1

INSTITUTUL DE MECANICA SOLIDELOR CTIN MILLE 15, PO BOX 1-863 BUCURESTI 010141

CONTRACT CNCSIS PNII TIP TD NR. 119/2007, COD TD_139/2007

Fază unică an 2007

CONTRIBUTII LA ELABORAREA STRATEGIILOR DE CONSTRANGERE PENTRU CONDUCEREA ROBOTILOR REDUNDANTI

SINTEZA

Etapa unică - 2007 Strategii de control al mişcării manipulatoarelor redundante antropomorfe. Responsabil grant: drd. ing. CORNEL SECARĂ

CUPRINS

1. Analiza comparativă a metodelor detectate in urma studiului bibliografic. 2. Elaborarea metodelor de control a mişcării manipulatoarelor redundante

antropomorfe cu efectorul final urmărind o curbă spaţială dată. 3. Simulari ilustrative computerizate ale algoritmilor impuşi de studiile de la punctul

anterior. Bibliografie 1. ANALIZA COMPARATIVĂ A METODELOR DETECTATE ÎN

URMA STUDIULUI BIBLIOGRAFIC Manipulatoarele redundante se caracterizează printr-un număr n al gradelor de libertate

(g.d.l.) mai mare decât dimensiunea m a spaţiului operaţional. Gradul de redundanţă (diferenţa n – m) poate fi folosit pentru îndeplinirea unor obiective adiţionale (criterii de performanţă) faţă de obiectivul principal impus efectorului final.

Rezolvarea redundantei poate fi definită simplu ca găsirea unei soluţii dintr-un set de stări ale articulaţiilor (configuraţii, viteze sau acceleraţii) pentru o anume stare dată a efectorului final. De fapt, problema rezolvării redundanţei este o extensie a problemei cinematicii inverse, care a fost definită pentru mecanisme si manipulatoare neredundante. Problema rezolvării redundanţei este mai complicată decât problema cinematicii inverse deoarece are soluţii potenţial infinite faţă de o singură soluţie finită în cazul manipulatoarelor neredundante (când n = m ).

Selectarea si implementarea criteriilor de performanţă pentru o aplicaţie anume trebuie să îmbunătăţească performanţa unui manipulator redundant. Acest proces de management a criteriilor de performanţă implementate într-o metodă de rezolvare a redundantei se numeşte strategie de rezolvare a redundanţei.

Manipulatoarele redundante antropomorfe (humanoide) sunt acele sisteme robotice care posedă cel puţin şapte grade de redundanţă şi au aspectul şi funcţionarea apropiate de cele ale braţului uman. Definiţia de antropomorf vine de la cuvintele greceşti anthropos (uman) şi

2

morphe (formă). Există două mari categorii de sisteme antropomorfe redundante. Prima este reprezentată de manipulatoare antropomorfe de sine stătătoare posedând cel puţin şapte grade de libertate şi care sunt folosite în industrie acolo unde manipulatoarele clasice cu şase grade de libertate nu fac faţă [1], [2]. Exemple [4]:

- UJIBOT, dezvoltat de Kyoto University, Japonia, posedând şapte grade de libertate şi folosit la evitarea obstacolelor; - MELARM, manipulatorul antropomorf cooperant cu două braţe cu şapte g.d.l., dezvoltat de Mechanical Engineering Laboratory, MITI, Japonia; - robotul de sudură dezvoltat de Shin Meiwa Industries Co., având cinci g.d.l. la braţ şi două g.d.l. la masa de poziţionare. A doua categorie de sisteme antropomorfe o constituie roboţii humanoizi păşitori care

posedă două braţe, fiecare cu câte şapte grade de libertate şi picioare cu acelaşi număr de grade de libertate [3], [4], [5].

