Concursul interjudeţean “Micii MATEMATICIENI”

- ediţia a XIII-a -

Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător

Hârlău, 24 martie

2018

CLASA A III-A

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE

SUBIECTUL 1……………………..………………………………………………………………. 20 P

1) 24 24 : 4 18 …………………………………………………..…………...…………… 2 puncte

10 36 10 18 540 …………………………………………….………………… 3 puncte

6 4 : 2 3 540 96 455 ………………………………………………………….. 5 puncte

2) 639 :3 213 …………………………………………………………………………. 5 puncte

213 1 212 …………………………………………………………………………………. 5 puncte

SUBIECTUL 2……………………………………………………………………………………… 20P

1) 2 2 2 2 2 : 2 24a ………………………………………………………… 1 punct

2 2 2 2 : 2 12a ………………………………………………………………..1 punct

2 2 2 : 2 10a ……………………………………………………………………1 punct

2 2 : 2 5a ………………………………………………………………………...1 punct

2 : 2 3a …………………………………………………………………………… 1 punct

2 6a ………………………………………………………………………….……1 punct

3a …………………………………………………………………………………...1 punct

2) Scrierea relațiilor / reprezentarea grafică …………………………………………….5 puncte

Aflarea numărului de nuci consumate de fiecare prieten (41 nuci)…………………. 5 puncte

Aflarea numărului inițial de nuci a fiecărui prieten (84, 125, 97) …………………… 3 puncte

SUBIECTUL 3………………………………………………………………………………………. 20P 1) Fie � = numărul butoaielor meselor obișnuite și � = numărul butoaielor meselor la care a fost

însetat

Scrierea relațiilor 7

5 7 39

a b

a b

………………………………………………..…….. 3 puncte

Aflarea numărului de mese la care a fost însetat (2 mese) ……………………………..… 7 puncte

2)

Aflarea vârstei fraților

în prezent: 0 ani (nou-născut), 1 an și 6 luni și 3 ani …………..

.4 puncte

Scrierea relațiilor / reprezentarea grafică ………………………………………………….3 puncte

Aflarea numărului de ani care vor trece (5 ani)……………………………………….……3 puncte

Concursul interjudeţean “Micii MATEMATICIENI”

- ediţia a XIII-a -

Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător

Hârlău, 24 martie

2018

CLASA A IV-A

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE

SUBIECTUL 1……………………..………………………………………………………………. 20 P 1) 11 situații × 0,5 puncte = 5,5 puncte

Finalizare, rezultat = 54 ……………………………………………………………….. 0,5 puncte

2) Aflarea numărului 297abc ; 5 situații × 1 punct .......................................................... 5 puncte

Determinarea produsului 2 9 7 126 ………………………………………………….1 punct

3) Stabilirea relațiilor : 9 8 rest

: 10 rest 0

a r

a r

……………………………………………………...2 puncte

Determinarea valorii numărului � = 8………………………………………………..… 4 puncte

Aflarea numărului � = 80 …………………………………………………………….…2 puncte

SUBIECTUL 2……………………………………………………………………………………… 20P

1) Stabilirea relațiilor dintre mărimi ……………………………………………….. 3 puncte

Aflarea vârstei unui frate (17 ani) ……………………………………………….. 5 puncte

Aflarea vârstei lui Mimo (28 ani) ……………………………………………….. 2 puncte

2) Stabilirea relațiilor dintre mărimi ……………………………………………….. 2 puncte

Aflarea numărului de crengi pentru fiecare copac (5, 6, 7, 8) ………………….. 4 puncte

Aflarea numărului de fructe din fiecare copac (50, 60, 70, 80) …………. ………4 puncte

SUBIECTUL 3………………………………………………………………………………………. 20P

1) Stabilirea relațiilor dintre mărimi ………………………………....…………..…. 6 puncte

Determinarea sumei cu care rămâne Andrei ( 6 leia ) …………………………………..6 puncte

Aflarea valorii lui � = 5 ………………………………………………………………..…3 puncte

2) Sunt de analizat 4 situații în funcție de paritatea jetoanelor primilor 2 copii din serie. Justificarea

situațiilor ………………………………………………………………………………… 4 puncte

Finalizare …………………………………………………………………………………...1 punct

Concursul interjudeţean “Micii MATEMATICIENI”

- ediţia a XIII-a -

Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător

Hârlău, 24 martie

2018

CLASA A V-A

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE

SUBIECTUL 1……………………………………………………………………………….. 20 PUNCTE

1. Calculul membrului drept ( 70 502 3 ).......................................................................... 2 puncte

calculul primului termen al membrului stâng ( 1702 ) ... ................................................ 2 puncte

calculul celui de-al doilea termen al membrului stâng 503 ......................................... 2 puncte

