ii.3.i. urmele planului, elementele geometrice În plan

II.3.I. URMELE PLANULUI, ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN

2


II.3.I.1 ELEMENTELE PLANULUI II.3.I.2 URMELE PLANULUI II.3.I.3 ELEMENTE GEOMETRICE ÎN PLAN


3

II.3.I.1 ELEMENTELE PLANULUI Planul poate fi determinat de:

1. 3 puncte (necolineare) (A ≠ B ≠ C) (Fig. 1) 2. o dreaptă şi un punct ( AB şi C, C ∉ AB ) (Fig. 2) 3. două drepte paralele ( AB şi D AB , C ∈ D ) (Fig. 3) 4. două drepte concurente ( AB şi D , D =CI , AB ∩ D = I) (Fig. 4)

OBSERVAŢIE: � Condiţia a doua este echivalentă cu prima.

(Din trei puncte necoliniare, două pot forma o dreaptă) � Condiţiile a treia şi a patra sunt echivalente cu a doua.

(Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o alta, fie paralelă cu prima, fie concurentă cu ea.)

PLAN DETERMINAT DE TREI PUNCTE NECOLINIARE Fie A ≠ B ≠ C. A + B + C = [P]

x

[H]

[V]

z

y

[W]

OA

B

C

[P]

Fig. 1

PLAN DETERMINAT DE O DREAPTĂ ŞI UN PUNCT Fie A ≠ B ≠ C, AB + C = [P].

x

[H]

[V]

z

y

[W]

O

B

C

[P]

A


4

Fig. 2 PLAN DETERMINAT DE DOUĂ DREPTE PARALELE Fie A ≠ B ≠ C. C ∈ D ; D AB AB + D = [P]

x

[H]

[V]

z

y

[W]

O

[P]

A

B

C

D

Fig. 3

PLAN DETERMINAT DE DOUĂ DREPTE CONCURENTE OARECARE Fie A ≠ B ≠ C şi I ∈ AB . C + I = D ⇓ AB ∩ D = I AB + D = [P]

x

[H]

[V]

z

y

[W]

O [P]

D

A

B

CI

Fig. 4


5

PLAN DETERMINAT DE DREPTE CONCURENTE PARTICULARE

1. Fie 1D ⊂ [H] şi 2D ⊂ [V] (vezi B.II.2.4.3 Drepte în planele de proiecţie).

1D ∩ 2D = I1

1D + 2D = [P]

x

[H]

[V]

z

y

[W]

O [P]

D2

D1d =1

d' =2

d2d'1

I =i =i'1

1i"

x

y

O y

z

i =i'

d1

d'd''1

2

d' =1 d2

d"2d"2

d''1

1 1

1 1 i"1

Fig.5a Fig.5b

2. Fie 1D ⊂ [H] şi 3D ⊂ [W] (vezi B.II.2.4.3 Drepte în planele de proiecţie).

1D ∩ 3D = I2

1D + 3D = [P]

x

[H]

[V]

z

y

[W]

O x

y

y

z

Od'

d'[P]

I =i =i''

1

2

3 d'' =3 D3

i'

1Dd =1 2 2 2

d = d''3 1

d'd''

d

i

1

3

1

2

d'3

d3

1d''=i'2 2i''

Fig.6a Fig.6b

3. Fie 2D ⊂ [V] şi 3D ⊂ [W] (vezi B.II.2.4.3 Drepte în planele de proiecţie).

2D ∩ 3D = I3

2D + 3D = [P]

x

[H]

[V]

z

y

[W]

O

[P]

x

y

O y

z

D2d' =2

d2

I =i =i'3

3i"

d" =d'2

3 3

3

D3d" =3

d3

d" d'

i' =i''

=i

d

32

3

3

3

d 2

d" =d'2 3

3


6

Fig.7a Fig.7b

II.3.I.2 URMELE PLANULUI DEFINIŢIE: „Urma planului” este dreapta de intersecţie dintre planul [P] şi un alt plan. Ea se numeşte „urma planului [P]” pe cel de al doilea plan. Fie planul [P] şi [H], [V] şi [W], planele de proiecţie. [P] ∩ [H] = urma planului [P] pe [H] (sau urma orizontală a planului [P]) [P] ∩ [V] = urma planului [P] pe [V] (sau urma verticală a planului [P]) [P] ∩ [W] = urma planului [P] pe [W] (sau urma laterală a planului [P]).