Versatilitatea şi dexteritatea braţului uman se datorează mai mult redundanţei lui fizice decât complexităţii geometrice. Poziţionarea braţului într-una dintr-un număr infinit de posibile configuraţii este procesată în mod subconştient (după lecţii de învăţare lungi şi repetitive) printr-o descriere de nivel înalt a aplicaţiilor ce urmează a fi efectuate de braţ. La o serie de întrebări, cum ar fi: „sunt line mişcările mâinii mele?”, „cât de tare trebuie să apăs într-o anumită direcţie pentru a împinge un obiect?”, „am muşchii obosiţi?”, „trebuie să-mi conserv energia?”, „cum îmi poziţionez mai bine palma pentru a prinde o minge?”, oamenii răspund poziţionându-şi, orientându-şi şi mişcându-şi braţele cât mai bine pentru îndeplinirea aplicaţiilor.

Redundanţa, în categoria largă a sistemelor dinamice, permite creşterea performanţei în timpul operării ţinând cont de aplicaţia robotizată, mediul înconjurător şi de starea actuală de funcţionare a sistemului. Adaptarea creativă a redundanţei în structura cinematică, senzorii, controlul şi informaţia manipulării sunt trăsături ingenios integrate în braţul uman, care constituie modelul fundamental al dexterităţii robotului. Este clar că redundanţa poate reda oricărui sistem aceleaşi avantaje de care se bucură şi oamenii, şi anume abilitatea fizică de a produce aceleaşi date de ieşire cu o varietate de opţiuni în impunerea datelor de intrare, folosite pentru un câştig de performanţă. De asemenea, un număr infinit de opţiuni duce la creşterea complexităţii conducerii acestor sisteme. Sistemele automate nu dispun de o putere de procesare ca a creierului uman, de domeniul mare de date de intrare ale senzorilor şi de anii necesari coordonării perfecte dintre minte şi somă prin lecţii de învăţare repetitive şi rafinate.

Manipulatoarele antropomorfe sunt o clasă de sisteme dinamice care execută aplicaţii apropiate celor umane – în special aplicaţii obişnuite – datorită naturii lor antropomorfe. Un sistem robotic redundant va avea un număr de articulaţii mai mare decât numărul de date de ieşire necesare poziţionării braţului său şi va conţine în continuare aceeaşi creştere potenţială de performanţă de care se bucură braţul uman. În mod normal, poziţia mâinii este descrisă folosind minimum şase variabile pentru poziţionarea şi orientarea unui corp rigid în spaţiu: trei translaţii şi trei rotaţii (roll, pitch, yaw). Roboţii au unele avantaje clare asupra creatorilor lor. Ei pot acţiona în medii ostile, pot munci perioade lungi de timp, pot menţine un nivel înalt al calităţii când execută aplicaţii robotizate cu caracter repetitiv, reducând astfel aria muncilor umane grele, monotone şi stupide. Aceste potenţiale avantaje au inspirat imaginaţia cercetătorilor timp de câteva decenii pentru crearea şi dezvoltarea roboţilor antropomorfi.

Domeniile de aplicare a roboţilor au început să crească în ultimii ani şi să nu se mai regăsească în proporţie covârşitoare numai în industrie. Astfel au apărut roboţi pentru uzul personal care coexistă cu oamenii şi le asigură acestora ajutor la treburile casnice sau la asistarea persoanelor cu handicap. Marii producători de roboţi au dezvoltat prototipuri sau chiar au realizat producţii de masă pentru tipul de roboţi descris mai sus. Exemple [4]:

- robotul humanoid de mici dimensiuni, QRIO dezvoltat de SONY; - robotul humanoid TMSKO4 dezvoltat de TMSKO în colaborare cu SANYO;

3

- robotul humanoid foarte performant şi promovat, ASIMO, dezvoltat de HONDA; - robotul-agent de informaţii PaPeRo, dezvoltat de NEI; - robotul humanoid biped WL (Waseda Leg); - robotul humanoid biped WABIAN-2 (Waseda BIpedal humANoid) folosit ca asistent

păşitor pentru persoane cu handicap locomotor sau bătrâni. Acestea sunt numai câteva exemple de roboţi humanoizi, domeniu în care, observăm, şi

din exemplele de mai sus, că Japonia excelează. În acest sens, Universitatea Waseda din Japonia are o veche tradiţie în dezvoltarea roboţilor humanoizi; aici fiind şi locul unde în 1973 s-a realizat primul mers biped al unui robot numit WABOT-1.

