmultind ambele pirt
ale acestei inegalit6li cu ec -lm ^uua
E'-CD'^AB>IEv
xCOxD-g $i ultimul produs nu ar li maxim, gt:: presupus'
Ouoe teor"t^ XII rezuite ci trebuie si avem CD:DB'
Aceasta este reci_proca teoremei prece_dente. Acesteia i sepoate aplica demon_stralia datd cind anlvorbit de reciprocitate.Ea
-s-e poate demonstra
Insa roarte ugor $i direct.
qig. z5f u3,fl d;l:nx 4 afare din cerc.
,, ee x Ae, 1B x AE _ @V_ d_q@O + AE) : trA,_-oBdeci produsul TCxEe este consrant.
. rte / proieclia lui O ne _
1';"".'1.ri1ab'; ;; r: #':T",: o}:ry-, este miirocur rui cc,zat: aL I AC,.
aL - c'1, de unde, prin gf,unx1g,Ca si avem mini_
Si,'.:ff:,'T*#z;.,t, nlntm. Unim O cuJ. gt avem triunshiul
fi,?lill-i l#3;#!t,0
Fig. 7lonc I se depirteazi deLr, tar minimul ei esfr;J lfl,,# j",fl :1 ?nj:,"fT1*":"^0, j,ui,^c, se contundi in puncturtangentei .duse din j-r.-
"".."i"4."i;&,",,,1oljs1"!f",";{S'".".1"'1..u'i.-ol,"i'.,1i.'i'.^i1,"?",Y;,.r.;_::TcxAC,.
5 - .r'taxitne 9i f'lnime geomet'ice 05
._ Rafionamentul pe care l_am fdcut incepind c-u segmentul .4('p^enghi. n incepind cu bD gi va hebui si gisim tit astfet calu:^L..t)_! aceste douE egalitAli deducent ca lA:Ctt:btt.
;:?ffi ':i,f "0"I|'"0":,L#XX11;,",# timpi rli t in I rei perti e gar e s i
. _. trebule inse ca impa(irca in trei pir{i egalc sa nu fie Int_piedicata de natura probiemii. sau ca faitor'ii ;i 'i,,i-fi.'irp'";, r.conditii care..ar impiedica egitiratea lor: altfet, oi" t.ut uill' .*r_cetem_lucrurile mai de aproi e.I eorema are reciproca urmitoare :
. Teorema XV. Dacd produsul .a tfti cuntittili variabile este.constant.,.sumo lor cste miiimd ctnrt lactoiii' iin'il.;;i;."-'', \-rurorul se poate intreba dace teoremele XIV !i XV nu sepot extinde gi Ia un numir de
rn seama sa se caute ,ing.o, ,a.l;,:l3ir. tai mare dccit trei. Remine
Cunt xzyr este co;lstallt' -surna
'xl+y2 este nininri-cind dite-
,.n1" ii-yi'este-cit -nrai mica' deci cinri x:y' dace aceasta ega-
""'' ,Rl3li.J',Jill',i|'''';. .poate da si unnetor.l enurrl seomrctric:Printre triunghinrirc areptin-gttiii er.hivaltnta' tri nthlul drept-
unghic isoscr:l art ipotenuza linl'T;"U.t proprietili. Fie (tig.74)
"" ..li'"o"rlili"J.1lliif I'f ii;r;;;; i" dt oini'-u1-punit 'r'il""-.t
" ,"..t,f ,4BC 9i not{m cu 1 mijlocul coardei BC' Avem :
ABxT-C: A7'?: const'
A d + AC2 - l'A I - n t 72 l- 1A t'r a I )'? : 2 A 12 + 2Et'z - z ( i{ t1 +Tr )'
Dar cirrd 1 se mi$ca de la O spre f' Ti ir nt sr'ad l)eci
minimtrl coresptrnde lui '4 ? ' Sl anume a'em -AB- AL' AT
fcorema ^vl
Daca suno pdtrotelor u douA eantittitiv a r ia b i I e e s t e c o nst a nt (i, r I o d qs u r. r r[o, i ii'i, i i o;; ;;"r r;; ;:o r, *rtunci cind factorii sint egali.Reprezent{m cele doui cantiteti va_
riabile orin coardele /R ci T7- t+i- ze,prin coardele AB Si ACB $i AC (iig. 73),ui triunghi drept-s aria triunghiului,
care sint gi catetele unui iriunghi ,48C. Notind cu s aria,u.rn
"- 44t 49a' : ' Dupa tcorema lui p i ta_
Tcorema XYl. Dacd sutno
f rg rc
Fis. z3 g.o r.a, avem A-82 + Ae2: Be2, deci triun-ghiul are ipotenuza constantd gi iezulta ciana sa este maxime atunci cind iniltimea lui .4D e;te ;e; marmare. Locul geometric al lui .4 . esJe insi semlcercuf b,a-C. Oirr_1,cea mai mare _ de ta un puno at s"ri."r"uJui'iilir'ii,.i*lilo ac:^.,,-.
t#*jr_g?, egal,i_chiar_cq raza semicercului. Dar atunci cate_tele 4C Si /8 devin lvt1 Si MB,care sint egale.
-.,- J99r"T" Xyll. Dacd pro^dusul a doud cantitdti vanabiteeste..constont, suma pdtrateto'r factoritor iJi i"ii)iiia,' ,iii, nr_toru sint egali., .* Age.asta este reciproca teoremei precedente. Ea inse Doate tituate. si.drept o consecinli a teoremei x,ilt, ,""ri"." p'."a"il ilj rii"aconstant, pi_tratul lui, xzy2, esre. oe asemenea constant, iar sumaractorifor, xz+y2, este niinima cind f"ct"rii';;i;;;i;. "' '- .
-r-'!;:;7i;:rrnai
poate stabili si prin identitatea (x24v212:
66
"",,,L1li"!,i,i"*ll/);,?,ifi"i''ll;,'^!f,";u'!1"1"""":''i"';:x:o'' :;';-
titdti stnt egdle.'.'-- il Ai on ..gt"nt de dreapta (fig' 75) reprezentind suma
constante 9i E un punct o"t"tiit'''tuit -ir impartd -in
doue parli
lE'J ge. Construim p|tratuJ ABCR $i prin E ducem -o
Err-
i"i^"ii r^ il-, iu, p,in ,El -. luat pe AR la distania.AE':-AE -
[i:#' p;;"i;;' E f u na' FieT.iniirsec{ia acestoi doui paralere'
ffi iliit* jn'"',h'lnrn:'t,:ni"l','n'J;:o'*',0"::''"'" .*;;&
mai contine 9i doni dreptunghiuri -9gale' nehaqura te
^uina'.i-aimentiuni pir{ile l-e si EE ale. lui AB'
-' - G'"t,t" rraeurate' :l I;-gffi "llif" ?,11i,"?i1lX1 r%pi;unehiurilor nehaqurate va ti ml
_:*__
*,-.:f rT"ll".:-1ii'r"idd* tl,v-;tg3'llll',gliifl'""ffii'$";e' vadic'
nurnere
67
eltj invariabil. Aria unuia din dreptunghiuri este AEXEE si _ cunrAEI?E este constanre, fiind eg;te ."" a-A _'ar;["i.r* *,rezultd ci ariile dreptunghiurilor sint maxime cind fjrrtif. ej j Afiil,,."flil,h.o::l"E trebuie sii fie ta mijtocul i"i-ZA'';;;';ilrn,_
(5)'"r: _)_ o-e.
,;' _--.1," ff ,?fl.:'J,otffi'h'ii'''et'i"i "aititli'F:- r , ;Bc,: (AB + AC)V.
i::. {l: u|' ' ', deoarece triunehiut 84,C,este lsoscel-
adice'AC:k:zns_zfie, oe unae,af : 2-14' sao Be: 4f'
deci AC:ZBC. Segmentul care se ridici la pdtrat trebuie $ fiedublul celuilalt.
Teorema XX. Ddcd suma a doud cantitdti variabile esteconstantd. Drodusul uneia dintre ele cu cubul (respectiv bipdtro=iiil ceteitai'e este maxim ctnd cea de-a douq cdntttate este tntreitul(respectiv impitritul) celeilalte.
Se demonstrerzi la fel cu teorema precedenta, recurgind lageneralizarea teoremei XlV, care a fost propuse cititorului'
S5 tolosim teoremele precedente pentru a dezlega problemelecare urmeazi.
S luliil; pe care Ie vom da aici rtu sint, in-g€neral, cele lllaisimple. Prin m'etode potrivit alrse, putem gisi altele mai simple ;solLiliile date au insi'ca scop de a limurl aplicarea teoremelorprecedente.
Problema 33. Se dri un triunghi ABC Si un punct M nto'A tvl'
bit pe BC. Care este pozilia lui tvl pentru sare :::- este minim?
,4D (tig. 78). Dupid o teoremi cunoscuta'
Aln': Bttl'+ nE i2BLIx ED.
Se ia semnul 'i daci unghiul ABMeste obtuz $i semnul - cind el este ascutit'
Din aceasti relalie deducem :
Y- :BM+ ^."- t_28D.BM BM
Ultimul termen este constant $i poate li indepirtat' Primii doi
termeni au prt dusul constant /d, -iar slma lor, dupi teorema Xlll.este minimf, cind lermenii sint egali' adicl :
de ande IlM2: BA', saa ElrI:-BA.
Problema 39. Se dd suma catetelor unui triunghi drept-unghic. Ctnd ipotenuza este minimd?
O solu(ie mai simold- frra ajutorul ariilor, este urmitoarea:Luiim triunghiul ABC, cu ,4_ !rO" (fig. Z6). pe prclungireaI:i { rrgl /+=.4c si unim D cu c. Avem 2eoc _iii6': qs"1i BD:AB+AC, adici BD rep^rezintd, suma
"ou.t"nta, 'auial
irrupdhatelor catetelor, ca.e se cLre i.ti mi_! nima, este egatA cu prrratul ipot.ni"ui, ir.
.A ,3^"_1",1Y1,-cea mai.scnrJe, Bt,, va fi per-
i ,. perdlcutara duse din B pe DC, care iace, \ cu AD an unghi de 45"..
,I-.- ,,, ^o "pT"l.,1lg,,
,qerpgndicutari din C
Ducem inil(imeaavem :
Fig.76
-^_^,I99."." .XIX. Dacd suma .a doud. cattitdli vd,.iabile esteconstantd, produsul uneia din
i:fn'_:,i ;i:;" " ; ; -;" ";:, :' :, :li ",1" !,,,0 fr?i i !, u " ii'i'f,!if ,ii,l,tr
"rt. o?i.
cere (tig. 77) ca AC2.BC sa fie maxim, cind AC+BC
, . - Existenta maximului este evi_
cenra, deoarece dacA C coincide:l A
".r1, cu B produsul esre nul,pe cind altfel arc o valoarc
oarecare.
Fig. 78
Fig.77
-* , ^ll,]o"ol acestui produs. sii consideram dublul siiu pr: caresa-t scnem sub forma
ACxAcxeAE_2Aq.Suma celor trei factori esfe 2.4^8, deci. constanta li _ dupt,leorema XIV -- produsut va fi maxim .l"A
-ti.-torii'-
"i, ii Je.ri,
68
-^ D2^" :BM,BM
69
Fie s suma catetelor .48 gi AC. Ridicind suna la pAtrat flapl ic ind teorema lu i Pi tagora, avem:
sz: TE + ne' +zlsxAT: ec2 +z4e x -Ac.
Cum s este constant, BC va ti cel mai mic cindenXTC va fi maxinr. lnsd, dupl teorema XII, suma
Fie dreptunghiul EFAH $ig.}01 inscris in 'triunghi:l -i3:
rti'..i.itur"i,'iciunuitriunghiryi,:':"*0"LL:i:*i:'":;
tffi x*lbll-$;il*"ilf'tit:i':#i*'ff i"f il"'l';'illprodusrlIactorillr
fiind constantA, acest produs este rraxim cina aA-nC- |Triunghiul dreptunghic trebuio sI fie isoscel.
Problema 40. Se dd un triunghi ABC Si un ltuntt D Ji.\pe BC. Intre laturile AB li ,4C se duce dreafia EF, paralekrcu BC. Care este pozilia dreptei EI-'pentru care aria triunghirtlui DEF este maximd ?
Ci existi un maxim este linrpede, daci observinr ci ari;r€ste nule cind EF coincide cu BC qi cind trece prin ,4 (fig. 79),
iar intrc aceste limite este o functircontinuA.
Ducem inill imea .41 care taie plEF itt J, Aseminarea triunghiuril 'r,4EF qi ABC ne dd :
, de un<le 2e: -B!!/4JAI
Daci S este aria triunghiului DEli,avem
s: -) nr- ..I: + BCxvjx
Dar -; ' BC $i ,41 sint constante, incit este destul si gdsirrrnraxinrul produsutui NXJt. lnsi suma iactorilor acestui produscste iniltimea constanta ,4/ a triunghiului dat $i deci, dupi teo-rema Xll, produsul este maxim cind AJ:IJ, deci cind EF trec,prin nrijlocul indljimii A/, sau cind E este mijlocul lui iE iar I,mijlocul lui /C. Maxintul ciutat cste atunci un sfert din aria tri-unghiufui dat ABC.
Problema 41. Carc este (lreptunghiul at ariu nnxtnuinscris intr-un triunghi, o laturti a lui fiind aseztdd pa o latunrdatd d triunghiului ?
70
'hiului ABC. -,,' l\.n..r.t" n" arata ca se gqti": 3t:?1"1 . #A .maxima a drePtungniutut'. Pe
r:illllH-"[',:'#:'11'ii,T':..::ll l:'"t th' - I t' ]
m'a"'tm "st" jumtrtate din aria
Aceasta ne arata ca se gbJin: ac::*:
illi"!"r"t'i"lii.it,eia tormi.si pozilic'
Problema 42. Stiavind huzo Pe
'i"#" 'it,""*ii"i dreprunghic' solu- Fis uu
dlillni'il' n:'l'J"' ;"J[i,lx: i.1'" 9:'"'i: :r::*.':'*J.Til;ldffi ,,{:"':;;,:*,.t1"'"l,Xl'tl''#i'Ti""uo',"llllaturile egale sint egale' lar
cPentrrr triunghiuril( cchihteralc' toate trci solulii le sint eqale'
sr: inscric intr-ttn triunghi. dut un dtcpl-
,iZ'iii'i)t'l,ii. i'ird 'i angonata lui sa
EF AIBc ai
AI
(m2-r n2) (a2 : h2l : (n la+nh)2+(n t - a\2 t )
Insi aria 6eC) : ! ; atia (BC E) :\ t aria ( A F E1 : !(!:!' !t"
(BEF, -$l ; deci aria (AAC): arla (BC t'') + aria (AFE) '
... ah qn , n(h_m\ , 14 . sau+ aria(BFE) rte de S:*" + :)-=- | 2 '
oh-ma+nh $i identitatea precedente devine:
(m2 - n2) (a2 + hz): (ah)2 Y(mh-na)z'
Cum o 9i ft sint constante' rezulta ca minilul']i !t'': I'" .-ltirr" roi"oauiaiu 'l
expresiei rn' - n4' adica attlnci cied ltltI-rtu-w'
n,,"*,)"$f,:3"1i.;"0:l;. "r.'*"tli?fi",:'Jni:l.1",1f #-;l'f,"'"J'#:?l{'1 l'-:i'litii1l
sau cind -IL : f. In acest caz, printr-un calcul simplu, ded.ucenr c,rr;ah25
\42+h2 1'l a2+h2unde S esre aria triunghiului dat ABC.
Acesta este minimul diagonalei atunci cind asezdm oazildreptunghiului pe latura BC a iiunghiului. Valoarei ac'eilui"mir,i,,,depinde deci de marimead a acestcr
observem ce avern ln membrul drept un prgdqs d.e doi faciori a'
;;.ffit este constanti (egali cir p)' -'Maximul
are loc clnd
ii.sti aoi factori stnt egali, adici atunci cind
sau- 4r+ : P-2r +2h+nr,
care se reduce la r:ft sau laZr:h*r' Aceasta ne arala ce inil-
timea-totala a fisurii trebuie sa lie cil latimea ei't"""-r" '.i""ri.i"-ru iniitn.rt. uneori problema sub forme ca
aceasta :O fereastrd dreptunghiulard se lermina sus cu,un se,mtcer('
pentri ii lungime iotali de toc de lereastra (sau de cer-
";;;i; i; caiul unui singur geam) ivem lumina maximd o
ferestrei ?
Problema 44. Se cere minimul perimetrului trupezului isos-
cel eircuntscris unui ccrc dat.Sa fixam directia bazelor ,qB Ei n'E !i se presupunem ci
laturile neparalele ($i egalel A-F Ei Bg, tangente la acelaqi cerc'e?nt vzriahile lf is. 83). Fie I Si T'punc-sint variabile tfig. 83). Fie I qi f'punc-.lefe for de contact cu cercul 0, iar C $i { l 4'
l ' . ;) ' : +
A latari li de mirimea /, a indlfinri,,,1 corespunzAtoare. AIta va fi valoirc;r
,,/ ^l\ minimului cind vom pune baza dreDt
/. " l,\, unghiutui pe fiecare din celelalte doua\-- ,fii laturi ale triunghiului. Atunci, pe car"-\; I l\ tatur, a triunshiului trr bure isezat;i-
\ ,l
\ ?qr" dreptunghiutui? Se va puirg f.,i....1 \ tatura care face cit mai maie sunraI I D t patratelor laturii Si a inellimii cores_
Fig. 8r R*i1"-?'::"il'i^ca, numitoruJ luir/fiind cel mdi mare, d sd .-uitu ."rmai mic. Cum insA
a2 + h2: (a + h)z_2ah: (a + h)2 _25
:i_:"r S. este acelagi in toate cazurile, rezulti cd. se va lua laturacare, cu ineltimea corespunzdtoare, oa iuri ".i
,ii ;;" ,,
Probfema. 43. le o laturd .o unui dreptunghi ca dionetruse .constr.uie$te in afard un se.micerc. pertir- ii"iriiriiii',,o,o,dat at fig-urii oblinate (fig. 82), care ,rt, iiri"^'utiiiii"iiciirrztFie 2r baza drenhrnohirtl 'r i a-.t i
^., ,.rte 2r,baza drepfunghiului, egalecu olametrut semicercului, ll inellimeatul, p perimetrul total 9i s aria t6tale.
Avemp:2rl2htr;
S:2rh+ !:r@-2r-=rr)+
*'t :,V-p* 1,1.Inmulfind ambii membri cu (Z+ ;) auem
fi-proiec{iile centrului O pe ,48 9i,4'B'Avem:
nr:E:Ee:srj siru -A'c1 : a'c' :E r"
decip:4(AC + A',C',),
egalilate care se mai Poate scrie:
(TT +FTr' : c a' + (ac -De )' : (Pe de alte Parte' avem
unde P este Perinleirul''Se ueaem cind paranteza estd minimd' Existenfa um:i minlmr
"st. e"iaenU, cici suma din paranieza' cre$te peste orice limita
cind / se aproPie de C sa r A' de C''Fie D proiectia lui Ar pe '48' Triunghiul AA'D ne di
eP:Ad'+o7',
Fig. 83
zeOf +18-e'C1''.
72
(z + ;) s :[(z + +ll. p -(, + ;1,1, $ - <TE + TU l' :Ae" +T a' +zR xTo :
7S
Cum insi. Ae
-Aia, : nr + ,q'r,
puten egala cele doui rezultate de mai sus $i avem
a( 1 ary2 a 2 4g :,:.-,q e :,t-C d + ACt + l, C, - z AC . n' C',
de unde rezulti ce Ae xn-\::CO'. D"oar.c" produsul acestorfactori este constant, rezulti (ter_rrema XIll) ca sumd lor este minima(deci p este minim) atunci clnd factoiii sint egalir). Dar cindAC:n'e, trapezul devine patratul circumscris ceicului O.
Problema 45. St tld triunghiul ABC Si punctul M, mobitpe latura BC, care s? proiecteazi in P Si e'pe AB si pe AC.Care este ntaximul driei triunghiului. MPQ?
Patrulaterul APMQ -are ulghiurile din p ,si e dreptc :;i pnnurnlare este inscriptibil. Unghiut stru din M estc constarit, ci fiitdsuplementar cu unghiul chn .4 al triunghirllui. Deci aria triunghiu-lui MPQ este proportionald cu produsul IW,.frQ... _Ducem.(lig. 9t). irrillimea // a triunghiului dat. Triunghiu_
rile dreptunghice ABI ii BMP au unghiul-din B comun, iailri_unshiurfle dreptunghice AC I tt CMtJau unghiul d in C comun. Deci :
F,ie (lig. 85) OAB triunghiul $i D7 inellim"a lui. Avem
Sub aceasti formi se vede' dupe teorema Xll, ctr produsul
este maxim cind d/ : \' -o,l'
" o Oi :9+? ' Aceasta ne con-
, duce la :uurl' ,, deci AB :OA {2' Agaoar, '48 este latura
Datratrlui inscris in cercut dat. Aria rninirni este + OA'?'
S- +TEXOI:41x d/. Triungniul dreptunghic AOl
: Aitr -olz, decis, :Tf x par__of).
tiile initiali Si finali se Pot in-.. locui una Prin alta.
i ' i ' \
ne di Ti'z:
Aria este nule cind .48 cste un diametru al cercului. -sau cind
,qr "ti.ltu""ii"L
."rc. Dace arl presupune -ce
aceasle coard5
;;;;;; priul.r "o
ea insasi, de la tarrgenta in r pind la. tangcntair' r;.;;;i-;;i^iri,rngtriutui ABo are ialoarea initiala nula' ajungc
la un maxim cind ,48 devine latura pAtratului inscris in cerc' apoi
ia on *ini. cind A-F este diametru al cercului' cre$te apoi din
.nou pina la un alt maxim cind AE rrcilPdtii lunsimea laturii-patra-tului inscris si atinge valoarea finaldnufd in Pozilia tangentei T', Pozi'
MP
de unde, prin inmul(ire, gisinr:
MBXMC MP /. U-Qfi2AB t. AC
r) O solutie mai simpl?t rezult, de mai sus. perimetrul estc rninirrodata cu pitraluf sau (principiut Sy. Oat !'- = 1m aln'f12-tCO2 +1TC-T.'l1z
e8le, evident, rrrinim cind 7d=FC, deoarece 4dD2 esre constant.
74
Dar numit('rii sint constanti, deci maxinul lui fuPXMe' areloc odatd cu al lui
-MBXWC. Suna lslB+ fie :BC este con-
stanti, deci maximul produsului se obfine cind ME: MC, aacaatunci cind M este ta mijlocul lui 7L'.
Probfema 45. Care este triunghiut cu uriu maxind, avtntlea baza o coarda a unui ce,c dat ti virful in centrul cercului ?
Problema 47' Cart' este dreptunghiul cu aria- moximd'.lnscris tntr-un semicerc Si cu baza dSezald pe diametrul acestuia?
^, MC MQ) l -
AC AI
MTJAB
Fie AB diametrul li CDEF dreptunghiul
iniltimea Oe-n. Owem raza OE 9i - din.deducem OD:l r2-h'?, uttde am notat cuAvem acum, noiind cu S aria dreptunghiului'
F is.86
inscris (fig. 86) cu
triunghiul ODE -r raza semicercului.
S: C Dx DE:2hl-2 - nz, 32:4hz (72-hz).
