inspectoratul societatea Şcolar judeŢean de Ştiinte...

INSPECTORATUL SOCIETATEA

ŞCOLAR JUDEŢEAN DE ŞTIINTE

BIHOR MATEMATICE

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________

Str. Mihai Eminescu nr. 11, 410019, Oradea Tel: +40 (0) 259 41 64 54,

Tel./fax: +40 (0) 359 43 62 07,

Fax: +40 (0) 259 41 80 16,

+40 (0) 259 47 02 22,

Web: www.isjbihor.ro

E-mail: [email protected]

OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ

Etapa locală - 15.02.2014

Clasa a V-a

Problema 1

a) Comparați numerele x, y, z știind că:

b) Calculați restul împărțirii numărului la 10.

Problema 2

a) Aflați câte numere naturale nenule mai mici decât 1001 nu se divid nici cu 2, nici cu 5.

b) Bursa lunară a unui elev este mai mică decât 270 cu atâţia lei cât ar primi peste 270 dacă i s-ar dubla

bursa. Cât este bursa elevului?

Problema 3

a) Arătați că numărul se poate scrie ca o sumă de două numere naturale impare consecutive.

b) Arătați că numărul se poate scrie ca o sumă de trei numere naturale consecutive și ca o sumă de

trei numere naturale impare consecutive.

Problema 4

O reţea de telefonie are numerele tuturor clienţilor formate din zece cifre. Care este numărul maxim de

clienţi pe care poate să-i aibă reţeaua ştiind că numerele de telefon ale acestora îndeplinesc condiţiile:

primele trei cifre sunt în ordine 0, 7, 4 iar a patra cifră este 2 sau 6?

Probleme selectate de Prof. Copil Olimpia

Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de două ore.

b) Toate problemele sunt obligatorii.

c) Fiecare problemă se notează de la 0 la 7.



BIHOR MATEMATICE

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________


Tel./fax: +40 (0) 359 43 62 07,

Fax: +40 (0) 259 41 80 16,

+40 (0) 259 47 02 22,





Clasa a V-a

Barem de corectare

Problema 1

a) x = 100 (1p) ; y = 1 (1p); z = 20132

(1p); y < x <z (1p)

u.c.(4562014

) = 6 (1p); n divizibil cu 10 (1p); r = 0 (1p)

Problema 2

a) Fie A mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 1001, divizibile cu 2. Card A = 500 și fie B

mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 1001, divizibile cu 5. Card B = 200 (1p)

A∩B este mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 1001, divizibile cu 2 și cu 5, adică cu 10.

Card (A∩B) = 100 (1p)

A B este mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 1001, divizibile cu 2 sau cu 5. Card(A B)

= 500 (1p)

Avem 1000 numere naturale nenule mai mici decât 1001, care nu sunt divizibile nici cu 2, nici cu 5. (1p)

b) Scrierea ecuaţiei sau reprezentarea prin metoda figurativă (2p)

270 : 3 = 90, 90∙2 = 180 valoarea bursei (1p)

Problema 3

a) 22014

= 2 22013

= 22013

+ 22013

= (2p)

=(22013

-1)+( 22013

+1) (2p)

b) 32014

=(32013

-1) + 32013

+ ( 32013

+1) (2p)

32014

=(32013

-2) + 32013

+ ( 32013

+2) (1p)

Problema 4 Numerele de telefon au forma 0742_ _ _ _ _ _ sau 0746_ _ _ _ _ _ (1p)

Oricare din cele 6 poziţii libere poate fi ocupată de una din cele 10 cifre (1p)

Există 106 moduri de a ocupa cele 6 poziţii libere (3p)

Există 2 ∙ 106 numere de telefon având forma cerută (2p)

Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte.

b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător.



BIHOR MATEMATICE

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________


Tel./fax: +40 (0) 359 43 62 07,

Fax: +40 (0) 259 41 80 16,

+40 (0) 259 47 02 22,





Clasa a VII-a

Problema 1

Un număr natural se numește “pătrat magic” dacă el are exact trei divizori naturali.

a. Să se determine care dintre numerele 9, 10, 12, 25 sunt “pătrate magice”. b. Câte numere de trei cifre sunt “pătrate magice”?

c. Demonstrați că nu există două “pătrate magice” a căror sumă să fie un ”pătrat magic”.

Problema 2

Fie mulțimea .

a) Demonstrați că .

b) Să se demonstreze că: .

c) Să se demonstreze că există o submulțime B a lui A astfel încât suma elementelor din B să fie .

Problema 3

Fie ABCD un trapez cu AB||CD, AB>CD. Bisectoarea unghiului , bisectoarea unghiului și AD

sunt concurente în punctul M.

a) Demonstrați că triunghiul MBC este dreptunghic.

b) Demonstrați că M este mijlocul lui [AD].

c) Demonstrați că perpendiculara din A pe MB, perpendiculara din D pe MC și BC sunt concurente.

Problema 4

În triunghiul ascuțitunghic ABC, D E și F sunt centrele de greutate ale triunghiurilor ADB și

ADC. Demonstrați că dacă și numai dacă AD BC

Probleme selectate de Prof. Chisiu Gabriela

Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.