Unul din aspectele importante ale muncii de cercetare în domeniul roboţilor antropomorfi este încercarea de a se realiza modele care să posede pe lângă aspectul fizic al omului şi capacităţile „mentale” care sa-i permită să coexiste cu oamenii în mod natural şi simbiotic. Corpul uman posedă oase ca elemente rigide, cartilagii care formează articulaţiile, muşchi şi tendoane care acţionează fiecare componentă a corpului uman. Este imposibil de a reface întreg sistemul osos şi muscular al omului folosind componente mecanice. Însă, cu mijloacele actuale disponibile, roboţii antropomorfi încearcă să imite mişcarea umană. În acest sens, robotul humanoid păşitor WASABI-2 posedă 41 g.d.l [4].

Planificarea mişcării unui manipulator redundant presupune diverse metode de găsire a secvenţei valide de configuraţii care să-l conducă din configuraţia iniţială în cea finală astfel încât efectorul final să-şi îndeplinească sarcina impusă iar robotul să evite coliziunea cu obstacolele şi în acelaşi timp se încearcă monitorizarea singularităţilor si evitarea apropierii de limitările fizice din articulaţii. Schema de optimizare globală determină o variaţie a soluţiilor articulaţiilor rezultată din descrierea completă a traiectoriei efectorului final. Selectarea soluţiilor articulaţiilor este bazată pe o optimizare globală a unui criteriu de performanţă, spre deosebire de schemele de optimizare locală care selectează soluţiile articulaţiilor din mişcarea instantanee a efectorului. În general, schemele de optimizare globală sunt complexe si folosite în programarea off-line şi nu în controlul în timp real. Chiar dacă aplicarea schemelor locale de optimizare nu ne dă cele mai bune soluţii, ele sunt mai uşor de aplicat si se pretează cel mai bine la controlul on-line, într-un mediu operaţional variabil.

Problema rezolvării cinematicii inverse (problema rezolvării redundanţei) nu este liniară deoarece transformările din articulaţii presupun rotaţii şi astfel apar funcţiile trigonometrice. Multitudinea strategiilor identificate în urma studiului bibliografic se pot clasifica în două mari clase de strategii de control: prima se bazează pe soluţii liniare (metoda pseudoinversei [6], proiecţia gradientului [7], metoda matricei Jacobi extinse [11]), iar a doua clasă de metode se bazează pe optimizarea neliniară (căutare directă [14], algoritmi genetici [15] , control fuzzy [16], reţele neuronale [17]).

2. ELABORAREA METODELOR DE CONTROL A MIŞCĂRII

MANIPULATOARELOR REDUNDANTE ANTROPOMORFE CU EFECTORUL FINAL URMĂRIND O CURBĂ SPAŢIALĂ DATĂ

Metodele de control a mişcării manipulatoarelor antropomorfe cu efectorul final urmărind

o curbă dată elaborate în cadrul acestei activităţi s-au bazat pe rezultatele obţinute în lucrările ştiinţifice publicate până acum şi prezentate în detaliu în referatele prevăzute în procesul de pregătire a lucrării de doctorat şi susţinute anterior [18-24]. Astfel sunt prezentate la această etapă strategiile de conducere bazate pe:

- pseudoinversa matricei Jacobi a manipulatorului; cu ajutorul acestei metode se obţine minimizarea variaţiilor unghiulare din articulaţii pentru o schimbare infinitezimală la nivelul configuraţiei efectorului final, nici un alt criteriu de performanţă nemaiputând fi implementat;