I t )
Insi, suma tactorilor ftz qi rz-hz tiind constanta 12. 52 va fi. . 12 imaxim cind h2 : 2 saa h:, X . Latwa EF devine atunci latura
pdtratului inscris ln cerc. Dreptunghiul este o jumitate din aceJpdtrat. Rezulti ci S:r2.Problema 48. Se da un cerc O ,i un punct A, Se ductpri1.A.o secantd care taie cercut tn B si C. c'orr-irii' iiiimut
ariei triunghiului BOC, clnd seconta se roteste in iurul luiti et. ln problema 46 am gesit ce coarda care di triringhiului ariaInaxlma este latura patratului inscris ln cerc. De aici r6zulti con,
egan cu| (Af'+ ng), lat AB este .inaltimea trapezului' Daca S
este aria trapezului, avem (fig. 88):
s: l<nfi + nn A's :Oi \ A's :2 axa (oA' B'l '
Problema s-a redus la a gisi maximul ariei unui triunghi care
ur. ""
d"'ri"i *aide a unui ciic ai ca vlrf centrul cercului' adicalii ..ee;iit"ti."t'^ a6, unde s-a stibilit ce A'g trebuie.sd lie latura
iiillift"T'i'"'tliii'in -"it".
tvtaximut lui s este deci dublul celui
Earii'ii,il"', -"di"e'i2' sau aria ptiiatului construit pe raza cercului
Iat.Daci iFeste mai mare ca latura petratului ins-cris in cerc'
atunciivJm' pairu-soiu1ii, aoua iite doui simetrice iata de dia-
metrul A-E $i late de diametrul perpendicular pe '48-Dacd trE este egal cu latura patratului inscris' solulllle se
."ao. Tiiooi, ti;;tftt fati de diariretrul A8' In acest caz' trape-zul devine dreptunghi.
Cititorul poate gisi ugor c6, dac6' AE ."t1: ,T,1-1,, mic decit
latura pitratului inscns, avem oe'ai"menea doua solutii simetrice
o;';"l;;;;;i A:8, maximul avlnd loc cind. {.'l' ei 86' sint
;J'd;dffi;;^;""7.e', in."ttii'i' ' insa'- iniltimea trapezuluimaxim. care devine dreptungnl, nu *ii
"=tt egali cu-latura pitratului
inscris, ci cu A.B.
Fig. 87
structia urmdtoare (fig. 8i):Inscriem in cercul dat un Ddtrat
Si in acesta un cerc O,. Din A ducemtangente la acest ultim cerc. pirfile lorcuprinse in cercul O dat sint bazeletriunghiurilor cu virful in O !i cu ariamaxlmt.
Problema admite in general douimaxime $i un minim, acesla avind locpentru pozitia O.4 a secanlei. Maximelesint egale ca mdrime, insi diferi ca
_ pozrJre.
^ ...Daci punctul ,4 este fe cercul O,, cele doui solu{ii se con_fundi intr-una sinsurd.Dacd .4 este-in interiorul cercnlui O', atunci construclia pre_
cedenta. devine imposibila. dar problema nu-Si pie.O" s.nsutl lasam:11il9,tol ri stabi leasce.. singur cE, in acest caz, existi tot o singurasotule, ana nlaxime fiind a triunghiului ct baza BC perpendicu_lari in A pe OA.
In cazul cind ,4 nu este in interiorul cercului O,, Drobtemase poate trata foarte simplu gi direct. Observim ce triunsliiul OBCa.re baza OB constan-te,Si egalA cu raza cercului dat. Aria lui vah maxima cind virful c va fi cit mai depirtat de og, deci cindraza OC va fi perpendicularlr pe AB. Unghiul bOC este itunciorepl gr ItC este Ialura patratului inscris in cercul dat.
Problema 49. Pe un diametru al unui cerc O se dau doudpu.ncte A si B, Ia egald depdrtare d.e centrul O. Se dui-ia)ate_Iele AA'.$i BB'. in dcetasi iens, pind ce tiii ciiui-ti-ali| e.La.re es-te maflmut ariei trapezului AA|B,B cind paralelele serorcsc in Jurut punctelor A $i B?
Ducem O/ perpendiculari pe A,R, care va lntilni aceasHcoardl in mijlocul ei t, Deci Ti este linia mijlocie a trapezului,
76
. E Problema 5 J. Pentru care punct de pe ba.zd unui triunghi sumo
'"'*;:,:'f ;'i:::,:{":i;':Z,i{l:';;t'{##""no-*'os:'|''De :c, oa:a, itig. ss). Funclia de studiat este:
nY+-ud+nC- 1a'+ xll L (b-x)z )- (c lxl?: az'+ hz 'L cz -r"" ' ' ' iZtr- i iy 4 )sy:s121fi ' t r?-x[] (b-c)-3x1.
I b-x H
Fig. 88 Fig. 89
I
^ -- 9or1 ceruti este minrntr cind produsul x 12 (b_c)_3.r1 sau11 12(a-c)-rxl este minirn. Dupd 'reorema Xil'iuma' fiiSrirorrlrn(I z\o-c):const trebrlie sd scriem ci acegti factori sint egali,adic,
' 3x: b-c ar, * :n. t .
. . DagI triunghiul este isoscel (D:c), gesim x:0, deci rttreburcluat in piciorul Jnlltimii.
Probfema 51. Se dau doud drepte puralele D,Dt si urtpunct A tntre ele. Ludm pe D punctui B'gi pe D' punctitl C,astfel co unghiul.BAC iu |ie tliept. Secere
q$te constant. Deci suma precedenta este minimd c"nd b2c'z:czbztiia bc' : cb' , lnmullim aceasti egalitate cu b'c':bc' Si rezulti cdc,z:cz sas c-c, qi de aic i b-b' .
Triunshiul ,4CC' este deci isoscel Si avem 4CAC ' : 45'Unehiul 8,4:B' este, deci, gi el de 45'. In cazul triunghiului c'tarii minimi, itreptele ,4.8 $i ,4C trebuie si intilneasce' deci'dreptele D 9i D, sib unghiuri de 45'. Aria triunghiului minim este Dc'
Problema 52. Care este minimul sumei pdtratelor laturilorunui trapcz isoscel inscris tntr-un semicerc, baza mare fiintlciiometrui acestuia?
Fie (fie. 9ll AB baza mare atraDezului idiametrul semicercului)' CDbaia micd (coardi paraleld cu .48)' /miilocul acestei coarde, C' $i D' proiec-tiili: lui C Ai D pe diametrul ,48.
Existen{a minimului se poat€ recu-noaste cu usurintd. Fie t raza semicer'cului. Cind CD' se confundd cu AB.
Fig. S0
iar aria triunghiului
minimul oriei triunghiului' ABC
saa b'c':bc.
_.Ducem_ _B,.zlC, perpendiculare pe , lipe l' (fig. 90). Recunoigtem ca este vorbidespre un mini t dupii faptll ca, daca indepar_!A_m p.e I sau pe C de dreapta BtC,,'ariatriunghiului cre$te memirginit.
_ l ie : AB:b, ne:c, ani :o ' ,CC':c ' .Triunghiurile dreptunghice AAB' 9i ACC'neoau :
AE : A'V'z + 88''--62 -' 6,,nct: [O'z + cc2: g2 y 12..ABC are exDresia
s: +AB-A1l ,
: t ! b2 + b '2! ctJ,ct2
sau
Sz: ! t p.z:,- 4 \' . bzc'z -b'ztz t- b'zCtz).
Putem suprima factorul constantlSi termenul constant 1r2c?gi ne rimine de cercelat minimul lui b2ct2 Lbtzcz+bt2ctz.
Triunghiurile dreptunghice ABE gi ACC,sint asemenea, de_oarece, avind laturile perpendiculare, au unghiurile respectiv egale.Deci avem esalitatea
'
suma petratelor laturilor este 2 (2r)2:8r2. Fig' sl
Cind CD este tangenta in f, suma patra-telor laturilor devine (zr\'z+z (t142- 8r2. A$adar, valoarea initiali $ifinalA sint egale. Ca s, ne.dem seama cum sint valorile interme-eAi| se i;'; ; pozitie intermediartr oarecare a lui CD, de exempluclnd ea devine laturi exagonului regulat inscris ln cerc' Atunci
TO: nC: gD:r $i suma devine (2r)" + 3r.2:7r2' Inseamne ce'i'oinina-ae Ia una din valorile extretne' suma descre$te spre a crestedin nou, deci Problema comporta un minim.
In suma despre care este vorta, AE +^erta.2/C2' primul
termen eile consdnt $i il putem indepdrta' Termenii rama$i dau
stlrn 4-CF +2AC2. Factorul 2 poate fi suprimat gi deci ne rtrmlne
de studiat variatia sumei zei'z+ Ee'.
ln triunshiul dreptunghic ACB avem K": AB ' 'qC':2r'ACsi eT:CO:To-(A:i-aT. Ficind inlocuirea, suma devine
2\r-Ae)2 +2r 'AZ'. Suprimim pe 2 si - dezvoltlnd - ne rtrmine
sama 12-AC'(r-AC'), care este minimd cind produsulre'i'r -EC')iriJ r"*it. siita iiit6iito. acestuia este inse /, lungime conslTti'
Deci, duptr teorema Xll, trebuie sI avemE' :r --AC', de unde AC':
- .! , "uo
-C D :Ze-O : r , Aceasta ne arati ctr baza mica este
iumltate dilt cea mare, adice din diametrul cercului' Figura '4CDB
AB' CC' b t'
af-: -lc, "au b'- 7
Mai suprimem din expresia precedenti teremenul b.2c'2 careeste constant, c_a_-fiind egal ca bz& Si ne rtrmine de cdutat minimulsamer bzc'z+czbtz. Avem, ins[, (b2ct2) (ezbt2l- gzszgtzstz-gta, s41g
78 79
! i
I
rl
il
III
.:ste, prin urmare, o iumitate dintr-un exagon regulat lflscris in. cenc.
Problema 53. Se dau dreptete AX $i Ay peroendiculare.una.pe alta ;i un.punct^P in-inghiul XAy. Sd'se'ducd prinacest p-unct dr&pta EC, astfel ca ario triunghiului ' ABC sii lie.mI ma..
. _ Ducem prin P perpendicularaFtr4 - n pe ,4X qi perpendicularaPN:m pe AY (Iig. 92) Avem
Aria minimi este S: + (2m) (2n):24n, adice dublul arieidreptunghiului .,AMPN'
Probfema 54 Care dintre trapezele inscrise lntr-un semicerceu baza mare pe diametru, are aria maximd?
Ducsm. iri traleztll A|SC D inscris ln semicercul /4 perpen-diculara O/ pe CO. Fie S aria trapezului. Avem (fig. 93):
s : j tAE + e$ xo-t : @A +T D x Oi,
s2:(OA+ID)'?xCP:qOA+-tD)'?,@rt-tdl:tOA+t-o't lx' x QA-|D).
Insi, suma patantezelor este egale cu 2OA, evident conllant'Deci, dupi teorema XX, maximul are loc clnrd OA+ lD:
- 3 (o-A-14, de unde scoatem /D:9, dio .utu se deduce ce
A:l-saffi -ry,Prin urmare, O/ este semil:tura triunghiului echilateral lnscris
in cerc, sau apolcma exagonului iegulat lnscris ln cerc'Avem
s: + :r,2eer...rz
A
Ar0t
FiC. 93 Fig. 94
ddt tdunghiulProblema 55. Sri se lnscrie intr'un cerc
aria (ABC)-ana (APB)+aria (APCI,
i a*n, rc : I iB, cua! Te x pN,
ABxAC: n ABlmAC,
^' ,o n l,BAB-mFls. 92
:sau, in multind ambii membri cu .AB, avem
TB < lc'_: lE .AB-m
Prima parte trebuie fecute minimi sau inversul ei maxint.-lnverslnd, avem
t VB-n | ( | rr \ABxAc nAB2 .nr I o nnE )-
Inmullin d primul factor -_l cu tractia constanti 3- atunci sumaAB'N
.celor doi factori din partea a doua este constantaf Deci maxi-.mul produsului are loc cind factorii slnt egali, adici
' -+ - ]---g sau -3': -L,nAB n n AB nAB Zn.de unde
^:+,-adicl M trebuie se fie la mijlocul tui .48. Se conchide cd N lre-buie si Jie mijlocul lui AC, iar BC trebuie dus prin p astfel capunctul dat, P, si fie mijlocul acestei ipotenuze. Peniru a o construi,
.ciutem proiectia M a lui P.pe /8, luim i14-B -.A-it4-ti unim Bcu p.
.80
isoscel cu aria maximd'"""""'i,i.-ttitii!ni,ii7bd rnscris ln cercul o, avlnd -ln-T. rie{7 ini$mea triunghiului li-OA:-OB:r, ra?2 cercului O. Unim O
iu A. Notlnd cu S aria hiunghiului !i cu r distanta OI, avem
s= )r . nlV=F . 1r+xy,32:(r+xt2 (r2 -x2) : (r + x)3 lr- r).
{ - Maxime ti mlnime g€ometrlce 8t
Suma r+j(+r--x:2r fiind constantA, dupe teorema XX,maximul lui 52 are loc cind r+r:3 (/--r), de unde x: !, U-lura 8C este, prin urmare, Iatura triunghiului echilateral. Tjunghiulcerut este echilateral. Aria lui este l'Y-J .
Problema 56. Sri se lnscrie lntr-un semicerc un dreptunghrU!!,Q, cu baza pe diamet1u,_iar peste et un triunghi isoifilqiC.ostJel cn oria pentagonului MNple sd lie naxihd.
r ::_l^l--!:: l! diametrul perpendicurar pe pe qi C
,/,-B rl:n..T;..;#;:::::H#,u_,:2 . l .er +Np)y cp-
: (oli +Oe) x'cP : el x-c p -Luind patratul acestei arii, avem
j
i
Flg. 95 |,aria (M N pte lz -elz xTpz "lnsl Ctr:el xei,, astfet ce pitratul ariei este dl3 x d
Cant CI +eV:lf:2r este o constanti, aria este maximi cindiu cr:ir-et. adicd /c': [ -%
Rezulti ci latura PQ a dreptunghiului trebuie dusi pe lamijlocul razei dl Ea este atunci laiura triunghiului echilaterallnscris in cerc. Se gtrsegte ce aria maxime este "
3tl?r, :1,2gg . . .rz-4
Se poate observa ci pentagonul maxim MNpIe este o iuma_tate de exagon regulat inscris in cerc.
Problema 57. Dintre triunghiurile isoscele circumscrise unuicerc, care este cel cu aria minimd ?,-._ ln triunghiul isoscel .48C, in care AB : ,42 (fig. 96), notem :9!=F = ot . -
: h, dl:1r: c/9: r. 1t1un*niurilJ areptunghiceOAD qi CAI au unghiul din A comun, dtci stnt ise'menla sravem :
-oD -A6
-C
: -fr , oe unoe rTDoh
E2
Din ,4 pleaca secanta .4/'/ 9i tang€nta Ar'
Ad-nxn' :h (h-2r) .
Rezulti ci
12 h (h-2rt 12 h-2r-F: - nz. . . . - sau 7:-h '
' , _ - l
aslfel ci avem ,
t
Fis. So
Aria triunghiului /BC este ,LBC xn : ICxtri:ah. ln loc
si ciutlm minimul acestui produs, ci ciutlm maximul inversuluir - l
seu, adice al lui i , saLl al patratulJi acestuia. 'rr1r-1, P" .rt"-l
putem inmulti cu 4r' Si scrie astfel
" I2 l l ' 'a' \h l
InsA, dupe cele aritate mai sus, suma ', * ]i- este con-
stanti .gi deci produsul este maxim cind # :+, ceea ce ne di
h:3r t \ .lnil[imea triunghiului isoscel cu aria minimi are ca lungimd
lntreitul razei.
$ 9. METODA LUI GRILLET
Metoda sumelor sau produselor constante, sub diferitele eiforme, cere egalitati de factori sau de termeni ii nu se. poale in-trebuin{a in unele cazuri particulare ale datelor problemelor. Inasemen-ea cazuri este posibil, uneori, se gesim egalitefle ceruteinmullind factorii sau ternenii cu unele constante nedeterminate,ale ciror valori si le deducem tocmai din condilia de a face po-dbile acele egalititi2). Aceasta este aga-numita metodd a lui
r) Deoarece din ultima relatie scoatem 'r2=rr $i duclnd aceastd valoatef22Jr2r
l^"-* +i=t , avsm fr +n'=t-2) PrinciDiul metndei este ln fond, dupd cum ae vede, acelaqi cu cel pe
care l-am mai aDlicat in problemele precedenle' cind am inmultit unul dlnfictorl cu o condtanti corvenabil alersr, numai cd aici vonl face acela$i lucrd
nrai mnlti factorl deodatt.
Gri l leL dupi numele descoperi torulJ i e i , sau _ cum i se maiztce - metodq coeficienlilor nedeterminati,
__^_.._Sgj:_l -tnfelege mai b_ine in ce conste ea, sd lutrm un exempru.
t'resupunenl ca avem de ciutat maximul expresiei(.r+4) (x.j b) (c--x),
in care .r este variabila, iat a, b $i c niDte constante ale pro_blemei.
. Daci am inmulti ultimul factor cu 2, suma factorilor ar fi inde_pendenta de x. deci constanta. Alunci, pentru ca produsul si fiemaxim, ar trebui sd avem
x+ o:x+ h:2c -2x.Dar aceasta ar cere d: 6, in:lt, daci a diferi de 6 prin
natffa problemei, principiul nu mai este aplicabil sub aceasti fo;mtr.rn.asemenea cazuri, metoda lui crillet conste in a inmulli primiidoi factori respectiv cu constant€le arbitrare m 9i z, aioiiicti prinaceasta conditiile de maxim nu se schimbi.
Si lutrm, deci, produsul
(mx + ma) (nx + nb) (c - xl.
, Suma factor i lor este acum- (n+n_l)x: (ma+ ab1c1.Aceaste sume ar remine constanta - adici iniependenttr di varfa_bila x - dace am kta m*n- I-0. Atunci, am juttipune lonaifade maxim mx rma:nx+nb:c-x, de unde ani scoaie
m:l-- I ' " -c-1x+a, "- x+6'as$el inclt conditia pusi mai sus pentru m Si n devine:
c::!. , c-x - rx+q, a x+o
: t '
de unde se poate deduce valoarea lui x care tace produsul maxim.
- . .lr vizut ci pe unul din fa:tori, anume pe c_x, nu l_amlnmurllt cu o constanta arbitrare ca pe primii doi. De multe ori,insi, este bine se-i inmultim pe to{i, ddoarece altfel se oot iviunele greuteF Ia calcule, din pricina lipsei de simetrie.
ln, cazul unei singure variabile, metoda cere descomDunereaexpresiilor ce.avem-_de studiat, in factori de gradul intii. ln ieneral,9a.nu fe poate aplica ln mod elementar dicE avem mai tult deIrel racron, deoarece se ajunge Ia ecua{ii algebrice de grad supe-rior lui 2.
8;l
Metocla se poate aplica insl !i la produse cu mai multe va"
riabile.Este de observat ce €cuatia la care se aiunge p.rin aceasta
metodi e;te a:eeeii ca e:,ra[ia car-' se obtine prin apllcarea. me-
iliiii*iilt.i"tl-ii' *i.oror' ditirenlial, pintru' atlarea maximelorSi minimelor.
Sl trecem la citeva apli.alii.
Problema 51. Se dd cercul O $i dreapta.DD' ; ̂ se.! lluce
,oorai'i6-i'iToirii i'i oo', ri, p prbiecttq iui R pc DD''Cinrliste itx',n'i aria triunghiului APB'.aaca iitraa AB sc depli eazd paralel :CU DDI?
Fie I m ilocul lui AE 9i C Proiec-tia fui pe D''/ (trg' 97). Coarda ABiiirrd orial: a cu DD, drrapta /C trece
"rin b. fri.rneniurile nPB, ACB sirrt
6chiva'e.rt.:, a 'iid baza comuna $i inel!-mile eralett. Avem (notlnd cu S ariatriunghiului)
s: + EBxd:ux(Oe +at.
Din triunghiul dreptunghic AO1, scoatem
Fig. q/
-af :on' -oi', t"
s-;7<oT+dlf :pe +oh"Q=*-d'l -
: (Tc + u I ) @e +Ei . (dA +-oi) @a -dn'
Aici. OA gi 0e sint corstante, irr O/ este variabila' lnmul''
5na ririitur -
ii"'irr co 3, "ot'
fa:to ilor devine independente de
vaiabila Oi,lnsi nu putem-lua OC* Ot:On+OIJ'On-Til ';;;;." ar irebui sl ivem Oe : fA, ceea ce nu se poate realiza"
de:lt da:i DD esle tangenta la cefc'De aceea, sd aplicim metoda ldi G r i I I e t' Inmullind ultimii
doi lactori cu m $i n, avem
,1! : 16e + -o n fde + on @6 n + m O r ) (no-n- nOD'
I) Problema 8e poate deci pune cerlrd maximul ariei ABC'
85
* ,di5,,1X'r'"i$ :l'j:"fi ,# +,3- o o r + e oe + nb tdc +oI - m oA + mo t = n6, 4 - n61,
^--PEl-dt .oA+di ' oA-OI '
2+m_n:r* #, _H:o,
2dF+ oe xOl:642.Inmultind cu 8 9i adunind de ar
rc op + a o a "o+JJ"ly"{: ;"'", -"*tq'Ot+Oq'-Oar+s Ad,
al_ _oZ_t V,Er*r;---o- ,Sd cdutinr a ne da
iif l?:i1t[t,:,';:#:d"HTffi :lij#::lri*fi :i##l;.:ifi i!,t1s.,"..T,""",::11,,trf 1;#l"iiffi ;,*::#.,J*1ffi 'ldfi :t:ifi
-iilft ,"'ff'$,',,,"i,1ffi
fr**iiiffi ?ft ig4iirt'*r';H.*i:,..';;lfr#iilroffifiil,;'ffi;r - ;;i;"# Iii "iiiX,,i:'i" f,,.1 li ;f fl l t "nil;,i],;fl,,m
:TSl ( A^o.o+- -^.,ui ,u".",-"."
csrc solulta cu
n6
._ d-c +dI
Deci, daci DDt teie cercul, sint dou{ solutii dilerite, unacr:nd coarda este deasupra lui Drr 9i a doua cind ea este sub O.
ln mod aseminitor, cititorul se poate ugor convinge singurcA, d,ac6, DD' este tangente la cerc, nu existi declt o singura sG-lutie, acea cu semnul plus in fala radicalului, iD care caz triunghiul,4BC este triunghiul echilateral inscris; clt privegle valoarea obfi-nuta pentru Oiclnd luim minus in fala radicalului, ea nu mai diaici un maxim, ci pozi(ia initiala, in care arla este nuli.
De asemenea, dace DA este exterioare cercului, avem osinguri solu$e, cea pozitivtr, cealalte disparind lntruclt conduce lao pozitie a lui .r exterioartr cercului.
Problema 59. Se cere maximul ariei unui triunghi cu virfu.dat A tn afara unui cerc O gi av?nd ca bazd o coardd a acestuicerc, paraleld cu o directie datd. /D.
Fie DD' diametrul cu directiadatd, situat la distanta d le A, r. tl4 e,<_ _cercului O, .r distanta de la coarda 8C .;pina ri oD' jl i miito'cui tui rc iiG. s8). ,'\,Avem
BC:2Ie :2lV=7,
s: I aCta+ry : @ * gtlr2-x2,
.s'z: (d*x) (d + x) (r+r) (r-r).
,/l
Fig. StJ
Aceasti funclie este de tipul celei din problema precedenteQi se gtrseite, pe o cale analogi, ci maximul are loc clnd
_a+rla:1fuI : -
4
Se vede ci, in pozitia de maxim, 8C este de partea opuse lui ,41a|3 de DD'.