Total 1 ............................................................... 6 puncte

2. Membrul stâng este ab 1 ab : 2 ..... ............................................................................ 1 punct

ab 1 ab 20 ab 2 c , de unde ab ab 19 2 c ................................................ 3 puncte

Din ab ab 19 18 ab 19;20 ... ....................................................................... 1 punct

Pentru ab 20 c 10 , fals .... ...................................................................................... 1 punct

Deci, abc 190 ... ............................................................................................................ 1 punct

Total 2 ............................................................... 7 puncte

3. Scrierea def mnp pnm 100 m p p m .......................................................... 1 punct

Deoarece m p , pentru a scădea pe m din p ne împrumutăm. Avem scrierea următoare:

def mnp pnm 100 m p 1 10 9 10 p m ... ....................................... 2 puncte

Găsim că d m p 1 ; e 9 şi f 10 p m , de unde d f 9 ... ..................... 2 puncte

Atunci def fed 100 d f 20 e f d 900 180 9 1089 ..................... 2 puncte

Total 3 ............................................................... 7 puncte

SUBIECTUL 2. …………………………………………………………………………….. 20 PUNCTE

1. ……….……………………… 10 puncte

a) Notăm cu x n 5 . Atunci n 5 n 5 x n 5 x n x 5 ......................... 2 puncte

2n 5 n n 5 5 n 5n 5n 225 n 25 ....................................................... 3 puncte

b) Notăm cu y a...b . Atunci n 100 x 55 ...... ............................................................ 1 punct

2n 25 n 5 n 5 100x 50 100x 60 ........................................................... 1 punct

2n 25 50 2x 1 20 5x 3 ........ .............................................................................. 1 punct

2n 25 1000 2x 1 5x 3 ....000 .......................................................................... 1 punct

Deci, 2n ....025 ................................................. ............................................................. 1 punct

Concursul interjudeţean “Micii MATEMATICIENI”

- ediţia a XIII-a -

Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător

Hârlău, 24 martie

2018

2. ……….……………………… 10 puncte

Avem m 13 k 10 şi m 6 p 2 .................................................................................. 2 puncte

Cum m este par k este impar ............................................................................................ 2 puncte

Dând valori lui k şi din 750 m 820 m 764;790;816 .......................................... 2 puncte

Dând valori lui p şi din 750 m 820

m 740;746;752;758;764;770;776;....;808;814 .............................................................. 3 puncte

Numărul căutat este m 764 .................................................................................................. 1 punct

SUBIECTUL 3. …………………………………………………………………………….. 20 PUNCTE

Notăm cu a,b,c numărul problemelor rezolvate de Alex, Barbu, respectiv Costel.

Avem: b c 12 a şi a c 4 b .................................................................................. 2 puncte Obţinem că c 8 şi b 4 a ................................................................................................ 3 puncte Notăm cu M ,N ,P numărul problemelor rezolvate de Moşanu, Niculescu, respectiv Popescu.

Avem a;b;c M ; N ; P şi 3

N M P7 ....................................................................2 puncte

Deducem că M P este divizibil 7 şi că N divizibil cu 3 N 8 c ca M 8 sau P 8 Singurele numere naturale, cel mult egale cu 15 , sunt 6 şi 13 ............................................. ...3puncte Dacă M 6 sau P 6 , atunci N 6 , nu convine deoarece doi elevi ar fi la egalitate, pe ultimul loc ............................................................................................................................................. 2 puncte Dacă M 13 , atunci P 8 , fals căci M are cel mai mic număr de probleme ................... 2 puncte Deci, P 13; M 8 şi N 9 ............................................................................................. 2 puncte

din M c şi din b a P N 4 P b si N=a ............................................................ 1 punct Prin urmare, Moşanu Costel are 8 probleme rezolvate ............................................................. 1 punct Niculescu Alex are 9 probleme rezolvate ............................................................. 1 punct Popescu Barbu are 13 probleme rezolvate .......................................................... 1 punct

Concursul interjudeţean “Micii MATEMATICIENI”

- ediţia a XIII-a -

Hârlău, 24 martie

2018

CLASA A VI-A

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE

SUBIECTUL 1……………………..………………………………………………………………. 20 P

1) : 7 rest 3 7 3 7 7 4 4 7 1n a n a n a n a ………………………..2 puncte

:10 rest 6 10 6 10 10 4 4 10 1n b n b n b n b …………….…..2 puncte

:14 rest 10 14 10 14 14 4 4 14 1n c n c n c n c ………………2 puncte

7,10,14 704

4 350300 400

n Mn

n

………………………………………………………….. 4 puncte

346n ………………………………………………………………………………………… 1 punct

346 :17 20 rest 6 ………………………………………………………………………….. 1 punct

2) 24 3 5 29 4 3 72 120 116 87x y x y x y x y ………………..……………….. 2 puncte

3 333 44

4 4

x yy x x

y ………………………………………………………………3 puncte

3 75 2

5 2 74 43 153 1534 4

y y yx y

x y y y y

………………………………………………………… 3 puncte

SUBIECTUL 2………………………………………………………………………………………

20P

1) a,

b

i.p. 0,5;0,3

a

0,

5

b

0,3

a

2

b

3

a

2

3

b

……………………..……2 puncte

b,

c

d.p. 0,

25;0,3

b

c

4b

3c

c

4

b

…………………..……...2 puncte

0,

25

0,3

3

40

2

4b

2

2b

c 180

a

c 180

a 180

………………………………2 puncte

100

5

3

5

3

b

45

………………………………………………………………………………………....2 punct

a

30,

c

60

............................................................................................................................4 puncte