[H]

d =1

=i'' =i' =i

I =i =i'x 1 1 1

d'' =

d'2

d' =d1

2

O

d' =[V]

D2 2

3

I =i =i''D1 2 2 y2 y2i

i"i'' =i' =ii =i'd'' =d

[P]1

3

31 2x

d'' =3 D3

I =i' =i''3 3 3

[W]

d' d''

d'' =

d'11 d 1

d'=d 1 2

2

d 31 2 3

2O d'' 1

3

i' =i''3

3

3

z

z

2 y

Fig.8a Fig.8b

În figura de mai sus, [P] ∩ [H] = D ⇒ dacă D ⊂ [H] ⇒ D ≡ 1D ⊂ [H] (vezi B.II.2.4.3. drepte în planele de proiecţie – vol. I)

1D = „urma orizontală a planului [P]” [P] ∩ [V] = D ⇒ dacă D ⊂ [V] ⇒ D ≡ 2D ⊂ [V] (vezi B.II.2.4.3. drepte în planele de proiecţie– vol. I)

2D = „urma verticală a planului [P]” [P] ∩ [W] = D ⇒ dacă D ⊂ [W] ⇒ D ≡ 3D ⊂ [W] (vezi B.II.2.4.3. drepte în planele de proiecţie – vol. I)

3D = „urma laterală a planului [P]”


7

INTERSECŢIA URMELOR PLANULUI Dacă două drepte concurente formează un plan [P], atunci o a treia dreaptă din [P] este fie concurentă cu prima şi paralelă cu a doua (1), fie concurentă cu ambele (2). sau, dacă 1D ∩ 2D = I1, 1D + 2D = [P] şi 3D ⊂ [P]

atunci 3D ∩ 1D = I2 şi 3D ∩ 2D = I3 (condiţia (2) în textul de mai sus)

⇓ dacă 1D ⊂ [H], 2D ⊂ [V], 3D ⊂ [W]

⇒ 1D ∩ 2D = I1 ∈ OX (vezi Fig.5a şi Fig.5b)

1D ∩ 3D = I2 ∈ OY (vezi Fig.6a şi Fig.6b)

2D ∩ 3D = I3 ∈ OZ (vezi Fig.7a şi Fig.7b) Notaţii specifice pentru urmele planului

� Urma unui plan pe un al doilea se notează cu litera majusculă a planului (P, R, Q…etc.) urmată de litera celui de al doilea plan, scrisă ca indice, cu literă mică. ⇒ Ph = urma planului [P] pe [H] sau urma orizontală a planului [P]

Pv = urma planului [P] pe [V] sau urma verticală a planului [P] Pw = urma planului [P] pe [W] sau urma laterală a planului [P].

⇒⇒⇒⇒ Se înlocuieşte 1D cu Ph , 2D cu Pv , 3D cu Pw. OBSERVAŢII:

1. Se notează numai dreptele din spaţiu ( 1D ≡ Ph, 2D ≡ Pv, 3D ≡ Pw), nu şi

proiecţiile lor. 2. În proiecţia ortogonală se notează o singură proiecţie, anume aceea

care se confundă cu dreapta din spaţiu ( 1d ≡ Ph, '2d ≡ Pv,

"3d ≡ Pw).

� Punctele de intersecţie dintre dreptele 1D , 2D , 3D (urme) (I1, I2, I3) se notează

cu litera majusculă a planului (P, R, Q, …etc.) urmată de litera axei pe care se găseşte punctul, scrisă ca indice, cu literă mică ⇒ Px ∈ OX , Py ∈ OY, Pz ∈ OZ. Se înlocuieşte I1 cu Px , I2 cu Py , I3 cu Pz. OBSERVAŢII:

1. Se notează numai punctele din spaţiu (I1 = Px, I2 = Py, I3 = Pz.), nu şi proiecţiile lor.

2. În proiecţia ortogonală se notează cele două proiecţii care se confundă cu punctul din spaţiu (i1 ≡ i1’ ≡ Px , i2 ≡ i2’’ ≡ Py , i3’ ≡ i3’’ ≡ Pz ).