S IO. METODA LUI FERMAT
O metooe generaltr pentru grsirea de maxime $i de minimea lost date, pentru prima oari, de Fermat; ea este o metodialgebricA, dar se poate aplica in mod geometric la multechtstiunl laid cum expune Lagrange principiul acestei metode,publicati de Fermat ln cartea sa ,Despre maxime gi minime'.
,, El egaleazd expresio cdntitdlii cdreia ii cdutdm maximulsau minimul, cu expresia aceleiasi cdntitdti, In care necunoseutocste mdritd cu a cantitdte nedeterminatd. Face apoi sd dispard
a7
ry{###{#tr#r#ffiProblema 60. printr_rtn
t;,;,r;;,t:;,,,n;i';;:,x"f ;:i^'i;;::;o!:{i!:!';:'ox:f:,J,ir
colstdxte, deii variaSita inl.)pefld:nttr cr3$te sau des:regte necon-tenit. Pe a:JJt fapt re prtim ba.a ca ia gasim. maxlme sau mlnlme'Sub a:aalte forrni a fost p,lse mJtodl lul r ermat, se. pare'o. , , t ro pr i ta oare, de catre Antonio Montf orte, sr lb al c i rui;;il $ ai intil,reste metuda p.in unelc carli mai vechi' Se scrie
expresia funcliei pentru d)ua valo EA 5i CB ltig' 99) apropiate
de valoarea Eu" a variabrlei illdepet.dente, care se Fresu!une ceaat"-iua maximul sau m,ttimul ;,se egaleaza ar'ele expresii, se tactrirrsl.rrmari perrtru srmpliticarc, se tr(ce totul-in lrarlea inliia a
egalitelii qi se divide egalitatta cu diierelt1 EA-t'B' ,Diviziuneaeite, in gencraf, posibih, deoarcce ldcir'd EA,: EB:. Ltul, egalilateapiiniiii"i cste'verilrcatS, ea red"cindu-sr la o identiiate' Dupd
irparlir.. prin -EA EB, {acenr ZI:FB:-EM gi gisim o ecua{ie
care determinl Pe c,'1.-- lati cum se trateazi, pe aceasta cale, exemplul-de mai sus'
Fie tll-punctul cautat. Luiim pe dr(apta tF p'lnctele B qi '4, foarteipropiaie dt M, la dreapta $i la slir'ga accstuia' Punem conditia
EIxFA-tSxh/. ,s8u
sau
de unde
li'",', :,il-##h!*l fl J :,:::j:l 1",. i'na,q, (rig. ee )Aria cerute este rtn , , , , , ,p"r 1rr c 1rrg. 991tnr. Luam pun:tul B la o rnice depirtarcde M inspre F. pentrur.""a;;;t;_"";;11;ll;,fl:l y;WDupar.metoda tui F.irui?u""i"4t l I
r Euxru:ETxFB saur u " r u = (e u + M$ q-vt _ u-b,1 -adici
Eu xF-n_Eu x rtvt_Eu x aE+il\Ffu_M-et.. Suprim{m din ambele olrti pe EMxru, impdrtim, apoi, cuI48 $i grsim Fa:EM+trt!!" t T+ o) u, r^,'^'in' :T nitx:l r#r riu,'i,..lll."1ii_ iTrrebute sA tie egale, dreptungl:concordtr .o'uiori"toj' *iroiiii' lij""il3i.",llr'i,,|er
un pdtratl ceea ceFermat noteazd cu e rffi:fr'it;4'"",Tlli;irxr#l{Liifi"':rui'il'i":!ili;"[t
-,. I.1o9.,-",pi;;;';;' ;ffi"[:;:::: ff;I,#iliJ::a:arte cuvinte, ea se poate r€xe.mp,u, priuino o-tairaill unii" li-o Xir:rlte. -inratigari. A$a, de
lXt&ii,l:6.1gfli,:t+:H,:::if;";::iiei.l,i,o..1.",iTi,r,li:i"r,r;it'"{;'iiwni:timzTi:r,ry#!##::if ,:;ffHffi*:*;fl "i$it{::i"':'iT:xi:;1fl ri;i,;i,1,f *fi:T;j##,iE8
Flg. 99
EAx@F-EA)-EExPn-Fa,'
EF teA- r q - @t r -n o1 1E - En,
Et'-:El ren.Facem acum pe A 9i I si coincidacu M (EA- Eivt gi E'B: flli
qi gesitm, ca ii in cazul Precedent,
O alti metodl r), baz?t{ pe ac.'ea$i observatie' consta in aCezt"si pinbi"ma priii ncepalititi c(nlridiclotii. Sa luam punctele;;iT I oisiinte'
" ale cu a,'la slinga 9i la drJapta lui 14' Sa
pon.r ,:: | $ Etvt-: x Fullctla careia ii cAutam maximul este
i1f -r1. Valorile funcliei, corespu zatoare absciselor l:1:r-a $i-EB:r+o, sint mai mi:i d.:cit valoarea iullctiei corespun-zitoareabscrsei EM--x, dace aceasta dA un maxim i avem lnegalltallle
x (r-x) > ({+a) ( l - r -a),x (/-x) ) (x-d) (1-x + 4)'
r) Ace?8ld retodd a fost expusd de C. Alasia in 'Gazeta Matematici" ' -
vot. Vli, 1902. p. 197 1N. Red. E T.)
89
..care se reduc la urmitoarele (destecind parantezele $i .impi4indcu numirul pozitiv a)z
1l-2x)-a <10,-( l -2x)-a 10.
Daci luim pe d foarte mic, scmnul in prima parte il dacelilalt termen gi prin urmare inegalite$le devin contradictorii dacinu luim neaparat I -2x -- a: - (l -2x) - d sau /-2J:0 sau
I
Iati acum clteva proble[e rezolvate prin metoda lui F e r m a t.
Problema 61. Se dd un unghi AOB Si un punct P in el..Sd s( ducd prin P drcapto APB, astfel ca produsul segmentelor
PA $i PB sd fie minin.Problema nucompodi maxinl
deoarece, daci dreapta duse prin Peste paraleli cd una din drepteledate, orodusul devine infinit demare.
Luem (fig. 100) doutr pozi(iiale dreptei APB, de o parte qidealta a pozitiei de minim : A'PBf qiA'PE. Dupi principiul lui Fer-m a t, trebuie si avem
PRxFn' :pg xps.
Aceaste esaritate .t sJi ":^*tHcTSi? gn ul rE, Sf; :.r$l:
Hi'ir,"S*fr:i#",#rg.ifl ':::":*"i'"?::i,'l;'*
oinr ce se contundii o" ""'11""!t"it;;;:iB: utsi11 F(:tr*'
IJrte p-l:fa punctui P trebuie se se geseasca h mijlocul segmen-
tutui A7, de pe dreapta- calllla' .onrlrui asrfet : Ducem pl! Pj
Aceasta dreaPta se Poar(pu,ur#7i''r"-' oij- aig.' r o r i t' ;li', ng* f L-jf,',:^ fr:"i
i;; ;;;ri-ii"".t.lg 4!i {;^D'j;ffi ;;";;;';i'ui1gg"it*'rte qi
AOB. tezttlli cL PA- I'tt'
,1 - .nb- f f i i
Fig. l0l Fig. 102
Aceasli egalitate ne arattr cd punctele A', A', g gi F slntpe un acelagi cerc. Dactr A' se apropie de A, in timp ce gi /n seapropie de A, atunci qi B' 9i B" se apropie de B dintr-o parteSi din alta.
Cind aceste perechi de puncte se vor contunda in A gi B,cercul devine tangent in A la OA gi in B la OB. Insi, atunci,tangentele OA gi OB duse din O la cerc .sint egale; triunghiulO,48 este isoscel $i rezulti ci dreapta .4PB este perpendicularepe bisectoarea OK a unghiului ,4O8.
Problema 62. Sc dd urt urtghi AOB Si un punct P tttitttriorul acestuia. Sd sc duca prin P dreapta PAB, astfel caprodusul segmentetor OA pi 0ll sri fie minin.
Fie APB (fig. 100) pozitia ceutata a acelei drepte g A|PR,A'PH douFt drepte apropiate de APB, astfel ci avem
On'"Oe:Ot 'xOE.
.90
Problema 63. Se dri segntentul de clrelptd AB de lu"ngime t
si se cere a se deternttna pe.el scgmentul -pD" corg td l':::i!j.i
iriioiinitl intrc purlilc ramosc-fi sri aiba lungime. a .m'axtnru'
"'"t"d" ',
i""*itea segme-ntului crutat cD' iar a:R li ^! -BIt'
lunsimile pe(ilor ramase t"g'. ibZi' Si cere se avem ':--1b -l:'!':':'E;';;;. iu aceste conditii $i cu condilia ca c se tre maxrm'
; i; d;i; se determina - atii pozitia' cit si marimea segmen-
tului eD-- c se a$aza in /, avem c:0 si deci c:O'-Aceasta
.r," Vilol,.-" initiiii o lui c..l-lici D va c6incide."1^9; lton"'b--0 si deci c:0 este uuro"ti-fin'la' lntre aceste doua- limite'
i-i a-'ri"""r"ti iiierite de zcro, deci $i,c e-ste diterit de zero'
FrSLrlt* ^a.it"'
ulatt"', un maxirn pentru c'""" 'Se
apf i .e. meioda lui Fermit ' presupunind ca C' este
porifulaot ta. Deplasim segnrentul LD cu distanla e spre dreapta'
in C'1)-. Trebuie sa avemc2:ab:a( l -a-c\ : (a ; e) ( l -a- -c-e| '
care dezvoltati gi simptificatl ne di
ae: e (l-a-c-e)'
ImPirlind cu e gi ftrcind e:0' gdsim'a: I -u-c:b '
9 l
d€ci,segmentul CD trebuie a$ezat simetric pe 14 adici miilo,,rrlsau trebuie se coincide cu mijlocul lui AE.,,_ -ir. ,"fl"t pozi(ia lui eD. Cit privegte mirimea lui, daca c= ,.on cz:ab rezuke. c2:az, sau c:a. sau
c:a:U: ! .
atunci isoscel Ei deci unghiut COD are 45"' De aici rezulta con-
it*.iia tui CD care di maximul sumei cercetate'Ne dam seama ca aceasra solu{ie duce ta un mg11t ,J1^iefl
eD:ec_Atr+-cD:-cD_ee.Ridicind la pitrat, oblinem
AO2-g112-2g5xeO +eOz.Ins.i, se gtie ci eD este m3die proporlionali intre .4d si BCgi ta fel eE,, intre ac, si c,a. eguritut"Jo.'r.1"*'ii"fi, l'.,r",.
rc x nc : ec x ec_zc Dxrc, +ee,sau
u.ratii] ilir..* -iitg""ti i" D la semicerc' care !1. ie inc,lnat
-:lf r fuaLwr. vsvlu ' i - "b--_-_' -_ a: ;
;;; ;; ea. crnd D "se depraseazljn ?'igl:t ::4c*9?jillll." 6b-y r""a"
"o-Dr'; inse -t_tt3--ov.t)'
cind D r-gt*i;ii^i"oiil D ; t, ;";"$it ca EE $i scade cu DE" lnsd
si D"E"D nu sint isoscele. (N. Red'
U E <Tg. Deci in amiridoud cazurile, s scade $i rezultl ca
re +TD este maximul ciutat."- Co*ir*ti" grafice pentru deteiminarea punctului D rczalttr
imediat.""--'-Su do"" din O o razi inclinati cu 45' pe diametrul AB'
intersectia cu cercul este punctul cautal.""-'-ii' Jtiisit, ii
"ioiat qi valoarea maximului' ln triunghiul drept-
unshic isoscel OCD, avem ziC':Ttr, de unde Oe : $ *'aeci s:r+rVz: tt + t lz) r-2,4142...r '
Problema 65. Pe doud drepte perpendiculare Ox fi Oy se mi$q-(t
unUoii"iiii'-piiiir-A-ii a, -'.,u
'vitizete u si w' .ptectnd. de Iodisiantete a si'b de punctut O Si apropiindu-se de ucest punct'
Care ia fi depdrtarea minim.a dintre A si IJ?Ouia uri timp t, punctele '4
gi A ajing in A'9i B (fig' 104)'
aSa cL-O/t:a-ut gi OB' : b.-wt' 9lTriunghiuf dreptunghic OAB| ne dd: EI
TE :o,q''+OE': r,a-ut\2+ . l l+(b-wt)z:(uz+u\f - , I-2(au+bu)) t+(a2+b2r.- . . )L_,- \_, ,
. SuDrimim termenulconstant az +b2 " A *a
qi ne riririne se gesim minimul functiunii Fis. 104(u2 r- D2) t2-2 (aD + bu)) t.Pentru altd valoare u a timpului avem:
(u2 +u)2, u2-2 (au + btu) u.
Egalind aceste doui valori, dupe metoda lui F e r m a t' varianta
1ui Mo-nt lorte, gdsim
' (uz ! w2) tz -2 (aD + bw) t : @z a w2) u2-2 (!u + bI -) :1:
z(ai + twlQ_'Q : @2'7 n2l (t2 -uz1 : @21w2) (t+ u) (f-r)'
2(ou + bw): (u2 + n2) (t +u)
Fig. 103 Atr+eD-Ie teD,de unde deducem
6 c + ee ) @e -ee 1 :K x Ee _ tc o xec, + e c, 2sau, desficind parantezele,'aC
x sc-e1 x (rc--Ee>Cd, : rc x nc_zeDxel +e(2.
oc)-@d-Oe fi:ze7 +2sc,
Reducind gi simplificind cu C3-, g,isim2cD:2ee+ftOA+
saueD:ee+Oe :OO.
. jacglacum pe eD se _se confunde cu eD, deci CZr_gsi oC':oC ei gesim CD:De. Trirrnghiul ai.pt""edZij*t"
92E. T.)
r) Deoarece triunghiutile DE'D'
93
9i ficind t-a, gisim
de unde2 (aD + bu)
- (u2 + u2) Zt,Ridicim la pitrat qi avem
',' , uz.'ee2 +u2(fr+-Bd)+2utu'Cc' .{ trC"+EIf :u2(BC'2+
w.-c c'2 ), zuw.Tc .'l Ee I B:8- : uz ee, (EU + Ee).
lmpirlim cu Cd $i facem apoi C7:0. Ecuatia rezultate o
dividem cu 2, $i gtrsim , /ffiW:tBc, de unde deducem
BC ftz+-nd eDtout ,
Punctul C se poate ob{ine printr-o constructie simpli. Luim
r- aD+bua,+uz
Cu aceasli valoate a lui r, s61;ns,dF:a -ut:{!l!:!lg-' Diiii-i UB'- b -ut: tou:-aw) o .
A'E'z :64} 46 U,z - (qa-btt)z .
I'2 + ru2
AeCt |z +to|
AaE _ au_bu- l&+w'Daci u:ra, atunci 4;6,: * U_ol.
l' ?f\^;,,uf ',!' r' :, fr 1o,,,- ro,: r :, ! : ̂ ! u t o n o b i r u t p e s s s s y, r^:":r:'::;;:::,:i;!'r,i,;r,'Ff ;!:ii;::,iri,,',i!!,)' ̂ !!!'j!t' u 'st w ii'cire ct
x, ; ;, :6i; ;r;,;i : ru !,{; iii:orrr"lrtX,E1' f"in care se parcurge
t: !! t9P _ w4e+udb," uu,
il'""^fl*,1,"";.'fi:;if *l*f"'F".i1"fl l'"',#f ,i,ii:-.8 : e o-_Ed ; eD _ / Ee jE;t.
Trebuie, agadar, si ctrutem minimul funclieiw(AE_E4+u /Ee-+Et.
"**ti"ii',i|ril.il::"S ,j;X..rat Deprasim puJin pe c in .'.
u (v-a -EE ) + u V Ee +ELf *: w <A-o _Ee) + u y' frE +Ep,u;ee,aulfifip :, /@EE. -' "
94
doul lungimi propo4ionale cu u gi ttr. Cu prima ca razi descriemun cerc cu centrul in D1tig. 106),iar la o deDertare esale cu cea de c Iun cerc cu centrul in D1tig. 106),iar la o depertare egald cu cea de c
Fig. 106
a doua, de la B inspre A, ducemo paralel6 la BD. Aceasta taiecercul lntr-un punct E care, unitcu D, ne de o dreapte ce taiepe .48 in punctul C ctrutat.
Relalia gisiti mai sus aratictr C este astfel a$ozat, incit timpulin care automobilul ar parcurgedrumul fecut cu calul str lie ace-la$i cu timpul in care calul ar par-curge drumul fecut cu automobilul.
Itroblema are cazuri particulare interesante, pe care cititorul$i le poate propune singur. Ea ste in legtrturi cu problema. refrac-tiei luminii, studiali de Fermat, ca o chestiune a timpulul mlnlmin care o razi de lumine strebale doui medii diferite' spre a ajungede la un punct dat la alt punci dat.
Problema 67. Care este maximul sumei dintre lungimeaunei coarde a unui cerc dat Si distanta acestei coarde de centrulcelcului ?
Fie IE coarda gi / mijlocul ei, centrul cercului fiind O. Secere maximul tai Tn+d.i. Punem Ol :r, Oa :x 9i nottm cu ssuma al clrei maxim se cauti. Avem (fig. lC?):
s:TB+di:zl-7n-PL,x.
95
. Segmentul_ acesta minim este cunoscut sub numele de ".r:11e^1t"l tg P h.i lo n, .pentru ci intervine-in'soffi ou J.i" ) 0., ,,ace$ matematician al Creciei antice problemei ,i. u?.i-aooa *orfrgeometrice x $i y intre doui numere ilate c gi j, uCiJ OJli.rur",,sistemul f :
+: +. Aceasta chestiune a preocupat pe mulli matr.1?l19t.ni. vestiti, ca de exemplu pe marele Newton. El a rletlussotufia dintr-a unei probtsme'cu hult mai gen"rati 9i in'oiul O,f
tnat scurl segntenl care se poulrduce .lnlre -.doud turbe dote, astJ (ca el sd fie tangent Ia o curl41datd P, estc ottla carc salislutteo ndiliu ni Ie ur md t oare : normale l tduse Ia cele doud curbe it
-[i:**,,]Tffi r'*i',,""***lli*h,i:1qfl d3t;,i"'f;ffexlremitdlile A pi B ale seomet
tului sd sc intilneascd oi nor_ [iyii#t'"u,ru'"$';:"*i,"'*:.;:l"t',rr^t'Jll*;J:'*:
or. Gasir€a ullor astlel de tangente ne poale aiuta deci la
maximelor $i minimelor' . = -a: - -,, l^.rp
n,+tr*inlmtfu ru;u,Tr,;ri:,:mi:'tiJ,ltiT "",Tt#',;:i,",1'ff ".gru:r {:, ;..4,;**i:l':t""J;'H8t j:i?ii"l"'"-:"li:.i.',,'#":i'::,113,G?::3i;
, {ara inaa ca l^a sP- T-t:-"u.-:: (n ,campnea Dunct. curoa nccei31u,:Ti.'?Jtilia i'JJa',"ii''{ ̂ 'ii"n'" punct' curba hece
-o pirte in cealalti a tangentel' . , ,- r^--^-{5 ci , direc-
p;# ;;;;; "o'ai iProximativi'' Pentru toate aceste T:li"'::il?sii**ttt*t'*** *t'
in matematicile elementare' E'a
emoirice, Ia care nun exact legea dei ordonatelor. Astlel.rr:mele deduse din
-l-l-0dm
Se tratarn acum o Pro-Fig. l l l
LnmisimPn, Pentru. rezol-I'fJi;l'll*;#T1,li?.-111,"31"-1,0#1Xff "!,r',,'*T*:":""varea ceruia metoda lur rcrrrr4!i"sa-poi"u
da toate rigoarea.oere cunoltinte mai inalte sPre
m.al.q. dugg ^!a urbo p in'punttutei de contact cu segmentul cdutat (fig. ll}j'.
Aceasttr construcfieAceasra constructie senerali, aplicatd problernei noastre, lcconduce la concluziile urmd"toarc:Dintre toate sesmentele .m!rq!nit! ta loturile unui urz{lt^i^,t::11!_!,i!tfun punct aat i Zii iitiioiii-'i)sniiii,l. out,esre mtntm pentru care pernendiculara ri.djclt! .pe Eciii in c siperpen-dicutarete ridicate pi latunte unghiutui ih ,iiiiiitiiit, t,,ise intilncsc in acelagi pinct \Iig. 108)i)..'-'--'
" !-r't"r"q',
Patrulaterul ,4OBS (fis. lO8) are unghiurite din ,4 9i B drepteqi deci este inscriptibil. De"aicr se poate trece la solutia de mat.sus, deoarece Bl, proiec{ia lui OB pe ,qA, ".t
;;;;;A
S 11. METODA TANOENTELOR
Sub aceaste denumire vom,in{elege aici o varianti a nletodei.lui Fermat. Pe por{iunile de, oragrame reprezentate in fig. lll,si.luim.cite doui ordonate Aa- Si-nb egal;, situate in;el;;lmreaord.onatei maxime sau minime Mh, p" .iu ia-i" lp"ooiur'n""on_tenit una de alta aga fel ca ele sd iamini tot ti,niui""e"l"" int*ele, adici eapta AB se rimine totdeauna ;;.d.i;;o a%"ausci_selor. Cind .4 se va contunda .u a in ,rz, "i"l.ia"o'r?#aili f"".nitangente in l}1 la curbi. Agadar, _ pe o diagramr, ti pu,r"ife A"maxim 9i de minim, tangbnta ta curbd Ai;';;;;r;rd'*;; ,_"
*"rr,i'1.'**11-JT:i. p' as]-irj si saroa, 's riird punctul ror de concu-
98
probrema 7-0. .c d! :, : :!:.,i ee:!:nu za rmi
nimd a unui tri u.nshi
o*"T:"0';;'q:i{';e:{;{i.,i,:'+!i':;:"1f '$l*l':1,.Tili::;
mmfr*t**il*ttsnffifritr#ju99
Fig. I l0
fie egali cu scurtarea ed1 a catetei Zd. Apoi, pentru ca E,C,se, remlna egall
-cu AJ, trebuie -ca A 4 sf de egaia cu CrC,. nr_
99le d9 .cer: 8"Br-gi C,C, tiind foarre irici, te dutem co,,fuiroa.utang_entele lor in I, qi G t). -Triunghiurile o,entiinghire -E;r,;e,
StC,'C'C, aa ipotenuzele E-9, ee, 9i catetele 6-2.,, L- e "*t.
intr"efe gf, prrn urmare, sint egale. Rezulti ci unghiul'B,ER, siu oousul:1'1ji_v-'I {4'l, este egai iu unghiut /ct.
-ip;i;;; -tj"e-;,a*,,ungnlufl egate cu cele doua catete.
I riuughiul drept.rnghic crutat este isoscel2).{-a s, calcul5m minimul ipotenuzei, si irisemnim cu d lun_
gimea ei Si cu p perimetrul dat. Catetele sint dVg gi deci
Scirlem apoi pe rind din patrulaterul C'4'6rB' aceste doui'egale gi obtinem
afia (C B' El : aAa (C A' Ao\ + aria (N B' B"{ )'
: Triunghiurile AA'A' gire:e au unihiurile din A gib esale. Lltunle A'4" $iEB"1iut drci paralele Du-
BB8' sint isoscele gi asemenea, deoa-
p : a + alf: 0 +l1 i1 a : 2,aru2...a,de unde
a : 1t!2 - t| p : o,4t 42...p.