m B

70

2)

m A

80

………………………………………………….……2 puncte

m A

30

[AE bisect.

402

m ABCA m BAE m EAC

……………………..2 puncte

70

: 7040

m BABE m BEA

m A

……………………………………………2 puncte

: ABE m B m E ABE isoscel

AB AE

ADAD BE

este și mediană

BD DE

D

este mijlocul lui

BE

…………………………………………

2 puncte

Orice altă rezolvare

corectă se punctează corespunzător

Concursul interjudeţean “Micii MATEMATICIENI”

- ediţia a XIII-a -

Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător

Hârlău, 24 martie

2018

SUBIECTUL 3………………………………………………………………………………………. 20P

Fie m AOB x .

[OC bisect.

2 2

m AOB xAOB m AOC m BOC

…………………………. 2 puncte

[OD bisect.

2 4

m AOC xAOC m AOD m DOC

………………………….3 puncte

3

4 4

x xm BOD m AOB m AOD x ………………………………………….3 puncte

[OE bisect. 3

2 8

m BOD xBOD m BOE m DOE

…………………….…..3 puncte

3 5

8 8

x xm AOE m AOB m BOE x ……………………………………….. 3 puncte

[OF bisect. 5

2 16

m AOE xAOE m AOF m FOE

………………………… 3 puncte

5

5 5 8016 4 16

x x xm DOF m AOF m AOD x …………………. 3 puncte

Concursul interjudeţean “Micii MATEMATICIENI”

- ediţia a XIII-a -

Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător

Hârlău, 24 martie

2018

CLASA A VII-A BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE

SUBIECTUL 1………………………………………………………………………………. 20 PUNCTE

1) 110 110 110

9990 990 9

abc a bca b cab c a b c a b ca b c

……………………………………………………………………………………….. 2 puncte

621;531;432a b c abc ……………………………………………………..3 puncte

32 2 8cardAx ………………………………………………………………………1 punct 51 85 85 513 2 2 3 …………………………………………………………………… 1 punct

85 51 51 822 3 3 : 2 36 5 3 8 5 3 16y ……………………………….. 2 puncte

85 822 : 2 44 36y ……………………………………………………………….1 punct

8 36 12 2gm x y ………………………………………………………….2 puncte

2) 2018 2 2018 6 2018 12 2018 110

... 552 3 4 11

x x x x ………………..3 puncte

2018 2018 2018 20181 2 3 ... 10 55

2 3 4 11

x x x x

……….. 2 puncte

1 1 1

2018 ... 55 552 3 11

x

…………………………………………………2 puncte

2018 0 2018x x ………………………………………………………………1 punct

SUBIECTUL 2. ……………………………………………………………………………. 20 PUNCTE 1.

a) 42012 503 4n n m …………………………………………………………………2 puncte

4 0,1,5,6U m …………………………………………………………………….2 puncte

4 2012 2,3,7,8U m ……………………………………………………………..1 punct

Finalizare 2012 2012 \n ……………………………………………………….1 punct

b) 2 22012 2012n n n ……………………………………………. 1 punct

2 2012n p.p. 2 22012 ,n p p ………………………………………………..1 punct

2012p n p n ………………………………………………………………….1 punct

,p n p n au aceeași paritate …………………………………………………………1 punct

2p n și 1006p n ………………………………………………………………..1 punct

502n …………………………………………………………………………………1 punct

Concursul interjudeţean “Micii MATEMATICIENI”