8

x

[H]

[V]

z

y

[W]

O

[P]

D2

D1d =1

d' =2

I =i =i'1

d'' =d1

1 1 I =i =i''2 2 2

I =i' =i''3 3 3

D3d'' =3

=i'' =i' =i21 3

d' =d 2d'

' =d'

23

1 3

P =v =P w

P =hP =x

=P z

=P y

x

y

O y

z

d' 2 d'' 3

d'' 1

d'' =

d'2

3

d 1 d 3

d' =d 1 2

i =i'1 1P =x

i 2 =P y

i' =i''3 3=P z

P =v =P w

P =hi"2 =P yO,i'',i' ,i21 3

Fig.9a Fig.9b

[H]

P

[V]

x Ph

Px[P]

Pv

O

Pw

z

z

yPy

[W]

Fig.10

x

y

O y

z

x

y

O

z

Px

Py

Pz

Pv Pw

Ph

Px

Py

Pv

Ph

Py

Pz

Fig.11a Fig.11b

CONCLUZIE:

[P] ∩ [H] = Ph Ph ∩ Pv = Px

[P] ∩ [V] = Pv Ph ∩ Pw = Py

[P] ∩ [W] = Pw Pv ∩ Pw = Pz


9

II.3.I.3 ELEMENTELE GEOMETRICE ÎN PLAN

PUNCT ÎN PLAN Dacă un punct M aparţine unui plan [P], atunci el se află pe o dreaptă din plan sau, fie M ∈ [P] ⇒ ∃ D ⊂ [P], D ∋ M.

[P] poate fi determinat de drepte oarecare (Fig.12, Fig.13) [P] poate fi determinat de urme (Fig.14)

[P]

x

[V]

[H]

D

y

[H]

x

[P]M OE

[W]

OM E

D

[V]

y

[W]

z z

Fig.12 Fig.13

P

x

[V]

[H]

hP

D [P]

y

P

OM

v w

[W]

z

Fig.14

PUNCTE PARTICULARE ÎN [P] Fie H ∈ [H] (vezi B.II.1 Puncte particulare – vol. 1) V ∈ [V] (vezi B.II.1 Puncte particulare – vol. 1) W ∈ [W] (vezi B.II.1 Puncte particulare – vol. 1). Dacă H ∈ [H] şi H ∈ [P] ⇒ H ∈ [P] ∩ [H] = Ph , H ∈ Ph V ∈ [V] şi V ∈ [P] ⇒ V ∈ [P] ∩ [V] = Pv , V ∈ Pv W ∈ [W] şi W ∈ [P] ⇒ W ∈ [P] ∩ [W] = Pw , W ∈ Pw


10

w''=W

d'' =

d'Dd' =P =

d'' =d

Dd'' =

[H]

x

v 2

[P]w 3

P =hh=H D1d =1

O

d' =dh' 1 v2

2

2

h"1

3

y

w3=P

[V]v"v'=V

w'

3

z

[W]

Fig.15

H ∈ Ph şi Ph ≡ 1D ⇒ H ∈ 1D (Fig.15)

V ∈ Pv şi Pv ≡ 2D ⇒ V ∈ 2D (Fig.15)

W ∈ Pw şi Pw ≡ 3D ⇒ W ∈ 3D (Fig.15)

v"

P =

P =

d' =d

y

d'' 1vP =h

h

d 1

d

w

3

d' =d

P =v

x 1 d'' =

d'

h'2 o2

w'd' 2

3

h

3 =P wh'' y

w''d''

x 1

v

y

v

h

d 1

h'2 o

d' 2v'

z

v'

z

Fig.16a Fig.16b


11

DREAPTĂ ÎN PLAN DREAPTĂ OARECARE Dacă H ∈ [P], V ∈ [P], W ∈ [P], atunci D ≡ VH ⊂ [P] (Fig.17) sau D ≡ HW ⊂ [P] (Fig.19)

sau D ≡ VW ⊂ [P] (Fig.21). Fie VH ⊂ [P] (Fig.17).

x

[H]

[V]

z

y

[W]

O

[P]

D

h=

v

H

v'=V

Pv Pw

Ph

d''

d

d'

v"

h"h'

Fig.17

H ≡ h ∈ Ph (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16) V ≡ v’ ∈ Pv (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16)

d'

P

P

y

d''

h

x h'

Ph

d

d'v o

v' v''Pv

z

h'' y

h

x h'

Pw

y

h

dv o

v'

v

z

Fig.18a Fig.18.b

CONCLUZIE: Dacă VH ≡ D ⊂ [P] ⇒ h ∈∈∈∈ Ph

v’ ∈∈∈∈ Pv


12

Fie HW ⊂ [P] (Fig.19)