4

Deoarece matricea Jacobi a unui robot redundant nu este pătratică, ea nu poate fi inversată. un mijloc de rezolvare a acestei probleme este folosirea inversei generalizate. Soluţia ecuaţiei =x Jθ (care exprimă viteza efectorului final x în funcţie de vitezele-articulaţie θ cu ajutorul matricei Jacobi J) devine:

*=θ J x (1)

unde J* este inversa generalizată a matricei Jacobi. Una din cele mai cunoscute inverse generalizate este pseudoinversa (inversa Moore -

Penrose) [6], care se defineşte astfel:

J+ = JT(JJT)-1 (2)

Folosind pseudoinversa se urmăreşte minimizarea normei vectorului vitezelor-articulaţie. folosirea pseudoinversei a fost propusă iniţial pentru evitarea configuraţiilor singulare, deoarece singularităţile se răsfrâng cu precădere asupra vitezelor articulaţiilor.

Folosirea numai a inverselor generalizate în rezolvarea redundanţei este facilă şi rapidă, dar nu dă posibilitatea introducerii nici unui criteriu de performanţă pentru obţinerea soluţiilor din punct de vedere al unei performanţe impuse.

- metoda proiecţiei gradientului – presupune adăugarea în spaţiul nul al matricei Jacobi a gradientului unei funcţii obiectiv (criteriu de performanţă) multiplicată cu o matrice proiector. Acest termen secund nu influenţează cu nimic sarcina principală a manipulatorului (configuraţia efectorului final) dar are marele avantaj de a impune un criteriu de performanţă (evitarea obstacolelor, singularităţilor, minimizarea energiei consumate, etc), proprietate ce lipseşte manipulatoarelor non-redundante.

Extinzând soluţia pseudoinversei, Liegeois (1977) [7] propune o soluţie generală a problemei cinematicii inverse care poate fi exprimată astfel:

( - )+ += +θ J x I J J z (3)

unde J+ este pseudoinversa matricei Jacobi şi z este un vector arbitrar. Primul termen este o soluţie particulară cu norma minimă a vectorului vitezelor-

articulaţie, iar termenul al doilea se numeşte soluţia omogenă sau soluţia spaţiului nul. termenul al doilea nu contribuie la mişcarea efectorului final, dar determină configuraţia articulaţiilor. pentru optimizarea unui indice de performanţă h(θ), se alege z astfel:

)(θz hk∇±= (4)

unde k este un număr real pozitiv şi )(θh∇ este gradientul lui )(θh . În această etapă sunt prezentate două strategii de control al manipulatoarelor

antropomorfe bazate pe metoda proiecţiei gradientului si care au criteriu de performanţă evitarea obstacolelor. Prima strategie foloseşte pentru construirea funcţiei obiectiv noţiunea Criteriul distanţei maxime (Maximum Distance Criterion - MXDC) [8]. Indicele de performanţă h(θ) este suma distanţelor de la puncte de control al configuraţiei (Configuration Control Points – CCP) situate pe manipulator şi obstacole [18], [19], [23]. A doua strategie se bazează pe acţiunea unui câmp potenţial repulsiv [9] care produce forţe repulsive virtuale care îndepărtează elementele manipulatorului de obstacole atunci când distanţele de la punctele de control sunt mai mici decât o distanţă impusă. Funcţia obiectiv este în acest caz suma acestor forţe repulsive virtuale [18], [20], [23].

- metoda matricei Jacobi extinse - prin adăugarea unui număr de linii, egal cu gradul de redundanţă, la matricea Jacobi, aceasta devine pătratică şi rezolvarea redundanţei se face inversând matricea Jacobi extinsă. Criteriile de performanţă sunt exprimate în liniile adăugate matricei.