BIHOR MATEMATICE

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________


Tel./fax: +40 (0) 359 43 62 07,

Fax: +40 (0) 259 41 80 16,

+40 (0) 259 47 02 22,





Clasa a VII-a

Barem de corectare

Problema 1

a) Numerele 9 și 25 au exact trei divizori 9 și 25 sunt “pătrate magice”

Numărul 10 are 4 divizori iar numărul 12 are 6 divizori 10 și 12 nu sunt “pătrate magice” (2p)

b) Dacă un număr n are are exact trei divizori atunci (1p)

“Pătratele magice” de trei cifre sunt 112, 13

2, 17

2, 19

2, 23

2, 29

2,31

2 7 numere de trei cifre care sunt

pătrate magice. (1p)

c) Presupunem că există 2 “pătrate magice” a≤b a căror sumă este un “pătrat magic” c. .

(1p)

Presupunem că p este un număr impar, prim p 3 q≥3 deci r-este numr par

Contradicție. (1p)

Presupunem că q≠3. Cum q este număr prim înseamnă că nu este divizibil cu 3 deci q2 este M3+1,

. Contradicție q=3.

. Contradicție. (1p)

Problema 2 a)

(2p)

b)

(2p)



BIHOR MATEMATICE

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________


Tel./fax: +40 (0) 359 43 62 07,

Fax: +40 (0) 259 41 80 16,

+40 (0) 259 47 02 22,



c)

(1p)

(2p)

Problema 3

a) (2p)

b) Fie MN||AB, NNNNNNNNNNNNNNNNNNN .

Þ DMNC isoscel, deci MN=NC. Analog MN=NB, deci CN=NB.

(2p)

c) Fie DEDEDEDE MC, EEEEEEEEEE (MC), DEDEDEDE BC={F}, AHAHAHAHAHAH MB, HHHHHHHHHHHHHHH (MB). În DCF, (CE)-inălțime și bisectoare

DCF-isoscel (CE) – mediană E – mijlocul lui (DF) (1p)

linie mijlocie în (1p)

FFFFFFFFFFFFFFF AHAH (1p)

Problema 4

Fie M și N mijloacele segmentelor (AB) și (AC). (1p)

DEDEDE , DFFFFF

(2) (2p)

„ AD BC”



BIHOR MATEMATICE

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________


Tel./fax: +40 (0) 359 43 62 07,

Fax: +40 (0) 259 41 80 16,

+40 (0) 259 47 02 22,



AD BC (2p)

„ AD BC”

Dacă AD BC atunci (3)

Analog

(2p)

Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte. b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător.



BIHOR MATEMATICE

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________


Tel./fax: +40 (0) 359 43 62 07,

Fax: +40 (0) 259 41 80 16,

+40 (0) 259 47 02 22,





Clasa a VIII-a

Problema 1

Să se afle numerele naturale care verifică relaţia:

9 2 2013 2 2009 2 2013 2 2009 <10n n n n£ + + + + + - + .

Problema 2

Fie { }*, \ 1a n NÎ . Demonstraţi că fracţia ( )( )

2

2 2

1 1

1

a n a

a n a

- + -

+ - este ireductibilă.

Problema 3

Fie piramida patrulateră VABCD, cu toate muchiile egale și baza ABCD.

a) Arătați că ABCD este pătrat;

b) Arătați că dreptele AF și CE nu sunt perpendiculare, unde E este mijlocul muchiei VA și F este mijlocul muchiei VB.

Problema 4

În cubul ABCDA’B’C’D’ punctele M, N respectiv P sunt mijloacele muchiilor CC’, A’D’, respectiv

C’D’. Aflaţi sinusul unghiului format de dreptele BM şi NP.

Probleme selectate de Lung Ioan și Nicoara Florin

Notă: a) Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.





BIHOR MATEMATICE

_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________


Tel./fax: +40 (0) 359 43 62 07,

Fax: +40 (0) 259 41 80 16,

+40 (0) 259 47 02 22,





Clasa a VIII-a

Barem de corectare

Problema 1

81 2 2 2013 4<100n£ + + (3p). ( )2 277 4 2 2013 <96n£ + (1p)

2123 8 <1164n- £ (2p). Deci { }n 0,1,...,145Î (1p).

Problema 2

Fie ( ) ( )( )2 2 2 *1 1; 1d a n a a n a N= - + - + - Î (1p)

( ) ( ) ( )2 2 2| 1 1 1 1d a a n a a a n aé ù é ùÞ + - + - - + -ë ûë û (2p)

|-1dÞ (2p)

|1dÞ (1p)

Fracţia ireductibilă (1p)

Problema 3 a) Demonstrarea cerinței (4p)

b) Se consideră G mijlocul segmentului VF și rezultă că unghiul dintre dreptele EC și AF este GEC (1p) Se arată

că triunghiul GEC nu este dreptunghic (2p)

Problema 4

{ }' 'BM B C QÇ = ; ' ||NPD Q (2p). Unghiul determinat de dreptele NP şi BM este

'D QM'D QM' (1p)

Fie l latura cubului ' 5

2

lD M = , 5

2

lMQ = ,

' 2D Q l= (2p). Fie ( )'R D QÎ astfel încât

' 32

lMR D Q MR^ Þ = (1p) Deci ( )' 3

sin5

MRD QM

MQ= =)'D QM'

(1p)

Notă: a) Fiecare corector acordă un număr întreg de puncte.

b) Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător.

inspectoratul societatea Şcolar judeŢean de Ştiinte...

Documents