[P]P

[H]

x h=H h y

w''=

wh'

d''

D dh''

d'Pv

O

[V] w'

z

WPw

[W]

Fig.19

H ≡ h ∈ Ph (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16) W ≡ w’’ ∈ Pw (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16)

y y

x

Ph w

dh

ww'

d'h'

d''o h''

Pv Pw''

y x

z

Ph w

dh

w'

d'h' o

Pv

z

Fig.20a Fig.20b

CONCLUZIE: Dacă HW ≡ D ⊂ [P] ⇒ h ∈∈∈∈ Ph

w’’ ∈∈∈∈ Pw

OBSERVAŢIE: Proiecţia w’’ nu apare în dubla proiecţie ortogonală (fig.20b), deci nu se poate stabili dacă HW aparţine sau nu planului [P] (nu se poate verifica dacă w’’ ∈ Pw).


13

Fie VW ⊂ [P] (Fig.21)

x

[H]

[V]

z

y

[W]

O

[P]

D

v'=V

w''=W

Pv Pw

Ph

d''

d

d'

w

w'

v

v''

Fig.21

V ≡ v’ ∈ Pv (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16) W ≡ w’’ ∈ Pw (vezi BII.1 Puncte particulare – volumul I şi Fig.15, Fig.16)

PP P

y

v'

vx

d

Ph w

w

v''o

d'v w'

d''

y x

w''

y

d

Ph w

v'

vo

d'v w'

z z

Fig.22a Fig.22b

CONCLUZIE: Dacă VW ≡ D ⊂ [P] ⇒ v’ ∈∈∈∈ Pv

w’’ ∈∈∈∈ Pw OBSERVAŢIE: Proiecţia w’’ nu apare în dubla proiecţie ortogonală (fig.2c), deci nu se poate stabili dacă HW aparţine sau nu planului [P] (nu se poate verifica dacă w’’ ∈ Pw).


14

x

[H]

[V]

z

y

[W]

[P]

D

Ov'=V

w''=W

Pv Pw

Ph

d''

d

d'

w

w'

v

v''

h=H

h'

h''

Fig.23

y

Phw

v'

vx h'

h

PP d''

Oh''d

v

v''y x h'

wh

d'w' w''

z

y

Phw

P

dv

ov'

vd'

w'

z

Fig.24a Fig.24b

CONCLUZIE: Dacă D ⊂ [P] atunci urmele dreptei (H, V şi W, vezi BII.2.2 Urmele dreptei – volumul I) sunt situate pe urmele planului (Ph , Pv şi Pw)sau, dacă D ⊂ [P] ⇒ H ≡ h ∈ Ph V ≡ v’ ∈ Pv W ≡ w’’ ∈ Pw şi, simultan H, V şi W colineare.


15

DREPTE PARTICULARE DREPTE PARALELE CU PLANELE DE PROIECŢIE Fie 1D [H], 2D [V] şi 3D [W] (vezi BII.2.4 Drepte particulare – volumul I). Definiţie: O dreaptă şi un plan se numesc paralele dacă nu au nici un punct comun. Teoremă: Dacă o dreaptă D dintr-un plan [P] este paralelă cu un alt plan, atunci dreapta de intersecţie a celor două plane este paralelă cu dreapta dată sau, dacă D ⊂ [P] şi D [R]

atunci E D , unde E = [P] ∩ [R] (Fig.25)

[R]

E

D [P]

Fig.25

Demonstraţie: [P] ∩ [R] = E ⇓ E ⊂ [R] E ⊂ [P] dar şi D ⊂ [P] ⇒ E şi D = coplanare ⇓ E D sau E ∩ D Dacă E ∩ D = I ⇒ I ∈ E ∈ [R] I ∈ D ⇒ ∃ I ∈ [R], unde I ∈ D sau I = punct comun al dreptei D cu planul [R] (fals) Conform definiţiei de mai sus dacă D [R] ⇒ I ∈ [R], şi I ∈ D ⇒ E D , adică E D . OBSERVAŢIE: Definiţia şi teorema demonstrată mai sus fac parte din „geometria în spaţiu”.