Metoda controlului configuraţiei propusă de Seraji (1989) [10] adaugă cinematicii

5

directe a manipulatorului un set de funcţii cinematice în spaţiul cartezian sau în spaţiul articulaţiilor, funcţii care reflectă aplicaţiile adiţionale dorite. Fie y = f(θ) modelul cinematic direct care face legătura între vectorul n×1 al deplasărilor articulaţiilor θ şi vectorul m×1 al coordonatelor efectorului final y. Fie φ = h(θ) un set de r(n-m) funcţii cinematice. Modelul cinematic extins este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)()(

θθ

ΦY

Xhf

(5)

unde x este vectorul configuraţiei având dimensiunea n×1. Utilizatorul poate alege aplicaţiile adiţionale dorite impunând constrângerea φ(t) = φd(t), unde φd(t) este variaţia dorită a lui φ în funcţie de timp. Problema comenzii configuraţiei se continuă apoi cu verificarea dacă vectorul

configuraţiei x urmează traiectoria dorită ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)()(

)(d

dd t

tt

ΦY

X folosind o lege de conducere

cinematică sau dinamică. În cazul special în care aplicaţia adiţională dorită este optimizarea unei funcţii obiectiv,

această metodă se numeşte metoda matricei Jacobi extinse, introdusă de Baillieul şi al. (1984)

[11]. Definind θ

)( e ∂∂

=gNθΦ , unde Ne este o matrice r×n care lucrează în spaţiul nul al

matricei Jacobi şi g(θ) este o funcţie obiectiv care urmează a fi optimizată, se observă că Φ = 0 este condiţia necesară pentru optimizarea lui g(θ). În continuare, dacă se defineşte traiectoria dorită ca Φd(t) = 0 şi se foloseşte conducerea configuraţiei pentru a urma Xd(t), atunci poate fi rezolvată problema optimizării cinematice. Adăugarea constrângerilor introduce singularităţi algoritmice, pe lângă cele cinematice deja existente, şi aceasta poate restricţiona inversarea [12], [13].

Funcţia obiectiv folosită pentru evitarea obstacolelor este suma inverselor distanţelor de la punctele de control situate pe manipulator şi obstacole. Minimizând această funcţie obiectiv, se maximizează distanţele dintre manipulator şi obstacole şi astfel este evitată coliziunea [18], [23], [24].

3. SIMULĂRI ILUSTRATIVE COMPUTERIZATE ALE ALGORITMILOR

IMPUŞI DE STUDIILE DE LA PUNCTUL ANTERIOR

Simulările ilustrative au fost realizate folosind programul Matlab şi toolbox-ul robot care posedă funcţii matlab pentru declararea parametrilor Denavit-Hartenberg necesari construirii modelului geometric, rezolvarea cinematicii directe şi pentru reprezentarea grafică a manipulatorului. Strategiile de control elaborate la punctul anterior au fost implementate în cadrul unor programe matlab care au cuprins rezolvarea cinematicii inverse şi urmărirea grafică a comportării cinematice a manipulatorului. Folosirea unui mediu de simulare are marele avantaj a vizualizării imediate a comportamentului cinematic a manipulatorului şi urmărirea calitativă şi cantitativă a criteriilor de performanţă implementate în cadrul strategilor de rezolvare a redundanţei. De asemenea unele metode analizate au presupus impunerea unor factori de pondere (scalare). Urmărirea influenţei mărimii acestor factori asupra comportării cinematice a manipulatorului nu ar fi posibilă fără un mediu de simulare adecvat.

Simulările algoritmilor propuşi la punctul anterior ilustrează comportarea cinematică a unui manipulator antropomorf cu poziţia iniţială din figura 1. Efectorul final urmăreşte o curbă spaţială dată (în acest caz spirala C) şi are în spaţiul de lucru o suprafaţă de restricţie (suprafaţa exterioară a cilindrului, notată cu S).