, ^ Problema.71. $e 1td un triunghi ABC. prin virf urile sateA,u,.L.se duc dreptele AA,, BB,, cc,, paralele lntre ile si avtndtunclr.ni. qa!!_.q,.b,c. pentri care pori1ie a purateietii'iri tr,_unghiului A,B'C,este maximd ? (fii. li3).
..Daci.mirim sau micgorani .iugriig
u.,b,c cv o aceealrcantitate, lriunghiut A'BC' iu se. modiiiia i. i;;;; pi"i rninr",ci se deplaseaza .paralel cu el insugi. nsttet tiina,' si-micioramtoate aceste trei lungimi cu c, presupunind ,, >. Si'a > "."t,i
f"fulacesla,.virful C rdmiie fix, iar ,zi.9i g se muta '^n Ai ti E,1iig."r ra)... ,.Fi., deci. A'B'C triunshiut . cdutat-_ _q.girpiri' Toirt?' po1,ndire,ctia paratetetor,- gasim tiiunghiul n"A;C. Ouia
'rltoaj roir e r m a't, trebuie si avem
aria (A' B Cl: aria (A, B, C).
-]*l-4i.j "-jl, Or.reg c4 fag.enl o aproxinratie care nu ne poale duce ia unrezuftat exacl. Totusi, teoria Imitetor' din a"aliza iiinii{i-ioJ"A'u'riu
"^procedeul . folosit este iust $l nu duce la rezultate aoroximatlrli- --''**
::i*_-i:fr'!ir'ijit's"rJi'1il'Led'0"""';"fl',lflJi"1T';"9i,liillp,i,#, fl"tli;rpotenuza este minimd. Dar se poate dovedl ca qi'a6esi 'ruiru" esii'ua"uarrt.
100
cem din C perpendicularaCPQ pe A'A' $ BB' eipunem
-P:p
$i CQ:q.lnlocuind mai sus ariile
prin expresiile lor, gdsim
| -su.q: ' tFE.p++-l tA'* +Tatlt-il,care se reducc la
B'B' . p: ! '4 ' ' q
eP:,t:r:si eQ:eu'Acum, avem
FepATED q BB'
sau, aplicind o proprielate a proportiilor' avem
7E AItD BI
o^, Fe[:#,: l,
deoarece triunghiurite'4A'A' $ BRE
slnt asemeiei. Ctnl-triunghiul CA'B' tinde citre triunghiul CA'B'secanta .4'r4" tinde cetrJtangenta in A' la cercul a) raza d pe
iiiu-i o...ti. i'in miqcarea'lui 9i dtci A'Ao devine^ perpendicu-ii. in-i pe AA'; AAi devine di:ci palaleld cu CPQ- Paralela lai;F, oo*a'frin C, taie pe BB', AA' $i AB in ll, f, / $i avem
A'A' P
B,En q
VE VFED BB,
l0t
deducem PARTEA A TREIA
IZOPERIMETRIA
TEOREME $I PROBLEME
O concluzie importanti la care vom ajunge in studiul figuri-plane izoperimetre este:
Dintre toate figurile plane cu contururi de aceed;i lungimecea nrni mdri o are cercul.Dintre toate figurile plane echivalente, conturul cel mai
il are eereul.Ptni se ajungem la stabilirea acestei teoreme, sint necesare
teoreme Si probleme Premer-. Vom mai da aici $i alte
in legAtura cu
Fig. l l5
E: EF.,BI EE
Deci, pjnctu.l 1 este cunoscut, deoarece cunoagtem valoarca
l1o"1rri.*9. Ducem, agadar, dreapta rC gi perpendicutara pe ca
g .ll'"'T:x, tr:;ff':'r"ffi: determini hiunshiut manm nEC.
ln aceaste parte ne vom ocupa de teoreme $i probleme in: se cautl, printre figurile cu acela$i perimetru..- sau., cum llmai zice, izoperimetr1 - pe acelea care au ariile maxime, sauni, printre iigwile echivdtenfe, pe cele care au perimetrele
In aceaste parte vom insemnap perimetrul iigurii 9i cu S aria ei
Teorena XXl. O figura Pla-nd. mdrginitd dc o curbd inchisdcare are- Darti concave lintrindel,nu ooate'oveo aria maximd Iatdde aiiile celorlalte Jiguri izoperimetre
ea (fig. I l5).dst-e evid"nt ci putem m{ri aria unei astlel .de Jt9u'\ l{-Dif
. I td; }il ;-i llngi perimetrul, ci dimpotrivi, micgorindu-l'; ;;i&"i;-" parte din'arcul concav-?Cq .e-rin, c9lg1.^ex95
;;;t ,t. Risturdind partea conciul BcD.fala.de -dreapta,
BD'iuii""t b'""ni rgurtri izoperimetrici cu prima $i avind aria ma-'riti cu a iisurii BCDC'.
102 luJ
_^_,^f"ilte-^gi, ,in . problemete de maxime ale figurilor izopen_merlce, nu este nevoie se ne .ocupem de figuri cu.-parfi con.aveci numai de figuri convexe. La
'aceste figuri, oricJ-ci,ardi
"o,,1une5te doue .puncte- de pd perimetru, esie iituata in'iui.non,,guru, lar o tangenta la confup lasA Joatii figura de aceeagi parrt.
a ei adica fari a trece prin interiorul acesteia.
, Teorema XXll. Oricdrui poligon con.av ii poate cores-pulde u1 altul, avtnd acetasi leriitetru, o tiiuri "^i'-putin siaria mai mare.
. Fie poligonul ,44CDE cu unghiut intrat C (fis. I l6). Ducem diagorata exterioara.BD Poligonul ABDE are arit mii"rare O""ii,qbCOl,fr penmerrut mar mlc, deoarece in triunghiul BCD o latarl BI)esle mai micA decit suma celorlalte douil
. Prelungim pe 78 dincoln de g spre B, qi ludm pe aceasr,ilprelungire punctul 4 pe care il unim cir D. Cino F ie'rnGca o"la B spre Bt, sama BV+FD cregte nelimitat, pornind de la va_loarea BD, pe care o are clnd F .!. in A. E*ata, a."i, o pn_zitle^ a lui F, pentru care avem B!:n=.urt
-r u. poligonulAFDE are, atunci, aria mai mare decit a lui AACnb, u*i. ,rn-perimetru cu acesta gi ;rre o laturi mai pufin.
Deci, in.studiul nostru, in care urmarim ca ariile si fie maxr_me, putem .fl ry_.n" ocupdm de poligoane cnn:iu".'' D"- attf"t,.aceasta rezulte $i din teorema precidenla, deoarece O"ron.iru1,ode acolo pentru figuri cu contuiuri curbe, se apli:a-intocmii 9i tafigurile cu contururf poligonale.
Fig. I i7
. TgorgFa XXIII. Dacd o figurd ore aria maxind dintt.t:.t9g!3 fisurile,izope.rim,etre cu ea,-atunci oriri irroiii"'ioi ur_parte conturut in doud Ddrti egale tmparte Si oiiiii'doii' po4,echivalente.
. Se. presupunem ce linia dreaptA AC gig. ll7) imparte Den_metral ABCR in doue oarti egate,.^dar ci 'ariire' 'nu"'Jr-'ii "iu,.,ci am avea aria (ABC) ) iria"(AB,C1. - -""- "- -' " !r
104
B"
Fig. I l6
Construim cwba AB'C, simetrica lui ABC fald de .AC 9itnlocuin iria {,48 C) prin aria (AEC). Perimetrul nu se schimbd'inse aria creste, deoarece at prisupui aria (ABQ)2 aria IAB.C)'Oeii s-a sa.it o figura izoperimelrice cu cea datd, dar cu arrailii-rtt",'...:u ce tontrazic'e ipoteza 9i teorema este demonstrate'
Teorema XXIY Dintre toate dreptunghiurile izoperimetrice, 'pdttatul are aria maxima.
Fie a $i b dinensiunile dreptunghiului' Avem
p:21a*b), a+b: ! , S-at '
Sintem in cazul teoremei Xll 9i deci maximul- lui.S are loc'
ctna a:a. Laturile dreptunghiului maxim fiind egale, ligura cau-
tati este un Patrat'
Teorema XXV, Dintre toate triunghiurile c.u bozele. egale
si * tiiitiiiitr'iiiii, perimetrut minin it Me triunthiut .isoscet'Fie triunghiui ,4BC- (fig. 118) cu baza 8c gi virful '4' Cum
D:-AB+-BC + CA, iar EC este dat, reiese ce este destul a ciuta '
minimul sumei lS+ AC.
Ftg. l18 Fig. lt9
lniltimea triunshiului riminind constanta, inseamnA !{ nunc-
**,,":i'i*'.llli1,,g:,".:fi :BiJ'%"3#f ll,li"f,?iL;triiie'hioti Eu virfurile in E 9i F pe DD' (irg'.1.19) $i -cu
a:eea$r
il)a"Ej, perimetrul cel mai'mare il are triunghiul a cerui inelti-
n" ..i" i"ii deperlata de mijlocul M al lai BC'
Pentru a arita aceasta, luim punctul C', simetricul lui 9lated" Db;'i;;;-;;-.rtipt"r. c'a' care taie pe DD in A, C'E si
ii ol E"'n'e - ;6 1i c+ :TF' r e zutttr ca -L' E t-E B :eE + E B
105.
A:FrT#d,TirX"'itr%lifkf,ll,fta#:"*.ceriniaft inra,, *#.|,T','#;,:T:T;'::: :f'j#1"#:"shiu, cu virru, in /
., ^.. Tgo,*Tu XXYL Dintre toate triunghiurile cu aceeasi bazou,:r:# rfu,"u,
a ngh i op u s ba ze i. ari a mZxi ii- - o- iii"i;,ingni u tFie ABC unul dintre trir,--L:._-:,.date.. Toate tii"rigr,i"ri)f '
"u'iJuu5'Irurrre
c!^Daza ac si unghiul .4virful / pe ..s'i;ili'l; ;;l: T,9'* dc- si unghiul dal A, au
- -, ll: p *r,r,,-.,-o,";,:;,";ftl,ii l"llJi'".1,1-;l??l$j1,:"i.:,T:uiiiJl,.l".,:t*;:n**:"*#;.*i;X;oe srmetrie; inse. atunci. M,=!lg,:l
"uii". l""li.lour.i" .gr,oepanate de piciorur perpendicurarer. l,,unghiul g,4,c este isosccr.
fiunshiul CBE este isoscel, deoarece -lO:trC
ai I-O:af .9i --
Jupa-teorema XXV - triunghiul isoscel are perimetrul mat !!9--dectt alt triunghi cu aceea$i bazi Si aceeali intrllime' Lungimile CE
$i e? sint egale, ca diferenta a bazelor celor douf, trapeze' qr
teorema este demonslrate.
Teorema XXVll[ Dacd un poligott neregulat nu are. oxode simetrie, el se poate Inlocui cu altul echivalent, cu un perimetru'mai mic si avind o axd de simetrie.
DAm aici acestei teoreme Si celor urmetoare demonshatiiledate de Edlerr), care a dovedit pentru prima oart riguros teo-rema lundamentali a figurilor izoperimetrice plane'
Fie (fie. 122) poligonul neregulat Ei asimetric ABCDE' cu nraturi.- iuam% axe *X',";i din A' ii' C, D' E ducem perpendiculare
PC
Fig. t20
Teorema XXVII.. respectiv egale gi ateeasitrul minim.
Fig. l2l
Dintre toat.e trapezele care au bazeleutaqtme, trapezul isoscel are perime_
F19,. t22
- . .liu ABC-D un trapez isoscel g ABCD un altul oarecareavind baza /8 comuni cu nrimut,
i1l_laturit: CZ-,.: eO'p."l..urE,lr.u,..la
11 AB (tig. l2t). Aceste trapeze sint echivalerite. Luim
i"j:."li{3"1f,.m"%;l',f ^^ou=;o11,;F";il"tiij;gff;"*r"i li:1"]:: sint paraterosram"ti a..i ai_jjD, f,il\oO.
::*i:l'[#'il',1iiT,,i'iff 
,r'"n li Jii,'lii"fi':ffiii#""f""llg:nur de ra inceput corespund dou;ice raturr.'si'aluri; ;'A:i,UJl,?i''.fl9"',: Tfff :i:,hnumlr pe. ech"
""d;Tll"io#il:,*i.Jd,1ll'",roll'o*."tiffr1,T,.ii.,,ht?l-"?ff lyri;];ffrlw,:;";"{i.ii:"fi6,ii';f ",,,1?.2,f f i,,fi,cu un perimetru mai mic ii care.-sd aibd oitir aiiil ii'iihrtrir.-_,. _, Trans.formarea pe care
"T fajgt_o i,, ,*o..rr-lrJ*a"n,a ,liJl,::[ op:"9::"]]r?flil,,
fill"', i1!3 9,.. " ;l,;' ;; vii;:,p.,,-;:f:li+xi*:rff :'i?,.""1r#i{#tllil{tl+f lrrin:*ti::riTflifl.1?,{:',i,h3[:{1,,;.:izy;t,i;liljl'll"q1li"i"1t"1li*?h,fi i,,i1i,1lri'ffi i"'rusi''*'iii'u"ii'Tin.ir..
t:',:ii::::ffifi,i.,,;t':;,:,:'[r:*fif,,o",f f,,i*olit'i{,Iif:":;i; :f!;, :,x, "rji:;" f fiio o:f,{i;; jj;; ;j,! i ;i ;,{;;"'i" bi,"uo*ou",'"f l*'JXTili jll,:,[il, jilgif alli,?J,rrlSfl :iliiJ:;i;
cu bisectoarea OU a unghiului XOII' Ducem dreapta. QR paralell
; ,l,i 'A/; A"iformim"poligonul M'N'QP in .lltul.,simetric ln
raport cu -OU. aga cum am procedat la teorema xxv l'
Stertul de ooliqon din cadranul XOY arc, conform celor spusel" t"oiutu ot.".io erfr6, n-2 laturi, deci n-3 virluri nesituate pe
;;i., 'Otsi
Ot-Rirutta "a,
atun;i cind il vom simelriza in raport;-bU d;]i"a prin aceste virfuri perpendiculate pe QU.' vom obtinecel mult 2 tn-.i) latuti in sl€rtul de poligon simetflzat'
Ceea ce am facut in cadranul XOY' tacem Si ln celelalte trei
caOratre. -Gaiim,
astfel, un nou poligon, cu patru- axe de .simetrie6;;;;d;;'.."i"n!oi".. 5i'bise"ctoarele.'unghiurilor lor)' avlnd
iel putin aceeagi arie ca a poligonului -de la inceput' inse cu pen-
metiul-mai mrc, $i deci teorema este demonstrau'DuDe cele aratate mai sus, numtrrul laturilor ultimului poligon
nu va trice de 23 (n-3).Este util, pentru intetegerea teoremei urmetoare' si observam
ce --in ielul dratat aici -- putem merge mai departe pe aceeagi.i.,.i'inlo*it porigonut obtinut cu ui altul, atind opt axe de
;i;;iti;, ;;itiiittd'ace-eagi dar'perimetrul - format din cel mult
zn 1n-47 laturi - mai mic etc'
Toate cele cinci demonstratii date de Steinerl) penlrx teo-
rema fundamentaE ce ,dintre toate figurile pla.ne .cu ace-lafl pert-ie.ru- cprcul are aria maxind" se sprijini pe ipoteza ca' prlnrre
figunle plane izoperimetrice existe una cu aria maxima sau' ceea
"3 i"'f.i"O .tt" icelasi lucru, ci printre tigurile plane echivalente'
existi una cu Perimetrul minim.Or. lucru surDrinzator la Steiner care tocmai criticase o
"..r.i.l lip"i ii litii a.tonstralii date de unul din contemporanii
.iai. el nu a demonst at temeinicia acestor ipoteze'--'' -'Si;
i; ;. rationa, de exemplu, asttel t s-a do.vedit,ce^' prink-o
simetrizale analoga cu cea practiiatd la teorema XXVlll in raport;";;;ix1-;;i."; fisura piana convexa se poate transforma ln
;ld;;hi;;i;6,-Jai-?u peiimetrut mai mic sau cel mult egal cu al
iie"ril d^t". Feiimetrut rimine nemicgorat doar in cazul cind figura;lt'j;;i '; ;;i de simetrie parallle cu xX'' Pentru-ca o iiguri;;i; ;i;iG o.timeirut-minim fi6 oe at tuturor iigunlor echiva-lente cu ea, tiebuie ca acest perimetru se nu se mic$oreze pnn
nici o-iit.iritrr., oricum am'alege pe XX'' -Deci, trebuie ca ligffa
ili ^iil
'6-liiii"it"i. d. u*. de sifretrie, paralele cu orice directie
6i ca atare nu poate fi decit cercul.
r) lacob Steiner: Werke (Opere)i vol' lt, pag' 75-91'
Fig. 123Fig. 124
##a"F:"#';l':,ffi tr3#,1if1l*,:,:#[#i.:dfl -{"$;%ll*f.gfl ;s-lj*lJ;#u.#,,ff )r1;,,riil9$j.,oM,N,.. . fn letul aratat ta teorema
Lry111g.rQlaf'pir','g*ur MpeN,In artur cu aceeagi arie fi cu perimetrur mai mifsim-etiil io' iuoo*t08 109
Steiner a considerat aceasti dernonstratie ca suficicui;rpentru leorema fundamentali, cind, de fapt, el nu a demonstritlasttel - cum am mai spus $i in introducere - decit unnetor lfucra: ,,Dacd printre figurile plane echivalente existd unu t'upefimetrul minim, aceasta un poate fi decit cercul'.
Aceasltr lacuni a umplut-o Edler, reluind a cincia demon-stral ie a lu i Steiner $i fo losind chiar metodele lu i Steiner (s iule-trizatea), d1upl. cum s-a vdzut in cele trei teoreme precedentc, prbaza cerora el mai stabile$te urmitoarea teoremi.
Teorema XXXL Fiind dat un poligon ncregulat oarccant'u n laturi, se poate construi un poligon regulat cu cel ntult 2"-'Iaturi, avfnd perinetrul mai mic iar ario nni nrare sou cel puliegald cu a poligonului dat.
ln lelul arAtat Ia demonstrarea teoremei Drecedente. introducembisectoarele unghiurilor axelor de simetrie gisite mai inainte, canoi axe de simetrie, $i continuam simetrizarea incepute la teore-mele XXVIII, XXIX 9i XXX. DacI poligonul asinretric de la incepura avut n laturi, atunci poligoanele simetrice formate succesiv auurmatoarele numere de axe de simetrie Fi numere de Iaturi, dupdcum rezllltd din demonstrafiile date teoremelor precedente:
Nunldrultransformtrrilor 0 -?
2
3 o i . . .1 nl
Nun-"aru1 axelorde simetrie 0 22 ;-l-l;Numlrul laturilor(cel mult) n 2 (n- l \ 22 (n-21 23 ln 3) ,'r-0,1.. 1r''a-^,
Numerele din ultima linie oot fi mai mici : in nici un caz elcnu pot li nrai mari decit s-a indicat.
De aici se vede cd,, dnpd un numdr finit de m: n-l trans-.fomdri, operatia de simetrizare se termini gi poligonul obtin,rt vaavea 2n-2 axe de simetrie gi cel mult 2n-r laturi, adicd 2.2n-2:2"-lsemiaxe qi cel mult tot 2"-' laturi. Deci, .in liecare unshi fornratde doui semiaxe consecutive se gdse$te cel mult o latuia a pol;gonului (fig. 125).
Facem o a n-a translormare, aplicind poligonulni obtinut teo-rema XXX. Aceasta nu mai inseamni acum decit se-i deDlasdmlaturile aga ca ele se facd cu semiaxele triunghiuri isoscele. Iu felutacesta, aria va cregte dar perimetrul nu.
l l0
Anr ajuns, astfel, la un poligon regulat cu aria nu mai mic,decit a celui de la inceput (cel asimetric), dar cu perimetrul mai
mic qi teorema este demonstratA.K Mai putem oberva c5, daci am con-/
=-n7 strui acum un poligon regulat asemenea cu
1./\\ cel obtinut dar izoperimetru cu cel inifial, el
I ,., \ va avea aria mai mare decit a acestuia.
l, ---ff'aKl ! -:2,-----]f i -i\ l/ \l l-Z\' , / t -Jt-J
, ..,y' ftr ' )' Nt ' )PY I \ , / l t \ / r
-
P
Teorema XXXll. Orice poligon nlgulat' de un ttwnar oure-curc de loturi, are aria mai mid decit ,t cercultri izoryrimetrucu cl.
Fie un poligon regulat P, cu un numer oarecare n de laturi'Pe fie. 126, iroliionul e"ste reprezentat printr-un pitrat. Fie C uncerc iare are acilaqi perimetru p, ca $i P. Notim cu r raza ctr-culli inscris ln P gi iu s raza
-cercului C. Circumscrieln acestuicerc un poligon P', asemenea cu P. El va avea un altperimetrup''Avenl
t,r nsAnaI ' ' - !2, a a L- Z1
pr2
s
Deoarece P' este circumscris lui C, avem p')p, Pe de altaparte, asemiuarea celor doue poligoane, cu apotemele / $i s, ne de:
,u : i . t deci | <1.
Rezulti cl avem:aria P<| aria C.
Teorema XXXlll. Orice figurd pland inchisd cuprinde o ariemai micd decit a cercului izoperimetru cu eal').
Fi! ' . 125 Fig. 126
r) Aceasta este teorema fundamentald a izoperinretriei (N. Red E T.).
l l
atia Paria C ps
2
unde
Fis. 127 fff9ste deoarece, inlocuinJ tiiun"tiu.ile
se
- - -., pE srrin d . n o,,r,. ', o.;i, j"o'illi*:?rT'f,#i;:
":::il:manror de mai sus, avem aria Ft]> ariaF Si prn#aria Ft - aria F: d.
In figura F, inscriem acump,'xgon P cu laturite destul
mrcl pentru ca sA avem:
ana Ft- aria p<d.
^_,_^ l:{rl aceasta este destul,*dupi, cum ne arattr fig. l2B, caorice punct de pe conturul lui p si fie depirtat i"liilir'"_"r_punzatoare a lui P (adici de coarda arcului pe
"a.i "i'se utiat
"umai putin decit f,. In adever, aria F este atunci maimici declt
aria- P adunati cu ariile dreptunghiurilor cu indltimea _r4- construitepe laturile iui P. Notind cu p, perimetrul lui p, avem/
1t2
aria F' -aria P<.p' .