16

Înlocuim în teorema de mai sus planul [R] cu planele de proiecţie [H], [V] şi [W] pe rând, D cu dreptele particulare paralele cu planele de proiecţie, 1D , 2D sau 3D (vezi

BII.4 Drepte particulare – volumul I) şi E cu urmele planului Ph, Pv sau Pw, atunci: 1. Dacă 1D ⊂ [P] şi 1D [H]

atunci 1D Ph, unde Ph = [P] ∩ [H] (vezi Concluzia pag.8).

[P]w

[H]

x Ph

dv 1

v'=

[V]d''d'

DV1

1

o

1v''=w'Pv Pw

y

w''=W

[W]

z

Fig.26

y

x xP

w"1

d

w

P1

h

v o y x xP

w'v' d'

Pv

v" d"1

Pw

z

y

1

d1Ph

w

v o

d'v'

Pv

w'

z

Fig.27a Fig.27b

OBSERVAŢIE: Dacă 1D Ph atunci proiecţiile dreptei 1D vor fi paralele cu proiecţia dreptei Ph(vezi AIV Invarianţii proiecţiilor – volumul I). Proiecţiile dreptei Ph sunt:

Proiecţia orizontală ≡ Ph Proiecţia verticală ≡ OX Proiecţia laterală ≡ OY

⇒ Dacă 1D Ph, atunci 1d Ph

1'd OX

1''d OY


17

2. Dacă 2D ⊂ [P] şi 2D [V] (vezi BII.2.4 Drepte particulare – volumul I). atunci 2D Pv, unde Pv = [P] ∩ [V] (vezi Concluzie pag.8).

[H]

[V] [W]

O

[P]D w

d

d'

d"

2

2

2

2h'

h"

x

z

y

w''=W

Pv

Ph

Pw

h =H

w'

Fig.28

y y

w

Ph

hd2

w'

d'

x xP h'

2vP

d''

h''o

2

y x

Pw

w''

z

Ph

hd2 w

d'

h'xP

2

o

Pv

w'

z

Fig.29a Fig.29b

OBSERVAŢIE:

Dacă 2D Pv atunci proiecţiile dreptei 2D vor fi paralele cu proiecţia dreptei Pv (vezi AIV Invarianţii proiecţiilor – volumul I). Proiecţiile dreptei Pv sunt:

Proiecţia orizontală ≡ OX Proiecţia verticală ≡ Pv Proiecţia laterală ≡ OZ

⇒ Dacă 2D Pv, atunci 2d OX

2'd Pv

2''d OZ


18

3. Dacă 3D ⊂ [P] şi 3D [W] (vezi BII.2.4 Drepte particulare – volumul I)

atunci 3D Pw, unde Pw = [P] ∩ [W] (vezi Concluzie pag.8).

[V] [W]v"v w

[H]

d'3

x hP h=H

h' 3dv 3D

oVv'=

h"

[P]

y

d"3

P

z

P

Fig.30

v' v'' PP v'P

y

vd3hh

P

x Px h'

d'3v

o h" y xd"3

w

y

v3dh

hP

h'Px o3d'

v

z z

Fig.31a Fig.31b

OBSERVAŢIE: Dacă 3D Pw atunci proiecţiile dreptei 3D vor fi paralele cu

proiecţia dreptei Pw (vezi AIV Invarianţii proiecţiilor – volumul I). Proiecţiile dreptei Pw sunt:

Proiecţia orizontală ≡ OY Proiecţia verticală ≡ OZ Proiecţia laterală ≡ Pw

⇒ Dacă 3D Pw, atunci 3d OY

3'd OZ

3''d Pw

Ultima condiţie ( 3''d Pw) nu apare în dubla proiecţie ortogonală .

(vezi Fig.31b). CONCLUZIE: Dacă 1D , 2D sau 3D ⊂ [P], atunci 1D Ph 2D Pv şi 3D Pw

În toate cazurile de mai sus ( 1D ⊂ [P], 2D ⊂ [P] sau 3D ⊂ [P]) concluzia de la

capitolul „Drepte oarecare în plan” rămâne valabilă, şi anume pentru ∀ D ⊂ [P], H ≡ h ∈ Ph V ≡ v’ ∈ Pv W ≡ w’’ ∈ Pw cu observaţia ca 1D , 2D şi 3D fiind paralele cu

[H], [V] sau [W], au fiecare doar două urme (intersectează doar două dintre plane de proiecţie).