6

nonamexyz

CS

CCP1 CCP2CCP3

CCP4

O x

y

z

Figura 1. Poziţia iniţială a manipulatorului şi dispunerea punctelor de control al configuraţiei

Utilizând numai pseudoinversa matricei Jacobi, efectorul final al manipulatorului

antropomorf urmăreşte o curbă spaţială dată şi asigură la nivelul articulaţiilor variaţii unghiulare minime la fiecare pas incremental de variaţie a coordonatelor operaţionale. Însă, aşa cum observăm din figura 2, comportarea cinematică a robotului nu asigură evitarea coliziunii elementelor manipulatorului cu un obstacol interpus în spaţiul de lucru.

nonamexyz noname x

yz noname xyz

nonamex

yz noname

xyz

noname

xyz

noname

xyz

Figura 2. Comportarea cinematică a manipulatorului utilizând metoda pseudoinversei

În schimb, utilizarea unei strategii de evitare a obstacolelor propuse la punctul anterior

face posibilă evitarea coliziunii elementelor manipulatorului cu suprafaţa de restricţie S, în timp ce efectorul final urmăreşte curba spaţială C, aşa cum se observă în figura 3.

nonamexyz noname noname x

yzxyz

noname noname noname xyz

xyz

xyz

noname noname noname nonamex

yzxyzxyzxyz

noname noname noname noname noname

xyz

xyz

xyz

xyz

xyz x

yzxyzxyzxyzxyzxyz

xyz xyz xyz xyz xyz xyz xyz

Figura 3. Comportarea cinematică a manipulatorului utilizând o strategie de evitare a obstacolelor

Bibliografie [1] Y. Tsumaki et al., A numerical SC approach for a teleoperated 7-DOF manipulator, In: Proceedings of the IEEE International Conference on Robots and Automation, Seoul, Korea, May 21-26, 2001, pp. 1039-1044, 2001.

[2] D. N. Nenchev, Y. Tsumaki, Motion Analysis of a Kinematically Redundant Seven-DOF Manipulators under the Singularity-Consistent Method, In: Proceedings of the IEEE International Conference on Robots and Automation, Taipei, Taiwan, September 2760-2765, 2003.

[3] F. Guenter, L. Roos, A. Guignard, A. G. Billard, Design of a Biomimetic Upper Body for Humanoid Robot Robota, In: Proceedings of the IEEE-RAS International Conference on Humanoid Robots, Tsukuba, Japan, December 5-7, 2005.

[4] A. Takanishi, Y. Ogura, K. Itoh, Some Issues in Humanoid Robot Design, Robotics Research, STAR 28, pp. 357-372, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007.

7

[5] N. Klopcar, J. Lenarcic, Kinematic Model for Determination of Human Arm Reachable Workspace, Meccanica 40, pp. 203-219, 2005.

[6] D. Whitney, Resolved Motion Rate Control of Manipulators and Human Prostheses, IEEE Trans. Man Mach. Syst. MMS-10, pp. 47-53 1969.

[7] A. Liegeois. Automatic Supervisory Control of Configuration and Behavior of Multibody Mechanism. IEEE Trans. Sys. Man Cybernet, Vol. 7, pp. 868-871, 1977.

[8] U. Sezgin, L.D. Seneviratne, S.W.E. Earles. Collision Avoidance in Multiple-Redundant Manipulators. The International Journal of Robotics Research, Vol. 16, No. 5, pp. 714-724, 1997.

[9] O. Khatib. Real-Time Obstacle Avoidance for Manipulators and Mobile Robots. The International Journal of Robotics Research, Vol. 5, No. 1, pp. 90-98, 1986.

[10] H. Seraji. Configuration Control of Redundant Manipulators: Theory and Implementation. IEEE Trans. On Robot and Automat., Vol. 5, No. 40, pp. 427-490, 1989.