I lvhxime Si mlnime geometrrce
, _ Notim cu F figura considerata gi cu C cercul, avind amlrr_'doui acela;i . perimetir p. Figura l'- o putern inlocui cu o alta izo_perime-trica dar mai maie in' suprafate,' in teful'uimatJr." fjo...rn n
ii,*B'!. fiq { ..'ff :;,, q 3f ',n' :l i" *,.:;:1, mfr ,, :ri# ;lg:ra,-?l1i inegale- Inlocuim .p-artea m;i -riJi'p.i"
,iri','rili, rrpffi",i."F|'id.li#.Ti:i' "i f:H, T,i,.,ff il,,T",.rjii,i"i,'Ltti,g,";f j,
'*ftlX-;.'.?,1?, f,..,:'f ;lti i., il"fl :i,#;f . jffi,qi AR'B nu sint drepte, purem-miri'mii o.-pli.irii"i'i'gi_i, rara
F a_i schimba perimelrul,da:i ,6ti, ..e_
i\'|hn X'ff'"f",tTf"'' limitate de coardt"le
i \l\ jurur.rui R ; i,?f*nl"T3:,'J'",":;n' Tii"i'ii"olfr i ::,1 B[i,.":,X'gl'Jli:i nfllly In retul acesta, pdrlile hapurate nu si
,ffiDy. modjficd forma, U.ci perimet.ui tieu.'iiR ramtne neschimbat, dar aria totald se
Dar cum p'<p, rczt)lla ca aila Ft -aiaP < e' +:d $
afirmalia de mai sus e dovedite'
ana F, - aila p 1d qi aria F' - aria F : d'
rezultir) : aria F laria P'
*ili1,"Iil:t$:lt'T',[iijJi ;if fiilft"ffi
Fig. 128
de inesalititi : u '^ F laria plaria PtlariaC'latia C'
care demonstreazt. t"':1";-:::i,f 1Ti3;'. trei teoreme demon-
.,,",,,!"i'f il"t"?t:Il.lji.!?qi:ift {li;l*i.}l;:ru'J"T,i'f rl'iI rul:'* ir itimr *r":* ::ri-q:fjff "lih?,,ii:'#* : i1#lXi':iT;3'li*#e'$d*;:tf;$$h.i*m n
lffi *#iT..;ll$1n*l'u,,:,''';t$ffprin aceste luot".9-l,1jT",l,r'ff":.;i"T f"J#:"f;i'it':.:i|$
1ffi1':';:,iilfi j:ii:#?-:rx#fiil*:.'*;.**n'lTi'L""Tlsoane regulate cu acela$t PeIiare are aria mai mare t
-- rIleo"ln din cete doud plrti ale inegalititlit. respectiv cele doud pSrfi
ale egalitltii' ii avem
alra F'-aia P- @rla F _-alla F)' d-d=0
Silu
oect
aria F-aia P <O'
aria F -aria P' (N. Red. E' T.)'
l13
;"".T,iff::"r#trebiri Si la. altele asemdndtoare respund teorr-
. Teorema XXXIV. potig .o1ul regulat are ario mai murt
ii,li,uf l,lrr,!,i[f"n neresulat. izoperifretru ,u- ,l' i ili"Lraosi_Fic (fig. l29l poligonul ABCDE, avind laturile aleturate ARsi BC inegate: ae-<a-e Muram pe C in Ci, o" i"ir*"rii,,L,,",
;3"S"ilf r%;l i, 'l;.p5';: .1.,:i" gliT l jsc' -,rc-,
J. e.t t. r.Ar. doi rea pori gon *' ungii ; fi i,:' H,l.:"ili".,li j,"^n#ill.Este
-rnai mic decit ,,,iF:bC-,r) gi prirr urnrarc4 AC'814,49,6,.
'",.,oi,$"'f ;i"lg'f,:'i*x."",i, f#tL'; f ll' *oT,i,i:?.".#i"filla
ghiurlle AC'C gi.4C'8 fiind suplementare, suma unghiurilor C/,4.f,'fi C'AA) este mai mare ca doud unghiuri drepte.
Noul poligon format are o laturi in plus. lnsi dupa'teo-rema XXll, el poate fi inlocuit cu un alt poligon, de acela$inumer de laturi, ca primul, de acelagi perimetru cu el si cu o ariemai mare.
Din cele de mai sus rezulti cd, atita timp cit un poligonare doua lat[ri sau doutr unghiuri neegale, el nu poate ti de ariemaxime, printre cele izoperimetre cu el. Deci, dace printre poli-goanele izoperimetre ti cu un acelasi numdr de laturi existd unulde arie maximd, atunci el trebuie sd aibd todte laturile $i toatcunghiurile egole, ddicd sd fie un poligort regulat,
Dupi cum se vede, aceasta demonstratic prezinta aceea$ilipstr ca gi demonstratiile date de Sieiner tcoremei fundamentale;pentru ca ea sd fie complete, ar mai trebui doveditd existentamaximului. De aceea s-au cAutat $i alte demonstralii, mai rigu-roase. Apa, de exemplu, ln enciclopedia matematicilor elementarede Weber gi Wel lstein, vol . l l l , la capikr lu l despre maximc$i minime geometrice, aceaste ieoremi este denonstratd prin in-duc{ie completd, in felul urmitor:
Proprietatea este adevirati pentru triunghi (v. mai departc,problema 73). Dactr vom reu$i si dovedim ci, in cazul cind admi-tem ci ea este valabili pentru poligoanele cu n laturi, atunci estcvalabila $i pentru cele cu n+l lat[ri, aceasta va insemna cd amdemonJtrat valabilitatea ei ln toete cazurile. ln adever, atunci pro-prietatea se va extinde de la triunghiuri la patrulatere, dc laacestea Ia pentagoane etc.
- Ltrsim in seama cititorului sd incerce a reface demonstratiape aceaste cale.
Teorema XXXY. Dintre do d poligoane regulote izoperi-metre, cel cu mai multe laturi ore aria mai mare.
Fie ABCD... L un poligon regulat cu n laturi (fig. l3l).Si luim un punct K pe latura 8C. Poligonul regulat il putcmsocoti acum ca tiind un poligon neregulat ABKCD... 1,, cu (n+l)laturi Si cu un virf in K, unde unghiul ar fi de 180'.
f ) Deoarece < AC'C<CAE li B|AC'=AC'&, adunind membru cu menr.lbru. avem
4 AC'C +4 AC'B<' 4 C'.AE+4 g AC,'
(N. Red. E. l ' .),
5
Fig. t29Fig. t3t l
'it":,:;,:liibr*i;iTi|"xti:'fi ;1i,,r;:,ti);",xrt,loi,:#trr;
#ffi H'f,':*p*l;Hif ftefitfffi--**r,*i*t*,il; ffi,il;ffi ."#::
4 ACB =a 619, qi I B,AC,=4 AC.B (N. Red. E T"),,l l4
.r( (8, A, AEI'>2dr.
*.,tti.^dif lid,fi iTilii,i?T,.,,ij:itI iluri si,teorema Err."ii"i",i!il.te.R,,l::l:,::tl. ,iiioll"i.if .u.,na
to.,.,,lT:il#_rrbd!sr;i*i;,r#;tTi:,j$u.,t,l;B^?lll1,(scalen, cdci nAf-'ijl S isoscel .48,p. izr,1,r,
r XXXlll - el ar-' aril maxime (pentru perimetrul 2l)' Dato
"il;;;i,
reJurta - a :eta$i'"."1"
if""g:'-,,;1iititile de iieuri
la care am Porntt: semicerjul i
o,,J"il,",,2::!:l',!i,t:ri{,i!!,i,'!u'!""i!,il;,,!,'.'i,f,l:;u:"'tT
neregulat arc i l{cu el , de (z I l )
F'i, j. r32
Teorema XXXVIII. Printre to'tle Iigurilc, nlirginitc ^de.
un
nn^rlri"ii'iiiii;",i;;-;'sii a' uu urc"rti t'urbi oar*'orc K ctr
ir?r'iii"''axi li'u'it mtximd. o .cu.prinde segnentul de cerc cLt-ioa'rrta
u si cu ldngtmea arcului I $i rcclproc'
Completam (rig. 134) cerc[l din care fac parte ssgmenrur
"oori,rl"i,it.'ii."i /'gi coarda a'cu ar:ul de cerc C'qi apoi' ali
tuidnr ii or:ul,i de c,rrbe Karcui ite c.rc C'. Ccrcul f
-----.-iC-C I Ei curba irtehisii ,Z - ->U(C') sint izoperimctre it .-i--- Oupa teor_ema XXXl,l^ ; i 'l I l
rimine cd arc I de cercC in:hile aria maximi Fjg l34
lali de orice curba K.
Steine r n tlt2$tc pLI4.e a clrctlui filyla -,1y.1y-ldmtntdintr-un ccrc,Ie la cure
''t'itirtam segncnte cuprinse intr(
i'oi)ar'si- orcrte pc care le sultirtlitt I*- - nJi,tJ in vedere aceaitd deti'litie' p'rtem e nttnla tlrmetoare;'
^,,,Jii'"ii,?,Id*,!*,?:,'!:;,!f :i!')r{f t,}?!:[ri::Yfr'!,*irri:i^i'r;;r:{t;!i,,f ;:,r;,':,;t,l'";;:;:,li;'i,,,x,li'2
nlmd e;tti un semicer c'Aceajta este re:ipro:a teoremei precedente'
egalitde de urii-
cu lun-dnpi teo-
/ \z ' \a\/ \
, \Fir i . l3 l
neregulat ,46?C acum poligonul
l,;:,,gJ^:1,,11 "l_l: t$ ; ;:;# 1 " i:' ii" #,,'#, i,;,,dfl , :,*1,:1,, ::li,. j,l'#tf j,, ;:g,ru r,' .,' u.*io ei i,,iiTlil,?'i,. il'?i'_* "; ;, o.",,(teorema XXX|VJI (/, -f l) laturi
.^_. .59 p."nl da Ei denronstraqsu.d. Asrrer, L e s e n d .. , ,,11'.llt*l."ndente de reorema prcce-aria maxinrd o are cercu.l. I I
' '. ilnlaturind a'um, la arnbele
l#il,^il"l;:if :l$ii$";,;'."r'*iii:::i"i#',ll*q',3i[T;iilili, ii*t di cer: c" ''. r, ,' "'-r- "/,"".:"'1"::,"^-,"ii.,;;;''i., "i"i;1ffi iliil.l"",f,?l
nre luotd. dupd voie, iiantQxrma o arL: Senicerculee tunginred lotd l-. Fie (fru. I33) arcul
"?.li'iio'f,iJ' *
rungtmca 1. Nu are i rn_portallA dace coarda ACeste egald cu dian)etrul,f , sau difrriti i de el. Con_srrurm . _simetricele .49,C
ffl"l::.i[lfiurJ:T'fli:,i",:],:.j va avca aria mai mare (rezurrao'"'::':fli,,*Y-:1r,!i"##: ji il:if i,li,Eiii:::'i ;:s:l* j.,,.:"; I hff ;:
;ij, .,l#";j,,f"f. r,t o,i," ".."' ."1,,l,"ill;i: .:i" i.:lli,r:1,iff ,T ;g:trili teorema noastrl.
l!.^rl::,!g ,o, a, o ii!!i'::r,:i,*Wiyi,l;i;F;:,,;'t,,r,0,"!!:::;i,,,;,;,,i:,;!,,.,!:,ex{'ntflu un fir tfc ufli)
Fi{. r 3:J' " "" ' ; ; ; -c '
o 0. t , . a cerrulr i C, 9i F o 'p1rte,a l l te] . f isun
r ne. i 3'i l."n ja,Ji;i, !, ! s 5' t'^r1^ * " ::"'- j:tl':"'^ :,i.":i :i\';il,,3.t$d."01ili ll, I;i:'^.. 1""11 t, guri izoperi' er ri ce, iiii::r':',:','j"*{i;f"11f'HJ;:' jlj';lll,:t;:,1,lilfi *'"""e'ignea contirruiiioi ;2. i"al"i' tii"#*J,t l,?tiT,:l.,7 l?ll.i'Fiu;ll';'*l,tiii rlsiil'?'; ..i-'ii.' a :iiari p:rim6tru -cu
c "
ins{ cer:ut Cr are arta mar mlre -decit
iigurd F" izoperinelricd
r lq I t l
cu el. Deci,partea de cerc C este lmai mare (ca arie) d€cit par-teaFaf igur i iFr .
Demonstralia este analoge pentru teorema reciproci.
lt de mare, Pulemde coarde' formind i,',ll|j*il",,?l,ll;'"Hi"':,19'i ;38 ;'i'
.arbiFig' t37
Glsim astfel o figurS^ F' -izoperimetrica
cu C" insa lYil -: '"'mai mice (fig. 137,0)' t-tof'no.
'"tgtntntA" Ae cit" dintr-o-parte ii
din alta. Idmine ca. po|lgonul inicriptibil P, are o arie mat mare
ca poligonul neinscnpllD' l-'^-u ,u,unt. date, in poligonul inscrip-
,,0,r. 3u'ollf "",'L T 1"''ii*f'lit1 a;;;'" ii'h a ""r oi'o.l::pyn'a-ii:iii' i.t,i:tui' n.b_ot"*'.e ::yJ: :ffi".,ff i:"l,:i :',ff !:1f : Ji;l#lua. Ordinea nu modrrca,--mct
i;;;'';;ii". segmenielor circularedilerenta intre aria cerculul 9l,i,i' u"rii"
'p. -rot"rile poligonului inscris'
Prob|emaT2,Careestepdtrulaterulntaxim|)tnsct is intr-
Fig. 135 Fig. 136
Teorema XL. Un poligon cu toate laturile datet) ofarode uns, are dria maximd cind latura nedatd este diametrul unuisemicerc in care este insuisd linia poligonald formatd cu lutu-rile date.
Fie AB latura nedati (fig. 136). Ducem diagonala BF. Dacitin triunghiul ,4FB unghiul ,4FB nu este drept, iniocuim acest tri-rrnghi prin A'FB, in care A'F este perpendicular pe FB 9i F,4':-FA. Atunci (conform leoremei XI) aria triunghiului A'BF este mai
mare decit aria triunghinlui ABF deci gi aria poligonului A'BCDEFeste mai mare decit aria poligonului ABCDEF.
Ralionamentul fdcut cn privire la virlul .F il repetem pentrutoate celelalte virluri (afari de B) 9i ajungem la concluzia: Poli-gonul nu poate avea aria maximd, cit timp latura nedate nu sepoate vedea din toate virfurile poligonului sub unghiuri drepte, decidace aceste virfuri nu se grsesc pe semicercul descris pe laturaaecunoscuti ca diametru 2).
Se obtine aceeagi lungime de diametru oricum am ageza latu-' rile in poligon.
Teorema XLI Dintre toate poligoanele care se pot formacu n latufi date, aria ced mai mare o are poligonul inscris incerc-
Se vede imediat c, se poate gisi un cerc in care sa lnscriemun poligon avind laturile date. Deoarece, dacd luem un cerc C
an semicerc?'" ""'nj" -eba diametrul (flg- 138) si lpcD^ patrulaterul ceutat cu
aria maxime, inscris in -tt^'t"''"t"J hiifi'n'itit gasi un triunghi
;:fri';ffii;,i patrulaterul, in fe|'ll urmetor:='"';;; coar aa 9n. v1t1le\;"0?,1,.u,! .11, jb1"fli ?ui,3#BE. AE. Ducem apoi dreapta
tigur' maximl' in loc de 'figuri cu ariar) Se obi$rll.lie$te a se spune
tnaxlmi'
I 19
') Se lntelege date ca lungi re, nu Si ca pozitir'.2) De fapt. 8-a demonstrat numai c, conditia instriptibilitdtil in seml-
eerc este necesard pentru ca aria str fie maximd: dacd ea nu este lDdeplinlte,'rfia [u Doate Ii rnaximd, Ilsdm ir seanra cititorului sa dovedsscl c{ aceasttr4onditie'este Qi suJtctentd: daci ea este lndeplhftA, aria este maximt
i l8
:.',Tt*t:1":,",."i1,fi";,*,::,:cd^.EFrestepararericur/),l?11i1":,,T,,:**'n**;:r+;?ie1';i'Ji.ff?+1;,illffiii:! ;:r Hr I'#f g:' ii*".",T#'l,"T'ff ; ?1,;,TH$:.:',:,':!,T;,::rr"{:&rTr#,i_r1"i.:fr iJ:',:,i[11
Avem, agadar,
aria(ABD)_ |aV,ID;
aria (BCD) = .J, Ao , _r$i deci :
aria (ABC D) _ ) ED
" @D + e_r) _- zt tux@nu14: \Ao ne_
: -5 BD x EF: aria (BDE)Insd, triunghiul maxirn inscril ir tuu')r '
f E^ aecr sa avem BD- E-p -1ccrc,este triunghiul .cchilaleral.
-:,i,,ii:r.iii,:,tTlfJ?t,a,ii.i'1",ilii,il-3:;'_1"i:larcul lC "rtu ugut'io
:6_0'. Rezuttd, t" -i"i"'"?"J 1",ucut DC.esre egar'io ilri,aE]llrroh)il /-D a4.6.ns, wDjA esle de 60., deoarecr
in cerc.2)Deci ABCd o.u"i.-ra it an semiexagon regulat inscrir-.
Deci produsul celor trei factori este maxim cind
P-a:P-b-P-c sau d-b-c '
Triunghiul maxim este echilateral.
Problema 74, Dintre toate patruloterele izoperimetre'inscriotibite intr-un c(rc, aria maximd o are pdtratul (demon'stratii directe).
Dace notAm cu a, b, c, d lu|gimile lattlrilor Si cu 2p peri-metrufinoi fatiulater iriscriptitit, ar:ia se S este data de formula
S: V(p -at p-bl tp-c) (.P -' tr).
Suma celor patru iactori de sub radi:al este constanta penlnloatrutiteriU izoperimetre 9i egala cu 2p. Rezulti ci aria va fiinaximA ciL,d faciorii sint egali, d.jci cind
' a--b:c:d '
Printre pdtrulaterele izopcringtre inscriptibile' pdtratul estemaxim.
Problema 75. Sri se circumscrie unui drcptunglti ddt undt dreptunghi, care sa siba uria moximo.
Fie ABCD dreptunghiul d,at ii ABC'D' un altul circumscrisotitoioi tiie.
-l:ci. Ungrriut Abt B
'tii,td drept' toate dreptunghiurile
circumsciisc vor avef virtul lor B' pc*"-,i;"!,:Ei,\i;ro;xi,i,if,:E,l:ii^{li,r::{:^i::*r::,y;tre.ariaa't" $'i"ft h,f #r*# l,i" il,ll!":, ll "
i.n',i. i,iiili l,*n, r,,.s-VnG=qh=dTp=c)
"*, !":T,.f,ili: ||YiLlr,1; gif rirearizoperi,n*re, ramine a
-_::) + @ - b) * (p-c) - 3p -@ + b + c.1 - so_ro _ r.
*ruttit)"fdt'4 ,E:'n5r. lafc AD+at€Dc),dar arc Dc=arc AE(ADlt cE,arc DAL.
-,,?A?,1j{,"i'*F;{i;:::;"?,:,,...-,1};:1;,:
semicercul descri; pe AB ca dialtlclru. ll lsadi tre toate tri 'rnehiurile AB'B astfel for-rnate. duDe te 'rema XXVI, cel tnai mareeste tri.,nghiul isoscel. Decl ur:ghiurileABB' ii EAB' vor fi de cite 45'.
Construim la tel triu ghiurrle isosceleBC'C, CD'D, DA'A pe celelal e laturi aledreotdnshiului dat. Laturilc lor care r'lt 'acddinir-u. i a 'e lasi v i r f a l dreptnrqhiului datsint in DrelJngirc, datorite sumei suplimen-tare a rinshiuiilor fornlate irr acel virl.
D'
A
Fig, 139
izo
Asal*, A'B'C'D', astfcl construit, este un dreptunghi circum-."ti. iul-,ibbDii - dupa felLtl cu'rr a to"t obtrr'ut - este maxim'Dar laturile acesiui dreptunghi sint eqale $i anume tgale cu seml-
;;;i;il;iire;il;.qniuril oai' Dreptunghiui citcumscns maxim estedeci an pdtrot.
t2l
- .Problema 76, Care estav i nd Iu ngi mii a;isiiLi, E"d{rfSaletosrun ut c u a ri a maxinu
slJ1,:i::9i?:,i el:,?lJt'"s,Tp,ffi "f Tjii[3,,!'li;,ii?t,"H,,#;drn teorema XXVIII, luind axa
a I aiagenJl "i?1H"fflJff"ii1l1llK*:iV" Mri "*:iT?."::""""ff "l jiT#:
"/-,",',( ;"';'; "#;',:";Lr'T;,J:'",iti.X_j:',:io C cele d
""., 3,2. Sii:;,,ftT :: :;:.,i*Tll,tFig. I40 are rotInir. alll.o,
cu diagonatete egale cu lungi_
Dintre triunghiurile izoperimetre, aria maximi o are triunghiul
cchilateral, iar din AE:EC :CB rezultl C-B: +
Problema 78. Dintre toate sectoarele circulare izoperimette,care are aria maximd ?
ACB ca raza TB:-AC: r ti caexprimate in functie de lungimeaaria sectorului.
Iatd $i. o alte demonstrahe:,.
r^unghiurile ABC $i ADC sint egale, ca avind laturile res_pectiv egale. In aceste doue{recr re rmpart in parji echivatelfrtf;nghiuri' DD 9i bZ sint mediane,
aria (AOB): aria (BOC):aria (COD)_aria(DOA): go .Este desiul, deci, sa gisim. maximul arie_i.4OA. Oi. oo*,lf ili;Tiii;.'11-3i'-=13''''::-l:1ll''ioi'-itiiiii'"i'"^,i^
o.eci. se rie ie[#;;;,-." ;J1::59yr1r.e Rara-h"losamului trebuie.el devine ,oru'ir-"u'JqqonSi;;Xi;,X."'' s sa fie maxime $i atunci
Problema 77. Se dd se[rmentt]t do ,trD^^tx !:-- -^ r\punct c mobir pe er. se or"r;f:.:*^'-
* ureaptlJk AB $i uny,9,.'1r,,i1lfi.;';,;;,;';;';_"n cerc cu razaeBsi din A st
Lu{m (lig. 142) sectorulunghiuf A de u radiani (arceraiei). Fie p perimehul $i SAvem
p: AB + 'aC + atc IJC:2r + ur i
s: )r-la"tungarc BC :r!sau
pr:2r2 lur2, lzu: pr-hzli deci
^ lD I5-r l i ' ' - r l '
Suma celor doi .factori este constanta p5'
Deci, dup6 teo-
rema Xll, produsul este maxim cird factorii sint egali, adice r:
: f' , lnse p:2r+ru, de unde scoatem,'a:2r. Maximul va fi deci
cind lungimea arcului este cit dublul razei, sau cind unghiul sec-{or[lui are 2 radiani.
Fig. 142
mul triunghiului ADC?Fie t mijtocu ui,4Afig. | 4l ).+,p^ Epc ..,. l"raiiiii''J,iJi
^l-rL, Oeoarece Df este mpdie,rr.4DC, .deoarece oe-iii. ii.aiair.E_ste desrul deci, . ia'.-r
'*""iii""i ;ariei lui EDC.
i
,^^.., YLCqot .4DC fiind dr.pr,rurut ^[It
,--este un cerc descns{ l: 9a dtametru, care va aveacentrul,in f. Deii,' Fis. t4t
te__en_ rc$i perimetrul triunshiului tDC este egal cu DE.F Ee r CLt:= .4E+ EC LCE- AE, adicd esre constant.
t22t23
PARTEA A PATRA
GEOMETRTA IN SPATIUcare se li numelte distanla dintre cele doui- drepte' Ch-estiunea se
il;; ;$"a;;, ia a gisi 'aceaste perpenliculare comuna'
CONSIDERATTI GENERALE $I PROBLEMEt
. ln acercte parte vom grupa problemele dupa corpurile geu_ili,.'i1.,i,r,r1,"i... se referi, otcare.ar fi m;rod;T; ol'tJrr"gur"
Ne vom ocripd aici nrparalelipipede dreptunehice. o1Y.-^9t,-.nti:"e . drepte regulate, de
ciri nd ri ei ""nd ;;;ii..;;i;;,J' :',":l"J*l; piramide relurate, dc
lxr *d{ii"i l!,r,ffr,,"1i:t!,!iT, i::til J"fr ,,I"i."T,[i,fpln n tndtiimea prismel rr. oirarnidelor, cilindriloi, .onu.iioi"ron"f o,Si catotefor, ca R raza sferii, cu S suprafelele i.i..ri.,,.,i -V "o_
rumele Si cu c constante.
^^-^_,Ydl: din. teoremele fi problemele de geometrie plane aucorespunzetoarele lor in geomerrra in spaliu. Ele se tratedze la fel$r oe aceea nu ne vom irai ocupa de ile.
