inegalitatea mediilor
DESCRIPTION
MatematicaTRANSCRIPT
I. Inegalitatea mediilor
Mh(a1,a2,...,an)¿ n
1a1
+1a2
+…+1an
Mg(a1,a2,...,an)¿ n√a1∗a2∗…∗an
Ma(a1,a2,...,an)¿a1+a2+…+an
n
Mp(a1,a2,...,an)¿ √a12+a2
2+…+ann
n
M h≤M g≤M h≤M p
n
1a1
+ 1a2
+…+ 1an
≤ n√a1∗a2∗…∗an≤a1+a2+…+an
n≤
√a12+a2
2+…+ann
n
II. Inegalitatea lui Bernoulli
(1+x )n≥1+nx , (∀ )n∈N , (∀ ) x≥−1
III. Inegalitatea lui Titu Andreescu
x2
a+ y
2
b=
(x+ y )2
a+b, x , y , a , b>0
Generalizare:x i ,a i>0 i=1 ,n
x1
2
a1
+x2
2
a2
+…+xn
2
an≥(x¿¿1+x2+…+xn)
2
a1+a2+…+an¿
IV. Inegalitatea lui Young
x , y>0α , β>1astfel încâ t1α
+ 1β=1
xα
α+ y
β
β≥xy
V. Inegaliatatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwarz(C-B-S)
(a1b1+a2b2)2≤(a¿¿12+a2
2)∗(b12+b2
2 )¿
cu egalitate c ânda1
b1
=a2
b2
Generalizare: (a¿¿1b1+a2b2+…+anbn)
2≤(a¿¿12+a22+…+an
2)∗(b¿¿12+b22+…+bn
2)¿¿¿
cu egalitate c ânda1
b1
=a2
b2
=…=anbn
VI. Inegalitatea lui Minkowski
√(a¿¿1+b1)2+(a2+b2)
2+…+(a¿¿n+bn)2≤√(a1
2+a22+…+an
2)+√(b¿¿12+b22+…+bn
2¿)¿¿¿¿
cu egalitate cânda1
b1
=a2
b2
=…=anbn