[11] J. Baillieul, J. Hoolerbach, R. Brockett. Programming and Control of Kinematically Redundant Manipulators. Proceedings of IEEE Conf. on Decision and Control, pp. 768-774, 1984.

[12] P. Chiacchio, S. Chiaverini, L. Sciavicco, B. Siciliano. Closed-Loop Inverse Kinematics Schemes for Constrained Redundant Manipulators with Task Space Augmentation and Task Priority Strategy. The International Journal of Robotics Research, Vol. 10, No. 4, pp. 410-425, 1991.

[13] V. Perdereau, C. Passi, M. Drouin, Real Time Control of Redundant Robotic Manipulators for Mobile Obstacle Avoidance, Robotics and Autonomous Systems 41, pp. 41-59, 2002.

[14] M. S. Tisius, An Empirical Approach to Performance Criteria and Redundancy Resolution, Master’s Thesis, The University of Texas at Austin, 2004. [15] L. Tian, C. Collins, Motion Planning for Redundant Manipulators using a Floating Point Genetic Algorithm, Journal of Intelligent and Robotic Systems: Theory and Applications, vol. 38, No. 3-4, pp. 297-312, 2003.

[16] C. Ham, R. Johnson, Robust fuzzy control for robot manipulators, In: Proceedings of the IEEE Control Theory Applications, vol. 147, No. 2, pp. 212-216, March 2000.

[17] Y Zhang, J. Wang, Obstacle Avoidance for Kinematically Redundant Manipulators using a Dual Neural Network, IEEE Trans. on Systems, Man and Cybernetics, part B: Cybernetics, vol. 34, No. 1, pp. 752-759, February 2004. [18] D. Popa, C. Secară, On the multimobile complex structures, Research Trends in Mechanics, vol.1, cap.9, pp. 299-324, Ed. Academiei (eds. D. Popa, V. Chiroiu, I. Toma), 2007.

[19] C. Secară, S.B. Cononovici, I. Nitu, Restriction Surface Avoidance by a Planar Redundant Manipulator Using a Control Strategy Based on the Pseudoinverse of the Jacobian Matrix, Proceedings of the Annual Symposium of the Institute of Solid Mechanics - May 18-20 2005, Ed. Academiei (ed. T. Sireteanu), pp.275-280, 2006.

[20] C. Secara, I. Niţu, S.B. Cononovici, Restriction Surface Avoidance by a Planar Redundant Manipulator Using a Control Strategy Based on the Repulsive Potential Field, Proceedings of the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms - SYROM 2005, Bucharest, Romania, September 1-4, Volume III „Manipulators and Robots, pp. 785-790, 2005.

[21] I. Niţu, W. Racoviţă, C. Secară, Singularities Analysis for a Planar Redundant Manipulator, Proceedings of the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms - SYROM 2005, Bucharest, Romania, September 1-4, Volume III „Manipulators and Robots, pp. 727-732, 2005.

[22] I. Niţu, C. Secară, Kinematic Study of a Redundant Manipulator Planar Structure with Three Degrees of Freedom, Proceedings of the Annual Symposium of the Institute of Solid Mechanics – May 29-31, 2007, Ed. Academiei (eds. V. Chiroiu, M. Migdalovici), 2008.

[23] C. Secară, “Restriction Surface Avoidance by a Planar Redundant Manipulator using Control Strategies based on Gradient Projection and Extended Jacobian Matrix Methods”, Proceedings of the 2007 ECCOMAS Thematic Conference on Multibody Dynamics”, Milano, Italy, June 25-28, 2007, “Control, Mechatronics and Robotics” section, 2007.

[24] C. Secară, V. Chiroiu, D. Dumitriu, “Obstacle Avoidance Strategy based on the Extended Jacobian Method”, Proceedings of the 2nd International Conference “Computational Mechanics and Virtual Engineering”, COMEC 2007, 11-13 October 2007, Brasov, Romania, pp. 155-160, 2007.