Teoremele din geom..tria piand se aplictr 9i in spaJiu.
S 1. DREPTE $T PLANE
,- . Problema 79. Sri se gdse.ascd. depdrtarea minimd dintredoud puncte luote pe dou| trrepte din spuyiu. " -..-- 'l
Fie dreptele D si l/ ne l1.-.giT
puncte_te.M.9i M,(fig.t43).ln planul dus prin Z gi rl4i depanarea minimd de la M ld -U e;teperpendiculara lvtt,.dasd din M..pe O,, ae:i aiumui.ui .i,ii
r.r.t::.r,$."1r.||ift
'f'"lir3 Ia 'rl este aat al perpenoi#;'," p"
,^ ^ 19! astfel, drumul cel mai scurt de la un punct de pe D,11-?-":19 situat pe p:rpendi:ularr p. o. o".t aufiiriili"#nimaqrnrre cete dou6 drepte D gi D, est'e perpenaicitiri.ioi"ornona,
124
Fig. l4ij
Ducem prin , un plan P, care este -strApuns. de. D' in E
ffis. t"a;)"ii i['il*t pitti aucem Jieapta EF paraleli cu^D' Prin
i,;"ii EF io.em un plan P' $i dintr-un punct G al lui L ducem
i.to-enai.utu,u GG' pi accst plan P''"''*i.i" ild"*mi in planul P, paralela A'G' la EF'-care taie
p" o" i,i' ,q"l iii" 'i't.*t'p*tr
'4i' 'in planul format de D $i de
i;Cl a*.. .4.4', paralel- cu 9G'. Sri aiatam ca '4A' este perpen-
ai"iurlti iotona a 'dreptelor D 5i D''Dreapta GO' fiind perpendiculare pe planul P". rezulu^ ce $i
oarale-la'.f AA' este perpendiculari pe icelaEi plan' deci este per-
fi;l*"itu,a';; or.apia b' "oniinttta'in
el' De isenrenea',AA' este
oerDendiculare pe drcapta "
i;--'titt trece-prin piciorul ei' deci
Hi';;dili.t'lrta 9i pe paratela acesteia' D'
s 2' PRISME
Problema 80. Intr-o prisma drea.ptu .triu,nghiulard se dau :
inauihili'-a')iir"'iiiioi si "iiii un'i' fele talerate' care este
ninimul suPrafelei ei totole ?"-";";;
;;'il; ABc A' B' c' (Iis' I 45) si sPunern--c{,^ABB'A' este
lata a carei arie se cunoaqre] Prouiema se reduce^la .a gesi' ln
!?iaiiril'i^tJ";ini'ol .uin"i ui'iioi r't'to' AA'C'c ti BB'c'C'Inaltimile acestor dreplungntoti'tlinJ aate' ramine sa gesim mi'imul
;"ffi";e i- fC. Dar aia feiei ABC este data; -dupe.teorema XxV'
oerimetrul acestei iete t*ti-' tinit clnd triunghiul /8C este
'soscel 'AC:EC.Problema 81. Dintr-o foaie rle -cort dr.eptunXliltlg11" sa se
n"a 'uiiiii"irih-it la capit'' ovinLl capacitatea moxtma'
A6, :-=_- -- --
o- i - - t - - - r r- -{ - - - - - -L--
- '4 - t - - -- - r ,4 - - . - - fa -'--\
t25
_Presupunem ce cortul , ABCA.B.C, are AAt : Za $i lltt I: AC :2b (fig 146), 3cestea fiind dimensiunile date ale tlir rlrA I
cort. problema se reduce ta i-"oniiioi-i.i,,,,,,1r,r,,rN I 1"_f; rn cIe se cunoagte suma a doue ]rLtwi ,lltF 7 i,"i+
rn c:r.e se cunoa$te suma a dorra latln ,l/il
)r r'|L, asrret ca aria lui se fie maximA.I
' ] | A' h , Simetr ia nc i r ' ; r t , l
I I i ,l- - -_H ce trcbuie sd c;rrrr.,ri,I I i ,f; - --H ce trcbuie sa e;rrrr.,riiI I I b/ ' ( / l \ capacitatea mayiurr Lr\ l/a' ,/ ,C. / i \ corturile ca"c illr l,l
f h-' - -*i " ::,::'",j:l';ll}'.:i;;"
Dace d, ,, c sintlu i , avetn:
dimerlsirnile paralelipipedului $i d este
421 f iz.. 62: t l2 ;
V: abt, V':2zSz2z.
.-^,.._,:. na$te acum intrebarea: care dimensiune a foii dc crrrt
iHli: H: J3r;Zt# :rPy i,!>*'^, e:11 -in;,uiii'"J "i"",il'.,.":;f ,:,'*:':,iii"*i{:a'il;"",,T1;?1"lli::'o.::'., j":liili":i Dupa teorema XlV, acest Prodrs de
este constanta |, este maxim cind
Fis. I45 Fis. 146 . AC:?r.Apoi , ( | r l r / lteorema Xl, acesr Ilr
fili;;i ""13,,i1, ?!f ;'f,, ntunci aiia1a#f-ilii:'l*1:Jli
S 3. PARALELIFIFEDE
^ Problema 82. Se dri s
Ldrc este volumul sdu ,o*i#{o ntuchiilor unui paralelipipe(t.t)
NotAm cu a, b, c cele trei dimensiuni ale. paralelipipedului 5rcx^ s_: d_+, +c.suma lor. Suma tuturor muciiildi,'.ri"'5
., Cum. d este c_onstant, maximul lui a,+b+.c ate loc in aceta$lIT-?,_:" l.lui S. Dupl.probtema precedenia, -p.i,iro-."'31a
r,"maxtm, trebuie ca muchrile si fie'egale, aAica' paiiielipipeaO *tie un crrr. Maximul ciutat este
.,0: (t+/)3\im; D.:r|m' ." -'1/E's : ab + 2bc + 2ca: ( r +r+ zr + zl f,/m
: t'\, -
:-"este cu fundul ptrtrat, trebuie si facem o:, (sau
o:t-{zv; ,: !'i-tv.Intrltimea cutiei este, deci, in acest caz, cit jumatate din latura
tazii. "cei,i'-ce-'eite in concoraanlA cu problerira precedentd' Se
giseste apoi ce, in acest caz,. l-- ? ,_-;
s:3"{4v':4,7622. .. I v'.
Problema aceasta are aplicatii la constructia cutiilor paraleli-pipearce cu capiJitat. drte, iecut! cu minimum de carton, de tabhsau de lemn.
Problema 89. Dintr'o tabld dreptunghiulard . se. taie de.fu cotluri clte un pdtrat. li-.se ridicti In sus mdrgtmle ramase'Cit de marc trebuie sa Jteiitritit, iiiitr, pintru c.a citia - '--- a -'--"'-1
una. o: $4.
4(a+b+c)- l )a,
Suma tuturor muchiilor este deci:
4dl 5:a,gze.. .a.Pro.blema 82. Sri se focd o cutie paralelipipedicd deschisd,cu capacitate maximd, aviid suprafala iotala tiaiid.
,. Lu{m_ doud cutii de acest fel egale.gi Ie punem una pesre3llr1-Sog. la gurd. Vom obiine rrn paraielipiied lnijhis-';u ;;;raratatotale dub'a Si cu vot.rmul' dubtu,'-fafi a6'"i. .oi#"i"tut"l CinOacest .paralelipiped va avea volumul_ inaxim,
"rtiu' "i-ii,"i' 9i ..capacitatea maximd. Deci, dup6 problema 8t, ;i,; trlur:.'ia riu njumState de cub.
, . Problema 88. Se cere sd se facd o cutie parolelipiDedica!:::t:!:a sus,.. sti i nd . cd. di me nsi unit e eiri;- iir{ri;-'ii','{e ayte,;,:#i^,ff;.^,, raport g cd suprafala lotou o ciiieiTrenie-sa
_ Notem cu a gi b dimensiunile gurii gi cu c ineltimea cutiei$t punem b:ar, r llind raportul dat.'Ave"i -- -
S: ab t2bc F2ca:2ac ( t + r) +. a2t .l/:4fr6: 4297.
,u"In t.outur pe c din ecualia a doua gi .il d(cem in cea dintli Si
s : ?!,:,*-2 i azr : v (!tr) * Y$A I ozr.
,,r,, ?l:t.urr c;i produsul acestor trei termeni este constanta-' "--! ', . Deci, dupi teorema XV, minimul sumei are loc atuncicind Y(5t) : azr. De aici, scoatem
V lr Lr \a3- ' i : b3-Vr( l ] - r ) ;
6s6s : !-(l!!2 : h3rs: v2rzr ' " - l+r '
^3_ ( t+r)2 '
orrr:firt
Jornatd astfel sd aibd coPa'.ritatett moximd?
Fiea$blatur i le tableidreDtunqhiulare Si c laturile Pe-trat-elor-care se taie din colluri{fie, 147). Fundul cutiei va avealaiirile (c-2c) $i (, - 2c)' iarinil{imea ei va fi c.
Deci: Ftg. 147
v : (a -2c) (b -2c) c i 4v - (a-2cl (b-2c) (c)'
ln Dartea doua a egalitetii din urme avem trei Jactori a ciror*ma
-"tt!-io+at, indepEnderiti de variabila c' Decl, .daci c va-
. iiaza" rnixiiiut trii y arl loc ciod tactorii sint egall' adic'i
a-2c:b-2c-4c; c- fr: i '
Egalitatea din urmi cere inse a:b $i in acest caz
,, 2as ^3v:a:0,074.. 'as.
I
t28 i f4lxi ( ti nriDimo geomet !c? t29
. I)aca insi- a _nu este egal cu , s_ar parea ai problcltra rrmai este posibiti. Se vede iiisa cI,,pentiu ;:0; ;;.fr"7:6: ,",dacl d>b, avem iarr$i l/:0 penlru c_4, deoarece ftindul cu_tiei-se reduce atunci la un segment de dreaptd de hrngimea a._2rpect un maxim. existi. doar ii meroda ioii"6rint"ii",J Ju, ,,,,fi1iJil: fi''n1l"i;,"XTirece ractorii nu mai por'ii1ofi'in'ii s"
f nmul{im volumul V cu mn gi vom aveamnv: n (a_2c) x n(b_2cl . : r .
Snma factorilor din partca a doua estem (a -2c)! n (b-zcl + c: mu + nb + (t_2rn _2nl c "
Pentru ca suma sA ramini constanti trebuie se ludnr
t -2m_2n:O saa
$i atunci putem scriem+n=: +
de unde
(a-2c) n:(b -2c) n-c,
^: ; !6t n: ; t ,
*: .*n: a!6+t i ,care ltc duce la ecuatia in r
t2c2-4 (a + b, c+ ab:0.Rezolvind aceastd ecualic gdsim :
,-zta+o*t lTF o,z-er! : , t+bJ- l(Tl; i_o6 -
adice
,: o!!:-''/4--!L si e : a+ b+tl*i6r-a
6Rtrdicina se poate extrage, deoarece
a2 + b2 _ ab : (o _ b), + a b>0.Pentru ca .si putem admite valorile lui c, trebuie ca ele .sa
^Anu intreacd pe f, daci 4.>r. hlttel, nu avern de undc sc(rate
pitratele de ta col{uri.
t30
In ipoteza ca a<b, prima solulie este acceptabile deoarecegonditia c< f ne conduce, in cazul acelei solutii, la inegalita-
te^ [1>o, conformtr cu ipoteza. In schimb, a doua solutie ne duce,in mod asementrtor, la b>u, ceea ce contrazice ipoteza, deciaceastd solutie nu este acceptabila.
Exemptu nunteric. Dacd. a:4 Si b:2, grisim c: 1-! ::0,422... Dimensiunile fundului sint atunci a-2c:3,156... til ) -2c:1,156.. . ; e le dau o c[ t ie cu capaci tatea
, 3,156.. . x 1,156.. . x0,422.. , :0,154.. .
Problema se poate u$or rezolva $i cu metoda lui Fermat
$ 4. PTRAMIDE
Problema 9J. Pe tloud muchii laterule ale wrci piramicletltttt: se ia cite un Dunct. Care este drumul cel nrui scurt dintredrcste douti puncte, mergintl pe suprafalu laterold a piramidei?
DesfA$urdm (tig. 148) suprafala laterala a piramidei, dupa ceanr tdiat-o dupi o muchie laterald VA Si lie VtAtBtC' ... L'A' supra-fata laterali desfegurate pe un plan. Punctele M $i N vor fi dupadesfagurare in 14' li N',oe care le unim printr-olinie dreapte, Punctele deintilnire a acestei dreptecu muchiile desftrgurate pecare le va tiia, le purtdmapoi pe muchiile realc ale ,piramidei Si le unim prinIinii dreple lrasate pe fie-care fate. Se obline astfeldrumul minim cdutat.
Daci dreapta M'N' trece gi dincolo de V', iegind a{ara dinconturul desfisuralei, aceasta insemneaze cii dr[mul minim lntil-negte muchia dupi care am ficut desfigurarea !i atunci trebuie sifaoem o alti desfequrare, dupa alte muchie, care sa nu mai taiedrumul minim ceutat.
., Probfema 91, Care cste seqiunea moxinta fdcutd intr-unIetraedru printr.un plan paralel cu doud tnuchii opuse ale lui?
In tetraedrul AtsCD (lig. 149) ducem secliunea Ef-GH,para-lel6 cu muchiile opuse ,4C gi BD. Laturile EF $ GH sint para-
t '
Fig. l.l8
l3t
lefe cu 8D, iar EH li GF sint paralele cu .4C, deci ligara EFGI Ieste un paralelogram. Unghiul laturilor EF gi Efl este constanl $ianume este egal cu unghiul pe care il fac muchiile BD $ AC inspatiu (adictr cu unghiul flcut de una din ele cu o paralele dus:iprintr-un punct al ei, la cealalte).
Aria triunghiului EFG este jumtrtatea ariei paralelogramuluiEFGH. Triunghial va fi maxim cind produsul EU xEp va fi maxxn,
deoarece triunghiurile care au un unghi egal,au ariile proportionale cu prOdusul laturilorcare cuprind acel unghi.
Asemdnarea triunghiurilor BEH 9i BCA,pe de o parte, Si CEF !i CBD, pe de alti
EH EE: -_ iAC BC
Inmultind aceste egditeti, gesim-EH x-EF EE x c tAC\BD BC"
Dar suma BE+CE este constante, fiind egalS cu nruchia 8C.Rezulti ci produsul bEx e E este maxirn atunci cind E este lamijtocul muchiei BZ Atunci gi H este la mijlocul l|,i BA, G larniifocuf lui Ab Si F la mijlocul lui CD.
D_I proportia precedentd rezult, ci, odattr cu maximul luiBE \CE arc loc ai maximul produsului EH x EF, deoarecejumito-rul AC x BD este Si el constant. Dar maximul produsului EHXEFinseamni maximul ariei paralelogramului.
Secliunea EFAH este, deci, maximi cind trece prin mijloa-cele celor patru muchii care nu sint paralele cu ea.
Problema 92. O piramidd regulatd. dre baza un triunghiechilateral, iar muchiile laterale de o lungime datd. Sd sealeagdndrimea laturii bazei a$a ca volumul piramidei sd fie maxim.
Fie VA: VB : Ve : L muchiile laterale ale piramidei, ARCbaza (hiunghi echilateral), O centrul bazei Si 14 mijlocul latu-rii 48 (fig. 150). Ducem VM, OM, yO. Dupa teorema celor treiperpendiculare, 7M este perpendiculari pe ,48.
Fie r:OA raza cercului circumscris triunghiului ABC. Avem
AB:r ' .13; ana (ABC1:3JJ 72.
t32
Ineftimea piramidei fiind tzo, avem Vd:VA"-Ot:t'- rtdeci volumul piramidei este:
. vo 3tf i rz ,'lt-r,ar ia (ABC) '3 -
Partea sa variabile este ;\f 1z-- rz. Putern ridica aceaste ex-presie la pitrat li ciuta maximul lui (r2)z (12-12), care ne arateci maximul are loc (teorema XIX) cind
r2-2 (t2 -r2), s4u 312-212,
^ALatura AB (adice rv3l este deci latura /
I ll
ptrtratului,insuis il"cel1l :y.,r?r1 t.911 atj! r(:--l_ -E--7tEF CEBD BC
de undet !2:r ! t .
0cFig. l5l
cuvinte 4Ay8:90'. Tot astfel se vede cii '. '. l--.-.,a
t "maxim voluniul acestei piramidi?
Fie d latura pitratului dat, d diagonala-lui, x laura variabild a pitratului I4NPQ. Du-cem diagonala ,4C, care taie pe I4Q $i NP inE $i F- Notam cu O centrul conull al pitrate-lor. Avem
AE-Cr: "
(d-x).
Intrllimea yO a piramidei este catete intr-un triunghi drept-unghic cu ipotenuza ,48 $i cu alti cat€ta EO. Deci
h2: @,- !)z -rz : dJd -?tt, h- ; \td @:rn
Volunrul piramidei este
Fig. l4g
qi unghiurile BVC gi CVA slnt drepte. 4\Rezulttr cd volumul Diramidei este maxim I
cind ea devine un tetraedru tridr(ptunghic.
volumul maxim are valoarea y= l'-. rrg rcu
o
Problema 93. Se dd o loaie dc hirtie putratu, ABCD. Irtmijlocul ei se deseneazd utt pdtrut oarecare MNPQ, concentriccu primul gi ale cdrui diagonale sint perpendiculare pe laturik'
'yimului pdtrat. Se duc dreptele AM, BM, BN, CN, CP, DP,DQ, AQ, se indepdrtcazd triunghiurile AMB, BNC, CPD, DQAgi se unesc punctele A, B, C, D, intr-un punct V din spatiu,
A " r-?t'!:!d! i:_!,ytr:!:, Y!!-!-19; Cind estt
az tJ 6 u-zxl-6
r33
lndepirtinL factorii constanfi, gdsim ci partea variabil;r ,lIui 7 este xrt/d-2i. Pitratul acestei expresii este xa(d- z.rlInmullim cu 16 gi punem expresia sub torma (2x\a (tl -2xt tueare se vede ce, dupe teorema XX, maximul are-lo: cind
2x=-4ld-2x), de unde x: -ld:0,+a.
Aceasti valoare este admisibild, deoarece ne rdmine
ac: r c - o,zas on,astlel incit, cind ridicinr triunghiurile AMQ Si CpN in spa{iu.putem gdsi un punct y in care si se a$eze ,4 si C.
Avem, a$adar2l2*: - i '4.
r , _ a Vro" - - r1)-
/ -- - #; " :0,034.. . a: ' .
Daca vrem se acoperim planul cu pttliguatte regulat€r) iden-
nu avem d€cit trai posibilita{i : si intrebuintaln trlttngnlufl
exagoane requlatet54; 155,156). sa
sau patrate,
ce alte posi-bilititi nu sint.ln adevar,un p6ligon cu n .laturiare suma ungnlurrloregald c! 2 (n -2) oriunghiul drept, sau^
^c-u2 (;-2)90'-(n-2) 180".Unul dintre unshiuri are'180'0 -21 g1ade. Si pre-
Fig. 153
Se gisegte apoi
ll
supunein ci acoPerimplanul cu astfel depolisoane 9i ci m Poli-qoane au cite un virfcomun. Suma unghiu-rilor din jurrl unui punct'fiind de 360", unul din-
Fig. 154
Problema 94. Construclia celulelor albinelor.Inca din antichitate, forma pe care albinele o dau celulelrrr'
(alveolelor) in care ele i$i depun mierea qi larvele lor, a atrasatent ia natural i$t i lor ca Ar istotel , p l in iu cel Bi t r in gi a l { i i .Secliunea regula.ta, exagonali, a celulelor i-a preocupat gi pe'mate-Inaflcrenl. AS$et, pappus a exprimat clar ideea ca albinele dau
-celulei acea [orme ca si econoniiscasca ceara necesara constrrl^tip;celulelor,__ fiindci se pare cd pregitirea cerli este ;b";;;;;pelitru albine.
Mai intii, dacd a$a stau lucrurile, atunci de ce albinele nudau celulelor forma cilinddca circularii, cici, dupi cum am vizutla izoperimetrie, cercul inchide sub acelaqi perillr'etru aria cea marmare. Acesl lucru ar li adevirat, dacd ar
-fi vorba de o singura
celul5, dar daca sint mai multe, la gase celule se poate ci$tigauna, daci.ele se fac exagonalc, tlte a ti nevoie de altd ccaiii,ceci peretii celor Sase c(lule o mai inchid gi pea Saptea (fig. 152).
Celulele cilindrice alAturate nu au contact decit dupa ogeue_ratoare $i. Ia-s.d locuri .goate printre ele, cum se vede din p'lrfileinegrite din fig, 153. Acejte locuri soale ar constitui spatii nioa;te,aga ci nevoia de a economisi nu numai ceara, daf si sDatiul. le_asilit pe albine si tlea forma exagonala celulelor.
134
znlI | : -44_. ' n-2
\r- ' , - . | . t . . i s i -L l t f€Dule
se tie numar intreg, nu am PuteaIua penttu m (care- $i el
^esteintrie). decit valorile m:3, 4sau 6."ia care corespund, Pentru nvalor i le n:6; 4: 3. Deci Planulse Doate acoperi Perfect numaicu exagoane rigulate, cu Pitraiesau cu-triunghiuri echilalerale'
lrc ele ar trebui si aib5f,o gracle' De aici, scoatem egalitatea
q-2) rllo == 190 . rrul tn
Fis. 156 Am arltat, ins5, ce un Po-ligon regutat cu laturi. mai multe
este nrai cuprinzitor decit unul cu" laturi" mai putine $i cu accla$i
--- t , E*" vorba nunrai d|J pol igoaue re$l late, ctrci anl vdzul '- in capitolul
i""r"ri,{'"iiiJi'ii, pii"iti porigo,tir! i"opefimette cu acelagi trunfir de laturi
ooliqonrl regulat are aria cea mal mare'
135
f:I:t*. Aga se explici faetu| g albinele fac celulele cu seclrrrrrr.;rexagon, c€l mai mare dintiesTi ry noate na"; pr";i'i; Jil:%?;l:':€:l1E :TlTlT;,'J',,:l;rnuu de un cerc decit cetelalte'doud gi larua-,- aviit to#""i*,,ru,.crrrndnca, umple mai bine _ in Cejvoltarei .il'6'"ilu'i! .*,,gonate, decit una Datrate sau ..triunghiu'ta'rf rnir. ruiui.il'|..,1,,celulelor exagonale sr-nt deci spaFl prerdute mai miJi.
. latr, _a$adar, expresia matematici a legilor naturalc care rrlcondus la lorma exag6nali a celulelor fagurilorl - '-'' '-]
,- ",^ fig, ec,ol.omie- la ceare .se mai. realizeazA gi altfel. ln loc crr,ta ecare celula, sa puntr un Icapat deschis fi d; ; i;t,*ilT1,,3lx: fX*"T'},",}:i.o....ll,i:tarva, atbinete. fac cetulele indoit. de tq!;i,;$;;i; oriri.,niir ru,,.rra rund,. astrel ce se . economiseite rdTi oii-"iii, "r'r.ilutii,ou,,pentru funduri,
. Dr.r.nu. numai atit. pind dupa inceputul veacului al XVIII-te:rmatematicienii nu $i-au putut exitica Oe'ce'aiU;;il'; ilililcetuteior-dintr-o parte i raguretui t" pr;irrg;;;';*.iill'Jr,ir.ro,om^ cJatarte pade, ci o a)d aintr_o parie vinE ii- pr.ir"ei;",r_cnrer comune a trei celule din partra'opusa 1". tig.''rsi1"ii. p. o.