- ediţia a XIII-a -

Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător

Hârlău, 24 martie

2018

2. Determinarea catetei 6AB cm ……………………………………………………….....2 puncte

APC dreptunghic isoscel 3 6AP PC cm …………………………………….1 punct

Construim ,BE AP E AP , ABE dreptunghic isoscel 3 2AE BE cm …2 puncte

3 6 3 2PE AP AE ……………………………………………………………1

punct

18 5 2 3

TP

BEP BP ………………………………………………………….2 puncte

SUBIECTUL 3. ……………………………………………………………………………. 20 PUNCTE

a) Realizarea figurii ……………………………………………………………… 3 puncte

1MB BC BCM BMC …………………………………………..1 punct

,MB DC MC secantă 2BMC MCD ………………………………….. 1 punct

Din (1) și (2) (MCD MCD CM bisectoare …………………………1 punct

În CDL , conform teoremei bisectoarei DH DC

HL CL ………………………2 puncte

b) DH DF

LB FD FDH BLHHL BL

……………………………………. 4 puncte

Folosind a) DC DF

LC BL ……………………………………………………… 2 puncte

c) LB BE CD BE

EB CD LBE LCDLC CD LC LB

……………………….2 puncte

Folosind b) BE DF

BE DFLB LB

………………………………………… 2 puncte

AF AD FD

ME BM BE

AD BC BM

………………………………………………………………….1 punct

Finalizare AF ME ……………………………………………………………..1 punct

Concursul interjudetean “Micii MATEMATICIENI”

- ediţia a XIII-a –

Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător

Hârlău, 24 martie

2018

CLASA A VIII-A BAREM DE CORECTARE SI NOTARE

SUBIECTUL 1………………………………………………………………………………………. 20 P

1 .................................................................................................................. 10 puncte

�� − � = �(�� − 1) = �(� − 1)(�� + � + 1) .......................................................................7 puncte. ������

����=

������

�(���)(������)=

�

�(���) , � ≠ 0,� ≠ 1.............................................................. ......3 puncte.

2 ................................................................................................................. 10 puncte

�(���)��

����=

������

�(���)(������)=

�

�(���) ........................................................................................ 2 puncte.

� =�

�∙�+

�

�∙�+

�

�∙�+ ⋯ +

�

����∙����..................................................................................... 3 puncte.

�

�(���)=�

�−

�

���...................................................................................................................3 puncte.

Finalizare: � =����

���� ............................................................................................................2 puncte.

SUBIECTUL 2……………………………………………………………………………………… 20P

1 .................................................................................................................. 10 puncte

Fie 2�� + 2�� + 2� + 2� + 2 = � ....................................................................................2 puncte. � = �� − (� − 1)� − 1 ⇒ � = �� − �� + 2� − 1 − 1 ⇒ � = 2� − 2 .............................. 2 puncte. Astfel � = 2(2�� + 2�� + 2� + 2� + 2) − 2 ⇒ � = 4(�� + �� + � + � + 1) − 2 ..............1punct.

� = 4��� +�

���

+ �� +�

���

+�

��− 2 ⇒ � = 4�� +

�

���

+ 4�� +�

���

.................................3 puncte.

Finalizare: � = (2� + 1)� + (2� + 1)�..................................................................................2 puncte.

2 .................................................................................................................. 10 puncte

Înmulțind ecuația a treia cu −2, adunată cu a doua ecuație, se obține 2 2 0x y z ……..........… 3 puncte

2 2 0x y z x y z x y z ……………....................................................................…..1 punct

Cazul I

2

3

0

1

6

x y z

x y z

xy

Obținem soluția 1 1 1

; ;2 3 6

x y z ……………...................................……3 puncte

Cazul II

2

3

0

1

6

x y z

x y z

xy

Obținem soluția 1 1 1

; ;3 2 6

x y z …………….................................……3 puncte

Concursul interjudetean “Micii MATEMATICIENI”

- ediţia a XIII-a –

Orice altă rezolvare corectă se punctează corespunzător

Hârlău, 24 martie

2018

SUBIECTUL 3………………………………………………………………………………………. 20P

a) .................................................................................................................. 10 puncte

Fie{�}= �� ∩ ���, atunci (���) ∩ (����) = �� ...........................................................2 puncte. ��� ⊥ (���), �� ⊥ ��, �� ⊂ (���) atunci, conform teoremei celor trei perpendiculare rezultă ��� ⊥ �� .................................................................................................................................2 puncte.

Astfel �∡�(���),(����)� = �∢(����) ............................................................................1 punct.

Din asemănarea triunghiurilor MCN și ����� se obține NC =5m..........................................2 puncte.

�� ⊥ ��,�� ⊥ �� rezultă �� ∙�� = �� ∙�� se obține �� = 6√5� .............................2 puncte.

În ∆���� dreptunghic, �∡(����) = 90° obținem ��(∡����) =�√�

� ...................................1 punct.

b) .................................................................................................................. 10 puncte

Fie �� ∥ ��, � ∈ ��. Cum �� ⊥ �� �� ⊥ ��. �� ∥ (����).............................. 3 puncte.

Fie �� ⊥ ��� , � ∈ ��� . Cum (����) ⊥ (����) ���,(����)� = ���,(����)� = �� ............................................................................................................................................... 3 puncte

Din QAD ~ CBN �� = 2√5�, de unde �� = 4√5� ...............................................2 puncte.

Din asemănarea triunghiurilor R�P și ���� obținem �� =�√�

�� ........................................2 puncte.