19

DREPTE PERPENDICULARE PE PLANELE DE PROIECŢIE Fie 4D ⊥ [H], 5D ⊥ [V], 6D ⊥ [W] (vezi BII.2.4 Drepte particulare – volumul I) şi [P] = oarecare (unghiurile dintre [P] şi planele de proiecţie, luate pe rând, vor avea valori oarecare). Teoremă: Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, orice plan dus prin dreaptă este perpendicular pe planul dat sau, dacă D ⊥ [R], atunci pentru ∀[P] ⊃ D , [P] ⊥ [R].

[R]

[P]

D

Fig.32

Demonstraţie: [P] ⊥ [R] ≡ unghiul dintre [P] şi [R] = 900. Definiţie: Unghiul dintre două plane [P] şi [R] se măsoară între dreptele de intersecţie ( D şi F în Fig.33) dintre fiecare dintre plane şi un al treilea plan [Q], perpendicular pe dreapta de intersecţie dintre cele două plane ( E = [P] ∩ [R]). Prin I = D ∩ E se duce planul [Q] ⊥ E ; [Q] ∩ [R] = F

[Q]

[R]

FE

I

D

[P]

Fig.33

� Din enunţ D ⊥ [R] ⇒ D ⊥ ∀ dreaptă ⊂ [R] ⇒ D ⊥ E � [Q] ⊥ E , E ⊥ [Q] ⇒ E ⊥ ∀ dreaptă ⊂ [Q] ⇒ E ⊥ F

⇒ unghiul D I F ≡ unghiul dintre planele [P] şi [R].

� Din enunţ D ⊥ [R] ⇒ D ⊥ F unde F ⊂ [R] sau unghiul D I F = 900 ⇒ [P] ⊥ [R], unde [P] ⊃ D ⊥ [R].

Consecinţă: Dacă [P] [R] ⇒ D ⊂ [P] astfel încât D ⊥ [R].


20

CONCLUZIE: Fie, în teorema anterioară, [R] = plan de proiecţie, [H], [V] sau [W], şi

D ≡ 4D , 4D ⊥ [H] sau

D ≡ 5D , 5D ⊥ [V] sau

D ≡ 6D , 6D ⊥ [W].

Dacă 4D ⊥ [H], atunci 4D ⊂ [P] = oarecare,

5D ⊥ [V], atunci 5D ⊂ [P] = oarecare,

6D ⊥ [W], atunci 6D ⊂ [P] = oarecare,

sau

∀ [P] ⊃ 4D ⇒ [P] ⊥ [H],

∀ [P] ⊃ 5D ⇒ [P] ⊥ [V],

∀ [P] ⊃ 6D ⇒ [P] ⊥ [W].

La aceeaşi concluzie se poate ajunge şi pe baza teoremei dela pag.15 (vezi concluzie pag.18). Fie 4D ⊥ [H] ⇒ 4D [V] ⇒ 4D Pv

4D [W] ⇒ 4D Pw

4D ⊥ [H] ⇒ 4D ⊥ ∀dreaptă ⊂ [H] ⇒ 4D ⊥ OX

4D ⊥ OY

dar Pv OX; Pw OY ⇒ 4D Pv şi 4D Pw (Fig.34) ⇒ 4D ⊂ [P] = oarecare.

[P]

h

[H]

x P

OD4

y

[V] vP

z

[W]wP

Fig.34


21

Fie 5D ⊥ [V] ⇒ 5D [H] ⇒ 5D Ph

5D [W] ⇒ 5D Pw

5D ⊥ [V] ⇒ 5D ⊥ ∀dreaptă ⊂ [V] ⇒ 5D ⊥ OX

5D ⊥ OZ

dar Ph OX; Pw OZ ⇒ 5D Ph şi 5D Pw (vezi Fig.35)

⇒ 5D ⊂ [P] = oarecare.

[P]

O

P

[H]

x

vP

yh

D5

[V]

z

[W]Pw

Fig.35

Fie 6D ⊥ [W] ⇒ 6D [H] ⇒ 6D Ph

6D [V] ⇒ 6D Pv

6D ⊥ [W] ⇒ 6D ⊥ ∀dreaptă ⊂ [W] ⇒ 6D ⊥ OY

6D ⊥ OZ

dar Ph OY; Pv OZ ⇒ 6D Ph şi 6D Pv ⇒ 6D ⊂ [P] = oarecare.

[H]

[P]

x

D6

yPh

OPw

P[V]

v[W]

z

Fig.36


22

ii.3.i. urmele planului, elementele geometrice În plan

Documents