Fig. 157
faDt, in practice, prin aceaste aSezare a celulelor combinate cu'
ii'.].u t5itl "'
flndurilor, inca' o problema grea de maxim li
(It
1Lqp"l", de c€- nu fac tundurile plane, .ci in forma de jumatatede romboedru (fig. | 5g).
_- ._"fiS..lSS arate o desfd$urare a pA4ii din fund a unei cetule;:,.-1.19.,.uj: lar". fete ate coipului cei,rlir qi
""iu'i..i io*#,
"r.rundurur, care este comun oehrru cetuti a"'stasurati"gi'a'iii cireuna d^in.Ie{ele sale rombice'_ penru trel cclule dtn partea cea_Iatta a tagurelui. In fig. t60 esie, reprezentiu -
u.oii.r"i,n 'frp ,
fiilfi? f i,l15f i.,TT.' ;:'l$:"i*T ff nl, :,."' Uf :li: ;' i3!goan(re c'r laturi mai groase reprezinta .iroriru-'oin*iJia','li cetengurate pultctat sint celulele din spate.Ace^st.mod de construdie.a rimas o taine a naiurii Dtni malacum 200 de ani, cind s-a ' vAzut ci atbinele
-,,i'.2jirr.i*i:, o"
r36
rninim, care le aducda de asemenea o economie de ceare la lacerea
celulelor, de$i nu a$a de mare ca economiile pe care le-am ardtat
mai sus.Primul care s-a ocupat de limurirea acestor chestiuni a tost'
"uf ut*i'uJrtilt G p r
"'., descoperitorul.
- legilor, miscarii.p'ane-
;-l#'; iili-ffieiuiiegi care ii'$i poarta iumelc' ln anul" 1619'
el a ftcut primii pa$l pentru exolicirea acestor tapte' luind fuldul
celdelor asemanator cu vrrrunle tudite ale unui dodecaedru rom-
boidal.Au trecut apoi aproape 100 de ani' pini cind un alt
-astro-
""., Mi;;idi,"i tito.it cu atenlie unghiurile
"fetelo^r rombice
iI"il j*ii"r ..riileioi ituinelor ti a comunicat ce le-a gasit de
ib9:;6ti?0':t;. iiezultatete l"-i a"t la iveali in 1712 cind ele;-f;:t ;e";; ii cunotrinta Iumii giilnlitic"' R d au m u r' inventatorulil;;;ff;i"i i"t. li ri"itta numele, a fost..Ioarte impresionat de
;;ilit"il'; caie at6in"te ili tac construcliile lor gi a m,er-s -pinaiiiro'.o ."trioimul, ircit a propus chiar ia omenirea. se adopteil;'irt"t-Je;iluri bazat pe'dirirensiunile celulelor albinelor!
ln afarl de aceasta propunere curioasl' R6a-umur a mai
facut inra ceua, benuind ;e in felul in care albinele fac fundurilei,lrii.r",
- ti,itn"Jrice) se economisegte ceara $i p€ntru ci- el nu'
""*-o.itt'i" cuno$tinte matematice ca 'si rezolve singur. problema
de a dovedi ce, prlntr-o asemenea conshuctie'. -se--ob$nerzpentrulilia o *Gti"ia 'minime,. s-a adresat matematicianului Kdnig
;i;8.;t!"pitnindu-i ;hestiunea. ca o problemi dE geometrie'fArtr str-i spuni care este orlgrnea el''-'-
XOnig a tratat problema prin metodele analizei matematiceg
" Jiili."i'l'iilhil iliiae. 'Et
' dedos' prin calcul' ci fetelb
Fig. 160
137.
Fis. l5S
Fig. 158
l3"i,i6:h"11; ;Slr'li'ff "i'r'J,f i'^-.11,i' dc ceara, au ru,sr,iu'r(r.zurratere"'ir""r,i&';;i.fi,:11:J',Ji,p:J,"#",*ill,lii:T:i?*;i';"Si aritim acum ce fatetele,romburi.
VABC, VCDE 9i YEFA sint
Desenim la o scar5 maiv
;:#f r#r11'"f ':xi:#3,","it{}:l{irir#Tlr,,"li1iP:f-: ,$j. u-g?' i i 'pl ' ; ; i ; i ' " ' '
er a reiacut calculele cu toata
ilrii{lC.*t$;ifu*r*.njryul';l"."l; lrcre qe rogantmi de care -s_il-arr rlus 'ia ;;t-iir',,lita'-l"ttfltl,"-l:.lt fi dat-peste erori carr
v rrnii J :^Tl"!:. 1_.,.1 tuet i_a racut p(j
Si ne ocuPim de tala. ^VABC',nur. iirr" tr'un:hiate At BI cI o' A BC v
,t'*''3ir;.r"r, ctr larurile opuse are
oa tnrrit-eiuiui v,48C sint intersectiilelianutui acestei fatete cu planele para-i;t{-AA'B'B ei cc'o'o, pe 4.P-qu-'J:'.i * oii".r. pi*iele AA'U O $i BB'C'C 'oe de altl Parte. Figura V'4BC estedeci un Paralelogram.
Apoi, din cauza simetrici in Japort
cu olanul B'BVO', avem VA: VC $i'iecil naratetogramrll VABC' avind doudioto,i'"tatutui'" egale' este un romb'
biasonalele ,qC si ETsint deci perpen-o'i.';]il" qr se tai'e in mijlocul lor P'
Si aritim acum cA inclinarea fa-trtelor nu are nici o influenla asupraiontinutului de miere al celulelor' con-
ttnuioi ramine.acela$i. ca,$i cind-{undul
I l:il,^.i .:p.una- in grumi .ir, ,irri.,i.jl' Ilreu$it astfel, sa corEcteze rrUuf" -a'" .ig.lfltmi alcrtuite de calculatori experimentili.
Si trecem acunl la studiul problemei., ,.., Cl sa gesim cum trebuie fdcut furi_t, oul,
,,economisind ceard, sii considerim occtura dc Ia gura ci pina ta funOui-cirio separA de celulelc
h l, din cealalti parte aA'
ll il I iK\ ilti::fl;,,ii.l\:::__r__ril I n,e-frp0,
Mffi,idilit+' W;i:,::?1,,;,|b:riF:i;Fi!r. t5t Fi(. 162 pJan. se.$tie ce latuiilc
i*fl ",ii,,l',ii&.'i"1" j,,"?f; ,J;;:fl :?,*,?i":i#'x-:ii11:. printr-un art pr"n o.iion't"."r,'1.1[1]:.1;'J%1:Ti[r,Ja.acela$i nive,l. In {elul acesta- ,14, :Cc, :.EA , ia, triunshlul ;1csre ecnltateral gi situat intr_ur
i'*:l[*i"'#;x1ll::tii:#t"i jxi*r*Tr,l'f ;]*':'ul,';t',j;i;:'iti),:;rE*xlj.r,r"iii.fiilisi'#ifi *tl"'" jSirs i. care. tai e',," iii i r. . aali, biiri, Tr.;r,:"&,Tiii1d ri, :,rlllff ;ilii,,l,li.f"'.,.,. B, D. F, carc sinr g .r" uiiiurir."inuitii,nnr,i
se alla Inullgl[ur Fi[. !6:]( r ig. l6 l ) .
ln idevar, fie / intersectia acestui plan cu 8"9 -(fig' .163)'
r'rii, i"i"-i.i acestei pdrti a celulei' ea se transformi astfel in
;ffi tft ;p,e-te'oA,l'*g"l,,Ula::i3["ffiil'jr::,,,r,,t".{,li3:iil":i."f,t"':"f.Ji:3$""1 ;#'y'slt ii'l"irti'"tr' 6g're' s'i"r'sint egale deoarece au latura IC comuna $i intrltimile'./P $i oP
""^r".tii ' iilito pr,iiecliite. pe planul orizontal' ale semidiagonalelor
^% I vp;i nioi lO:El, d.oat.." v $i B sint. egal deptrrtah'
;f d'ui'or'i"^,1,;r.i p".i'Jti"i"i' lor 'pe planul irizontat AcEsint esale'?). A$adar, oncum s-ar inclina faletele' celulele nici nu-$i
",lis"Ljiai niii nuisi maresc capacitatea lol' ..
Sa vedem acum daca, prin asemenea te$itJtli'. putem filc$ora
cantitaiia de-'ceir5 ceruttr 'de- construclia ielrrlei gi - in cazul
l ' i ' i i ptan qi anume planul .in carer.
"rfia trilnghiul oiizontal ACE
,, S" urta .i nliilocul unui segment se proiecteaT'd ln nriilocul proiectiei
sesnrentultli iN. Red. E. T.).r ' .1ccea$i observi t ic ca la 1)'
t38139
|ffi?j[ * seteterminam inctinarea care conduce la minimul d{.
fi':.??5,h},\irui*i::i*#",i;,:.,rfi d,,;;r?{;;l-! t n u -l-Ee 1 " AB + ! <aB- + cOl, Ee, + * Ve x W.
"-.,,111X'l',To%';".liil#S'irii!T"li,#-#]f ';:*,LTJb 8,, -nn-,
+EE, x4ei + tc,. W.^ _ Se clutim a exprima IDaceresre,r,r""i.,irui"li.iootlr":ji,"1X,,"#j"ili:"1|fl
i''".J#*'^ez-, : C,E : r Ei,4-d:r V:.
o" *fi1i"il,,liil,""luirea'esuprimam factorut consrant r si ne rdmrnezEF +TEt/1.
,"*, lu!r#= AA'-EI si VE:zEF.rnrocuind $i suprimind rac-
eAi-Et+ap-li.
o,n ,llilfliiiii,.onstantd Z? poate fi suprimata si rdmrne si cdu_Ep{s--El
Din triunghiut dreptunghic Btp, in care F: { deducemn:1le-F:{
Inlocuind, expresia de studiat devine
BFVg_ l*=,,,, . ^Pln,ro .gt,rea minimului acestei expresii, str aplicem rnetoda;xi,i;:1il1J;?"T,,:f i,.:,i1.#:ilfi '. jlli#';"'i",fi ;;",
. ae W- lw _I : @F " qte _\f @ +,f=,140
lrEP+'r'-+:Ridiclnd Ia petrat, avem
(w+e)z- l:fe,- ! *",a2r1151f P-Z
.- t:- ;)2eBP:2e2*2e!3y BF-+.
lmpirtim cu 2e gi facem apoi e:0. Ne rtrmine
nc:t1s1f a-e-l 'Aceasta este ecuatia care ne dtr valoarea lui Zifl pentru care
are loc minimul. Ridicim la pitrat $i simplifictrm; gesim
zatr: ef .-- rtt.t - lF
^ Ap -,,Cum AP:' i"-, rezulti ca fi-:2 sau ft-t12.O primi concluzie este, deci, ci, in cazul minimuluit), dicg.o-
nala orizontald (cea mare Si constdntd) este lalura pdtrdtuluiinsuis ln cercul a cd.rui ruzd este drugonala cea micd (variabild)a faletei.
De aici, rezultd gi constructia lui 8P.Apoi, avem mai departe:
EV -2BP-IP,lr:'+ .
Supralata rombutui este atunci
t_* ;_- - - t l i- ;ACxBV:3rz ' " '
Cu aiutorul tabelelor trigonomehice2), se gisegte ci, in ca-zul minimului, unghiul ,4BP este de 54'44'8". Unghiul cel mareal tatetei este dublul acestuia, adice are 109'28'16", iar unghiul
. t) Cttitorul se poate lrcredinla sbgur cd este vorba de un minim 9i nu
oe un maxtm.2) Se lasi si aces! cilcul ltr.seama cititorului.
t4t
cel mic, carc este suplimentul celrri din urnle. arezultate care concord{ cu mtrsurAtorile ftrcuie inMaraldi .
Econontia cste deci 9' 0,11, ilil T,l'i.'lil';,l"tl'oi'if i','"".:i"11.'fu tl'"ii'il ?X"iii"."*il;'iil-i'ono'ia nu .este ,"are' darla miile de celule pe tu'"
't
-f-"- ^lbinele'
ccononlia totala tsie
o*t"'o9;.llTlT.:i._!,gL j":,0.,T:::b,,..1'"$;'","T',11"",'1:X,i,lTseama de aceaste grosime slnl't'rt:*1."ffi r-":,,tid:Filfi.fy:,,-'m'L"Jtr1l:Dun albinele, dupi ce au ump
*grse'5plc a iJ,cheil^1^c:a.:l\1,t;:u';;';.K,,:":.S?' lil"',T,,ut.ltli-?,i:Thit|11[i.:lllT:i:*#r"#."h ji'i,:1,"t'';[*tJ'ls.::::ltJt'"lT,
u^"oli.iJ "'11?lti'1ip*"''"' 'li
mintrneze $i cu alte cons-
**dHIi'"T*'' lrlili il, u:iffi o T'ill,' 3'' oli[;"'o'li'i;;;; $i1y;a "' ;:'' ir:ll'l'1T'1".^,,, : l'9:rrun: :.' 1, ^'.o,*'i
d"'i
::,'#i'tli#,"':i""."Jffi i;.nw;qry -i 1"::' u "
"' " " nr un asern enea .atPlli, "i,,":Jl:"',3r,1?t1,;'iifl , ::LX$:li""T":n: "t'"tJ" ?' ol?oui"ill".' ;l;t'ii''"i'it'iL*' aa un respuns ciarif ;lt*ilu1::l';H:ll,::;::1,1:'::['h,,:.j*a'ieaca'e:1,1?,iKiliTFln**"-1""s'l*ffi ,'ii.1*u'""#.ii':i:ik;'x.t*:;l"tr;l-:ll,;ii":i:il"ill,!:f illl"lT"lT'"'i'ilhrfi.x#if -t"."*iul'r,,,.i:^,f ".':"if 'n'""q::il''q:'Hip,?.ii.i l"i "i,na;,' e.ti"# ;'l jii'*lf T*: li$ff,,"?'1:'i;It"r.1:'JT:{i1e}:1.1**nh'-';lht*tit"l":'l;.luh?ilits"lli':i:""itd1?tt,t,r;.*:x^{;i"''r';'";rmilenartraalbinelor 'u ' .ogi i " ' i .%; ivedinh-odattrProblemaconstruirii unei celule tu toii'f-4^
-otuli minima'
-tocmai fiindca
ruil6).9';;$T:r"il,lnii"#:i,iif i::lli:?:i'l#3'u.ou'n"".riii3'," g.t*'1lt t""orr'iJ" aiiinetor ae a construi celule cu
l43j
70"3t'44", npractica (1,
Tfebuie sii mai adaugdnl cd proDlema celulelor albinelor rls-a inchis cu cercel i r i lc meDtionale mai sus, ale lu i Maralr l r .K0nig 9! Mac Laurin. ACeasta problemi 'a mai f icui obiectrr tunor Iucr i r i publ icate in l?8l de cl t re Lhui l t ier , in fgao a,c i t re inginerul Leon Lalanne') , in lg l l de c i t re Heinr ic,Vogt, etc.
Aceste lucriri au ad[s noi contributii la cunoa5terea macstriei consrructiei celulelor fagr.rrilor. Astfeil, s_a vazut ij,--l) felele triedrelor din B.D $i F sint egale (Iig. t6t)12) toate unghiurile diedre ale celulelor siitt de cite tZo" ;
.^," :1."|:fr^r::t1,!: lulFjrltc..dirytrc mu iir( taterare rungi stccte scune este. cit un slcrt din loturtt patratului inscris tn cer-('ut exagonutut etc.
. -Vgqt a ficut peste 4000.de masur.itori de celule de albinc,iriunsind la concluzia ci celula Marald_i est" un tij-meUiu, p.c:rre numai unele albine reugesc sd-l realizeze oerlect-'
-----'-
Din mdsuritorile fdcute s_a mai giisit ci raza celulelor estcin nledie de 2,7 I mm, lungirnca muci'iilor mari tateialf--..t" ,t,I t.J mnl, ca raportut tntre aceaste lungirne Si raai este deci aDroxt_rnativ 4,16.... etc. Grosimea perelilor" este 'in meOie-o-GiHe Cir:aceea a unei foi de hirtie.
Este interesant s{ ne ddm seama care este economia realizatiprin constiuc{ia romtroedrici a fundului celulclor. Luind f ca' va_loare a raportului dintre lungimea muchiilor laterale lungi si taturaexagonului unei celule, se giseqte ci suprafa[a totuii--, 'o.Lr,",nestc
j- c qso + tlll : 27,t2 ... r2.Daci fundul ar fi plan, suprafala totali ar fi
)- r,1so + tl 5t : 27,5e ... r2.l) Acest inginer a fosl si in T?ra_ Rominersca.pc vrcre:t cirE, o.up4Coryertia
-de la Balta-Liman,' capitaiismul parrurdea r6i ,ii-uO-inJ"ii'oo, ,n[arr' necesitind rucrrri tehnice Fe care rr poporurur no8r.u, tinut rn inrun!-ric-, nu erau p_regdtit i a le reali;.Lalantr.e a conslruit prrtite grele ale I,Fsetei de pe Vatea prahovei st a organizat .prirna gcouif. ii:'igBoii ilr,ni.i.devenitd apoi gcoata de insin;ri de
din Eucurestl. pooufi si $osele' azi lnstitutul politehhi. '
* s",#li'J"il,i"L il iliff J $"1"J# Jli:f 'l: 31,f,?g'1,|"i:",?jle dc pod u,i
tql
proprietefile studiate mai sus? Tocmai-de,aceea vorbe$te l)arw l.oe tnstinct, deoarece este vctransmite ffi;;;;;t#i.,rrDa
de o facuttate instincflus. care n_,,razata pcicon:epj;';il;"j?.r3dfl,il:i#r" Jl"Jjl,i,fjllr: :L*nti#'] liltlili'i,|;l,i; !;.1,f l,* si, prob"rema "iorrn'irri' il,iin.t.r,,i,
i1',"'f ;,xlt|:ffi th#"1**:;ii:,ilii',i:::il'if l''?llt#':.1'tlexe neconditibn;i;. -"'' " mpul 9i in anumite condi{ii in rc-
s 5. CtuNDRr
Reamintim aci formulele de care avem nevoie:Suprafata laterale : .S, :2rz?.Srrprafata totale : g:2rrr2r 2rrh -2rr(rt hl,Volumul : V:rr2h.'
.-.- !-llut? 95 , Dacd syqr'ofata lateratd a unui cilind.ru estc,nata, poote volutnul stiu avea un maxi,n ,"; ;;;;r;;,;'",Avem :Sr:2rrh-e (constantd) ; y:nyz17:f .
. Deci, cind raza creste v-olumul cregte gi elj nelncetat. Ciftn_drul, in acest caz, nu poite avea nici ,i*iri,, niii..ri"-#..
-^-.=.PigbluTu gqr.se dd suprafaNa unui.cilindru deschis to utt'f ori'",'!'",fr7uff ,citindrir')'cdreist'eripiiiiiiii'i"trliiii')rrou
Avem :S:2trrh 1n7z:n(2rh+ r) ; V:rr2h,
v2 : nz4 1,2 _ (+), . pro,lr. rr.
.dope s:::ri,IlX, are loc cind,.2rh:2r2,
"o,ta ",un"i
'.,n0-r_r.
,oro.u""t' cttindrul cu cspacitatea mixtni- i)i""iriiiiro ,it
,,^--^ A!1 se.construiesc unele masuri de capacitate, vase, rezer_voare, cristalizatoare etc., Dent'a te t-ace mai uloare. ru a economisi material sau penhu
In acest caz se gtrsegte :
Problema {1. (In vas cilindrlc, deschis la un capht, dtecapacitatea tlatd. Cind supraJala lui totald este minimd ?
Aceasta este resiproca problernei pre:edente.Se gase$te ci suprafala totah este minime cind lnlllimea
€ste egala ctr taza bazei.
Problema 98. Se dri supraJala totald a unui cilindru tn-chis la amttele capete. Care este volumul sdu maxim?
Str t{iem cilirrdrul printr-un plan paralel cu baza, pe la mij-locul ineltimii lui.El se va deslace in doi cilindri deschigi. Clndaceste jumat.ti vor fi 'maxime, atunci 9i intregul cilindru dat va firnaxim. lnse, dupl problema 96, aceasta se lntimpl, ctnd inel$-mea fiecirei pdrti este egald cu raza. Deci, in cazul de fattr, lnal-$mea totale lrebuie si fie cit diametrul bazei.
Aga se con;truiesc unele culii de conserve fi alte recipientelnchise, ca str se economiseascd material, sau ca si fie mai ugoare.. In acest caz rezultd ce trebuie deci se avem:
V:2rrr3:6,293...r4.
Problema *. Intr-un triunghi dreptunghic dat, sd se tn-scrie un dreptunghi cu latuile paralele cu edtetele Si dstfel cael sd dea, prin rolire in jurul uneia dincatete, un cilindru cu volumul maxlm. 'F\
In triunshiul dreDtunshic ABC (tis.. | \ -164). inscrieir dreprunghiul MB'AC'.'Cl- t'F--d
lindrul ntrs:ut prin rotirea conturului MB'IC' | | \in iurul lui AB are volumul L | \
A8'EV:ntre' x EEi . Fig. 164
Din asemenarea triunghiurilor CCM 9i C,48, deducem:
ed Ta': ,nu
EA AB AC AB. AC
v:nPxT-cPxTc--.qel.AC
Sub aceasti formtr, se vede ca suma_AC,+(_AC_EepE
este constanti 9i deci, dupi teorema XlX, maximul lui l/ areclnd
Te':z(Te -re'Ia
m - lhtltle 9i mlnirn€ g€odeirlc.
loc
r45il14
V:rr2:3,141 SgZ...rz.
din care oblingm
de. unde
de underz -xz :2x2,
,, AB 4 ; '=Zv _r. :.'Ac . ;. Ae-.,, Te _ fi . M" [a::0,465.. . .qexAe2).
.. Problema lcf'. Intr-un setnicerc se duc coarde paralek , rtdiametrut, care, prin rotirea in juru aiaiiiri[i,7o["iii'r'ul,.t,ci li.ndric.e. C are iti ntre er e mdr g{neste ri-ii ni ii -ii
riitZr"iii p,,,,volumul maxim ?
-F.ie r raza semicercului gi 2x lungimea coardei. Depertarrl
coardei de diamehu este y'F-xz. Votumul / al cilindrului este :17:" 11f 7z-az12.Zx:2tx (r2-x2).
Dupe teorema XlX, rnaximul volumului are loc cind
Problema lO7. Dintre conurile 9u^ aporcmele (sau genero-
tooretei ,gi[e, care are volumul maxim ?pietra1 (fig. 165) o sectiune axiald a conului r)' Avem'
p+hz:a2, V: !nrzh, v" : f ; l r ' fn" '
Cum suma r2+h2 este constante, duPAteorema XlX, maximul are loc clnd
12:2 h2 saa r : h lz.
Se geselte apol
t - r
Ztr:Ra sau c.- :p-
Volumul conului este
v_ !-rzh- r" (Fz -hzlh,' 3 " ' J '
!172: |sz s^u l , :of :0,577 . . . u t , : r f -0,815 " d
$i cu acestea,'gasim -r-
v:2t a3. l i : .o,aos . . . ot .
Problema lO2. Dintr-un cerc se taie un .sect^or cu unghiul
vdriabil, iar din rest se Io" 'i
ioi (o pilnie)' Care este volu-
mul maxim al acestui con!"'".-16ffi; R (iig. 166) raza cercului' cu ., num'Irul de radiani
"r onehiuioi sectonitui ramai si ca r raza conului' Avem
oe': +9 '
,r :3rr, *: ! !3-.3
Pentru coarda 2x, avem
zx:zrS : t ,1s4.. . r ,iar pentru volum :
' , 4 l r t3r / : _. . ._ :4, t95.. . r i , .
s 6. coNURr
Reamintim aici formulele de care avem nevoie... ..lntte ..apotema saa geheratoorea d, raza /, Si inettimea D.existtr relatia a2:12+h2. -
Suprafaja laterali: O:nra.Suprafafa totate: q: ttTz-r- rra:x(rz*ar),
Volumul: V: J n7z6- : l - ' -
_^..,_,I^!.jlrul cerei catere trebuie ftrcuri rotatiamaxrm cerut ?
deci
vr: r{.nz qF-nzf .
Dupi teorema XlX, partea variabili ft2 (d-ft2)2 este maxima
cind F-h2:2h2, sau 3ftz:fir $i deci
h- + :0,s77.. .R.
, : 1/F -n":nvt: +aiil*tun"u axiald se obtlne duclnd un plan care trecc prin axa conului
(N. Red. E. T.).
147
Flg. t66
Avem apoi
penhu a avea vofunrul
r46
Cu acestea, gtrsim
": '?re :2 nX 0,816. . . ra<uani:293.46,.Apoi, avem
v: 2"Ftr:0,403...^d.
^__-_Plpi cum se vede, am oblinut acela$i rezultat ca in Droblemapr€_cedente, ceea ce era de asteitat intrucii -razi'?
I "ir[irioi
out(constanta problemei de fatri. ioinciae cu'gfrJratLlu"JiT*tuntadtn problema de mai sus, cil6rarre conoilii remintnd neschimbate.Problema lOS, Dintre ttaterard., care are volumul
^
M, conurile eu aceeagi suprafaldAvem relatiile
S:rrld i y: r! r rzh; 7zal2z:42'.
Ultirna rela{ie lnmultita cu rz ne dd:
a2r2:l+12hz.
_ ", ,ltl.i maximul lui V depinde de maximul lui rzlr, sau de atpafatului acestuia, adice de //r2, sau au "f
pat aiuiul 'Jciltiri"
oiourme, adictr de,ra,(rzhzf. Dar, suma 7e1rzh2 tiini ;;d;-;;''.""_slanla a2r2:
If/ , maximut ullimului produs are loc cindr2h2:2 r+ saa h_rtli.
,-__- D_.,"1 conul .crutat, cu volumul maxim, are ini,fimea egaH culatura petratului lnscris ln cercqJ siu de bazi- r''-'-- -b5?
. . S fiind singwa mirime dal{, .se exprimdm toate elementeleacestui con maxim in func{ie de J. Avem
' : l# :0,43...y's; r:++ :0,6r...1/,s-;
": oif :0,2a...y's; r:J:;r_0,u2.,./s
-^.^ ?roblema lDL Care este
^volumul^maxim al conului in careeste datd suma dlntfe razd. Si muqme tAvem :
h+r-c Ai V: txrzh.
t,E
Dupit teorema KX trebuie s[ luim r:2ft $i se gase$te
y: r6d : o.T .r:o,rsst ...r..
Problema 105. Care con, dintre conurile cu suprofata to-
tald datd, are volumul maxim?Avem
Sf :n (/2+ra), V: ir'h, 12+h2:a2'
Suprafata totali fiind dati, suma r2+rd este constanta egala
"o l:r. Petratul volumului va{az| odate cu produsul
rlhz - y' (a2 - r2): 7z (62 7z-ra): rQ (dr + 12, (ar -f2) : grz (ar -r2):
: s7z (s_2rzJ.
Suorimim factorul constant c qi inmullim cu-2' Rimine de
cEutat"iiaximui i;i't;;ac-2r1 care, iupi teoiema Xll' are loc clnd
Zrz: c-2r2, saa c:4f2, sau' 12lra:412,de unde :
a:3r.
Deci generatoarea conului maxim este Intreitul tazei bazei
sale. Avem apoi
h2:a2-r2:8 12 sau h:212 r .
Iniltimea acestui con este deci dublul laturii ptrtratutui insciis
in cercul bazei sale.Avem in cele din urmi
V2: lf i sau Y:0,066...Vs,'
Probtema 106. Care este cilindtul mdxim t, tnscris tntr-utt
con ddt ?--'- Far"t o se{iune axialtr in con (fig' 167)' Fie r' raza. cilindrului
si i' i;iffi.i 'i,iil'-at.tinut"" triin[triwil6r ABI 9i AHJ ne de
+:4 *" +:+,BI AI
,1 CfIUA-f maxlm ln firtelesd de cllhdrul cu volumul maxim'
r49
de unde
A doua teoremtr a lui Guldln : Volumul corpului h;dscttt*i, iotiiiTiii lisuri ptane in iurut unei axe diit planul sdu'triri ni {oie fisuial esti egal cu-arid figurii inmultitd cu lun-
iiri"rii[itii'pi-iare-i aEscrie, in aieistd rotalie' centrut dcgreutate al Jigurii.
Problema 108. Se dri axa de rotalie XX, trectnd prin*fut- b- it--trnniniiutui AaC. Cum trebuie a$ezat
^cest triunghi'
i"hiiuTo votumit ndscut prin rotatia lui tn jurul axei date sa
ite maxim')
^ doua teorema a lui Guldin, notind- cu G centrul
o" g.;uAL- ai ttiunghiutui $i cu G' proiec{ia lui G pe axa XX(fig. t68) avem
V:atia(ABC)x2 r GG''
Fie CM mediana triunghiului ABC, care pleacl din C-' Avem'
td ze-A. Max mul volumului este dat de maximul lui GG" cei-
lal(i lactori ai lui y fiind constanti; dar maximul lui GGi este
C-A:ry- ' Pentru ca volumul de rotalie si fie maxim, trebuie
deci ca inediana CM sa tie perpendiculare pe axa de rota{ie'
Fig. 167 h-ht:2 ht sau f t , : f .
,,- ",D:9!, indllimea .cilindrului lnscis maxim este a treio part(.
.ftn Indltimea conului-Se gisegte apoi ci
v' : \ rzn,
adtce ;- din volumul 7 al conului in care se face inscrierea:
vt :0,444.. .V.
_ Problema 107. Sri se circumscrie unui cilindru dat conu!minim.
- - -Acea$A problemi este reciproca celei precedente. Se gise;te
ci lnilfimea conului hebuie si fie de trei orj cit inattir.i-.frinAr,,_lui dat gi cA maximul volumului conului este ae I : Z,ZS ori maimare ca volumul cilindr[lui.
S 7. SUPRAFETE II VOLUME DE ROTATIE
. ln tratarea problenrelor privitoare la suprafe{ele si volumelede ,rotatie,^calculeie se_ pot uneori simptifica fo]orin&u_nJ' ae 'Lr* _
mele rul U u I d i n, al carof enunt il reamintim... Prlma teoremi a lul Guldln: SupraJala ndscutd prin ro-tirea unui contur ptan in iurut unei
"i, "dii
fliii" siu" si pccar-e conturul nu b taie eite egatti cu tungiiia triiiiruiiitn^ut_lit d. cu tungime a cercutui pe lare I a escTii,
- t n- ;' ;|;1,;;';;','
"r r_trul de grcutate al conturuiui.
IJU
,.: r (h;h') .
Vt :T rt2h' : 1r,4 (h:h'lzh'
Se vede ci acest volum este maxim odatacu produsuf (h-h')2h,. Dar suma tactorilor h_li$1 /r' este constantd gi _ dupa teorema XIX _maxlmul are loc cind
Fig. 168 Fig. 169
Problema 109. 3e dau laturile egale ale unui triu.nghi.A,toscel.-
-piii iirful lui trece o axi de rotaTie' Car.e. este volumul
";;;;; ;;';r'i;;ii ittine prtn rotirea tfiunshiutui in.iurut axei?
-'----' In aceas'ta problema dint doue variabile independent€: !ozi-
Ua tri;;gh-iului iaii- de axe ii unghiil de la virtul triunghiului
'isoscel.'""---ijentru prima, dupi cele spuse la problema- prec.edente'. tre-uuie ca in,ittiin"a iriunltrlotui is6scel, care este $i mediane' s5 fie,asezati perpendic[lar Pe axa.*- *'D"'"t
i-;;; t,tngit"u laturilor egale (fig' 169) ale triunghiu-lui isoscel ctrutat, avem
12:f2 + h2.
t51
i;lfi:l,#i !,f lfi1,ly'*hiurui in junrr axei .y.,y, esrc (nV-ariarAEC) x 2,,.! :!rnz.
Arfo + 0 x dI : %r (a + \tlQ +F'
'::, "i';,:; x !:;i ::1" .-,'_1T" ; d eci m axi mu r rui"" ""i:.1?:, 1ll l1:2, "*- nI,,"Vi.*' V'v,o*:H' ::,.: !..,, io r,,' "
- ;,i, ;r h; ;, ;
fie egald ru,a-'est caz, sr
geseSteI af g a.ai t r a t i lu i ;;$ ; i i ",,i " !!,r, I i, !,i, i i,ioi, !raza r,
sdIn
v:9{ rt-a,szz ... rr.
t ti: ,:!."tt, ,;.i,i7-dXl,!'f!'i,. Probtema lll. Care este Pflsmanaxiia, inscrisd intr'o sferd datd?in o.o"i
-^,---j:::, wute vQ Jrj
iitioii ""., arta corputui re_Baza este un triunghi echilateral ABC
3:'':lTq''::"f'r u u;";Hi:ll ;(fie. |7ll, uuind a"nttot c-ercului circumscris in
iii]'ftiongttiot dreptunghic O.4/ ne di tr fiindiio c.rcfiloi circuniscrii triunghiului ABC):
T:li: :" d $i , dimensiunile.
lf,,3"i "^::lrl"i bir 5ia,iilil
deoarece centrul de geutate al perimetrului dreptunghiului coincide
;;;;-"il;';.*iaFe al ariei sile 9i cu centnil dtsimetrie o'
Rezulti ctr 9i aceasttr arie este maximtr odattr cu OO'' avlnd
in acest caz valoarea12 (h2)2.u"- (?
r::;,!*'#)Tiiiit:ir;ni;r;ini{;r:$wui,f wli
$ 8 SFERE
Reamintim aci formulele de care avem nevoie:
Suprafata sferei : S==4nlf.
Vol,rmul sferei I V:+F.
Suprafala zonei sau a unei calote sferice: S':2nRft'
volumul segmentului steric : y' : rh t3ra *h2) - nn'z(lR-ii) '
tfiunghiulard regulatd
ta72
F' t70
flj:l;,, .:ll, - oi"oi""g,,,il"ol1l.
fiilj9t .jll,-. p.ii1u"'oa..#..Rl,o,r,, l.-l l" "r'''t'our*Ttti,iiGuldin, avem
OA" : ni'+CIz ;- h2- 4(N -rz1'
Dacl I este latura triunghiului echilateral'
segtiecll:r{-3 $i ctr, aria triunghiului echila-
teral este f1::tq:Fig. l7 l
. . - Intru_cit 2nab este un fac
v:2tab < dci'.
:.gfla- "o oc" adi e atun"i .r:::t ionstant, volumul va fi maximculari pe *a.'t"
'J*,'?l'i ti[",i1i1""111,'c devine perpe.,di-Str ciutim expresia volumului prismei' Avent
v_sv iPh :3!3 . rr. \ /F_rzl'42 '
f : ! r t1d-r27.
Cum 12 + (ff-r21: P2 este consianttr, dupi leorema XIX''y u" ii ta*im' cina rz: z (R'?-72;, 5nu 3r2:2R2, sau
': +R.iJIt" prot""tiu cetrtrulul sferel pe Dlarul bazei prismel (N' Red' E T')-
Si volumul estedo-uA:+ -tu}"
V_ nablat-@
:.",1*"r"Trryif""'.#id"f ,rg#.1,0:l;,1Hi?rlr"*;ffi ;1
4r(a+b)xOO,,
152
-e\p,Y"lti
';Yl::;,
153,
Aceasta ne di ll_ Eff. Deci volumul maxim estc
v- f .gn .$n_n.
^,'oii^l{a!'}iitr7v#!,. rn, ech ivore ntd cu c ttbu! cert rt rr
,r,,-"1{i!}f2t ot 2. c arc esrc n aximur porate tipi ped ut ui i nsrn t
,tfr'##r'irl*h,ffi #id'r*k$iitrSe gisegte cd:
r'- glie-r,s:0...e.
Avem relafiile (tig. lT2)
,'+(-!r)':tr sav 412412:4p2,
V '= xr2h .
Problema ll4. Care este cilindrul cu aria laterald maximd.pe care- l putem tdia dintr-o sferd datd?
Avem (fig. 172) :
S:htrh; S": tU+'(* l ' '
' t ,2
Insdl suma ,'+ l+l:trr este constant5. Teorema ;gt arati
ci 52 este mafm cind ,r- [ 4l' , adicd h:2r. Intrltimea cilindruluilz J
trebuie se fie cit diametrul ceicului de baze. Exprimind pe r inluncfie de R, gisim
nr: : { R:0,707 . . . R.
Avem apoih:2r: I 2R: t ,4t4. . . R
Qi, in sfir$it,S : rh2 - hr Rz : 6,253 ... F.
Suprafafa laterale maximtr a cilindrului inscris in sferi este€gale cu supralata emisferei.
Problema ll5, Ln con este inscris intr-o sferd datd. Sefac secliuni prin plane paralele cu baza conului dat. Ctndcoroona circulard dintre sferd Si con are ariamaximd ?
Fie ABC (fig. 173) sec{iunea axiali aconului. O centrul sferei gi DEFC sectiunea ,plani, in sferi gi in con, paraleltr ca baza BCa conului.
Fie A}/ inAltimea conului li / centrul ,orou- I
nei circulare. Aria acesteia este
' .S:n @f- Ft'zl. Fis l?3
Semicoarda D7 este medie propo(ionali inhe segmenteleAl Si A'T ale diametrului I-4. Deci
D7:u xat:Ar> tzR-Ei}Triunghiurile asemen€a AFI g ABH ne dau
Problema I13. 5t6 ..o,,"r.f'",'.fi :i.o;P,,ffi ,;,:,..","fi f#:f "Yii:{i,{,{,#,;:::_,r,4^3;9.;i""iaJ"i?,0!i'HriiTl#'."i,fi:,,";
de unde
,.,, ,,Sor3 4r2+h2 tiind cot l6v2
-nz (4rz)212.
n :h *" ur;;ffiiifid;r#ft:,tffi n.i#r' : l -uP:0,t ,u. . . R ; h: r{ n: t , , rn. . . n,' v:
'n"! t F:z '1rc" 'F'
154
i55'
i ' . i 'i . \a;l , - f _\ !
t- --i - -.J
FTBHT
nTuh
de unde
n:Nx + .Expresia ariei coroanei devine
s-rr[77'1zR- attJtzt-Insi,
.(*1'l:"ar[zn-ryo,1
r2+hz:FE:aet x-AH:2Rh$i, inlocuind, ne ramine :
s:2f n6_en.Duptr teorema XII, produsul ultimilor doi factori (singurii carr
variaziJ.este maxim cind factorii sint egali, adic{ a'l_ -J,. .ucare gasim:
s: +.-,-,-
Problema ll5 Din ce punct de pe linia centrelor a douislete exterioare se vdd arii maxine di'n supii aiii'iiirtiriz
. Fig. lZ4
celor doui calote vtrzute este
Fie 7 punctd ce[tat(fig. 174t. Dio acesta, cavirf, dtcem doud conuritangente la cele d ue sfereO Si O. Fie AB si A'8,cercurile de contact aleconurilor cu sferele. / si /,celtrele a .e itor cer :uri siC gi Ct virfurile cal rtelorvezute din 7. Suma ariilor
2nRxCTs2nR,xeF.
. . Dreapta yA fiind tangenti la cercul O, hiunghiul OAV estedrephnghic in .4 $i deci *
oA2:OVxAI
P:O-v@-Et,
156
reFre:r-- ;u '
Tot asttel, glsim R2v-c-t-;tr'
Deci, suprafata totall vezute din V este
r y,z1 ^ t - ' R'z ' l '
s:2,'RlR-# | rz"n'1n'- -:-1:L " ' l
-xr1r+R,1-2n(* . -#)
-*^"*r:T:n,iXI.FT,fi Tf "#i!$*fJ'".e.",1'3"1#'3"ou1:l'l:::"J;;;; crutat. trebuie sl avemr lu l ru ursJr i" ' - -
+.#:#'*#; 'Din aceasta, deducem
E__+-:#-#OV OV +t)
SimPlitictrm cu u, facem u:0 qi gesim
R3-P'3 '
o7 - o'v'
Deci, punctul y cellat imparte distanta dintre centrele sle're-
lor in raportul y'd : /n ''
),,r,.'iir"tr&,"i!;,1,\,';"r,;!:'i"f:'t :'!:n:"'ii!{f i"fii
,':l{,?.'i'ii,i{fr .{l'lfi }fu is.ii"rfl i4lry"fl'F?sioUiiurii qi ft adlncimea et' st
v: +h(vz+h'z)'
k6-6#a\
ls7
'r,".rill"i5Til "?fl#i ftJJ,"fz-122, and,e p este razasferir ,v: fr1sR,_2n1,
v2- $ .zn, .p6-2h12.
","0 ?TL!;rg T#: I"Tfr:l liirrii variabire a rui r? are r,u
o: l.rr- ,t.
".r" f:#':i' rf;,,i'8: !| F*."r',tt iatura piharurui inscris intr-r,,
- - - \1. ,v: av. , f :o,zao.. .F.
#h'#li#ry#iffi i';**r*+:*o0
a/\, l0 ',)s/vi" /
Volumul V de lichid dislocuit de sferi este cel cuprins incalota sferice de sub planul bazei BC a conului gi are expresia
v: i-Ti'pR-n).Triunghiurile asemenea ATO gi AIB ne dau
..u J={t&- : * , a. unde scoatem
78
D-
Gtrsim, astfel, ci
r (h-EI l
OA AB
Fig. t75Fig. I?6
rr6"g;tfti;gri{i{"fl'i,,;{;w,:$:!ifi:{##,mare rf,g. rtuf. Fl- f"*i"ri il f9n' t"" taie sferadupi un cerc
:e,.,,d.:i.{.,*,; jl,:H:ff "i^lly;;fl"llf 'f ffi :"llr58
v:"*Y"-,|! - z;- Et2pnr-p+zr1 al.
lnmullim gi imptrrtim cu (4 +2r)2 Si avem
, - m_i**;pI@+2r)rtf .Phr-(o+2r) Etl.
Dupe teorema XIX, V devine maxim clnd
@ + 2r\ E t : 2 l3rh-(a + 2r) EIl,
de unde se deduce@+zr,n:zhr
$i, in cele din urmA,2hrr:r: iTT
lntroducind pe E7 tn expresia lui R, glsim:
t ) - - ohr
n:1o=i@D,
unde a, ft, ,' sint legate prin relatia a2:h2 +r2.
Problema ll9. Care este moximul suprafelei totale a unutcon tnscris intr.o sfefi datd?
Fie ABC (iig. l?7) o sectiune axialtr prin con, O centrulsferei gi S proiectia lui O pe generatoarea ,4I}. Punem OS:s.
Suprafala lotaltr a conului este
Sr:nr2*nra:nr (a*r).
159
I
Triunghiut .4SO ne dtr : sJerice cu lolum cons-
.de unde
Asemtrnarea hiunghiuritor ASO gi AIB dt:
Problema l20.. Printre segmentele. Liit"iiT'u pritota catotei hi ni md ?
Avem (lig. 178) :
. . "h2
t3R- h')S:2nRlt l r Y: - - 3-
Punem ftz (3R-/t)- c3, ceea ce se malpoate scrie
C,ir-P.l ':: -6 :5'
Cu aceasta condilie' trebuie si lacem ca R[ se fie miniln
deci ;f sI fie maxim'
SA observim cA, ir baza collditiei de mai sus' produsul
, ,4 \2 h (c2P
l[Lrj '-r : [Fr l
cind avem, in conformitate cu teorema XIX'
cupp: 'e '
eS-nd-Soz-d-",,
AB:2VS-2lFz=;,-
,VfrTEos Ei
de unde deducem :
Cu acestea, expresia lui .S, devine:
Sr: I',s (R+st tltjllna .
. Aplicdm metoda lui C r i I I e t, inmu[inj factorii R+s cu nr,lar pe^ R-s cu n. Suma factontor variahiti .tpvin.
or_ 2s y'pc-;z
variabili devine
m:.FTs_, o:=b.,.dup{ cum rezulti egalind factorii variabili. De aici, conditia
zs
"Ti - T:i +t:o'
.care ne duce la ecuafia:
4sr-Rs_p_ o.Aceasttr ecuafie ne dd
" : t l , f rp.. - 8tnttu.lt.":11-r]14 rrdecine este neg-ativjt $i nu conyine.Lu aceasta, gesim ci suprifala toiata maximiiste
s _ "{rtrozisr Vrzl.rr- .-- 128
_.:_ .
,t60
I nr2
Teorema Xll ne arata ca 'f este maxim cind r'?:l|) .adtct
/r:2r. lntrltrmea cilindrului treduie si lie egaltr cu diametrul cer-
cului de baza.
2 (n R * ms) | (n R-"iii.i -:p, ji + rj'"?[zrp+ nc r.Aceasta sumtr este independenta de s daci. 2m-n+l :0.
Pentru aplicarea teoremei Xll, vom lua care se reduce la c3:2h:t'
Dar odati * (#)'va ti maxim $i Pf '
lnlocuind pe c: in relalia de condifie' gAsint
'#o * : ' 'este deci o emisferd. Suprafala ei este 2nd'
Problema l2l, Care este cilindrul cu- aria laterald mdximd
o, ,orii-p-uTi^ ii'ate dintr-o sJerd datd?Avem (fig. 172) :
,,, .\+l'-Ft S:%trh, S:ra"t t ( f ) ' '
este nlaxim
de unde ft:R.Calota cerute
ll - llsxh€ 9' IntDime geomctricel6 l
Facirrd calculelc, sc gasegte:
n:zr:Rl1:r ,4142.. . R,s : rh2 :2nF : 6,2532 ... F.'
' ., Suprafata latcrali maximA d cilindrului inscris este cgali crrsuprafa{a emisferii.
Problema 122. Care este conul cu t,oluntui nttxint in:xrt,intr-o sferd data ?
Avem (f iq. 179) :
A B1Z:AI x A,t sau rz:h(ZR_ t t l .Volumul conului lnscris are expresia
V- - ; r ,h. +hz(zk_tD..t .J
Deoarece sunla / r -2P- l :2R este con-stantd, dupd leorenra XlX, nraximul arc loccind [ :2 (2R-[) , adic i
4R'3
A'
Fig. 179
Aceasta ne de:
r' 'Ti R'. t,24t ... R'.
Problenra 123. Cure este ma.xinrul volutttulrti uttui cott curt,ure virful in centrul sferci Si a tdrui baztieste un cerc nic al sJerei ?
Avem (fig. 180) :
t , :* , , t t -+h(R'z-h2):
v'- i lzg|z-P', .vr
Dar suma Rz-tP+ tf : Rz este constanle $iXIX - y? va fi maximd citrd F-h2:2h2, sao
r': V* e'.Cu accasta valoare se eisegre:
rri2.t63
TABLA DE MATERII
Partea intii
. to
. 16-21
lzoPERIMETRIA-Teoreme $i Probleme
m29N'tt
36465lco
58
6l838?98
t24tu124126126l3l144146150153
Fig. l8t)
- dup6 tedrenra